Ezt használva matematikai program a polinomokat oszloponként oszthatja fel.
A polinom polinommal való elosztására szolgáló program nem csak választ ad a problémára, hanem megadja részletes megoldás magyarázatokkal, pl. megjeleníti a megoldási folyamatot a matematikai és/vagy algebrai ismeretek tesztelésére.

Ez a program hasznos lehet középiskolások számára középiskolák előkészítése során tesztek valamint vizsgák, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzés során a szülőknek számos matematikai és algebrai feladat megoldásának ellenőrzésére. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni? házi feladat matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.

Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.

Ha kell, ill polinom egyszerűsítése vagy polinomokat szorozni, akkor erre van egy külön programunk Polinom egyszerűsítése (szorzása).

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki és frissítse az oldalt.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Polinom felosztása polinomra (binomiálisra) egy oszloppal (sarokkal)

Az algebrában polinomok elosztása oszloppal (sarokkal)- egy algoritmus egy f(x) polinomnak egy g(x) polinommal (binomiálissal), amelynek foka kisebb vagy egyenlő az f(x) polinom fokszámával.

A polinomonkénti osztási algoritmus a számok oszloposztásának egy általánosított formája, amely kézzel könnyen megvalósítható.

Minden \(f(x) \) és \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \ polinomhoz egyedi \(q(x) \) és \(r() polinomok tartoznak. x ) \), úgy, hogy
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
és \(r(x)\) alacsonyabb foka, mint \(g(x)\).

A polinomok oszlopra (sarokra) való felosztásának algoritmusának célja, hogy egy adott osztalékhoz megtalálja a \(q(x) \) hányadost és a \(r(x) \) maradékot \(f(x) \) és nem nulla osztó \(g(x) \)

Példa

Osszuk el az egyik polinomot egy másik polinommal (binomiális) egy oszlop (sarok) segítségével:
\(\nagy \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Ezeknek a polinomoknak a hányadosa és maradéka a következő lépések végrehajtásával kereshető meg:
1. Ossza el az osztó első elemét az osztó legmagasabb elemével, az eredményt helyezze a \((x^3/x = x^2)\) sor alá.

3. Vonjuk ki az osztóból a szorzás után kapott polinomot, az eredményt írjuk a \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- sor alá 42) \)

4. Ismételje meg az előző 3 lépést, a sor alá írt polinomot használva osztalékként.

5. Ismételje meg a 4. lépést.

6. Az algoritmus vége.
Így a \(q(x)=x^2-9x-27\) polinom a polinomok felosztásának hányadosa, \(r(x)=-123\) pedig a polinomok osztásának maradéka.

A polinomok felosztásának eredménye két egyenlőség formájában írható fel:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
vagy
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

A „Professzionális matematika oktató” weboldal folytatja a tanítással kapcsolatos módszertani cikkek sorát. Az iskolai tanterv legbonyolultabb és legproblémásabb témáival foglalkozom munkám módszereinek leírásával. Ezt az anyagot hasznos lesz a matematika tanárok és oktatók számára, akik a 8-11. osztályos diákokkal dolgoznak mind a normál programban, mind a matematika órák programjában.

A matematika oktató nem mindig tudja elmagyarázni a tankönyvben rosszul bemutatott anyagot. Sajnos az ilyen témák egyre szaporodnak, és tömegesen készülnek a kézikönyvek szerzőit követő prezentációs hibák. Ez nemcsak a kezdő matematika oktatókra és részmunkaidős oktatókra vonatkozik (az oktatók hallgatók és egyetemi oktatók), hanem a tapasztalt tanárokra, hivatásos oktatókra, gyakorlattal és képesítéssel rendelkező oktatókra is. Nem minden matematika oktató rendelkezik azzal a tehetséggel, hogy hozzáértően javítsa ki az iskolai tankönyvek durva éleit. Nem mindenki érti azt is, hogy ezek a javítások (vagy kiegészítések) szükségesek. Kevés gyerek vesz részt abban, hogy az anyagot a gyerekek minőségi észlelésének megfelelően alakítsák át. Sajnos már elmúlt az az idő, amikor a matematikatanárok a módszertanosokkal és a publikációk szerzőivel együtt tömegesen megbeszélték a tankönyv minden betűjét. Korábban a tankönyv iskolai kiadása előtt komoly elemzéseket és tanulmányokat végeztek a tanulási eredményekről. Eljött az amatőrök ideje, akik arra törekszenek, hogy a tankönyveket univerzálissá tegyék, hozzáigazítva azokat az erős matematikaórák színvonalához.

Az információmennyiség növeléséért folytatott verseny csak az asszimiláció minőségének csökkenéséhez, és ennek következtében a matematikai valós tudásszint csökkenéséhez vezet. De erre senki nem figyel. A gyerekeink pedig már 8. osztályban kénytelenek tanulni azt, amit az intézetben tanultunk: valószínűségszámítást, magasfokú egyenletek megoldását és még valamit. A könyvekben található anyagok adaptálása a gyermek teljes felfogására sok kívánnivalót hagy maga után, és a matektanár kénytelen valahogy megbirkózni ezzel.

Beszéljünk egy olyan speciális téma tanításának módszertanáról, mint a „polinom elosztása egy polinom sarokkal”, amely a felnőtt matematikában jobban ismert „Bezout tétele és Horner-séma” néven. Alig pár éve a kérdés nem volt annyira sürgős egy matektanár számára, mert nem volt része a fő iskolai tananyag. Most a Teljakovszkij által szerkesztett tankönyv tisztelt szerzői módosították a véleményem szerint legjobb tankönyv legutóbbi kiadását, és miután teljesen elrontották, csak fölösleges aggodalmakkal sújtották az oktatót. A matematikai státusszal nem rendelkező iskolák és osztályok tanárai a szerzők újításaira összpontosítva gyakrabban kezdtek további bekezdéseket beiktatni óráikba, a kíváncsi gyerekek pedig matematika tankönyvük gyönyörű lapjait nézegetve egyre gyakrabban kérdezik: oktató: „Mi ez a sarokkal való felosztás? Át fogjuk menni ezen? Hogyan lehet megosztani egy sarkot? Az ilyen közvetlen kérdések elől már nem lehet bújni. A tanárnak mondania kell valamit a gyereknek.

De mint? Valószínűleg nem írtam volna le a témával való munkamódszert, ha azt hozzáértően bemutatták volna a tankönyvekben. Hogy megy nálunk minden? A tankönyveket ki kell nyomtatni és el kell adni. És ehhez rendszeresen frissíteni kell őket. Panaszkodnak az egyetemi tanárok, hogy üres fejjel, tudás és készségek nélkül jönnek hozzájuk a gyerekek? Növekednek a matematikai ismeretekkel szemben támasztott követelmények? Nagy! Távolítsunk el néhány gyakorlatot, és illesszünk be olyan témákat, amelyeket más programokban tanulmányoznak. Miért rosszabb a tankönyvünk? Néhány további fejezetet is beiktatunk. Az iskolások nem ismerik a sarok felosztásának szabályát? Ez az alapvető matematika. Ezt a bekezdést nem kötelezővé kell tenni, „azoknak, akik többet szeretnének tudni” címmel. Oktatók ellene? Miért törődünk általában az oktatókkal? A módszertanosok és az iskolai tanárok is ellene vannak? Nem bonyolítjuk az anyagot, és figyelembe vesszük a legegyszerűbb részét.

És itt kezdődik. A téma egyszerűsége és asszimilációjának minősége mindenekelőtt logikájának megértésében rejlik, nem pedig abban, hogy a tankönyv szerzőinek instrukcióinak megfelelően végre kell hajtani egy bizonyos műveletsort, amelyek nem kapcsolódnak egyértelműen egymáshoz. . Ellenkező esetben köd lesz a diák fejében. Ha a szerzők viszonylag erős tanulókat céloznak meg (de rendes képzésben tanulnak), akkor ne parancsformában mutassuk be a témát. Mit látunk a tankönyvben? Gyerekek, e szabály szerint kell osztanunk. Szerezd meg a polinomot a szög alatt. Így az eredeti polinom faktoros lesz. Nem érthető azonban, hogy a sarok alatti kifejezések miért pont így vannak kiválasztva, miért kell őket megszorozni a sarok feletti polinommal, majd ki kell vonni az aktuális maradékból. És ami a legfontosabb, nem világos, hogy miért kell végül összeadni a kiválasztott monomokat, és miért lesznek a kapott zárójelek az eredeti polinom kiterjesztése. Bármely hozzáértő matematikus félkövér kérdőjelet tesz a tankönyvben szereplő magyarázatok fölé.

Az oktatók, matematikatanárok figyelmébe ajánlom a probléma megoldását, amely gyakorlatilag a tanuló számára nyilvánvalóvá teszi mindazt, ami a tankönyvben elhangzik. Tulajdonképpen be fogjuk bizonyítani Bezout tételét: ha az a szám egy polinom gyöke, akkor ez a polinom felbontható tényezőkre, amelyek közül az egyik x-a, a második pedig az eredetiből a következő három módszer egyikével kapható meg: lineáris tényező transzformációkkal, sarokkal való osztásával vagy Horner sémájával. Ezzel a megfogalmazással könnyebb lesz dolgozni a matektanárnak.

Mi az a tanítási módszertan? Először is, ez egy világos sorrend a magyarázatok és példák sorrendjében, amelyek alapján matematikai következtetéseket vonunk le. Ez a téma sem kivétel. Nagyon fontos, hogy a matematika tanár bevezesse a gyereket Bezout tételébe mielőtt sarokkal osztaná. Ez nagyon fontos! A megértés elérésének legjobb módja az konkrét példa. Vegyünk egy kiválasztott gyökű polinomot, és mutassuk be a faktorokba való beszámítás technikáját az identitástranszformációk módszerével, amelyet az iskolások 7. osztálytól ismernek. A matematikaoktató megfelelő magyarázataival, hangsúlyozásával és tippjeivel teljesen lehetséges az anyag közvetítése általános matematikai számítások, tetszőleges együtthatók és hatványok nélkül.

Fontos tanács egy matektanárnak- kövesse az utasításokat az elejétől a végéig, és ne változtassa meg ezt a sorrendet.

Tehát tegyük fel, hogy van egy polinomunk. Ha az X helyett 1-et cserélünk, akkor a polinom értéke nulla lesz. Ezért x=1 a gyöke. Próbáljuk meg két tagra bontani úgy, hogy az egyik egy lineáris kifejezés és valamilyen monomium szorzata legyen, a másiké pedig eggyel kisebb legyen, mint . Vagyis ábrázoljuk a formában

A piros mező monomiját úgy választjuk ki, hogy a vezető taggal megszorozva teljesen egybeessen az eredeti polinom vezető tagjával. Ha a tanuló nem a leggyengébb, akkor eléggé képes lesz elmondani a matektanárnak a szükséges kifejezést: . Azonnal meg kell kérni az oktatót, hogy írja be a piros mezőbe, és mutassa meg, mi fog történni, amikor kinyitják. Ezt a virtuális ideiglenes polinomot a legjobb a nyilak alatt (a kis fotó alatt) aláírni, valamilyen színnel, például kékkel kiemelve. Ez segít kiválasztani egy kifejezést a piros mezőhöz, amelyet a kijelölés maradékának neveznek. Azt tanácsolom az oktatóknak, hogy itt jelezzék, hogy ez a maradék kivonással kereshető. Ezt a műveletet végrehajtva a következőket kapjuk:

A matektanár felhívja a tanuló figyelmét arra, hogy ebbe az egyenlőségbe egyet behelyettesítve garantáltan a bal oldalán nullát kapunk (mivel az 1 az eredeti polinom gyöke), a jobb oldalon pedig nyilván az első tagot is nullázza. Ez azt jelenti, hogy minden ellenőrzés nélkül kijelenthetjük, hogy az egyik a „zöld maradék” gyökere.

Ugyanúgy kezeljük, mint az eredeti polinommal, izolálva belőle ugyanazt a lineáris tényezőt. A matektanár két keretet rajzol a tanuló elé, és megkéri őket, hogy töltsék ki balról jobbra.

A tanuló kiválaszt egy monomot a piros mezőhöz az oktató számára úgy, hogy a lineáris kifejezés vezető tagjával megszorozva adja a bővítő polinom vezető tagját. Illesszük a keretbe, azonnal nyissuk ki a zárójelet, és kékkel jelöljük ki azt a kifejezést, amelyet ki kell vonni a hajtogatóból. Ezt a műveletet végrehajtva azt kapjuk

És végül ugyanezt az utolsó maradékkal

végre megkapjuk

Most vegyük ki a kifejezést a zárójelből, és látni fogjuk az eredeti polinom faktorokra bontását, amelyek közül az egyik „x mínusz a kiválasztott gyök”.

Annak elkerülése érdekében, hogy a tanuló azt gondolja, hogy az utolsó „zöld maradékot” véletlenül a szükséges tényezőkre bontotta, a matematika tanárnak fel kell hívnia a figyelmet. fontos tulajdon Az összes zöld maradékból - mindegyiknek 1 gyöke van. Mivel ezeknek a maradékoknak a foka csökken, így a kezdeti polinom bármilyen fokát is megadjuk, előbb-utóbb egy lineáris „zöld maradékot” kapunk, amelynek gyöke 1, és ezért szükségszerűen a szorzatra bomlik le valamilyen szám és kifejezés.

Ezt követően előkészítő munka A matektanárnak nem lesz nehéz elmagyarázni a diáknak, hogy mi történik, ha sarokkal osztunk. Ez ugyanaz a folyamat, csak rövidebb és tömörebb formában, egyenlőségjelek és ugyanazon kiemelt kifejezések átírása nélkül. A sarok bal oldalára írjuk azt a polinomot, amelyből a lineáris tényezőt kivonjuk, a kiválasztott piros monomokat szögben összegyűjtjük (most kiderül, miért kell összeadniuk), így megkapjuk a „kék polinomokat”, a „pirost”. ” az egyeseket meg kell szorozni x-1-gyel, majd ki kell vonni az aktuálisan kiválasztottból, hogyan történik ez a számok szokásos oszlopba osztásánál (itt van analógia a korábban tanulmányozottakkal). Az így kapott „zöld maradványokat” új izolálásnak és „vörös monomoknak” kell kiválasztani. És így tovább, amíg nulla "zöld egyensúlyt" nem kap. A legfontosabb, hogy a tanuló megértse a szög feletti és alatti írott polinomok további sorsát. Nyilvánvalóan ezek olyan zárójelek, amelyek szorzata megegyezik az eredeti polinommal.

A matematikaoktató munkájának következő szakasza Bezout tételének megfogalmazása. Valójában az oktató ilyen megközelítésével a megfogalmazása nyilvánvalóvá válik: ha az a szám egy polinom gyöke, akkor faktorizálható, amelyek közül az egyik , a másik pedig az eredetiből háromféleképpen kapható meg. :

• közvetlen bontás (a csoportosítási módszerrel analóg)
• sarokkal osztva (oszlopban)
• Horner áramkörén keresztül

El kell mondanunk, hogy nem minden matematika oktató mutatja meg a kürt diagramot diákjainak, és nem minden iskolai tanár (maga oktatók szerencséjére) foglalkozik ilyen mélyen a témával az órákon. Egy matek osztályos tanuló esetében azonban nem látom okát, hogy megálljon a hosszú osztásnál. Sőt, a legkényelmesebb és gyors A dekompozíciós technika pontosan Horner sémáján alapul. Ahhoz, hogy elmagyarázzuk a gyereknek, honnan származik, elég, ha a sarokkal való osztás példájával nyomon követjük a magasabb együtthatók megjelenését a zöld maradékokban. Világossá válik, hogy a kezdeti polinom vezető együtthatója az első „piros monom” együtthatójába kerül, és távolabb az aktuális felső polinom második együtthatójából. levonják a „piros monomiális” áram együtthatójának szorzatának eredménye. Ezért lehetséges add hozzá-vel való szorzás eredménye. Miután a tanuló figyelmét az együtthatókkal végzett műveletek sajátosságaira összpontosította, a matematika oktató meg tudja mutatni, hogyan hajtják végre ezeket a műveleteket a változók rögzítése nélkül. Ehhez célszerű megadni az eredeti polinom gyökét és együtthatóit prioritási sorrendben a következő táblázatban:

Ha egy polinomból hiányzik bármely fok, akkor a nulla együtthatója bekerül a táblázatba. A „piros polinomok” együtthatóit felváltva írjuk az alsó sorba a „hook” szabály szerint:

A gyökét megszorozzuk az utolsó piros együtthatóval, hozzáadjuk a következő együtthatóhoz a felső sorban, és az eredményt leírjuk az alsó sorba. Az utolsó oszlopban garantáltan megkapjuk az utolsó „zöld maradék” legmagasabb együtthatóját, azaz nullát. A folyamat befejezése után a számok az illeszkedő gyökér és a nulla maradék közé beszorítva a második (nemlineáris) tényező együtthatóinak bizonyulnak.

Mivel az a gyök nullát ad az alsó sor végén, a Horner-séma használható a számok ellenőrzésére a polinom gyökének címéhez. Ha a speciális kiválasztási tétel racionális gyökér. Az ezzel a címre megszerzett összes jelöltet egyszerűen balról sorra beillesztjük Horner diagramjába. Amint nullát kapunk, a vizsgált szám gyök lesz, és egyúttal az eredeti polinom faktorizációs együtthatóit is megkapjuk az egyenesére. Nagyon kényelmesen.

Végezetül szeretném megjegyezni, hogy a horneri séma pontos bemutatása, valamint a téma gyakorlati megszilárdítása érdekében a matematika oktatónak elegendő óraszámmal kell rendelkeznie. A „hetente egyszer” rendszerrel dolgozó oktató ne vegyen részt sarokmegosztásban. Az Egységes Matematika Államvizsgán és az Állami Matematikai Akadémián nem valószínű, hogy az első részben valaha is ilyen eszközökkel megoldható harmadfokú egyenlettel találkozna. Ha az oktató felkészíti a gyermeket a matematika vizsgára a Moszkvai Állami Egyetemen, a téma tanulmányozása kötelezővé válik. Az egyetemi tanárok – az Egységes Államvizsga összeállítóival ellentétben – nagyon szeretik tesztelni egy jelentkező tudásának mélységét.

Kolpakov Alekszandr Nikolajevics, matematika tanár Moszkva, Strogino

Horner-séma - polinom felosztásának módszere

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

a $x-a$ binomiálison. Olyan táblázattal kell dolgozni, amelynek első sora egy adott polinom együtthatóit tartalmazza. A második sor első eleme a $a$ szám lesz, amely a $x-a$ binomiálisból származik:

Miután egy n-edik fokú polinomot elosztunk egy $x-a$ binomimmal, egy olyan polinomot kapunk, amelynek foka eggyel kisebb, mint az eredeti, azaz. egyenlő: $n-1$. A Horner-séma közvetlen alkalmazását a legkönnyebben példákkal szemléltethetjük.

1. számú példa

Osszuk el $5x^4+5x^3+x^2-11$-t $x-1$-ral Horner séma szerint.

Készítsünk egy kétsoros táblázatot: az első sorba írjuk fel a $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinom együtthatóit, a $x$ változó hatványainak csökkenő sorrendjében. Vegyük észre, hogy ez a polinom nem tartalmazza első fokon $x$-t, azaz. $x$ együtthatója az első hatványhoz 0. Mivel osztunk $x-1$-tal, a második sorba írunk egyet:

Kezdjük el kitölteni az üres cellákat a második sorban. A második sor második cellájába írjuk a $5$ számot, egyszerűen áthelyezve az első sor megfelelő cellájából:

Töltsük ki a következő cellát a következő elv szerint: $1\cdot 5+5=10$:

Ugyanígy töltsük ki a második sor negyedik celláját: $1\cdot 10+1=11$:

Az ötödik cellához ezt kapjuk: $1\cdot 11+0=11$:

És végül az utolsó, hatodik cellához a következőt kapjuk: $1\cdot 11+(-11)=0$:

A probléma megoldva, csak le kell írni a választ:

Amint láthatja, a második sorban található számok (egy és nulla között) a polinom együtthatói, amelyeket $5x^4+5x^3+x^2-11$ elosztása után $x-1$-tal kapunk. Természetesen, mivel az eredeti $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinom fokszáma négy volt, a kapott $5x^3+10x^2+11x+11$ polinom fokszáma egy kevesebb, azaz . egyenlő hárommal. A második sorban lévő utolsó szám (nulla) a maradékot jelenti, amikor a $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinomot elosztjuk $x-1$-tal. Esetünkben a maradék nulla, azaz. a polinomok egyenletesen oszthatók. Ez az eredmény a következőképpen is jellemezhető: a $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinom értéke $x=1$ esetén nullával egyenlő.

A következtetés így is megfogalmazható: mivel a $5x^4+5x^3+x^2-11$ polinom értéke $x=1$-nál egyenlő nullával, ezért egység a polinom gyöke. 5x^4+5x^3+ x^2-11$.

2. példa

Osszuk el a $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinomot $x+3$-val a Horner-séma segítségével.

Rögtön rögzítsük, hogy a $x+3$ kifejezést $x-(-3)$ formában kell megadni. Horner programja pontosan -3 dollárt fog tartalmazni. Mivel az eredeti $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinom foka néggyel egyenlő, így az osztás eredményeként egy harmadik fokú polinomot kapunk:

Az eredmény azt jelenti

$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

Ebben az esetben a maradék, amikor $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$-t elosztunk $x+3$-tal, 4$ lesz. Vagy ami ugyanaz, a $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ polinom értéke $x=-3$ esetén megegyezik $4$-tal. Ez egyébként könnyen ellenőrizhető, ha az adott polinomba közvetlenül behelyettesítjük a $x=-3$-t:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Azok. A Horner-séma akkor használható, ha egy változó adott értékéhez meg kell találni a polinom értékét. Ha az a célunk, hogy egy polinom összes gyökerét megtaláljuk, akkor a Horner-séma egymás után többször is alkalmazható, amíg az összes gyöket kimerítettük, a 3. példában leírtak szerint.

3. példa

Keresse meg a $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinom összes egész gyökét a Horner-séma segítségével.

A szóban forgó polinom együtthatói egész számok, és a változó legmagasabb hatványának együtthatója (azaz $x^6$) egyenlő eggyel. Ebben az esetben a polinom egész gyökeit kell keresni a szabad tag osztói között, azaz. a 45 szám osztói között. Adott polinomhoz ilyen gyökök lehetnek a $45 számok; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 dollár és -45 dollár; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 $. Ellenőrizzük például a $1$ számot:

Amint látja, a $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinom értéke $x=1$ értékkel egyenlő: 192$ (az utolsó szám a második sorban), és nem $0 $, ezért ennek a polinomnak nem az egység a gyöke. Mivel az egyik ellenőrzése nem sikerült, ellenőrizzük a $x=-1$ értéket. Ehhez nem hozunk létre új táblát, hanem továbbra is a táblát használjuk. 1. sz., új (harmadik) sor hozzáadásával. A második sor, amelyben az 1$ értékét ellenőrizték, pirossal lesz kiemelve, és nem használjuk fel a további vitákban.

Természetesen egyszerűen újraírhatja a táblázatot, de a manuális kitöltése sok időt vesz igénybe. Ezen túlmenően előfordulhat, hogy több szám ellenőrzése sikertelen lesz, és nehéz minden alkalommal új táblázatot írni. Amikor „papíron” számolunk, a piros vonalak egyszerűen áthúzhatók.

Tehát a $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinom értéke $x=-1$-nál egyenlő nullával, azaz. a $-1$ szám ennek a polinomnak a gyöke. Miután a $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ polinomot elosztjuk a $x-(-1)=x+1$ binomimmal, megkapjuk a $x polinomot. ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, melynek együtthatói a táblázat harmadik sorából származnak. 2. sz. (lásd az 1. példát). A számítások eredménye ebben a formában is bemutatható:

\begin(egyenlet)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(egyenlet)

Folytassuk az egész gyökök keresését. Most meg kell keresnünk a $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ polinom gyökereit. Ismét ennek a polinomnak az egész gyökét keressük a szabad tagjának osztói között, a $45$ számok között. Próbáljuk meg újra ellenőrizni a $-1$ számot. Nem hozunk létre új táblát, hanem továbbra is az előző táblát használjuk. 2. sz., azaz Adjunk hozzá még egy sort:

Tehát a $-1$ szám a $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ polinom gyöke. Ezt az eredményt így írhatjuk fel:

\begin(egyenlet)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(egyenlet)

Az egyenlőség (2) figyelembevételével az (1) egyenlőség a következő formában írható át:

\begin(egyenlet)\begin(igazított) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(igazított)\end(egyenlet)

Most meg kell keresnünk a $x^4-22x^2+24x+45$ polinom gyökereit - természetesen szabad tagjának osztói között (a $45$ számok). Ellenőrizzük még egyszer a $-1$ számot:

A $-1$ szám a $x^4-22x^2+24x+45$ polinom gyöke. Ezt az eredményt így írhatjuk fel:

\begin(egyenlet)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(egyenlet)

A (4) egyenlőséget figyelembe véve átírjuk a (3) egyenlőséget a következő formában:

\begin(egyenlet)\begin(igazított) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(igazított)\end(egyenlet)

Most a $x^3-x^2-21x+45$ polinom gyökereit keressük. Ellenőrizzük még egyszer a $-1$ számot:

Az ellenőrzés sikertelenül végződött. Jelöljük ki pirossal a hatodik sort, és próbáljunk meg ellenőrizni egy másik számot, például a $3$ számot:

A maradék nulla, ezért a $3$ szám a szóban forgó polinom gyöke. Tehát $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Most az (5) egyenlőség a következőképpen írható át.

3. dia

Horner Williams George (1786-1837.9.22) - angol matematikus. Bristolban született. Ott tanult és dolgozott, majd Bath iskoláiban. Alapvető algebrai munkák. 1819-ben közzétett egy módszert a polinom valós gyökeinek közelítő kiszámítására, amelyet ma Ruffini-Horner módszernek neveznek (ezt a módszert a kínaiak már a 13. században ismerték) A polinom x-a binomimmal való osztásának sémája az ún. Horner után.

4. dia

HORNER RENDSZER

Osztási módszer n-edik polinom fok lineáris binomiálison - a, abból a tényből kiindulva, hogy a hiányos hányados és a maradék együtthatói az osztható polinom együtthatóihoz kapcsolódnak és a képletekkel:

5. dia

A Horner-séma szerinti számítások a táblázatban találhatók:

Példa 1. Osztás A parciális hányados x3-x2+3x - 13, a maradék pedig 42=f(-3).

6. dia

Ennek a módszernek a fő előnye a jelölés tömörsége és az a képesség, hogy egy polinomot gyorsan binomiálisra oszthatunk. Valójában Horner séma a csoportosítási módszer rögzítésének egy másik formája, bár ez utóbbitól eltérően teljesen nem vizuális. A választ (faktorizálás) itt magától megkapjuk, és nem látjuk a megszerzésének folyamatát. Nem fogunk belemenni Horner sémájának szigorú alátámasztásához, csak megmutatjuk, hogyan működik.

7. dia

2. példa

Bizonyítsuk be, hogy a P(x)=x4-6x3+7x-392 polinom osztható x-7-tel, és keressük meg az osztás hányadosát. Megoldás. Horner sémáját használva P(7): Innen kapjuk, hogy P(7)=0, azaz. a maradék, ha egy polinomot elosztunk x-7-tel, egyenlő nullával, ezért a P(x) polinom (x-7) többszöröse. P(x) hányadosa osztva (x-7), ezért P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

8. dia

Tényező a polinom x3 – 5x2 – 2x + 16.

Ennek a polinomnak egész együtthatói vannak. Ha ennek a polinomnak egy egész szám a gyöke, akkor az osztója a 16-nak. Így ha egy adott polinomnak vannak egész gyökei, akkor ezek csak a ±1 számok lehetnek; ±2; ±4; ±8; ±16. Közvetlen verifikációval meggyőződünk arról, hogy a 2-es szám a gyöke ennek a polinomnak, azaz x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), ahol Q(x) egy másodfokú polinom.

9. dia

Az így kapott 1, −3, −8 számok annak a polinomnak az együtthatói, amelyet úgy kapunk, hogy az eredeti polinomot elosztjuk x – 2-vel. Ez azt jelenti, hogy az osztás eredménye: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Az osztás eredményeként kapott polinom foka mindig 1-gyel kisebb, mint az eredetié. Tehát: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) (x2 – 3x – 8).

Az óra céljai:

• tanítsa meg a tanulókat egyenletek megoldására magasabb fokozatok Horner sémájának felhasználásával;
• fejleszteni a páros munkavégzés képességét;
• a kurzus fő részeivel együtt alapot teremt a tanulók képességeinek fejlesztéséhez;
• segítse a tanulót abban, hogy felmérje lehetőségeit, fejleszthesse a matematika iránti érdeklődését, gondolkodási képességét, és megszólaljon a témában.

Felszerelés: kártyák csoportmunkához, poszter Horner diagramjával.

Oktatási módszer: előadás, mese, magyarázat, gyakorló gyakorlatok elvégzése.

Az ellenőrzés formája: feladatok ellenőrzése önálló döntés, önálló munkavégzés.

Az órák alatt

1. Szervezeti mozzanat

2. A tanulók tudásának frissítése

Melyik tétel teszi lehetővé annak meghatározását, hogy egy szám egy adott egyenlet gyöke-e (tételt fogalmazz meg)?

Bezout tétele. A maradék, ha a P(x) polinomot osztjuk vele binomiális x-c egyenlő P(c), a c számot a P(x) polinom gyökének nevezzük, ha P(c)=0. A tétel lehetővé teszi az osztási művelet végrehajtása nélkül annak meghatározását, hogy egy adott szám egy polinom gyöke-e.

Milyen állítások teszik könnyebbé a gyökerek megtalálását?

a) Ha egy polinom vezető együtthatója eggyel egyenlő, akkor a polinom gyökét a szabad tag osztói között kell keresni.

b) Ha egy polinom együtthatóinak összege 0, akkor az egyik gyöke 1.

c) Ha a páros helyeken lévő együtthatók összege egyenlő a páratlan helyeken lévő együtthatók összegével, akkor az egyik gyök egyenlő -1-gyel.

d) Ha minden együttható pozitív, akkor a polinom gyökei negatív számok.

e) A páratlan fokú polinomnak legalább egy valós gyöke van.

3. Új anyag elsajátítása

A teljes algebrai egyenletek megoldásánál meg kell találni a polinomok gyökeinek értékét. Ez a művelet jelentősen leegyszerűsíthető, ha a számításokat egy speciális, Horner-séma nevű algoritmussal végezzük. Ezt az áramkört William George Horner angol tudósról nevezték el. A Horner-séma egy algoritmus a P(x) polinom x-c-vel való osztásának hányadosának és maradékának kiszámítására. Röviden, hogyan működik.

Legyen adott egy tetszőleges P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n polinom. Ha ezt a polinomot elosztjuk x-c-vel, akkor a P(x)=(x-c)g(x) + r(x) formában jelenik meg. Részleges g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, ahol 0-ban =a 0, n-ben =st n-1 +a n n=1,2,3,…n-1. Maradék r(x)= st n-1 +a n. Ezt a számítási módszert Horner-sémának nevezik. Az algoritmus nevében a „séma” szó annak köszönhető, hogy a megvalósítása általában a következőképpen van formázva. Először rajzolja meg a 2(n+2) táblázatot. A bal alsó cellába írja be a c számot, a felső sorba pedig a P(x) polinom együtthatóit. Ebben az esetben a bal felső cella üresen marad.

Az a szám, amelyről az algoritmus végrehajtása után kiderül, hogy a jobb alsó cellába van írva, a P(x) polinom x-c-vel való osztásának maradéka. A többi szám 0-ban, 1-ben, 2-ben,... az alsó sorban a hányados együtthatói.

Például: Osszuk el a P(x)= x 3 -2x+3 polinomot x-2-vel.

Azt kapjuk, hogy x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. A tanult anyag konszolidálása

1. példa: Tényezősítse a P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 polinomot egész együtthatós tényezőkké.

Egész gyököket keresünk a szabad tag -1: 1 osztói között; -1. Készítsünk egy táblázatot:

X = -1 – gyök

P(x)= (x+1) (2x3 -9x2 +6x-1)

Ellenőrizzük 1/2.

Ezért a P(x) polinom alakban ábrázolható

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

2. példa: Oldja meg a 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 egyenletet

Mivel az egyenlet bal oldalára írt polinom együtthatóinak összege nulla, akkor az egyik gyöke 1. Használjuk a Horner-sémát:

Azt kapjuk, hogy P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). A 2. szabad tag osztói között keresünk gyökereket.

Megtudtuk, hogy nincs több ép gyökér. Ellenőrizzük 1/2; -1/2.

Válasz: 1; -1/2.

3. példa: Oldja meg az 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0 egyenletet.

Ennek az egyenletnek a gyökereit az 5: 1;-1;5;-5 szabad tag osztói között fogjuk keresni. x=1 az egyenlet gyöke, mivel az együtthatók összege nulla. Használjuk Horner sémáját:

Mutassuk be az egyenletet három tényező szorzataként: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Döntés másodfokú egyenlet 5x 2 -7x+5=0, D=49-100=-51-et kaptunk, nincs gyök.

1. kártya

1. A polinom tényezője: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Oldja meg az egyenletet: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2. kártya

1. A polinom tényezője: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Oldja meg az egyenletet: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

3. kártya

1. Tényező: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Oldja meg az egyenletet: x 3 -2x 2 +4x-8=0

4. kártya

1. Tényező: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Oldja meg az egyenletet: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Összegzés

Az ismeretek tesztelése a páros megoldásnál a tanórán történik a cselekvés módjának és a válasz nevének felismerésével.

Házi feladat:

Oldja meg az egyenleteket:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Irodalom

1. N.Ya. Vilenkin és mtsai, Algebra és az elemzés kezdetei, 10. évfolyam (matematika elmélyült tanulmányozása): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Szaharcsuk, L.S. Sagatelova, Magasabb fokú egyenletek megoldása: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov, Számrendszerek és alkalmazásuk.