Polinom szorzása monommal. Polinom szorzása monomimmal - Knowledge Hypermarket

Algebra óra 7. osztályban

A LECKE CÉLKITŰZÉSEI

OKTATÁS: fogalmazza meg a monom és a polinom szorzásának definícióját; fejleszti a monomokkal és polinomokkal való munkavégzés készségeit.

FEJLESZTÉS: fejleszti a kognitív, mentális tevékenység készségeit, logikus gondolkodás, fejlessze az elemzési és összehasonlítási képességet.

OKTATÁS: a kognitív tevékenység, a felelősségvállalás elősegítése; aktiválja a mentális tevékenységet az önálló munkavégzés során.

FELSZERELÉS

Multimédiás projektor, kártyák differenciált feladatokkal, Matematikai Lotto kártyák, kártyák önálló munkával, Pontozólap.

ÓRA TÍPUSA

Kombinált.

ÓRA FELÉPÍTÉSE

Motivációs beszélgetés.

Vizsgálat házi feladat. Egyéni munka kártyákkal.

Az alapismeretek felfrissítése játékos formában végzett szóbeli munka, melynek segítségével az ismeretek rendszerezése alapján alapvető tények, tulajdonságok ismétlődnek.

Új anyag tanulmányozása - beszélgetés közben a tanulók megfogalmazzák a monom és a polinom szorzásának szabályát.

A tanult anyag konszolidációja.

Fizikai szünet.

Önálló munkavégzés önellenőrzéssel.

Visszaverődés.

Házi feladat.

Óra összefoglalója.

AZ ÓRÁK ALATT

SZERVEZÉSI IDŐ 1.,2. dia.

Tanár: Sziasztok srácok! Ma leckénk mottója a legnagyobb ősök szavai lesz kínai filozófus Konfuciusz: „Három út vezet a tudáshoz: a reflexió útja a legnemesebb út, az utánzás útja a legkönnyebb út, és a tapasztalat útja a legkeserűbb út.” Te és én követjük a nemes utat. Tanuljunk továbbra is gondolkodni, racionális megoldásokat találni és gondolatainkat kifejezni. Sok szerencsét!

Ma a leckében értékeli tevékenységeit az „Értékelő lapokon”.

Tanulói értékelő lap ______________________________

	A lecke lépései	Jelölje meg a munkát
	Házi feladat
	Egyéni munka kártyán
	„Matematikai lottó” szóbeli munka
	Új anyagok tanulása
	Konszolidáció. Munka a tankönyvből
	Munka a 630. számú csoportban
	Önálló munkavégzés
	Visszaverődés
	Hogyan értékeli a munkában való részvételét?
	Hogyan értékeli tudását a témában?
	Milyen témákat kell ismételned a sikerhez?
	Hatványok szorzása azonos alapokkal.
	Polinom hasonló tagjainak redukálása.
	Monomiálisok szorzása.
	Zárójelek bővítése „+” és „-” jelekkel

1. ELMÉLETI ANYAG ISMÉTELÉSE A „MONOMIÁL” TÉMÁBÓL. POLINOMILOK"

Házi feladat ellenőrzése. (három tanuló egy előre elkészített táblán reprodukálja az otthoni számok megfejtését. A kitöltöttség ellenőrzése után az osztály tanulói további kérdést tesznek fel, és pont jár.)

Egyéni munka kártyákkal. (1. melléklet)

№ 601. 3. dia.

2. Szóbeli munka. " Matematikai lottó.

Tanár: Srácok, tudtok lottózni? Párban végzed a munkát. Az asztalon egy „matematikai lottó” asztal van. Húzd át a helyes válaszokat. Kész?

1). Matematikai lottó.

Húzd át a helyes válaszokat.

			10ab + 10b2 - 20b

A tanár felmutatja a kártyákat, a tanulók pedig áthúzzák a helyes válaszokat.

2). Egyszerűsítse kifejezéseit.

A5 ∙ a4 2 6 ∙ 2 9 5a ∙ 3a-2у ∙ 6х4 ab∙ a2

5 x +(8- x) 12a - (2 - 6a) 2 (a - b) - a2 (4 a - 1) 10 b (a + b - 2)

Tanár: Srácok, ellenőrizze, hogy jól teljesítette-e ezt a feladatot? 4. dia.

Milyen kifejezések maradtak? (Diákok: „monomiálisok és polinomok”)

Milyen műveleteket tud végrehajtani polinomokkal és monomokkal? (A tanulók: „összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványra emelés”).

Olvassa el a kifejezéseket: 5x + (8 - x); 12 - (2 - 6a) (a tanár mágnessel rögzíti a táblához)

Mely kifejezések okoztak nehézséget az egyszerűsítés során? Miért? (Diákok: "2(a-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), nem tudjuk, hogyan egyszerűsítsük le az ilyen típusú kifejezéseket."

Olvasd el ezeket a kifejezéseket. (2(a-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), mágnessel rögzítve a táblához)

Hogyan nevezzük azokat a kifejezéseket, amelyek a zárójel előtt állnak? (Diákok: „monomiálisok”)

Hogy hívják a zárójelben lévő kifejezéseket? (Diákok: „polinomok”)

Mit gondolsz, mit fogsz tanulni ma az órán? (Diákok: „szorozzuk meg a monomot polinommal”)

Fogalmazd meg az óra témáját, és írd le a füzetedbe. (Diákok: „Egy monom szorzása polinommal”) 5. dia.

Hogyan lehet leegyszerűsíteni ezeket a kifejezéseket? Ki tudna megszorozni egy monomot polinommal? Milyen tudásra támaszkodtál? (hallgatva a tanulók válaszait).

Ma megtanulod, hogyan hajts végre egy másik konverziót algebrai kifejezések, keresse meg egy monom és egy polinom szorzatát.

3. ÚJ ANYAG TANULMÁNYOZÁSA 6.7. dia.

Tanár: Írd le a füzetedbe a 7m6(m3 - m2 - 2)= kifejezést

Milyen szabályokat kell tudnod ahhoz, hogy egy monomit polinommal szorozz? (Diákok: „elosztó tulajdonság, hatványok szorzása azonos alapokkal, pozitív és negatív számok szorzása”)

Írja fel a következő -3a2 (4a3 - a + 1)= kifejezést

Milyen szabályokat kell tudnod ahhoz, hogy egy monomit polinommal szorozz?

Fogalmazza meg a szabályt egy monom és egy polinom szorzására! (Diákok: „A monom és a polinom szorzásához meg kell szorozni a monomot a polinom minden tagjával”)

Szép munka! Olvassa el témánk meghatározását a tankönyvben.

4. TANNYAG KIALAKÍTÁSA (tankönyvvel való munka)

8. dia.

614. sz. (a, b, c) - tanulók a táblára magyarázattal;

618. sz. (d) - tanár a tanulókkal;

A) 1. sor (1 tanuló a táblán),

B) 2. sor (1 tanuló a táblán),

B) 3. sor (1 tanuló a táblán);

630. sz. (csoportos munka)

Tanár: Az asztalaidra bögrék vannak ragasztva, különböző színűek (6 különböző színek egyenként 4 bögre). A 630-as szám betűi rá vannak írva. Nézd, keresd meg a feladatot a tankönyvben. A körökön lévő betűk a csoportod tagjai. Végezze el a feladatot.

(a munka befejezése után minden csoport kommentálja a válaszokat, ellenőrzi és kijavítja a hibákat)

Szép munka, sikeresen elvégezte ezt a munkát. Ne feledkezzünk meg a „pontozólapról”.

5. PHYSPAUSE 9. dia.

Gyorsan felálltak, mosolyogtak,

Egyre feljebb húzták magukat.

Nos, egyenesítsd ki a válladat,

Emelje fel, engedje le.

Fordulj jobbra, fordulj balra,

Érintse meg a kezét a térdével.

Leültek, felálltak, leültek, felálltak,

És a helyszínen futottak.

A fiatalok veled tanulnak

Fejleszd az akaratot és a találékonyságot egyaránt.

6. ÖNÁLLÓ MUNKA (két változatban, új anyag beépülésének ellenőrzésére)

Tanár: Az Ön asztalán önálló munkához szükséges feladatok vannak. Végezze el a javasolt feladatot.

1.opció.

A) _____ (x-y) = 4bx - 4by.

B) _____ (5a + b) = 10

B) _____(x - 2) = x

D) ______(c - m + b) = -ayc + aym - ayb.

2. lehetőség.

A tanuló megszorzott egy monomot egy polinommal, ami után a monomit törölte. Állítsa vissza:

A) _____(x-y) = 9ax - 9ay.

B) _____(2a + b) = 2

B) ______(x - ) = x

D) _____(x + y - a) = -bcx - bcy + bca.

Tanár: Ellenőrizze, hogy a feladat helyesen lett-e kitöltve. 10. dia.

8. REFLEKCIÓ 11. dia.

Hogyan értékeli az órán való részvételt?

Hogyan értékeli tudását egy új témában?

Milyen témákat kell megismételni ahhoz, hogy sikeresek legyünk a jövőben?

9. HÁZI FELADAT 12. dia.

10. AZ ÓRA EREDMÉNYE.

Srácok, ma nagyon jól dolgoztatok az órán, aktívak voltatok és segítettétek egymást. Nyújtsa be pontozólapjait. Kártyák önálló munkával. A következő órán tanári értékeléssel kapja meg őket.

Köszönet mindenkinek! Viszontlátásra! 13. dia.

1. számú melléklet.

1. számú kártya

1. Adja meg a polinom hasonló tagjait!

A) 5x + 6y - 3x - 12y = _______________________________________________.

B) 3ab + 7b + 12b - ab = ______________________________________________.

B) 3t2 - 5t + 11 - 3t2 + 5t = _____________________________________________.

2. Fejezd ki a kifejezést hatványként!

A) b13 ∙b ∙ b7 = __________________.

B) (x3)2 ∙ x4 = _______________________.

2. számú kártya

1. Bontsa ki a zárójeleket a szabály segítségével.

A) 6a + (x + 3a - 1) = ______________________________________.

B) 5y - (2x - a + b) = __________________________________________.

2. Egyszerűsítse a kifejezést:

a) (x3)2 ∙ x4 =_________________________________________.

B) (a3 ∙ a5)4 = _____________________________________________

B) (c6)8: (c7)5 = ___________________________________________________

3. számú kártya

Egyszerűsítse a kifejezést:

(8c2 + 3c) + (-7c2 - 11c + 3) - (-3c2 - 4) = _________________________________________________________________.

2. Számítsa ki:

A) 43 ∙ 53 = _______________;

B) = _______________________.

4. számú kártya.

1. Adja össze a polinomokat, és vezessen oda! standard nézet:

A) 12y2 + 8y - 11 és 3y2 - 6y + 3;

Különböztesse meg a polinomokat, és állítsa szabványos formába:

B) a2 - 5ab - b2 és a2 + b2.

Egyszerűsítés:

x15: x5 ∙ x7 = ______________________.

Irodalom

1. Algebra: tankönyv 7. évfolyamnak / Yu N. Makarychev [stb.]; szerkesztette: S. A. Telyakovsky - M.: Oktatás, 2014
2. Didaktikai anyagok algebrában a 7. osztály számára / L. P. Zvavich, L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova. - M.: Oktatás, 1012
3. Órafejlesztések az algebrában. 7. évfolyam / A. N. Rurukin, G. V. Lupenko, I. A. Maslennikova. - M.: VAKO, 2007
4. Nyitott órák algebra. 7-8 évfolyam / N. L. Barsukova. - M.: VAKO, 2013

1. § Polinom szorzása monommal

A polinomok szorzásakor kétféle művelettel foglalkozhatunk: egy polinomot egy monommal és egy polinomot egy polinommal. Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan kell szorozni egy polinomot egy monommal.

A polinom monomimmal való szorzásakor használatos alapszabály a szorzás eloszlási tulajdonsága. Emlékezzünk:

Ha egy összeget meg szeretne szorozni egy számmal, minden tagot megszorozhat ezzel a számmal, és összeadhatja a kapott szorzatokat.

A szorzásnak ez a tulajdonsága a kivonás műveletére is érvényes. A szó szerinti jelölésben a szorzás eloszlási tulajdonsága így néz ki:

(a + b) ∙ c = ac + bc

(a - b) ∙ c = ac - bc

Vegyünk egy példát: szorozzuk meg az (5ab - 3a2) polinomot a 2b monommal.

Vezessünk be új változókat és jelöljük az 5ab-t x, a 3a2-t y-vel, a 2b-t c-betűvel. Akkor a példánk így fog kinézni:

(5аb - 3а2) ∙ 2b = (x - y) ∙с

Az elosztási törvény szerint ez egyenlő xc - yc-vel. Most térjünk vissza az új változók eredeti jelentéséhez. Kapunk:

5аb∙2b - 3а2∙2b

Most hozzuk a kapott polinomot szabványos alakba. Megkapjuk a kifejezést:

Így a szabály megfogalmazható:

Ha egy polinomot meg szeretne szorozni egy monommal, a polinom minden tagját meg kell szoroznia ezzel a monommal, és össze kell adnia a kapott szorzatokat.

Ugyanez a szabály érvényes egy monom és egy polinom szorzásakor is.

2. § Példák az óra témájára

A polinomok gyakorlati szorzásakor a kapott előjelek meghatározásával való összetévesztés elkerülése érdekében ajánlatos először meghatározni és azonnal felírni a szorzat előjelét, majd csak ezután keressük meg és írjuk fel a számok és változók szorzatát. Így néz ki konkrét példákkal.

1. példa (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).

Itt az -5ab monomiumot meg kell szorozni két, a polinomot alkotó monommal, a 4a2b-vel és a -2a-val. Az első darabon „-”, a második darabon „+” jel lesz. Tehát a megoldás így fog kinézni:

(4a2b - 2a) ∙ (-5ab) = - 4a2b ∙ 5ab + 2a ∙ 5ab = -20a3b2 + 10a2b

2. példa -xy(2x - 3y +5).

Itt három szorzási műveletet kell végrehajtanunk, ahol az első szorzat jele „-”, a második „+” és a harmadik „-” jele. A megoldás így néz ki:

Xy(2x - 3y + 5) = -xy∙2x + xy∙3y - xy∙5 = -2x2y + 3xy2 - 5xy.

A felhasznált irodalom listája:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. osztály 2 részben, 1. rész, Tankönyv a oktatási intézmények/ A.G. Mordkovich. – 10. kiadás, átdolgozott – Moszkva, „Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. osztály 2 részben, 2. rész, Problémakönyv oktatási intézmények számára / [A.G. Mordkovich és mások]; szerkesztette: A.G. Mordkovich - 10. kiadás, átdolgozott - Moszkva, „Mnemosyne”, 2007
3. NEKI. Tulchinskaya, Algebra 7. osztály. Blitz felmérés: kézikönyv általános oktatási intézmények tanulói számára, 4. kiadás, átdolgozva és bővítve, Moszkva, „Mnemosyne”, 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. osztály. Tematikus tesztelő munka V új formaáltalános oktatási intézmények tanulói számára, szerkesztette A.G. Mordkovich, Moszkva, „Mnemosyne”, 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. osztály. Önálló munkavégzésáltalános oktatási intézmények tanulói számára, szerkesztette A.G. Mordkovich - 6. kiadás, sztereotip, Moszkva, „Mnemosyne”, 2010

Cél:

1. Biztosítani kell a kezdeti ismeretek asszimilációját „Egy monom szorzása polinommal” témában;
2. Fejleszti az elemző-szintetizáló gondolkodást;
3. Tanulási motívumok és a tudáshoz való pozitív hozzáállás kialakítása.

Az osztálycsapat egyesítése.

Feladatok:

1. Ismerkedjen meg a monom és a polinom szorzásának algoritmusával;
2. Ledolgoz gyakorlati használat algoritmus.

Felszerelés: feladatkártyák, számítógép, interaktív projektor.

Az óra típusa: kombinált.

Az órák alatt

I. Szervezési pont:

Sziasztok srácok, üljetek le.

Ma folytatjuk a „Polinomok” rész tanulmányozását, leckénk témája: „Egy monom szorzása polinommal”. Nyissa ki a jegyzetfüzeteit, és írja le a „Monóm szorzása polinommal” című lecke számát és témáját.

Leckénk célja, hogy levezetjük a monom és a polinom szorzásának szabályát, és megtanuljuk alkalmazni a gyakorlatban. A ma megszerzett ismeretekre a teljes algebratanfolyam tanulmányozása során szükséged van.

Az asztalodon nyomtatványok vannak, amelyekre az egész óra során szerzett pontjaidat rögzítjük, és az eredmények alapján osztályzatot adunk. A pontokat hangulatjelek formájában fogjuk ábrázolni. ( 1. számú melléklet)

II. A tanulók felkészítésének szakasza az új tananyag aktív és tudatos tanulására.

Új téma tanulmányozásakor szükségünk lesz azokra az ismeretekre, amelyeket az előző leckéken szerzett.

A tanulók kártyák segítségével oldanak meg feladatokat a „Fokozat és tulajdonságai” témakörben. (5-7 perc)

Elülső munka:

1) Két monom van megadva: 12p 3 és 4p 3

a) összeg;
b) különbség;
c) munka;
e) magánszemély;
e) az egyes monomok négyzete.

2) Nevezze meg a polinom tagjait, és határozza meg a polinom fokszámát:

a)5 ab – 7a 2 + 2b – 2,6
b)6 xy 5 + x 2 y - 2

3) Ma szükségünk lesz a szorzás elosztó tulajdonságára.

Fogalmazzuk meg ezt a tulajdonságot és jelölést szó szerinti formában.

III. Az új ismeretek megszerzésének szakasza.

Megismételtük a monomiális monomimmal való szorzás szabályát, a szorzás eloszlási tulajdonságát. Most nehezítsük meg.

Oszd 4 csoportra. Minden csoportnak 4 kifejezése van a kártyákon. Próbálja meg helyreállítani a hiányzó láncszemet, és fejtse ki álláspontját.

• 8x 3 (6x 2 – 4x + 3) = …………………………= 48x 5 – 32x 4 + 24x 3
• 5a 2 (2a 2 + 3a – 7) = ……………………………..= 10a 4 + 15a 3 – 35a 2
• 3y(9y 3 – 4y 2 – 6) = …………………………. =27 év 4 – 12 év 3 – 18 év
• 6b 4 (6b 2 + 4b – 5) = ………….……………= 36b 6 + 24b 5 – 30b 4

(Minden csoportból egy képviselő jön a képernyőhöz, leírja a kifejezés hiányzó részét, és elmagyarázza álláspontját.)

Próbáljon meg egy szabályt (algoritmust) megfogalmazni egy polinom monomimmal való szorzására.

Milyen kifejezést kapunk ezeknek a cselekvéseknek az eredményeként?

A teszteléshez nyissa ki a 126. oldalon található tankönyvet, és olvassa el a szabályt (1 személy felolvassa).

Következtetéseink egybeesnek a tankönyv szabállyal? Írd le a füzetedbe a monom és a polinom szorzásának szabályát.

IV. Rögzítés:

1. Testnevelési perc:

Srácok, dőljön hátra, csukja be a szemét, lazítson, most pihenünk, az izmaink ellazultak, a „monomiális szorzása polinommal” témát tanuljuk.

Emlékezzünk a szabályra, és megismételjük utánam: ha egy monomot polinommal szorozunk, meg kell szorozni a monomot a polinom minden tagjával, és fel kell írni az eredményül kapott kifejezések összegét. Kinyitjuk a szemünket.

2. A 614. számú tankönyv szerinti munka a táblánál és a füzetekben;

a) 2x (x 2 - 7x - 3) = 2x 3 - 14x 2 - 6x
b) -4v 2 (5v 2 – 3v - 2) = -20v 4 + 12v 3 + 8v 2
c) (3a 3 – a 2 + a) (- 5a 3) = -15a 6 + 5a 5 – 5a 4
d) (y 2 – 2,4 év + 6) 1,5 év = 1,5 év 3 – 3,6 év 2 + 9 év
e) -0,5x2 (-2x2 - 3x + 4) = x 4 + 1,5x3 - 2x2
e) (-3 év 2 + 0,6 év) (- 1,5 év 3) = 4,5 év 5 - 0,9 év 4

(A számozás során a legjellemzőbb hibákat elemezzük)

3. Versenyzés opciók szerint (a piktogram dekódolása). (2. függelék)

1.opció:		2. lehetőség:
1) -3x2 (-x3 +x-5) 2) 14 x(3 xy 2 – x 2 y + 5) 3) -0,2 m 2 n(10 mn 2 – 11 m 3 – 6) 4) (3a 3 – a 2 + 0,1a) (-5a 2) 5) 1/2 Val vel(6 Val vel 3 d – 10c 2 d 2) 6) 1,4 p 3 (3q – pq + 5p) 7) 10 x 2 év (5,4 x 7,8 év – 0,4) 8) 3 Ab(a 2 – 2ab + b 2)		1) 3a 4 x (a 2 – 2ah + x 3 – 1) 2) -11a(2a 2b – a 3 + 5b 2) 3) -0,5 x 2 y(xy 3-3x+ y 2) 4) (6b 4 – b 2 + 0,01) (-7b 3) 5) 1/3 m 2 (9 m 3 n 2 – 15 perc) 6) 1,6 c 4 (2 c 2 d – cd + 5 d) 7) 10p 4 (0,7pq – 6,1q – 3,6) 8) 5xy(x 2 – 3xy + x 3)

A feladatok egyedi kártyákon és a képernyőn jelennek meg. Minden tanuló elvégzi a feladatát, keres egy betűt, és felírja a képernyőre az általa átalakított kifejezéssel szemben. Ha a helyes válasz érkezik, akkor a szó: jól sikerült! okos srácok 7a

Ha a számokat különböző betűk jelölik, akkor csak a terméket lehet jelölni; Például meg kell szoroznunk az a számot b számmal - ezt jelölhetjük akár a ∙ b-vel, akár ab-vel, de szó sem lehet arról, hogy ezt a szorzást valahogy elvégezzük. Ha azonban monomokról van szó, akkor 1) az együtthatók jelenlétének és 2) annak, hogy ezek a monomiumok tartalmazhatnak ugyanazokkal a betűkkel jelölt tényezőket, beszélhetünk monomiális szorzásról; Ez a lehetőség még szélesebb polinomoknál. Nézzünk meg néhány olyan esetet, amikor lehetséges a szorzás, kezdve a legegyszerűbbtől.

1. Hatványok szorzása azonos alapokkal. Legyen például egy 3 ∙ a 5. Írjuk le ugyanezt a hatványozás jelentésének ismeretében részletesebben:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Ha ezt a részletes jelölést nézzük, azt látjuk, hogy van egy írott 8-szoros tényező, vagy röviden egy 8 . Tehát a 3 ∙ a 5 = a 8.

Legyen b 42 ∙ b 28 szükséges. Először a b faktort 42-szer, majd ismét a b tényezőt 28-szor kellene felírnunk - általában azt kapnánk, hogy b-t 70-szeres tényezőnek vesszük. azaz b 70. Tehát b 42 ∙ b 28 = b 70. Innen már világos, hogy ha azonos bázisú hatványokat szorozunk, a fokszám alapja változatlan marad, és a hatványok kitevői összeadódnak. Ha van 8 ∙ a, akkor szem előtt kell tartanunk, hogy az a tényező 1 kitevőjét jelenti („a az első hatványhoz”), tehát a 8 ∙ a = a 9.

Példák: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 stb.

Néha olyan hatványokkal kell számolni, amelyek kitevőit betűk jelzik, például xn (x n hatványához). Meg kell szokni az ilyen kifejezések kezelését. Íme, példák:

Hadd magyarázzunk el néhány példát: b n – 3 ∙ b 5 változatlanul hagyni kell a b alapot, és hozzá kell adni a kitevőket, azaz (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Természetesen meg kell tanulnia fejben gyorsan végrehajtani az ilyen kiegészítéseket.

Egy másik példa: x n + 2 ∙ x n – 2, – az x alapot változatlanul kell hagyni, és hozzá kell adni a kitevőt, azaz (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Most már kifejezheti a fent talált sorrendet, hogyan kell végrehajtani a hatványok szorzását azonos alapokon, az egyenlőséggel:

a m ∙ a n = a m + n

2. Egy monom szorzata egy monomimmal. Legyen például szükséges 3a²b³c ∙ 4ab²d². Látjuk, hogy itt egy szorzást egy pont jelzi, de tudjuk, hogy ugyanaz a szorzási jel van 3 és a² között, a² és b³ között, b³ és c között, 4 és a között, a és b² között, b² és b² között. d². Ezért itt 8 faktor szorzatát láthatjuk, és ezeket tetszőleges csoportokkal tetszőleges sorrendben megszorozhatjuk. Rendezzük át őket úgy, hogy az azonos bázisú együtthatók és hatványok a közelben legyenek, pl.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Ekkor megszorozhatjuk 1) együtthatókat és 2) hatványokat ugyanazokkal az alapokkal, és 12a³b5cd²-t kapunk.

Tehát egy monomiális szorozásakor ugyanazokkal az alapokkal szorozhatjuk az együtthatókat és hatványokat, de a fennmaradó tényezőket változtatás nélkül át kell írni.

További példák:

3. Polinom szorzása monommal. Tegyük fel, hogy először meg kell szoroznia valamilyen polinomot, például a – b – c + d pozitív egész számmal, például +3-mal. Mert pozitív számok egybeesőnek számítanak az aritmetikaiakkal, akkor ez ugyanaz, mint (a – b – c + d) ∙ 3, azaz a – b – c + d 3-szor felvetve tagnak, ill.

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

azaz ennek eredményeként a polinom minden tagját meg kellett szorozni 3-mal (vagy +3-mal).

Ebből következik:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

vagyis a polinom minden tagját el kellett osztani (+3-mal). Ezenkívül általánosítva a következőket kapjuk:

stb.

Most meg kell szoroznunk (a – b – c + d) egy pozitív törttel, például +-val. Ez ugyanaz, mint szorozni számtani tört, ami azt jelenti, hogy az (a – b – c + d)-ből kell részeket venni. Könnyű kivenni ennek a polinomnak az egyötödét: el kell osztani (a – b – c + d) 5-tel, és már tudjuk, hogyan kell ezt megtenni, és megkapjuk . Továbbra is meg kell ismételni az eredményt 3-szor vagy megszorozni 3-mal, azaz.

Ennek eredményeként azt látjuk, hogy a polinom minden tagját meg kellett szoroznunk +-val vagy +-val.

Most meg kell szoroznunk (a – b – c + d) -vel negatív szám, egész vagy tört,

azaz ebben az esetben a polinom minden tagját meg kellett szorozni –-val.

Így bármilyen m szám is legyen, mindig van (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Mivel minden monom egy szám, itt azt látjuk, hogyan szorozhatunk meg egy polinomot egy monommal – a polinom minden tagját meg kell szoroznunk ezzel a monommal.

4. Polinom szorzása polinommal. Legyen (a + b + c) ∙ (d + e). Mivel d és e számokat jelent, akkor (d + e) ​​bármely számot kifejez.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= a (d + e) ​​+ b (d + e) ​​+ c (d + e)

(ezt így magyarázhatjuk: jogunk van ideiglenesen d + e-t monomiálisnak venni).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

Ebben az eredményben módosíthatja a tagok sorrendjét.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= ad + bd + ed + ae + be + ce,

vagyis ha egy polinomot meg akarunk szorozni egy polinommal, az egyik polinom minden tagját meg kell szorozni a másik polinom minden tagjával. Célszerű (e célból a kapott tagok sorrendjét fent megváltoztattuk), ha az első polinom minden tagját először a második első tagjával (+d-vel), majd a második második tagjával (+-val) megszorozzuk. e), akkor, ha volt, a harmadikkal stb. .d.; ezt követően meg kell tenni a hasonló kifejezések csökkentését.

Ezekben a példákban a binomiálist megszorozzuk a binomiálissal; minden binomiálisban a kifejezések mindkét binomiális betű csökkenő hatványaiba vannak rendezve. Könnyű fejben végrehajtani az ilyen szorzásokat, és azonnal megírni a végeredményt.

Ha megszorozzuk az első binomiális vezető tagját a második vezető tagjával, azaz a 4x²-t 3x-mal, akkor 12x³-ot kapunk a szorzat vezető tagjánál - hasonlóak nyilván nem lesznek. Ezután keressük meg, hogy mely tagok szorzása eredményezi az x betű 1-gyel kisebb fokát, azaz x²-t. Könnyen beláthatjuk, hogy ezeket a kifejezéseket úgy kapjuk meg, hogy az első tényező 2. tagját megszorozzuk a második 1. tagjával, és az első tényező 1. tagját megszorozzuk a második 2. tagjával (a zárójelek a példa erre utal). Ezeket a szorzásokat fejben elvégezni, és ennek a két hasonló tagnak a redukcióját is elvégezni (ami után a –19x² kifejezést kapjuk) nem nehéz. Ekkor észrevesszük, hogy a következő, az x betűt akár 1-gyel kisebb mértékben, azaz x-et is tartalmazó tagot csak úgy kapjuk meg, ha a második tagot megszorozzuk a másodikkal, és nem lesznek hasonlók.

Egy másik példa: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Könnyű példákat is futtatni a fejedben, például a következőket:

A vezető tagot úgy kapjuk meg, hogy a vezető tagot megszorozzuk a vezető taggal, nem lesz hozzá hasonló tag, és ez = 2a³. Ezután megkeressük, mely szorzások eredményeznek a²-es tagokat - az 1. tagot (a²) megszorozzuk a 2. taggal (–5) és a második tagot (–3a) megszorozzuk az 1. taggal (2a) – ezt lentebb zárójelben jelezzük. ; Miután elvégeztük ezeket a szorzásokat, és a kapott tagokat egyesítettük, –11a²-t kapunk. Ezután megkeressük, hogy mely szorzások adnak első fokú a-t – ezeket a szorzásokat zárójelek jelzik a tetején. Ezek kitöltése és a kapott kifejezések egyesítése után +11a-t kapunk. Végül megjegyezzük, hogy a szorzat legalacsonyabb tagját (+10), amely egyáltalán nem tartalmaz a-t, úgy kapjuk meg, hogy az egyik polinom alacsony tagját (–2) megszorozzuk a másik polinom alacsony tagjával (–5).

Egy másik példa: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Mindenböl korábbi példákáltalános eredményt is kapunk: a szorzat vezető tagját mindig a faktorok vezető tagjának szorzásával kapjuk, és ehhez hasonló kifejezések nem létezhetnek; Valamint a szorzat legalacsonyabb tagját a faktorok alacsonyrendű tagjainak szorzatából kapjuk, és ehhez hasonló tagok sem lehetnek.

A fennmaradó tagok, amelyeket úgy kapunk, hogy egy polinomot megszorozunk egy polinommal, hasonlóak lehetnek, és még az is megtörténhet, hogy ezek a tagok kölcsönösen megsemmisülnek, és csak az idősebb és a legfiatalabb marad meg.

Íme, példák:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (csak az eredményt írjuk)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 stb.

Ezek az eredmények figyelemre méltóak és hasznosak megjegyezni.

A szorzás következő esete különösen fontos:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
vagy (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
vagy (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 stb.

Mindezekben a példákban az aritmetikára alkalmazva két szám összegének és különbségének szorzata van, és az eredmény e számok négyzeteinek különbsége.

Ha hasonló esetet látunk, akkor nem kell részletesen elvégezni a szorzást, ahogyan fentebb, hanem azonnal megírhatjuk az eredményt.

Például (3a + 1) ∙ (3a – 1). Itt az első tényező aritmetikai szempontból két szám összege: az első szám 3a, a második 1, a második tényező pedig ugyanazon számok különbsége; ezért az eredménynek a következőnek kell lennie: az első szám négyzete (azaz 3a ∙ 3a = 9a²) mínusz a második szám négyzete (1 ∙ 1 = 1), azaz.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Is

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 stb.

Szóval emlékezzünk

(a + b) (a – b) = a² – b²

azaz két szám összegének és különbségének szorzata egyenlő e számok négyzeteinek különbségével.

Egy polinom polinommal való szorzásának egy speciális esete a polinom monomimmal való szorzása. Ebben a cikkben megfogalmazzuk a művelet végrehajtásának szabályait, és gyakorlati példákon keresztül elemezzük az elméletet.

Polinom monomimmal való szorzásának szabálya

Nézzük meg, mi az alapja a polinomnak a monomimmal való szorzásának. Ez a művelet az összeadáshoz viszonyított szorzás elosztó tulajdonságán alapul. Szó szerint ezt a tulajdonságot a következőképpen írjuk le: (a + b) c = a c + b c (a, b és c– néhány szám). Ebben a bejegyzésben a kifejezés (a + b) c pontosan az (a + b) polinom és a monom szorzata c. Az egyenlőség jobb oldala a · c + b · c a monomok szorzatainak összege aÉs b monomiálisan c.

A fenti érvelés lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a polinom monomimmal való szorzásának szabályát:

1. definíció

A polinom monomimmal való szorzásának műveletéhez a következőket kell tennie:

• írja fel egy polinom és egy monom szorzatát, amelyet szorozni kell;
• megszorozzuk egy polinom minden tagját egy adott monommal;
• keresse meg a kapott termékek összegét.

Magyarázzuk tovább az adott algoritmust.

Egy polinom és egy monom szorzatának képzéséhez az eredeti polinomot zárójelek közé kell tenni; majd szorzójelet helyezünk közé és az adott monom közé. Ha egy monom mínuszjellel kezdődik, akkor azt is zárójelbe kell tenni. Például egy polinom szorzata − 4 x 2 + x − 2és monomiális 7 évírjuk úgy (− 4 x 2 + x − 2) 7 év, és a polinom szorzata a 5 b − 6 a bés monomiális − 3 és 2 tedd a formába: (a 5 b − 6 a b) (− 3 a 2).

Az algoritmus következő lépése, hogy a polinom minden tagját megszorozzuk egy adott monommal. A polinom összetevői monomiumok, azaz. Lényegében meg kell szoroznunk egy monomit egy monomimmal. Tegyük fel, hogy az algoritmus első lépése után megkaptuk a kifejezést (2 x 2 + x + 3) 5 x, akkor a második lépés a polinom minden tagjának szorzása 2 x 2 + x + 3 monomimmal 5 x, így kapjuk: 2 x 2 5 x = 10 x 3, x 5 x = 5 x 2 és 3 5 x = 15 x. Az eredmény 10 x 3, 5 x 2 és méretű monomok lesz 15 x.

Az utolsó művelet a szabály szerint a kapott termékek hozzáadása. A javasolt példából, miután befejeztük az algoritmus ezen lépését, a következőket kapjuk: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

Szabványként minden lépés egyenlőségek láncaként van felírva. Például egy polinom szorzatának megtalálása 2 x 2 + x + 3és monomiális 5 xírjuk így: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x. A második lépés közbenső számításának kiiktatásával, rövid megoldás a következőképpen formázható: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

A figyelembe vett példák lehetővé teszik az észrevételt fontos árnyalat: Egy polinom és egy monom szorzata polinomot eredményez. Ez az állítás minden szorozható polinomra és monomióra igaz.

Analógia útján egy monom polinommal való szorzását hajtjuk végre: egy adott monomot megszorozunk a polinom minden tagjával, és a kapott szorzatokat összeadjuk.

Példák polinom monomimmal való szorzására

1. példa

Meg kell találni a terméket: 1, 4 · x 2 - 3, 5 · y · - 2 7 · x.

Megoldás

A szabály első lépése már megtörtént - a munka rögzítésre került. Most a következő lépést úgy hajtjuk végre, hogy a polinom minden tagját megszorozzuk az adott monommal. BAN BEN ebben az esetben Célszerű először a tizedes törteket közönséges törtekké konvertálni. Akkor kapjuk:

1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = 1, 4 x 2 - 2 7 x - 3, 5 y - 2 7 x = = - 1, 4 2 7 x 2 x + 3, 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y

Válasz: 1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y.

Tisztázzuk, hogy ha az eredeti polinomot és/vagy monomit nem szabványos formában adjuk meg, akkor a szorzatuk megtalálása előtt célszerű ezeket szabványos alakra redukálni.

2. példa

Adott polinom 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2és monomiális − 0 5 · a · b · (− 2) · a. Meg kell találni a munkájukat.

Megoldás

Látjuk, hogy a forrásadatokat nem szabványos formában jelenítjük meg, ezért a további számítások megkönnyítése érdekében szabványos formában tesszük őket:

− 0, 5 · a · b · (− 2) · a = (− 0, 5) · (− 2) · (a · a) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 · a) − 2 · a 2 = 1 + 4 · a − 2 · a 2

Most szorozzuk meg a monomit a 2 b a polinom minden tagjára 1 + 4 · a - 2 · a 2

a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

A kiindulási adatokat nem tudtuk szabványos formára redukálni: a megoldás körülményesebb lenne. Ahol utolsó lépés szükség lenne ilyen tagok hozására. A megértés érdekében itt van egy megoldás a következő séma szerint:

− 0, 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = = − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · 3 − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · a − 0, 5 · a · · b · (− 2) · a · (− 2 · a 2) − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · 3 · a − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · (− 2) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Válasz: − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt