Sztárhírek
Természetes törtek összeadása különböző nevezőkkel. Hogyan adjunk össze különböző nevezőkkel rendelkező törteket
Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.
Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy Zénón apóriáját tartották. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a mai napig folynak a viták a tudományos közösségben a paradoxonok lényegéről ... ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.
Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.
Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.
Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységekben, és ne ugorjon rá reciprok. Zénón nyelvén ez így néz ki:
Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.
Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De nem az komplett megoldás problémákat. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.
Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:
A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.
Ebben az apóriában a logikai paradoxont nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire szeretnék rámutatni különös figyelmet, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más lehetőséget biztosítanak a kutatáshoz.
2018. július 4., szerda
A készlet és a multihalmaz közötti különbségek nagyon jól le vannak írva a Wikipédián. Lássuk csak.
Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.
Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.
Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább: „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.
Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetéskészletét”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.
Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek megnyugtatni bennünket, hogy az azonos címletű váltószámok eltérőek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: különböző érméken van különböző mennyiségben minden érme szennyeződése, kristályszerkezete és atomi elrendezése egyedi...
És most van a legérdekesebb kérdésem: hol van az a határ, amelyen túl a multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak, és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.
Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy van egy multihalmazunk. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.
2018. március 18. vasárnap
Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, a matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ezért ők sámánok, hogy megtanítsák leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.
Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: „Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét!” A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok könnyen meg tudják oldani.
Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tehát legyen az 12345 szám. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.
1. Írja fel a számot egy papírra. Mit csináltunk? A számot grafikus számszimbólummá alakítottuk át. Ez nem matematikai művelet.
2. Egy kapott képet több, egyedi számokat tartalmazó képre vágunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.
3. Alakítsa át az egyes grafikus szimbólumokat számokká. Ez nem matematikai művelet.
4. Adja hozzá a kapott számokat. Ez most a matematika.
Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a sámánok „szabás- és varrótanfolyamai”, amelyeket a matematikusok használnak. De ez még nem minden.
Matematikai szempontból nem mindegy, hogy melyik számrendszerben írunk egy számot. Szóval, be különböző rendszerek A számításban ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. Az 12345-ös nagy számmal nem akarom becsapni a fejem, vegyük figyelembe a cikk 26-os számát. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem nézünk mikroszkóp alatt minden lépést, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.
Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez ugyanaz, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben határozná meg, teljesen más eredményeket kapna.
A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyek összege. Ez egy újabb érv amellett, hogy. Kérdés matematikusokhoz: hogyan jelölik ki a matematikában azt, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül semmi sem létezik? Ezt megengedhetem a sámánoknak, de nem a tudósoknak. A valóság nem csak a számokból áll.
A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel ahhoz vezetnek különböző eredményeketösszehasonlításuk után azt jelenti, hogy semmi köze a matematikához.
Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám nagyságától, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.
Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek indefil szentségének tanulmányozására a mennybemenetelük során! Halo a tetején és nyíl felfelé. Milyen másik wc?
Nő... A tetején lévő halo és a lefelé mutató nyíl férfi.
Ha egy ilyen dizájnművészeti alkotás naponta többször felvillan a szemed előtt,
Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:
Én személy szerint igyekszem mínusz négy fokot látni egy kakáló emberben (egy kép) (több képből álló kompozíció: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És szerintem ez a lány nem bolond, aki nem ismeri a fizikát. Csak erős sztereotípiája van a grafikus képek észlelésével kapcsolatban. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.
Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám hexadecimális jelöléssel. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, automatikusan egy számot és egy betűt egyetlen grafikus szimbólumként érzékelnek.
Hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadása és kivonása
Törtek összeadása és kivonása -val különböző nevezők
A NOC fogalma
Törtek redukálása ugyanarra a nevezőre
Hogyan adjunk össze egy egész számot és egy törtet
1 Hasonló nevezővel rendelkező törtek összeadása és kivonása
Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, de a nevezőt változatlannak kell hagyni, például:
Az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagynia, például:
Vegyes törtek hozzáadásához külön-külön hozzá kell adni az egész részeket, majd hozzá kell adni a törtrészeiket, és az eredményt vegyes törtként kell írni,
Ha törtrészek hozzáadásakor nem megfelelő törtet kap, válassza ki belőle a teljes részt, és adja hozzá a teljes részhez, például:
2 Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása
A különböző nevezőjű törtek összeadásához vagy kivonásához először ugyanarra a nevezőre kell csökkentenie őket, majd a cikk elején leírtak szerint kell eljárnia. Több tört közös nevezője az LCM (legkisebb közös többszörös). Az egyes törtek számlálójához további tényezőket találunk, ha az LCM-et elosztjuk ennek a törtnek a nevezőjével. Később megnézünk egy példát, miután megértjük, mi az a NOC.
3 Legkisebb közös többszörös (LCM)
Két szám legkisebb közös többszöröse (LCM) az a legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható mindkét számmal. Néha a NOC szóban is kiválasztható, de gyakrabban, különösen, ha vele dolgozik nagy számok, meg kell találnia a LOC-t írásban a következő algoritmus segítségével:
Több szám LCM-jének megtalálásához a következőkre van szüksége:
- Tényező ezeket a számokat prímtényezőkké
- Vegyük a legnagyobb bővítést, és írjuk ezeket a számokat szorzatként
- Válassza ki azokat a számokat más bontásban, amelyek nem szerepelnek a legnagyobb bontásban (vagy kevesebbszer fordulnak elő benne), és adja hozzá őket a szorzathoz.
- Szorozzuk meg a szorzatban szereplő összes számot, ez lesz az LCM.
Például keressük meg a 28-as és 21-es számok LCM-jét:
4 Törtek redukálása ugyanarra a nevezőre
Térjünk vissza a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadásához.
Ha a törteket ugyanarra a nevezőre redukáljuk, ami egyenlő mindkét nevező LCM-jével, akkor ezeknek a törteknek a számlálóit meg kell szoroznunk további szorzók. Megtalálhatja őket, ha elosztja az LCM-et a megfelelő tört nevezőjével, például:
Így a törtek ugyanarra a kitevőre való csökkentéséhez először meg kell találnia az LCM-et (azaz legkisebb szám, amely osztható mindkét nevezővel) ezen törtek nevezőinek, majd adjunk hozzá további tényezőket a törtek számlálóihoz. Ezeket úgy találhatja meg, hogy a közös nevezőt (CMD) elosztja a megfelelő tört nevezőjével. Ezután minden tört számlálóját meg kell szoroznia egy további tényezővel, és nevezőként az LCM-et kell megadnia.
5 Hogyan adjunk össze egész számot és törtet
Egész szám és tört összeadásához csak ezt a számot kell hozzáadni a tört elé, ami például vegyes törtet eredményez.
A cikkben megmutatjuk hogyan kell a törteket megoldani egyszerűn egyértelmű példák. Találjuk ki, mi a tört, és gondoljuk át törtek megoldása!
Koncepció törtek középiskola 6. osztályától bekerül a matematika szakba.
A törtek alakja: ±X/Y, ahol Y a nevező, azt mutatja meg, hogy az egész hány részre lett felosztva, X pedig a számláló, azt mutatja meg, hogy hány ilyen részt vettek fel. Az érthetőség kedvéért vegyünk egy példát egy tortával:
Az első esetben a tortát egyformán felvágták, és az egyik felét vették, i.e. 1/2. A második esetben a tortát 7 részre vágták, ebből 4 részt vettek, i.e. 4/7.
Ha az egyik szám egy másikkal való osztásának része nem egész szám, akkor törtként írjuk le.
Például a 4:2 = 2 kifejezés egész számot ad, de a 4:7 nem osztható egésszel, ezért ezt a kifejezést 4/7 törtként írjuk.
Más szóval töredéke egy kifejezés, amely két szám vagy kifejezés felosztását jelöli, és amelyet tört perjellel írnak.
Ha a számláló kisebb, mint a nevező, akkor a tört megfelelő, ha fordítva, akkor nem megfelelő tört. Egy tört egész számot tartalmazhat.
Például 5 egész 3/4.
Ez a bejegyzés azt jelenti, hogy a teljes 6 megszerzéséhez a négyből egy rész hiányzik.
Ha emlékezni akarsz, hogyan kell törteket megoldani a 6. osztály számára, ezt meg kell értened törtek megoldása, alapvetően néhány egyszerű dolog megértéséhez vezet.
- A tört lényegében egy tört kifejezése. Azaz numerikus kifejezés milyen része adott értéket egy egészből. Például a 3/5 tört azt fejezi ki, hogy ha valami egészet 5 részre osztunk, és ennek az egésznek a részeinek vagy részeinek száma három.
- A tört lehet kisebb is, mint 1, például 1/2 (vagy lényegében fele), akkor helyes. Ha a tört nagyobb mint 1, például 3/2 (három fél vagy másfél), akkor ez hibás, és a megoldás egyszerűsítése érdekében jobb, ha a teljes részt választjuk ki 3/2 = 1 egész 1 /2.
- A törtek ugyanazok a számok, mint az 1, 3, 10 és még a 100 is, csak a számok nem egész számok, hanem törtek. Ugyanazokat a műveleteket hajthatja végre velük, mint a számokkal. A törtek számolása nem bonyolultabb, és tovább konkrét példák megmutatjuk.
Hogyan oldjuk meg a törteket. Példák.
A törtekre sokféle aritmetikai művelet alkalmazható.
Tört redukálása közös nevezőre
Például össze kell hasonlítania a 3/4 és 4/5 törteket.
A probléma megoldásához először keressük meg a legkisebb közös nevezőt, azaz. a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható a törtek nevezőivel
A legkisebb közös nevező(4,5) = 20
Ekkor mindkét tört nevezője a legkisebbre csökken közös nevező
Válasz: 15/20
Törtek összeadása és kivonása
Ha két tört összegét kell kiszámítani, akkor először közös nevezőre hozzuk őket, majd hozzáadjuk a számlálókat, miközben a nevező változatlan marad. A törtek közötti különbséget ugyanúgy számítjuk ki, csak annyi a különbség, hogy a számlálókat kivonjuk.
Például meg kell találnia az 1/2 és 1/3 törtek összegét
Most nézzük meg a különbséget az 1/2 és 1/4 törtek között
Törtek szorzása és osztása
Itt a törtek megoldása nem nehéz, itt minden nagyon egyszerű:
- Szorzás - a törtek számlálóit és nevezőit összeszorozzák;
- Osztás - először megkapjuk a második tört inverzét, azaz. A számlálóját és a nevezőjét felcseréljük, majd a kapott törteket megszorozzuk.
Például:
Nagyjából ennyi hogyan kell a törteket megoldani, Mind. Ha még kérdése van a törtek megoldása, ha valami nem világos, írd meg a megjegyzésekben, és biztosan válaszolunk.
Ha Ön tanár, akkor lehetséges a prezentáció letöltése általános iskola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) hasznos lesz az Ön számára.
Az egyik legfontosabb tudomány, amelynek alkalmazása olyan tudományágakban is megfigyelhető, mint a kémia, a fizika, sőt a biológia is, a matematika. Ennek a tudománynak a tanulmányozása lehetővé teszi bizonyos mentális tulajdonságok fejlesztését és koncentrációs képességének javítását. A matematika kurzusban az egyik kiemelt figyelmet érdemlő téma a törtek összeadása és kivonása. Sok diáknak nehézséget okoz a tanulás. Talán cikkünk segít jobban megérteni ezt a témát.
Hogyan kell kivonni azokat a törteket, amelyeknek a nevezője azonos
A törtek ugyanazok a számok, amelyekkel különféle műveleteket hajthat végre. Az egész számoktól való eltérésük a nevező jelenlétében rejlik. Éppen ezért a törtekkel végzett műveletek során tanulmányoznia kell egyes jellemzőit és szabályait. A legegyszerűbb eset az olyan közönséges törtek kivonása, amelyek nevezői azonos számként vannak ábrázolva. Ennek a műveletnek a végrehajtása nem lesz nehéz, ha ismer egy egyszerű szabályt:
- Ahhoz, hogy egy törtből egy másodpercet levonjunk, ki kell vonni a kivont tört számlálóját a csökkentendő tört számlálójából. Ezt a számot beírjuk a különbség számlálójába, és a nevezőt változatlannak hagyjuk: k/m - b/m = (k-b)/m.
Példák az azonos nevezőkkel rendelkező törtek kivonására
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
A „7” tört számlálójából kivonjuk a kivonandó „3” tört számlálóját, „4”-et kapunk. Ezt a számot a válasz számlálójába írjuk, és a nevezőbe ugyanazt a számot adjuk, amely az első és a második tört nevezőjében volt - „19”.
Az alábbi képen több hasonló példa látható.
Tekintsünk egy bonyolultabb példát, ahol a hasonló nevezővel rendelkező törteket kivonjuk:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
A „29” tört számlálójából le kell vonni az összes következő tört számlálóit - „3”, „8”, „2”, „7”. Ennek eredményeként a „9” eredményt kapjuk, amelyet a válasz számlálójába írunk, a nevezőben pedig azt a számot, amely ezeknek a törteknek a nevezőiben található - „47”.
Azonos nevezővel rendelkező törtek összeadása
A közönséges törtek összeadása és kivonása ugyanezt az elvet követi.
- Ha olyan törteket szeretne hozzáadni, amelyeknek a nevezője azonos, össze kell adnia a számlálókat. A kapott szám az összeg számlálója, a nevező pedig változatlan marad: k/m + b/m = (k + b)/m.
Nézzük meg, hogyan néz ki ez egy példa segítségével:
1/4 + 2/4 = 3/4.
A tört első tagjának számlálójához - „1” - adja hozzá a tört második tagjának számlálóját - „2”. Az eredményt - „3” - beírjuk az összeg számlálójába, és a nevező ugyanaz marad, mint a törtekben - „4”.
Különböző nevezőjű törtek és kivonásuk
Már megvizsgáltuk a műveletet az azonos nevezővel rendelkező törtekkel. Mint látjuk, tudva egyszerű szabályok, az ilyen példák megoldása meglehetősen egyszerű. De mi van akkor, ha különböző nevezőkkel rendelkező törtekkel kell műveletet végrehajtania? Sok középiskolást megzavarnak az ilyen példák. De még itt is, ha ismeri a megoldás elvét, a példák már nem lesznek nehézek számodra. Itt is van egy szabály, amely nélkül az ilyen törtek megoldása egyszerűen lehetetlen.
- 2/3 - egy három és egy kettő hiányzik a nevezőből:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 vagy 7/(3 x 3) - a nevezőből hiányzik a kettő:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 vagy 5/(2 x 3) – a nevezőből hiányzik a három:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - A 18-as szám 3 x 2 x 3-ból áll.
- A 15-ös szám 5 x 3-ból áll.
- A közös többszörös a következő tényezők lesznek: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 osztva 15-tel. A kapott „6” szám a 3/15 szorzója lesz.
- 90 osztva 18-cal. A kapott „5” szám a 4/18 szorzója lesz.
- Alakítsa át az összes egész részt tartalmazó törtet nem megfelelővé. Beszélő egyszerű szavakkal, távolítsa el az egész részt. Ehhez meg kell szorozni az egész rész számát a tört nevezőjével, és a kapott szorzatot hozzáadni a számlálóhoz. A műveletek után megjelenő szám a helytelen tört számlálója. A nevező változatlan marad.
- Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor azokat ugyanarra a nevezőre kell csökkenteni.
- Végezzen összeadást vagy kivonást ugyanazokkal a nevezőkkel.
- Nem megfelelő tört fogadásakor válassza ki a teljes részt.
A különböző nevezőjű törtek kivonásához azokat ugyanarra a legkisebb nevezőre kell csökkenteni.
Ennek módjáról részletesebben fogunk beszélni.
Egy tört tulajdonsága
Annak érdekében, hogy több törtet ugyanarra a nevezőre hozzon, a tört fő tulajdonságát kell használni a megoldásban: a számláló és a nevező elosztása vagy szorzása után ugyanaz a szám az adott törtet kapja.
Így például a 2/3 törtnek lehetnek nevezői, például „6”, „9”, „12” stb., azaz bármilyen szám alakja lehet, amely a „3” többszöröse. Miután megszoroztuk a számlálót és a nevezőt 2-vel, a 4/6-ot kapjuk. Miután az eredeti tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk „3-mal”, 6/9-et kapunk, ha pedig hasonló műveletet végzünk a „4” számmal, akkor 8/12-t kapunk. Egy egyenlőség a következőképpen írható fel:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Hogyan konvertálhatunk több törtet ugyanarra a nevezőre
Nézzük meg, hogyan lehet több törtet ugyanarra a nevezőre redukálni. Vegyük például az alábbi képen látható törteket. Először meg kell határoznia, hogy melyik szám válhat mindegyik nevezőjévé. A dolgunk megkönnyítése érdekében a meglévő nevezőket faktorizáljuk.
Az 1/2 tört és a 2/3 tört nevezője nem faktorizálható. A 7/9 nevezőnek két tényezője van: 7/9 = 7/(3 x 3), az 5/6 tört nevezője = 5/(2 x 3). Most meg kell határoznunk, hogy mely tényezők lesznek a legkisebbek mind a négy tört esetében. Mivel az első tört nevezőjében a „2” szám szerepel, ez azt jelenti, hogy a 7/9 törtben minden nevezőben szerepelnie kell, ami azt jelenti, hogy mindkettőnek szerepelnie kell a nevezőben. A fentiek figyelembevételével megállapítjuk, hogy a nevező három tényezőből áll: 3, 2, 3, és egyenlő 3 x 2 x 3 = 18-cal.
Tekintsük az első törtet - 1/2. A nevezőjében van egy „2”, de nincs egyetlen „3” számjegy sem, hanem kettőnek kell lennie. Ehhez megszorozzuk a nevezőt két hármasával, de a tört tulajdonsága szerint a számlálót meg kell szorozni két hármasával:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Ugyanezeket a műveleteket hajtjuk végre a maradék törtekkel is.
Mindez együtt így néz ki:
Hogyan lehet kivonni és összeadni a különböző nevezőkkel rendelkező törteket
Mint fentebb említettük, a különböző nevezőjű törtek összeadásához vagy kivonásához azokat ugyanarra a nevezőre kell redukálni, majd alkalmazni kell az azonos nevezővel rendelkező törtek kivonására vonatkozó, már tárgyalt szabályokat.
Nézzük ezt példaként: 4/18 - 3/15.
A 18 és 15 számok többszörösének megkeresése:
A nevező megtalálása után ki kell számítani azt a tényezőt, amely törtenként eltérő lesz, vagyis azt a számot, amellyel nemcsak a nevezőt, hanem a számlálót is meg kell szorozni. Ehhez el kell osztani a talált számot (a közös többszöröst) annak a törtnek a nevezőjével, amelyhez további tényezőket kell meghatározni.
Megoldásunk következő lépése az, hogy minden törtet 90-es nevezőre redukálunk.
Már beszéltünk arról, hogy ez hogyan történik. Nézzük meg, hogyan van ez megírva egy példában:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Ha a törtek kis számokkal rendelkeznek, akkor meghatározhatja a közös nevezőt, az alábbi képen látható példának megfelelően.
Ugyanez igaz a különböző nevezőkkel rendelkezőkre is.
Kivonás és egész számmal rendelkező részek
A törtek kivonását és összeadását már részletesen tárgyaltuk. De hogyan kell kivonni, ha a tört rendelkezik egész rész? Ismét használjunk néhány szabályt:
Van egy másik módja annak, hogy egész részeket tartalmazó törteket összeadjon és kivonjon. Ehhez a műveleteket külön-külön egész részekkel, a törtekkel külön-külön hajtják végre, és az eredményeket együtt rögzítik.
A megadott példa olyan törtekből áll, amelyeknek azonos a nevezője. Abban az esetben, ha a nevezők különbözőek, akkor azokat azonos értékre kell hozni, majd a példában látható műveleteket végrehajtani.
Törtszámok kivonása egész számokból
A törtekkel végzett művelet másik típusa az az eset, amikor egy törtet ki kell vonni Első pillantásra egy ilyen példa nehezen megoldható. Itt azonban minden nagyon egyszerű. A megoldáshoz az egész számot törtté kell konvertálni, és ugyanazzal a nevezővel, amely a kivont törtben van. Ezután a kivonáshoz hasonló kivonást hajtunk végre azonos nevezőkkel. Egy példában így néz ki:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
A cikkben megadott törtek kivonása (6. osztály) az alapja a több megoldásnak összetett példák, amelyekről a következő órákon lesz szó. A témakör ismereteit a későbbiekben függvények, deriváltok stb. megoldására használják. Ezért nagyon fontos megérteni és megérteni a fent tárgyalt törtekkel végzett műveleteket.
Online számológép.
Értékeljen egy kifejezést numerikus törtekkel.
Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása, kivonása, osztása, összeadása és kicsinyítése.
Használatával ezt a számológépet online lehet szorozni, kivonni, osztani, összeadni és csökkenteni törteket különböző nevezőkkel.
A program szabályos, helytelen és vegyes számtörtekkel működik.
Ez a program (online számológép) képes:
- vegyes törtek összeadása különböző nevezőkkel
- vegyes törtek kivonását különböző nevezőkkel
- vegyes törteket osztani különböző nevezőkkel
- vegyes törtek szorzása különböző nevezőkkel
- a törteket közös nevezőre csökkenteni
- kevert frakciókat nem megfelelő törtté alakítani
- frakciók csökkentése
Megadhat olyan kifejezést is, amelyben nem tört, hanem egyetlen tört.
Ebben az esetben a tört csökken, és a teljes rész elválik az eredménytől.
A numerikus törteket tartalmazó kifejezések kiszámítására szolgáló online számológép nemcsak a problémára ad választ, hanem részletes megoldás magyarázatokkal, pl. megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát.
Ez a program hasznos lehet középiskolások számára középiskolák előkészítése során tesztek valamint vizsgák, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzés során a szülőknek számos matematikai és algebrai feladat megoldásának ellenőrzésére. Vagy talán túl drága Önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni? házi feladat
matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat.
Így Ön saját képzést és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a problémamegoldás területén a képzettség növekszik.
Ha nem ismeri a numerikus törteket tartalmazó kifejezések bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.
A numerikus törteket tartalmazó kifejezések bevitelének szabályai
Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.
A nevező nem lehet negatív. /
Törtszám beírásakor a számlálót osztásjel választja el a nevezőtől:
Bemenet: -2/3 + 7/5
Eredmény: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\) &
A teljes részt az és jel választja el a törttől:
Bemenet: -1&2/3 * 5&8/3
Eredmény: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)
A törtek felosztását a kettőspont jel vezeti be: :
Bemenet: -9&37/12: -3&5/14
Eredmény: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Ne feledje, hogy nem oszthat nullával!
Használhat zárójelet a numerikus törteket tartalmazó kifejezések beírásakor. -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Bemenet:
Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.
Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérjük, várjon mp...
Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.
Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:
Egy kis elmélet.
Közönséges törtek. Osztani a maradékkal
Ha a 497-et el kell osztanunk 4-gyel, akkor az elosztásnál látni fogjuk, hogy a 497 nem osztható egyenletesen 4-gyel, azaz. a hadosztály többi része marad. Ilyenkor azt mondják, hogy kész osztás maradékkal, és a megoldást a következőképpen írjuk:
497:4 = 124 (1 maradék).
Az egyenlőség bal oldalán lévő osztási komponenseket ugyanúgy nevezzük, mint a maradék nélküli osztásnál: 497 - osztalék, 4 - osztó. Az osztás eredményét maradékkal osztva nevezzük hiányos privát. Esetünkben ez a 124-es szám. És végül az utolsó komponens, amely nem a szokásos felosztásban van, a maradék. Azokban az esetekben, amikor nincs maradék, azt mondjuk, hogy egy szám osztva van egy másikkal nyom nélkül, vagy teljesen. Úgy gondolják, hogy ilyen felosztás esetén a maradék nulla. Esetünkben a maradék 1.
A maradék mindig kisebb, mint az osztó.
Az osztás szorzással ellenőrizhető. Ha például van egy egyenlőség 64: 32 = 2, akkor az ellenőrzést így lehet elvégezni: 64 = 32 * 2.
Gyakran olyan esetekben, amikor a maradékkal való osztást hajtják végre, kényelmes az egyenlőség használata
a = b * n + r,
ahol a az osztó, b az osztó, n a parciális hányados, r a maradék.
Osztási hányados természetes számok törtként írható fel.
A tört számlálója az osztó, a nevezője pedig az osztó.
Mivel a tört számlálója az osztó, a nevezője pedig az osztó, higgyük el, hogy a tört vonala az osztás műveletét jelenti. Néha célszerű az osztást törtként írni a ":" jel használata nélkül.
Az m és n természetes számok osztásának hányadosa felírható törtként \(\frac(m)(n) \), ahol az m számláló az osztó, az n nevező pedig az osztó:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
A következő szabályok igazak:
A \(\frac(m)(n)\ tört meghatározásához az egységet n egyenlő részre (részvényre) kell osztani, és m ilyen részt kell venni.
A \(\frac(m)(n)\ tört meghatározásához el kell osztani az m számot az n számmal.
Az egész egy részének megtalálásához az egésznek megfelelő számot el kell osztani a nevezővel, és az eredményt meg kell szorozni az ezt a részt kifejező tört számlálójával.
Ahhoz, hogy a részéből egy egészet találjon, el kell osztania az ennek a résznek megfelelő számot a számlálóval, és meg kell szoroznia az eredményt annak a törtnek a nevezőjével, amely ezt a részt fejezi ki.
Ha egy tört számlálóját és nevezőjét is megszorozzuk ugyanazzal a számmal (nulla kivételével), a tört értéke nem változik:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Ha a tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a számmal osztjuk (nulla kivételével), a tört értéke nem változik:
\(\nagy \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ezt a tulajdonságot ún tört fő tulajdonsága.
Az utolsó két transzformációt ún töredékének csökkentése.
Ha a törteket azonos nevezőjű törtként kell ábrázolni, akkor ezt a műveletet meg kell hívni törteket közös nevezőre redukálni.
Helyes és helytelen törtek. Vegyes számok
Azt már tudod, hogy törtet kaphatunk, ha egy egészet egyenlő részekre osztunk, és több ilyen részt veszünk. Például a \(\frac(3)(4)\) tört háromnegyed egyet jelent. Az előző bekezdésben szereplő problémák közül sok esetben a törteket egy egész részeinek ábrázolására használták. A józan ész azt diktálja, hogy a résznek mindig kisebbnek kell lennie, mint az egésznek, de mi a helyzet az olyan törtekkel, mint a \(\frac(5)(5)\) vagy a \(\frac(8)(5)\)? Nyilvánvaló, hogy ez már nem része az egységnek. Valószínűleg ezért nevezzük azokat a törteket, amelyek számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező helytelen törtek. A maradék törteket, vagyis azokat a törteket, amelyek számlálója kisebb, mint a nevező, az ún. helyes törtek.
Mint tudod, bármelyik közönséges tört, mind a helyes, mind a helytelen, a számlálónak a nevezővel való elosztásának eredményeként tekinthető. Ezért a matematikában a hétköznapi nyelvtől eltérően a „nem megfelelő tört” kifejezés nem azt jelenti, hogy valamit rosszul csináltunk, hanem csak azt, hogy ennek a törtnek a számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.
Ha egy szám egész részből és törtből áll, akkor ilyen a törteket vegyesnek nevezzük.
Például:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 az egész rész, a \(\frac(2)(3) \) pedig a tört rész.
Ha a \(\frac(a)(b) \) tört számlálója osztható egy n természetes számmal, akkor a tört n-nel való osztásához a számlálóját el kell osztani ezzel a számmal:
\(\nagy \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Ha a \(\frac(a)(b)\) tört számlálója nem osztható n természetes számmal, akkor ennek a törtnek az n-nel való osztásához meg kell szoroznia a nevezőt ezzel a számmal:
\(\nagy \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Figyeljük meg, hogy a második szabály akkor is igaz, ha a számláló osztható n-nel. Ezért akkor használhatjuk, ha első pillantásra nehéz megállapítani, hogy egy tört számlálója osztható-e n-nel vagy sem.
Műveletek törtekkel. Törtek hozzáadása.
Törtszámokkal, mint a természetes számokkal, megteheti aritmetikai műveletek. Először nézzük meg a törtek összeadását. Könnyen hozzáadható a hasonló nevezőkkel rendelkező tört. Keressük meg például a \(\frac(2)(7)\) és \(\frac(3)(7)\ összegét. Könnyen érthető, hogy \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.
Betűk használatával a hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadásának szabálya a következőképpen írható fel:
\(\nagy \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Ha különböző nevezőjű törteket kell összeadnia, akkor azokat először közös nevezőre kell redukálni. Például:
\(\nagy \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Törtekre, akárcsak a természetes számokra, az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságai érvényesek.
Vegyes frakciók hozzáadása
Az olyan jelöléseket, mint a \(2\frac(2)(3)\) hívják meg vegyes frakciók. Ebben az esetben a 2-es számot hívják egész rész vegyes tört, és a \(\frac(2)(3)\) szám az törtrész. A \(2\frac(2)(3)\) bejegyzés a következőképpen szól: „két és kétharmad”.
Ha elosztja a 8-as számot 3-mal, két választ kaphat: \(\frac(8)(3)\) és \(2\frac(2)(3)\). Ugyanazt a törtszámot fejezik ki, azaz \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Így a \(\frac(8)(3)\) nem megfelelő tört \(2\frac(2)(3)\) vegyes törtként jelenik meg. Ilyenkor azt mondják, hogy nem megfelelő törtből kiemelte az egész részt.
Törtek kivonása (törtszámok)
A törtszámok kivonása a természetes számokhoz hasonlóan az összeadás művelete alapján történik: egy másik számból kivonni azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelyet a másodikhoz hozzáadva az elsőt kapjuk. Például:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) mivel \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)
A hasonló nevezőt tartalmazó törtek kivonásának szabálya hasonló az ilyen törtek összeadásának szabályához:
Az azonos nevezőjű törtek közötti különbség megállapításához ki kell vonni a második számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.
Betűket használva ez a szabály így van írva:
\(\nagy \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Törtek szorzása
Egy tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálóikat és nevezőiket, és az első szorzatot számlálóként, a másodikat nevezőként kell írni.
Betűk használatával a törtek szorzásának szabálya a következőképpen írható fel:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
A megfogalmazott szabály segítségével egy tört természetes számmal szorozható meg vegyes frakció, és vegyes törteket is szorozzon. Ehhez egy természetes számot 1-es nevezőjű törtként, egy vegyes törtet pedig helytelen törtként kell felírni.
A szorzás eredményét (ha lehetséges) egyszerűsíteni kell a tört csökkentésével és a nem megfelelő tört teljes részének elkülönítésével.
Törtekre, akárcsak a természetes számokra, a szorzás kommutatív és kombinatív tulajdonságai, valamint a szorzás összeadáshoz viszonyított eloszlási tulajdonságai érvényesek.
A törtek felosztása
Vegyük a \(\frac(2)(3)\) törtet, és „fordítsuk meg”, cseréljük fel a számlálót és a nevezőt. A \(\frac(3)(2)\ törtet kapjuk. Ezt a törtet nevezzük fordított törtek \(\frac(2)(3)\).
Ha most „megfordítjuk” a \(\frac(3)(2)\ törtet, akkor az eredeti \(\frac(2)(3)\ törtet kapjuk. Ezért az olyan törteket, mint a \(\frac(2)(3)\) és \(\frac(3)(2)\) hívjuk. kölcsönösen inverz.
Például a \(\frac(6)(5) \) és \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) és \(\frac (18) )(7)\).
Betűk használatával a reciprok törtek a következőképpen írhatók: \(\frac(a)(b) \) és \(\frac(b)(a) \)
Egyértelmű, hogy a reciprok törtek szorzata egyenlő 1-gyel. Például: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
A reciprok törtek használatával a törtek osztását szorzásra csökkentheti.
A tört törttel való osztásának szabálya a következő:
Egy tört egy másikkal való osztásához meg kell szorozni az osztalékot az osztó reciprokával.
