Numerikus és algebrai kifejezések. Kifejezések konvertálása. Szám- és betűkifejezések. Képlet

27.09.2019

ÉN. Kifejezések, amelyekben számok és jelek is használhatók betűkkel együtt aritmetikai műveletek a zárójeleket pedig algebrai kifejezéseknek nevezzük.

Példák algebrai kifejezésekre:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Mivel egy algebrai kifejezésben szereplő betűt különböző számok helyettesíthetik, a betűt változónak, magát az algebrai kifejezést pedig változós kifejezésnek nevezzük.

II. Ha egy algebrai kifejezésben a betűket (változókat) az értékükre cseréljük, és végrehajtjuk a megadott műveleteket, akkor a kapott számot értéknek nevezzük. algebrai kifejezés.

Példák. Keresse meg a kifejezés jelentését:

1) a + 2b -c, ahol a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8; y = -5; z = 6.

Megoldás.

1) a + 2b -c, ahol a = -2; b = 10; c = -3,5. Változók helyett helyettesítsük az értékeiket. Kapunk:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8; y = -5; z = 6. Helyettesítő meghatározott értékeket. Ne feledje, hogy a modul negatív szám egyenlő az ellenkező számmal, és a modul pozitív szám egyenlő ezzel a számmal. Kapunk:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. A betű (változó) értékeit, amelyekre az algebrai kifejezésnek van értelme, a betű (változó) megengedett értékeinek nevezzük.

Példák. A változó mely értékeinél nincs értelme a kifejezésnek?

Megoldás. Tudjuk, hogy nem lehet nullával osztani, ezért ezeknek a kifejezéseknek nem lesz értelme annak a betűnek (változónak), amely a tört nevezőjét nullára fordítja!

Az 1) példában ez az érték a = 0. Valóban, ha a helyett 0-t cserélünk be, akkor a 6-ot el kell osztanunk 0-val, de ezt nem lehet megtenni. Válasz: az 1) kifejezésnek nincs értelme, ha a = 0.

A 2) példában x nevezője 4 = 0 x = 4 esetén, ezért ez az x = 4 érték nem vehető fel. Válasz: a 2) kifejezésnek nincs értelme, ha x = 4.

A 3) példában a nevező x + 2 = 0, ha x = -2. Válasz: a 3) kifejezésnek nincs értelme, ha x = -2.

A 4) példában a nevező 5 -|x| = 0 |x| esetén = 5. És mivel |5| = 5 és |-5| = 5, akkor nem veheti fel x = 5 és x = -5. Válasz: a 4) kifejezésnek nincs értelme x = -5 és x = 5 esetén.
IV. Két kifejezést azonosnak nevezünk, ha a változók bármely megengedett értéke esetén a kifejezések megfelelő értékei egyenlőek.

Példa: 5 (a – b) és 5a – 5b is egyenlő, mivel az 5 (a – b) = 5a – 5b egyenlőség a és b bármely értékére igaz lesz. Az 5 (a – b) = 5a – 5b egyenlőség egy azonosság.

Identitás egy egyenlőség, amely a benne szereplő változók összes megengedett értékére érvényes. Példák az Ön által már ismert azonosságokra, például az összeadás és szorzás tulajdonságai, valamint az elosztó tulajdonság.

Egy kifejezés helyettesítését egy másik, azonos kifejezéssel azonosságtranszformációnak vagy egyszerűen egy kifejezés transzformációjának nevezzük. A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.

Példák.

a) konvertálja a kifejezést azonos egyenlővé a szorzás elosztó tulajdonságával:

1) 10·(1,2x + 2,3 év); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Megoldás. Emlékezzünk a szorzás elosztó tulajdonságára (törvényére):

(a+b)c=ac+bc(az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási törvénye: ahhoz, hogy két szám összegét megszorozzuk egy harmadik számmal, minden tagot megszorozhatunk ezzel a számmal, és összeadhatjuk a kapott eredményeket).
(a-b) c=a c-b c(a kivonáshoz viszonyított szorzás eloszlási törvénye: ahhoz, hogy két szám különbségét megszorozzuk egy harmadik számmal, külön megszorozhatjuk a minuendet és kivonhatjuk ezzel a számmal, és kivonhatjuk a másodikat az első eredményből).

1) 10·(1,2x + 2,3 év) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3 év = 12x + 23 év.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) alakítsa át a kifejezést azonos egyenlővé, az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságait (törvényeit) felhasználva:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Megoldás. Alkalmazzuk az összeadás törvényeit (tulajdonságait):

a+b=b+a(kommutatív: a kifejezések átrendezése nem változtat az összegen).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatív: ahhoz, hogy két tag összegéhez egy harmadik számot adjunk, az első számhoz hozzáadhatjuk a második és a harmadik összegét).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Konvertálja a kifejezést azonos egyenlővé a szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságainak (törvényeinek) segítségével:

7) 4 · x · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Megoldás. Alkalmazzuk a szorzás törvényeit (tulajdonságait):

a·b=b·a(kommutatív: a tényezők átrendezése nem változtat a szorzaton).
(a b) c=a (b c)(kombinatív: ha két szám szorzatát meg szeretné szorozni egy harmadik számmal, az első számot megszorozhatja a második és a harmadik szorzatával).

7) 4 · x · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Ha egy algebrai kifejezést redukálható tört alakban adunk meg, akkor a tört redukciós szabályával egyszerűsíthető, pl. cserélje ki egy azonos, egyszerűbb kifejezésre.

Példák. Egyszerűsítse a frakciócsökkentést.

Megoldás. A tört csökkentése azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal (kifejezéssel) osztjuk, kivéve a nullát. 10. tört) értékkel csökken 3b; tört 11) -vel csökken Aés a 12. töredék) a következővel csökken 7n. Kapunk:

Az algebrai kifejezések képletek létrehozására szolgálnak.

A képlet egy egyenlőségként felírt algebrai kifejezés, amely két vagy több változó közötti kapcsolatot fejezi ki. Példa: ismert útvonalképlet s=v t(s - megtett távolság, v - sebesség, t - idő). Ne feledje, milyen más képleteket ismer.

1/1 oldal 1

A numerikus, betűkifejezések és változós kifejezések témakörének tanulmányozásakor figyelni kell a fogalomra kifejezés értéke. Ebben a cikkben arra a kérdésre adunk választ, hogy mi a numerikus kifejezés értéke, és mit nevezünk egy literális kifejezés és egy változókkal rendelkező kifejezés értékének a kiválasztott változóértékekhez. A definíciók tisztázására példákat adunk.

Oldalnavigáció.

Mi az értéke egy numerikus kifejezésnek?

A numerikus kifejezésekkel való ismerkedés szinte az iskola első matematika óráitól kezdődik. Szinte azonnal megjelenik a „numerikus kifejezés értéke” fogalma. Olyan kifejezésekre vonatkozik, amelyek számtani műveletekkel összekötött számokból állnak (+, −, ·, :). Adjuk meg a megfelelő definíciót.

Meghatározás.

Numerikus kifejezés értéke– ez az a szám, amelyet az eredeti numerikus kifejezésben szereplő összes művelet végrehajtása után kapunk.

Például fontolja meg numerikus kifejezés 1+2. Miután befejeztük, a 3-as számot kapjuk, amely az 1+2 numerikus kifejezés értéke.

A „numerikus kifejezés jelentése” kifejezésből gyakran kihagyják a „numerikus” szót, és egyszerűen csak „a kifejezés jelentését” mondják, mivel még mindig világos, hogy miről van szó a kifejezés jelentéséről.

A kifejezés jelentésének fenti meghatározása a több mint numerikus kifejezésekre is vonatkozik összetett típus amelyeket a középiskolában tanulnak. Itt meg kell jegyezni, hogy olyan numerikus kifejezésekkel találkozhat, amelyek értéke nem adható meg. Ennek az az oka, hogy egyes kifejezésekben nem lehet végrehajtani a rögzített műveleteket. Például ezért nem tudjuk megadni a 3:(2−2) kifejezés értékét. Az ilyen numerikus kifejezéseket ún értelmetlen kifejezéseket.

A gyakorlatban gyakran nem annyira a numerikus kifejezés az érdekes, mint inkább a jelentése. Vagyis felmerül a feladat egy adott kifejezés jelentésének meghatározása. Ilyenkor általában azt mondják, hogy meg kell találni a kifejezés értékét. Ez a cikk részletesen tárgyalja a numerikus kifejezések értékének meghatározásának folyamatát különféle típusok, és sok példát veszünk figyelembe a megoldások részletes leírásával.

Szó szerinti és változó kifejezések jelentése

A numerikus kifejezések mellett a szó szerinti kifejezéseket is tanulmányozzuk, vagyis azokat a kifejezéseket, amelyekben egy vagy több betű is jelen van a számokkal együtt. A szó szerinti kifejezésben lévő betűk különböző számokat jelenthetnek, és ha a betűket ezekkel a számokkal helyettesítjük, a szó szerinti kifejezés numerikus kifejezéssé válik.

Meghatározás.

A betűket helyettesítő számokat egy literális kifejezésben hívjuk ezeknek a betűknek a jelentése, és a kapott numerikus kifejezés értékét hívjuk egy literális kifejezés értéke adott betűértékekhez.

Tehát a szó szerinti kifejezéseknél nem csak a szó szerinti kifejezés jelentéséről beszélünk, hanem a szó szerinti kifejezés jelentéséről, a betűk adott (adott, jelzett stb.) értékei alapján.

Mondjunk egy példát. Vegyük a 2·a+b szó szerinti kifejezést. Legyen megadva az a és b betűk értéke, például a=1 és b=6. Az eredeti kifejezésben szereplő betűket értékükre cserélve 2·1+6 alakú numerikus kifejezést kapunk, értéke 8. Így a 8-as szám a 2·a+b szó szerinti kifejezés értéke az a=1 és b=6 betűk adott értékére. Ha más betűértékeket adnánk meg, akkor ezekre a betűértékekre kapnánk a betűkifejezés értékét. Például a=5 és b=1 esetén 2·5+1=11 értéket kapunk.

Középiskolában az algebra tanulmányozása során megengedett a betűk felvétele a betűkifejezésekben különböző jelentések, az ilyen betűket változóknak, a betűkifejezéseket pedig változókkal rendelkező kifejezéseknek nevezzük. Ezekhez a kifejezésekhez a változókkal ellátott kifejezés értékének fogalmát vezetjük be a változók kiválasztott értékeihez. Találjuk ki, mi az.

Meghatározás.

A kiválasztott változóértékekhez tartozó változókat tartalmazó kifejezés értéke egy numerikus kifejezés értéke, amelyet a kiválasztott változó értékeinek az eredeti kifejezésbe való behelyettesítése után kapunk.

Magyarázzuk meg a megfogalmazott definíciót egy példával. Tekintsünk egy 3·x·y+y alakú x és y változójú kifejezést. Vegyünk x=2 és y=4 értékeket, cseréljük be ezeket a változó értékeket az eredeti kifejezésbe, és kapjuk a 3·2·4+4 numerikus kifejezést. Számítsuk ki ennek a kifejezésnek az értékét: 3·2·4+4=24+4=28. A talált érték 28 az eredeti kifejezés értéke a 3·x·y+y változókkal az x=2 és y=4 változók kiválasztott értékére.

Ha más változóértékeket választ ki, például x=5 és y=0, akkor ezek a kiválasztott változóértékek megfelelnek a 3·5·0+0=0 változókifejezés értékének.

Megjegyzendő, hogy néha a változók eltérő kiválasztott értékei azonos kifejezési értékeket eredményezhetnek. Például x=9 és y=1 esetén a 3 x y+y kifejezés értéke 28 (mivel 3 9 1+1=27+1=28), fentebb pedig megmutattuk, hogy ugyanaz az érték a A változók értéke x=2 és y=4 .

A változó értékek a hozzájuk tartozók közül választhatók ki régiók elfogadható értékeket . Ellenkező esetben, ha ezeknek a változóknak az értékeit behelyettesíti az eredeti kifejezésbe, olyan numerikus kifejezést kap, amelynek nincs értelme. Például, ha az x=0 értéket választja, és ezt az értéket behelyettesíti az 1/x kifejezésbe, akkor az 1/0 numerikus kifejezést kapja, aminek nincs értelme, mivel a nullával való osztás nincs meghatározva.

Csak hozzá kell tenni, hogy vannak olyan változókkal rendelkező kifejezések, amelyek értéke nem függ a bennük szereplő változók értékétől. Például egy 2+x−x alakú x változót tartalmazó kifejezés értéke nem függ ennek a változónak az értékétől, hanem 2-vel egyenlő az x változó bármely kiválasztott értékére a megengedett értékek tartományából. , amely be ebben az esetben az összes valós szám halmaza.

Bibliográfia.

Matematika: tankönyv 5. osztály számára. Általános oktatás intézmények / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Algebra: tankönyv 7. osztály számára Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.

A kifejezés a legtágabb matematikai fogalom. Lényegében ebben a tudományban minden belőlük áll, és minden műveletet ezeken is végrehajtanak. Más kérdés, hogy az adott típustól függően teljesen más módszereket, technikákat alkalmaznak. Tehát a trigonometriával, törtekkel vagy logaritmusokkal való munka három különböző művelet. Az értelmetlen kifejezés kétféle lehet: numerikus vagy algebrai. De hogy ez a fogalom mit jelent, hogyan néz ki a példája, és más szempontokat, arról a továbbiakban még szó lesz.

Numerikus kifejezések

Ha egy kifejezés számokból, zárójelekből, plusz-mínuszokból és egyéb aritmetikai műveletek szimbólumokból áll, akkor nyugodtan nevezhetjük numerikusnak. Ami egészen logikus: csak egy pillantást kell vetni az elsőként elnevezett összetevőjére.

A numerikus kifejezés bármi lehet: a lényeg, hogy ne tartalmazzon betűket. A „bármi” alatt pedig ebben az esetben mindent értünk: egy önmagában álló egyszerű számtól a számok hatalmas listájáig és a végeredmény utólagos kiszámítását igénylő aritmetikai műveletek jeleiig. A tört akkor is numerikus kifejezés, ha nincs benne a, b, c, d stb., mert akkor teljesen más típusról van szó, amiről kicsit később lesz szó.

Az értelmetlen kifejezés feltételei

Ha egy feladat a „számítás” szóval kezdődik, akkor transzformációról beszélhetünk. Az a helyzet, hogy ez a cselekvés nem mindig tanácsos: nem mintha nagy szükség lenne rá, ha egy értelmetlen kifejezés kerül előtérbe. A példák végtelenül elképesztőek: néha ahhoz, hogy megértsük, hogy utolért minket, hosszan és unalmasan kell nyitogatni a zárójeleket, és számolni-számolni-számolni...

A legfontosabb dolog, amit meg kell jegyeznünk, hogy nincs jelentésük azoknak a kifejezéseknek, amelyek végeredménye a matematikában tiltott cselekvésre vezethető vissza. Hogy őszinte legyek, akkor maga az átalakítás értelmetlenné válik, de ahhoz, hogy ezt megtudd, előbb végre kell hajtanod. Micsoda paradoxon!

A leghíresebb, de nem kevésbé fontos tiltott matematikai művelet a nullával való osztás.

Ezért például itt van egy kifejezés, amelynek nincs értelme:

(17+11):(5+4-10+1).

Ha egyszerű számításokkal a második zárójelet egy számjegyre csökkentjük, akkor az nulla lesz.

Ugyanezen elv alapján „tiszteletbeli címet” kap ez a kifejezés:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebrai kifejezések

Ez ugyanaz a numerikus kifejezés, ha tiltott betűket adunk hozzá. Ekkor válik teljes értékű algebraivá. Szintén minden méretben és formában jöhet. Az algebrai kifejezés egy tágabb fogalom, amely magában foglalja az előzőt is. De volt értelme nem ezzel, hanem egy számmal kezdeni a beszélgetést, hogy világosabb és könnyebben érthető legyen. Végül is, hogy egy algebrai kifejezésnek van-e értelme, az nem túl bonyolult kérdés, de több pontosítással rendelkezik.

Miert van az?

A szó szerinti kifejezés vagy a változókat tartalmazó kifejezés szinonimák. Az első kifejezést könnyű megmagyarázni: végül is betűket tartalmaz! A második szintén nem az évszázad rejtélye: a betűk helyett lehet helyettesíteni különböző számok, aminek következtében a kifejezés jelentése megváltozik. Nem nehéz kitalálni, hogy ebben az esetben a betűk a változók. Hasonlóan, a számok állandók.

És itt visszatérünk a fő témához: értelmetlen?

Példák algebrai kifejezésekre, amelyeknek nincs értelme

Az algebrai kifejezés értelmetlenségének feltétele ugyanaz, mint a numerikusé, egyetlen kivétellel, pontosabban egy összeadással. A konvertálásnál és a végeredmény kiszámításánál változókat kell figyelembe venni, így nem az a kérdés, hogy „melyik kifejezésnek nincs értelme?”, hanem „a változó milyen értékénél nem lesz értelme ennek a kifejezésnek?” és "van a változónak olyan értéke, amelynél a kifejezésnek már nincs értelme?"

Például (18-3):(a+11-9).

A fenti kifejezésnek nincs értelme, ha a egyenlő -2.

De az (a+3):(12-4-8)-ról nyugodtan kijelenthetjük, hogy ez egy olyan kifejezés, aminek nincs értelme egyetlen a-nak sem.

Ugyanígy bármilyen b-t is behelyettesít a (b - 11): (12+1) kifejezésbe, annak továbbra is lesz értelme.

Tipikus problémák a "Kifejezés, aminek nincs értelme" témában

A 7. osztály többek között matematikából tanulja ezt a témát, és gyakran közvetlenül a megfelelő óra után, illetve „trükkös” kérdésként a modulokon, vizsgákon találunk rá feladatokat.

Íme, miért érdemes megfontolni tipikus feladatokés megoldási módszereket.

1. példa

Van értelme a kifejezésnek:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Az összes számítást zárójelben kell elvégezni, és a kifejezést a következő alakba kell vinni:

A végeredmény tartalmazza, ezért a kifejezés értelmetlen.

2. példa

Mely kifejezéseknek nincs értelme?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Minden kifejezéshez ki kell számítania a végső értéket.

Válasz: 1; 2.

3. példa

Keresse meg a következő kifejezések elfogadható értéktartományát:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

A megengedett értékek tartománya (VA) mindazok a számok, amelyeket ha változók helyett helyettesítünk, a kifejezésnek értelme lesz.

Vagyis a feladat így hangzik: keressen olyan értékeket, amelyeknél nem lesz nullával való osztás.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), vagy b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), vagy b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

4. példa

Milyen értékek mellett nem lesz értelme az alábbi kifejezésnek?

A második zárójel nulla, ha a játék értéke -3.

Válasz: y=-3

4. példa

Melyik kifejezésnek nincs értelme csak x = -14 esetén?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 és 3, mivel az első esetben, ha behelyettesíti az x = -14-et, akkor a második zárójel -28 lesz, és nem nulla, ahogy ez egy értelmetlen kifejezés definíciójában hangzik.

5. példa.

Jöjjön ki és írjon le egy kifejezést, aminek nincs értelme.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebrai kifejezések két változóval

Annak ellenére, hogy minden értelmetlen kifejezésnek ugyanaz a lényege, összetettségüknek különböző szintjei vannak. Tehát azt mondhatjuk, hogy a numerikusak egyszerű példák, mert könnyebbek, mint az algebraiak. Ez utóbbiban a változók száma nehezíti a megoldást. De nem szabad egyformán kinézniük: a lényeg az, hogy emlékezzünk a megoldás általános elvére, és alkalmazzuk azt, függetlenül attól, hogy a példa hasonló-e egy szabványos problémához, vagy van-e ismeretlen kiegészítése.

Felmerülhet például a kérdés, hogyan lehet megoldani egy ilyen feladatot.

Keressen és írjon le egy olyan számpárt, amely érvénytelen a kifejezéshez:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38 év)/(12x 2 - y).

Lehetséges válaszok:

De valójában csak ijesztőnek és nehézkesnek tűnik, mert valójában azt tartalmazza, ami már régóta ismert: négyzetre és kockára emelt számok, néhány aritmetikai művelet, mint az osztás, szorzás, kivonás és összeadás. A kényelem érdekében egyébként a problémát tört formára is csökkentheti.

A kapott tört számlálója nem boldog: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Ez egy tény. De van egy másik oka is a boldogságnak: hozzá sem kell nyúlni a feladat megoldásához! A korábban tárgyalt definíció szerint nullával nem lehet osztani, és teljesen lényegtelen, hogy pontosan mi lesz osztva vele. Ezért ezt a kifejezést változatlanul hagyjuk, és ezekből az opciókból számpárokat helyettesítünk a nevezőbe. Már a harmadik pont is tökéletesen illeszkedik, egy kis zárójelet nullává változtat. De az otthagyás rossz ajánlás, mert valami más is megfelelő lehet. Valóban: az ötödik pont is jól illeszkedik és megfelel a körülményeknek.

Felírjuk a választ: 3 és 5.

Végül

Amint látja, ez a téma nagyon érdekes és nem különösebben bonyolult. Nem lesz nehéz kitalálni. De soha nem árt begyakorolni pár példát!

Numerikus kifejezések

Az értelmetlen kifejezés feltételei

A leghíresebb, de nem kevésbé fontos tiltott matematikai művelet a nullával való osztás.

Ezért például itt van egy kifejezés, amelynek nincs értelme:

(17+11):(5+4-10+1).

Ha egyszerű számításokkal a második zárójelet egy számjegyre csökkentjük, akkor az nulla lesz.

Ugyanezen elv alapján „tiszteletbeli címet” kap ez a kifejezés:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebrai kifejezések

Miert van az?

A szó szerinti kifejezés vagy a változókat tartalmazó kifejezés szinonimák. Az első kifejezést könnyű megmagyarázni: végül is betűket tartalmaz! A második szintén nem az évszázad rejtélye: a betűk helyett különböző számokat lehet helyettesíteni, aminek következtében a kifejezés jelentése megváltozik. Nem nehéz kitalálni, hogy ebben az esetben a betűk a változók. Hasonlóan, a számok állandók.

És itt visszatérünk a fő témához: mi az a kifejezés, amelynek nincs jelentése?

Példák algebrai kifejezésekre, amelyeknek nincs értelme

Például (18-3):(a+11-9).

A fenti kifejezésnek nincs értelme, ha a egyenlő -2.

De az (a+3):(12-4-8)-ról nyugodtan kijelenthetjük, hogy ez egy olyan kifejezés, aminek nincs értelme egyetlen a-nak sem.

Ugyanígy bármilyen b-t is behelyettesít a (b - 11): (12+1) kifejezésbe, annak továbbra is lesz értelme.

Tipikus problémák a "Kifejezés, aminek nincs értelme" témában

Éppen ezért érdemes átgondolni a tipikus problémákat és azok megoldási módjait.

1. példa

Van értelme a kifejezésnek:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Az összes számítást zárójelben kell elvégezni, és a kifejezést a következő alakba kell vinni:

A végeredmény nullával való osztást tartalmaz, így a kifejezés értelmetlen.

2. példa

Mely kifejezéseknek nincs értelme?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Minden kifejezéshez ki kell számítania a végső értéket.

Válasz: 1; 2.

3. példa

Keresse meg a következő kifejezések elfogadható értéktartományát:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

A megengedett értékek tartománya (VA) mindazok a számok, amelyeket ha változók helyett helyettesítünk, a kifejezésnek értelme lesz.

Vagyis a feladat így hangzik: keressen olyan értékeket, amelyeknél nem lesz nullával való osztás.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), vagy b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), vagy b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

4. példa

Milyen értékek mellett nem lesz értelme az alábbi kifejezésnek?

A második zárójel nulla, ha a játék értéke -3.

Válasz: y=-3

4. példa

Melyik kifejezésnek nincs értelme csak x = -14 esetén?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 és 3, mivel az első esetben, ha behelyettesíti az x = -14-et, akkor a második zárójel -28 lesz, és nem nulla, ahogy ez egy értelmetlen kifejezés definíciójában hangzik.

5. példa.

Jöjjön ki és írjon le egy kifejezést, aminek nincs értelme.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebrai kifejezések két változóval

Annak ellenére, hogy minden értelmetlen kifejezésnek ugyanaz a lényege, összetettségüknek különböző szintjei vannak. Tehát azt mondhatjuk, hogy a numerikusak egyszerű példák, mert könnyebbek, mint az algebraiak. Ez utóbbiban a változók száma nehezíti a megoldást. De ne legyenek zavaróak a megjelenésükben: a lényeg az, hogy emlékezzünk a megoldás általános elvére és alkalmazzuk azt, függetlenül attól, hogy a példa hasonló-e egy szabványos problémához, vagy van-e ismeretlen kiegészítése.

Felmerülhet például a kérdés, hogyan lehet megoldani egy ilyen feladatot.

Keressen és írjon le egy olyan számpárt, amely érvénytelen a kifejezéshez:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Lehetséges válaszok:

A kapott tört számlálója nem boldog: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Ez egy tény. De van egy másik oka is a boldogságnak: hozzá sem kell nyúlni a feladat megoldásához! A korábban tárgyalt definíció szerint nullával nem lehet osztani, és teljesen lényegtelen, hogy pontosan mi lesz osztva vele. Ezért ezt a kifejezést változatlanul hagyjuk, és ezekből az opciókból számpárokat helyettesítünk a nevezőbe. Már a harmadik pont is tökéletesen illeszkedik, egy kis zárójelet nullává változtat. De az otthagyás rossz ajánlás, mert valami más is megfelelő lehet. Valóban: az ötödik pont is jól illeszkedik és megfelel a körülményeknek.

Felírjuk a választ: 3 és 5.

Végül

Amint látja, ez a téma nagyon érdekes és nem különösebben bonyolult. Nem lesz nehéz kitalálni. De soha nem árt begyakorolni pár példát!

Numerikus kifejezés– ez a számok, számtani szimbólumok és zárójelek bármely rekordja. Egy numerikus kifejezés egyszerűen csak egy számból állhat. Emlékezzünk vissza, hogy az alapvető aritmetikai műveletek az „összeadás”, „kivonás”, „szorzás” és „osztás”. Ezek a műveletek a „+”, „-”, „∙”, „:” jeleknek felelnek meg.

Természetesen ahhoz, hogy numerikus kifejezést kapjunk, a számok és a számtani szimbólumok rögzítésének értelmesnek kell lennie. Így például egy ilyen 5-ös bejegyzés: + ∙ nem nevezhető numerikus kifejezésnek, mivel ez egy véletlenszerű szimbólumkészlet, amelynek nincs jelentése. Éppen ellenkezőleg, az 5 + 8 ∙ 9 már valódi numerikus kifejezés.

Egy numerikus kifejezés értéke.

Tegyük fel rögtön, hogy ha végrehajtjuk a numerikus kifejezésben jelzett műveleteket, akkor ennek eredményeként számot kapunk. Ezt a számot hívják egy numerikus kifejezés értéke.

Próbáljuk kiszámolni, mit kapunk a példánk cselekvéseinek végrehajtása eredményeként. Az aritmetikai műveletek végrehajtásának sorrendje szerint először a szorzási műveletet hajtjuk végre. Szorozzuk meg a 8-at 9-cel. 72-t kapunk. Most adjunk hozzá 72-t és 5-öt. 77-et kapunk.
Szóval 77- jelentése numerikus kifejezés 5 + 8 ∙ 9.

Numerikus egyenlőség.

A következőképpen írhatod: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Itt használtuk először a „=” jelet („Egyenlő”). Olyan jelölést hívunk, amelyben két numerikus kifejezést „=” jel választ el számszerű egyenlőség. Sőt, ha az egyenlőség bal és jobb oldalának értékei egybeesnek, akkor az egyenlőséget ún. hűséges. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – helyes egyenlőség.
Ha 5 + 8 ∙ 9 = 100-at írunk, akkor ez már az lesz hamis egyenlőség, mivel ennek az egyenlőségnek a bal és jobb oldalának értékei már nem esnek egybe.

Megjegyzendő, hogy a numerikus kifejezésben zárójeleket is használhatunk. A zárójelek befolyásolják a műveletek végrehajtásának sorrendjét. Tehát például módosítsuk a példánkat zárójelek hozzáadásával: (5 + 8) ∙ 9. Most először össze kell adni 5-öt és 8-at. 13-at kapunk, majd megszorozzuk 13-at 9-cel. 117-et kapunk. + 8) ∙ 9 = 117.
117 – jelentése numerikus kifejezés (5 + 8) ∙ 9.

Egy kifejezés helyes olvasásához meg kell határoznia, hogy egy adott numerikus kifejezés értékének kiszámításához melyik műveletet hajtja végre utoljára. Tehát, ha az utolsó művelet a kivonás, akkor a kifejezést „különbségnek” nevezik. Ennek megfelelően, ha az utolsó művelet összeg - "összeg", osztás - "hányados", szorzás - "termék", hatványozás - "hatalom".

Például az (1+5)(10-3) numerikus kifejezés így hangzik: „az 1 és 5 számok összegének, valamint a 10 és 3 számok különbségének szorzata”.

Példák numerikus kifejezésekre.

Íme egy példa egy bonyolultabb numerikus kifejezésre:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Ez a numerikus kifejezés prímszámokat, közönséges törteket és tizedesjegyeket használ. Összeadás, kivonás, szorzás és osztás jeleket is használnak. A törtvonal az osztásjelet is helyettesíti. A látszólagos bonyolultság ellenére ennek a numerikus kifejezésnek az értékének megtalálása meglehetősen egyszerű. A lényeg az, hogy képes legyen műveleteket végrehajtani törtekkel, valamint gondosan és pontosan végezzen számításokat, figyelve a műveletek végrehajtásának sorrendjét.

A zárójelben a $\frac(1)(4)+3.75$ kifejezés szerepel. Alakítsa át a 3,75 tizedes törtet közönséges törtté.

3,75 USD=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Így, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Ezután a tört számlálójában \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] van az 1,25+3,47+4,75-1,47 kifejezés. Ennek a kifejezésnek az egyszerűsítésére alkalmazzuk az összeadás kommutatív törvényét, amely kimondja: „Az összeg nem változik a kifejezések helyének megváltoztatásával.” Vagyis 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

A tört nevezőjében a kifejezés 4 $\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Kapunk $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Mikor nincs értelme a numerikus kifejezéseknek?

Nézzünk egy másik példát. A tört nevezőjében $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ a $3\centerdot 3-9$ kifejezés értéke 0. És mint tudjuk, a nullával való osztás lehetetlen. Ezért a $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ törtnek nincs jelentése. Azokat a numerikus kifejezéseket, amelyeknek nincs jelentésük, „nincs jelentésük”.

Ha a numerikus kifejezésben a számok mellett betűket is használunk, akkor lesz