11-RE. Hányszorosára nő egy szabályos tetraéder térfogata, ha minden élét nyolcszorosára növeljük?

Egységes államvizsga teszt matematika.

8-as demóverzió.

A B csoport legnehezebb feladatainak megoldása.

AT 3. A paralelogrammának és a téglalapnak ugyanaz az oldala. megtalálja éles sarok paralelogramma, ha területe a téglalap területének fele. Válaszát fokokban adja meg.

Megoldás.

Párhuzamos terület képlete:

S= a . b. sin α, hol a, b- paralelogramma oldalai, sin α - köztük lévő szög.

A téglalap területének képlete:

S= a . b, Ahol a, b- a téglalap oldalai.

1) Duplázza meg a téglalap területét több területet egyenlő oldalú paralelogramma. Azaz:

a . b = 2 (a . b. sin α).

2) Számítsa ki az α szög szinuszát:

a . b
sin α = ———— = 1/2.
2(a . b)

3) Emlékezzünk a számkörre: ha egy szög szinusza 1/2, akkor ez a szög maga 30°. Tehát a probléma megoldódott.

Válasz: 30.

10 ÓRAKOR. A tornabajnokságon 56 sportoló vesz részt: 27 orosz, 22 amerikai, a többiek Kínából. A tornászok teljesítményének sorrendjét sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az elsőként versenyző sportoló Kínából származik.

Megoldás.

7 kínai tornász vesz részt a bajnokságban (56 - 27 - 22 = 7).

Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy kínai nő teljesít először, 7/56. Összeállítjuk ezt az arányt, és tizedes törtté alakítjuk, ami lesz a válasz:

7/56 = 0,125.

Válasz: 0,125.

11-RE. Hányszorosára nő egy szabályos tetraéder térfogata, ha minden élét nyolcszorosára növeljük?

Megoldás.

A tetraéder térfogatának képlete:

V = √2/12. a 3 hol A- a tetraéder élének hossza.

Látjuk, hogy a tetraéder térfogata csak az élének hosszától függ. Vagyis ha összehasonlítunk két különböző méretű tetraédert, akkor megkapjuk: hányszor többet a 3 tetraéder egy másikhoz képest, térfogata ugyanannyiszor nagyobb. Ez azt jelenti, hogy a probléma egyszerűen megoldható.

Hadd A= 1. Ekkor a 3 = 1.

Növeljük az él hosszát 8-szorosára - most hagyjuk A= 8. Lássuk, mi történik ebben az esetben:

8 3 = 512.

Következtetés: ha egy tetraéder élét 8-szorosára növeljük, térfogata 512-szeresére nő.

Válasz: 512.

12-KOR. A kereslet mennyiségének függősége q(havi egység) egy monopolista vállalkozás termékeire az árból p(ezer rubel) a képlet adja meg q= 50−5p. Vállalati bevétel a hónapban r(ezer rubel) a képlet segítségével kerül kiszámításra r(p) = pq. Határozza meg a legmagasabb árat p, amelynél a havi bevétel r(p) összege 120 ezer rubel lesz. Válaszát több ezer rubelben adja meg.

Megoldás.

Először is írjuk le, hogy mit tudunk a problémából:

r(p) = 120,

q= 50−5p.

A bevételi képletbe r(p) = pq helyettesítjük ezt a két értéket, csökkentjük és megkapjuk másodfokú egyenlet:

p(50−5p) = 120,

50p - 5p 2 = 120,

5p 2 + 50p = 120,

5p 2 + 50p - 120 = 0,

5p 2 - 50p + 120 = 0,

p 2 - 10p + 24 = 0.

A másodfokú egyenlet megoldása után megkapjuk a két gyökét:

p 1 = 4, p 2 = 6.

Meg kell határoznunk a legmagasabb árat - vagyis két értékből p válassza ki a másodikat: 6 (ezer rubel).

Válasz: 6.

B13. Két szárazteherhajó párhuzamos pályát követ ugyanabban az irányban a tengeren át: az első 120 méter, a második 80 méter hosszú. Eleinte a második teherhajó lemarad az első mögött, és bizonyos időpontokban az első teherhajó fara és a második orra közötti távolság 400 méter. 12 perccel ezután az első teherhajó lemarad a második mögött, így a távolság a második teherhajó farától az első orráig 600 méter. Hány kilométerrel óránként kisebb az első teherhajó sebessége, mint a másodiké?

Megoldás.

Fontos megérteni: az első nem állt egy helyben, mindkettő megmozdult. Feltétlenül el kell képzelni két száraz teherszállító hajót mozgásban, hogy ne hibázzon vagy ne hajtson végre szükségtelen műveleteket, amelyek szintén helytelen válaszhoz vezetnek.

1) Tehát a második teherhajó gyorsabban mozgott, és 12 perc alatt 600 méterrel megelőzte az első teherhajót, leküzdve a 400 méteres késést, az első teherhajó hosszát és a saját hosszával megegyező távolságot. Ennek eredményeként az első teherhajóhoz képest a következő mennyiségek összegével elmozdult:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (m).

12 perc - 1200 m

60 perc - x m.

Innen:

x= 60 . 1200: 12 = 6000 m vagy 6 km.

Így a második teherhajó sebessége 6 km/h-val nagyobb, mint az elsőé.

A probléma megoldódott.

Válasz: 6.

12-KOR. Egy radioaktív izotóp bomlása során tömege az m(t) = m 0 2 -t/T törvény szerint csökken, ahol m 0 (mg) az izotóp kezdeti tömege, t(min.) az idő eltelt a kezdeti pillanattól kezdve. T(min.) - az izotóp felezési ideje. A kezdeti pillanatban az m 0 izotóp tömege = 80 mg. Felezési idő T = 3 perc. Hány perc múlva lesz az izotóp tömege 10 mg?

B13. A család férjből, feleségből és diáklányukból áll. Ha a férj fizetése megduplázódik, a család összjövedelme 60%-kal nőne. Ha a lánya ösztöndíját felére csökkentenék, a család összjövedelme 2%-kal csökkenne. A családi összjövedelem hány százaléka a feleség fizetése?

B14. megtalálja legkisebb érték függvények y = 8x 2 - x 3 + 13 a [-5; 5].

2. RÉSZ

A C1 - C6 feladatok megoldásainak és válaszainak rögzítéséhez használja a 2. számú válaszlapot. Először írja le az elvégzendő feladat számát (C1, C2 stb.), majd a teljes megalapozott döntésés a válasz.

C1. a) Oldja meg a 2sin 3 x - 2sinx + cos 2 x = 0 egyenletet.

b) Határozza meg ennek az egyenletnek a [-7π/2 szegmenshez tartozó összes gyökét; -2π].

C2. Az E pont az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kocka AA 1 élének közepe. Határozza meg a DE és BD 1 egyenesek közötti szöget.

C3. Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!

C4. Az ABC háromszögben az AA 1 és CC 1, K és M felezők rajzolódnak ki - a B pontból az AA 1 és CC 1 egyenesekre ejtett merőlegesek alapjai.

a) Bizonyítsuk be, hogy MK = AC.

b) Határozza meg a KVM háromszög területét, ha ismert, hogy AC = 10, BC = 6, AB = 8.

C5. Keresse meg α összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenlet

Több mint három különböző megoldással rendelkezik.

C6. A számokat sorba írjuk: 1 2, 2 2 ..., (N - 1) 2, N 2. Közöttük a „+” és „-” jeleket véletlenszerűen elhelyezzük, és a kapott összeget megtaláljuk. Ez az összeg egyenlő lehet:

a) 12, ha N=12?

b) 0, ha N=70?

c) 0, ha N=48?

d) - 3, ha N=90?

HASZNÁLATI TESZT - 2014 MATEMATIKÁBAN

2. LEHETŐSÉG

1. RÉSZ

A B1 - B14 feladatok válaszának egész vagy véges számnak kell lennie decimális. A választ az elvégzendő feladat sorszámától jobbra, az első cellától kezdődően az 1. számú válaszlapon kell leírni. Minden számot, mínuszjelet és tizedesvesszőt írjon külön rovatba az űrlapon megadott minták szerint! Nem kell mértékegységeket írni.

AZ 1-BEN. A kiskereskedelemben a "Jelentés" heti magazin egy száma 27 rubelbe kerül, a magazin hat hónapos előfizetése pedig 550 rubelt. A folyóirat 25 száma hat hónap alatt jelenik meg. Hány rubelt takarít meg Ivanov úr hat hónap alatt, ha nem külön vásárolja meg a folyóirat minden számát, hanem előfizet?

AT 2. A diagram a résztvevők átlagos pontszámát mutatja 10 országban a 2007-es 4. osztályos matematikai teszten (10 500 pontos skálán).

A diagram segítségével keresse meg azon országok számát, amelyek átlagos pontszáma 495 és 515 között van.

AT 3. Keresse meg az ABCD háromszög területét. Az egyes cellák mérete 1 cm x 1 cm. Válaszát négyzetcentiméterben adja meg.

AT 4. Külföldi vendégek csoportja számára 20 db útikönyv vásárlása szükséges. A szükséges útikönyveket három webáruházban találtuk meg. A vásárlási és szállítási feltételeket a táblázat tartalmazza. Határozza meg, melyik üzletben lesz a legkisebb a vásárlás teljes összege a szállítással együtt. Válaszában írja be a legkisebb összeget rubelben.

Egy tetraéder térfogata.Ebben a cikkben több piramisos feladatot is megvizsgálunk. Mint tudják, a tetraéder egyben piramis is. RÓL RŐL tetraéder definíció:

A tetraéder a legegyszerűbb poliéder, 4 lapja van, amelyek háromszögek. Egy tetraédernek 4 csúcsa van, mindegyik csúcshoz 3 él konvergál, élei összesen 6. Szabályosnak nevezzük azt a tetraédert, amelynek lapjai egyenlő oldalú háromszögek.

Egy piramis (és így egy tetraéder) térfogata:

S – a piramis alapterülete h – a piramis magassága

Számítsuk ki egy szabályos tetraéder térfogatát egy élen egyenlő az értékkel a.

Ekkor minden arc területe egyenlő lesz (in ebben az esetbenés ABC alapok):

Számítsuk ki az SO magasságot. Mérlegeljük derékszögű háromszög SOC:

*Ismert, hogy a háromszög felezőit 1:2 arányban osztjuk el a metszésponttal.

Számítsuk ki a CM-et. A Pitagorasz-tétel szerint:

Ennélfogva:

Így a tetraéder térfogata egyenlő lesz:

Az alábbiakban tárgyalt feladatok jelentése a következő: a piramis összes éle, vagy csak a magassága többszörösére nő. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben a felülete is megnő. Ezután ki kell számolnia, hogy ez a növekedés hányszor fordul elő.

1. Ha csak a gúla magassága növekszik, és kérdéses a térfogat változtatása, akkor nyilvánvaló, hogy a gúla kezdeti térfogatával egyenes arányban nő, mivel a függés lineáris. Egyszerűen fogalmazva, a hangerő annyiszor nő, ahányszor a magasság nő.

2. Ha arról beszélünk, hogy a piramis összes élét bizonyos számú alkalommal megnöveljük, akkor meg kell értenünk, hogy az eredmény egy az eredetihez hasonló gúla, amelynek lapjai is hasonlóak a piramis megfelelő lapjaihoz. a kapott piramis.

megengedem magamnak Ebben a pillanatban, az alakok és testek hasonlóságának kérdésében javaslom, hogy forduljon a tankönyvben felvázolt elmélethez. A közeljövőben mindenképpen közzéteszek egy külön cikket erről a témáról.

Ami a bemutatott feladatcsoportot illeti, megjegyzem, hogy a hasonlósági tulajdonságok felhasználásával az ilyen feladatok gyakorlatilag egy műveletben oldódnak meg.

Íme, amire emlékezned és tudnod kell:

Vagyis ha a piramis összes élét k-szor növeljük, akkor bármelyik lapjának területének aránya az eredeti megfelelő lap területéhez képest k 2 lesz. Természetesen az ilyen piramisok felületeinek összterületének aránya is egyenlő lesz k 2-vel.

És:

Vagyis ha a gúla összes élét k-szor növeljük, akkor a kapott gúla térfogatának és az eredeti gúla térfogatának aránya egyenlő lesz k 3 . Nézzük a feladatokat:

Hányszorosára nő egy szabályos tetraéder térfogata, ha minden élét tizenhatszorosára növeljük?

A tetraéder egy piramis, amelynek minden lapja egyenlő oldalú háromszög.

Ez a piramis és az összes élének 16-szoros növelésével kapott gúla hasonló lesz, a hasonlósági együttható ennek megfelelően 16 lesz.

A hasonló testek térfogatát a hasonlósági együttható kockájaként viszonyítjuk.Azaz, amint már említettük, a kapott piramis térfogata megegyezik a hasonlósági együttható kocka és az eredeti piramis térfogatának szorzatával:

Határozzuk meg, hányszorosára nő a térfogat, és keressük meg a térfogatok arányát:

Így, ha az összes élt 16-szorosára növeljük, akkor a hangerő 4096-szorosára nő.

* A problémát másként is megoldhatja. Jelölje ki a tetraéder szélét mint A, majd fejezze ki a magasságát. Ezután a képlet segítségével határozza meg a piramisok térfogatát, majd határozza meg a kapott térfogatok arányát. De egy ilyen út indokolatlanul hosszú lesz, és sokszor több időt igényel a megoldása.

Válasz: 4096

Hányszorosára nő a piramis térfogata, ha a magasságát tizenkétszeresére növeljük?

A piramis térfogata egyenlő az alapterület és a magasság szorzatának egyharmadával:

S– alapterület

h– a piramis magassága

Ha a magasság 12-szeresére nő, akkor a piramis térfogata is 12-szeresére nő (ez lineáris összefüggés):

Válasz: 12

Hányszorosára nő egy szabályos tetraéder felülete, ha minden élét ötszörösére növeljük?

Vegye figyelembe, hogy a tetraéder felülete megegyezik négy lapja területének összegével, amelyek szabályos háromszögek.

Első út:

Határozzuk meg az eredeti és a kinagyított tetraéder felületét, majd keressük meg a területek arányát.

Legyen a tetraéder éle egyenlő A, akkor az arc területe egyenlő lesz:

* Háromszöget használtunk.

Ez azt jelenti, hogy az eredeti tetraéder felülete egyenlő lesz:

Ha a tetraéder éleit ötszörösére növeljük, akkor a felület a következőképpen változik:

A terület aránya:

Így ha egy tetraéder éleit ötszörösére növeljük, akkor felülete 25-szörösére nő.

Második út:

Ismeretes, hogy ha egy ábra lineáris méreteit k-szor növeljük (csökkentjük), egy hozzá hasonló alakzatot kapunk, területeiket a hasonlósági együttható négyzeteként viszonyítjuk, azaz:

k – ez a hasonlósági együttható

Ebben a feladatban k=5.

Vagyis a hasonlóság tulajdonság használatával a probléma szóban megoldódik:

*A piramis minden lapjának területe 25-szörösére nő, ami azt jelenti, hogy a teljes piramis felülete is 25-szörösére nő.

Válasz: 25

27172. Hányszorosára nő a piramis felülete, ha minden éle megduplázódik?

Ez a feladat nem különbözik az előzőtől. Teljesen mindegy, hogy tetraéderről, piramisról, kockáról, paralelepipedonról vagy más poliéderről beszélünk. Ha azt mondjuk, hogy minden él növekszik ugyanaz a szám alkalommal, akkor az „új” test kapott lapjai hasonlóak lesznek az eredeti test megfelelő lapjaihoz. Ez azt jelenti, hogy a felület k 2-szeresére nő (ahol k a hasonlósági együttható).