Minden képlet geometriai progresszióban van. Geometriai progresszió példákkal

Nézzünk egy bizonyos sorozatot.

7 28 112 448 1792...

Teljesen egyértelmű, hogy bármelyik elemének értéke pontosan négyszer nagyobb, mint az előzőé. Ez azt jelenti, hogy ez a sorozat egy előrehaladás.

A geometriai progresszió egy végtelen számsorozat. fő jellemzője ami azt jelenti, hogy a következő számot valamilyen meghatározott számmal megszorozva kapjuk az előzőből. Ezt a következő képlet fejezi ki.

a z +1 =a z ·q, ahol z a kiválasztott elem száma.

Ennek megfelelően z ∈ N.

Az az időszak, amikor a geometriai progressziót az iskolában tanulják, a 9. osztály. Példák segítenek megérteni a koncepciót:

0.25 0.125 0.0625...

A képlet alapján a progresszió nevezője a következőképpen található:

Sem q, sem b z nem lehet nulla. Ezenkívül a progresszió egyik eleme sem lehet egyenlő nullával.

Ennek megfelelően a sorozat következő számának kiderítéséhez meg kell szorozni az utolsót q-val.

A progresszió beállításához meg kell adni az első elemet és a nevezőt. Ezek után meg lehet találni bármelyik következő kifejezést és azok összegét.

Fajták

q-tól és 1-től függően ez a folyamat több típusra oszlik:

• Ha a 1 és q is nagyobb, mint egy, akkor az ilyen sorozat mindegyikével növekszik következő elem geometriai progresszió. Az alábbiakban erre mutatunk be egy példát.

Példa: a 1 =3, q=2 - mindkét paraméter nagyobb egynél.

Ekkor a számsor a következőképpen írható fel:

3 6 12 24 48 ...

• Ha |q| kisebb, mint egy, azaz a vele való szorzás osztásnak felel meg, akkor a hasonló feltételek melletti haladás csökkenő geometriai haladás. Az alábbiakban erre mutatunk be egy példát.

Példa: a 1 =6, q=1/3 - a 1 nagyobb, mint egy, q kisebb.

Ekkor a számsor a következőképpen írható fel:

6 2 2/3 ... - bármely elem 3-szor nagyobb, mint az őt követő elem.

• Váltakozó jel. Ha q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Példa: a 1 = -3, q = -2 - mindkét paraméter kisebb, mint nulla.

Ekkor a számsor a következőképpen írható fel:

3, 6, -12, 24,...

Képletek

Számos képlet létezik a geometriai progressziók kényelmes használatához:

• Z-tag képlet. Lehetővé teszi egy adott szám alatti elem kiszámítását az előző számok kiszámítása nélkül.

Példa:q = 3, a 1 = 4. Meg kell számolni a progresszió negyedik elemét.

Megoldás:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Azon első elemek összege, amelyek mennyisége egyenlő z. Lehetővé teszi a sorozat összes elemének összegének kiszámításáta zinkluzív.

óta (1-q) a nevezőben van, akkor (1 - q)≠ 0, ezért q nem egyenlő 1-gyel.

Megjegyzés: ha q=1, akkor a progresszió végtelenül ismétlődő számok sorozata lenne.

Geometriai progresszió összege, példák:a 1 = 2, q= -2. Számítsa ki az S5-öt.

Megoldás:S 5 = 22 - számítás a képlet segítségével.

• Összeg, ha |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Példa:a 1 = 2 , q= 0,5. Keresse meg az összeget.

Megoldás:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Néhány tulajdonság:

• Jellegzetes tulajdonság. Ha a következő feltétel bármelyiknél működikz, akkor az adott számsor egy geometriai progresszió:

a z 2 = a z -1 · az+1

• A geometriai sorozatban szereplő bármely szám négyzetét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk egy adott sorozat bármely két másik számának négyzetét, ha azok egyenlő távolságra vannak ettől az elemtől.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Aholt- a számok közötti távolság.

• Elemekq-ban különbözikegyszer.
• Egy progresszió elemeinek logaritmusa is egy progressziót képez, de egy aritmetikait, vagyis mindegyik egy bizonyos számmal nagyobb az előzőnél.

Példák néhány klasszikus problémára

A geometriai progresszió jobb megértéséhez a 9. osztályra vonatkozó megoldási példák segíthetnek.

• Körülmények:a 1 = 3, a 3 = 48. Keresse megq.

Megoldás: minden következő elem nagyobb, mint az előzőq egyszer.Egyes elemeket másokkal nevezővel kell kifejezni.

Ennélfogva,a 3 = q 2 · a 1

Cserekorq= 4

• Körülmények:a 2 = 6, a 3 = 12. Számítsd ki az S 6-ot!

Megoldás:Ehhez keresse meg a q-t, az első elemet, és cserélje be a képletbe.

a 3 = q· a 2 , ennélfogva,q= 2

a 2 = q · egy 1,Ezért a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Keresse meg a progresszió negyedik elemét.

Megoldás: ehhez elég a negyedik elemet az elsőn és a nevezőn keresztül kifejezni.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Alkalmazási példa:

• Egy banki ügyfél 10 000 rubel összegű letétet helyezett el, amelynek feltételei szerint az ügyfél minden évben ennek 6%-át hozzáadja a tőkeösszeghez. Mennyi pénz lesz a számlán 4 év múlva?

Megoldás: A kezdeti összeg 10 ezer rubel. Ez azt jelenti, hogy a befektetés után egy évvel a számlán 10 000 + 10 000 összeg lesz. · 0,06 = 10000 1,06

Ennek megfelelően a számlán lévő összeg egy év elteltével a következőképpen jelenik meg:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Vagyis minden évben 1,06-szorosára nő az összeg. Ez azt jelenti, hogy a számlán lévő pénzeszközök 4 év elteltével történő megtalálásához elegendő a progresszió negyedik elemét megtalálni, amelyet az első elem 10 ezerrel és a nevező 1,06 ad meg.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Példák összegszámítási feladatokra:

A geometriai progressziót különféle problémákban alkalmazzák. Az összeg megállapítására a következő példa adható:

a 1 = 4, q= 2, számítsd kiS 5.

Megoldás: a számításhoz szükséges összes adat ismert, csak be kell cserélni a képletbe.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Számítsd ki az első hat elem összegét!

Megoldás:

In geom. progresszió, minden következő elem q-szor nagyobb, mint az előző, vagyis az összeg kiszámításához ismerni kell az elemeta 1 és nevezőq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Hasonlóképpen meg kell találnia 1 , tudvána 2 Ésq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometriai progresszió egy numerikus sorozat, amelynek első tagja nem nulla, és minden további tag egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a nullától eltérő számmal.

A geometriai progresszió fogalma

A geometriai progresszió jelölése b1,b2,b3, …, bn, ….

A geometriai hiba bármely tagjának az előző tagjához viszonyított aránya azonos számmal, azaz b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ez közvetlenül következik a definícióból aritmetikai progresszió. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének. Általában a geometriai progresszió nevezőjét q betűvel jelöljük.

A |q| végtelen geometriai progressziójának összege<1

A geometriai progresszió megadásának egyik módja, ha megadjuk annak első tagját b1 és a q geometriai hiba nevezőjét. Például b1=4, q=-2. Ez a két feltétel határozza meg a geometriai progressziót 4, -8, 16, -32, ….

Ha q>0 (q nem egyenlő 1-gyel), akkor a progresszió monoton sorozat. Például a 2, 4,8,16,32, ... sorozat egy monoton növekvő sorozat (b1=2, q=2).

Ha a geometriai hibában a nevező q=1, akkor a geometriai progresszió minden tagja egyenlő lesz egymással. Ilyen esetekben a progressziót állandó sorozatnak mondják.

Ahhoz, hogy egy számsorozat (bn) geometriai progresszió legyen, szükséges, hogy minden tagja a másodiktól kezdve a szomszédos tagok geometriai középértéke legyen. Vagyis teljesíteni kell a következő egyenletet
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), bármely n>0 esetén, ahol n a halmazhoz tartozik természetes számok N.

Most tegyük fel (Xn) - geometriai progressziót. A q geometriai haladás nevezője, és |q|∞).
Ha most S-vel jelöljük egy végtelen geometriai haladás összegét, akkor a következő képlet érvényes:
S=x1/(1-q).

Nézzünk egy egyszerű példát:

Határozzuk meg a 2, -2/3, 2/9, - 2/27, … végtelen geometriai haladás összegét.

Az S megtalálásához a végtelen számtani progresszió összegének képletét használjuk. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Tekintsük most egy végtelen geometriai progresszió összegzésének kérdését. Nevezzük egy adott végtelen haladás részösszegét az első tagok összegének. Jelöljük a részösszeget szimbólummal

Minden végtelen fejlődéshez

részösszegeiből összeállíthatunk egy (szintén végtelen) sorozatot

A korlátlan növekedésű sorozatnak legyen határa

Ebben az esetben az S számot, azaz egy progresszió részösszegeinek határát végtelen progresszió összegének nevezzük. Bebizonyítjuk, hogy a végtelenül csökkenő geometriai haladásnak mindig van összege, és ennek az összegnek egy képletét fogjuk levezetni (azt is megmutathatjuk, hogy ha egy végtelen haladásnak nincs összege, akkor nem létezik).

Írjuk fel a részösszeg kifejezését a (91.1) képlet segítségével a progresszió tagjainak összegeként, és tekintsük a részösszeg határát

A 89. tételből ismert, hogy csökkenő progresszió esetén; ezért a különbséghatártételt alkalmazva azt találjuk

(itt is érvényes a szabály: a konstans tényezőt a határjelen túlra vesszük). A létezés bizonyítást nyer, és egyúttal megkapjuk a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének képletét:

Az egyenlőség (92,1) a formába is írható

Itt paradoxnak tűnhet, hogy végtelen számú tag összegéhez nagyon határozott véges értéket rendelünk.

Világos szemléltetéssel magyarázható ez a helyzet. Vegyünk egy négyzetet, amelynek oldala eggyel egyenlő (72. ábra). Ezt a négyzetet vízszintes vonallal osszuk két egyenlő részre, és rögzítsük a felső részt az alsóhoz úgy, hogy téglalap képződjön a 2 és a oldalú oldalakkal. Ezután ennek a téglalapnak a jobb felét ismét kettéosztjuk egy vízszintes vonallal, és a felső részt az alsóhoz rögzítjük (a 72. ábra szerint). Folytatva ezt a folyamatot, az eredeti, 1-es területű négyzetet folyamatosan egyforma méretű figurákká alakítjuk (egy ritkító lépcsős lépcső formáját öltve).

Ennek a folyamatnak a végtelen folytatásával a négyzet teljes területe végtelen számú tagra bomlik - az 1-es alappal és magassággal rendelkező téglalapok területére. A téglalapok területei pontosan végtelenül csökkenő progressziót alkotnak, ennek összege

azaz, ahogy az várható is, megegyezik a tér területével.

Példa. Határozzuk meg a következő végtelen folyamatok összegét:

Megoldás, a) Észrevesszük, hogy ez a progresszió Ezért a (92.2) képlet segítségével azt találjuk

b) Itt azt jelenti, hogy ugyanazt a (92.2) képletet használjuk

c) Azt találjuk, hogy ennek a progressziónak nincs összege.

Az 5. bekezdésben bemutattuk egy végtelenül csökkenő progresszió tagösszegére vonatkozó képlet alkalmazását egy periodikus inverziójára. decimális közös törtté.

Feladatok

1. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege 3/5, első négy tagjának összege 13/27. Keresse meg a progresszió első tagját és nevezőjét!

2. Keressen négy olyan számot, amelyek egy váltakozó geometriai sorozatot alkotnak, amelyekben a második tag 35-tel kisebb, mint az első, a harmadik pedig 560-al nagyobb, mint a negyedik.

3. Mutassuk meg, hogy ha a sorozat

végtelenül csökkenő geometriai progressziót alkot, majd a sorozat

bármelyiknél végtelenül csökkenő geometriai progressziót alkot. Vajon igaz lesz-e ez az állítás, amikor

Vezess le egy képletet a geometriai progresszió tagjainak szorzatára!

A geometriai haladás az aritmetikai haladás mellett fontos számsor, amelyet az iskolai algebra tanfolyamon tanulnak a 9. osztályban. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a geometriai progresszió nevezőjét, és azt, hogy az értéke hogyan befolyásolja tulajdonságait.

A geometriai progresszió definíciója

Először is adjuk meg ennek a számsornak a definícióját. Az ilyen sorozatot geometriai progressziónak nevezzük racionális számok, amely úgy jön létre, hogy az első elemét szekvenciálisan megszorozzuk egy nevezőnek nevezett állandó számmal.

Például a 3, 6, 12, 24, ... sorozatban lévő számok egy geometriai haladás, mert ha 3-at (az első elemet) megszorozunk 2-vel, akkor 6-ot kapunk. Ha 6-ot szorozunk 2-vel, akkor azt kapjuk, hogy 12, és így tovább.

A vizsgált sorozat tagjait általában ai szimbólummal jelöljük, ahol i egy egész szám, amely a sorozat elemének számát jelöli.

A progresszió fenti definíciója a következőképpen írható le matematikai nyelven: an = bn-1 * a1, ahol b a nevező. Ezt a képletet könnyű ellenőrizni: ha n = 1, akkor b1-1 = 1, és azt kapjuk, hogy a1 = a1. Ha n = 2, akkor an = b * a1, és ismét elérkezünk a kérdéses számsor definíciójához. Hasonló érvelés folytatható nagy értékek n.

A geometriai progresszió nevezője

A b szám teljesen meghatározza, hogy a teljes számsor milyen karakterű lesz. A b nevező lehet pozitív, negatív, vagy nagyobb vagy kisebb, mint egy. A fenti lehetőségek mindegyike különböző sorozatokhoz vezet:

• b > 1. Egyre nő a racionális számok sorozata. Például 1, 2, 4, 8, ... Ha az a1 elem negatív, akkor a teljes sorozat csak abszolút értékben nő, de a számok előjelétől függően csökken.
• b = 1. Ezt az esetet gyakran nem progressziónak nevezik, mivel létezik egy azonos racionális számokból álló közönséges sorozat. Például -4, -4, -4.

Az összeg képlete

Mielőtt a vizsgált progresszió típusának nevezőjével konkrét problémák vizsgálatára térnénk át, meg kell adni egy fontos képletet annak első n elemének összegére. A képlet így néz ki: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ezt a kifejezést saját maga is megszerezheti, ha figyelembe vesszük a progresszió rekurzív tagsorozatát. Azt is vegyük figyelembe, hogy a fenti képletben elég csak az első elemet és a nevezőt ismerni, hogy tetszőleges számú tag összegét megtaláljuk.

Végtelenül csökkenő sorrend

Fentebb magyarázatot adtak arra, hogy mi ez. Most pedig, ismerve az Sn képletét, alkalmazzuk erre a számsorra. Mivel minden olyan szám, amelynek modulusa nem haladja meg az 1-et, ha erre emeljük nagy fokok nullára hajlik, azaz b∞ => 0, ha -1

Mivel az (1 - b) különbség mindig pozitív lesz, függetlenül a nevező értékétől, ezért egy végtelenül csökkenő S∞ geometriai haladás összegének előjelét az első elemének a1 előjele egyértelműen meghatározza.

Most nézzünk meg néhány problémát, ahol megmutatjuk, hogyan lehet a megszerzett tudást konkrét számokon alkalmazni.

1. számú feladat Ismeretlen haladáselemek és összeg számítása

Adott egy geometriai haladás, a haladás nevezője 2, az első eleme pedig 3. Mi lesz a 7. és 10. tagja, és mennyi a hét kezdőelemének összege?

A probléma feltétele meglehetősen egyszerű, és magában foglalja a fenti képletek közvetlen használatát. Tehát az n elemszám kiszámításához az an = bn-1 * a1 kifejezést használjuk. A 7. elemhez a következőt kapjuk: a7 = b6 * a1, az ismert adatokat behelyettesítve a következőt kapjuk: a7 = 26 * 3 = 192. Ugyanígy járunk el a 10. taggal is: a10 = 29 * 3 = 1536.

Használjuk a jól ismert képletet az összeghez, és határozzuk meg ezt az értéket a sorozat első 7 elemére. A következőt kaptuk: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

2. feladat Progresszió tetszőleges elemeinek összegének meghatározása

Legyen -2 egyenlő a bn-1 * 4 geometriai haladás nevezőjével, ahol n egész szám. Meg kell határozni az összeget ennek a sorozatnak az 5. és 10. eleme között.

A feltett probléma nem oldható meg közvetlenül ismert képletekkel. 2 módon lehet megoldani különféle módszerek. A téma bemutatásának teljessége érdekében mindkettőt bemutatjuk.

1. módszer. Az ötlet egyszerű: ki kell számítani az első tagok két megfelelő összegét, majd ki kell vonni az egyikből a másikat. Kiszámoljuk a kisebb összeget: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Most kiszámoljuk a nagyobb összeget: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Figyeljük meg, hogy az utolsó kifejezésben csak 4 tagot összegeztünk, mivel az 5. már benne van abban az összegben, amelyet a feladat feltételei szerint kell kiszámítani. Végül vesszük a különbséget: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. módszer. A számok behelyettesítése és a számolás előtt egy képletet kaphatunk a kérdéses sorozat m és n tagja közötti összegre. Pontosan ugyanúgy járunk el, mint az 1. módszernél, csak először az összeg szimbolikus ábrázolásával dolgozunk. Van: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Ismert számokat behelyettesíthet a kapott kifejezésbe, és kiszámíthatja a végeredményt: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

3. feladat. Mi a nevező?

Legyen a1 = 2, keressük meg a geometriai haladás nevezőjét, feltéve, hogy végtelen összege 3, és tudjuk, hogy ez egy csökkenő számsor.

A probléma körülményei alapján nem nehéz kitalálni, hogy melyik képletet érdemes használni a megoldáshoz. Természetesen a végtelenül csökkenő progresszió összegére. Van: S∞ = a1 / (1 - b). Innen fejezzük ki a nevezőt: b = 1 - a1 / S∞. Már csak a helyettesítés marad hátra ismert értékekés megkapjuk a szükséges számot: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 vagy -0,333(3). Ezt az eredményt minőségileg ellenőrizhetjük, ha emlékezünk arra, hogy ennél a sorozattípusnál a b modulus nem haladhatja meg az 1-et. Amint látható, |-1 / 3|

4. számú feladat Számsor visszaállítása

Legyen adott egy számsor 2 eleme, például az 5. egyenlő 30-al, a 10. pedig 60. Ezekből az adatokból kell a teljes sorozatot rekonstruálni, tudva, hogy az kielégíti a geometriai haladás tulajdonságait.

A probléma megoldásához először minden ismert kifejezéshez le kell írni a megfelelő kifejezést. Van: a5 = b4 * a1 és a10 = b9 * a1. Most osszuk el a második kifejezést az elsővel, így kapjuk: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Innen a nevezőt úgy határozzuk meg, hogy a problémafelvetésből ismert tagok arányának ötödik gyökét vesszük, b = 1,148698. A kapott számot behelyettesítjük az ismert elem egyik kifejezésébe, így kapjuk: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Így megtaláltuk a bn haladás nevezőjét és a bn-1 * 17,2304966 = an geometriai haladást, ahol b = 1,148698.

Hol használják a geometriai progressziót?

Ha ennek a számsornak nem lenne gyakorlati alkalmazása, akkor tanulmányozása pusztán elméleti érdeklődésre redukálna. De létezik ilyen alkalmazás.

Íme a 3 leghíresebb példa:

• Zénón paradoxonát, amelyben a fürge Akhilleusz nem tudja utolérni a lassú teknősbékát, a végtelenül csökkenő számsorozat fogalmával oldják meg.
• Ha minden egyes cellához sakktábla tegyél búzaszemet úgy, hogy az 1. cellába 1 szem, a 2. - 2, a 3. - 3 és így tovább, majd a tábla összes cellájának kitöltéséhez 18446744073709551615 szemre lesz szükséged!
• A "Tower of Hanoi" játékban a lemezek egyik rúdról a másikra való mozgatásához 2n - 1 műveletet kell végrehajtani, azaz számuk exponenciálisan növekszik a felhasznált n lemezek számával.

A matematika az, amiaz emberek irányítják a természetet és önmagukat.

szovjet matematikus, akadémikus A.N. Kolmogorov

Geometriai progresszió.

A matematikai felvételi vizsgákon az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák mellett gyakoriak a geometriai haladás fogalmával kapcsolatos problémák is. Az ilyen problémák sikeres megoldásához ismernie kell a geometriai progresszió tulajdonságait, és jó ismeretekkel kell rendelkeznie a használatukban.

Ez a cikk a geometriai progresszió alapvető tulajdonságainak bemutatására szolgál. Itt találhatók példák a tipikus problémák megoldására is., matematikából felvételi vizsgák feladataiból kölcsönzött.

Először jegyezzük meg a geometriai progresszió alapvető tulajdonságait, és idézzük fel a legtöbbet fontos képletekés nyilatkozatok, kapcsolódik ehhez a fogalomhoz.

Meghatározás. Egy számsorozatot geometriai progressziónak nevezünk, ha minden szám a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. A számot a geometriai progresszió nevezőjének nevezzük.

A geometriai progresszióhoza képletek érvényesek

, (1)

Ahol . Az (1) képletet képletnek nevezzük általános tagja geometriai progresszió, a (2) képlet pedig a geometriai progresszió fő tulajdonságát képviseli: a progresszió minden tagja egybeesik a szomszédos tagok geometriai átlagával és.

Jegyzet, hogy éppen e tulajdonság miatt nevezik a kérdéses progressziót „geometrikusnak”.

A fenti (1) és (2) képlet a következőképpen általánosítható:

, (3)

Az összeg kiszámításához első egy geometriai progresszió tagjaiképlet érvényes

Ha jelöljük, akkor

Ahol . Mivel a (6) képlet az (5) képlet általánosítása.

Abban az esetben, amikor és geometriai progresszióvégtelenül csökken. Az összeg kiszámításáhoza végtelenül csökkenő geometriai progresszió összes tagjából a képletet használjuk

. (7)

Például , a (7) képlet segítségével megmutathatjuk, Mit

Ahol . Ezeket az egyenlőségeket a (7) képletből kapjuk, azzal a feltétellel, hogy , (első egyenlőség) és , (második egyenlőség).

Tétel. Ha akkor

Bizonyíték. Ha akkor

A tétel bizonyítást nyert.

Nézzük meg a „Geometriai progresszió” témával kapcsolatos problémák megoldásának példáit.

1. példa Adott: , és . Megtalálja .

Megoldás. Ha az (5) képletet alkalmazzuk, akkor

Válasz: .

2. példa Hadd legyen. Megtalálja .

Megoldás. Mivel és , az (5), (6) képleteket használjuk, és egy egyenletrendszert kapunk

Ha a (9) rendszer második egyenletét elosztjuk az elsővel, majd vagy . Ebből az következik . Vegyünk két esetet.

1. Ha, akkor a (9) rendszer első egyenletéből azt kapjuk.

2. Ha , akkor .

3. példa Hagyjuk , és . Megtalálja .

Megoldás. A (2) képletből az következik, hogy vagy . Azóta vagy .

Feltétel szerint. Azonban ezért. Mivel és akkor itt van egy egyenletrendszerünk

Ha a rendszer második egyenletét elosztjuk az elsővel, akkor vagy .

Mivel az egyenletnek egyedi megfelelő gyöke van. Ebben az esetben a rendszer első egyenletéből következik.

A (7) képlet figyelembevételével megkapjuk.

Válasz: .

4. példa Adott: és . Megtalálja .

Megoldás. Azóta.

Azóta, akkor ill

A (2) képlet szerint van . Ebben a vonatkozásban a (10) egyenlőségből kapjuk vagy .

Feltétellel azonban tehát.

5. példa. Ismeretes, hogy . Megtalálja .

Megoldás. A tétel szerint két egyenlőségünk van

Azóta vagy . Mert akkor.

Válasz: .

6. példa. Adott: és . Megtalálja .

Megoldás. Az (5) képletet figyelembe véve azt kapjuk, hogy

Azóta. óta , és , akkor .

7. példa. Hadd legyen. Megtalálja .

Megoldás. Az (1) képlet szerint írhatunk

Ezért van vagy . Ismeretes, hogy és , ezért és .

Válasz: .

8. példa. Határozzuk meg egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió nevezőjét, ha

És .

Megoldás. A (7) képletből az következikÉs . Innen és a feladat feltételeiből egyenletrendszert kapunk

Ha a rendszer első egyenlete négyzetes, majd osszuk el a kapott egyenletet a második egyenlettel, akkor megkapjuk

Vagy .

Válasz: .

9. példa. Keresse meg az összes olyan értéket, amelyre a sorozat, , geometriai progresszió.

Megoldás. Hagyjuk , és . A (2) képlet szerint, amely a geometriai folyamat fő tulajdonságát határozza meg, írhatunk vagy -t.

Innen kapjuk a másodfokú egyenletet, amelynek a gyökereiÉs .

Ellenőrizzük: ha, majd , és ; ha , akkor , és .

Az első esetben miés , a másodikban pedig – és .

Válasz: , .

10. példa.Oldja meg az egyenletet

, (11)

hol és .

Megoldás. A (11) egyenlet bal oldala egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, amelyben és , ennek függvényében: és .

A (7) képletből az következik, Mit . Ebben a tekintetben a (11) egyenlet a következő alakot ölti vagy . Megfelelő gyökér másodfokú egyenlet van

Válasz: .

11. példa. P következetesség pozitív számok számtani sorozatot alkot, A – geometriai progresszió, mi köze ehhez. Megtalálja .

Megoldás. Mert számtani sorozat, Azt (a számtani progresszió fő tulajdonsága). Mert a, majd vagy . Ez azt jelenti, hogy a geometriai progressziónak van formája. A (2) képlet szerint, akkor ezt felírjuk .

Azóta és azóta . Ebben az esetben a kifejezés vagy a formát veszi fel. Feltétel szerint, tehát egyenletből.egyedi megoldást kapunk a vizsgált problémára, azaz .

Válasz: .

12. példa. Számítsa ki az összeget

. (12)

Megoldás. Szorozzuk meg a (12) egyenlőség mindkét oldalát 5-tel, és kapjuk

Ha a kapott kifejezésből kivonjuk a (12)-t, Azt

vagy .

A kiszámításhoz behelyettesítjük az értékeket a (7) képletbe, és megkapjuk. Azóta.

Válasz: .

Az itt közölt problémamegoldási példák hasznosak lesznek a jelentkezők számára a felvételi vizsgákra való felkészülés során. A problémamegoldó módszerek mélyebb megismeréséhez, geometriai progresszióval kapcsolatos, Használhat oktatóanyagokat az ajánlott irodalom listájából.

1. Matematikai feladatgyűjtemény főiskolára jelentkezők számára / Szerk. M.I. Scanavi. – M.: Mir és Nevelés, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika középiskolásoknak: további részek iskolai tananyag. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Az elemi matematika teljes kurzusa feladatokban és gyakorlatokban. 2. könyv: Számsorozatok és előrehaladások. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Van még kérdése?

Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.