Kas vadinama n-ąja šaknimi. Galios funkcija ir šaknys – apibrėžimas, savybės ir formulės

Šaknies laipsnis n iš tikrojo skaičiaus a, Kur n - natūralusis skaičius, tai vadinama tikras numeris x, n kurios laipsnis lygus a.

Šaknies laipsnis n nuo numerio a yra pažymėtas simboliu. Pagal šį apibrėžimą.

Šaknies radimas n– laipsnis iš tarpo a vadinamas šaknų ekstrahavimu. Skaičius A vadinamas radikaliuoju skaičiumi (išraiška), n- šaknies indikatorius. Dėl keistų n yra šaknis n bet kurio realaus skaičiaus laipsnis a. Kai net n yra šaknis n-tas laipsnis tik ne neigiamas skaičiusa. Norėdami išaiškinti šaknį n– laipsnis iš tarpo a, pristatoma aritmetinės šaknies sąvoka n– laipsnis iš tarpo a.

N laipsnio aritmetinės šaknies samprata

Jeigu n- natūralusis skaičius, didesnis 1 , tada yra ir tik vienas neneigiamas skaičius X, kad lygybė būtų patenkinta. Šis skaičius X vadinama aritmetine šaknimi n neneigiamo skaičiaus laipsnis A ir yra paskirtas. Skaičius A vadinamas radikaliuoju skaičiumi, n- šaknies indikatorius.

Taigi, pagal apibrėžimą, žymėjimas , kur , reiškia, pirma, tą ir, antra, tą, t.y. .

Laipsnio su racionaliuoju rodikliu samprata

Laipsnis su natūraliuoju rodikliu: tegul A yra tikrasis skaičius ir n- natūralusis skaičius, didesnis už vieną, n- skaičiaus laipsnis A skambinti į darbą n veiksniai, kurių kiekvienas yra lygus A, t.y. . Skaičius A- laipsnio pagrindas, n- eksponentas. Laipsnis su nuliniu rodikliu: pagal apibrėžimą, jei , tada . Nulinė skaičiaus galia 0 neturi prasmės. Laipsnis su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu: pagal apibrėžimą daroma prielaida, jei ir n yra natūralusis skaičius, tada . Laipsnis su trupmeniniu rodikliu: pagal apibrėžimą daroma prielaida, jei ir n- natūralusis skaičius, m yra sveikasis skaičius, tada .

Operacijos su šaknimis.

Visose toliau pateiktose formulėse simbolis reiškia aritmetinę šaknį (radikalioji išraiška yra teigiama).

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:

2. Santykio šaknis lygi dividendo ir daliklio šaknų santykiui:

3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių:

4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n kartų ir tuo pačiu padidinsite radikalų skaičių iki n laipsnio, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n kartų ir vienu metu ištrauksite n-ąją radikalinio skaičiaus šaknį, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

Laipsnio sampratos išplėtimas. Iki šiol laipsnius nagrinėjome tik su natūraliaisiais rodikliais; bet operacijos su laipsniais ir šaknimis taip pat gali sukelti neigiamus, nulinius ir trupmeninius rodiklius. Visi šie rodikliai reikalauja papildomo apibrėžimo.

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus, turinčio neigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip viena, padalyta iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neigiamo eksponento vertei:

Dabar formulė a m: a n = a m - n gali būti naudojama ne tik kai m didesnis už n, bet ir kai m mažesnis už n.

PAVYZDYS a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Jei norime, kad formulė a m: a n = a m - n galiotų m = n, mums reikia nulinio laipsnio apibrėžimo.

Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulis, laipsnis yra 1.

PAVYZDŽIAI. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti realųjį skaičių a laipsniu m / n, turite išgauti šio skaičiaus a m-osios laipsnio n-ąją šaknį:

Apie posakius, kurie neturi prasmės. Yra keletas tokių posakių.

1 atvejis.

Kur a ≠ 0 neegzistuoja.

Tiesą sakant, jei darysime prielaidą, kad x yra tam tikras skaičius, tai pagal dalybos operacijos apibrėžimą turime: a = 0 x, t.y. a = 0, o tai prieštarauja sąlygai: a ≠ 0

2 atvejis.

Bet koks skaičius.

Tiesą sakant, jei darysime prielaidą, kad ši išraiška yra lygi tam tikram skaičiui x, tai pagal padalijimo operacijos apibrėžimą turime: 0 = 0 · x. Tačiau ši lygybė galioja bet kuriam skaičiui x, ką reikėjo įrodyti.

tikrai,

Sprendimas Panagrinėkime tris pagrindinius atvejus:

1) x = 0 – ši reikšmė netenkina šios lygties

2) jei x > 0 gauname: x / x = 1, t.y. 1 = 1, o tai reiškia, kad x yra bet koks skaičius; bet atsižvelgiant į tai, kad mūsų atveju x > 0, atsakymas yra x > 0;

3) ties x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

šiuo atveju sprendimo nėra. Taigi x > 0.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate užklausą svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, pavardę, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Pamokos scenarijus 11 klasei tema:

„Šaknis n-asis laipsnis iš tikrojo skaičiaus. »

Pamokos tikslas: Holistinio šaknies supratimo formavimas mokiniuose n-n-ojo laipsnio ir aritmetinės šaknys, skaičiavimo įgūdžių formavimas, sąmoningas ir racionalus naudojimasšaknies savybes sprendžiant įvairios užduotys turintis radikalą. Patikrinkite, ar mokiniai supranta temos klausimus.

Tema:sudaryti prasmingas ir organizacines sąlygas įsisavinti medžiagą šia tema “ Skaitiniai ir pažodiniai posakiai» suvokimo, supratimo ir pirminio įsiminimo lygmenyje; ugdyti gebėjimą naudoti šią informaciją skaičiuojant tikrojo skaičiaus n-ąją šaknį;

Meta tema: skatinti kompiuterinių įgūdžių ugdymą; gebėjimas analizuoti, lyginti, apibendrinti, daryti išvadas;

Asmeninis: ugdyti gebėjimą reikšti savo požiūrį, įsiklausyti į kitų atsakymus, dalyvauti dialoge, ugdyti pozityvaus bendradarbiavimo gebėjimą.

Planuojamas rezultatas.

Tema: mokėti pritaikyti realioje situacijoje realaus skaičiaus n-osios šaknies savybes skaičiuojant šaknis ir sprendžiant lygtis.

Asmeninis: ugdyti atidumą ir skaičiavimo tikslumą, reiklų požiūrį į save ir savo darbą, ugdyti savitarpio pagalbos jausmą.

Pamokos tipas: pamoka apie naujų žinių mokymąsi ir pradinį įtvirtinimą

Motyvacija edukacinei veiklai:

Rytų išmintis sako: „Galite vesti arklį prie vandens, bet negalite priversti jo gerti“. Ir neįmanoma priversti žmogaus gerai mokytis, jei jis pats nesistengia mokytis daugiau ir neturi noro dirbti su savo psichine raida. Juk žinios yra tik žinios, kai jos įgyjamos minčių pastangomis, o ne vien atmintimi.

Mūsų pamoka vyks šūkiu: „Mes įveiksime bet kurią viršūnę, jei jos sieksime“. Pamokos metu jūs ir aš turime turėti laiko įveikti kelias viršūnes, ir kiekvienas iš jūsų turite įdėti visas pastangas, kad įveiktumėte šias viršūnes.

„Šiandien turime pamoką, kurioje turime susipažinti su nauja sąvoka „N-oji šaknis“ ir išmokti šią sąvoką pritaikyti įvairiems posakiams transformuoti.

Jūsų tikslas yra pagrįstas įvairių formų dirbti, kad suaktyvintų turimas žinias, prisidėtų prie medžiagos studijavimo ir gautų gerus pažymius“
8 klasėje tyrėme tikrojo skaičiaus kvadratinę šaknį. Kvadratinė šaknis yra susijusi su formos funkcija y=x 2. Vaikinai, ar prisimenate, kaip skaičiavome kvadratines šaknis ir kokias savybes jis turėjo?
a) individuali apklausa:

kokia tai išraiška

kas vadinama kvadratine šaknimi

kas vadinama aritmetine kvadratine šaknimi

išvardykite kvadratinės šaknies savybes

b) dirbkite poromis: apskaičiuokite.

-

2. Žinių atnaujinimas ir probleminės situacijos kūrimas: Išspręskite lygtį x 4 =1. Kaip mes galime tai išspręsti? (Analitinė ir grafinė). Išspręskime grafiškai. Tam vienoje koordinačių sistemoje sukonstruosime funkcijos y = x 4 tiesės y = 1 grafiką (164 pav. a). Jie susikerta dviejuose taškuose: A (-1;1) ir B(1;1). Taškų A ir B abscisės, t.y. x 1 = -1,

x 2 = 1 yra lygties x 4 = 1 šaknys.
Lygiai taip pat samprotaudami randame lygties x 4 =16 šaknis: Dabar pabandykime išspręsti lygtį x 4 =5; geometrinė iliustracija parodyta fig. 164 b. Akivaizdu, kad lygtis turi dvi šaknis x 1 ir x 2, o šie skaičiai, kaip ir dviem ankstesniais atvejais, yra priešingi. Tačiau pirmųjų dviejų lygčių šaknys buvo rasta be vargo (jas galima rasti nenaudojant grafikų), tačiau su lygtimi x 4 = 5 kyla problemų: iš brėžinio negalime nurodyti šaknų reikšmių, bet mes gali tik nustatyti, kad viena šaknis yra kairėje taško -1, o antroji - 1 taško dešinėje.

x 2 = - (skaitykite: „ketvirtoji šaknis iš penkių“).

Kalbėjome apie lygtį x 4 = a, kur a 0. Lygiai taip pat galėtume kalbėti apie lygtį x 4 = a, kur a 0 ir n yra bet koks natūralusis skaičius. Pavyzdžiui, grafiškai išsprendę lygtį x 5 = 1, randame x = 1 (165 pav.); išspręsdami lygtį x 5 "= 7, nustatome, kad lygtis turi vieną šaknį x 1, kuri yra x ašyje šiek tiek į dešinę nuo taško 1 (žr. 165 pav.). Skaičiui x 1 pristatome užrašas .

1 apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus a n-oji šaknis (n = 2, 3,4, 5,...) yra neneigiamas skaičius, kurį pakėlus iki laipsnio n, gaunamas skaičius a.

Šis skaičius žymimas, skaičius a vadinamas radikaliuoju skaičiumi, o skaičius n yra šaknies rodiklis.
Jei n = 2, tada jie paprastai sako ne „antra šaknis“, o „kvadratinė šaknis“. Šiuo atveju jie to nerašo .

Jei n = 3, tada vietoj „trečiojo laipsnio šaknies“ dažnai sakoma „kubo šaknis“. Pirmoji Jūsų pažintis su kubo šaknimi taip pat įvyko 8 klasės algebros kurse. 9 klasės algebroje naudojome kubines šaknis.

Taigi, jei a ≥0, n= 2,3,4,5,…, tai 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Apskritai =b ir b n =a yra tas pats ryšys tarp neneigiamų skaičių a ir b, tačiau tik antrasis aprašomas plačiau paprasta kalba(naudojami paprastesni simboliai) nei pirmasis.

Neneigiamo skaičiaus šaknies radimo operacija paprastai vadinama šaknies išskyrimu. Ši operacija yra priešinga atitinkamos galios padidinimui. Palyginti:

Dar kartą atkreipkite dėmesį: lentelėje rodomi tik teigiami skaičiai, nes tai nurodyta 1 apibrėžime. Ir nors, pavyzdžiui, (-6) 6 = 36 yra teisinga lygybė, pereikite nuo jos prie žymėjimo naudodami kvadratinę šaknį, t.y. parašyk, kad tai neįmanoma. Pagal apibrėžimą teigiamas skaičius reiškia = 6 (ne -6). Lygiai taip pat, nors 2 4 =16, t (-2) 4 =16, pereinant prie šaknų ženklų, turime rašyti = 2 (ir tuo pačiu ≠-2).

Kartais posakis vadinamas radikalu (iš lotyniško žodžio gadix - „šaknis“). Rusų kalboje terminas radikalus vartojamas gana dažnai, pavyzdžiui, „radikalūs pokyčiai“ - tai reiškia „radikalūs pokyčiai“. Beje, pats šaknies pavadinimas primena žodį gadix: simbolis yra stilizuota r raidė.

Šaknies išskyrimo operacija taip pat nustatoma neigiamam radikaliniam skaičiui, bet tik nelyginio šaknies eksponento atveju. Kitaip tariant, lygybė (-2) 5 = -32 gali būti perrašyta lygiaverte forma kaip =-2. Naudojamas toks apibrėžimas.

2 apibrėžimas. Neigiamojo skaičiaus a (n = 3,5,...) nelyginė šaknis n yra neigiamas skaičius, kurį padidinus iki laipsnio n, gaunamas skaičius a.

Šis skaičius, kaip ir 1 apibrėžime, žymimas , skaičius a yra radikalus skaičius, o skaičius n yra šaknies rodiklis.
Taigi, jei a , n=,5,7,…, tai: 1) 0; 2) () n = a.

Taigi lyginė šaknis turi reikšmę (t. y. yra apibrėžta) tik neneigiamai radikaliai išraiškai; nelyginė šaknis turi prasmę bet kokiai radikaliai išraiškai.

5. Pirminis žinių įtvirtinimas:

1. Skaičiuoti: Nr.33,5; 33,6; 33,74 33,8 žodžiu a) ; b) ; V); G) .

d) Priešingai ankstesni pavyzdžiai negalime nurodyti tikslios skaičiaus reikšmės Aišku tik tai, kad jis didesnis nei 2, bet mažesnis nei 3, nes 2 4 = 16 (tai yra mažiau nei 17), o 3 4 = 81 (tai yra daugiau nei 17). ). Atkreipiame dėmesį, kad 24 yra daug arčiau 17 nei 34, todėl yra pagrindo naudoti apytikslį lygybės ženklą:
2. Raskite toliau pateiktų posakių reikšmes.

Šalia pavyzdžio padėkite atitinkamą raidę.

Šiek tiek informacijos apie didįjį mokslininką. Rene Descartes (1596-1650) prancūzų didikas, matematikas, filosofas, fiziologas, mąstytojas. Rene Descartes padėjo analitinės geometrijos pagrindus ir įvedė raidžių žymėjimus x 2, y 3. Visi žino Dekarto koordinatės, apibrėžiantis kintamojo funkciją.

3 . Išspręskite lygtis: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Sprendimas: a) Jei = -2, tai y = -8. Tiesą sakant, mes turime kubuoti abi pateiktos lygties puses. Gauname: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Samprotaudami kaip pavyzdyje a), pakeliame abi lygties puses į ketvirtą laipsnį. Gauname: x=1.

c) Nereikia jo kelti į ketvirtą laipsnį, ši lygtis neturi sprendinių. Kodėl? Kadangi pagal 1 apibrėžimą lyginė šaknis yra neneigiamas skaičius.
Jūsų dėmesiui siūlomos kelios užduotys. Atlikę šias užduotis sužinosite didžiojo matematiko vardą ir pavardę. Šis mokslininkas pirmasis įvedė šaknies ženklą 1637 m.

6. Truputį pailsėkime.

Klasė pakelia rankas - tai „vienas“.

Galva pasisuko - tai buvo „du“.

Nuleiskite rankas, žiūrėkite į priekį - tai yra „trys“.

Rankos pasuktos plačiau į šonus iki „keturių“

Spausti juos jėga į rankas yra „penketas“.

Visi vaikinai turi susėsti - tai „šeši“.

7. Savarankiškas darbas:

variantas: 2 variantas:

b) 3-. b)12 -6.

2. Išspręskite lygtį: a) x 4 = -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x 9 – 2,4=0;

c) = -2; c) = 2

8. Kartojimas: Raskite lygties = - x šaknį. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakymą parašykite su mažesne šaknimi.

9. Atspindys: Ko išmokote pamokoje? Kas buvo įdomu? Kas buvo sunku?

Pamokos tikslai:

Švietimo: sudaryti sąlygas studentams formuotis holistinei n-osios šaknies idėjai, sąmoningo ir racionalaus šaknies savybių panaudojimo įgūdžiams sprendžiant įvairias problemas.

Vystantis: sudaryti sąlygas lavintis algoritminiam, kūrybiniam mąstymui, ugdyti savikontrolės įgūdžius.

Švietimo: Skatinti domėjimosi dalyku, veikla ugdymą, ugdyti tikslumą darbe, gebėjimą reikšti savo nuomonę, teikti rekomendacijas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Laba diena Gera valanda!

Man labai malonu tave matyti.

Varpas jau suskambo

Pamoka prasideda.

Nusišypsojome. Pasivijome.

Žiūrėjome vienas į kitą

Ir jie ramiai susėdo kartu.

2. Pamokos motyvacija.

Žymus prancūzų filosofas ir mokslininkas Blaise'as Pascalis teigė: „Žmogaus didybė yra jo gebėjimas mąstyti“. Šiandien bandysime pasijusti puikiais žmonėmis, patys atrasdami žinias. Šios pamokos šūkis bus senovės graikų matematiko Thaleso žodžiai:

Kas yra daugiau už viską pasaulyje? - Kosmosas.

Kas greičiausias? - Protas.

Kas yra išmintingiausia? - Laikas.

Kokia geriausia dalis? - Pasiekite tai, ko norite.

Norėčiau, kad kiekvienas iš jūsų šios dienos pamokoje pasiektų norimą rezultatą.

3. Žinių atnaujinimas.

1. Pavadinkite abipuses algebrines operacijas su skaičiais. (Sudėtis ir atimtis, daugyba ir dalyba)

2. Ar visada galima atlikti tokią algebrinę operaciją kaip dalyba? (Ne, jūs negalite dalyti iš nulio)

3. Kokią dar operaciją galite atlikti su skaičiais? (Dauginimas)

4. Kokia operacija bus jos atvirkštinė? (Šaknų ištraukimas)

5. Kokio laipsnio šaknį galite išgauti? (Antra šaknis)

6. Kokias kvadratinės šaknies savybes žinote? (Kvadratinės šaknies sandauga išskyrimas iš koeficiento, šaknies, didinimas iki laipsnio)

7. Raskite posakių reikšmes:

Iš istorijos. Net prieš 4000 metų Babilono mokslininkai sudarė daugybos lenteles ir lenteles abipusiai(kurios pagalba skaičių dalyba buvo sumažinta iki daugybos) skaičių kvadratų lentelės ir kvadratinės šaknys numeriai. Tuo pačiu metu jie sugebėjo rasti apytikslę bet kurio sveikojo skaičiaus kvadratinės šaknies vertę.

4. Naujos medžiagos studijavimas.

Akivaizdu, kad pagal pagrindines laipsnių savybes su natūraliais rodikliais, iš bet kurio teigiamas skaičius yra dvi priešingos lyginės šaknies reikšmės, pavyzdžiui, skaičiai 4 ir -4 yra kvadratinės šaknys iš 16, nes (-4)2 = 42 = 16, o skaičiai 3 ir -3 yra ketvirtosios 81 šaknys , nes (-3)4 = 34 = 81.

Be to, nėra net neigiamo skaičiaus šaknies, nes bet kurio realaus skaičiaus lyginė galia yra neneigiama. Kalbant apie nelyginio laipsnio šaknį, bet kuriam realiajam skaičiui yra tik viena nelyginio laipsnio šaknis iš šio skaičiaus. Pavyzdžiui, 3 yra trečioji šaknis iš 27, nes 33 = 27, o -2 yra penktoji šaknis iš -32, nes (-2)5 = 32.

Kadangi iš teigiamo skaičiaus yra dvi lyginio laipsnio šaknys, mes pristatome aritmetinės šaknies sąvoką, kad pašalintume šį šaknies dviprasmiškumą.

Neneigiama neneigiamo skaičiaus n-osios šaknies reikšmė vadinama aritmetine šaknimi.

Pavadinimas: - n-oji šaknis laipsnių.

Skaičius n vadinamas aritmetinės šaknies laipsniu. Jei n = 2, tada šaknies laipsnis nenurodomas ir rašomas. Antrojo laipsnio šaknis paprastai vadinama kvadratine, o trečiojo laipsnio šaknis – kubine.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - net a ≥ 0, b ≥ 0

n – nelyginis a, b – bet koks

Savybės

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b > 0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k – natūralieji skaičiai

5. Naujos medžiagos konsolidavimas.

Darbas žodžiu

a) Kurie posakiai turi prasmę?

b) Kokioms kintamojo a reikšmėms išraiška turi prasmę?

Išspręskite Nr. 3, 4, 7, 9, 11.

6. Kūno kultūros minutė.

Visuose reikaluose reikia saiko,

Tegul tai būna pagrindinė taisyklė.

Užsiimk gimnastika, nes ilgai galvoji,

Gimnastika neišsekina kūno,

Bet tai visiškai išvalo kūną!

Užmerkite akis, atpalaiduokite kūną,

Įsivaizduokite – jūs paukščiai, staiga skrendate!

Dabar tu plauki vandenyne kaip delfinas,

Dabar renkate prinokusius obuolius sode.

Kairėn, dešinėn, apsidairiau,

Atmerkite akis ir grįžkite į verslą!

7. Savarankiškas darbas.

Darbas poromis p. 178 Nr.1, Nr.2.

8. D/z. Išmok 10 punktą (p. 160-161), spręsk Nr. 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).

9. Pamokos santrauka. Veiklos atspindys.

Ar pamoka pasiekė savo tikslą?

ko išmokai?

Pateikiamos pagrindinės galios funkcijos savybės, įskaitant formules ir šaknų savybes. Išvestinė, integralas, išplėtimas in galios serija ir vaizdavimas laipsnio funkcijos kompleksiniais skaičiais.

Apibrėžimas

Apibrėžimas
Galios funkcija su eksponentu p yra funkcija f (x) = xp, kurios reikšmė taške x yra lygi eksponentinės funkcijos su baze x reikšmei taške p.
Be to, f (0) = 0 p = 0 už p > 0 .

Natūralioms eksponento vertėms laipsnio funkcija yra n skaičių, lygių x, sandauga:
.
Jis apibrėžiamas visiems galiojantiems .

Esant teigiamoms racionaliosioms eksponento vertėms, galios funkcija yra skaičiaus x m laipsnio n šaknų sandauga:
.
Jei nelyginis m, jis apibrėžiamas visiems realiesiems x. Net m galios funkcija apibrėžiama neneigiamiems.

Neigiamai galios funkcija nustatoma pagal formulę:
.
Todėl jis nėra apibrėžtas taške.

Iracionalioms eksponento p reikšmėms galios funkcija nustatoma pagal formulę:
,
kur a yra savavališkas teigiamas skaičius, nelygus vienetui: .
Kada , jis apibrėžiamas .
Kai , galios funkcija yra apibrėžta .

Tęstinumas. Galios funkcija yra nuolatinė savo apibrėžimo srityje.

Laipsniškų funkcijų, kai x ≥ 0, savybės ir formulės

Čia mes apsvarstysime galios funkcijos ypatybes neigiamos reikšmės argumentas x. Kaip minėta aukščiau, tam tikroms eksponento p reikšmėms galios funkcija taip pat apibrėžiama neigiamoms x reikšmėms. Šiuo atveju jo savybes galima gauti iš savybių , naudojant lyginį arba nelyginį. Šie atvejai aptariami ir išsamiai iliustruojami puslapyje „“.

Laipsnio funkcija, y = x p, su eksponentu p, turi šias savybes:
(1.1) apibrėžtas ir nenutrūkstamas filmavimo aikštelėje
,
adresu ;
(1.2) turi daug reikšmių
,
adresu ;
(1.3) griežtai didėja su ,
griežtai mažėja kaip ;
(1.4) adresu ;
adresu ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Savybių įrodymas pateiktas puslapyje „Galios funkcija (tęstinumo ir savybių įrodymas)“

Šaknys – apibrėžimas, formulės, savybės

Apibrėžimas
n laipsnio x skaičiaus šaknis yra skaičius, kurį padidinus iki laipsnio n, gaunamas x:
.
Čia n = 2, 3, 4, ... - natūralusis skaičius, didesnis už vienetą.

Taip pat galite pasakyti, kad n laipsnio skaičiaus x šaknis yra lygties šaknis (t. y. sprendimas).
.
Atminkite, kad funkcija yra atvirkštinė funkcijai.

Kvadratinė šaknis nuo x skaičiaus yra 2 laipsnio šaknis: .

x kubo šaknis yra 3 laipsnio šaknis: .

Tolygus laipsnis

Lyginiams laipsniams n = 2 m, šaknis apibrėžta x ≥ 0 . Dažnai naudojama formulė galioja ir teigiamam, ir neigiamam x:
.
Kvadratinė šaknis:
.

Čia svarbi operacijų atlikimo tvarka - tai yra pirmiausia atliekamas kvadratas, gaunamas neneigiamas skaičius, o tada iš jo paimama šaknis (kvadratinę šaknį galima paimti iš neneigiamo skaičiaus ). Jei pakeistume tvarką: , tada neigiamo x šaknis būtų neapibrėžta, o kartu ir visa išraiška būtų neapibrėžta.

Nelyginis laipsnis

Nelyginių laipsnių šaknis apibrėžiama visiems x:
;
.

Šaknų savybės ir formulės

X šaknis yra galios funkcija:
.
Kai x ≥ 0 taikomos šios formulės:
;
;
, ;
.

Šios formulės taip pat gali būti taikomos neigiamoms kintamųjų reikšmėms. Tik reikia įsitikinti, kad radikali lygių galių išraiška nėra neigiama.

Privačios vertybės

0 šaknis yra 0: .
1 šaknis yra lygi 1: .
Kvadratinė šaknis iš 0 yra 0: .
Kvadratinė šaknis iš 1 yra 1: .

Pavyzdys. Šaknų šaknis

Pažvelkime į šaknų kvadratinės šaknies pavyzdį:
.
Transformuokime vidinę kvadratinę šaknį naudodami aukščiau pateiktas formules:
.
Dabar pakeiskime pradinę šaknį:
.
Taigi,
.

y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms.

Čia pateikiami neneigiamų argumento x verčių funkcijos grafikai. Galios funkcijos grafikai, apibrėžti neigiamoms x reikšmėms, pateikiami puslapyje „Galios funkcija, jos savybės ir grafikai“

Atvirkštinė funkcija

Atvirkštinė laipsnio funkcija su laipsniu p yra laipsnio funkcija, kurios rodiklis yra 1/p.

Jei tada.

Galios funkcijos išvestinė

N-osios eilės vedinys:
;

Išvestinės formulės >>>

Galios funkcijos integralas

P ≠ - 1 ;
.

Galios serijos išplėtimas

- 1 < x < 1 vyksta toks skilimas:

Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius

Apsvarstykite kompleksinio kintamojo z funkciją:
f (z) = z t.
Išreikškime kompleksinį kintamąjį z moduliu r ir argumentu φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Kompleksinį skaičių t pavaizduojame realių ir įsivaizduojamų dalių pavidalu:
t = p + i q .
Mes turime:

Toliau atsižvelgiame į tai, kad argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas:
,

Panagrinėkime atvejį, kai q = 0 , tai yra, rodiklis yra realusis skaičius, t = p. Tada
.

Jei p yra sveikas skaičius, tai kp yra sveikas skaičius. Tada dėl trigonometrinių funkcijų periodiškumo:
.
Tai yra eksponentinė funkcija su sveikuoju skaičiumi, nurodytam z, turi tik vieną reikšmę, todėl yra vienos reikšmės.

Jei p yra neracionalus, tada bet kurio k sandaugai kp nesukuria sveikojo skaičiaus. Kadangi k eina per begalinę reikšmių seką k = 0, 1, 2, 3, ..., tada funkcija z p turi be galo daug reikšmių. Kai argumentas z padidinamas 2π(vienas posūkis), pereiname prie naujos funkcijos šakos.

Jei p yra racionalus, tada jis gali būti pavaizduotas taip:
, Kur m, n- sveiki, neturintys bendrieji dalikliai. Tada
.
Pirmosios n reikšmės, kai k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, duok n skirtingos reikšmės kp:
.
Tačiau vėlesnės vertės suteikia reikšmes, kurios nuo ankstesnių skiriasi sveikuoju skaičiumi. Pavyzdžiui, kai k = k 0+n mes turime:
.
Trigonometrinės funkcijos, kurių argumentai skiriasi vertėmis, kurios yra kartotinės 2π, turi vienodas reikšmes. Todėl, toliau didinant k, gauname tas pačias z p reikšmes kaip ir k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Taigi eksponentinė funkcija su racionaliu eksponentu yra daugiareikšmė ir turi n reikšmes (šakas). Kai argumentas z padidinamas 2π(vienas posūkis), pereiname prie naujos funkcijos šakos. Po n tokių apsisukimų grįžtame prie pirmosios šakos, nuo kurios prasidėjo atgalinis skaičiavimas.

Visų pirma, n laipsnio šaknis turi n reikšmių. Kaip pavyzdį apsvarstykite tikrojo teigiamo skaičiaus n-ąją šaknį z = x. Šiuo atveju φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Taigi, kvadratinei šaknei n = 2 ,
.
Net k, (- 1 ) k = 1. Dėl nelyginio k, (- 1 ) k = - 1.
Tai reiškia, kad kvadratinė šaknis turi dvi reikšmes: + ir -.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.