Vieno kintamojo funkcijos išvestinė.

Įvadas.

Tikras metodologinius pokyčius skirtas Pramonės ir statybos fakulteto studentams. Jie buvo sudaryti atsižvelgiant į matematikos kurso programą skyriuje „Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis skaičiavimas“.

Patobulinimai sudaro vieną metodinį vadovą, apimantį: trumpą teorinę informaciją; „standartinės“ problemos ir pratimai su išsamiais šių sprendimų sprendimais ir paaiškinimais; testavimo parinktys.

Kiekvienos pastraipos pabaigoje yra papildomų pratimų. Dėl šios raidos struktūros jie tinka savarankiškam skyriaus įvaldymui su minimalia mokytojo pagalba.

§1. Išvestinės apibrėžimas.

Mechaninė ir geometrinė reikšmė

išvestinė.

Išvestinės sąvoka – viena svarbiausių matematinės analizės sąvokų, ji atsirado dar XVII a. Išvestinės sąvokos formavimasis istoriškai siejamas su dviem problemomis: kintamo judėjimo greičio ir kreivės liestinės problema.

Šios problemos, nepaisant skirtingo turinio, lemia tą patį matematinį veiksmą, kuris turi būti atliktas su funkcija.Ši operacija gavo specialų pavadinimą matematikoje. Tai vadinama funkcijos diferenciacijos operacija. Diferencijavimo operacijos rezultatas vadinamas išvestine.

Taigi funkcijos y=f(x) išvestinė taške x0 yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio riba (jei ji yra).
adresu
.

Išvestinė paprastai žymima taip:
.

Taigi, pagal apibrėžimą

Simboliai taip pat naudojami dariniams žymėti
.

Mechaninė vedinio reikšmė.

Jei s=s(t) yra materialaus taško tiesinio judėjimo dėsnis, tai
yra šio taško greitis laiko momentu t.

Geometrinė reikšmė išvestinė.

Jei funkcija y=f(x) taške turi išvestinę , tada funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas taške
lygus
.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę
taške =2:

1) Duokime tašką = 2 prieaugis
. Pastebėti, kad.

2) Raskite funkcijos prieaugį taške =2:

3) Sukurkime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykį:

Raskime santykio ribą ties
:

.

Taigi,
.

§ 2. Kai kurių išvestinių

paprasčiausias funkcijas.

Studentas turi išmokti skaičiuoti konkrečių funkcijų išvestines: y=x,y= ir apskritai = .

Raskime funkcijos y=x išvestinę.

tie. (x)′=1.

Raskime funkcijos išvestinę

Darinys

Leisti
Tada

Galios funkcijos išvestinių išraiškose nesunku pastebėti šabloną
su n=1,2,3.

Vadinasi,

. (1)

Ši formulė galioja bet kuriai realiai n.

Visų pirma, naudojant (1) formulę, turime:

;

.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

.

Ši funkcija yra ypatingas formos funkcijos atvejis

adresu
.

Naudodami formulę (1), turime

.

Funkcijų y=sin x ir y=cos x išvestinės.

Tegu y=sinx.

Padalijus iš ∆x, gauname

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, turime

Tegul y=cosx.

Pereinant prie ribos ties ∆x→0, gauname

;
. (2)

§3. Pagrindinės diferenciacijos taisyklės.

Panagrinėkime diferenciacijos taisykles.

Teorema1 . Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taškex, tai šiame taške jų suma taip pat yra diferencijuojama, o sumos išvestinė lygi terminų išvestinių sumai : (u+v)"=u"+v".(3)

Įrodymas: apsvarstykite funkciją y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumento x prieaugis ∆x atitinka funkcijų u ir v priedus ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Tada funkcija y padidės

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Vadinasi,

Taigi, (u+v)"=u"+v.

Teorema2. Jei funkcijos u=u(x) ir v=v(x) yra diferencijuojamos duotame taškex, tai jų sandauga yra diferencijuojama tame pačiame taške Šiuo atveju sandaugos išvestinė randama pagal šią formulę: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Įrodymas: Tegu y=uv, kur u ir v yra kai kurios diferencijuojamos x funkcijos. Suteikime x ∆x prieaugį, tada u gaus ∆u prieaugį, v – ∆v, y – ∆y prieaugį.

Turime y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), arba

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Todėl ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Iš čia

Pereinant prie ribos ties ∆x→0 ir atsižvelgiant į tai, kad u ir v nepriklauso nuo ∆x, turėsime

3 teorema. Dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios vardiklis lygus daliklio kvadratui, o skaitiklis yra skirtumas tarp dividendo ir daliklio išvestinės sandaugos ir daliklio sandaugos. dividendas ir daliklio išvestinė, t.y.

Jeigu
Tai
(5)

4 teorema. Konstantos išvestinė lygi nuliui, t.y. jei y=C, kur C=const, tai y“=0.

5 teorema. Pastovųjį veiksnį galima ištraukti iš darinio ženklo, t.y. jei y=Cu(x), kur С=const, tai y"=Cu"(x).

1 pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

Ši funkcija turi formą
, kur u=x,v=cosx. Taikydami diferenciacijos taisyklę (4), randame

.

2 pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

.

Taikykime (5) formulę.

Čia
;
.

Užduotys.

Raskite šių funkcijų išvestinius:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Data: 2014-11-20

Kas yra darinys?

Darinių lentelė.

Darinys yra viena iš pagrindinių sąvokų aukštoji matematika. Šioje pamokoje supažindinsime su šia sąvoka. Pažinkime vieni kitus, be griežtų matematinių formuluočių ir įrodymų.

Ši pažintis leis jums:

Suvokti paprastų užduočių su išvestiniais esmę;

Sėkmingai išspręskite šias paprasčiausias užduotis;

Pasiruoškite rimtesnėms pamokoms apie išvestines priemones.

Pirma - maloni staigmena.)

Griežtas išvestinės apibrėžimas pagrįstas ribų teorija ir dalykas yra gana sudėtingas. Tai erzina. Tačiau praktinis darinių pritaikymas, kaip taisyklė, nereikalauja tokių plačių ir gilių žinių!

Norint sėkmingai atlikti daugumą užduočių mokykloje ir universitete, pakanka žinoti tik keli terminai- suprasti užduotį ir tik kelios taisyklės- ją išspręsti. Tai viskas. Tai mane džiugina.

Pradėkime susipažinti?)

Terminai ir pavadinimai.

Elementariojoje matematikoje yra daug įvairių matematinių operacijų. Sudėjimas, atimtis, daugyba, eksponencija, logaritmas ir kt. Jei prie šių operacijų pridėsite dar vieną operaciją, elementarioji matematika taps aukštesnė. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija.Šios operacijos apibrėžimas ir prasmė bus aptariama atskirose pamokose.

Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra tiesiog matematinė funkcijos operacija. Mes paimame bet kokią funkciją ir pagal tam tikras taisykles ją transformuojame. Rezultatas bus nauja funkcija. Ši nauja funkcija vadinama: išvestinė.

Diferencijavimas- veiksmas pagal funkciją.

Darinys- šio veiksmo rezultatas.

Visai kaip pvz. suma- pridėjimo rezultatas. Arba privatus- padalijimo rezultatas.

Žinodami terminus, bent jau galite suprasti užduotis.) Formuluotės yra tokios: rasti funkcijos išvestinę; paimti darinį; atskirti funkciją; apskaičiuoti išvestinę ir taip toliau. Tai viskas tas pats.Žinoma, yra ir sudėtingesnių užduočių, kur išvestinės (diferencijavimo) radimas bus tik vienas iš problemos sprendimo žingsnių.

Išvestinė pažymėta brūkšneliu funkcijos viršuje, dešinėje. Kaip šitas: y" arba f"(x) arba S"(t) ir taip toliau.

Skaitymas igrek insultas, ef insultas iš x, es insultas iš te, nu supranti...)

Pirminis dydis taip pat gali nurodyti konkrečios funkcijos išvestinę, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir tt Dažnai išvestinės yra žymimos diferencialais, tačiau tokio žymėjimo šioje pamokoje nenagrinėsime.

Tarkime, kad išmokome suprasti užduotis. Belieka išmokti juos išspręsti.) Leiskite dar kartą priminti: išvestinės radimas yra funkcijos transformacija pagal tam tikras taisykles. Keista, bet tokių taisyklių yra labai mažai.

Norėdami rasti funkcijos išvestinę, turite žinoti tik tris dalykus. Trys ramsčiai, ant kurių stovi visa diferenciacija. Štai šie trys ramsčiai:

1. Išvestinių (diferencijavimo formulių) lentelė.

3. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

Pradėkime eilės tvarka. Šioje pamokoje pažvelgsime į išvestinių išvestinių lentelę.

Darinių lentelė.

Pasaulyje yra be galo daug funkcijų. Tarp šios veislės yra funkcijų, kurios yra svarbiausios praktinis pritaikymas. Šios funkcijos randamos visuose gamtos dėsniuose. Iš šių funkcijų, kaip iš plytų, galite sukonstruoti visas kitas. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Būtent šios funkcijos yra mokomos mokykloje - tiesinė, kvadratinė, hiperbolė ir kt.

Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, t.y. Remiantis išvestinės apibrėžimu ir ribų teorija, tai gana daug darbo reikalaujantis dalykas. Ir matematikai taip pat yra žmonės, taip, taip!) Taigi jie supaprastino savo (ir mūsų) gyvenimą. Prieš mus jie apskaičiavo elementariųjų funkcijų išvestinius. Rezultatas yra išvestinių priemonių lentelė, kurioje viskas yra paruošta.)

Štai ši plokštė skirta populiariausioms funkcijoms. Kairė - elementarią funkciją, dešinėje yra jo išvestinė.

	Funkcija y	Funkcijos y išvestinė y"
1	C (pastovi reikšmė)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – bet koks skaičius)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	nuodėmė x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	žurnalas a x
	ln x ( a = e)

Rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę šioje išvestinių lentelėje. Darinys galios funkcija- viena iš labiausiai paplitusių formulių, jei ne pati labiausiai paplitusi! Ar suprantate užuominą?) Taip, išvestinių lentelę patartina žinoti mintinai. Beje, tai nėra taip sunku, kaip gali pasirodyti. Pabandykite nuspręsti daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)

Kaip suprantate, rasti išvestinės lentelės reikšmę nėra pati sunkiausia užduotis. Todėl labai dažnai tokiose užduotyse yra papildomų lustų. Arba užduoties formuluotėje, arba pradinėje funkcijoje, kurios, atrodo, nėra lentelėje...

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1. Raskite funkcijos y = x išvestinę 3

Lentelėje tokios funkcijos nėra. Tačiau yra galios funkcijos išvestinė dalis bendras vaizdas(trečioji grupė). Mūsų atveju n=3. Taigi vietoj n pakeičiame tris ir atidžiai užrašome rezultatą:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Viskas.

Atsakymas: y" = 3x 2

2. Raskite funkcijos y = sinx išvestinės reikšmę taške x = 0.

Ši užduotis reiškia, kad pirmiausia turite rasti sinuso išvestinę, o tada pakeisti reikšmę x = 0į tą patį darinį. Būtent tokia tvarka! Priešingu atveju atsitinka taip, kad jie iš karto pakeičia nulį į pradinę funkciją... Mūsų prašoma rasti ne pradinės funkcijos reikšmę, o reikšmę jo vedinys. Išvestinė, leiskite man priminti, yra nauja funkcija.

Naudodami planšetinį kompiuterį randame sinusą ir atitinkamą išvestinę:

y" = (sin x)" = cosx

Išvestinėje pakeičiame nulį:

y"(0) = cos 0 = 1

Tai bus atsakymas.

3. Atskirkite funkciją:

Ką, įkvepia?) Išvestinių lentelėje tokios funkcijos nėra.

Leiskite jums priminti, kad norint atskirti funkciją, tiesiog reikia rasti šios funkcijos išvestinę. Jei pamiršite elementariąją trigonometriją, ieškoti mūsų funkcijos išvestinės yra gana varginanti. Lentelė nepadeda...

Bet jei matome, kad mūsų funkcija yra dvigubo kampo kosinusas, tada viskas iš karto pagerės!

Taip taip! Atminkite, kad pakeiskite pradinę funkciją prieš diferenciaciją visai priimtina! Ir tai labai palengvina gyvenimą. Naudojant dvigubo kampo kosinuso formulę:

Tie. mūsų sudėtinga funkcija yra ne kas kita y = cosx. Ir tai yra lentelės funkcija. Iš karto gauname:

Atsakymas: y" = - sin x.

Pavyzdys pažengusiems absolventams ir studentams:

4. Raskite funkcijos išvestinę:

Išvestinių lentelėje tokios funkcijos, žinoma, nėra. Bet jei prisimena elementarią matematiką, veiksmus su galiomis... Tada šią funkciją visai įmanoma supaprastinti. Kaip šitas:

O x iki dešimtosios laipsnio jau yra lentelės funkcija! Trečioji grupė, n=1/10. Rašome tiesiai pagal formulę:

Tai viskas. Tai bus atsakymas.

Tikiuosi, kad su pirmuoju diferenciacijos ramsčiu – išvestinių lentele – viskas aišku. Belieka susidoroti su dviem likusiais banginiais. Kitoje pamokoje mokysimės diferencijavimo taisyklių.

IN koordinačių plokštuma xOy apsvarstykite funkcijos grafiką y=f(x). Pataisykime esmę M(x 0 ; f (x 0)). Pridėkime abscisę x 0 prieaugis Δx. Gausime naują abscisę x 0 +Δx. Tai taško abscisė N, o ordinatė bus lygi f (x 0 + Δx). Pasikeitus abscisei, pasikeitė ir ordinatės. Šis pokytis vadinamas funkcijos padidėjimu ir žymimas Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Per taškus M Ir N nubrėžkime sekantą MN, kuris sudaro kampą φ su teigiama ašies kryptimi Oi. Nustatykime kampo liestinę φ iš stačiojo trikampio MPN.

Leisti Δx linkęs į nulį. Tada sekantas MN bus linkę užimti liestinę padėtį MT, ir kampas φ taps kampu α . Taigi, kampo liestinė α yra kampo liestinės ribinė vertė φ :

Funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį, vadinama funkcijos išvestine tam tikrame taške:

Geometrinė išvestinės reikšmė slypi tame, kad funkcijos skaitinė išvestinė tam tikrame taške yra lygi kampo, kurį sudaro liestinė, nubrėžta per šį tašką, į duotąją kreivę ir teigiamą ašies kryptį. Oi:

Pavyzdžiai.

1. Raskite argumento prieaugį ir funkcijos y= prieaugį x 2, jei pradinė argumento reikšmė buvo lygi 4 , ir naujas - 4,01 .

Sprendimas.

Nauja argumento reikšmė x=x 0 +Δx. Pakeiskime duomenis: 4.01=4+Δх, taigi argumento prieaugis Δx=4,01-4=0,01. Funkcijos prieaugis pagal apibrėžimą yra lygus skirtumui tarp naujos ir ankstesnės funkcijos reikšmių, t.y. Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Kadangi mes turime funkciją y=x2, Tai Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Atsakymas: argumentų prieaugis Δx=0,01; funkcijos padidėjimas Δу=0,0801.

Funkcijos prieaugį galima rasti skirtingai: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Raskite funkcijos grafiko liestinės polinkio kampą y=f(x) taške x 0, Jei f "(x 0) = 1.

Sprendimas.

Išvestinės vertė liesties taške x 0 ir yra liestinės kampo liestinės reikšmė (geometrinė išvestinės reikšmė). Mes turime: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, nes tg45°=1.

Atsakymas: šios funkcijos grafiko liestinė sudaro kampą, kurio teigiama Ox ašies kryptis lygi 45°.

3. Išveskite funkcijos išvestinės formulę y=x n.

Diferencijavimas yra funkcijos išvestinės radimo veiksmas.

Ieškodami išvestinių, naudokite formules, kurios buvo išvestos remiantis išvestinės apibrėžimu, taip pat, kaip išvedėme išvestinio laipsnio formulę: (x n)" = nx n-1.

Tai yra formulės.

Darinių lentelė Ištarus žodines formuluotes bus lengviau įsiminti:

1. Pastovaus dydžio išvestinė lygi nuliui.

2. X pirminis yra lygus vienetui.

3. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo.

4. Laipsnio išvestinė yra lygi šio laipsnio rodiklio sandaugai laipsniu su ta pačia baze, bet rodiklis yra vienu mažesnis.

5. Šaknies išvestinė yra lygi vienetui, padalintam iš dviejų lygių šaknų.

6. Vieneto, padalyto iš x, išvestinė yra lygi minus vienas, padalytas iš x kvadratu.

7. Sinuso išvestinė lygi kosinusui.

8. Kosinuso išvestinė lygi minus sinusui.

9. Liestinės išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kosinuso kvadrato.

10. Kotangento išvestinė lygi minus vienas, padalytas iš sinuso kvadrato.

Mes mokome diferenciacijos taisyklės.

1. Algebrinės sumos išvestinė lygi algebrinė suma terminų vediniai.

2. Produkto išvestinė yra lygi pirmojo ir antrojo veiksnio išvestinei, pridėjus pirmojo veiksnio ir antrojo išvestinės sandaugai.

3. „Y“ išvestinė, padalyta iš „ve“, yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra „y pirminis, padaugintas iš „ve“ atėmus „y padaugintas iš ve pirminio“, o vardiklis yra „ve kvadratas“.

4. Ypatingas formulės atvejis 3.

Mokykimės kartu!

1 puslapis iš 1 1

Funkcijos išvestinė yra viena iš sudėtingiausių temų mokyklos mokymo programa. Ne kiekvienas abiturientas atsakys į klausimą, kas yra darinys.

Šiame straipsnyje paprastai ir aiškiai paaiškinama, kas yra išvestinė priemonė ir kodėl ji reikalinga.. Dabar pristatyme nesieksime matematinio griežtumo. Svarbiausia suprasti prasmę.

Prisiminkime apibrėžimą:

Išvestinė yra funkcijos kitimo greitis.

Paveikslėlyje pavaizduoti trijų funkcijų grafikai. Kuris, jūsų nuomone, auga greičiau?

Atsakymas akivaizdus – trečias. Ji turi didžiausią kitimo greitį, ty didžiausią išvestinę priemonę.

Štai dar vienas pavyzdys.

Kostya, Grisha ir Matvey gavo darbus tuo pačiu metu. Pažiūrėkime, kaip pasikeitė jų pajamos per metus:

Grafikas rodo viską iš karto, ar ne? Kostjos pajamos per šešis mėnesius išaugo daugiau nei dvigubai. Ir Grišos pajamos taip pat padidėjo, bet tik šiek tiek. Ir Matvey pajamos sumažėjo iki nulio. Pradinės sąlygos yra tos pačios, bet funkcijos kitimo greitis, tai yra išvestinė, - kitoks. Kalbant apie Matvey, jo pajamų išvestinė priemonė paprastai yra neigiama.

Intuityviai mes lengvai įvertiname funkcijos kitimo greitį. Bet kaip tai padaryti?

Mes iš tikrųjų žiūrime į tai, kaip staigiai funkcijos grafikas kyla aukštyn (arba žemyn). Kitaip tariant, kaip greitai y keičiasi keičiantis x? Akivaizdu, kad ta pati funkcija skirtinguose taškuose gali turėti skirtinga prasmė išvestinė – tai yra, ji gali keistis greičiau arba lėčiau.

Funkcijos išvestinė žymima .

Parodysime, kaip jį rasti naudojant grafiką.

Nubraižytas kokios nors funkcijos grafikas. Paimkime tašką su abscise. Šioje vietoje nubrėžkime funkcijos grafiko liestinę. Norime įvertinti, kaip staigiai kyla funkcijos grafikas. Patogi vertė yra liestinės kampo liestinė.

Funkcijos išvestinė taške yra lygi liestinės kampo, nubrėžto į funkcijos grafiką šiame taške, liestei.

Atkreipkite dėmesį, kad kaip liestinės pasvirimo kampas imame kampą tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties.

Kartais mokiniai klausia, kas yra funkcijos grafiko liestinė. Tai tiesi linija, turinti vieną bendrą tašką su diagrama šioje dalyje ir kaip parodyta mūsų paveikslėlyje. Tai atrodo kaip apskritimo liestinė.

Suraskime. Prisimename, kad smailiojo kampo liestinė in taisyklingas trikampis lygus priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui. Iš trikampio:

Išvestinę radome naudodami grafiką, net nežinodami funkcijos formulės. Tokios problemos dažnai aptinkamos vieningame valstybiniame matematikos egzamine pagal numerį.

Yra dar vienas svarbus ryšys. Prisiminkite, kad tiesią liniją suteikia lygtis

Šioje lygtyje esantis dydis vadinamas tiesios linijos nuolydis. Jis lygus tiesės polinkio į ašį kampo liestinei.

.

Mes tai gauname

Prisiminkime šią formulę. Jis išreiškia geometrinę išvestinės reikšmę.

Funkcijos išvestinė taške lygi nuolydisŠiame taške nubrėžta funkcijos grafiko liestinė.

Kitaip tariant, išvestinė lygi liestinės kampo tangentei.

Jau sakėme, kad ta pati funkcija skirtinguose taškuose gali turėti skirtingus išvestinius. Pažiūrėkime, kaip išvestinė yra susijusi su funkcijos veikimu.

Nubraižykime kokios nors funkcijos grafiką. Tegul ši funkcija vienose srityse padidėja, o kitose mažėja ir kartu skirtingu greičiu. Ir tegul ši funkcija turi didžiausią ir mažiausią taškus.

Tam tikru momentu funkcija padidėja. Taške nubrėžto grafiko liestinė sudaro smailųjį kampą; su teigiama ašies kryptimi. Tai reiškia, kad taško išvestinė yra teigiama.

Tuo metu mūsų funkcija sumažėja. Liestinė šiame taške sudaro bukąjį kampą; su teigiama ašies kryptimi. Nuo tangento bukas kampas yra neigiamas, taške išvestinė yra neigiama.

Štai kas nutinka:

Jei funkcija didėja, jos išvestinė yra teigiama.

Jei jis mažėja, jo išvestinė yra neigiama.

Kas atsitiks su didžiausiu ir mažiausiu taškais? Matome, kad taškuose (maksimalus taškas) ir (minimalus taškas) liestinė yra horizontali. Todėl liestinės liestinė šiuose taškuose lygi nuliui, o išvestinė taip pat lygi nuliui.

Taškas – maksimalus taškas. Šiuo metu funkcijos padidėjimas pakeičiamas sumažėjimu. Vadinasi, išvestinės ženklas taške pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“.

Taške - minimaliame taške - išvestinė taip pat yra nulis, tačiau jos ženklas keičiasi iš „minuso“ į „pliusą“.

Išvada: naudodamiesi išvestine galime sužinoti viską, kas mus domina apie funkcijos elgesį.

Jei išvestinė yra teigiama, tada funkcija didėja.

Jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja.

Didžiausiame taške išvestinė yra nulis ir keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“.

Mažiausiame taške išvestinė taip pat yra nulis ir keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“.

Parašykime šias išvadas lentelės pavidalu:

	dideja	maksimalus taškas	mažėja	minimalus taškas	dideja
+	0	-	0	+

Padarykime du nedidelius paaiškinimus. Vieno iš jų prireiks sprendžiant problemą. Kitas – pirmame kurse, su rimtesniu funkcijų ir išvestinių tyrimu.

Gali būti, kad funkcijos išvestinė tam tikru momentu yra lygi nuliui, tačiau funkcija šiuo metu neturi nei maksimumo, nei minimumo. Tai yra vadinamasis :

Taške grafiko liestinė yra horizontali, o išvestinė lygi nuliui. Tačiau prieš tašką funkcija padidėjo, o po taško ji toliau didėja. Išvestinio ženklas nesikeičia – jis lieka teigiamas toks, koks buvo.

Taip pat atsitinka, kad maksimumo ar minimumo taške išvestinė neegzistuoja. Grafike tai atitinka staigų pertrauką, kai tam tikrame taške neįmanoma nubrėžti liestinės.

Kaip rasti išvestinę, jei funkcija pateikta ne grafiku, o formule? Šiuo atveju tai taikoma

Šiame straipsnyje pateiksime pagrindines sąvokas, kuriomis bus grindžiama visa tolesnė teorija apie vieno kintamojo funkcijos išvestinę.

Kelias x yra funkcijos f(x) argumentas ir yra mažas skaičius, kuris skiriasi nuo nulio.

(skaitykite „delta x“) vadinamas funkcijos argumento didinimas. Paveiksle raudona linija rodo argumento pokytį iš reikšmės x į reikšmę (iš čia ir yra argumento pavadinimo „prieaugis“ esmė).

Pereinant nuo argumento vertės prie funkcijos reikšmių, atitinkamai pasikeičia iš į, su sąlyga, kad funkcija yra monotoniška intervale. Skirtumas vadinamas funkcijos f(x) padidėjimas, atitinkantis šį argumento prieaugį. Paveiksle funkcijos prieaugis parodytas mėlyna linija.

Pažvelkime į šias sąvokas naudodami konkretų pavyzdį.

Paimkime, pavyzdžiui, funkciją . Pataisykime argumento tašką ir padidėjimą. Šiuo atveju funkcijos prieaugis pereinant nuo iki bus lygus

Neigiamas prieaugis rodo segmento funkcijos sumažėjimą.

Grafinė iliustracija

Funkcijos išvestinės taške nustatymas.

Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta intervale (a; b) ir ir yra šio intervalo taškai. Funkcijos f(x) taške išvestinė vadinama funkcijos prieaugio santykio su argumento prieaugio riba ties . Paskirta .

Kai paskutinė riba įgyja konkrečią galutinę reikšmę, kalbame apie egzistavimą baigtinė išvestinė taške. Jei riba yra begalinė, jie taip sako išvestinė yra begalinė tam tikrame taške. Jei riba neegzistuoja, tada funkcijos išvestinė šiame taške neegzistuoja.

Iškviečiama funkcija f(x). taške skiriasi, kai jame yra baigtinė išvestinė.

Jei funkcija f(x) yra diferencijuojama kiekviename tam tikro intervalo taške (a; b), tai funkcija vadinama diferencijuojama šiame intervale. Taigi bet kurį tašką x iš intervalo (a; b) galima susieti su funkcijos išvestinės reikšme šiame taške, tai yra, turime galimybę apibrėžti naują funkciją, kuri vadinama funkcijos f(x) išvestinė intervale (a; b).

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išskirkime funkcijos išvestinės taške ir intervale sąvokų pobūdį: funkcijos išvestinė taške yra skaičius, o funkcijos išvestinė iš intervalo yra funkcija.

Pažvelkime į tai su pavyzdžiais, kad vaizdas būtų aiškesnis. Diferencijuodami naudosime išvestinės apibrėžimą, tai yra, pereisime prie ribų nustatymo. Jei kyla sunkumų, rekomenduojame kreiptis į teorijos skyrių.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę taške naudodami apibrėžimą.

Sprendimas.

Kadangi mes ieškome funkcijos išvestinės taške, atsakyme turi būti skaičius. Užrašykime funkcijos prieaugio santykio su argumento prieaugiu ribą ir naudokime trigonometrijos formules: