Įvairūs būdai įrodyti Pitagoro teoremą

9 „A“ klasės mokinys

Savivaldybės ugdymo įstaiga 8 vidurinė mokykla

Mokslinis patarėjas:

matematikos mokytojas,

Savivaldybės ugdymo įstaiga 8 vidurinė mokykla

Art. Novoroždestvenskaja

Krasnodaro sritis.

Art. Novoroždestvenskaja

ANOTACIJA.

Pitagoro teorema pagrįstai laikoma svarbiausia geometrijos eigoje ir nusipelno ypatingo dėmesio. Tai yra daugelio geometrinių uždavinių sprendimo pagrindas, pagrindas ateityje studijuoti teorinius ir praktinius geometrijos kursus. Teoremą supa daugybė istorinės medžiagos, susijusios su jos išvaizda ir įrodinėjimo metodais. Geometrijos raidos istorijos studijavimas įkvepia meilę ši tema, skatina pažintinio susidomėjimo, bendrosios kultūros ir kūrybiškumo ugdymą, o taip pat lavina tyrinėjimo įgūdžius.

Dėl paieškos veiklos buvo pasiektas darbo tikslas – papildyti ir apibendrinti žinias apie Pitagoro teoremos įrodymą. Pavyko rasti ir peržiūrėti įvairių būdųįrodymų ir pagilinti žinias šia tema, peržengiant mokyklinio vadovėlio puslapius.

Surinkta medžiaga mus dar labiau įtikina, kad Pitagoro teorema yra puiki geometrijos teorema ir turi didžiulę teorinę ir praktinę reikšmę.

Įvadas. Istorinė nuoroda 5 Pagrindinė dalis 8

3. 19 išvada

4. Naudota literatūra 20
1. ĮVADAS. ISTORINĖ NUORODOS.

Tiesos esmė ta, kad ji skirta mums amžinai,

Kai bent kartą jos įžvalgoje matome šviesą,

Ir Pitagoro teorema po tiek metų

Mums, kaip ir jam, tai nepaneigiama, nepriekaištinga.

Norėdamas apsidžiaugti, Pitagoras davė dievams įžadą:

Už begalinės išminties prisilietimą,

Jis papjovė šimtą jaučių, amžinųjų dėka;

Po aukos jis meldėsi ir gyrė.

Nuo tada jaučiai užuodę stumia,

Kad takas vėl veda žmones į naują tiesą,

Jie įnirtingai riaumoja, todėl nėra prasmės klausytis,

Toks Pitagoras visiems laikams įvarė jiems siaubą.

Jaučiai, bejėgiai atsispirti naujai tiesai,

Kas lieka? – Tik užsimerkęs, riaumojimas, drebulys.

Nežinia, kaip Pitagoras įrodė savo teoremą. Aišku, kad jis jį atrado stipriai veikiamas Egipto mokslo. Ypatingą Pitagoro teoremos atvejį – trikampio su 3, 4 ir 5 kraštinėmis savybes – piramidžių statytojai žinojo dar gerokai iki Pitagoro gimimo, o jis pats daugiau nei 20 metų mokėsi pas Egipto kunigus. Išliko legenda, bylojanti, kad Pitagoras, įrodęs savo garsiąją teoremą, dievams paaukojo jautį, o kitų šaltinių duomenimis, net 100 jaučių. Tačiau tai prieštarauja informacijai apie moralines ir religines Pitagoro pažiūras. Literatūros šaltiniuose galima perskaityti, kad jis „draudė net žudyti gyvūnus, juo labiau jais maitintis, nes gyvūnai turi sielą, kaip ir mes“. Pitagoras valgė tik medų, duoną, daržoves ir kartais žuvį. Kalbant apie visa tai, labiau tikėtinas galima laikyti tokį įrašą: „... ir net kai jis sužinojo, kad stačiakampiame trikampyje hipotenuzė atitinka kojas, jis paaukojo jautį, pagamintą iš kvietinės tešlos.

Pitagoro teoremos populiarumas toks didelis, kad jos įrodymų randama net grožinėje literatūroje, pavyzdžiui, garsaus anglų rašytojo Huxley apsakyme „Jaunasis Archimedas“. Tas pats įrodymas, tik ypatingam lygiašonio stačiojo trikampio atveju, pateiktas Platono dialoge „Meno“.

Pasaka „Namai“.

„Toli, toli, kur net lėktuvai neskrenda, yra geometrijos šalis. Šioje neįprastoje šalyje buvo vienas nuostabus miestas - Teorem miestas. Vieną dieną aš atvykau į šį miestą graži mergina pavadintas Hipotenūza. Ji bandė išsinuomoti kambarį, bet kad ir kur kreiptųsi, jos buvo atsisakyta. Galiausiai ji priėjo prie išsekusio namo ir pasibeldė. Duris jai atvėrė vyras, pasivadinęs Tiesiu kampu, ir pakvietė Hipotenūzą pas save gyventi. Hipotenuzė liko name, kuriame gyveno Dešinysis kampas ir du jo sūnūs, vardu Katetes. Nuo tada gyvenimas dešiniojo kampo name pasikeitė naujai. Hipotenuzė pasodino gėles ant lango, o priekiniame sode – raudonas rožes. Namas įgavo stačiakampio trikampio formą. Abiem kojoms labai patiko Hipotenuzė ir paprašė jos likti amžinai jų namuose. Vakarais ši draugiška šeima susirenka prie šeimos stalo. Kartais Right Angle žaidžia slėpynių su savo vaikais. Dažniausiai jis turi ieškoti, o hipotenuzė taip sumaniai slepiasi, kad ją rasti gali būti labai sunku. Vieną dieną žaisdamas dešinysis kampas pastebėjo įdomią savybę: jei jam pavyksta rasti kojas, tada rasti hipotenuzą nėra sunku. Taigi „Right Angle“ šį modelį naudoja, turiu pasakyti, labai sėkmingai. Pitagoro teorema pagrįsta šio stačiojo trikampio savybe.

(Iš A. Okunevo knygos „Ačiū už pamoką, vaikai“).

Nuotaikinga teoremos formuluotė:

Jei mums duotas trikampis

Ir, be to, stačiu kampu,

Tai yra hipotenuzės kvadratas

Visada galime lengvai rasti:

Mes sulenkiame kojas,

Mes randame galių sumą -

Ir tokiu paprastu būdu

Prieisime prie rezultato.

10 klasėje studijuodamas algebrą ir analizės bei geometrijos pradmenis įsitikinau, kad be 8 klasėje aptarto Pitagoro teoremos įrodinėjimo metodo yra ir kitų įrodinėjimo būdų. Pristatau juos jūsų svarstymui.
2. PAGRINDINĖ DALIS.

Teorema. Stačiame trikampyje yra kvadratas

hipotenuzė lygi sumai kojų kvadratai.

1 METODAS.

Naudodamiesi daugiakampių plotų savybėmis, nustatysime nepaprastą ryšį tarp stačiojo trikampio hipotenuzės ir kojų.

Įrodymas.

a, c ir hipotenuzė Su(1 pav., a).

Įrodykime tai c²=a²+b².

Įrodymas.

Užbaikime trikampį iki kvadrato su kraštine a + b kaip parodyta pav. 1, b. Šio kvadrato plotas S yra (a + b)². Kita vertus, šis kvadratas sudarytas iš keturių vienodų stačiųjų trikampių, kurių kiekvieno plotas yra ½ oi, ir kvadratas su šonine Su, todėl S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

Taigi,

(a + b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

Teorema įrodyta.
2 METODAS.

Išstudijavus temą „Panašūs trikampiai“ sužinojau, kad trikampių panašumą galite pritaikyti Pitagoro teoremos įrodymui. Būtent, aš panaudojau teiginį, kad stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas hipotenusei ir hipotenuzės segmentui, esančiam tarp kojos ir aukščio, nubrėžto iš viršūnės. stačiu kampu.

Panagrinėkime stačiakampį trikampį, kurio stačiakampis C, CD – aukštis (2 pav.). Įrodykime tai AC² + ŠV² = AB² .

Įrodymas.

Remiantis teiginiu apie stačiojo trikampio koją:

AC = , SV = .

Padėkime kvadratu ir pridėkime gautas lygybes:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), kur AD + DB = AB, tada

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Įrodymas baigtas.
3 METODAS.

Norėdami įrodyti Pitagoro teoremą, galite taikyti stačiojo trikampio smailaus kampo kosinuso apibrėžimą. Pažiūrėkime į pav. 3.

Įrodymas:

Tegu ABC yra duotasis stačiakampis trikampis su stačiu kampu C. Iš stačiojo kampo C viršūnės nubrėžkime aukštį CD.

Pagal kampo kosinuso apibrėžimą:

cos A = AD/AC = AC/AB. Taigi AB * AD = AC²

Taip pat,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Taigi AB * BD = BC².

Sudėję gautas lygybes po termino ir pažymėdami, kad AD + DB = AB, gauname:

AC² + saulė² = AB (AD + DB) = AB²

Įrodymas baigtas.
4 METODAS.

Išstudijavus temą „Stačiojo trikampio kraštinių ir kampų ryšiai“, manau, kad Pitagoro teoremą galima įrodyti ir kitaip.

Apsvarstykite stačiakampį trikampį su kojomis a, c ir hipotenuzė Su. (4 pav.).

Įrodykime tai c²=a²+b².

Įrodymas.

nuodėmė B= aukštos kokybės ; cos B= a/c , tada, padalydami gautas lygybes kvadratu, gauname:

nuodėmė² B= in²/s²; cos² IN= a²/c².

Sudėjus juos, gauname:

nuodėmė² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², kur sin² IN+cos² B = 1,

1= (в²+ а²) / с², todėl

c²= a² + b².

Įrodymas baigtas.

5 METODAS.

Šis įrodymas pagrįstas ant kojų pastatytų kvadratų išpjovimu (5 pav.) ir gautų dalių uždėjimu ant ant hipotenuzės pastatyto kvadrato.

6 METODAS.

Įrodymui iš šono Saulė mes statome BCD ABC(6 pav.). Žinome, kad panašių figūrų plotai yra susiję kaip jų panašių linijinių matmenų kvadratai:

Iš pirmosios lygybės atėmę antrąją, gauname

c2 = a2 + b2.

Įrodymas baigtas.

7 METODAS.

Duota(7 pav.):

ABC,= 90° , saulė= a, AC=b, AB = c.

Įrodykite:c2 = a2 +b2.

Įrodymas.

Leisk kojai b A. Tęskime segmentą NE už tašką IN ir pastatyti trikampį KMT kad taškai M Ir A gulėti vienoje tiesios linijos pusėje CD Ir be to, BD =b, BDM= 90°, DM= a, tada KMT= ABC iš dviejų pusių ir kampas tarp jų. Taškai A ir M sujungti su segmentais ESU. Mes turime M.D. CD Ir A.C. CD, tai reiškia, kad jis tiesus AC lygiagrečiai linijai M.D. Nes M.D.< АС, tada tiesiai CD Ir ESU. ne lygiagrečiai. Todėl, AMDC- stačiakampė trapecija.

Stačiuose trikampiuose ABC ir KMT 1 + 2 = 90° ir 3 + 4 = 90°, bet kadangi = =, tai 3 + 2 = 90°; Tada AVM=180° - 90° = 90°. Paaiškėjo, kad trapecija AMDC yra padalintas į tris nesutampančius stačiuosius trikampius, tada pagal ploto aksiomas

(a+b)(a+b)

Visas nelygybės sąlygas padalijus iš , gauname

Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Įrodymas baigtas.

8 METODAS.

Šis metodas pagrįstas stačiojo trikampio hipotenuse ir kojomis ABC. Jis sukonstruoja atitinkamus kvadratus ir įrodo, kad ant hipotenuzos pastatytas kvadratas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, sumai (8 pav.).

Įrodymas.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ ABC, Reiškia, FBC = DBA.

Taigi, FBC=ABD(iš dviejų pusių ir kampas tarp jų).

2) , kur AL DE, nes BD yra bendra bazė, DL- bendras aukštis.

3) , kadangi FB yra fondas, AB- bendras aukštis.

4)

5) Panašiai galima įrodyti, kad

6) Sudėjus terminą po termino, gauname:

, BC2 = AB2 + AC2 . Įrodymas baigtas.

9 METODAS.

Įrodymas.

1) Leiskite ABDE- kvadratas (9 pav.), kurio kraštinė lygi stačiojo trikampio hipotenusei ABC= s, BC = a, AC =b).

2) Leiskite DK B.C. Ir DK = saulė, nes 1 + 2 = 90° (kaip stačiojo trikampio smailieji kampai), 3 + 2 = 90° (kaip kvadrato kampas), AB= BD(aikštės pusės).

Reiškia, ABC= BDK(pagal hipotenuzę ir smailią kampą).

3) Leiskite EL D.K., A.M. E.L. Galima lengvai įrodyti, kad ABC = BDK = DEL = EAM (su kojomis A Ir b). Tada KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a–b),Su2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Įrodymas baigtas.

10 METODAS.

Įrodymas gali būti atliktas su figūra, juokais vadinama „Pitagoro kelnėmis“ (10 pav.). Jo idėja yra paversti kvadratus, pastatytus iš šonų, lygiais trikampiais, kurie kartu sudaro hipotenuzės kvadratą.

ABC perkelkite jį, kaip parodyta rodyklėje, ir jis užims vietą KDN. Likusi figūros dalis AKDCB lygus kvadrato plotas AKDC tai lygiagretainis AKNB.

Padarytas lygiagretainio modelis AKNB. Lygiagretainį perstatome taip, kaip pavaizduota darbo turinyje. Norėdami parodyti lygiagretainio transformaciją į vienodo ploto trikampį, prieš mokinius nupjauname modelyje trikampį ir perkeliame jį žemyn. Taigi, aikštės plotas AKDC pasirodė lygus stačiakampio plotui. Panašiai paverčiame kvadrato plotą į stačiakampio plotą.

Padarykime transformaciją kvadratui, pastatytam iš šono A(11 pav., a):

a) kvadratas paverčiamas lygiagretainiu (11.6 pav.):

b) lygiagretainis pasisuka ketvirtadaliu apsisukimo (12 pav.):

c) lygiagretainis paverčiamas lygiagrečiu stačiakampiu (13 pav.): 11 METODAS.

Įrodymas:

PCL - tiesus (14 pav.);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Įrodymas baigėsi .

12 METODAS.

Ryžiai. 15 paveikslas iliustruoja kitą originalų Pitagoro teoremos įrodymą.

Čia: trikampis ABC su stačiu kampu C; linijos segmentas B.F. statmenai NE ir jam lygus atkarpa BE statmenai AB ir jam lygus atkarpa REKLAMA statmenai AC ir jam lygus; taškų F, C,D priklauso tai pačiai linijai; keturkampiai ADFB Ir ASVE vienodo dydžio, nes ABF = ECB; trikampiai ADF Ir ACE vienodo dydžio; iš abiejų lygių keturkampių atimkite trikampį, kurį jie dalijasi ABC, mes gauname

, c2 = a2 + b2.

Įrodymas baigtas.

13 METODAS.

Duoto stačiojo trikampio plotas vienoje pusėje lygus , su kitu, ,

3. IŠVADA.

Dėl paieškos veiklos buvo pasiektas darbo tikslas – papildyti ir apibendrinti žinias apie Pitagoro teoremos įrodymą. Buvo galima rasti ir svarstyti įvairių būdų tai įrodyti bei pagilinti žinias ta tema, peržengiant mokyklinio vadovėlio puslapius.

Surinkta medžiaga mane dar labiau įtikina, kad Pitagoro teorema yra puiki geometrijos teorema ir turi didžiulę teorinę ir praktinę reikšmę. Apibendrinant noriu pasakyti: Pitagoro trigubės teoremos populiarumo priežastis yra jos grožis, paprastumas ir reikšmingumas!

4. NAUDOJAMA LITERATŪRA.

1. Pramoginė algebra. . Maskvos „Mokslas“, 1978 m.

2. Savaitinis edukacinis ir metodinis laikraščio „Rugsėjo pirmoji“ priedas, 2001/24.

3. Geometrija 7-9. ir kt.

4. Geometrija 7-9. ir kt.

Įsitikinkite, kad pateiktas trikampis yra stačiakampis, nes Pitagoro teorema taikoma tik stačiakampiams trikampiams. Stačiakampiuose trikampiuose vienas iš trijų kampų visada yra 90 laipsnių.

• Statusis kampas stačiakampiame trikampyje žymimas kvadrato piktograma, o ne kreive, kuri reiškia įstrižus kampus.

Pažymėkite trikampio kraštines. Pažymėkite kojeles „a“ ir „b“ (kojos yra kraštinės, susikertančios stačiu kampu), o hipotenuzė – „c“ (hipotenuzė yra didžiausia stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais stačią kampą).

Nustatykite, kurią trikampio pusę norite rasti. Pitagoro teorema leidžia rasti bet kurią stačiojo trikampio kraštinę (jei žinomos kitos dvi kraštinės). Nustatykite, kurią pusę (a, b, c) turite rasti.

• Pavyzdžiui, duota hipotenuzė lygi 5, o kojelė lygi 3. Tokiu atveju reikia rasti antrąją koją. Prie šio pavyzdžio grįšime vėliau.
• Jei kitos dvi pusės nežinomos, reikia rasti vienos iš nežinomų kraštinių ilgį, kad galėtumėte pritaikyti Pitagoro teoremą. Norėdami tai padaryti, naudokite pagrindinį trigonometrinės funkcijos(jei jums duota vieno iš pasvirųjų kampų reikšmė).

Pakeiskite jums suteiktas reikšmes (arba rastas reikšmes) į formulę a 2 + b 2 = c 2. Atminkite, kad a ir b yra kojos, o c yra hipotenuzė.

• Mūsų pavyzdyje parašykite: 3² + b² = 5².

Kiekvienos žinomos pusės kvadratas. Arba palikite galias – vėliau galėsite kvadratuoti skaičius.

• Mūsų pavyzdyje parašykite: 9 + b² = 25.

Išskirkite nežinomą pusę vienoje lygties pusėje. Norėdami tai padaryti, perkelkite žinomos vertėsį kitą lygties pusę. Jei radote hipotenuzą, tai Pitagoro teoremoje ji jau yra izoliuota vienoje lygties pusėje (taigi jums nieko nereikia daryti).

• Mūsų pavyzdyje perkelkite 9 į dešinę lygties pusę, kad atskirtumėte nežinomą b². Gausite b² = 16.

Pašalinti Kvadratinė šaknis iš abiejų lygties pusių po to, kai vienoje lygties pusėje yra nežinomasis (kvadratas), o kitoje pusėje yra laisvasis narys (skaičius).

• Mūsų pavyzdyje b² = 16. Paimkite kvadratinę šaknį iš abiejų lygties pusių ir gaukite b = 4. Taigi antroji dalis yra 4.

Naudokite Pitagoro teoremą Kasdienybė, nes jis gali būti naudojamas daugelyje praktinių situacijų. Norėdami tai padaryti, išmokite atpažinti stačiuosius trikampius kasdieniame gyvenime – bet kurioje situacijoje, kai du objektai (arba linijos) susikerta stačiu kampu, o trečias objektas (arba linija) jungia (įstrižai) pirmųjų dviejų objektų viršūnes (arba eilutės), galite naudoti Pitagoro teoremą, kad surastumėte nežinomą pusę (jei žinomos kitos dvi pusės).

• Pavyzdys: laiptai, atremti į pastatą. Laiptų apačia yra 5 metrai nuo sienos pagrindo. Laiptų viršus yra 20 metrų nuo žemės (į sieną). Koks laiptų ilgis?
  • „5 metrai nuo sienos pagrindo“ reiškia, kad a = 5; „Įsikūręs 20 metrų nuo žemės“ reiškia, kad b = 20 (tai yra, jums duotos dvi stačiojo trikampio kojos, nes pastato siena ir Žemės paviršius susikerta stačiu kampu). Laiptų ilgis yra hipotenuzės ilgis, kuris nežinomas.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Taigi apytikslis laiptų ilgis – 20,6 metro.

Vidutinis lygis

Taisyklingas trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

TAISYKLINGAS TRIKAMPIS. PIRMAS LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl reikia išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir šiame

ir šiame

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... visų pirma, yra ypatingų gražūs vardai už jo puses.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: yra dvi kojos ir tik viena hipotenuzė(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Tai Pitagoras įrodė visiškai neatmenamais laikais ir nuo tada tai davė daug naudos žinantiems. Ir geriausia, kad tai paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar pamenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime tas pačias Pitagoro kelnes ir pažiūrėkime į jas.

Ar tai neatrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas yra susijęs būtent su Pitagoro teorema, o tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotai, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas, pastatytas ant hipotenuzės“.

Ar tikrai skamba šiek tiek kitaip? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, išėjo būtent toks paveikslas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau prisimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštuolio sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą?

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės studentams viską prisiminti žodžiais??! Ir galime pasidžiaugti, kad turime paprastą Pitagoro teoremos formuluotę. Pakartokime dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.

Na, o svarbiausia teorema apie stačiuosius trikampius buvo aptarta. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, perskaitykite šiuos teorijos lygius, o dabar eikime toliau... į tamsų mišką... trigonometrijos! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet aš tikrai nenoriu, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas tik už kampo? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga (kampui) koja? Žinoma turi! Tai koja!

O kaip kampas? Atidžiai pažiūrėk. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, koja. Tai reiškia, kad kampui koja yra greta, ir

Dabar atkreipkite dėmesį! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, kaip tai šaunu:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar galiu tai užrašyti žodžiais? Kokia koja yra kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai - jis „guli“ priešais kampą. O koja? Šalia kampo. Taigi ką mes turime?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis apsikeitė vietomis?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Santrauka

Trumpai surašykime viską, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiųjų trikampių teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei nelabai gerai, tai pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Visai gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga? Kaip aš galiu tai įrodyti? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Pažiūrėkite, kaip sumaniai suskirstėme jo puses į ilgius ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs patys žiūrite į piešinį ir galvojate, kodėl taip yra.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip dėl mažesnio ploto? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme juos po du ir priglaudėme vienas prie kito su hipotenomis. Kas nutiko? Du stačiakampiai. Tai reiškia, kad „pjūvių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Transformuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui

Smailaus kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smailiojo kampo liestinė lygi priešingos pusės ir gretimos pusės santykiui.

Smailiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos ir priešingos pusės santykiui.

Ir dar kartą visa tai tabletės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Iš dviejų pusių

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailaus kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „tinkamos“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NĖRA LYGI, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Reikia abiejuose trikampiuose koja buvo greta arba abiejuose buvo priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei trys jų elementai turi būti lygūs: dvi kraštinės ir kampas tarp jų, du kampai ir kraštinė tarp jų arba trys kraštinės. Tačiau stačiųjų trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Puiku, tiesa?

Apytiksliai tokia pati situacija ir su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Išilgai smailiojo kampo

II. Iš dviejų pusių

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Vietoj stačiakampio apsvarstykite visą stačiakampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi paaiškėjo, kad

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad yra ir priešingai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Atidžiai pažiūrėk. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, nuo kurio atstumai nuo visų trijų trikampio viršūnių yra lygūs, ir tai yra APRATUMO CENTRAS. Taigi, kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime ir.

Tačiau panašūs trikampiai turi vienodus kampus!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo?

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Užrašykime atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Reikia labai gerai atsiminti abi šias formules ir naudoti patogesnę. Užrašykime juos dar kartą

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: .

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• iš dviejų pusių:
• pagal koją ir hipotenuzę: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiakampių trikampių panašumo ženklai:

• vienas ūmus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
• Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis: .

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžta mediana yra lygi pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kojas:

Animuotas Pitagoro teoremos įrodymas – vienas iš esminis Euklido geometrijos teoremos, nustatančios ryšį tarp stačiojo trikampio kraštinių. Manoma, kad tai įrodė graikų matematikas Pitagoras, kurio vardu ji pavadinta (yra ir kitų versijų, ypač alternatyvi nuomonė, kad ši teorema bendras vaizdas suformulavo pitagoriečių matematikas Hipasas).
Teorema teigia:

Stačiakampyje ant hipotenuzės pastatyto kvadrato plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų sumai.

Trikampio hipotenuzės ilgio nustatymas c, o kojų ilgiai tokie a Ir b, gauname tokią formulę:

Taigi Pitagoro teorema nustato ryšį, leidžiantį nustatyti stačiojo trikampio kraštinę, žinant kitų dviejų ilgius. Pitagoro teorema yra ypatingas kosinuso teoremos atvejis, nustatantis santykį tarp savavališko trikampio kraštinių.
Taip pat buvo įrodytas atvirkštinis teiginys (dar vadinamas Pitagoro teoremos atvirkštiniu):

Bet kokiems trims teigiami skaičiai a, b ir c taip, kad a ? + b ? = c ?, yra stačiakampis trikampis su kojomis a ir b ir hipotenuze c.

Vizualiniai trikampio (3, 4, 5) įrodymai iš knygos „Chu Pei“ 500-200 m.pr.Kr. Teoremos istoriją galima suskirstyti į keturias dalis: Pitagoro skaičių žinojimas, stačiojo trikampio kraštinių santykio žinojimas, gretimų kampų santykio žinojimas ir teoremos įrodymas.
Megalitinės struktūros apie 2500 m. pr. Kr. Egipte ir Šiaurės Europa, yra stačiųjų trikampių, kurių kraštinės sudarytos iš sveikųjų skaičių. Bartelis Leendertas van der Waerdenas iškėlė hipotezę, kad tuo metu Pitagoro skaičiai buvo rasti algebriškai.
Parašyta tarp 2000 ir 1876 m.pr.Kr. papirusas iš Vidurio Egipto karalystės Berlynas 6619 yra uždavinys, kurio sprendimas yra Pitagoro skaičiai.
Valdant Hamurapiui Didžiajam, Babilono lentelė Plimpton 322, parašyta 1790–1750 m. pr. Kr. yra daug įrašų, glaudžiai susijusių su Pitagoro skaičiais.
Budhayana sutrose, kurios datuojamos nuo skirtingos versijos aštuntame ar antrame amžiuje prieš Kristų Indijoje, yra Pitagoro skaičiai, gauti algebriniu būdu, Pitagoro teoremos teiginys ir lygiakraštio stačiakampio trikampio geometrinis įrodymas.
Apastamba Sutrose (apie 600 m. pr. Kr.) yra skaitinis Pitagoro teoremos įrodymas, naudojant ploto skaičiavimus. Van der Waerden mano, kad jis buvo pagrįstas savo pirmtakų tradicijomis. Pasak Alberto Burco, tai yra originalus teoremos įrodymas ir jis siūlo, kad Pitagoras aplankė Arakoną ir jį nukopijavo.
Pitagoras, kurio gyvenimo metai paprastai nurodomi 569 – 475 m.pr.Kr. Pitagoro skaičiams skaičiuoti naudoja algebrinius metodus, teigiama Proklovo komentaruose apie Euklidą. Tačiau Proklas gyveno nuo 410 iki 485 m. Pasak Thomaso Guise'o, teoremos autorystės požymių nėra iki penkių šimtmečių po Pitagoro. Tačiau kai autoriai, tokie kaip Plutarchas ar Ciceronas, priskiria teoremą Pitagorui, jie tai daro taip, tarsi autorystė būtų plačiai žinoma ir tikra.
Maždaug 400 m.pr.Kr Pasak Proklo, Platonas pateikė Pitagoro skaičių skaičiavimo metodą, kuris sujungė algebrą ir geometriją. Maždaug 300 m. pr. Kr., m Pradžios Euklidas turime seniausią aksiomatinį įrodymą, išlikusį iki šių dienų.
Parašytas kažkada tarp 500 m. pr. Kr. ir 200 m. pr. Kr., kinų matematikos knyga „Chu Pei“ (? ? ? ?) pateikia vaizdinį Pitagoro teoremos, Kinijoje vadinamos Gugu teorema (????), trikampio su kraštinėmis (3, 4) įrodymą. , 5). Hanų dinastijos laikais, nuo 202 m.pr.Kr. iki 220 m Pitagoro skaičiai pateikiami knygoje „Devynios matematinio meno šakos“ kartu su stačiųjų trikampių paminėjimu.
Pirmą kartą ši teorema buvo panaudota Kinijoje, kur ji žinoma kaip Gugu (????) teorema, ir Indijoje, kur ji žinoma kaip Bhaskaro teorema.
Buvo plačiai diskutuojama, ar Pitagoro teorema buvo atrasta vieną kartą, ar pakartotinai. Boyer (1991) mano, kad Šulba Sutroje randamos žinios gali būti Mesopotamijos kilmės.
Algebrinis įrodymas
Kvadratai sudaromi iš keturių stačiųjų trikampių. Yra žinoma daugiau nei šimtas Pitagoro teoremos įrodymų. Čia yra įrodymas, pagrįstas figūros ploto egzistavimo teorema:

Padėkime keturis vienodus stačiuosius trikampius, kaip parodyta paveikslėlyje.
Keturkampis su šonais c yra kvadratas, nes dviejų suma aštrūs kampai, O posūkio kampas yra .
Visos figūros plotas, viena vertus, lygus kvadrato, kurio kraštinė yra „a + b“, plotui, kita vertus, keturių trikampių ir vidinio kvadrato plotų sumai. .

Ką reikia įrodyti.
Pagal trikampių panašumą
Naudojant panašius trikampius. Leisti ABC- stačiakampis trikampis, kuriame kampas C tiesiai, kaip parodyta paveikslėlyje. Nubrėžkime aukštį nuo taško C, ir paskambinsim H susikirtimo taškas su šonu AB. Susidaro trikampis ACH panašus į trikampį ABC, kadangi jie abu yra stačiakampiai (pagal aukščio apibrėžimą) ir turi bendrą kampą A, Akivaizdu, kad trečiasis kampas šiuose trikampiuose taip pat bus toks pat. Panašus į taiką, trikampį CBH taip pat panašus į trikampį ABC. Su trikampių panašumu: Jei

Tai galima parašyti kaip

Jei pridėsime šias dvi lygybes, gausime

HB + c kartus AH = c kartus (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Kitaip tariant, Pitagoro teorema:

Euklido įrodymas
Euklido įrodymas Euklido „Elementuose“, Pitagoro teorema įrodoma lygiagretainių metodu. Leisti A, B, C stačiojo trikampio viršūnės su stačiu kampu A. Iš taško numeskime statmeną Aį šoną, esančią priešais hipotenuzę, ant hipotenuzės pastatytame kvadrate. Linija padalija kvadratą į du stačiakampius, kurių kiekvieno plotas yra toks pat kaip ir šonuose pastatytų kvadratų. Pagrindinė mintisĮrodymas yra tas, kad viršutiniai kvadratai virsta to paties ploto lygiagrečiais, o tada grįžta ir pavirsta stačiakampiais apatiniame kvadrate ir vėl to paties ploto.

Nubrėžkime segmentus CF Ir REKLAMA. gauname trikampius BCF Ir B.D.A.
Kampai TAKSI Ir MAIŠAS– tiesus; atitinkamai taškais C, A Ir G– kolinearinis. Taip pat B, A Ir H.
Kampai CBD Ir FBA– abi yra tiesios linijos, tada kampas ABD lygus kampui FBC, kadangi abu yra stačiojo kampo ir kampo suma ABC.
Trikampis ABD Ir FBC lygis iš dviejų pusių ir kampas tarp jų.
Nuo taškų A, K Ir L– kolinearinis, stačiakampio BDLK plotas lygus dviem trikampio sritims ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Panašiai gauname CKLE = ACIH = AC 2
Vienoje pusėje sritis CBDE lygi stačiakampių plotų sumai BDLK Ir CKLE, o kitoje pusėje – aikštės plotas BC 2, arba AB 2 + AC 2 = BC 2.

Naudojant diferencialus
Diferencialų naudojimas. Pitagoro teoremą galima pasiekti ištyrus, kaip šono padidėjimas veikia hipotenuzės dydį, kaip parodyta paveikslėlyje dešinėje, ir atlikus nedidelį skaičiavimą.
Dėl šono padidėjimo a, panašių trikampių be galo mažiems žingsniams

Integruodami gauname

Jeigu a= 0 tada c = b, taigi „pastovi“. b 2. Tada

Kaip matyti, kvadratai atsiranda dėl proporcijos tarp žingsnių ir kraštinių, o suma yra nepriklausomo kraštinių prieaugio indėlio rezultatas, kuris nėra akivaizdus iš geometrinių įrodymų. Šiose lygtyse da Ir dc– atitinkamai be galo maži kraštinių prieaugiai a Ir c. Bet ką mes naudojame vietoj to? a Ir? c, tada santykio riba, jei jie linkę į nulį, yra da / nuolatinė srovė, išvestinė, ir taip pat yra lygi c / a, trikampių kraštinių ilgių santykį, todėl gauname diferencialinę lygtį.
Stačiakampės vektorių sistemos atveju galioja lygybė, kuri dar vadinama Pitagoro teorema:

Jei – Tai yra vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis, tai ši formulė sutampa su Euklido atstumu ir reiškia, kad vektoriaus ilgis lygus jo komponentų kvadratų sumos kvadratinei šaknims.
Šios lygybės analogas begalinės vektorių sistemos atveju vadinamas Parsevalio lygybe.

Pitagoro teorema yra pagrindinė Euklido geometrijos teorema, kuri postuluoja ryšį tarp stačiojo trikampio kojų ir hipotenuzės. Tai bene populiariausia teorema pasaulyje, visiems žinoma nuo mokyklos laikų.

Teoremos istorija

Tiesą sakant, stačiojo trikampio kraštinių santykio teorija buvo žinoma gerokai anksčiau nei Pitagoras iš Samoso salos. Taigi problemų dėl kraštinių santykio randama senoviniuose tekstuose nuo Babilono karaliaus Hamurabio valdymo, ty 1500 metų iki Samijos matematiko gimimo. Užrašai apie trikampio kraštines buvo užrašyti ne tik Babilone, bet ir Senovės Egipte bei Kinijoje. Vienas žinomiausių sveikųjų kojų ir hipotenuzės santykio atrodo kaip 3, 4 ir 5. Šiuos skaičius naudojo senovės matininkai ir architektai statydami stačius kampus.

Taigi, Pitagoras neišrado teoremos apie ryšį tarp kojų ir hipotenuzės. Jis pirmasis istorijoje tai įrodė. Tačiau kyla abejonių dėl to, nes Samijos matematiko įrodymas, jei jis buvo užfiksuotas, buvo prarastas šimtmečiams. Yra nuomonė, kad Euklido elementuose pateiktos teoremos įrodymas priklauso būtent Pitagorui. Tačiau matematikos istorikai tuo labai abejoja.

Pirmasis buvo Pitagoras, bet po jo teorema apie stačiojo trikampio kraštines buvo įrodyta apie 400 kartų, naudojant įvairius metodus: nuo klasikinės geometrijos iki diferencialinis skaičiavimas. Pitagoro teorema visada užėmė smalsius protus, todėl tarp įrodymų autorių galima prisiminti JAV prezidentą Jamesą Garfieldą.

Įrodymas

Matematinėje literatūroje užfiksuota mažiausiai keturi šimtai Pitagoro teoremos įrodymų. Toks protu nesuvokiamas skaičius paaiškinamas pagrindine teoremos reikšme mokslui ir rezultato elementariumu. Iš esmės Pitagoro teorema įrodoma geometriniais metodais, iš kurių populiariausi yra plotų metodas ir panašumų metodas.

Labiausiai paprastas metodas Teoremos, kuri nereikalauja privalomų geometrinių konstrukcijų, įrodymas yra plotų metodas. Pitagoras teigė, kad hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai:

Pabandykime įrodyti šį drąsų teiginį. Žinome, kad bet kurios figūros plotas nustatomas kvadratu padalijus linijos atkarpą. Linijos atkarpa gali būti bet kokia, bet dažniausiai tai yra figūros kraštinė arba jos spindulys. Priklausomai nuo segmento ir tipo pasirinkimo geometrinė figūra kvadratas turės skirtingus koeficientus:

• vienetas kvadrato atveju – S = a 2;
• apytiksliai 0,43 lygiakraščio trikampio atveju – S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
• Pi apskritimo atveju – S = pi × R 2.

Taigi bet kurio trikampio plotą galime išreikšti forma S = F × a 2, kur F yra tam tikras koeficientas.

Statusis trikampis yra nuostabi figūra, kurią galima lengvai padalyti į du panašius stačiuosius trikampius, tiesiog numetus statmeną iš bet kurios viršūnės. Šis padalijimas statųjį trikampį paverčia dviejų mažesnių stačiųjų trikampių suma. Kadangi trikampiai yra panašūs, jų plotai apskaičiuojami pagal tą pačią formulę, kuri atrodo taip:

S = F × hipotenuzė 2

Padalijus didelį trikampį su kraštinėmis a, b ir c (hipotenūza), buvo gauti trys trikampiai, o mažesnių figūrų hipotenzės pasirodė esančios pradinio trikampio a ir b kraštinės. Taigi panašių trikampių plotai apskaičiuojami taip:

• S1 = F × c 2 – pradinis trikampis;
• S2 = F × a 2 – pirmasis panašus trikampis;
• S3 = F × b 2 – antras panašus trikampis.

Akivaizdu, kad didelio trikampio plotas yra lygus panašių trikampių plotų sumai:

F × c 2 = F × a2 + F × b 2

F koeficientą lengva sumažinti. Rezultate gauname:

c 2 = a 2 + b 2,

Q.E.D.

Pitagoro trigubai

Populiarus kojų ir hipotenų santykis 3, 4 ir 5 jau buvo paminėtas aukščiau. Pitagoro trynukai yra trijų tarpusavyje susijusių trijulių rinkinys. pirminiai skaičiai, kurios tenkina sąlygą a 2 + b 2 = c 2 . Tokių derinių yra be galo daug, o pirmieji iš jų senovėje buvo naudojami statant kampus. Ant virvelės vienodais intervalais surišę tam tikrą skaičių mazgų ir sulenkę ją į trikampį, senovės mokslininkai išgavo stačią kampą. Norėdami tai padaryti, kiekvienoje trikampio pusėje reikėjo surišti mazgus tokiu kiekiu, kuris atitiktų Pitagoro trynukus:

• 3, 4 ir 5;
• 5, 12 ir 13;
• 7, 24 ir 25;
• 8, 15 ir 17.

Šiuo atveju bet kurį Pitagoro trigubą galima padidinti sveikuoju skaičiumi kartų ir gauti proporcingą ryšį, atitinkantį Pitagoro teoremos sąlygas. Pavyzdžiui, iš trigubo 5, 12, 13 galite gauti šonines reikšmes 10, 24, 26 paprastas dauginimas iki 2. Šiandien Pitagoro trigubai naudojami greitai išspręsti geometrines problemas.

Pitagoro teoremos taikymas

Samiečių matematiko teorema naudojama ne tik mokyklos geometrijoje. Pitagoro teorema randa pritaikymą architektūroje, astronomijoje, fizikoje, literatūroje, informacinėse technologijose ir net veiklos vertinime socialiniai tinklai. Teorema galioja ir realiame gyvenime.

Picos pasirinkimas

Picerijose pirkėjai dažnai susiduria su klausimu: ar imti vieną didelę picą ar dvi mažesnes? Tarkime, galite nusipirkti vieną 50 cm skersmens picą arba dvi mažesnes picas, kurių skersmuo 30 cm. Iš pirmo žvilgsnio dvi mažesnės picos yra didesnės ir pelningesnės, tačiau taip nėra. Kaip greitai palyginti mėgstamų picų plotą?

Prisimename samiečių matematiko ir Pitagoro trigubų teoremą. Apskritimo plotas yra skersmens kvadratas, kurio koeficientas F = pi/4. Ir pirmasis Pitagoro trigubas yra 3, 4 ir 5, kuriuos lengvai galime paversti trigubu 30, 40, 50. Todėl 50 2 = 30 2 + 40 2. Akivaizdu, kad 50 cm skersmens picos plotas bus didesnis nei 30 cm skersmens picų suma. Atrodytų, teorema taikoma tik geometrijai ir tik trikampiams, tačiau šis pavyzdys rodo kad santykis c 2 = a 2 + b 2 gali būti naudojamas ir kitiems skaičiams bei jų charakteristikoms palyginti.

Mūsų internetinis skaičiuotuvas leidžia apskaičiuoti bet kokią reikšmę, atitinkančią pagrindinę kvadratų sumos lygtį. Norėdami apskaičiuoti, tiesiog įveskite bet kurias 2 reikšmes, po kurių programa apskaičiuos trūkstamą koeficientą. Skaičiuoklė veikia ne tik su sveikaisiais skaičiais, bet ir trupmeninės reikšmės, todėl skaičiavimams leidžiama naudoti bet kokius skaičius, o ne tik Pitagoro trynukus.

Išvada

Pitagoro teorema yra esminis dalykas, kuris randa platus pritaikymas daugelyje mokslinių programų. Naudokite mūsų internetinį skaičiuotuvą, kad apskaičiuotumėte verčių, susijusių su c 2 = a 2 + b 2, dydžius.