Penktame amžiuje prieš Kristų senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos suformulavo savo garsiąsias aporijas, iš kurių garsiausia yra „Achilo ir vėžlio“ aporija. Štai kaip tai skamba:

Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, kurio Achilui reikia nubėgti šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti bendros nuomonės apie paradoksų esmę ... į problemos tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai. ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.

Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėjęs, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperšokkite abipusiai. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Bet taip nėra pilnas sprendimas Problemos. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (žinoma, vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės ). Į ką noriu atkreipti dėmesį Ypatingas dėmesys, yra tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.

2018 m. liepos 4 d., trečiadienis

Vikipedijoje labai gerai aprašyti rinkinio ir kelių rinkinių skirtumai. Pažiūrėkime.

Kaip matote, „rinkinyje negali būti dviejų identiškų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiškų elementų, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdiškos logikos. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kurie neturi intelekto iš žodžio „visiškai“. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.

Kadaise tiltą statę inžinieriai, bandydami tiltą, buvo valtyje po tiltu. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.

Kad ir kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš esu namuose“, tiksliau, „matematika tiria abstrakčias sąvokas“, yra viena virkštelė, kuri jas neatsiejamai sieja su tikrove. Ši virkštelė yra pinigai. Taikykime matematinių aibių teoriją patiems matematikams.

Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, išduodame atlyginimus. Taigi matematikas ateina pas mus už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada paimame vieną sąskaitą iš kiekvienos krūvos ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Paaiškinkime matematikui, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.

Visų pirma, pasiteisins deputatų logika: „Tai gali būti taikoma kitiems, bet ne man! Tada jie pradės mus raminti, kad to paties nominalo banknotai turi skirtingus vekselių numerius, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi tais pačiais elementais. Gerai, skaičiuokime atlyginimus monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės pašėlusiai prisiminti fiziką: ant skirtingų monetų yra skirtingi kiekiai nešvarumai, kristalų struktūra ir kiekvienos monetos atomų išdėstymas yra unikalūs...

Ir dabar man kyla įdomiausias klausimas: kur yra ta linija, už kurios multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo nemeluoja.

Paziurek cia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotai vienodi – tai reiškia, kad turime multiset. Bet jei pažiūrėtume į tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys yra ir rinkinys, ir kelių rinkinys. Kuris yra teisingas? O štai matematikas-šamanas-aštrininkas iš rankovės išsitraukia kozirių tūzą ir pradeda pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.

Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai operuoja su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „neįsivaizduojamų kaip viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.

2018 m. kovo 18 d., sekmadienis

Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet todėl jie yra šamanai, mokyti savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.

Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kuriais rašome skaičius, o matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti lengvai.

Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad surastume tam tikro skaičiaus skaitmenų sumą. Taigi, turėkime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.

1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į grafinį skaičiaus simbolį. Tai nėra matematinė operacija.

2. Vieną gautą paveikslėlį supjaustome į kelias nuotraukas, kuriose yra atskiri skaičiai. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.

3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.

4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai yra matematika.

Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai šamanų mokomi „kirpimo ir siuvimo kursai“, kuriuos naudoja matematikai. Bet tai dar ne viskas.

Matematiniu požiūriu nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje rašome skaičių. Taigi, į skirtingos sistemos Skaičiuojant to paties skaičiaus skaitmenų suma bus skirtinga. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. Su dideliu skaičiumi 12345 nenoriu suklaidinti galvos, panagrinėkime skaičių 26 iš straipsnio apie. Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nežiūrėsime į kiekvieną žingsnį pro mikroskopą, mes jau tai padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.

Kaip matote, skirtingose ​​skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tas pats, kaip jei nustatytumėte stačiakampio plotą metrais ir centimetrais, gautumėte visiškai skirtingus rezultatus.

Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas už tai, kad. Klausimas matematikams: kaip matematikoje yra įvardijamas tai, kas nėra skaičius? O matematikams nieko nėra, išskyrus skaičius? Galiu tai leisti šamanams, bet ne mokslininkams. Realybė yra ne tik skaičiai.

Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais lemia skirtingus rezultatus jas palyginus, tai reiškia, kad tai neturi nieko bendra su matematika.

Kas yra tikroji matematika? Tai yra tada, kai matematinės operacijos rezultatas nepriklauso nuo skaičiaus dydžio, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas atlieka šį veiksmą.

Užrašas ant durų Jis atidaro duris ir sako:

Oi! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta sielų nedefiliniam šventumui joms kylant į dangų tirti! Halo viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?

Moteriška... Aureole viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriškos lyties.

Jei toks dizaino meno kūrinys prieš akis blyksteli kelis kartus per dieną,

Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:

Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiojančiame žmoguje (viena nuotrauka) (kelių paveikslėlių kompozicija: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnių žymėjimas). Ir nemanau, kad ši mergina yra kvailė, kuri neišmano fizikos. Ji tiesiog turi stiprų grafinių vaizdų suvokimo stereotipą. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.

1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktaine tvarka. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, skaičių ir raidę automatiškai suvokia kaip vieną grafinį simbolį.

Trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas
Trupmenų pridėjimas ir atėmimas su skirtingus vardiklius
NOC samprata
Trupmenų mažinimas iki to paties vardiklio
Kaip pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną

1 Trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius, tačiau vardiklį palikite tą patį, pavyzdžiui:

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį, pavyzdžiui:

Norėdami pridėti mišrias trupmenas, turite atskirai sudėti visas jų dalis, tada pridėti jų trupmenines dalis ir parašyti rezultatą kaip mišrią trupmeną,

Jei pridėdami trupmenines dalis gaunate netinkamą trupmeną, pasirinkite iš jos visą dalį ir pridėkite prie visos dalies, pvz.:

2 Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti arba atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas sumažinti iki to paties vardiklio, o tada elgtis taip, kaip nurodyta šio straipsnio pradžioje. Bendras kelių trupmenų vardiklis yra LCM (mažiausias bendras kartotinis). Kiekvienos trupmenos skaitikliui papildomi veiksniai randami LCM padalijus iš šios trupmenos vardiklio. Pažiūrėsime į pavyzdį vėliau, kai suprasime, kas yra NOC.

3 Mažiausias bendras kartotinis (LCM)

Mažiausias bendrasis dviejų skaičių kartotinis (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų skaičių nepaliekant likučio. Kartais NOC galima pasirinkti žodžiu, bet dažniau, ypač dirbant su dideli skaičiai, turite rasti LOC raštu, naudodami šį algoritmą:

Norėdami rasti kelių skaičių LCM, jums reikia:

1. Padalinkite šiuos skaičius į pirminius veiksnius
2. Paimkite didžiausią išplėtimą ir parašykite šiuos skaičius kaip produktą
3. Kituose išskaidymuose pasirinkite skaičius, kurie nepasirodo didžiausiame išskaidyme (arba jame pasitaiko mažiau kartų), ir pridėkite juos prie sandaugos.
4. Padauginkite visus gaminio skaičius, tai bus LCM.

Pavyzdžiui, suraskime skaičių 28 ir 21 LCM:

4Trupmenų mažinimas iki to paties vardiklio

Grįžkime prie trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo.

Kai sumažiname trupmenas iki to paties vardiklio, lygaus abiejų vardiklių LCM, šių trupmenų skaitiklius turime padauginti iš papildomi daugikliai. Juos galite rasti padalydami LCM iš atitinkamos trupmenos vardiklio, pavyzdžiui:

Taigi, norėdami sumažinti trupmenas iki to paties eksponento, pirmiausia turite rasti LCM (ty mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš abiejų vardiklių) šių trupmenų vardiklius, tada prie trupmenų skaitiklių pridėkite papildomų koeficientų. Juos galite rasti padalydami bendrąjį vardiklį (CLD) iš atitinkamos trupmenos vardiklio. Tada kiekvienos trupmenos skaitiklį reikia padauginti iš papildomo koeficiento ir kaip vardiklį įdėti LCM.

5Kaip pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną

Norėdami pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną, tereikia šį skaičių pridėti prieš trupmeną, todėl, pavyzdžiui, susidarys mišri trupmena.

Straipsnyje parodysime kaip išspręsti trupmenas ant paprasto aiškūs pavyzdžiai. Išsiaiškinkime, kas yra trupmena, ir apsvarstykime sprendžiant trupmenas!

Koncepcija trupmenomisįvedamas į matematikos kursus nuo vidurinės mokyklos 6 klasės.

Trupmenos turi tokią formą: ±X/Y, kur Y yra vardiklis, nurodo į kiek dalių buvo padalinta visuma, o X yra skaitiklis, nurodo, kiek tokių dalių paimta. Aiškumo dėlei paimkime pavyzdį su pyragu:

Pirmuoju atveju tortas buvo supjaustytas vienodai ir paimama viena pusė, t.y. 1/2. Antruoju atveju tortas buvo supjaustytas į 7 dalis, iš kurių paimtos 4 dalys, t.y. 4/7.

Jei vieno skaičiaus dalijimosi iš kito dalis nėra sveikas skaičius, ji rašoma trupmena.

Pavyzdžiui, reiškinys 4:2 = 2 duoda sveiką skaičių, bet 4:7 nesidalija iš visumos, todėl ši išraiška rašoma trupmena 4/7.

Kitaip tariant trupmena yra išraiška, žyminti dviejų skaičių arba išraiškų padalijimą ir kuri rašoma naudojant trupmeninį pasvirąjį brūkšnį.

Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, trupmena yra tinkama; jei atvirkščiai, tai yra netinkama trupmena. Trupmenoje gali būti sveikas skaičius.

Pavyzdžiui, 5 visos 3/4.

Šis įrašas reiškia, kad norint gauti visus 6, trūksta vienos dalies iš keturių.

Jei nori prisiminti, kaip spręsti trupmenas 6 klasei, tu turi tai suprasti sprendžiant trupmenas, iš esmės, reikia suprasti keletą paprastų dalykų.

• Trupmena iš esmės yra trupmenos išraiška. Tai yra skaitinė išraiška kokia dalis duota vertė iš vienos visumos. Pavyzdžiui, trupmena 3/5 išreiškia, kad jei ką nors visumą padalintume į 5 dalis, o šios visumos dalių arba dalių skaičius yra trys.
• Trupmena gali būti mažesnė nei 1, pavyzdžiui, 1/2 (arba iš esmės pusė), tada ji yra teisinga. Jei trupmena didesnė už 1, pavyzdžiui, 3/2 (trys pusės arba pusantros), tai neteisinga, o norint supaprastinti sprendimą, geriau pasirinkti visą dalį 3/2 = 1 visa 1 /2.
• Trupmenos yra tokie patys skaičiai kaip 1, 3, 10 ir net 100, tik skaičiai yra ne sveikieji skaičiai, o trupmenos. Su jais galite atlikti visas tas pačias operacijas kaip ir su skaičiais. Skaičiuoti trupmenas nėra sunkesnis, o toliau konkrečių pavyzdžių mes tai parodysime.

Kaip išspręsti trupmenas. Pavyzdžiai.

Trupmenoms taikomos įvairios aritmetinės operacijos.

Trupmenos sumažinimas iki bendro vardiklio

Pavyzdžiui, reikia palyginti trupmenas 3/4 ir 4/5.

Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia randame mažiausią bendrą vardiklį, t.y. mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno trupmenų vardiklio, nepaliekant liekanos

Mažiausias bendras vardiklis(4.5) = 20

Tada abiejų trupmenų vardiklis sumažinamas iki mažiausio Bendras vardiklis

Atsakymas: 15/20

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Jei reikia apskaičiuoti dviejų trupmenų sumą, jos pirmiausia sujungiamos į bendrą vardiklį, tada pridedami skaitikliai, o vardiklis lieka nepakitęs. Skirtumas tarp trupmenų skaičiuojamas taip pat, skiriasi tik tuo, kad skaitikliai atimami.

Pavyzdžiui, reikia rasti trupmenų 1/2 ir 1/3 sumą

Dabar suraskime skirtumą tarp trupmenų 1/2 ir 1/4

Trupmenų dauginimas ir dalijimas

Čia išspręsti trupmenas nėra sunku, čia viskas gana paprasta:

• Daugyba – trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami kartu;
• Padalijimas – pirmiausia gauname trupmeną atvirkštinę antrosios trupmenos, t.y. Sukeičiame jo skaitiklį ir vardiklį, po to gautas trupmenas padauginame.

Pavyzdžiui:

Maždaug tiek kaip išspręsti trupmenas, Visi. Jei vis dar turite klausimų apie sprendžiant trupmenas, jei kas neaišku, rašykite komentaruose ir mes jums tikrai atsakysime.

Jei esate mokytojas, galite atsisiųsti pristatymą pradinė mokykla(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) jums pravers.

Vienas iš svarbiausių mokslų, kurio taikymas matomas tokiose disciplinose kaip chemija, fizika ir net biologija, yra matematika. Šio mokslo studijos leidžia išsiugdyti kai kurias psichines savybes ir pagerinti gebėjimą susikaupti. Viena iš matematikos kurso temų, kuriai nusipelno ypatingo dėmesio, yra trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Daugeliui studentų sunku mokytis. Galbūt mūsų straipsnis padės geriau suprasti šią temą.

Kaip atimti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi

Trupmenos yra tie patys skaičiai, su kuriais galite atlikti įvairias operacijas. Jų skirtumas nuo sveikųjų skaičių yra vardiklio buvimas. Štai kodėl, atliekant operacijas su trupmenomis, reikia išstudijuoti kai kurias jų savybes ir taisykles. Paprasčiausias atvejis yra paprastųjų trupmenų, kurių vardikliai vaizduojami kaip tas pats skaičius, atėmimas. Atlikti šį veiksmą nebus sunku, jei žinosite paprastą taisyklę:

• Norint iš vienos trupmenos atimti sekundę, reikia iš redukuojamos trupmenos skaitiklio atimti atimtos trupmenos skaitiklį. Šį skaičių įrašome į skirtumo skaitiklį, o vardiklį paliekame tą patį: k/m - b/m = (k-b)/m.

Trupmenų, kurių vardikliai yra vienodi, atėmimo pavyzdžiai

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Iš trupmenos „7“ skaitiklio atimame atimamos trupmenos „3“ skaitiklį, gauname „4“. Šį skaičių įrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje įdedame tą patį skaičių, kuris buvo pirmosios ir antrosios trupmenų vardikliuose - „19“.

Žemiau esančioje nuotraukoje pateikti dar keli panašūs pavyzdžiai.

Panagrinėkime sudėtingesnį pavyzdį, kai atimamos trupmenos su panašiais vardikliais:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Iš trupmenos skaitiklio „29“ sumažinamas paeiliui atimant visų vėlesnių trupmenų skaitiklius - „3“, „8“, „2“, „7“. Dėl to gauname rezultatą „9“, kurį užrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje užrašome skaičių, kuris yra visų šių trupmenų vardikliuose - „47“.

Sudėjus trupmenas, turinčias tą patį vardiklį

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas atliekamas tuo pačiu principu.

• Norėdami pridėti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi, turite pridėti skaitiklius. Gautas skaičius yra sumos skaitiklis, o vardiklis išliks toks pat: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pažiūrėkime, kaip tai atrodo, naudodami pavyzdį:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Prie pirmojo trupmenos nario skaitiklio - „1“ - pridėkite antrojo trupmenos nario skaitiklį - „2“. Rezultatas - "3" - įrašomas į sumos skaitiklį, o vardiklis paliekamas toks pat kaip ir trupmenose - "4".

Skirtingus vardiklius turinčios trupmenos ir jų atėmimas

Mes jau svarstėme operaciją su trupmenomis, kurios turi tą patį vardiklį. Kaip matome, žinodami paprastos taisyklės, tokius pavyzdžius išspręsti gana paprasta. Bet ką daryti, jei reikia atlikti operaciją su trupmenomis, kurios turi skirtingus vardiklius? Daugelis vidurinių mokyklų moksleivių glumina tokie pavyzdžiai. Bet ir čia, žinant sprendimo principą, pavyzdžiai tau nebebus sunkūs. Čia taip pat yra taisyklė, be kurios išspręsti tokias trupmenas tiesiog neįmanoma.

Norint atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, jas reikia sumažinti iki to paties mažiausio vardiklio.



Mes kalbėsime išsamiau apie tai, kaip tai padaryti.

Trupmenos savybė

Norint suvesti kelias trupmenas į tą patį vardiklį, sprendime reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę: skaitiklį ir vardiklį padalijus arba padauginus iš tas pats numeris gausite trupmeną, lygią duotajai.

Taigi, pavyzdžiui, trupmena 2/3 gali turėti vardiklius, tokius kaip „6“, „9“, „12“ ir tt, tai yra, ji gali turėti bet kokio skaičiaus, kuris yra „3“ kartotinis, formą. Padauginus skaitiklį ir vardiklį iš „2“, gauname trupmeną 4/6. Pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus iš „3“, gauname 6/9, o atlikę panašią operaciją su skaičiumi „4“, gauname 8/12. Vieną lygybę galima parašyti taip:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kaip paversti kelias trupmenas į tą patį vardiklį

Pažiūrėkime, kaip sumažinti kelias trupmenas iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui, paimkime trupmenas, parodytas paveikslėlyje žemiau. Pirmiausia turite nustatyti, kuris skaičius gali tapti jų visų vardikliu. Kad būtų lengviau, esamus vardiklius suskaidykime faktoriais.

Trupmenos 1/2 ir trupmenos 2/3 vardiklis negali būti koeficientas. Vardiklis 7/9 turi du koeficientus 7/9 = 7/(3 x 3), trupmenos vardiklis 5/6 = 5/(2 x 3). Dabar turime nustatyti, kurie veiksniai bus mažiausi visoms šioms keturioms trupmenoms. Kadangi pirmosios trupmenos vardiklyje yra skaičius „2“, tai reiškia, kad jis turi būti visuose vardikliuose, o trupmenoje 7/9 yra du trynukai, vadinasi, jie abu turi būti ir vardiklyje. Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, nustatome, kad vardiklis susideda iš trijų veiksnių: 3, 2, 3 ir yra lygus 3 x 2 x 3 = 18.



Panagrinėkime pirmąją trupmeną – 1/2. Jo vardiklyje yra „2“, tačiau nėra nė vieno „3“ skaitmens, bet turėtų būti du. Norėdami tai padaryti, vardiklį padauginame iš dviejų trigubų, tačiau, atsižvelgiant į trupmenos savybę, skaitiklį turime padauginti iš dviejų trigubų:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Su likusiomis trupmenomis atliekame tas pačias operacijas.

• 2/3 – vardiklyje trūksta vieno trijų ir vieno dviejų:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 arba 7/(3 x 3) – vardiklyje trūksta dviejų:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 arba 5/(2 x 3) – vardiklyje trūksta trijų:
  5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Viskas kartu atrodo taip:



Kaip atimti ir pridėti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius

Kaip minėta aukščiau, norint pridėti ar atimti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada naudoti jau aptartas trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, atėmimo taisykles.

Pažvelkime į tai kaip pavyzdį: 4/18 – 3/15.

Skaičių 18 ir 15 kartotinių radimas:

• Skaičius 18 sudarytas iš 3 x 2 x 3.
• Skaičius 15 sudarytas iš 5 x 3.
• Bendrasis kartotinis bus šie veiksniai: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Suradus vardiklį, reikia apskaičiuoti koeficientą, kuris skirsis kiekvienai trupmenai, tai yra skaičių, iš kurio reikės padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį. Norėdami tai padaryti, rastą skaičių (bendrąjį kartotinį) padalinkite iš trupmenos, kuriai reikia nustatyti papildomus veiksnius, vardiklio.

• 90 padalytas iš 15. Gautas skaičius „6“ bus daugiklis 3/15.
• 90 padalytas iš 18. Gautas skaičius „5“ bus daugiklis 4/18.

Kitas mūsų sprendimo etapas yra sumažinti kiekvieną trupmeną iki vardiklio „90“.

Mes jau kalbėjome apie tai, kaip tai daroma. Pažiūrėkime, kaip tai parašyta pavyzdyje:

(4 x 5)/(18 x 5) – (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 – 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jei trupmenos turi mažus skaičius, galite nustatyti bendrą vardiklį, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.



Tas pats pasakytina ir apie tuos, kurie turi skirtingus vardiklius.

Atimtis ir sveikųjų dalių turėjimas

Mes jau išsamiai aptarėme trupmenų atėmimą ir jų pridėjimą. Bet kaip atimti, jei trupmena turi visa dalis? Vėlgi, pasinaudokime keliomis taisyklėmis:

• Konvertuoti visas trupmenas, turinčias sveikąją dalį, į netinkamas. Kalbėdamas paprastais žodžiais, nuimkite visą dalį. Norėdami tai padaryti, sveikosios dalies skaičių padauginkite iš trupmenos vardiklio ir gautą sandaugą pridėkite prie skaitiklio. Skaičius, kuris pasirodo po šių veiksmų, yra netinkamos trupmenos skaitiklis. Vardiklis lieka nepakitęs.
• Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio.
• Sudėti arba atimti su tais pačiais vardikliais.
• Gavę netinkamą trupmeną, pasirinkite visą dalį.



Yra ir kitas būdas, kuriuo galite sudėti ir atimti trupmenas su sveikomis dalimis. Tam veiksmai atliekami atskirai su ištisomis dalimis, o veiksmai su trupmenomis atskirai, o rezultatai registruojami kartu.



Pateiktame pavyzdyje yra trupmenų, turinčių tą patį vardiklį. Tuo atveju, kai vardikliai skiriasi, jie turi būti suvienodinti, o tada atlikti veiksmus, kaip parodyta pavyzdyje.

Trupmenų atėmimas iš sveikųjų skaičių

Kitas operacijos su trupmenomis tipas yra atvejis, kai reikia atimti trupmeną.Iš pirmo žvilgsnio toks pavyzdys atrodo sunkiai išsprendžiamas. Tačiau čia viskas gana paprasta. Norėdami tai išspręsti, turite paversti sveikąjį skaičių į trupmeną ir su tuo pačiu vardikliu, kuris yra atimtoje trupmenoje. Toliau atliekame atimtį, panašų į atimtį su vienodais vardikliais. Pavyzdyje tai atrodo taip:

7 – 4/9 = (7 x 9)/9 – 4/9 = 53/9 – 4/9 = 49/9.

Šiame straipsnyje pateikta trupmenų atėmimas (6 klasė) yra pagrindas spręsti daugiau sudėtingų pavyzdžių, kurie bus aptariami tolesniuose užsiėmimuose. Šios temos žinios vėliau naudojamos sprendžiant funkcijas, išvestines ir pan. Todėl labai svarbu suprasti ir suprasti aukščiau aptartas operacijas su trupmenomis.

Internetinis skaičiuotuvas.
Įvertinkite išraišką skaitinėmis trupmenomis.
Trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas, atėmimas, padalijimas, pridėjimas ir mažinimas.

Naudojant šis skaičiuotuvas internete galite dauginti, atimti, padalyti, pridėti ir sumažinti trupmenas su skirtingais vardikliais.

Programa veikia su įprastomis, netinkamomis ir mišriomis skaičių trupmenomis.

Ši programa (internetinis skaičiuotuvas) gali:
- atlikti mišrių trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimą
- atlikti mišrių trupmenų su skirtingais vardikliais atimtį
- padalinti mišrias trupmenas su skirtingais vardikliais
- padauginkite mišrias trupmenas su skirtingais vardikliais
- sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio
- mišrias trupmenas paversti netinkamomis trupmenomis
- sumažinti frakcijas

Taip pat galite įvesti ne išraišką su trupmenomis, o vieną trupmeną.
Tokiu atveju dalis bus sumažinta, o visa dalis bus atskirta nuo rezultato.

Internetinis skaičiuotuvas, skirtas skaičiuoti išraiškas su skaitinėmis trupmenomis, ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir detalus sprendimas su paaiškinimais, t.y. rodo sprendimo paieškos procesą.

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams vidurinės mokyklos ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakils.

Jei nesate susipažinę su reiškinių su skaitinėmis trupmenomis įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Posakių su skaitinėmis trupmenomis įvedimo taisyklės

Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Įvestis: -2/3 + 7/5
Rezultatas: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersando ženklu: &
Įvestis: -1 ir 2/3 * 5 ir 8/3
Rezultatas: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

Trupmenų padalijimas įvedamas dvitaškio ženklu: :
Įvestis: -9&37/12: -3&5/14
Rezultatas: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Atminkite, kad negalite dalyti iš nulio!

Įvesdami išraiškas su skaitinėmis trupmenomis, galite naudoti skliaustus.
Įvestis: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Rezultatas: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Įveskite išraišką naudodami skaitines trupmenas.

Apskaičiuoti

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas JavaScript.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Paprastosios trupmenos. Padalijimas su likusia dalimi

Jeigu 497 reikia dalinti iš 4, tai dalindami pamatysime, kad 497 iš 4 nesidalija tolygiai, t.y. lieka likusi padalijimo dalis. Tokiais atvejais sakoma, kad baigta padalijimas su likusia dalimi, o sprendimas parašytas taip:
497: 4 = 124 (1 likutis).

Kairėje lygybės pusėje esantys padalijimo komponentai vadinami taip pat, kaip ir dalijant be liekanos: 497 - dividendas, 4 - skirstytuvas. Vadinamas padalijimo rezultatas, kai padalintas su liekana nepilnas privatus. Mūsų atveju tai yra skaičius 124. Ir galiausiai paskutinis komponentas, kuris nėra įprastame padalinyje, yra priminimas. Tais atvejais, kai likučio nėra, vienas skaičius yra padalintas iš kito be pėdsakų arba visiškai. Manoma, kad su tokiu padalijimu likusi dalis yra lygi nuliui. Mūsų atveju likusi dalis yra 1.

Likutis visada yra mažesnis už daliklį.

Dalybą galima patikrinti dauginant. Jei, pavyzdžiui, yra lygybė 64: 32 = 2, tada patikrinimą galima atlikti taip: 64 = 32 * 2.

Dažnai tais atvejais, kai dalijama su likusia dalimi, patogu naudoti lygybę
a = b * n + r,
kur a yra dividendas, b yra daliklis, n yra dalinis koeficientas, r yra liekana.

Padalinimo koeficientas natūraliuosius skaičius galima parašyti trupmena.

Trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis.

Kadangi trupmenos skaitiklis yra dividendas, o vardiklis yra daliklis, mano, kad trupmenos eilutė reiškia padalijimo veiksmą. Kartais yra patogu rašyti padalijimą kaip trupmeną nenaudojant „:“ ženklo.

Natūraliųjų skaičių m ir n dalybos koeficientas gali būti parašytas trupmena \(\frac(m)(n)\), kur skaitiklis m yra dividendas, o vardiklis n yra daliklis:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Šios taisyklės yra teisingos:

Norint gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), reikia padalinti vienetą į n lygių dalių (akcijų) ir paimti m tokių dalių.

Norėdami gauti trupmeną \(\frac(m)(n)\), skaičių m reikia padalyti iš skaičiaus n.

Norint rasti visumos dalį, reikia skaičių, atitinkantį visumą, padalyti iš vardiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, skaitiklio.

Norėdami rasti visumą iš jos dalies, turite padalyti šią dalį atitinkantį skaičių iš skaitiklio ir padauginti rezultatą iš trupmenos, išreiškiančios šią dalį, vardiklio.

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijami iš to paties skaičiaus (išskyrus nulį), trupmenos reikšmė nepasikeis:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ši savybė vadinama pagrindinė trupmenos savybė.

Paskutinės dvi transformacijos vadinamos sumažinant dalį.

Jei trupmenas reikia pavaizduoti kaip trupmenas su tuo pačiu vardikliu, tada šis veiksmas vadinamas suvedus trupmenas į bendrą vardiklį.

Tinkamos ir netinkamos trupmenos. Mišrūs skaičiai

Jau žinote, kad trupmeną galima gauti padalijus visumą į lygias dalis ir paėmus kelias tokias dalis. Pavyzdžiui, trupmena \(\frac(3)(4)\) reiškia tris ketvirtadalius vieneto. Daugelyje ankstesnės pastraipos uždavinių trupmenos buvo naudojamos visumos dalims pavaizduoti. Sveikas protas reikalauja, kad dalis visada būtų mažesnė už visumą, bet kaip su trupmenomis, pvz., \(\frac(5)(5)\) arba \(\frac(8)(5)\)? Akivaizdu, kad tai nebėra įrenginio dalis. Tikriausiai todėl vadinamos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus netinkamos trupmenos. Likusios trupmenos, ty trupmenos, kurių skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, vadinamos teisingos trupmenos.

Kaip žinote, bet koks bendroji trupmena, tiek teisingas, tiek neteisingas, gali būti laikomas skaitiklio padalijimo iš vardiklio rezultatu. Todėl matematikoje, skirtingai nei įprastoje kalboje, terminas „netinkama trupmena“ nereiškia, kad kažką padarėme ne taip, o tik tai, kad šios trupmenos skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.

Jei skaičius susideda iš sveikosios dalies ir trupmenos, tada toks trupmenos vadinamos mišriomis.

Pavyzdžiui:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 yra sveikoji dalis, o \(\frac(2)(3) \) yra trupmeninė dalis.

Jei trupmenos \(\frac(a)(b) \) skaitiklis dalijasi iš natūraliojo skaičiaus n, tai norint padalyti šią trupmeną iš n, jos skaitiklį reikia padalyti iš šio skaičiaus:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jei trupmenos \(\frac(a)(b)\) skaitiklis nesidalija iš natūraliojo skaičiaus n, tada norint padalinti šią trupmeną iš n, jos vardiklį reikia padauginti iš šio skaičiaus:
\(\didelis \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Atkreipkite dėmesį, kad antroji taisyklė taip pat galioja, kai skaitiklis dalijasi iš n. Todėl jį galime naudoti, kai iš pirmo žvilgsnio sunku nustatyti, ar trupmenos skaitiklis dalijasi iš n, ar ne.

Veiksmai su trupmenomis. Sudėjus trupmenas.

Su trupmeniniais skaičiais, kaip ir su natūraliaisiais skaičiais, galite padaryti aritmetines operacijas. Pirmiausia pažiūrėkime, kaip pridėti trupmenas. Lengva pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Raskime, pavyzdžiui, \(\frac(2)(7)\) ir \(\frac(3)(7)\) sumą. Nesunku suprasti, kad \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.

Naudojant raides, trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jei reikia pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia jas reikia sumažinti iki bendro vardiklio. Pavyzdžiui:
\(\didelis \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir asociatyvinės sudėties savybės.

Sumaišytų frakcijų pridėjimas

Iškviečiami tokie žymėjimai kaip \(2\frac(2)(3)\). mišrios frakcijos. Tokiu atveju vadinamas skaičius 2 visa dalis mišri trupmena, o skaičius \(\frac(2)(3)\) yra jos trupmeninė dalis. Įrašas \(2\frac(2)(3)\) skaitomas taip: „du ir du trečdaliai“.

Padalinę skaičių 8 iš skaičiaus 3, galite gauti du atsakymus: \(\frac(8)(3)\) ir \(2\frac(2)(3)\). Jie išreiškia tą patį trupmeninį skaičių, ty \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Taigi netinkama trupmena \(\frac(8)(3)\) vaizduojama kaip mišri trupmena \(2\frac(2)(3)\). Tokiais atvejais sakoma, kad iš netinkamos trupmenos pabrėžė visą dalį.

Trupmenų atėmimas (trupmeniniai skaičiai)

Trupmeninių skaičių, kaip ir natūraliųjų, atėmimas nustatomas pagal sudėjimo veiksmą: iš vieno skaičiaus atėmus kitą reiškia rasti skaičių, kurį pridėjus prie antrojo gaunamas pirmasis. Pavyzdžiui:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) nuo \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo taisyklė yra panaši į tokių trupmenų pridėjimo taisyklę:
Norėdami rasti skirtumą tarp trupmenų su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį.

Naudojant raides, ši taisyklė parašyta taip:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Trupmenų dauginimas

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius ir įrašyti pirmąjį sandaugą kaip skaitiklį, o antrąjį - kaip vardiklį.

Naudojant raides, trupmenų dauginimo taisyklę galima parašyti taip:
\(\didelis \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Naudodami suformuluotą taisyklę, trupmeną galite padauginti iš natūraliojo skaičiaus iš mišri frakcija, taip pat padauginkite mišrias frakcijas. Norėdami tai padaryti, turite parašyti natūralųjį skaičių kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 1, o mišrią trupmeną - kaip netinkamą trupmeną.

Daugybos rezultatas turėtų būti supaprastintas (jei įmanoma), sumažinant trupmeną ir išskiriant visą netinkamos trupmenos dalį.

Trupmenoms, kaip ir natūraliems skaičiams, galioja komutacinės ir kombinacinės daugybos savybės, taip pat daugybos skirstomoji savybė sudėjimo atžvilgiu.

Trupmenų padalijimas

Paimkime trupmeną \(\frac(2)(3)\) ir „apverskime“ sukeisdami skaitiklį ir vardiklį. Gauname trupmeną \(\frac(3)(2)\). Ši trupmena vadinama atvirkščiai trupmenos \(\frac(2)(3)\).

Jei dabar „atsuksime“ trupmeną \(\frac(3)(2)\), gausime pradinę trupmeną \(\frac(2)(3)\). Todėl tokios trupmenos kaip \(\frac(2)(3)\) ir \(\frac(3)(2)\) vadinamos abipusiai atvirkštinis.

Pavyzdžiui, trupmenos \(\frac(6)(5) \) ir \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ir \(\frac (18) )(7)\).

Naudojant raides, grįžtamąsias trupmenas galima parašyti taip: \(\frac(a)(b) \) ir \(\frac(b)(a) \)

Aišku, kad atvirkštinių trupmenų sandauga lygi 1. Pavyzdžiui: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Naudodami abipuses trupmenas, galite sumažinti trupmenų padalijimą iki daugybos.

Trupmenos padalijimo iš trupmenos taisyklė yra tokia:
Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės.