Lygiagretainis yra keturkampis, kuriame priešingos pusės poromis lygiagrečiai.

Lygiagretainis turi visas keturkampių savybes, bet papildomai turi ir savo skiriamieji bruožai. Žinodami juos, nesunkiai rasime ir lygiagretainio kraštines, ir kampus.

Lygiagretainio savybės

1. Bet kurio lygiagretainio, kaip ir bet kurio keturkampio, kampų suma yra 360°.
2. Lygiagretainio vidurio linijos ir jo įstrižainės susikerta viename taške ir juo dalijasi pusiau. Šis taškas paprastai vadinamas lygiagretainio simetrijos centru.
3. Priešingos lygiagretainio kraštinės visada yra lygios.
4. Be to, ši figūra visada turi vienodus priešingus kampus.
5. Kampų, besiribojančių su bet kuria lygiagretainio kraštine, suma visada yra 180°.
6. Lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma lygi dvigubai dviejų gretimų jo kraštinių kvadratų sumai. Tai išreiškiama formule:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), kur d 1 ir d 2 yra įstrižainės, a ir b yra gretimos kraštinės.
7. Bukojo kampo kosinusas visada yra mažesnis už nulį.

Kaip praktiškai naudojant šias savybes rasti nurodyto lygiagretainio kampus? O kokios kitos formulės gali mums tai padėti? Pažiūrėkime į konkrečias užduotis, kurioms reikia: rasti lygiagretainio kampus.

Lygiagretainio kampų radimas

1 atvejis. Bukojo kampo matas yra žinomas, turime rasti smailųjį kampą.

Pavyzdys: Lygiagretainio ABCD kampas A yra 120°. Raskite likusių kampų matmenis.

Sprendimas: Naudodami savybę Nr. 5 galime rasti kampo B matą, esantį greta užduotyje pateikto kampo. Jis bus lygus:

• 180°–120° = 60°

Ir dabar, naudodami savybę Nr. 4, nustatome, kad du likę kampai C ir D yra priešingi kampams, kuriuos jau radome. Kampas C yra priešingas kampui A, kampas D yra priešingas kampui B. Todėl jie yra lygūs poromis.

• Atsakymas: B = 60°, C = 120°, D = 60°

2 atvejis. Žinomi kraštinių ir įstrižainių ilgiai

Šiuo atveju turime naudoti kosinuso teoremą.

Pirmiausia galime apskaičiuoti reikalingo kampo kosinusą naudodami formulę, o tada naudodami specialią lentelę rasti, kam lygus pats kampas.

Smailiojo kampo formulė yra tokia:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kur
• a yra norimas smailusis kampas,
• A ir B - lygiagretainio kraštinės,
• d - mažesnė įstrižainė

Bukojo kampo formulė šiek tiek pasikeičia:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kur
• ß yra bukas kampas,
• A ir B yra pusės
• D - didelė įstrižainė

Pavyzdys: reikia rasti lygiagretainio, kurio kraštinės yra 6 cm ir 3 cm, o mažesnė įstrižainė yra 5,2 cm, smailią kampą

Pakeiskite reikšmes į formulę, kad surastumėte aštrų kampą:

• coza = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
• coza = 1/2. Iš lentelės sužinome, kad norimas kampas yra 60°.

Kaip Euklido geometrijoje taškas ir tiesė yra pagrindiniai plokštumų teorijos elementai, taip lygiagretainis yra viena iš pagrindinių išgaubtų keturkampių figūrų. Iš jo, kaip siūlai iš rutulio, išplaukia „stačiakampio“, „kvadrato“, „rombo“ ir kitų geometrinių dydžių sąvokos.

Susisiekus su

Lygiagretainio apibrėžimas

išgaubtas keturkampis, susidedantis iš atkarpų, kurių kiekviena pora yra lygiagreti, geometrijoje žinomas kaip lygiagretainis.

Kaip atrodo klasikinis lygiagretainis, pavaizduotas keturkampiu ABCD. Kraštinės vadinamos bazėmis (AB, BC, CD ir AD), statmenas, nubrėžtas iš bet kurios viršūnės į priešingą šiai viršūnei pusę, vadinamas aukščiu (BE ir BF), tiesės AC ir BD – įstrižainėmis.

Dėmesio! Kvadratas, rombas ir stačiakampis yra specialūs lygiagretainio atvejai.

Šonai ir kampai: santykių ypatumai

Pagrindinės savybės, apskritai, iš anksto nustatytas paties pavadinimo, jie įrodomi teorema. Šios savybės yra tokios:

1. Priešingos pusės yra identiškos poromis.
2. Vienas prieš kitą esantys kampai poromis yra lygūs.

Įrodymas: Panagrinėkime ∆ABC ir ∆ADC, kurie gaunami padalijus keturkampį ABCD iš tiesės AC. ∠BCA=∠CAD ir ∠BAC=∠ACD, nes AC yra bendras (atitinkamai vertikalūs kampai BC||AD ir AB||CD). Iš to išplaukia: ∆ABC = ∆ADC (antrasis trikampių lygybės ženklas).

Atkarpos AB ir BC ∆ABC poromis atitinka tieses CD ir AD ∆ADC, tai reiškia, kad jos yra identiškos: AB = CD, BC = AD. Taigi ∠B atitinka ∠D ir jie yra lygūs. Kadangi ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kurios taip pat poromis yra identiškos, tada ∠A = ∠C. Turtas įrodytas.

Figūros įstrižainių charakteristikos

Pagrindinis bruožasšių lygiagretainio tiesių: susikirtimo taškas dalija jas pusiau.

Įrodymas: Tegul t.y. yra figūros ABCD įstrižainių AC ir BD susikirtimo taškas. Jie sudaro du proporcingus trikampius – ∆ABE ir ∆CDE.

AB = CD, nes jie yra priešingi. Pagal linijas ir sekantus ∠ABE = ∠CDE ir ∠BAE = ∠DCE.

Pagal antrąjį lygybės kriterijų ∆ABE = ∆CDE. Tai reiškia, kad elementai ∆ABE ir ∆CDE: AE = CE, BE = DE ir kartu jie yra proporcingos AC ir BD dalys. Turtas įrodytas.

Gretimų kampų ypatybės

Gretimose pusėse kampų suma lygi 180°, nes jie yra toje pačioje pusėje lygiagrečių linijų ir skersinės. Keturkampiui ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektoriaus savybės:

1. , nuleistas į vieną pusę, yra statmenos;
2. priešingos viršūnės turi lygiagrečius bisektorius;
3. trikampis, gautas nubrėžus pusiaukampį, bus lygiašonis.

Lygiagretainio charakteristikų nustatymas taikant teoremą

Šios figūros charakteristikos išplaukia iš pagrindinės jo teoremos, kuri teigia: keturkampis laikomas lygiagretainiu tuo atveju, jei jo įstrižainės susikerta, ir šis taškas padalija jas į lygias atkarpas.

Įrodymas: tegul keturkampio ABCD tiesės AC ir BD susikerta t.y. Kadangi ∠AED = ∠BEC ir AE+CE=AC BE+DE=BD, tai ∆AED = ∆BEC (pagal pirmąjį trikampių lygybės kriterijų). Tai yra, ∠EAD = ∠ECB. Jie taip pat yra vidiniai skersinio AC linijos kampai AD ir BC. Taigi, pagal paralelizmo apibrėžimą - AD || B.C. Taip pat gaunama panaši eilučių BC ir CD savybė. Teorema įrodyta.

Figūros ploto apskaičiavimas

Šios figūros plotas randama keliais būdais vienas iš paprasčiausių: padauginti aukštį ir pagrindą, prie kurio jis traukiamas.

Įrodymas: iš viršūnių B ir C nubrėžkite statmenis BE ir CF. ∆ABE ir ∆DCF yra lygūs, nes AB = CD ir BE = CF. ABCD dydis yra lygus stačiakampiui EBCF, nes juos sudaro proporcingos figūros: S ABE ir S EBCD, taip pat S DCF ir S EBCD. Iš to išplaukia, kad ši sritis geometrinė figūra yra taip pat kaip stačiakampis:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Norėdami nustatyti bendroji formulė Lygiagretainio plotas žymimas aukščiu as hb, o šonas - b. Atitinkamai:

Kiti būdai rasti plotą

Ploto skaičiavimai per lygiagretainio kraštines ir kampą, kurį jie sudaro, yra antrasis žinomas metodas.

,

Spr-ma – plotas;

a ir b yra jos kraštinės

α yra kampas tarp atkarpų a ir b.

Šis metodas praktiškai pagrįstas pirmuoju, bet tuo atveju, jei jis nežinomas. visada nutraukia taisyklingas trikampis, kurio parametrai yra trigonometrinės tapatybės, tai yra . Pakeitę santykį, gauname . Pirmojo metodo lygtyje aukštį pakeičiame šiuo produktu ir gauname šios formulės pagrįstumo įrodymą.

Per lygiagretainio įstrižaines ir kampą, kurią jie sukuria susikirsdami, taip pat galite rasti sritį.

Įrodymas: AC ir BD susikerta ir sudaro keturis trikampius: ABE, BEC, CDE ir AED. Jų suma lygi šio keturkampio plotui.

Kiekvieno iš šių ∆ plotą galima rasti pagal išraišką , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Nuo , skaičiuojant naudojama viena sinuso reikšmė. Tai yra . Kadangi AE+CE=AC=d 1 ir BE+DE=BD=d 2, ploto formulė sumažinama iki:

.

Taikymas vektorinėje algebroje

Šio keturkampio sudedamųjų dalių savybės buvo pritaikytos vektorių algebroje, būtent dviejų vektorių pridėjimas. Lygiagretainio taisyklė teigia, kad jei pateikti vektoriaiIrNeyra kolinearūs, tada jų suma bus lygi šios figūros, kurios pagrindai atitinka šiuos vektorius, įstrižai.

Įrodymas: nuo savavališkai pasirinktos pradžios – t.y. - sudaryti vektorius ir . Toliau sukonstruojame lygiagretainį OASV, kur atkarpos OA ir OB yra kraštinės. Taigi, OS yra ant vektoriaus arba sumos.

Lygiagretainio parametrų skaičiavimo formulės

Tapatybės suteikiamos tokiomis sąlygomis:

1. a ir b, α - kraštinės ir kampas tarp jų;
2. d 1 ir d 2, γ - įstrižainės ir jų susikirtimo taške;
3. h a ir h b - aukščiai nuleisti į a ir b puses;

Parametras	Formulė
Šonų radimas
išilgai įstrižainių ir kampo tarp jų kosinuso
išilgai įstrižainių ir šonų
per aukštį ir priešingą viršūnę
Įstrižainių ilgio radimas
šonuose ir viršūnės tarp jų dydis

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios, tai yra, jos yra lygiagrečiose tiesėse (1 pav.).

1 teorema. Apie lygiagretainio kraštinių ir kampų savybes. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, priešingi kampai lygūs, o kampų, besiribojančių su viena lygiagretainio kraštine, suma yra 180°.

Įrodymas. Šiame lygiagretainyje ABCD nubrėžiame įstrižainę AC ir gauname du trikampius ABC ir ADC (2 pav.).

Šie trikampiai yra lygūs, nes ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (skersiniai kampai lygiagrečioms tiesėms), o kraštinė AC yra bendra. Iš lygybės Δ ABC = Δ ADC išplaukia, kad AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Kampų, esančių gretimų vienai kraštinei, pavyzdžiui, kampų A ir D, suma yra lygi 180° kaip vienpusis lygiagrečioms linijoms. Teorema įrodyta.

komentuoti. Lygiagretainio priešingų kraštinių lygybė reiškia, kad lygiagrečių atkirstų lygiagrečių atkarpos yra lygios.

Išvada 1. Jei dvi tiesės yra lygiagrečios, tai visi vienos tiesės taškai yra vienodu atstumu nuo kitos tiesės.

Įrodymas. Iš tiesų, tegul a || b (3 pav.).

Iš dviejų tiesės b taškų B ir C į tiesę a nubrėžkime statmenis BA ir CD. Kadangi AB || CD, tada figūra ABCD yra lygiagretainis, todėl AB = CD.

Atstumas tarp dviejų lygiagrečių tiesių yra atstumas nuo savavališko taško vienoje iš tiesių iki kitos linijos.

Pagal tai, kas buvo įrodyta, jis lygus statmens, nubrėžto iš vienos iš lygiagrečių tiesių vieno taško į kitą tiesę, ilgiui.

1 pavyzdys. Lygiagretainio perimetras lygus 122 cm Viena jo kraštinė 25 cm didesnė už kitą Raskite lygiagretainio kraštines.

Sprendimas. Pagal 1 teoremą priešingos lygiagretainio kraštinės yra lygios. Vieną lygiagretainio kraštinę pažymėkime x, o kitą – y. Tada pagal sąlygą $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Išspręsdami šią sistemą gauname x = 43, y = 18 Taigi lygiagretainio kraštinės yra 18, 43, 18 ir 43 cm.

2 pavyzdys.

Sprendimas. Tegul 4 paveikslas atitinka uždavinio sąlygas.

AB pažymėkime x, o BC – y. Pagal sąlygą lygiagretainio perimetras yra 10 cm, t.y 2(x + y) = 10, arba x + y = 5. Trikampio ABD perimetras yra 8 cm. O kadangi AB + AD = x + y = 5, tada BD = 8 - 5 = 3. Taigi BD = 3 cm.

3 pavyzdys. Raskite lygiagretainio kampus, žinant, kad vienas iš jų yra 50° didesnis už kitą.

Sprendimas. Tegul 5 paveikslas atitinka uždavinio sąlygas.

Kampo A laipsnio matą pažymėkime x. Tada laipsnio matas kampas D lygus x + 50°.

Kampai BAD ir ADC yra vienpusiai vidiniai kampai su lygiagrečiomis linijomis AB ir DC bei sekantine AD. Tuomet šių įvardintų kampų suma bus 180°, t.y.
x + x + 50° = 180° arba x = 65°. Taigi ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

4 pavyzdys. Lygiagretainio kraštinės yra 4,5 dm ir 1,2 dm. Iš smailaus kampo viršūnės nubrėžiamas bisektorius. Į kokias dalis jis dalija didesnę lygiagretainio kraštinę?

Sprendimas. Tegul 6 paveikslas atitinka uždavinio sąlygas.

AE yra lygiagretainio smailiojo kampo pusiausvyra. Todėl ∠ 1 = ∠ 2.

Vidutinis lygis

Lygiagretainis, stačiakampis, rombas, kvadratas (2019 m.)

1. Lygiagretainis

Sudėtinis žodis „lygiagretainė“? O už jos slypi labai paprasta figūra.

Na, tai yra, mes paėmėme dvi lygiagrečias linijas:

Perbraukė dar du:

O viduje yra lygiagretainis!

Kokias savybes turi lygiagretainis?

Lygiagretainio savybės.

Tai yra, ką galite naudoti, jei problemai pateikiamas lygiagretainis?

Į šį klausimą atsako ši teorema:

Nupieškime viską detaliai.

Ką tai reiškia pirmasis teoremos taškas? Ir faktas yra tas, kad jei TURITE lygiagretainį, tai tikrai turėsite

Antrasis taškas reiškia, kad jei yra lygiagretainis, tai vėlgi, tikrai:

Na, ir galiausiai, trečiasis taškas reiškia, kad jei TURITE lygiagretainį, būtinai:

Ar matote, koks didelis pasirinkimas? Ką naudoti sprendžiant problemą? Pabandykite sutelkti dėmesį į užduoties klausimą arba tiesiog išbandykite viską po vieną – tiks koks nors „raktas“.

Dabar užduokime sau kitą klausimą: kaip galime atpažinti lygiagretainį „iš žvilgsnio“? Kas turi nutikti keturkampiui, kad turėtume teisę suteikti jam lygiagretainio „pavadinimą“?

Į šį klausimą atsako keli lygiagretainio ženklai.

Lygiagretainio ženklai.

Dėmesio! Pradėkite.

Lygiagretainis.

Atkreipkite dėmesį: jei užduotyje radote bent vieną ženklą, tada tikrai turite lygiagretainį ir galite naudoti visas lygiagretainio savybes.

2. Stačiakampis

Manau, kad tai jums nebus naujiena

Pirmas klausimas: ar stačiakampis yra lygiagretainis?

Žinoma, kad yra! Juk jis turi – pameni, mūsų 3 ženklą?

Ir iš čia, žinoma, išplaukia, kad stačiakampyje, kaip ir bet kuriame lygiagrečiame, įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško.

Tačiau stačiakampis taip pat turi vieną išskirtinę savybę.

Stačiakampio savybė

Kodėl ši savybė yra išskirtinė? Nes joks kitas lygiagretainis neturi lygių įstrižainių. Suformuluokime tai aiškiau.

Atkreipkite dėmesį: norint tapti stačiakampiu, keturkampis pirmiausia turi tapti lygiagretainiu, o tada parodyti įstrižainių lygybę.

3. Deimantas

Ir vėl klausimas: ar rombas yra lygiagretainis, ar ne?

Su visa dešine - lygiagretainis, nes jis turi ir (prisiminkite mūsų 2 požymį).

Ir vėlgi, kadangi rombas yra lygiagretainis, tai jis turi turėti visas lygiagretainio savybes. Tai reiškia, kad rombe priešingi kampai yra lygūs, priešingos kraštinės lygiagrečios, o įstrižainės susikirtimo taške pasiskirsto per pusę.

Rombo savybės

Pažiūrėk į nuotrauką:

Kaip ir stačiakampio atveju, šios savybės yra skiriamosios, tai yra, dėl kiekvienos iš šių savybių galime daryti išvadą, kad tai ne tik lygiagretainis, o rombas.

Deimanto ženklai

Ir vėl atkreipkite dėmesį: turi būti ne tik keturkampis, kurio įstrižainės būtų statmenos, bet lygiagretainis. Įsitikinkite:

Ne, žinoma, nors jos įstrižainės yra statmenos, o įstrižainė yra kampų ir pusiausvyra. Bet... įstrižainės nedalomos per pusę susikirtimo taško, todėl - NE lygiagretainis, vadinasi, NE rombas.

Tai yra, kvadratas yra stačiakampis ir rombas vienu metu. Pažiūrėkim, kas nutiks.

Ar aišku kodėl? - rombas yra kampo A pusiausvyra, kuri yra lygi. Tai reiškia, kad jis dalijasi (ir taip pat) į du kampus.

Na, tai visiškai aišku: stačiakampio įstrižainės yra lygios; Rombo įstrižainės yra statmenos, ir apskritai įstrižainių lygiagretainis yra padalintas per pusę iš susikirtimo taško.

VIDUTINIS LYGIS

Keturkampių savybės. Lygiagretainis

Lygiagretainio savybės

Dėmesio! Žodžiai" lygiagretainio savybės"Tai reiškia, kad jei jūsų užduotis Yra lygiagretainis, tada galima naudoti visus toliau nurodytus dalykus.

Lygiagretainio savybių teorema.

Bet kuriame lygiagrečiame:

Kitaip tariant, supraskime, kodėl visa tai tiesa Įrodysime teorema.

Taigi kodėl 1) yra tiesa?

Jei tai lygiagretainis, tada:

• guli kryžmai
• guli kaip kryžiai.

Tai reiškia (pagal II kriterijų: ir - bendras.)

Na, štai, štai! - įrodytas.

Bet beje! Mes taip pat įrodėme 2)!

Kodėl? Bet (pažiūrėkite į paveikslėlį), tai yra būtent todėl.

Liko tik 3).

Norėdami tai padaryti, vis tiek turite nubrėžti antrą įstrižainę.

Ir dabar tai matome - pagal II charakteristiką (kampai ir pusė „tarp jų“).

Savybės įrodytos! Pereikime prie ženklų.

Lygiagretainio ženklai

Prisiminkite, kad lygiagretainis ženklas atsako į klausimą „kaip tu žinai?“, kad figūra yra lygiagretainis.

Piktogramose tai yra taip:

Kodėl? Būtų malonu suprasti kodėl – užteks. Bet žiūrėk:

Na, mes supratome, kodėl 1 ženklas yra teisingas.

Na, tai dar lengviau! Vėl nubrėžkime įstrižainę.

Tai reiškia:

IR Tai taip pat lengva. Bet... kitaip!

Reiškia,. Oho! Bet taip pat - vidinis vienpusis su sekantu!

Todėl faktas tai reiškia.

O jei pažiūrėsi iš kitos pusės, tai – vidinis vienpusis su sekantu! Ir todėl.

Ar matai, kaip tai puiku?!

Ir vėl paprasta:

Lygiai tas pats, ir.

Atkreipk dėmesį: jei rastum bent jau vienas lygiagretainio ženklas jūsų uždavinyje, tada jūs turite tiksliai lygiagretainis ir galite naudoti Visi lygiagretainio savybės.

Norėdami aiškumo, pažiūrėkite į diagramą:

Keturkampių savybės. Stačiakampis.

Stačiakampio savybės:

1) punktas gana akivaizdus – juk 3 () ženklas tiesiog įvykdytas

Ir 2 punktas - labai svarbus. Taigi, įrodykime tai

Tai reiškia iš dviejų pusių (ir - bendrai).

Na, kadangi trikampiai yra lygūs, tai ir jų hipotenuzės yra lygios.

Tai įrodė!

Ir įsivaizduokite, įstrižainių lygybė - išskirtinė savybė būtent stačiakampis tarp visų lygiagretainių. Tai yra, šis teiginys yra teisingas^

Supraskime kodėl?

Tai reiškia (tai reiškia lygiagretainio kampus). Tačiau dar kartą prisiminkime, kad tai lygiagretainis, taigi.

Reiškia,. Na, žinoma, iš to išplaukia, kad kiekvienas iš jų! Juk jie turi duoti iš viso!

Taigi jie įrodė, kad jei lygiagretainis staiga (!) įstrižainės tampa lygios, tada tai tiksliai stačiakampis.

Bet! Atkreipk dėmesį! Tai yra apie lygiagretainiai! Ne bet kas lygių įstrižainių keturkampis yra stačiakampis ir tik lygiagretainis!

Keturkampių savybės. Rombas

Ir vėl klausimas: ar rombas yra lygiagretainis, ar ne?

Su visa dešine - lygiagretainis, nes jis turi (Prisiminkite mūsų 2 funkciją).

Ir vėlgi, kadangi rombas yra lygiagretainis, jis turi turėti visas lygiagretainio savybes. Tai reiškia, kad rombe priešingi kampai yra lygūs, priešingos kraštinės lygiagrečios, o įstrižainės susikirtimo taške pasiskirsto per pusę.

Tačiau yra ir ypatingų savybių. Suformuluokime.

Rombo savybės

Kodėl? Na, o kadangi rombas yra lygiagretainis, tai jo įstrižainės dalijamos per pusę.

Kodėl? Taip, štai kodėl!

Kitaip tariant, įstrižainės pasirodė esąs rombo kampų pusiausvyros.

Kaip ir stačiakampio atveju, šios savybės yra savitas, kiekvienas iš jų taip pat yra rombo ženklas.

Deimanto ženklai.

Kodėl tai? Ir žiūrėk,

Tai reiškia tiekŠie trikampiai yra lygiašoniai.

Kad būtų rombas, keturkampis pirmiausia turi „tapti“ lygiagretainiu, o tada parodyti 1 arba 2 požymį.

Keturkampių savybės. Kvadratas

Tai yra, kvadratas yra stačiakampis ir rombas vienu metu. Pažiūrėkim, kas nutiks.

Ar aišku kodėl? Kvadratas – rombas – yra kampo, kuris lygus, pusiausvyra. Tai reiškia, kad jis dalijasi (ir taip pat) į du kampus.

Na, tai visiškai aišku: stačiakampio įstrižainės yra lygios; Rombo įstrižainės yra statmenos, ir apskritai įstrižainių lygiagretainis yra padalintas per pusę iš susikirtimo taško.

Kodėl? Na, tiesiog pritaikykime Pitagoro teoremą...

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Lygiagretainio savybės:

1. Priešingos pusės yra lygios: , .
2. Priešingi kampai yra lygūs: , .
3. Kampai vienoje pusėje sudaro: , .
4. Įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško: .

Stačiakampio savybės:

1. Stačiakampio įstrižainės lygios: .
2. Stačiakampis yra lygiagretainis (stačiakampiui įvykdytos visos lygiagretainio savybės).

Rombo savybės:

1. Rombo įstrižainės yra statmenos: .
2. Rombo įstrižainės yra jo kampų pusiausvyros: ; ; ; .
3. Rombas yra lygiagretainis (rombui įvykdytos visos lygiagretainio savybės).

Kvadrato savybės:

Kvadratas yra ir rombas, ir stačiakampis tuo pačiu metu, todėl kvadratui yra įvykdytos visos stačiakampio ir rombo savybės. Ir.

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios poromis. Šio apibrėžimo jau pakanka, nes iš jo išplaukia likusios lygiagretainio savybės ir įrodomos teoremų forma.

Pagrindinės lygiagretainio savybės:

• lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis;
• Lygiagretainis turi priešingas kraštines, kurios yra lygios poromis;
• Lygiagrečiame priešingi kampai poromis lygūs;
• Lygiagretainio įstrižainės dalijamos per pusę susikirtimo taško.

Lygiagretainis – išgaubtas keturkampis

Pirmiausia įrodykime teoremą, kad lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis. Daugiakampis yra išgaubtas, jei bet kuri jo pusė yra pratęsta iki tiesios linijos, visos kitos daugiakampio kraštinės bus toje pačioje šios tiesios linijos pusėje.

Tegu pateikiamas lygiagretainis ABCD, kuriame AB yra priešinga CD kraštinė, o BC yra priešinga kraštinė AD. Tada iš lygiagretainio apibrėžimo išplaukia, kad AB || CD, BC || REKLAMA.

Lygiagrečios atkarpos neturi bendrų taškų ir nesikerta. Tai reiškia, kad CD yra vienoje AB pusėje. Kadangi atkarpa BC jungia atkarpos AB tašką B su atkarpos CD tašku C, o atkarpa AD jungia kitus taškus AB ir CD, atkarpos BC ir AD taip pat yra toje pačioje AB tiesės pusėje, kur yra CD. Taigi visos trys pusės – CD, BC, AD – guli toje pačioje AB pusėje.

Panašiai įrodyta, kad kitų lygiagretainio kraštinių atžvilgiu kitos trys kraštinės yra toje pačioje pusėje.

Priešingos pusės ir kampai yra lygūs

Viena iš lygiagretainio savybių yra ta Lygiagrečiame priešingos kraštinės ir priešingi kampai yra lygūs poromis. Pavyzdžiui, jei pateikiamas lygiagretainis ABCD, tada jis turi AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ši teorema įrodoma taip.

Lygiagretainis yra keturkampis. Tai reiškia, kad jis turi dvi įstrižaines. Kadangi lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis, bet kuris iš jų padalija jį į du trikampius. Apsvarstykite lygiagretainį ABCD trikampiai ABC ir ADC, gautas nubrėžus įstrižainę AC.

Šie trikampiai turi vieną bendrą kraštinę – AC. Kampas BCA lygus kampui CAD kaip vertikaliai su lygiagrečiais BC ir AD. Kampai BAC ir ACD taip pat lygūs vertikaliems kampams, kai AB ir CD yra lygiagrečiai. Todėl ∆ABC = ∆ADC dviem kampais ir kraštine tarp jų.

Šiuose trikampiuose kraštinė AB atitinka kraštinę CD, o kraštinė BC – AD. Todėl AB = CD ir BC = AD.

Kampas B atitinka kampą D, ty ∠B = ∠D. Lygiagretainio kampas A yra dviejų kampų – ∠BAC ir ∠CAD – suma. Kampas C yra lygus ∠BCA ir ∠ACD. Kadangi kampų poros yra lygios viena kitai, tai ∠A = ∠C.

Taigi įrodyta, kad lygiagretainio priešingos kraštinės ir kampai yra lygūs.

Įstrižainės dalijamos per pusę

Kadangi lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis, jis turi dvi įstrižaines ir jos susikerta. Duotas lygiagretainis ABCD, jo įstrižainės AC ir BD susikerta taške E. Apsvarstykite jų suformuotus trikampius ABE ir CDE.

Šių trikampių kraštinės AB ir CD yra lygios priešingoms lygiagretainio kraštinėms. Kampas ABE lygus kampui CDE, esantis skersai su lygiagrečiomis tiesėmis AB ir CD. Dėl tos pačios priežasties ∠BAE = ∠DCE. Tai reiškia, kad ∆ABE = ∆CDE dviem kampais ir šone tarp jų.

Taip pat galite pastebėti, kad kampai AEB ir CED yra vertikalūs, todėl taip pat lygūs vienas kitam.

Kadangi trikampiai ABE ir CDE yra lygūs vienas kitam, tai visi juos atitinkantys elementai yra lygūs. Pirmojo trikampio kraštinė AE atitinka antrojo trikampio kraštinę CE, o tai reiškia, kad AE = CE. Panašiai BE = DE. Kiekviena lygiagretainio atkarpų pora sudaro lygiagretainio įstrižainę. Taigi įrodyta, kad Lygiagretainio įstrižainės dalinamos pusiau pagal jų susikirtimo tašką.