Pirmas lygis

Lygčių, nelygybių, sistemų sprendimas naudojant funkcijų grafikus. Vizualus vadovas (2019)

Daugelis užduočių, kurias esame įpratę skaičiuoti grynai algebriškai, gali būti išspręstos daug lengviau ir greičiau; tai mums padės funkcijų grafikai. Jūs sakote "kaip taip?" ką nors nupiešti, o ką piešti? Patikėkite, kartais taip patogiau ir lengviau. Pradėkime? Pradėkime nuo lygčių!

Grafinis lygčių sprendimas

Grafinis tiesinių lygčių sprendimas

Kaip jau žinote, tiesinės lygties grafikas yra tiesi linija, taigi ir šio tipo pavadinimas. Tiesines lygtis gana lengva išspręsti algebriškai – visus nežinomuosius perkeliame į vieną lygties pusę, viską, ką žinome, į kitą, ir voila! Radome šaknį. Dabar aš jums parodysiu, kaip tai padaryti grafiškai.

Taigi jūs turite lygtį:

Kaip tai išspręsti?
1 variantas, o labiausiai paplitęs yra perkelti nežinomus į vieną pusę, o žinomus į kitą, gauname:

Dabar statykime. Ką tu gavai?

Kaip manote, kokia yra mūsų lygties šaknis? Tiesa, grafikų susikirtimo taško koordinatė yra:

Mūsų atsakymas yra

Tai yra visa grafinio sprendimo išmintis. Kaip galite lengvai patikrinti, mūsų lygties šaknis yra skaičius!

Kaip jau sakiau aukščiau, tai yra labiausiai paplitęs variantas, artimas algebrinis sprendimas, bet jūs galite tai išspręsti kitaip. Norėdami apsvarstyti alternatyvų sprendimą, grįžkime prie mūsų lygties:

Šį kartą nieko nejudinsime iš vienos pusės į kitą, o tiesiogiai sudarysime grafikus tokius, kokie jie yra dabar:

Pastatytas? Pažiūrėkime!

Koks sprendimas šį kartą? Teisingai. Tas pats - grafikų susikirtimo taško koordinatė:

Ir vėl mūsų atsakymas yra.

Kaip matote, su tiesines lygtis viskas labai paprasta. Atėjo laikas pažvelgti į kažką sudėtingesnio... Pavyzdžiui, grafinis kvadratinių lygčių sprendimas.

Grafinis kvadratinių lygčių sprendimas

Taigi, dabar pradėkime spręsti kvadratinę lygtį. Tarkime, kad reikia rasti šios lygties šaknis:

Žinoma, dabar galite pradėti skaičiuoti per diskriminantą arba pagal Vietos teoremą, bet daugelis žmonių iš nervų daro klaidų daugindami ar kvadratuodami, ypač jei pavyzdys yra su dideli skaičiai, ir, kaip žinia, egzaminui skaičiuotuvo neturėsite... Todėl spręsdami šią lygtį pabandykime šiek tiek atsipalaiduoti ir piešti.

Šios lygties sprendimus galite rasti grafiškai Skirtingi keliai. Pasvarstykime įvairių variantų, ir jūs galite pasirinkti, kuris jums labiausiai patinka.

1 būdas. Tiesiogiai

Mes tiesiog sukuriame parabolę naudodami šią lygtį:

Norėdami tai padaryti greitai, duosiu jums nedidelę užuominą: Konstravimą patogu pradėti nustatant parabolės viršūnę.Šios formulės padės nustatyti parabolės viršūnės koordinates:

Jūs pasakysite: „Stop! Formulė labai panaši į diskriminanto radimo formulę“, taip, taip, ir tai yra didžiulis trūkumas „tiesiogiai“ sukonstruojant parabolę, kad būtų galima rasti jos šaknis. Tačiau suskaičiuokime iki galo, o tada parodysiu, kaip tai padaryti daug (daug!) lengviau!

Ar skaičiavai? Kokias koordinates gavai parabolės viršūnei? Išsiaiškinkime tai kartu:

Lygiai toks pat atsakymas? Šauniai padirbėta! Ir dabar jau žinome viršūnės koordinates, bet norint sukonstruoti parabolę reikia daugiau... taškų. Kaip manote, kiek minimalių taškų mums reikia? Teisingai,.

Jūs žinote, kad parabolė yra simetriška savo viršūnei, pavyzdžiui:

Atitinkamai, mums reikia dar dviejų taškų kairėje arba dešinėje parabolės šakoje, o ateityje šiuos taškus simetriškai atspindėsime priešingoje pusėje:

Grįžkime prie savo parabolės. Mūsų atveju, taškas. Mums reikia dar dviejų taškų, kad galėtume paimti teigiamus, ar galime paimti neigiamus? Kurie taškai jums patogesni? Man patogiau dirbti su teigiamais, todėl skaičiuosiu ir.

Dabar turime tris taškus ir galime lengvai sukurti savo parabolę atspindėdami du paskutiniai taškai palyginti su jo viršumi:

Kaip manote, koks yra lygties sprendimas? Teisingai, taškai, kuriuose, tai yra, ir. Nes.

Ir jei taip sakome, tai reiškia, kad jis taip pat turi būti lygus, arba.

Tiesiog? Su jumis baigėme spręsti lygtį sudėtingu grafiniu būdu, kitaip bus daugiau!

Žinoma, galite patikrinti mūsų atsakymą algebriškai – šaknis galite apskaičiuoti naudodami Vietos teoremą arba Diskriminantą. Ką tu gavai? Tas pats? Štai matai! Dabar pažvelkime į labai paprastą grafinį sprendimą, aš tikiu, kad jis jums tikrai patiks!

2 būdas. Padalinta į kelias funkcijas

Paimkime tą pačią lygtį: , bet parašysime šiek tiek kitaip, būtent:

Ar galime parašyti taip? Galime, nes transformacija lygiavertė. Pažiūrėkime toliau.

Sukurkime dvi funkcijas atskirai:

1. - Grafas yra paprasta parabolė, kurią galite lengvai sudaryti net neapibrėždami viršūnės naudodami formules ir nesudarę lentelės, kad nustatytumėte kitus taškus.
2. - grafikas yra tiesi linija, kurią galite lygiai taip pat lengvai sudaryti įvertinę reikšmes savo galvoje net nesinaudodami skaičiuokle.

Pastatytas? Palyginkime su tuo, ką turiu:

Ar manote, kad į tokiu atveju yra lygties šaknys? Teisingai! Koordinatės, gautos susikirtus dviem grafikams, ty:

Atitinkamai, šios lygties sprendimas yra toks:

Ką tu sakai? Sutikite, šis sprendimo būdas yra daug lengvesnis nei ankstesnis ir netgi lengviau nei ieškoti šaknų per diskriminantą! Jei taip, pabandykite išspręsti šią lygtį naudodami šį metodą:

Ką tu gavai? Palyginkime savo grafikus:

Grafikai rodo, kad atsakymai yra šie:

Ar susitvarkei? Šauniai padirbėta! Dabar pažvelkime į lygtis šiek tiek sudėtingiau, ty mišrių lygčių sprendimą, tai yra lygtis, kuriose yra įvairių tipų funkcijos.

Mišrių lygčių grafinis sprendimas

Dabar pabandykime išspręsti šiuos klausimus:

Žinoma, galime atnešti viską Bendras vardiklis, suraskite gautos lygties šaknis, nepamirštant atsižvelgti į ODZ, bet vėl bandysime ją išspręsti grafiškai, kaip ir visais ankstesniais atvejais.

Šį kartą sukurkime šiuos 2 grafikus:

1. - grafikas yra hiperbolė
2. - grafikas yra tiesi linija, kurią galite lengvai nubrėžti įvertinę reikšmes savo galvoje net nesinaudodami skaičiuokle.

Suprato? Dabar pradėkite statyti.

Štai ką aš gavau:

Žiūrėdami į šią nuotrauką, pasakykite man, kokios yra mūsų lygties šaknys?

Teisingai, ir. Štai patvirtinimas:

Pabandykite įjungti mūsų šaknis į lygtį. Įvyko?

Teisingai! Sutikite, tokias lygtis spręsti grafiškai – vienas malonumas!

Pabandykite grafiškai išspręsti lygtį patys:

Duosiu užuominą: dalį lygties perkelkite į dešinę, kad paprasčiausios funkcijos būtų iš abiejų pusių. Ar supratai užuominą? Imtis veiksmų!

Dabar pažiūrėkime, ką gavote:

Atitinkamai:

1. - kubinė parabolė.
2. - įprasta tiesi linija.

Na, statykime:

Kaip jau seniai užsirašėte, šios lygties šaknis yra - .

Išnagrinėję tiek daug pavyzdžių, esu tikras, kad supratote, kaip lengva ir greita lygtis išspręsti grafiškai. Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip tokiu būdu išspręsti sistemas.

Grafinis sistemų sprendimas

Grafinis sprendimas sistemos iš esmės nesiskiria nuo grafinio lygčių sprendimo. Taip pat sudarysime du grafikus, o jų susikirtimo taškai bus šios sistemos šaknys. Vienas grafikas yra viena lygtis, antrasis grafikas yra kita lygtis. Viskas nepaprastai paprasta!

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko – tiesinių lygčių sistemų sprendimo.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas

Tarkime, kad turime tokią sistemą:

Pirma, transformuokime jį taip, kad kairėje būtų viskas, kas yra susiję, o dešinėje - viskas, su kuo susiję. Kitaip tariant, parašykime šias lygtis kaip funkciją mūsų įprasta forma:

Dabar mes tiesiog statome dvi tiesias linijas. Koks sprendimas mūsų atveju? Teisingai! Jų susikirtimo taškas! Ir čia reikia būti labai labai atsargiems! Pagalvok, kodėl? Duok užuominą: turime reikalą su sistema: sistemoje yra ir viena, ir kita, ir... Supratote?

Teisingai! Spręsdami sistemą turime žiūrėti į abi koordinates, o ne tik kaip spręsdami lygtis! Kitas svarbus punktas- užsirašykite juos teisingai ir nesupainiokite, kur mes turime prasmę, o kur prasmė! Ar užsirašėte? Dabar palyginkime viską iš eilės:

Ir atsakymai: ir. Atlikite patikrinimą – pakeiskite rastas šaknis į sistemą ir įsitikinkite, ar teisingai išsprendėme grafiškai?

Netiesinių lygčių sistemų sprendimas

Ką daryti, jei vietoj vienos tiesios linijos turime kvadratinė lygtis? Viskas gerai! Jūs tiesiog pastatykite parabolę, o ne tiesią liniją! Netikiu? Pabandykite išspręsti šią sistemą:

Koks mūsų kitas žingsnis? Teisingai, užsirašykite, kad mums būtų patogu kurti grafikus:

O dabar viskas priklauso nuo smulkmenų – greitai sukurkite ir štai jūsų sprendimas! Mes statome:

Ar grafikai pasirodė vienodi? Dabar paveikslėlyje pažymėkite sistemos sprendinius ir teisingai surašykite nustatytus atsakymus!

Aš padariau viską? Palyginkite su mano užrašais:

Ar viskas gerai? Šauniai padirbėta! Tokio tipo užduotis jau atliekate kaip riešutus! Jei taip, pateiksime jums sudėtingesnę sistemą:

Ką mes darome? Teisingai! Rašome sistemą taip, kad ją būtų patogu kurti:

Duosiu jums nedidelę užuominą, nes sistema atrodo labai sudėtinga! Kurdami grafikus statykite jų „daugiau“, o svarbiausia – nesistebėkite susikirtimo taškų skaičiumi.

Taigi, eime! Iškvėptas? Dabar pradėkite statyti!

Tai kaip? Graži? Kiek susikirtimo taškų gavote? Aš turiu tris! Palyginkime savo grafikus:

Taip pat? Dabar atidžiai užrašykite visus mūsų sistemos sprendimus:

Dabar dar kartą pažvelkite į sistemą:

Ar įsivaizduojate, kad tai išsprendėte vos per 15 minučių? Sutikite, matematika vis tiek paprasta, ypač žiūrėdamas į išraišką nebijai suklysti, o tiesiog imk ir išspręsk! Tu didelis vaikinas!

Grafinis nelygybių sprendimas

Grafinis tiesinių nelygybių sprendimas

Po paskutinio pavyzdžio galite padaryti bet ką! Dabar iškvėpkite – palyginti su ankstesniais skyriais, šis bus labai labai lengvas!

Pradėsime, kaip įprasta, nuo grafinio sprendimo tiesinė nelygybė. Pavyzdžiui, šis:

Pirmiausia atlikime paprasčiausias transformacijas – atidarykite tobulų kvadratų skliaustus ir pateikite panašius terminus:

Nelygybė nėra griežta, todėl ji neįtraukiama į intervalą, o sprendimas bus visi taškai, esantys dešinėje, nes daugiau, daugiau ir tt:

Atsakymas:

Tai viskas! Lengvai? Išspręskime paprastą nelygybę su dviem kintamaisiais:

Nubraižykime funkciją koordinačių sistemoje.

Ar gavote tokį tvarkaraštį? Dabar atidžiai pažiūrėkime, kokią nelygybę turime? Mažiau? Tai reiškia, kad dažome viską, kas yra mūsų tiesios linijos kairėje. O jei būtų daugiau? Tai tiesa, tada nudažytume viską, kas yra į dešinę nuo mūsų tiesės. Tai paprasta.

Visi šios nelygybės sprendimai yra „užtemdyti“ oranžinė. Štai ir išspręsta nelygybė su dviem kintamaisiais. Tai reiškia, kad bet kurio taško koordinatės iš užtamsintos srities yra sprendiniai.

Kvadratinių nelygybių grafinis sprendimas

Dabar mes suprasime, kaip grafiškai išspręsti kvadratines nelygybes.

Tačiau prieš pradėdami dirbti, peržvelkime medžiagą apie kvadratinę funkciją.

Už ką atsakingas diskriminantas? Tai tiesa, dėl grafiko padėties ašies atžvilgiu (jei to neprisimenate, būtinai perskaitykite teoriją apie kvadratines funkcijas).

Bet kokiu atveju, čia yra nedidelis priminimas:

Dabar, kai atnaujinome visą atmintyje esančią medžiagą, imkimės darbo – išspręskite nelygybę grafiškai.

Iš karto pasakysiu, kad yra dvi problemos sprendimo galimybės.

1 variantas

Savo parabolę rašome kaip funkciją:

Naudodami formules nustatome parabolės viršūnės koordinates (lygiai tokias pačias, kaip ir sprendžiant kvadratines lygtis):

Ar skaičiavai? Ką tu gavai?

Dabar paimkime dar du skirtingus taškus ir apskaičiuokime jiems:

Pradėkime statyti vieną parabolės atšaką:

Mes simetriškai atspindime savo taškus kitoje parabolės šakoje:

Dabar grįžkime prie savo nelygybės.

Mums reikia, kad jis būtų atitinkamai mažesnis už nulį:

Kadangi mūsų nelygybėje ženklas yra griežtai mažesnis nei, mes neįtraukiame galutinių taškų - „pramušti“.

Atsakymas:

Ilgas kelias, tiesa? Dabar parodysiu jums paprastesnę grafinio sprendimo versiją, naudodamas tos pačios nelygybės pavyzdį:

2 variantas

Grįžtame prie savo nelygybės ir pažymime mums reikalingus intervalus:

Sutikite, tai daug greičiau.

Dabar parašykime atsakymą:

Apsvarstykime kitą sprendimą, kuris supaprastina algebrinę dalį, tačiau svarbiausia – nesusipainioti.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Pabandykite patys išspręsti šią kvadratinę nelygybę bet kokiu jums patinkančiu būdu: .

Ar susitvarkei?

Pažiūrėkite, kaip pasirodė mano grafikas:

Atsakymas: .

Mišrių nelygybių grafinis sprendimas

Dabar pereikime prie sudėtingesnių nelygybių!

Kaip jums tai:

Tai baisu, ar ne? Sąžiningai, aš neįsivaizduoju, kaip tai išspręsti algebriškai... Bet tai nėra būtina. Grafiškai čia nėra nieko sudėtingo! Akys bijo, bet rankos daro!

Pirmas dalykas, nuo kurio pradėsime, yra sudaryti du grafikus:

Nerašysiu kiekvienos lentelės - esu tikras, kad galite tai puikiai padaryti patys (oho, yra tiek daug pavyzdžių, kuriuos reikia išspręsti!).

Ar nudažėte? Dabar sukurkite du grafikus.

Palyginkime savo piešinius?

Ar pas jus tas pats? Puiku! Dabar sutvarkykime susikirtimo taškus ir naudodami spalvą nustatykime, kuris grafikas teoriškai turėtų būti didesnis, tai yra. Pažiūrėkite, kas atsitiko pabaigoje:

Dabar pažiūrėkime, kur mūsų pasirinktas grafikas yra aukštesnis už grafiką? Nedvejodami imkite pieštuką ir pieškite šią sritį! Ji bus mūsų sudėtingos nelygybės sprendimas!

Kokiais intervalais išilgai ašies esame aukščiau? Teisingai,. Tai atsakymas!

Na, dabar galite tvarkyti bet kokią lygtį, bet kokią sistemą ir juo labiau bet kokią nelygybę!

TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Lygčių sprendimo naudojant funkcijų grafikus algoritmas:

1. Išreikškime tai per
2. Apibrėžkime funkcijos tipą
3. Sukurkime gautų funkcijų grafikus
4. Raskime grafikų susikirtimo taškus
5. Parašykime atsakymą teisingai (atsižvelgdami į ODZ ir nelygybės ženklus)
6. Patikrinkime atsakymą (pakeiskite šaknis į lygtį arba sistemą)

Daugiau informacijos apie funkcijų grafikų sudarymą rasite temoje "".

Kai kurias problemas galima patogiai ir aiškiai išspręsti naudojant Eulerio-Venno diagramas. Pavyzdžiui, problemos, susijusios su rinkiniais. Jei nežinote, kas yra Eulerio-Venno diagramos ir kaip jas sudaryti, pirmiausia perskaitykite.

Dabar pažiūrėkime į tai tipinės užduotys apie rinkinius.

1 užduotis.

Buvo atlikta 100 mokinių apklausa mokykloje, kurioje giliai mokosi užsienio kalbų. Mokiniams buvo užduotas klausimas: „Ką užsienio kalbos ar tu mokaisi?" Paaiškėjo, kad 48 mokiniai mokosi anglų, 26 - prancūzų, 28 - vokiečių. 8 studentai mokosi anglų ir vokiečių kalbų, 8 - anglų ir prancūzų, 13 - prancūzų ir vokiečių. 24 studentai nesimoko nei anglų, nei prancūzų, nei Vokiečių kalba Kiek apklausą baigusių moksleivių vienu metu mokosi trimis kalbomis: anglų, prancūzų ir vokiečių?

Atsakymas: 3.

Sprendimas:

• daug moksleivių, besimokančių anglų kalbos („A“);
• daug moksleivių, besimokančių prancūzų kalbą („F“);
• daug moksleivių, besimokančių vokiečių („N“).

Eulerio-Veno diagrama pavaizduokime tai, kas mums duota pagal sąlygą.

Norimą plotą A=1, Ф=1, Н=1 pažymėkime „x“ (toliau esančioje lentelėje sritis Nr. 7). Likusias sritis išreikškime x.

0) Regionas A=0, Ф=0, Н=0: 24 moksleiviai – pateikiami pagal problemos sąlygas.

1) Plotas A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x moksleivių.

2) Plotas A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x moksleiviai.

3) Sritis A=0, F=1, N=1: 13 moksleivių.

4) Plotas A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x moksleiviai.

5) Sritis A=1, F=0, H=1: 8 moksleiviai.

6) Sritis A=1, F=1, H=0: 8 moksleiviai.

№ regione	A	F	N	Kiekis moksleiviai
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13 d
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8-os
6	1	1	0	8-os
7	1	1	1	X

Apibrėžkime x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Nustatėme, kad 3 moksleiviai vienu metu mokosi trimis kalbomis: anglų, prancūzų ir vokiečių.

Taip atrodys žinomo x Eulerio-Venno diagrama:

2 užduotis.

Matematikos olimpiadoje moksleiviai turėjo išspręsti tris uždavinius: vieną – algebros, vieną – geometrijos, vieną – trigonometrijos. Olimpiadoje dalyvavo 1000 moksleivių. Olimpiados rezultatai buvo tokie: algebros uždavinius sprendė 800 dalyvių, geometrijos – 700, trigonometrijos – 600. Algebros ir geometrijos – 600, algebros ir trigonometrijos – 500, geometrijos ir trigonometrijos – 400 dalyvių. 300 žmonių sprendė algebros, geometrijos ir trigonometrijos uždavinius. Kiek moksleivių neišsprendė nė vienos problemos?

Atsakymas: 100.

Sprendimas:

Pirmiausia apibrėžiame aibes ir įvedame žymėjimą. Jų yra trys:

• daug algebros uždavinių („A“);
• daug problemų geometrijoje („G“);
• daug trigonometrijos („T“) problemų.

Pavaizduokime, ką turime rasti:

Nustatykime moksleivių skaičių visose įmanomose srityse.

Norimą plotą A=0, G=0, T=0 pažymėkime „x“ (toliau esančioje lentelėje plotas Nr. 0).

Raskime likusias sritis:

1) Teritorija A=0, G=0, T=1: nėra moksleivių.

2) Teritorija A=0, G=1, T=0: nėra moksleivių.

3) Plotas A=0, G=1, T=1: 100 moksleivių.

4) Teritorija A=1, G=0, T=0: nėra moksleivių.

5) Regionas A=1, G=0, T=1: 200 moksleivių.

6) Plotas A=1, D=1, T=0: 300 moksleivių.

7) Regionas A=1, G=1, T=1: 300 moksleivių.

Į lentelę įrašykime plotų reikšmes:

№ regione	A	G	T	Kiekis moksleiviai
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Rodykime visų sričių reikšmes naudodami diagramą:

Apibrėžkime x:

x=U-(A V Г V Т), kur U yra visata.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Pastebėjome, kad 100 moksleivių neišsprendė nė vienos problemos.

3 užduotis.

Fizikos olimpiadoje moksleiviai turėjo išspręsti tris uždavinius: vieną kinematikos, termodinamikos ir optikos. Olimpiados rezultatai buvo tokie: kinematikos uždavinius sprendė 400 dalyvių, termodinamikos – 350, optikos – 300. Kinematikos ir termodinamikos – 300 moksleivių, kinematikos ir optikos – 200, termodinamikos ir optikos – 150 dalyvių. 100 žmonių sprendė kinematikos, termodinamikos ir optikos uždavinius. Kiek moksleivių išsprendė dvi problemas?

Atsakymas: 350.

Sprendimas:

Pirmiausia apibrėžiame aibes ir įvedame žymėjimą. Jų yra trys:

• daug kinematikos problemų („K“);
• daug termodinamikos problemų („T“);
• daug problemų optikos srityje ("O").

Eulerio-Veno diagrama pavaizduokime tai, kas mums duota pagal sąlygą:

Pavaizduokime, ką turime rasti:

Nustatykime mokinių skaičių visose galimose srityse:

0) Regionas K=0, T=0, O=0: neapibrėžtas.

1) Regionas K=0, T=0, O=1: 50 moksleivių.

2) Regionas K=0, T=1, O=0: nėra moksleivių.

3) Regionas K=0, T=1, O=1: 50 moksleivių.

4) Teritorija K=1, T=0, O=0: nėra moksleivių.

5) Regionas K=1, T=0, O=1: 100 moksleivių.

6) Regionas K=1, T=1, O=0: 200 moksleivių.

7) Regionas K=1, T=1, O=1: 100 moksleivių.

Į lentelę įrašykime plotų reikšmes:

№ regione	KAM	T	APIE	Kiekis moksleiviai
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Rodykime visų sričių reikšmes naudodami diagramą:

Apibrėžkime x.

x=200+100+50=350.

Gavome, 350 moksleivių išsprendė dvi problemas.

4 užduotis.

Buvo atlikta apklausa tarp praeivių. Buvo užduotas klausimas: „Kokį augintinį turite? Remiantis apklausos rezultatais, paaiškėjo, kad 150 žmonių turi katę, 130 – šunį, 50 – paukštį. 60 žmonių turi katę ir šunį, 20 - katę ir paukštį, 30 - šunį ir paukštį. 70 žmonių apskritai neturi augintinio. 10 žmonių turi katę, šunį ir paukštį. Kiek praeivių dalyvavo apklausoje?

Atsakymas: 300.

Sprendimas:

Pirmiausia apibrėžiame aibes ir įvedame žymėjimą. Jų yra trys:

• daug žmonių, turinčių katę („K“);
• daug žmonių, turinčių šunį („C“);
• daug žmonių, kurie turi paukštį ("P").

Eulerio-Veno diagrama pavaizduokime tai, kas mums duota pagal sąlygą:

Pavaizduokime, ką turime rasti:

Nustatykime žmonių skaičių visose galimose srityse:

0) Regionas K=0, S=0, P=0: 70 žmonių.

1) Plotas K=0, S=0, P=1: 10 žmonių.

2) Regionas K=0, S=1, P=0: 50 žmonių.

3) Plotas K=0, S=1, P=1: 20 žmonių.

4) Regionas K=1, S=0, P=0: 80 žmonių.

5) Plotas K=1, T=0, O=1: 10 žmonių.

6) Plotas K=1, T=1, O=0: 50 žmonių.

7) Plotas K=1, T=1, O=1: 10 žmonių.

Į lentelę įrašykime plotų reikšmes:

№ regione	KAM	C	P	Kiekis Žmogus
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Rodykime visų sričių reikšmes naudodami diagramą:

Apibrėžkime x:

x=U (visata)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Išsiaiškinome, kad apklausoje dalyvavo 300 žmonių.

5 užduotis.

Viename iš universitetų į vieną specialybę įstojo 120 žmonių. Stojantieji laikė tris egzaminus: matematikos, informatikos ir rusų kalbos. Matematiką išlaikė 60, informatiką – 40. Matematiką ir informatiką – 30, matematiką ir rusų kalbą – 30, informatiką ir rusų kalbą – 25. Visus tris egzaminus išlaikė 20 žmonių, neišlaikė 50 žmonių. Kiek pretendentų išlaikė rusų kalbos egzaminą?

Paveikslėlyje paryškinti taškai rodo per parą iškritusių kritulių kiekį Š mieste nuo 1908 m. vasario 4 d. iki vasario 17 d. Mėnesio datos nurodomos horizontaliai, o atitinkamą dieną iškritęs kritulių kiekis milimetrais – vertikaliai. Aiškumo dėlei paryškinti taškai paveiksle yra sujungti linija. Iš nuotraukos nustatykite, kurią dieną tiksliai iškrito 2 milimetrai kritulių pirmą kartą.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Parenkame tašką su 2 ordinatėmis ir mažiausia abscise. Matome, kad jo abscisė yra 8. Tai reiškia, kad vasario 8 dieną pirmą kartą iškrito 2 mm kritulių.

Atsakymas

Būklė

Diagramoje parodytas variklio įšilimo procesas keleivinis automobilis. X ašyje rodomas laikas minutėmis, praėjęs nuo variklio užvedimo, o ašyje – variklio temperatūra Celsijaus laipsniais. Iš grafiko nustatykite, kiek minučių variklis įkaito nuo temperatūros 30 ^(\circ)C iki temperatūros 70 ^(\circ)C.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Ordinačių ašyje randame intervalą nuo 30 iki 70^(\circ)C. Jis abscisių ašyje atitinka laikotarpį nuo 1 iki 7 minučių. Tai yra, variklis įkaista šešias minutes.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Grafike parodyta sukimo momento priklausomybė automobilio variklis nuo jo apsisukimų skaičiaus per minutę. Apsisukimų skaičius per minutę pavaizduotas ant abscisių ašies. Ordinačių ašyje yra sukimo momentas Nm. Kad automobilis pradėtų judėti, sukimo momentas turi būti ne mažesnis kaip 50 Nm. Kuris mažiausias skaičius Ar variklio apsisukimų per minutę pakanka, kad automobilis pradėtų judėti?

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Parenkame tašką su ordinatėmis 50, esantį arčiausiai pradžios. Naudodamiesi paveikslu, grafike randame tašką, atitinkantį ordinates, iš jo nuleidžiame statmeną abscisių ašiai ir gauname tašką, kurio abscisė yra lygi 2000, tai yra mažiausias apsisukimų skaičius.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Šildytuvo galia automobilyje reguliuojama papildoma varža, kurią galima keisti sukant rankenėlę automobilio viduje. Mažėjant varžai, elektros variklio elektros grandinėje didėja srovė, todėl šildytuvo variklis sukasi greičiau. Grafike parodyta srovės priklausomybė nuo varžos grandinėje. X ašyje rodoma varža (omais), o y ašyje rodoma srovė amperais. Šildytuvo rankena buvo pasukta taip, kad srovė grandinėje sumažėjo nuo 8 iki 4 amperų. Naudodami grafiką nustatykite, kiek omų padidėjo pasipriešinimas?

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Naudodamiesi paveikslu, ordinačių ašyje nustatome tarpą nuo 8 iki 4 amperų (srovė elektros variklio grandinėje mažėja), tai atitinka tarpą ant abscisės ašies nuo 1 iki 2,5 omo, tai yra, varža grandinė padidėjo 1,5 omo.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Oro uoste keleivių lagaminai konvejerio juosta keliami į bagažo atsiėmimo zoną. Leistinas diržo įtempimas tiesiogiai priklauso nuo konvejerio pasvirimo kampo į horizontą esant projektinei apkrovai. Ši priklausomybė pavaizduota grafike. Abscisių ašyje rodomas konvejerio pakilimo kampas laipsniais, o ordinačių ašis rodo diržo įtempimo jėgą leistina apkrova(kilogramo jėga). Naudodami grafiką nustatykite, kokiu konvejerio pasvirimo kampu juostos įtempimo jėga bus 200 kgf? Atsakymą pateikite laipsniais.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Ordinačių ašyje randame ženklą 200 kgf. Nubrėžkite tiesę, statmeną ordinačių ašiai, kol ji susikirs su grafiku; nuo šio taško (grafike) nuleidžiame statmeną abscisių ašiai, atitinkama vertė yra 75. Konvejerio pasvirimo kampas į horizontą yra 75^(\circ) .

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Per cheminė reakcija dar nesureagavusios pradinės medžiagos (reagento) kiekis laikui bėgant palaipsniui mažėja. Ši priklausomybė pavaizduota diagramoje. Abscisių ašyje rodomas laikas minutėmis, praėjęs nuo reakcijos pradžios, o ordinačių ašyje – likusios medžiagos masė gramais, kuri nesureagavo. Naudodami grafiką nustatykite, kiek gramų reagento sureagavo per pirmąją minutę.

>> 11 pamoka. Stulpeliai ir linijinės diagramos

Ryšys tarp dydžių gali būti vizualiai pavaizduotas juostelėmis arba segmentais.

Lentelėje parodytas laikas, kurį vaikai praleidžia kelyje iš namų į mokyklą.

Tai lengva išvesti iš diagramos skirtingos savybės dydžių santykiai. Pavyzdžiui, iš mūsų diagramos iš karto aišku, kad Igoris užtrunka ilgiausiai į mokyklą, o Tanya - greičiausiai, kad Olya ir Miša kelyje į mokyklą praleidžia tiek pat laiko - 15 minučių, o Sasha ir kelias į mokyklą. Igoris užtrunka daugiau nei 15 minučių ir pan.

1 . Stebuklingą žemę sudaro penkios dalys: Rožinė žemė. Geltona, Mėlyna. Violetinis ir smaragdinis miestas.

a) Juostinė diagrama rodo kritulių kiekį per metus Mėlynojoje šalyje. Naudodamiesi diagrama, atsakykite į klausimus:

1) Kiek kritulių iškrito rugsėjį?
2) Kada kritulių iškrito mažiausiai, o kada daugiausia?
3) Kuriais mėnesiais iškrito tiek pat kritulių?
4) Kada iškrito 90 mm kritulių, o kada daugiau nei 90 mm?
5) Kada iškrito mažiau nei 60 mm kritulių?
b) Kiek mažiau kritulių iškrito rugpjūtį nei spalį?
7) Kiek kritulių iškrito per kiekvieną sezoną? Kiek kritulių iškrito per visus metus?

b) Remdamiesi lentelės duomenimis, sudarykite kritulių Smaragdo mieste per metus juostinę diagramą. Išanalizuokite tai.

c) Linijinėje diagramoje pateikiama informacija apie vaikų gimstamumą Rožinėje šalyje per metus. Naudodamiesi diagrama, atsakykite į klausimus:

1) Kiek vaikų gimė liepos mėnesį?
2) Kurį mėnesį gimė daugiausia vaikų, o kurį – mažiausiai?
3) Kiek vaikų gimė vasarą? Kiek vaikų gimė per metus?
4) Kiek vaikų gegužę gimė daugiau nei balandį?
5) Kuriais mėnesiais gimė 500 vaikų?
6) Kokiais mėnesiais gimė daugiau nei 600 vaikų?

Nubrėžkite laužtą liniją, jungiančią viršutinius diagramos segmentų galus, ir nustatykite, kuriais mėnesiais vaikų gimstamumas didėjo, kuriais sumažėjo, o kada nekito.

d) Remdamiesi lentelės duomenimis, sudarykite vaikų gimstamumo purpurinėje šalyje linijinę diagramą. Išanalizuokite tai.

2. Nustatykite taškų A, B, C, D, E ir F koordinates ir raskite atkarpų AB, CD, EF ilgį.

3. Išspręskite lygtis:

4. „Blitz turnyras“.

a) Varna Kaggi-Karr nuskrido per 4 valandas ir km. Kiek toli jis nuskris per 7 valandas, jei skris tuo pačiu greičiu?

b) Ellie ėjo slėniu b km, o kalnų keliu - tik 24% šio atstumo. Kokiu greičiu Ellie ėjo kalnų keliu, jei įveikė jį per 3 valandas?

c) Oorfene Deuce armijoje buvo kapralų, kurie sudarė 15% jo armijos karių skaičiaus. Kiek daugiau karių nei kapralų buvo Oorfene Deuce armijoje?

d) Oorfene'as Deuce'as nusprendė savo armijai padaryti x medinius kareivius. Jis tai padaro kareiviams per dieną. Kiek jam liko karių po 9 dienų? dirbti ?

e) Jūreiviui Čarliui sukako 5 metai. Kiek jam bus po 4 metuku?

5. Rožinėje šalyje gyvena 540 000 gyventojų, tai yra tiek pat gyventojų, kiek ir Mėlynojoje šalyje. 40% gyventojų gyvena Geltonojoje šalyje iš viso Rožinės ir Mėlynos šalių gyventojų, o Purpurinėje šalyje gyvena 78 000 gyventojų daugiau nei Geltonojoje šalyje. Kiek gyventojų yra Smaragdo mieste, jei iš viso Magiškoje žemėje yra 3 000 000 gyventojų?

6. Užrašykite natūralių nelygybės sprendinių aibę:

7*. Nupieškite stebuklingos žemės diagramą, jei žinote, kad mėlyna, violetinė ir rožinė šalys turi bendrą sieną su kitomis keturiomis dalimis. Geltonoji šalis ir Smaragdinis miestas neturi bendros sienos tarpusavyje, o Geltonąją šalį iš visų pusių supa Didžioji dykuma, skirianti Magiškąją šalį nuo viso pasaulio.

Petersonas Liudmila Georgievna. Matematika. 4 klasė. 3 dalis. - M.: Leidykla Yuventa, 2005, - 64 p.: iliustr.

Pamokos turinys pamokų užrašai remiančios kadrinės pamokos pristatymo pagreitinimo metodus interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savikontrolės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir multimedija nuotraukos, paveikslėliai, grafika, lentelės, diagramos, humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai gudrybės smalsiems lopšiai vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje vadovėlio fragmento atnaujinimas, naujovių elementai pamokoje, pasenusių žinių keitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis planas metams Gairės diskusijų programos Integruotos pamokos

6 klasės matematikos pamokos tema „Diagramos“ santrauka.

Smirnova Larisa Vladimirovna, mokytojo SM Bolshekoshinsky sosh, Tverės sritis, Selizharovskio rajonas, Bolshaya Kosha kaimas
Medžiagos aprašymas: Siūlau 6 klasėje parengti matematikos pamoką interaktyviomis mokymo technikomis tema „Diagramos“. Ši medžiaga bus naudinga matematikos mokytojams, kurie moko naudodamiesi I. I. Zubarevos, A. G. Mordkovičiaus vadovėliu.
Pamokos tikslas: pristatyti diagramos sąvoką, su įvairių tipų diagramos; mokyti mokinius skaityti diagramas atsakydami į klausimus.
Įranga: kompiuteris, projektorius, dalomoji medžiaga.
Metodinės technikos: pokalbis – dialogas, žaidimo situacija, darbas mažose grupėse.

Renginio eiga.

Motyvacija.
Kiekvieną dieną turime dirbti su didžiuliu informacijos kiekiu. Neįmanoma atsiminti visos informacijos, kuri mus pasiekia. Todėl užsirašome tai, kas mums labiausiai reikalinga. Be to, stengiamės tai užfiksuoti taip, kad vėliau mums būtų lengva šia informacija pasinaudoti – atsirinkti reikiamus duomenis, ką nors palyginti.
Lentelė yra lengviausias būdas tvarkyti duomenis. Su kai kuriomis lentelėmis jau esame susipažinę (daugybos lentelė, pamokų grafikas, dienoraščio puslapis).

Lentelės yra patogios duomenims tvarkyti ir ieškoti (jos leidžia lengviau rasti reikiamą informaciją, nepriverčia išstudijuoti visos turimos informacijos, o iš karto randa tai, ko reikia, leidžia lengvai palyginti panašią informaciją ir padaryti būtinas pasirinkimas). Tačiau jie nepateikia vizualaus vaizdo. Todėl šiandien susipažinsime su kitu informacijos pateikimo būdu, kuris daugeliu atžvilgių yra patogesnis ir aiškesnis nei lentelė.
Norėdami sužinoti mūsų pamokos temą, turite išspręsti paprastą šifravimą. Galite lengvai atlikti užduotį, jei prisiminsite, kaip suskaičiuoti skaičius į pirminius veiksnius.

Praneškite apie pamokos temą ir tikslus.
Taigi, mūsų pamokos tema „Diagramos, diagramų skaitymas“
Šiandien pamokoje sužinosime: kas yra diagrama, kokių tipų diagramos egzistuoja, kaip teisingai skaityti diagramas.
Naujos medžiagos mokymasis.
Atlikote 4-9 klasių mokinių apklausą tema „ Mėgstamiausias laikas metų“ ir parūpino man stalą. Pagal šią lentelę sudariau diagramą.

Palyginkite lentelę ir diagramą.
1. Jūsų nuomone, ar patogiau duomenis lyginti naudojant lenteles ar diagramas?
2. Kuris informacijos pateikimo būdas yra ryškiausias ir vaizdingiausias – lentelės ar diagramos pavidalu?
Diagramos naudojamos, kai norima vizualiai pateikti tam tikrą informaciją. Diagramos dažnai naudojamos laikraščiuose, žurnaluose ir knygose įvairiems duomenims iliustruoti. Diagramos leidžia lengviau palyginti duomenis nei lentelės.
Užrašykime diagramos apibrėžimą.
Diagrama (išvertus iš graikų kalbos diagramma - vaizdas, piešinys, piešinys) - grafinis vaizdas, aiškiai parodantis bet kokių dydžių ryšį.
Yra daugybė diagramų tipų: stulpelinės, linijinės, apskritos, kūginės;
cilindro formos. Diagramos tipas priklauso nuo to, ką geometrinė figūra pateikiama informacija.

Pažiūrėkime į 8 pav. Jame diagramos pavidalu pateikiama informacija apie vienam asmeniui tenkančių išlaidų pasiskirstymą per mėnesį. Kaip manote, kokia informacija šioje diagramoje yra horizontali? (Išlaidų tipas) O kaip vertikaliai? (Išlaidų suma) Kokios figūros parodo išlaidų rūšis diagramoje? (Stulpeliai) Kaip būtų galima pavadinti tokią diagramą? (Stulpelis)

Pažiūrėkime į 9 paveikslą. Kokios formos vaizduoja išlaidų rūšis šioje diagramoje? (Eilutės) Kaip būtų galima pavadinti tokią diagramą? (Linijinis)

Pažiūrėkime į 10 paveikslą. Kokios formos vaizduoja išlaidų rūšis šioje diagramoje? (Kūgiai). Kaip tokia diagrama gali būti vadinama? (Kūgis)

Pažiūrėkime į 11 paveikslą. Kokios formos vaizduoja išlaidų rūšis šioje diagramoje? (Cilindrai). Kaip tokia diagrama gali būti vadinama? (Cilindrinis)

Apsvarstykite 12 pav. Kokia forma žymi išlaidų rūšis šioje diagramoje? (Apskritimas). Kaip tokia diagrama gali būti vadinama? (Aplinkraštis). Kuo skritulinė diagrama skiriasi nuo visų kitų? (Apskritimas yra padalintas į dalis (dalis). Kiekviena dalis yra tam tikros rūšies išlaidos)
Interaktyvi mankšta.
Interaktyvios pratybos atlikimo taisyklių paaiškinimas:
Dabar išmokime skaityti diagramas. Norėdami tai padaryti, siūlau žaisti Interviu žaidimą. Jūs atliksite žurnalistų vaidmenį, tai yra, užduosite man klausimus, o aš būsiu statistas – atsakysite į jūsų klausimus. (Vaikinams siūloma paruoštus klausimus kortelėse mokytojas atsako į pateiktus klausimus, parodydamas, kaip skaityti iš diagramos)

Diagramos klausimai:
Kokiu metų laiku skėtis parduodamas geriausiai? (vasarą)
Kokiu metų laiku skėčiai yra prasčiausiai parduodami? (žiema)
Kokiu metų laiku kumštinės pirštinės neparduodamos? (vasarą)
Kokiu metų laiku kumštinės pirštinės geriausiai parduodamos? (žiema)
Kuris produktas visais metų laikais parduodamas maždaug vienodai? (pirštinės)
Kas geriau perka pavasarį – pirštinės ar kumštinės? (pirštinės)
Kiek kartų kumštinės pirštinės žiemą parduodamos geriau nei skėčiai? (2 kartus)
Kiek kartų geriau vasarą parduodami skėčiai nei pirštinės? (9 kartus)
Koks produktas vienodai parduodamas pavasarį ir vasarą? (krepšiai)
Atlikite interaktyvų pratimą.
Dabar siūlau žaisti šį žaidimą poromis.
Jūsų užduotis – aptarti klausimus ir surašyti atsakymus į sąsiuvinį.
Toliau į šiuos klausimus turite atsakyti lentoje interviu forma.
Klausimai diagramoms.

Vitamino A kiekis (mg 100 g)
Ar tiesa, kad morkos yra pagrindinis vitamino A šaltinis?
Išdėstykite maisto produktus pagal didžiausią vitamino A kiekį.
Kuriame produkte yra didžiausias vitamino A kiekis?
Kuris produktas turi paskutinę vietą vitamino A kiekyje?
Kiek daugiau vitamino A turi žalieji žirneliai nei juodieji serbentai?
Kiek mažiau vitamino A yra sausuose erškėtuogėse nei morkose?
Kiek kartų daugiau vitamino A yra morkose nei raudonosiose paprikose?

Vitamino C kiekis (mg 100 g)
Ar tiesa, kad citrina yra pagrindinis vitamino C šaltinis?
Kurio produkto sudėtyje yra didžiausias skaičius vitamino C?
Kuriame maiste yra mažiausiai vitamino C?
Kiek kartų daugiau vitamino C yra džiovintose erškėtuogėse nei citrinose?
Kiek kartų mažiau vitamino C yra apelsine nei sausame?
erškėtuogių?
Kuriame produkte yra antras didžiausias vitamino C kiekis?
Kiek daugiau vitamino C turi raudonieji pipirai nei juodieji serbentai?

Kokiu metų laiku suknelė parduodama geriausiai?
Kuriuo metų laiku sijonas parduodamas prasčiausiai?
Kuris produktas geriausiai parduodamas pavasarį?
Kuris produktas pavasarį parduodamas prasčiausiai?
Koks produktas geriausiai parduodamas žiemą?
Kuris produktas žiemą parduodamas prasčiausiai?
Kiek kartų sijonai geriau parduodami pavasarį nei žiemą?
Kuris produktas yra mažiausiai populiarus rudenį, žiemą ir pavasarį?

Prekybos įmonės pajamų suma (tūkst. rublių) už įvairias prekes
Kokiu metų laiku bananai parduodami geriausiai?
Koks metų laikas yra blogiausias laikas apelsinams parduoti?
Koks produktas geriausiai parduodamas rudenį?
Kuris produktas vasarą parduodamas prasčiausiai?
Kuris produktas geriausiai parduodamas pavasarį?
Kuris produktas geriausiai parduodamas vasarą?
Kiek kartų bananai žiemą parduodami geriau nei rudenį?
Kuris produktas yra mažiausiai populiarus visais metų laikais?
Atspindys.
Tęskite sakinį:
Šiandien sužinojau….
Šiandien sužinojau...
Ateityje norėčiau išmokti...
Atsakyti į klausimus:
Kas yra diagrama?
Kokių tipų diagramos yra?
Ką bendro turi lentelės ir diagramos ir kuo jos skiriasi?
Ar norėtumėte išmokti patys pasidaryti diagramas?
Įvertinimas. Savigarba.
Pabandykite keliais žodžiais įvertinti savo ir grupės darbą.
Kas nutiko? Ką dar reikia dirbti?
Namų darbai: 34 punktas, Nr.1028 (a, b), 229-230 p. skaitiklis. užduotys Nr.2,3