§6. ടെയ്‌ലർ പരമ്പര. മക്ലൗറിൻ സീരീസ്. ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പവർ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ടെയ്‌ലർ സീരീസ് വിപുലീകരണം

ഉദാഹരണം 1 . സീരീസ് വിപുലീകരണ പാപം ഉപയോഗിക്കുന്നു x, 0.0001 കൃത്യതയോടെ sin20 o കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം. ഫോർമുല (2) ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം റേഡിയൻ അളവിൽ പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു . ഈ മൂല്യം ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സീരീസ് ചിഹ്നത്തിൽ മാറിമാറി വരികയും ലെയ്ബ്നിസിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. കാരണം , തുടർന്ന് ഇതും പരമ്പരയിലെ എല്ലാ തുടർന്നുള്ള നിബന്ധനകളും ഉപേക്ഷിക്കാം, ആദ്യ രണ്ട് പദങ്ങളിലേക്ക് നമ്മെത്തന്നെ പരിമിതപ്പെടുത്താം. അങ്ങനെ,

ഉദാഹരണം 2 . ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള 0.01 ലേക്ക് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം. വിപുലീകരണം എവിടെ ഉപയോഗിക്കാം (മുമ്പത്തെ വിഷയത്തിലെ ഉദാഹരണം 5 കാണുക):

വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ആദ്യ മൂന്ന് നിബന്ധനകൾക്ക് ശേഷം ബാക്കിയുള്ളത് നമുക്ക് നിരസിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുക ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അത് വിലയിരുത്തും:

.

അതിനാൽ നമുക്ക് ഈ ശേഷിപ്പ് ഉപേക്ഷിച്ച് നേടാം

.

ഉദാഹരണം 3 . ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള 0.0001 ലേക്ക് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ബൈനോമിയൽ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കാം. 5 3 എന്നത് 130 ന് അടുത്തുള്ള ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് ആയതിനാൽ, 130 എന്ന സംഖ്യയെ 130 = 5 3 +5 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതാണ് ഉചിതം.

ലീബ്നിസ് മാനദണ്ഡം പാലിക്കുന്ന ഒന്നിടവിട്ട പരമ്പരയുടെ നാലാമത്തെ ടേം ഇതിനകം ആവശ്യമായ കൃത്യതയേക്കാൾ കുറവായതിനാൽ:

, അതിനാൽ അതും അതിനെ തുടർന്നുള്ള നിബന്ധനകളും ഉപേക്ഷിക്കാവുന്നതാണ്.

നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ

ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രായോഗികമായി ആവശ്യമായ പല നിശ്ചിത അല്ലെങ്കിൽ അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ പ്രയോഗം ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഇതിന് പലപ്പോഴും പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒരു പദപ്രയോഗം ഇല്ല. ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാണ് എന്നതും സംഭവിക്കുന്നു, പക്ഷേ അത് അനാവശ്യമായി അധ്വാനിക്കുന്നതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു പവർ സീരീസായി വികസിപ്പിക്കുകയും സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ ഈ ശ്രേണിയുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ച കൃത്യതയോടെ ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ സാധ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 4 : ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള 0.00001 ലേക്ക് ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം. അനുബന്ധ അനിശ്ചിതത്വ സംയോജനം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത്. ഒരു "ശാശ്വതമല്ലാത്ത അവിഭാജ്യ" ത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. നമുക്ക് ഇൻ്റഗ്രൽ ഏകദേശം കണക്കാക്കാം.

പാപത്തിൻ്റെ പരമ്പരയെ പദം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു xഓൺ x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഈ സീരീസ് പദത്തെ ടേം പ്രകാരം സമന്വയിപ്പിക്കുന്നു (ഇത് സാധ്യമാണ്, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ ഈ ശ്രേണിയുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതിനാൽ), ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സീരീസ് ലെയ്ബ്നിസിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനാൽ തന്നിരിക്കുന്ന കൃത്യതയോടെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് ആദ്യത്തെ രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എടുത്താൽ മതിയാകും.

അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

.

ഉദാഹരണം 5 . ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള 0.001 ലേക്ക് ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുക.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സീരീസിൻ്റെ രണ്ടാം ടേമിന് ശേഷം ബാക്കിയുള്ളത് ഉപേക്ഷിക്കാനാകുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം.

അതിനാൽ, .

സാധാരണക്കാർക്കുള്ള കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഏകദേശ പരിഹാരം

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം

ഒരു ഒഡിഇയെ പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ടെയ്‌ലർ സീരീസ് സൊല്യൂഷൻ വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ആദ്യ കുറച്ച് നിബന്ധനകളുടെ രൂപത്തിൽ (ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കത്തിൽ) അതിനുള്ള കൗച്ചി പ്രശ്നം ഏകദേശം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണം കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ പരമ്പര വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ആദ്യ 3 നിബന്ധനകൾ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ പ്രശ്നത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നോക്കും

ഗുണകം ചെയ്തത്(1)=2 എന്നത് കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ അവസ്ഥയാണ്.

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഗുണകം കണ്ടെത്തും:

കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും വേർതിരിക്കാം:

അങ്ങനെ,

തീരുമാനിക്കുക : നിർദ്ദിഷ്ട കൃത്യതയോടെ ഏകദേശം കണക്കാക്കുക:

എ 1) 0.0001 വരെ 2) 0.0001 വരെ 3) 0.01 വരെ 4) ln6 മുതൽ 0.01 വരെ

5) 0.001 വരെ 6) 0.001 വരെ 7) 0.01 വരെ

8) 0.001 വരെ 9) 0.001 വരെ 10) 0.001 വരെ

11) 0.001 വരെ 12) 0.01 വരെ 13) 0.001 വരെ

14) 0.001 വരെ 15) 0.001 വരെ 16) 0.001 വരെ

ബികൗച്ചി പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ പരമ്പര വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ആദ്യ കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ കണ്ടെത്തുക:

17) y¢-4y+xy 2 -e 2 x =0; y(0)=2 (4 നിബന്ധനകൾ) 18) y¢+ycosx-y 2 sinx=0; y(p)=1 (4 നിബന്ധനകൾ)

19) y¢¢=e y cozy¢; y(1)=1; y¢(1)=p/6 (5 നിബന്ധനകൾ)

20) y¢¢=xy 2 -1/y¢; y(0)=0, y¢(0)=1 (5 നിബന്ധനകൾ)

ഫ്യൂറിയർ പരമ്പര

ഫോറിയറിന് സമീപംപ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (-p;p)

, എവിടെ

ഫോറിയറിന് സമീപംപ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (-എൽ;എൽ) ഫോമിൻ്റെ ത്രികോണമിതി പരമ്പര എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

, എവിടെ

ഫ്യൂറിയർ സീരീസ് കഷണങ്ങളായി തുടർച്ചയായ, കഷണങ്ങളായി ഏകതാനമായതും ഇടവേളയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതും (- എൽ;എൽ) ഫംഗ്‌ഷൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു.

ഫൂറിയർ പരമ്പരയുടെ ആകെത്തുക എസ്(x):

പിരീഡ് 2 ഉള്ള ഒരു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണ് എൽ

ഇടവേളയിൽ (- എൽ;എൽ) ഫംഗ്ഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എഫ്(x), ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകൾ ഒഴികെ

വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ (ആദ്യത്തെ തരം, ഫംഗ്ഷൻ പരിമിതമായതിനാൽ) പ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) കൂടാതെ ഇടവേളയുടെ അറ്റത്ത് ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു:

ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഫ്യൂറിയർ സീരീസിലേക്ക് വികസിക്കുന്നുവെന്ന് അവർ പറയുന്നു (- എൽ;എൽ): .

എങ്കിൽ എഫ്(x) ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അപ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പോലും അതിൻ്റെ വികാസത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു, അതായത് ബി എൻ=0.

എങ്കിൽ എഫ്(x) ഒരു വിചിത്രമായ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അപ്പോൾ വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാത്രമേ അതിൻ്റെ വികാസത്തിൽ പങ്കെടുക്കൂ, അതായത് കൂടാതെ എൻ=0

ഫോറിയറിന് സമീപംപ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (0;എൽ) ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ കോസൈനുകൾ വഴിവരിയെ വിളിക്കുന്നു:

, എവിടെ .

ഫോറിയറിന് സമീപംപ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (0;എൽ) ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ സൈനുകളാൽവരിയെ വിളിക്കുന്നു:

, എവിടെ .

ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ കോസൈനുകൾക്ക് മേലെയുള്ള ഫോറിയർ സീരീസിൻ്റെ ആകെത്തുക പിരീഡ് 2 ഉള്ള ഒരു ഇരട്ട ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണ്. എൽ, യോജിക്കുന്നു എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (0; എൽ) തുടർച്ചയുടെ പോയിൻ്റുകളിൽ.

ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ സൈനുകൾക്ക് മേലെയുള്ള ഫോറിയർ സീരീസിൻ്റെ ആകെത്തുക, പിരീഡ് 2 ഉള്ള ഒരു വിചിത്രമായ ആനുകാലിക പ്രവർത്തനമാണ്. എൽ, യോജിക്കുന്നു എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ (0; എൽ) തുടർച്ചയുടെ പോയിൻ്റുകളിൽ.

ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുള്ള ഫ്യൂറിയർ സീരീസിന് അദ്വിതീയതയുടെ സ്വഭാവമുണ്ട്, അതായത്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും രീതിയിൽ വികാസം നേടുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഗുണകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ ഗുണകങ്ങൾ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. .

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1. ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക(x)=1:

a) ഇടവേളയിൽ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഫോറിയർ പരമ്പരയിൽ(-p;p) ;

b) ഇടവേളയിൽ ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ സൈനുകൾക്കൊപ്പം ഒരു ശ്രേണിയിൽ(0;p); തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോറിയർ സീരീസ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക

പരിഹാരം:

a) ഇടവേളയിലെ ഫോറിയർ സീരീസ് വികാസത്തിന് (-p;p) ഫോം ഉണ്ട്:

,

കൂടാതെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും ബി എൻ=0, കാരണം ഈ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്; അങ്ങനെ,

നാം അംഗീകരിച്ചാൽ സമത്വം തൃപ്തിപ്പെടും എന്ന് വ്യക്തം

എ 0 =2, എ 1 =എ 2 =എ 3 =…=0

അദ്വിതീയ സ്വഭാവം കാരണം, ഇവ ആവശ്യമായ ഗുണകങ്ങളാണ്. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ വിഘടനം: അല്ലെങ്കിൽ 1=1 മാത്രം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു സീരീസ് അതിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനുമായി ഒരേപോലെ യോജിക്കുമ്പോൾ, ഫ്യൂറിയർ സീരീസിൻ്റെ ഗ്രാഫ് മുഴുവൻ സംഖ്യാ വരിയിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുമായി യോജിക്കുന്നു.

b) ഒന്നിലധികം ആർക്കുകളുടെ സൈനുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ (0;p) ഇടവേളയിലെ വികാസത്തിന് ഈ രൂപമുണ്ട്:

ഗുണകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, അതിനാൽ തുല്യത ഒരേപോലെ നിലനിൽക്കും. ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:

അങ്ങനെ, പോലും എൻ (എൻ=2കെ) നമുക്ക് ഉണ്ട് ബി എൻ=0, ഒറ്റയ്ക്ക് ( എൻ=2കെ-1) -

ഒടുവിൽ, .

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോറിയർ സീരീസ് അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം (മുകളിൽ കാണുക).

ഒന്നാമതായി, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഞങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, പരമ്പരയുടെ ആകെത്തുകയുടെ വിചിത്രത പ്രയോജനപ്പെടുത്തി, ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് സമമിതിയായി തുടരുന്നു:

f(x) ഫംഗ്‌ഷനിൽ പോയിൻ്റ് a അടങ്ങുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ എല്ലാ ഓർഡറുകളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിന് ടെയ്‌ലർ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്:
,
എവിടെ ആർ എൻ- സീരീസിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന പദമോ ശേഷിക്കുന്നതോ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന, ഇത് ലഗ്രാഞ്ച് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:
, ഇവിടെ x എന്ന സംഖ്യ x നും a നും ഇടയിലാണ്.

ഫംഗ്ഷനുകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ:

എന്തെങ്കിലും മൂല്യമുണ്ടെങ്കിൽ എക്സ് ആർ എൻ→0 at എൻ→∞, തുടർന്ന് പരിധിയിൽ ടെയ്‌ലർ ഫോർമുല ഈ മൂല്യത്തിന് സംയോജിതമാകും ടെയ്‌ലർ പരമ്പര:
,
അതിനാൽ, f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ, പരിഗണനയിലുള്ള x എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഒരു ടെയ്‌ലർ സീരീസായി വികസിപ്പിക്കാം:
1) ഇതിന് എല്ലാ ഓർഡറുകളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്;
2) നിർമ്മിച്ച ശ്രേണി ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒത്തുചേരുന്നു.

a = 0 ആകുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു പരമ്പര ലഭിക്കും മക്ലൗറിനു സമീപം:
,
മക്ലൗറിൻ ശ്രേണിയിലെ ഏറ്റവും ലളിതമായ (എലിമെൻ്ററി) ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ വിപുലീകരണം:
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനുകൾ
, R=∞
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
x ൻ്റെ ശക്തികളിൽ actgx എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ വികസിക്കുന്നില്ല, കാരണം ctg0=∞
ഹൈപ്പർബോളിക് പ്രവർത്തനങ്ങൾ


ലോഗരിതമിക് പ്രവർത്തനങ്ങൾ
, -1
ദ്വിപദ പരമ്പര
.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1. ഒരു പവർ സീരീസിലേക്ക് ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക f(x)= 2x.
പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം എക്സ്=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln എൻ 2, f(n)( 0) = 2 0 ln എൻ 2=ln എൻ 2.
ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ ടെയ്‌ലർ സീരീസ് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഈ ശ്രേണിയുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ ആരം അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഈ വികാസം -∞ എന്നതിന് സാധുതയുള്ളതാണ്<x<+∞.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. ടെയ്‌ലർ സീരീസ് ശക്തികളിൽ എഴുതുക ( എക്സ്+4) പ്രവർത്തനത്തിന് f(x)=ഇ x.
പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തൽ e xപോയിൻ്റിലെ അവയുടെ മൂല്യങ്ങളും എക്സ്=-4.
f(x)= ഇ x, f(-4) = ഇ -4 ;
f"(x)= ഇ x, f"(-4) = ഇ -4 ;
f""(x)= ഇ x, f""(-4) = ഇ -4 ;
…
f(n)(x)= ഇ x, f(n)( -4) = ഇ -4 .
അതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആവശ്യമായ ടെയ്‌ലർ സീരീസിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

ഈ വിപുലീകരണം -∞ എന്നതിനും സാധുതയുള്ളതാണ്<x<+∞.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക f(x)=ln xഅധികാരത്തിൽ ഒരു പരമ്പരയിൽ ( X- 1),
(അതായത്, പോയിൻ്റിന് സമീപമുള്ള ടെയ്‌ലർ പരമ്പരയിൽ എക്സ്=1).
പരിഹാരം. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക.
f(x)=lnx , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള ടെയ്‌ലർ സീരീസ് ലഭിക്കും:

d'Alembert's ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച്, സീരീസ് ½x-1½-ൽ ഒത്തുചേരുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം<1 . Действительно,

½ ആണെങ്കിൽ പരമ്പര ഒത്തുചേരുന്നു X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При എക്സ്=2 Leibniz മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഇതര പരമ്പര നമുക്ക് ലഭിക്കും. എപ്പോൾ x=0 ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. അങ്ങനെ, ടെയ്‌ലർ സീരീസിൻ്റെ സംയോജന മേഖല പകുതി തുറന്ന ഇടവേളയാണ് (0;2].

ഉദാഹരണം നമ്പർ 4. ഒരു പവർ സീരീസിലേക്ക് ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക.
പരിഹാരം. വിപുലീകരണത്തിൽ (1) ഞങ്ങൾ x-നെ -x 2 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
, -∞

ഉദാഹരണം നമ്പർ 5. ഒരു മക്ലൗറിൻ സീരീസിലേക്ക് ഫംഗ്ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക.
പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്
ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് എഴുതാം:

ഫോർമുലയിൽ x-ന് പകരം –x മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത്: ln(1+x)-ln(1-x) = -
ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുകയും പരമ്പരയുടെ നിബന്ധനകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുകയും സമാന നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുന്നു
. ഈ ശ്രേണി ഇടവേളയിൽ (-1;1) ഒത്തുചേരുന്നു, കാരണം ഇത് രണ്ട് ശ്രേണികളിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു, ഓരോന്നും ഈ ഇടവേളയിൽ ഒത്തുചേരുന്നു.

അഭിപ്രായം .
അനുബന്ധ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഒരു ടെയ്‌ലർ സീരീസിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാനും ഫോർമുലകൾ (1)-(5) ഉപയോഗിക്കാം, അതായത്. പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ ശക്തികളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിന് ( ഹാ). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷനുകളിൽ ഒന്ന് (1)-(5) ലഭിക്കുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനിൽ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എക്സ്ചെലവ് k( ഹാ) m , ഇവിടെ k എന്നത് ഒരു സ്ഥിര സംഖ്യയാണ്, m ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. വേരിയബിളിൽ മാറ്റം വരുത്തുന്നത് പലപ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമാണ് ടി=ഹാമക്ലൗറിൻ സീരീസിലെ ടിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രവർത്തനം വികസിപ്പിക്കുക.

ഒരു പവർ സീരീസിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വികാസത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകതയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഈ രീതി. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാരം, ഒരേ ബിന്ദുവിൻ്റെ അയൽപക്കത്തിൽ അതിൻ്റെ വികാസം എങ്ങനെ നടത്തിയാലും ഒരേ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്ന രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പവർ സീരീസ് ലഭിക്കില്ല എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 5a. ഒരു മക്ലൗറിൻ ശ്രേണിയിൽ പ്രവർത്തനം വിപുലീകരിക്കുകയും സംയോജനത്തിൻ്റെ മേഖല സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുക.
പരിഹാരം. ആദ്യം നമ്മൾ 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
പ്രാഥമികത്തിലേക്ക്:

അംശം 3/(1-3x) 3x ൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയായി കണക്കാക്കാം, എങ്കിൽ |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

കൂടിച്ചേരൽ മേഖലയുമായി |x|< 1/3.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 6. x = 3 എന്ന പോയിൻ്റിന് സമീപമുള്ള ഒരു ടെയ്‌ലർ ശ്രേണിയിലേക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ വികസിപ്പിക്കുക.
പരിഹാരം. ടെയ്‌ലർ സീരീസിൻ്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് മുമ്പത്തെപ്പോലെ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അവയുടെ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എക്സ്=3. എന്നിരുന്നാലും, നിലവിലുള്ള വിപുലീകരണം ഉപയോഗിക്കുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും (5):
=
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ശ്രേണി അല്ലെങ്കിൽ -3 ൽ ഒത്തുചേരുന്നു

ഉദാഹരണം നമ്പർ 7. ln(x+2) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ശക്തികളിൽ (x -1) ടെയ്‌ലർ സീരീസ് എഴുതുക.
പരിഹാരം.


പരമ്പര , അല്ലെങ്കിൽ -2 ൽ ഒത്തുചേരുന്നു< x < 5.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 8. f(x)=sin(πx/4) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ x =2 എന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ സമീപത്തുള്ള ഒരു ടെയ്‌ലർ ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുക.
പരിഹാരം. നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം t=x-2:

എക്സ്പാൻഷൻ (3) ഉപയോഗിച്ച്, x-ൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് π / 4 t പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ശ്രേണി -∞-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞അങ്ങനെ,
, (-∞

പവർ സീരീസ് ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ

• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ശ്രേണി ഒന്നിടവിട്ട് മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു: ലെയ്ബ്നിസ് വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഇതര ശ്രേണിക്ക്, കേവല മൂല്യത്തിലുള്ള പരമ്പരയുടെ ശേഷിക്കുന്നത് ആദ്യം നിരസിച്ച പദത്തിൽ കവിയരുത്.
• തന്നിരിക്കുന്ന ശ്രേണി സ്ഥിരമായ ചിഹ്നമാണെങ്കിൽ, നിരസിച്ച പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ശ്രേണിയെ അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു.
• പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ടെയ്‌ലർ സീരീസിൻ്റെ ബാക്കിയുള്ളവ കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ലഗ്രാഞ്ച് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: a x ).

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള 0.01-ലേക്ക് ln(3) കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം. x=1/2 (മുമ്പത്തെ വിഷയത്തിലെ ഉദാഹരണം 5 കാണുക):

വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ആദ്യ മൂന്ന് നിബന്ധനകൾക്ക് ശേഷം ബാക്കിയുള്ളത് നമുക്ക് നിരസിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുക ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അത് വിലയിരുത്തും:

അതിനാൽ നമുക്ക് ഈ ശേഷിപ്പ് ഉപേക്ഷിച്ച് നേടാം

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള 0.0001 ലേക്ക് കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം. നമുക്ക് ബൈനോമിയൽ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കാം. 5 3 എന്നത് 130 ന് അടുത്തുള്ള ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് ആയതിനാൽ, 130 എന്ന സംഖ്യയെ 130 = 5 3 +5 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതാണ് ഉചിതം.



ലീബ്നിസ് മാനദണ്ഡം പാലിക്കുന്ന ഒന്നിടവിട്ട പരമ്പരയുടെ നാലാമത്തെ ടേം ഇതിനകം ആവശ്യമായ കൃത്യതയേക്കാൾ കുറവായതിനാൽ:
, അതിനാൽ അതും അതിനെ തുടർന്നുള്ള നിബന്ധനകളും ഉപേക്ഷിക്കാവുന്നതാണ്.
ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രായോഗികമായി ആവശ്യമായ പല നിശ്ചിത അല്ലെങ്കിൽ അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ പ്രയോഗം ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഇതിന് പലപ്പോഴും പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഒരു പദപ്രയോഗം ഇല്ല. ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാണ് എന്നതും സംഭവിക്കുന്നു, പക്ഷേ അത് അനാവശ്യമായി അധ്വാനിക്കുന്നതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു പവർ സീരീസായി വികസിപ്പിക്കുകയും സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ ഈ ശ്രേണിയുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ച കൃത്യതയോടെ ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ സാധ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3. ഇൻ്റഗ്രൽ ∫ 0 1 4 sin (x) x മുതൽ 10 -5 വരെ കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം. അനുബന്ധ അനിശ്ചിതത്വ സംയോജനം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത്. ഒരു "ശാശ്വതമല്ലാത്ത അവിഭാജ്യ" ത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. നമുക്ക് ഇൻ്റഗ്രൽ ഏകദേശം കണക്കാക്കാം.
പാപത്തിൻ്റെ പരമ്പരയെ പദം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു xഓൺ x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഈ സീരീസ് പദത്തെ ടേം പ്രകാരം സമന്വയിപ്പിക്കുന്നു (ഇത് സാധ്യമാണ്, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ ഈ ശ്രേണിയുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതിനാൽ), ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സീരീസ് ലെയ്ബ്നിസിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനാൽ തന്നിരിക്കുന്ന കൃത്യതയോടെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് ആദ്യത്തെ രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എടുത്താൽ മതിയാകും.
അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 4. 0.001 കൃത്യതയോടെ ഇൻ്റഗ്രൽ ∫ 0 1 4 e x 2 കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം.
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സീരീസിൻ്റെ രണ്ടാം ടേമിന് ശേഷം ബാക്കിയുള്ളത് ഉപേക്ഷിക്കാനാകുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം.
0.0001<0.001. Следовательно, .

ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേതും ലളിതവുമായ പ്രശ്നം നോക്കും, അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിന് പരമ്പരയെക്കുറിച്ചുള്ള ഏറ്റവും അടിസ്ഥാന അറിവ് ആവശ്യമാണ്, പവർ സീരീസുകളിലേക്കുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വിപുലീകരണ പട്ടികഒരു മൈക്രോ കാൽക്കുലേറ്ററും. ഒരു ഓപ്ഷനായി, Excel ചെയ്യും (അതിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ). കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജോലികൾക്ക് വർദ്ധിച്ച ഏകാഗ്രത ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ നല്ല ശാരീരിക രൂപത്തിലും പുതിയ മനസ്സോടെയും ലേഖനത്തെ സമീപിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു:

2 തരത്തിലുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഗണനയിലുണ്ട്, അത് ഞങ്ങൾ മുമ്പ് നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്, പ്രത്യേകിച്ചും ട്രപസോയ്ഡൽ ഫോർമുലയും സിംപ്‌സൺ രീതിയും ഉപയോഗിച്ച് ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുമ്പോൾ. ടൈപ്പ് ഒന്ന്:

ഉദാഹരണം 1

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ശ്രേണി വിപുലീകരണം ഉപയോഗിച്ച്, സംഖ്യ കണക്കാക്കുക, വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ 5 നിബന്ധനകളിലേക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തുക. ഫലം 0.001 ആയി റൗണ്ട് ചെയ്യുക. ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സമ്പൂർണ്ണ പിശക് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക.

പരിഹാരം: ഒന്നാമതായി, ശരിയായത് തിരഞ്ഞെടുക്കുക ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പട്ടിക വിഘടിപ്പിക്കൽ. വ്യക്തമായും, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ശ്രേണി എടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:
, "x" ൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും കൂടിച്ചേരുന്നു.

അതെന്താണെന്ന് ചുരുക്കത്തിൽ ആവർത്തിക്കാം ഫങ്ഷണൽ സീരീസിൻ്റെ ഒത്തുചേരൽ: കൂടുതൽ നിബന്ധനകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു, കൂടുതൽ കൃത്യതഒരു പോളിനോമിയൽ ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനെ ഏകദേശം കണക്കാക്കും. തീർച്ചയായും, ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു ക്യൂബിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിനോടും ഗ്രാഫിനോടോ സാമ്യമുള്ളതല്ല. ആദർശത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങൾ പരമ്പരയിലെ 50-100 അംഗങ്ങളെ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ചിത്രം സമൂലമായി മാറും. അവസാനമായി, അനന്തമായ ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുമായി പൊരുത്തപ്പെടും.

കുറിപ്പ് : സിദ്ധാന്തത്തിൽ അത്തരമൊരു സമീപനവും നിർവചനവും ഉണ്ട്: ഒരു ഫംഗ്ഷണൽ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഫംഗ്ഷൻ.

സീരീസിൻ്റെ ആദ്യ 5 നിബന്ധനകൾ നിങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കണമെന്ന് വ്യവസ്ഥ നേരിട്ട് പ്രസ്താവിക്കുന്നു, ഫലം 0.001 ആയി റൗണ്ട് ചെയ്യണം. അതിനാൽ ഇവിടെ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല:

ഒരു മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കൂടുതൽ കൃത്യമായ മൂല്യം കണക്കാക്കാം:

സമ്പൂർണ്ണ കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക്:
- ശരി, അത് വളരെ നല്ലതാണ്. എന്നാൽ അത് മെച്ചപ്പെടുന്നു.

ഉത്തരം:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അല്പം വ്യത്യസ്തമായ ജോലി നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 2

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ശ്രേണി വിപുലീകരണം ഉപയോഗിച്ച്, ഏകദേശം 0.001 കൃത്യതയോടെ കണക്കാക്കുക.

! കുറിപ്പ് : ചിലപ്പോൾ വാദം ഡിഗ്രിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ അത് ആവശ്യമാണ് റേഡിയൻസിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക.

"കൃത്യതയോടെ" എന്ന പ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം നമുക്ക് ഓർക്കാം മുമ്പ് 0.001". അതിനർത്ഥം നമ്മുടെ ഉത്തരം സത്യത്തിൽ നിന്ന് 0.001-ൽ കൂടാതെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കണം എന്നാണ്.

പരിഹാരം: ഉപയോഗിക്കുന്നു പട്ടിക വിഘടനം , അനുബന്ധ ശ്രേണിയുടെ നിരവധി നിബന്ധനകൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു, കൂടാതെ "മാർജിൻ" ഉപയോഗിച്ച് റൗണ്ട് ഓഫ് ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത് - 5-6 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ വരെ:

ആവശ്യമായ കൃത്യത കൈവരിക്കുന്നതിന് ശ്രേണിയുടെ എത്ര നിബന്ധനകൾ സംഗ്രഹിക്കണം? ഒത്തുചേരലിനായി ഒന്നിടവിട്ടുള്ള അടയാളങ്ങൾവരികൾ ഇനിപ്പറയുന്ന മാനദണ്ഡം സാധുവാണ്:അംഗങ്ങൾ വരെ സംഗ്രഹിക്കണം മൊഡ്യൂളോ കൂടുതൽവ്യക്തമാക്കിയ കൃത്യത. ആദ്യത്തെ ചെറുത്, മുഴുവൻ "വാലും" ഒന്നിച്ച് നീക്കം ചെയ്യണം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് നാലാമത്തെ അംഗമാണ്: , അതുകൊണ്ടാണ്:

- ആവശ്യമായ കൃത്യതയിലേക്ക് അന്തിമ ഫലത്തിൻ്റെ റൗണ്ടിംഗിനൊപ്പം.

ഉത്തരം: 0.001 വരെ കൃത്യത

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് ഉറപ്പുനൽകുന്നതെന്ന് എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലാകും: ഇവിടെ നെഗറ്റീവ് 4-ആം ടേമിലേക്ക് ചേർത്തിരിക്കുന്നു കുറവ് മൊഡ്യൂളോസംഖ്യ, തുടർന്ന് ഫലത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു അതിലും ചെറുത്നമ്പർ - അങ്ങനെ പരസ്യ അനന്തതയിൽ. ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഡിസൈൻ നനഞ്ഞ ആന്ദോളനങ്ങളുള്ള ഒരു പെൻഡുലത്തോട് സാമ്യമുള്ളതാണ്, അവിടെ ഏറ്റവും വലിയ സ്വിംഗ് നെഗറ്റീവ് ദിശയിലാണ്, മറ്റെല്ലാ ചലനങ്ങളെയും "ഗ്രഹണം" ചെയ്യുന്നു.

വ്യക്തമായും, ഒത്തുചേരലിനായി പോസിറ്റീവ് സീരീസ് (ഏറ്റവും അടുത്ത ഉദാഹരണം ഉദാഹരണം 1)പരിഗണിക്കുന്ന മാനദണ്ഡം തെറ്റാണ്. ആപേക്ഷികമായി പറഞ്ഞാൽ, 0.00034< 0,001, то сумма «хвоста» может запросто превзойти 0,001 (സീരീസിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ). ഞാൻ പിന്നീട് ഈ പ്രശ്നത്തിലേക്ക് മടങ്ങും:

ഉദാഹരണം 3

ഉദാഹരണം 4

അനുബന്ധ വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ആദ്യ രണ്ട് നിബന്ധനകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശം കണക്കാക്കുക. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സമ്പൂർണ്ണ പിശക് കണക്കാക്കുക.

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളാണിവ. തീർച്ചയായും, പരിഹാരത്തിൻ്റെ പുരോഗതി ഫലപ്രദമായി നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് അത് ഉടനടി കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രയോജനകരമാണ്.

പിന്നെ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: കാൽക്കുലേറ്ററുകളും കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉണ്ടെങ്കിൽ എന്തിനാണ് ഇത്തരം പരിഹാസ്യമായ കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യുന്നത്? ഞാൻ ക്ലാസ്സിൽ ഉത്തരത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം കൊടുത്തു ഡിഫറൻഷ്യൽ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ. അധികം താമസിയാതെ, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ അപൂർവമായിരുന്നു, ലിഖിതങ്ങളുള്ള കീകൾ പോലുള്ള ആഡംബരങ്ങളെക്കുറിച്ച് പരാമർശിക്കേണ്ടതില്ല. സൈറ്റിൻ്റെ അതിഥി പുസ്തകത്തിൽ, ഗണിത പട്ടികകളും സ്ലൈഡ് റൂളും ഉപയോഗിച്ച് ഡിപ്ലോമയ്ക്കുള്ള എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും അവൾ എങ്ങനെ നടത്തി എന്നതിൻ്റെ ഓർമ്മകൾ സന്ദർശകരിൽ ഒരാൾ പങ്കിട്ടു. അത്തരം ഉപകരണങ്ങൾ, മെക്കാനിക്കൽ അബാക്കസുകൾക്കൊപ്പം, ഇന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൻ്റെ മ്യൂസിയത്തിൽ മാത്രമേ ഇടം നേടൂ.

സംഗ്രഹം ഇതാണ്: ഞങ്ങൾ കാലഹരണപ്പെട്ട ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുകയാണ്. ഉടനടിയുള്ള പ്രായോഗിക അർത്ഥം അത് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് =) ശരി, കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലെ മറ്റാർക്കെങ്കിലും ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും - മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ച കൃത്യതയോടെയുള്ള ഏകദേശ തുക ഒരു ലൂപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് അൽഗോരിതം ചെയ്തതാണ്. ഫാക്‌ടോറിയൽ കുതിച്ചുചാട്ടത്തിലൂടെ വളരുന്നതിനാൽ ചില പാസ്കൽ വളരെ വേഗത്തിൽ തകരും എന്നത് ശരിയാണ്.

കൂടാതെ, പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുള്ള വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതും പ്രസക്തവുമായ മറ്റൊരു പ്രയോഗമുണ്ട്, എന്നാൽ ഈ രഹസ്യം പാഠ സമയത്ത് വെളിപ്പെടുത്തും;-) അനുമാനങ്ങൾ മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുക, നിങ്ങൾ ഊഹിക്കുകയാണെങ്കിൽ - ബഹുമാനിക്കുക.

കൂടാതെ, നിർദ്ദിഷ്ട ശ്രേണിയുടെ സംയോജന മേഖലയിലേക്ക് ശ്രദ്ധ നഷ്ടപ്പെടരുത്, സൈൻ, കോസൈൻ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എന്നിവയുടെ വികാസം- അതെ, അവ ഏതെങ്കിലും "X" നായി ഒത്തുചേരുന്നു, എന്നാൽ വിശകലനം ചെയ്ത ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒരാളുടെ ജാഗ്രതയെ മന്ദഗതിയിലാക്കരുത്! ഏറ്റവും ലളിതമായ ദൃഷ്ടാന്തം ആർക്റ്റഞ്ചൻ്റും അതിൻ്റെ വികാസവുമാണ് . നമ്മൾ കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പറയുക, മൂല്യം , അപ്പോൾ പരിധിയില്ലാത്ത വളർച്ച ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് (മൊഡ്യൂളോ)ഞങ്ങളെ ഒന്നിലേക്കും നയിക്കാത്ത ഒരു പരമ്പരയിലെ അംഗങ്ങൾ ഫൈനൽ, അതിലുപരിയായി ഒരു ഏകദേശ മൂല്യം. ഈ വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ സംയോജന മേഖലയിൽ ഇത് ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ എല്ലാം.

കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 5

0.01-നുള്ളിൽ കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: കാൽക്കുലേറ്റർ കീകളിൽ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക: . ഒരു സീരീസ് ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എങ്ങനെ നടത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ ചിന്തിക്കുകയാണ്. റൂട്ട് സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഗ്യാരണ്ടീഡ് കൺവെർജൻസ് ഇടവേളയോടെ കാര്യം ദ്വിപദ വിപുലീകരണത്തിലേക്ക് വരുന്നു.

ഈ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങളുടെ റാഡിക്കലിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു:

എല്ലാം ശരിയാകും, പക്ഷേ പരിഗണനയിലുള്ള ബൈനോമിയൽ സീരീസിൻ്റെ സംയോജന മേഖലയിൽ മൂല്യം ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, അതായത്, നിർമ്മാണം കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് അനുയോജ്യമല്ല - മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത അതേ അപകടം സംഭവിക്കും.

ഞാൻ എന്ത് ചെയ്യണം? മൂല്യം ഒന്നുകൂടി നോക്കാം അത് "മൂന്ന്" എന്നതിന് അടുത്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും: . ഒരു അത്ഭുതകരമായ അയൽക്കാരനെ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സാധാരണ പരിവർത്തനം നടത്തുന്നു: റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ നമ്പർ 27 തിരഞ്ഞെടുത്ത് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് കൃത്രിമമായി നീക്കം ചെയ്യുക, തുടർന്ന് റൂട്ടിന് കീഴിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുക:

ഇപ്പോൾ എല്ലാം ടിപ്പ് ടോപ്പാണ്: നമ്പർ കൺവെർജൻസ് ഇടവേളയുടേതാണ്. എന്നാൽ ഒരു "പാർശ്വഫലം" എന്ന നിലയിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യത ശരിയാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഞങ്ങൾ വിപുലീകരണ നിബന്ധനകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഓരോ സംഖ്യയും "മൂന്ന്" കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇക്കാരണത്താൽ, തുടക്കത്തിൽ ആവശ്യമായ 0.01 കൃത്യത മൂന്നിരട്ടി വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്: .

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. പരിശോധിക്കാൻ മറക്കരുത് വിപുലീകരണ പട്ടിക, നമ്മുടെ ഉദാഹരണം ബൈനോമിയൽ എക്സ്പാൻഷൻ്റെ ചില പ്രത്യേക കേസിൽ പെടുന്നില്ലേ എന്ന്. ഇല്ല. നിങ്ങൾ സ്വമേധയാ പ്രവർത്തിക്കണം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

ആവശ്യമായ കൃത്യത കൈവരിക്കാൻ ഇവിടെ (അംഗങ്ങൾ മാറിമാറി തുടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക!)മൂന്ന് പദങ്ങൾ മതിയായിരുന്നു, നാലാമത്തെ രാക്ഷസൻ എണ്ണുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല. എന്നാൽ "കരുതലിൽ" ഞങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരമ്പരയിലെ കൂടുതൽ അംഗങ്ങളെ എഴുതാൻ ശ്രമിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ മടിയനാണെങ്കിൽ, മതിയായ നിബന്ധനകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ മുഴുവൻ ടാസ്ക്കും വീണ്ടും എഴുതും.

ഉത്തരം: 0.001 വരെ കൃത്യത

അതെ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ, തീർച്ചയായും, ഒരു സമ്മാനമല്ല, പക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും….

നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാൻ ഒരേ തീമിലെ ലളിതമായ ഒരു വ്യതിയാനം:

ഉദാഹരണം 6

കണക്കുകൂട്ടുക , പരമ്പരയിലെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങളിലേക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തുക. ഫലം 3 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യുക.

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഒരു സാമ്പിൾ ടാസ്ക്. കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യയിലേക്ക് വീണ്ടും തിരിയാൻ മറക്കരുത്: .

ഒരു വിദ്യാർത്ഥി എല്ലാ ദിവസവും എന്താണ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത്? ലോഗരിതം:

ഉദാഹരണം 7

ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള 0.001 ലേക്ക് കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: ആദ്യം, എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നു: .

വ്യക്തമായും, ഇവിടെ നമ്മൾ വിപുലീകരണം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്

ഇത് ശരിക്കും സാധ്യമാണ്, കാരണം ... ഈ ശ്രേണിയുടെ കൺവേർജൻസ് മേഖലയിൽ മൂല്യം ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

നിർത്തുക. ഇവിടെ എന്തോ കുഴപ്പമുണ്ട്. പരമ്പര ഒത്തുചേരും, എന്നാൽ ഈ നിരക്കിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സമയാവസാനം വരെ വലിച്ചിടാം. അസമത്വത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ശാസ്ത്രീയ പോക്ക്, ഈ അവസാനം ഒരു ഭാഗ്യ സംഖ്യയ്ക്ക് ശേഷം വരുമെന്ന് നിർദ്ദേശിച്ചു .

അങ്ങനെ, പരമ്പര സാവധാനത്തിൽ കൂടിച്ചേരുകയും മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് മാത്രം അനുയോജ്യമാവുകയും ചെയ്യുന്നു, ഇതിൻ്റെ വാദം ഐക്യത്തോട് വളരെ അടുത്താണ്.

പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന വിഘടനം നേടുന്നത് എളുപ്പമാണ്:
ഒത്തുചേരൽ പ്രദേശത്തിനൊപ്പം

എല്ലാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും (ഒന്ന് ഒഴികെ) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം എന്നതാണ് നല്ല കാര്യം. നമുക്ക് ലോഗരിതം ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റാം: ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരീക്ഷ:

"ചാർജ്ജിംഗ്":

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു പ്രശ്നം കണ്ടെത്തി - ഒരു വരി, അത് മാറുന്നു, പോസിറ്റീവ്, അതിനാൽ ഇവിടെ വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയില്ല കൂടാതെ മുഴുവൻ "വാലും" ഉപേക്ഷിക്കുക. അതിൻ്റെ ആകെത്തുക 0.001-ൽ കൂടുതലായാലോ? ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ വിലയിരുത്തൽ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. സംശയാസ്പദമായ വലിയ 3-ാം പദം "എങ്കിലും" നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട്, പരമ്പരയുടെ ബാക്കി ഭാഗം പരിഗണിക്കാം:

സംഖ്യകൾ 9, 11, 13, ... ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ മാറ്റം 7 വഴി - അതുവഴി വർധിക്കുന്നതേയുള്ളൂഅംഗങ്ങൾ, അതിനാൽ ബാക്കി തുകയുടെ മുഴുവൻ തുകയും:

ശാസ്ത്രീയമായി, ഇതിനെ തിരഞ്ഞെടുക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രധാനംഒരു ഒത്തുചേരൽ ശ്രേണി (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി), ഇതിൻ്റെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ് (അല്ലെങ്കിൽ അറിയപ്പെടുന്നത്). പദ്ധതി പൂർത്തീകരിക്കുക മാത്രമല്ല, കവിഞ്ഞു! സീരീസിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും നിരാകരിക്കുന്നതിലൂടെ, 4-ാം തീയതി മുതൽ, 0.00002 ൻ്റെ കൃത്യത ഉറപ്പുനൽകും! എന്നിരുന്നാലും, വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഫലം ഇപ്പോഴും മൂന്ന് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

ഉത്തരം: 0.001 വരെ കൃത്യത

ശരി, നീല ധാർമ്മിക സംതൃപ്തിയുടെ വികാരത്തോടെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ അർത്ഥം പരിശോധിക്കാൻ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.

...അല്ലെങ്കിൽ സാവധാനത്തിൽ ഒത്തുചേരുന്ന ഒരു പരമ്പരയുടെ 12 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കുമോ? =) എന്നിരുന്നാലും, അടുത്ത ടാസ്ക്കിൽ ഈ സാധ്യത ഇനി ലഭ്യമാകില്ല:

ഉദാഹരണം 8

ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള 0.001 ലേക്ക് കണക്കാക്കുക

- പരമ്പരയുടെ സംയോജന ശ്രേണിയിൽ മൂല്യം ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല എന്ന കാരണത്താൽ .

അതിനായി ശ്രമിക്കൂ!

"ഇ" എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലോടെയാണ് ലേഖനം ആരംഭിച്ചത്, ഞങ്ങൾ അത് മറ്റൊരു പ്രശസ്തമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൽ അവസാനിപ്പിക്കും:

ഒരു ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സംഖ്യയുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ

"പൈ" യെ കുറിച്ച് കിലോമീറ്ററുകൾ പേപ്പറിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, ദശലക്ഷക്കണക്കിന് വാക്കുകൾ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ (ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ രസകരമാണ്) ചരിത്രവും സിദ്ധാന്തവും അനുമാനങ്ങളും ഞാൻ നിങ്ങളെ ലോഡ് ചെയ്യില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, വിക്കിപീഡിയയിലേക്ക് റഫർ ചെയ്യുക. . ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് അനന്തമായ ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുണ്ട്: , കൂടാതെ സീരീസ് സിദ്ധാന്തം ഈ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താൻ ഫലപ്രദമായ ഒരു മാർഗ്ഗം നൽകുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്ഷൻ ഒരു പവർ സീരീസിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്നം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഒരു നിശ്ചിത സെഗ്‌മെൻ്റിലെ എല്ലാ ഓർഡറുകളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകട്ടെ, തുടർന്ന് അത് ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഫോമിൻ്റെ ഒരു ശ്രേണിയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാം.

എന്ന് വിളിക്കുന്നത് ടെയ്‌ലറുടെ അടുത്തത്.ഇവിടെ -- നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പർ.

ഔപചാരികമായി, ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കത്തുള്ള ഏത് ഫംഗ്ഷനും ഒരു ടെയ്‌ലർ സീരീസ് എഴുതാം ഏതെങ്കിലും ഓർഡറിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ശ്രേണി ആ മൂല്യങ്ങൾക്കായി മാത്രം സൃഷ്ടിച്ച ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് ഒത്തുചേരും , പരമ്പരയുടെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം പൂജ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

.

ടെയ്‌ലർ സീരീസിൻ്റെ ബാക്കി ഭാഗം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ലാഗ്രാഞ്ച് രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

,

എവിടെ ഇടയിൽ സമാപിച്ചു ഒപ്പം .

എങ്കിൽ
, അപ്പോൾ നമുക്ക് ടെയ്‌ലർ സീരീസിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് ലഭിക്കും, അതിനെ വിളിക്കുന്നു മക്ലൗറിനു സമീപം:

ചില പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി നമുക്ക് Maclaurin സീരീസ് പരിഗണിക്കാം.

ഈ ശ്രേണിയെ ബൈനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം സ്വാഭാവികമാണ്
ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ന്യൂട്ടൻ്റെ ദ്വിപദം ലഭിക്കും.

ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കുള്ള പവർ സീരീസ് അനുബന്ധ ഫംഗ്‌ഷനുകളിലേക്ക് ഒത്തുചേരുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയുന്നു
, ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കുള്ള പവർ സീരീസ്
ഒപ്പം
എപ്പോൾ മാത്രം ഒത്തുചേരുക
.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1.
.

പരിഹാരം.പ്രാരംഭ സൂത്രവാക്യം എന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾ Maclaurin പരമ്പര വിപുലീകരണം എടുക്കുന്നു

പ്രവർത്തനങ്ങൾ
:

.

ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും ഓൺ :

ഉത്തരം:

ടാസ്ക് നമ്പർ 2.ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു പവർ സീരീസ് വിപുലീകരണം എഴുതുക
.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ദ്വിപദ പരമ്പര എഴുതാം

അതിൽ ഒരു പകരം വെക്കുക
:

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം
, ഈ മൂല്യം മുമ്പത്തെ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പവർ സീരീസ് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ, നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ പരിഹാരം എന്നിവയ്ക്കായി ടെയ്‌ലർ ശ്രേണിയുടെ ഉപയോഗം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 3.കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം. ആർക്കും ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല നിലനിർത്തുന്നു:

.

ചെയ്തത് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

Lagrange ഫോമിലെ ശേഷിക്കുന്ന പദം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക് കണക്കാക്കാം:

.

,

എവിടെ ഇടയിൽ കിടക്കുന്നു ഒപ്പം .

ചെയ്തത് നമുക്ക് ഉണ്ട്

,

എവിടെ
.

അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ
, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

.

ചെയ്തത്

ചെയ്തത്

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ കൃത്യത കൈവരിക്കാൻ, അത് എടുത്താൽ മതി
(അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ):

.

ഓരോ പദവും ഒരു അധിക ദശാംശസ്ഥാനം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, അതിനാൽ റൗണ്ടിംഗ് പിശകുകൾ ഞങ്ങളുടെ പിശകിലേക്ക് ചേർക്കപ്പെടില്ല:

ഉത്തരം: 0.0001 കൃത്യതയോടെ
.

ടാസ്ക് നമ്പർ 4.കണക്കാക്കുക
ഏകദേശം 0.0001 കൃത്യതയോടെ.

പരിഹാരം.കണക്കാക്കാൻ
ഞങ്ങൾ ഒരു ബൈനോമിയൽ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കും, അത് എപ്പോൾ മാത്രം ഒത്തുചേരുന്നു
, അതിനാൽ ആദ്യം നമ്മൾ ഈ റൂട്ട് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:

.

ബൈനോമിയൽ പരമ്പരയിൽ ഞങ്ങൾ ഇട്ടു
:

ഈ ആൾട്ടർനേറ്റ് നമ്പർ സീരീസ് ഒരു ലെബ്നിസ് സീരീസാണ്. കണക്കാക്കാൻ സീരീസിൻ്റെ ആദ്യ നിബന്ധനകൾ എത്ര വേണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ
0.0001 കൃത്യതയോടെ, പരമ്പരയിലെ ആദ്യത്തെ കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി കണക്കാക്കുന്നു:

ലെയ്ബ്നിസ് സീരീസിൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ മൂന്ന് പദങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ, റൂട്ടിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള ഏകദേശ മൂല്യത്തിലെ പിശക് കുറവായിരിക്കും.
:

അതിനാൽ,

ഉത്തരം: 0.0001 കൃത്യതയോടെ

ചില പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന്
, ഇതിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ കണക്കാക്കില്ല. അതിനാൽ, ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. എങ്കിൽ
സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഒരു പവർ സീരീസിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും
, പരമ്പരയുടെ സംയോജന മേഖലയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതാണ്, അപ്പോൾ ഇൻ്റഗ്രൽ ഏകദേശം കണക്കാക്കാം. ചിലപ്പോൾ ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ പോലും ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ മതിയാകും. ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, ടെയ്ലർ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 5.
0.01 കൃത്യതയോടെ.

പരിഹാരം.വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഈ ഇൻ്റഗ്രൽ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ചടങ്ങിനുള്ള മക്ലൗറിൻ പരമ്പരയിൽ
ഞങ്ങൾ ഒരു പകരക്കാരനെ ഉണ്ടാക്കും
:

കൺവെർജൻസ് ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഏത് സെഗ്‌മെൻ്റിലും പവർ സീരീസിനെ ടേം അനുസരിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ ശ്രേണി മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും ഒത്തുചേരുന്നു, അതിനാൽ, സെഗ്‌മെൻ്റ് ഉൾപ്പെടെ ഏത് സെഗ്‌മെൻ്റിലും ഇത് സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയും
:

ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ മൂല്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ ശ്രേണി ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു.

നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക് കണക്കാക്കാം. ഈ സീരീസ് ഒരു ലെയ്ബ്നിസ് സീരീസാണ്, അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക് പരമ്പരയുടെ ആദ്യ നിരസിച്ച പദത്തിൻ്റെ കേവല മൂല്യത്തിൽ കവിയുന്നില്ല. അതിനാൽ, ശ്രേണിയുടെ നിബന്ധനകൾ ക്രമത്തിൽ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, നിർദ്ദിഷ്ട കൃത്യതയേക്കാൾ സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം കുറവുള്ള ഒന്നിനെ ഞങ്ങൾ ആദ്യം നിരസിക്കും:

,

.

പിന്നെ 024=0,743.

ഉത്തരം:
0,743.

ടാസ്ക് നമ്പർ 6.നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
0.001 കൃത്യതയോടെ.

പരിഹാരം.ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആയതിനാൽ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ അവിഭാജ്യ കണക്ക് കണക്കാക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.
പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു പവർ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മക്ലൗറിൻ ശ്രേണിയിൽ നമുക്ക് വികാസം എഴുതാം
:

.

ഈ ഫോർമുലയിൽ നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം
:

ഈ സീരീസ് സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ടേം അനുസരിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കാം
:

അതിനാൽ, കണക്കാക്കിയ നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ, ലെയ്ബ്നിസ് മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ നിറവേറ്റുന്ന ഒരു ഇതര സംഖ്യ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്; അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക് പരമ്പരയിലെ നിരസിച്ച നിബന്ധനകളിൽ ആദ്യത്തേതിൻ്റെ മോഡുലസ് കവിയുന്നില്ല.

,
.

അതിനാൽ, നിർദ്ദിഷ്ട കൃത്യത കൈവരിക്കുന്നതിന്, ആദ്യത്തെ 3 നിബന്ധനകൾ ഉപേക്ഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉത്തരം:
.

ടാസ്ക് നമ്പർ 7.. നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
0.001 കൃത്യതയോടെ.

പരിഹാരം.ചടങ്ങിനായി നമുക്ക് Maclaurin പരമ്പര എഴുതാം
.

.

ഫോർമുലയുടെ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ നമുക്ക് വിഭജിക്കാം :

. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പവർ സീരീസ് സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ടേം അനുസരിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയും
.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യാ ശ്രേണി ലെയ്ബ്നിസ് മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച് ഒത്തുചേരുന്നു, അതിനാൽ പ്രഖ്യാപിത കൃത്യതയേക്കാൾ കുറവുള്ള ആദ്യ പദം ഞങ്ങൾ നിരസിക്കുന്നു:

,
.

ഉത്തരം:
.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ പരിഹാരത്തിലേക്ക് പവർ സീരീസിൻ്റെ മറ്റൊരു പ്രയോഗം പരിഗണിക്കാം. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. അനേകം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഒരു പവർ സീരീസായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അത് ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണിയിൽ കൂടിച്ചേരുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടെയ്‌ലർ സീരീസ് ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരമായ ശ്രേണി കണ്ടെത്താനാകും.

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾക്കൊപ്പം ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമായിരിക്കട്ടെ, അതായത്. കൗച്ചി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം വിശദീകരിക്കാം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 8.ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ പവർ സീരീസ് വികാസത്തിൻ്റെ ആദ്യ അഞ്ച് പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

.

പരിഹാരം.ഒരു ശ്രേണിയുടെ രൂപത്തിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും

ഞങ്ങൾ Maclaurin സീരീസ് വിപുലീകരണം തിരഞ്ഞെടുത്തു, കാരണം പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളും പോയിൻ്റിൽ അതിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവും നൽകിയിട്ടുണ്ട്.
. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്
, അതിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് പോയിൻ്റിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്
. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളും പൂജ്യത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവും വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം
പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു:

.

മൂന്നാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം വേർതിരിക്കുന്നു:

.

അത് കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് -- ഇതൊരു ഫംഗ്ഷനാണ്, കൂടാതെ -- സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പോയിൻ്റിലെ മൂന്നാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം
:

നാലാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം നമുക്ക് സമാനമായി കണക്കാക്കാം:

, അഥവാ

കണ്ടെത്തിയ സമത്വത്തിലേക്ക് മൂല്യങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ കണക്കാക്കിയ ഡെറിവേറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളെ മക്ലൗറിൻ ശ്രേണിയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

ഉത്തരം:
.

ടാസ്ക് നമ്പർ 9.ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ പവർ സീരീസ് വികാസത്തിൻ്റെ ആദ്യ നാല് പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക
, പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

.

പരിഹാരം.പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ പോയിൻ്റിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു
, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ടെയ്‌ലർ സീരീസിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു പരിഹാരത്തിനായി നോക്കും:

ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളും അതിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവും പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു പോയിൻ്റിലെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം വേർതിരിച്ചുകൊണ്ട് മൂന്നാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാം:

അഥവാ

.

അപ്പോൾ മൂന്നാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം

ആവശ്യമായ സീരീസ് എഴുതാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു.