ഗ്രാഫുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം. ഗ്രാഫ് പരിവർത്തനങ്ങൾ

ചിത്രങ്ങളും ഫോർമുലകളും ഇല്ലാതെയാണ് സൃഷ്ടിയുടെ വാചകം പോസ്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.
പൂർണ്ണ പതിപ്പ് PDF ഫോർമാറ്റിലുള്ള "വർക്ക് ഫയലുകൾ" ടാബിൽ ജോലി ലഭ്യമാണ്

ആമുഖം

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത് നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ട അടിസ്ഥാന ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് പ്രായോഗിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ പരിവർത്തനം ആദ്യമായി കാണുന്നത് 9-ാം ക്ലാസ്സിലെ ബീജഗണിതത്തിലാണ് " എന്ന വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം" ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ പരിചയപ്പെടുത്തുകയും അടുത്ത ബന്ധത്തിൽ പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും. നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങളും ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്നു ഗ്രാഫിക് രീതികൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, 10-11 ഗ്രേഡുകളിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പഠനം, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും, കുറയുന്നതോ വർദ്ധിക്കുന്നതോ ആയ ഡൊമെയ്‌നുകൾ, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ, സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ മുതലായവ കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. ജിഐഎയിലും വിഷയം അവതരിപ്പിച്ചു. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നത് സ്കൂളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന ജോലികളിലൊന്നാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, നിരവധി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാൻ, നിങ്ങൾക്ക് പ്ലോട്ടിംഗ് എളുപ്പമാക്കുന്ന നിരവധി രീതികൾ ഉപയോഗിക്കാം. മുകളിൽ പറഞ്ഞവ നിർണ്ണയിക്കുന്നു പ്രസക്തിഗവേഷണ വിഷയങ്ങൾ.

പഠന വിഷയംസ്കൂൾ ഗണിതത്തിലെ ഗ്രാഫുകളുടെ പരിവർത്തനം പഠിക്കുക എന്നതാണ്.

പഠന വിഷയം -ഒരു സെക്കൻഡറി സ്കൂളിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്ന പ്രക്രിയ.

പ്രശ്നമുള്ള ചോദ്യം: ഗ്രാഫുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യാനുള്ള വൈദഗ്ദ്ധ്യം നിങ്ങൾക്കുണ്ടെങ്കിൽ അപരിചിതമായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമോ? പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ?

ലക്ഷ്യം:അപരിചിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ പ്ലോട്ടിംഗ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ചുമതലകൾ:

1. പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിദ്യാഭ്യാസ സാമഗ്രികൾ വിശകലനം ചെയ്യുക. 2. ഒരു സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള സ്കീമുകൾ തിരിച്ചറിയുക. 3. ഏറ്റവും കൂടുതൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക ഫലപ്രദമായ രീതികൾഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിനുമുള്ള ഉപകരണങ്ങളും. 4. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഈ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയുക.

ആവശ്യമായ പ്രാഥമിക അറിവ്, കഴിവുകൾ, കഴിവുകൾ:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം അതിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് നിർണ്ണയിക്കുക പലവിധത്തിൽഫംഗ്ഷൻ അസൈൻമെൻ്റുകൾ;

പഠിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക;

ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സ്വഭാവവും സവിശേഷതകളും വിവരിക്കുക, ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക;

വിവിധ ഡിപൻഡൻസികളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള വിവരണങ്ങൾ, അവയെ ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഗ്രാഫുകൾ വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നു.

പ്രധാന ഭാഗം

സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗം

y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രാരംഭ ഗ്രാഫ് ആയി, ഞാൻ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കും y = x 2 . ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കുന്ന ഫോർമുലയിലെ മാറ്റങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ ഗ്രാഫിൻ്റെ പരിവർത്തന കേസുകൾ ഞാൻ പരിഗണിക്കുകയും ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുകയും ചെയ്യും.

1. ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) + a

പുതിയ ഫോർമുലയിൽ, "പഴയ" ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ (ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ) a എന്ന സംഖ്യയാൽ മാറുന്നു. ഇത് OY അക്ഷത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ സമാന്തര കൈമാറ്റത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

ഒരു > 0 ആണെങ്കിൽ മുകളിലേക്ക്; ഒരു എങ്കിൽ താഴേക്ക്< 0.

ഉപസംഹാരം

അങ്ങനെ, y=f(x)+a ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ സമാന്തര വിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് a > 0 ആണെങ്കിൽ യൂണിറ്റുകൾ മുകളിലും ഒരു യൂണിറ്റ് താഴേക്കും ലഭിക്കും. അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ< 0.

2. ഫംഗ്‌ഷൻ y = f(x-a),

പുതിയ ഫോർമുലയിൽ, "പഴയ" ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾ (ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സാസ്) a എന്ന സംഖ്യകൊണ്ട് മാറുന്നു. ഇത് OX അക്ഷത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ സമാന്തര കൈമാറ്റത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: വലത്തേക്ക്, എങ്കിൽ a< 0, влево, если a >0.

ഉപസംഹാരം

ഇതിനർത്ഥം y= f(x - a) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് a > 0 ആണെങ്കിൽ ഇടതുവശത്തുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് abscissa അക്ഷത്തിൽ സമാന്തര വിവർത്തനം വഴി ലഭിക്കുന്നു എന്നാണ്. a എങ്കിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ്< 0.

3. ഫംഗ്ഷൻ y = k f(x), ഇവിടെ k > 0, k ≠ 1

പുതിയ ഫോർമുലയിൽ, "പഴയ" ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ (ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ) k തവണ മാറ്റുന്നു. ഇത് ഇതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: 1) പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് (0; 0) OY അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് k ൻ്റെ ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് "നീട്ടുന്നത്", k > 1, 2 ആണെങ്കിൽ, OY അച്ചുതണ്ടിലൂടെ പോയിൻ്റിലേക്ക് (0; 0) "കംപ്രഷൻ" 0 ആണെങ്കിൽ ഒരു ഘടകം< k < 1.

ഉപസംഹാരം

തൽഫലമായി: y = kf(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഇവിടെ k > 0, k ≠ 1 എന്നിവയ്‌ക്ക്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ y = f(x) k കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരം ഒരു പരിവർത്തനത്തെ OY അക്ഷത്തിൽ k > 1 ആണെങ്കിൽ, പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് (0; 0) വലിച്ചുനീട്ടുന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു; 0 ആണെങ്കിൽ OY അക്ഷസമയത്ത് (0; 0) പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള കംപ്രഷൻ< k < 1.

4. ഫംഗ്ഷൻ y = f(kx), ഇവിടെ k > 0, k ≠ 1

പുതിയ ഫോർമുലയിൽ, "പഴയ" ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾ (ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസാസുകൾ) k തവണ മാറ്റുന്നു. ഇത് ഇതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: 1) പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് (0; 0) OX അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് 1/k മടങ്ങ്, 0 ആണെങ്കിൽ "നീട്ടുന്നത്"< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

ഉപസംഹാരം

അതിനാൽ: y = f(kx) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഇവിടെ k > 0, k ≠ 1 എന്നിവയിൽ, നിങ്ങൾ y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സയെ k കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. . അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തെ OX അക്ഷത്തിൽ (0; 0) പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് 1/k മടങ്ങ് 0 ആണെങ്കിൽ സ്ട്രെച്ചിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. ഫംഗ്ഷൻ y = - f (x).

ഈ ഫോർമുലയിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ (ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ) വിപരീതമാണ്. ഈ മാറ്റം ഓക്സ് അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഫംഗ്ഷൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഗ്രാഫിൻ്റെ സമമിതി പ്രദർശനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരം

y = - f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് y= f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് ആവശ്യമാണ്.

OX അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയിൽ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുക. ഈ പരിവർത്തനത്തെ OX അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള സമമിതി പരിവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

6. ഫംഗ്ഷൻ y = f (-x).

ഈ ഫോർമുലയിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ (ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സ) വിപരീതമാണ്. ഈ മാറ്റം OY അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഫംഗ്ഷൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സമമിതി പ്രദർശനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

y = - x² ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഉദാഹരണം ഈ പരിവർത്തനം ശ്രദ്ധേയമല്ല, കാരണം ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ തുല്യമാണ്, പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം ഗ്രാഫ് മാറില്ല. ഫംഗ്‌ഷൻ വിചിത്രമായിരിക്കുമ്പോഴും അത് ഇരട്ടയോ ഒറ്റയോ അല്ലാത്തപ്പോൾ ഈ പരിവർത്തനം ദൃശ്യമാണ്.

7. ഫംഗ്ഷൻ y = |f(x)|.

പുതിയ ഫോർമുലയിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ (ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ) മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്. ഇത് ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ഓർഡിനേറ്റുകളുള്ള (അതായത്, ഓക്സ് അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ താഴത്തെ അർദ്ധ-തലത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നവ) അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതിനും ഓക്സ് അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഈ ഭാഗങ്ങളുടെ സമമിതി പ്രദർശനത്തിനും കാരണമാകുന്നു.

8. ഫംഗ്ഷൻ y= f (|x|).

പുതിയ ഫോർമുലയിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾ (ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസാസുകൾ) മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്. ഇത് ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് അബ്‌സിസാസുകൾ (അതായത്, OY അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഇടത് അർദ്ധ-തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു) അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതിനും OY അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ യഥാർത്ഥ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനും ഇത് കാരണമാകുന്നു. .

പ്രായോഗിക ഭാഗം

മുകളിലുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.

പരിഹാരം.രൂപാന്തരപ്പെടാം ഈ ഫോർമുല:

1) നമുക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം

ഉദാഹരണം 2.

ഫോർമുല നൽകിയ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക

പരിഹാരം. ഇതിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഈ ഫോർമുല രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദംദ്വിപദത്തിൻ്റെ ചതുരം:

1) നമുക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം

2) ഒരു വെക്റ്ററിലേക്ക് നിർമ്മിച്ച ഗ്രാഫിൻ്റെ സമാന്തര കൈമാറ്റം നടത്തുക

ഉദാഹരണം 3.

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ടാസ്ക് ഒരു പീസ്‌വൈസ് ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുന്നു

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y=|2(x-3)2-2|; 1

തിരികെ മുന്നോട്ട്

ശ്രദ്ധ! സ്ലൈഡ് പ്രിവ്യൂകൾ വിവര ആവശ്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമുള്ളതാണ്, അവ അവതരണത്തിൻ്റെ എല്ലാ സവിശേഷതകളെയും പ്രതിനിധീകരിക്കണമെന്നില്ല. നിങ്ങൾക്കു താത്പര്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ ഈ ജോലി, ദയവായി പൂർണ്ണ പതിപ്പ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക.

പാഠത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം:ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളുടെ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ പാറ്റേണുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

ചുമതലകൾ:

വിദ്യാഭ്യാസപരം:

• സമാന്തര വിവർത്തനം, കംപ്രഷൻ (സ്ട്രെച്ചിംഗ്) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ പഠിപ്പിക്കുക. പല തരംസമമിതി.

വിദ്യാഭ്യാസപരം:

• വിദ്യാർത്ഥികളുടെ വ്യക്തിഗത ഗുണങ്ങൾ (കേൾക്കാനുള്ള കഴിവ്), മറ്റുള്ളവരോടുള്ള നല്ല മനസ്സ്, ശ്രദ്ധ, കൃത്യത, അച്ചടക്കം, ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള കഴിവ് എന്നിവ വളർത്തുക.
• വിഷയത്തിൽ താൽപ്പര്യവും അറിവ് നേടേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയും വളർത്തുക.

വികസനം:

• സ്പേഷ്യൽ ഭാവന വികസിപ്പിക്കുക ഒപ്പം ലോജിക്കൽ ചിന്തവിദ്യാർത്ഥികൾ, പരിസ്ഥിതി വേഗത്തിൽ നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യാനുള്ള കഴിവ്; ബുദ്ധി, വിഭവശേഷി, ട്രെയിൻ മെമ്മറി എന്നിവ വികസിപ്പിക്കുക.

ഉപകരണം:

• മൾട്ടിമീഡിയ ഇൻസ്റ്റാളേഷൻ: കമ്പ്യൂട്ടർ, പ്രൊജക്ടർ.

സാഹിത്യം:

1. ബഷ്മാകോവ്, എം.ഐ. മാത്തമാറ്റിക്സ് [ടെക്സ്റ്റ്]: സ്ഥാപനങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നതിനുള്ള പാഠപുസ്തകം. ബുധനാഴ്ചയും പ്രൊഫ. വിദ്യാഭ്യാസം / എം.ഐ. - 5-ാം പതിപ്പ്. - എം.: പബ്ലിഷിംഗ് സെൻ്റർ "അക്കാദമി", 2012. - 256 പേ.
2. ബാഷ്മാകോവ്, എം.ഐ. മാത്തമാറ്റിക്സ്. പ്രശ്ന പുസ്തകം [ടെക്സ്റ്റ്]: പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള അലവൻസ് സ്ഥാപനങ്ങൾ നേരത്തെ ബുധനാഴ്ചയും പ്രൊഫ. വിദ്യാഭ്യാസം / എം.ഐ. ബാഷ്മാകോവ് - എം.: പബ്ലിഷിംഗ് സെൻ്റർ "അക്കാദമി", 2012. - 416 പേ.

പാഠ പദ്ധതി:

1. സംഘടനാ നിമിഷം (3 മിനിറ്റ്).
2. അറിവ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നു (7 മിനിറ്റ്).
3. പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ വിശദീകരണം (20 മിനിറ്റ്).
4. പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ഏകീകരണം (10 മിനിറ്റ്).
5. പാഠ സംഗ്രഹം (3 മിനിറ്റ്).
6. ഹോം വർക്ക്(2 മിനിറ്റ്).

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

1. സംഘടന. നിമിഷം (3 മിനിറ്റ്).

ഹാജരായവരെ പരിശോധിക്കുന്നു.

പാഠത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം അറിയിക്കുക.

ഈ അളവുകൾ അളക്കുന്ന രീതി മാറ്റുമ്പോൾ, അതായത്, അളക്കൽ സ്കെയിലും റഫറൻസ് പോയിൻ്റും മാറ്റുമ്പോൾ, വേരിയബിൾ അളവുകൾ തമ്മിലുള്ള ആശ്രിതത്വമെന്ന നിലയിൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ ഗണ്യമായി മാറരുത്. എന്നിരുന്നാലും, വേരിയബിൾ അളവുകൾ അളക്കുന്നതിനുള്ള രീതിയുടെ കൂടുതൽ യുക്തിസഹമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് കാരണം, അവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ റെക്കോർഡിംഗ് ലളിതമാക്കാനും ഈ റെക്കോർഡിംഗ് ചില സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാനും സാധാരണയായി സാധ്യമാണ്. ജ്യാമിതീയ ഭാഷയിൽ, മൂല്യങ്ങൾ അളക്കുന്ന രീതി മാറ്റുക എന്നതിനർത്ഥം ഗ്രാഫുകളുടെ ചില ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങളാണ്, അത് നമ്മൾ ഇന്ന് പഠിക്കും.

2. അറിവ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നു (7 മിനിറ്റ്).

ഗ്രാഫ് പരിവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞങ്ങൾ കവർ ചെയ്ത മെറ്റീരിയൽ അവലോകനം ചെയ്യാം.

വാക്കാലുള്ള ജോലി. (സ്ലൈഡ് 2).

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

3. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ വിവരിക്കുക: , , , .

3. പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ വിശദീകരണം (20 മിനിറ്റ്).

ഗ്രാഫുകളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ അവയുടെ സമാന്തര കൈമാറ്റം, കംപ്രഷൻ (സ്ട്രെച്ചിംഗ്), ചില തരത്തിലുള്ള സമമിതി എന്നിവയാണ്. ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (അനുബന്ധം 1), (സ്ലൈഡ് 3).

ഗ്രൂപ്പുകളായി പ്രവർത്തിക്കുക.

ഓരോ ഗ്രൂപ്പും തന്നിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും ചർച്ചയ്ക്കായി ഫലം അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അനുമാനം: ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപീകരണ സമയത്ത് നിങ്ങൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ ചലനം പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാ ഗ്രാഫുകളും പൊതു നിയമങ്ങൾ അനുസരിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ പൊതുവായ നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും, ഇത് നിർമ്മാണത്തെ സുഗമമാക്കുക മാത്രമല്ല വിവിധ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ, മാത്രമല്ല പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും അവ ഉപയോഗിക്കുക.

ലക്ഷ്യം: ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ചലനം പഠിക്കാൻ:

1) സാഹിത്യം പഠിക്കുക എന്നതാണ് ചുമതല

2) വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ പഠിക്കുക

3) ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ പഠിക്കുക

4) പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക

പഠന വിഷയം: ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ

ഗവേഷണ വിഷയം: ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളുടെ ചലനങ്ങൾ

പ്രസക്തി: ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത്, ഒരു ചട്ടം പോലെ, വളരെയധികം സമയമെടുക്കുകയും വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഭാഗത്ത് ശ്രദ്ധ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളും അടിസ്ഥാന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളും പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. , ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ടാസ്‌ക്കുകൾ പൂർത്തിയാക്കാൻ മാത്രമല്ല, അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും (പരമാവധി (ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സമയ ഉയരവും മീറ്റിംഗ് പോയിൻ്റും))

ഈ പദ്ധതി സ്കൂളിലെ എല്ലാ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഉപകാരപ്രദമാണ്.

സാഹിത്യ അവലോകനം:

വിവിധ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും സാഹിത്യം ചർച്ചചെയ്യുന്നു. മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും ഗ്രാഫുകൾ വിവിധ സാങ്കേതിക പ്രക്രിയകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് പ്രക്രിയയുടെ ഒഴുക്ക് കൂടുതൽ വ്യക്തമായി കാണാനും ഫലം പ്രോഗ്രാം ചെയ്യാനും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം. y = b എന്ന ഫോർമുലയാണ് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നത്, ഇവിടെ b എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്. സ്ഥിരമായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അബ്‌സിസ്സയ്ക്ക് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖയാണ്, ഓർഡിനേറ്റിലെ പോയിൻ്റിലൂടെ (0; ബി) കടന്നുപോകുന്നു. y = 0 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് x-അക്ഷമാണ്.

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തരങ്ങൾ 1ഡയറക്ട് ആനുപാതികത. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ y = kx എന്ന ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത്, ഇവിടെ ആനുപാതികതയുടെ ഗുണകം k ≠ 0. നേരിട്ടുള്ള ആനുപാതികതയുടെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ്.

ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ. y = kx + b എന്ന ഫോർമുലയാണ് അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകുന്നത്, ഇവിടെ k, b എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്. ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു നേർരേഖയാണ്.

ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുകയോ സമാന്തരമാകുകയോ ചെയ്യാം.

അങ്ങനെ, രേഖീയ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ വരികൾ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 എന്നിവ k 1 ≠ k 2 ആണെങ്കിൽ വിഭജിക്കുന്നു; k 1 = k 2 ആണെങ്കിൽ, വരികൾ സമാന്തരമാണ്.

2ഇൻവേഴ്സ് ആനുപാതികത എന്നത് ഫോർമുല y = k/x നൽകുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്, ഇവിടെ k ≠ 0. K നെ വിപരീത അനുപാത ഗുണകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വിപരീത അനുപാതത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു ഹൈപ്പർബോളയാണ്.

y = x 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു പരാബോള എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: ഇടവേളയിൽ [-~; 0] പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷൻ y = x 3 മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും വർദ്ധിക്കുകയും ഗ്രാഫിക്കായി ഒരു ക്യൂബിക് പരാബോളയാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണൻ്റോടുകൂടിയ പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ y = x n എന്ന ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത്, ഇവിടെ n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ n-നെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, n = 1 ആണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് ഒരു നേർരേഖയായിരിക്കും (y = x), n = 2 ആണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമായിരിക്കും.

ഒരു നെഗറ്റീവ് ഇൻ്റിഗർ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനെ y = x -n എന്ന ഫോർമുല പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഇവിടെ n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലാ x ≠ 0 നും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഘാതകം n-നെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ. ഈ ഫംഗ്‌ഷനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് y = x r എന്ന ഫോർമുലയാണ്, ഇവിടെ r എന്നത് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഇറഡൂസിബിൾ ഫ്രാക്ഷൻ ആണ്. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.

കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിലെ ആശ്രിതവും സ്വതന്ത്രവുമായ വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പ്രദർശിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ലൈൻ ഗ്രാഫ്. ഗ്രാഫ് ഈ ഘടകങ്ങൾ ദൃശ്യപരമായി പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു

ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ ഏത് മൂല്യവും എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വേരിയബിളാണ് ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ (നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന് അർത്ഥമുള്ളിടത്ത് (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല))

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാൻ

1) VA (സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി) കണ്ടെത്തുക

2) സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിനായി നിരവധി അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുക

3) ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

4) ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലം നിർമ്മിച്ച് അതിൽ ഈ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക

5) അവയുടെ വരികൾ ബന്ധിപ്പിക്കുക, ആവശ്യമെങ്കിൽ, പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ പരിവർത്തനം പരിശോധിക്കുക.

ഗ്രാഫുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു

അവയുടെ ശുദ്ധമായ രൂപത്തിൽ, അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ, നിർഭാഗ്യവശാൽ, അത്ര സാധാരണമല്ല. സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും ഗുണകങ്ങളും ചേർത്ത് അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരം ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ അനുബന്ധ അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിൽ ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറുക). ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ ഫോർമുല ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പരവലയ ഫോർമുലയാണ്, ഓർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മൂന്ന് തവണ കംപ്രസ്സുചെയ്‌ത്, അബ്‌സിസ്സ അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ സമമിതിയായി പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, ഈ അക്ഷത്തിൻ്റെ ദിശയിൽ നിന്ന് 2/3 യൂണിറ്റ് മാറ്റുകയും ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ 2 വഴി മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു. യൂണിറ്റുകൾ.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഘട്ടം ഘട്ടമായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഈ ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങൾ നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം.

f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഫോം ഫോർമുലയുടെ ഏത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെയും ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, അവിടെ ഫോർമുല യഥാക്രമം oy, ox axes എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം കംപ്രഷൻ അല്ലെങ്കിൽ വലിച്ചുനീട്ടുന്ന ഗുണകങ്ങളാണ്, മുന്നിലുള്ള മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങൾ. ഫോർമുലയുടെയും ഫോർമുല കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെയും കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗ്രാഫിൻ്റെ സമമിതി പ്രദർശനം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, a, b എന്നിവ യഥാക്രമം abscissa, ordinate axes എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഷിഫ്റ്റ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ മൂന്ന് തരം ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്:

അബ്‌സിസ്സ, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം സ്കെയിലിംഗ് (കംപ്രഷൻ അല്ലെങ്കിൽ സ്ട്രെച്ചിംഗ്) ആണ് ആദ്യ തരം.

സ്കെയിലിംഗിൻ്റെ ആവശ്യകത, സംഖ്യ 1-ൽ കുറവാണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് കംപ്രസ്സുചെയ്യുകയും, സംഖ്യ 1-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ നീട്ടുകയും ചെയ്യുന്നു; കൂടാതെ abscissa അക്ഷത്തിൽ കംപ്രസ് ചെയ്യുക.

രണ്ടാമത്തെ തരം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സമമിതി (കണ്ണാടി) ഡിസ്പ്ലേയാണ്.

ഈ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ആവശ്യകത സൂത്രവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾക്ക് മുന്നിലുള്ള മൈനസ് ചിഹ്നങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ കാള അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഗ്രാഫ് സമമിതിയായി പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു) ഫോർമുലയും (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഓയ്യെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫ് സമമിതിയായി പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു. അച്ചുതണ്ട്). മൈനസ് അടയാളങ്ങളൊന്നും ഇല്ലെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടം ഒഴിവാക്കും.