സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം. രേഖീയ അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുന്നു

അനുവദിക്കുക f(x,y)ഒപ്പം g(x, y)- വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങൾ എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്വ്യാപ്തിയും എക്സ്. അപ്പോൾ രൂപത്തിൻ്റെ അസമത്വങ്ങൾ f(x, y) > g(x, y)അഥവാ f(x, y) < g(x, y)വിളിച്ചു രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള അസമത്വം .

വേരിയബിളുകളുടെ അർത്ഥം x, yപലരിൽ നിന്നും എക്സ്, അസമത്വം യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമായി മാറുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു തീരുമാനം നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (x, y). അസമത്വം പരിഹരിക്കുക - ഇതിനർത്ഥം അത്തരം നിരവധി ജോഡികളെ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

ഓരോ ജോഡി സംഖ്യകളുമാണെങ്കിൽ (x, y)അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക M(x, y), ഈ അസമത്വം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വിമാനത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സെറ്റ് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു. അവൻ വിളിക്കപ്പെടുന്നു ഈ അസമത്വത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് . ഒരു അസമത്വത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് സാധാരണയായി ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു പ്രദേശമാണ്.

അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ചിത്രീകരിക്കാൻ f(x, y) > g(x, y), ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക. ആദ്യം, അസമത്വ ചിഹ്നം തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സമവാക്യം ഉള്ള ഒരു വരി കണ്ടെത്തുക f(x,y) = g(x,y). ഈ ലൈൻ വിമാനത്തെ പല ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, ഓരോ ഭാഗത്തിലും ഒരു പോയിൻ്റ് എടുത്ത് ഈ ഘട്ടത്തിൽ അസമത്വം തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിച്ചാൽ മതിയാകും. f(x, y) > g(x, y). ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഇത് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്താൽ, ഈ പോയിൻ്റ് കിടക്കുന്ന മുഴുവൻ ഭാഗത്തും അത് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യും. അത്തരം ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും.

ടാസ്ക്. വൈ > x.

പരിഹാരം.ആദ്യം, ഞങ്ങൾ അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സമവാക്യം ഉള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ലൈൻ നിർമ്മിക്കുന്നു. വൈ = x.

ഈ ലൈൻ വിമാനത്തെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, ഓരോ ഭാഗത്തിലും ഒരു പോയിൻ്റ് എടുത്ത് ഈ ഘട്ടത്തിൽ അസമത്വം തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക വൈ > x.

ടാസ്ക്.അസമത്വം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക
എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 £25.

അരി. 18.

പരിഹാരം.ആദ്യം, അസമത്വ ചിഹ്നം തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി ഒരു വര വരയ്ക്കുക എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 = 25. ഇത് ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് ഒരു കേന്ദ്രവും 5 ൻ്റെ ആരവും ഉള്ള ഒരു വൃത്തമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വൃത്തം വിമാനത്തെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അസമത്വത്തിൻ്റെ സംതൃപ്തി പരിശോധിക്കുന്നു എക്സ് 2 + ചെയ്തത്ഓരോ ഭാഗത്തിലും 2 £ 25, ഗ്രാഫ് ഒരു സർക്കിളിലെ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകളും സർക്കിളിനുള്ളിലെ ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ ഭാഗങ്ങളും ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ നൽകട്ടെ എഫ് 1(x, y) > ജി 1(x, y)ഒപ്പം എഫ് 2(x, y) > ജി 2(x, y).

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള അസമത്വങ്ങളുടെ ഗണങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ

അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ആണ് സ്വയം ഈ അസമത്വങ്ങളുടെ സംയോജനം. സിസ്റ്റം പരിഹാരം എല്ലാ അർത്ഥവുമാണ് (x, y), ഓരോ അസമത്വങ്ങളെയും ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു. നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ സംവിധാനങ്ങൾ അസമത്വങ്ങൾ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥയെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം വിഭജനമാണ്.

അസമത്വങ്ങളുടെ കൂട്ടം ആണ് സ്വയം ഇവയുടെ വിച്ഛേദനം അസമത്വങ്ങൾ മൊത്തത്തിലുള്ള പരിഹാരത്തിലൂടെ എല്ലാ അർത്ഥവുമാണ് (x, y), ഇത് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തെയെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു. നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ സമഗ്രത ഒരു കൂട്ടം രൂപപ്പെടുന്ന അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്.

ടാസ്ക്.അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം. y = xഒപ്പം എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 = 25. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ അസമത്വവും ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് വിമാനത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സെറ്റ് ആയിരിക്കും, അത് ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ സെറ്റുകളുടെ കവല (ഇരട്ട ഹാച്ചിംഗ്) ആണ്.

ടാസ്ക്.ഒരു കൂട്ടം അസമത്വങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം.ആദ്യം, ഞങ്ങൾ അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ വരകൾ വരയ്ക്കുന്നു y = x+ 4 ഒപ്പം എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 = 16. ജനസംഖ്യയിലെ ഓരോ അസമത്വവും പരിഹരിക്കുക. ജനസംഖ്യയുടെ ഗ്രാഫ് വിമാനത്തിലെ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകളായിരിക്കും, അവ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം.

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ

1. അസമത്വങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക: a) ചെയ്തത്> 2x; b) ചെയ്തത്< 2x + 3;

വി) x 2+ വൈ 2 > 9; ജി) x 2+ വൈ 2 £4.

2. അസമത്വങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കലി സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

a) b)

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന മാർഗ്ഗങ്ങളിലൊന്നാണ് ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി. ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം അവതരിപ്പിക്കും, തുടർന്ന് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക.

ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിയുടെ സാരാംശം

ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവ മാത്രമല്ല, ഏതെങ്കിലും അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഈ രീതി ബാധകമാണ്. അതിൻ്റെ സാരാംശം ഇതാണ്: അസമത്വത്തിൻ്റെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങൾ y = f (x), y = g (x) എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഫംഗ്ഷനുകളായി കണക്കാക്കുന്നു, അവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും ഗ്രാഫുകളിൽ ഏതാണ് എന്ന് നോക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. മറ്റൊന്നിന് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, ഏത് ഇടവേളകളിൽ. ഇടവേളകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

നിർവ്വചനം 1

• അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ f (x) > g (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് g ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനേക്കാൾ ഉയർന്ന ഇടവേളകളാണ്;
• അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ f (x) ≥ g (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് g ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനേക്കാൾ കുറവല്ലാത്ത ഇടവേളകളാണ്;
• അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ f (x) ≤ g (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് g ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ലാത്ത ഇടവേളകളാണ്;
• f, g ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ f (x) = g (x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളാണ്.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് മുകളിലുള്ള അൽഗോരിതം നോക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം a x 2 + b x + c എടുക്കുക< 0 (≤ , >, ≥) കൂടാതെ അതിൽ നിന്ന് രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ നേടുക. അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം y = a · x 2 + b · x + c (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ f (x) = a · x 2 + b · x + c), വലതു വശം y = 0 ( ഈ സാഹചര്യത്തിൽ g (x) = 0).

ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് ഒരു നേർരേഖയാണ്, ഇത് x-അക്ഷം O x മായി യോജിക്കുന്നു. O x അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പരവലയത്തിൻ്റെ സ്ഥാനം നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം.

പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് O x അക്ഷത്തെ പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു x 1ഒപ്പം x 2. കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എ ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽപോസിറ്റീവ്, കാരണം പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ ദിശയ്ക്ക് ഉത്തരവാദി അവനാണ്. വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്, ഇത് രണ്ട് വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദംa x 2 + b x + c. ത്രിപദത്തിൻ്റെ വേരുകളെ ഞങ്ങൾ ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു x 1ഒപ്പം x 2, അത് അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടു x 1< x 2 , O x അക്ഷത്തിൽ ഒരു അബ്‌സിസ്സ ഉള്ള ഒരു ബിന്ദു ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ x 1 abscissa പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് x 2.

O x അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന പരാബോളയുടെ ഭാഗങ്ങൾ ചുവപ്പിലും താഴെ - നീലയിലും സൂചിപ്പിക്കും. ഡ്രോയിംഗ് കൂടുതൽ ദൃശ്യമാക്കാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

ഈ ഭാഗങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സ്‌പെയ്‌സുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവയെ ഒരു നിശ്ചിത നിറത്തിൻ്റെ ഫീൽഡുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം.

ഞങ്ങൾ ഇടവേളകൾ (− ∞, x 1) ഒപ്പം (x 2, + ∞) ചുവപ്പിൽ അടയാളപ്പെടുത്തി, അവയിൽ പരവലയം O x അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ്. അവ a · x 2 + b · x + c > 0 ആണ്. ഞങ്ങൾ ഇടവേള (x 1 , x 2) നീല നിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തി, ഇത് അസമത്വത്തിന് പരിഹാരമാണ് a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഒരു ഹ്രസ്വ സംഗ്രഹം ഉണ്ടാക്കാം. a > 0, D = b 2 - 4 a c > 0 (അല്ലെങ്കിൽ D " = D 4 > 0 ഒരു ഇരട്ട ഗുണകത്തിന് b) നമുക്ക് ലഭിക്കും:

• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം a x 2 + b x + c > 0 (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x< x 1 , x >x2;
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം a · x 2 + b · x + c ≥ 0 ആണ് (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം a x 2 + b x + c ≤ 0 ആണ് [ x 1 , x 2 ] അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

ഇവിടെ x 1 ഉം x 2 ഉം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ a x 2 + b x + c, x 1 എന്നിവയുടെ വേരുകളാണ്< x 2 .

ഈ ചിത്രത്തിൽ, പരാബോള O x അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നത് ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രമാണ്, അത് നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു x 0 a > 0. D=0അതിനാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട് x 0.

കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സ്പർശന പോയിൻ്റ് ഒഴികെ, പരാബോള ഒ x അക്ഷത്തിന് പൂർണ്ണമായും മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. നമുക്ക് ഇടവേളകൾക്ക് നിറം നൽകാം (-∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

ഫലങ്ങൾ എഴുതാം. ചെയ്തത് a > 0ഒപ്പം D=0:

• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു a x 2 + b x + c > 0(− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x ≠ x 0;
• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു a x 2 + b x + c ≥ 0ആണ് (− ∞ , + ∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x ∈ R;
• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വം a x 2 + b x + c< 0 പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല (അക്ഷത്തിന് താഴെയായി പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകളൊന്നുമില്ല O x);
• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വം a x 2 + b x + c ≤ 0ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് x = x 0(ഇത് കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റ് വഴി നൽകിയിരിക്കുന്നു)

എവിടെ x 0- സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ റൂട്ട് a x 2 + b x + c.

പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുകയും അച്ചുതണ്ടിൽ തൊടാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ മൂന്നാമത്തെ കേസ് പരിഗണിക്കാം. O x. പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത് a > 0. സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല കാരണം ഡി< 0 .

ഗ്രാഫിൽ പരവലയം x-അക്ഷത്തിന് താഴെയുള്ള ഇടവേളകളൊന്നുമില്ല. ഞങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗിനായി ഒരു നിറം തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇത് കണക്കിലെടുക്കും.

എപ്പോൾ എന്ന് മാറുന്നു a > 0ഒപ്പം ഡി< 0 ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു a x 2 + b x + c > 0ഒപ്പം a x 2 + b x + c ≥ 0എല്ലാവരുടെയും ഗണമാണ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, അസമത്വങ്ങൾ a x 2 + b x + c< 0 ഒപ്പം a x 2 + b x + c ≤ 0പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടുമ്പോൾ പരിഗണിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകൾ അവശേഷിക്കുന്നു. ഈ മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകളെക്കുറിച്ച് വിശദമായി ചിന്തിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും − 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, x 2 ൻ്റെ പോസിറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള തുല്യമായ അസമത്വം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ലേഖനത്തിൻ്റെ മുൻ വിഭാഗത്തിൻ്റെ പരിഗണന ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങളെ തയ്യാറാക്കി. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ, ഓരോ തവണയും ഞങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് O x എന്ന കോർഡിനേറ്റ് ലൈൻ, പരവലയം എന്നിവ ചിത്രീകരിക്കും. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനം y = a x 2 + b x + c. മിക്ക കേസുകളിലും, ഞങ്ങൾ O y അക്ഷം ചിത്രീകരിക്കില്ല, കാരണം ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ആവശ്യമില്ല, മാത്രമല്ല ഇത് ഡ്രോയിംഗ് ഓവർലോഡ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യും.

ഒരു പരാബോള നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്:

നിർവ്വചനം 2

• ശാഖകളുടെ ദിശ, അത് ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു a;
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനാധികാരത്തിൻ്റെ മൂല്യത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന പരാബോളയുടെയും അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ സാന്നിധ്യം a · x 2 + b · x + c .

വിഭജനത്തിൻ്റെയും സ്പർശനത്തിൻ്റെയും പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും സാധാരണ രീതിയിൽകർശനമല്ലാത്ത അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, കർശനമായവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ശൂന്യമാണ്.

പൂർത്തിയാക്കിയ ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരത്തിൻ്റെ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. O x അക്ഷത്തിന് മുകളിലോ താഴെയോ പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. വിഭജനത്തിൻ്റെ ഇടവേളകളും പോയിൻ്റുകളും ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. വിഭജനത്തിൻ്റെയോ സ്പർശനത്തിൻ്റെയോ പോയിൻ്റുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ ഇടവേളകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്ന് കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് നിരവധി ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

അസമത്വം 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാം. ഗുണകം x 2പോസിറ്റീവ് കാരണം അത് തുല്യമാണ് 2 . ഇതിനർത്ഥം പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടും എന്നാണ്.

പരവലയത്തിന് അബ്‌സിസ്സ അക്ഷവുമായി പൊതുവായ പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 എന്ന വിവേചനം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, D പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് രണ്ട് കവല പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2, x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, അതായത്, x 1 = - 3ഒപ്പം x 2 = 1 3.

ഞങ്ങൾ കർശനമല്ലാത്ത അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫിൽ സാധാരണ പോയിൻ്റുകൾ ഇടുന്നു. നമുക്ക് ഒരു പരവലയം വരയ്ക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഡ്രോയിംഗിന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ച ആദ്യ ടെംപ്ലേറ്റിലെ അതേ രൂപമുണ്ട്.

നമ്മുടെ അസമത്വത്തിന് ≤ എന്ന അടയാളമുണ്ട്. അതിനാൽ, O x അക്ഷത്തിന് താഴെയായി പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഗ്രാഫിലെ ഇടവേളകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുകയും അവയിലേക്ക് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ ചേർക്കുകയും വേണം.

നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള ഇടവേള 3, 1 3 ആണ്. ഞങ്ങൾ അതിലേക്ക് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ ചേർക്കുകയും ഒരു സംഖ്യാ സെഗ്മെൻ്റ് - 3, 1 3 നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇതാണ് നമ്മുടെ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം. നിങ്ങൾക്ക് ഫോമിൽ ഉത്തരം എഴുതാം ഇരട്ട അസമത്വം: - 3 ≤ x ≤ 1 3 .

ഉത്തരം:− 3 , 1 3 അല്ലെങ്കിൽ - 3 ≤ x ≤ 1 3 .

ഉദാഹരണം 2

- x 2 + 16 x - 63< 0 ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി.

പരിഹാരം

വേരിയബിളിൻ്റെ ചതുരത്തിന് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യാ ഗുണകം ഉണ്ട്, അതിനാൽ പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടും. വിവേചനത്തിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം D " = 8 2 - (- 1) · (- 63) = 64 - 63 = 1. വിഭജനത്തിൻ്റെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടാകുമെന്നാണ് ഈ ഫലം നമ്മോട് പറയുന്നത്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: x 1 = - 8 + 1 - 1, x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 ഒപ്പം x 2 = 9.

പരവലയം x-ആക്സിസിനെ പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു 7 ഒപ്പം 9 . ഞങ്ങൾ കർശനമായ അസമത്വത്തോടെ പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനാൽ ഗ്രാഫിൽ ഈ പോയിൻ്റുകൾ ശൂന്യമായി അടയാളപ്പെടുത്താം. ഇതിനുശേഷം, അടയാളപ്പെടുത്തിയ പോയിൻ്റുകളിൽ O x അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്ന ഒരു പരാബോള വരയ്ക്കുക.

O x അക്ഷത്തിന് താഴെയായി പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും. ഈ ഇടവേളകൾ നീല നിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം.

നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നു: അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേളകളാണ് (-∞, 7) , (9, + ∞) .

ഉത്തരം:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x< 7 , x > 9 .

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനം പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഉത്തരത്തിൽ സ്പർശന ബിന്ദുക്കളുടെ അബ്സിസ്സ ഉൾപ്പെടുത്തണമോ എന്ന് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. സ്വീകരിക്കാൻ വേണ്ടി ശരിയായ പരിഹാരം, അസമത്വ ചിഹ്നം കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. കർശനമായ അസമത്വങ്ങളിൽ, x-അക്ഷത്തിൻ്റെ സ്പർശനബിന്ദു അസമത്വത്തിന് ഒരു പരിഹാരമല്ല, എന്നാൽ കർശനമല്ലാത്തവയിൽ അത്.

ഉദാഹരണം 3

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുക 10 x 2 - 14 x + 4, 9 ≤ 0ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി.

പരിഹാരം

ഈ കേസിൽ പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടും. അത് പോയിൻ്റ് 0, 7 ൽ O x അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കും

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം y = 10 x 2 - 14 x + 4, 9. ഗുണകം മുതൽ അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു x 2പോസിറ്റീവ്, അത് x-ആക്സിസ് പോയിൻ്റിലെ x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു 0 , 7 , കാരണം D " = (- 7) 2 - 10 4, 9 = 0, എവിടെ നിന്ന് x 0 = 7 10 അല്ലെങ്കിൽ 0 , 7 .

നമുക്ക് ഒരു പോയിൻ്റ് ഇട്ട് ഒരു പരവലയം വരയ്ക്കാം.

≤ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കർശനമല്ലാത്ത അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട്. x-അക്ഷത്തിനും സ്പർശനബിന്ദുവിനും താഴെയായി പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും. ഞങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഇടവേളകളൊന്നും ചിത്രത്തിൽ ഇല്ല. കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റ് 0, 7 മാത്രമേയുള്ളൂ. ഇതാണ് ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്ന പരിഹാരം.

ഉത്തരം:അസമത്വത്തിന് 0, 7 എന്ന ഒറ്റ പരിഹാരമേ ഉള്ളൂ.

ഉദാഹരണം 4

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുക – x 2 + 8 x - 16< 0 .

പരിഹാരം

പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കുന്നു. വിവേചനം പൂജ്യമാണ്. ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് x 0 = 4.

ഞങ്ങൾ x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ഒരു പരവലയം വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

കടുത്ത അസമത്വമാണ് നമ്മൾ നേരിടുന്നത്. തൽഫലമായി, O x അക്ഷത്തിന് താഴെയായി പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. നമുക്ക് അവയെ നീല നിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം.

abscissa 4 ഉള്ള പോയിൻ്റ് ഒരു പരിഹാരമല്ല, കാരണം അതിലെ പരവലയം O x അക്ഷത്തിന് താഴെയല്ല. തൽഫലമായി, നമുക്ക് രണ്ട് ഇടവേളകൾ ലഭിക്കുന്നു (-∞ , 4) , (4 , + ∞) .

ഉത്തരം: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x ≠ 4.

എപ്പോഴും കൂടെയല്ല നെഗറ്റീവ് മൂല്യംവിവേചനപരമായ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളുണ്ടാകില്ല. എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ് പരിഹാരം ആയിരിക്കുമ്പോൾ കേസുകളുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 5

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം 3 x 2 + 1 > 0 ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം

കോ എഫിഷ്യൻ്റ് എ പോസിറ്റീവ് ആണ്. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടും. O x അക്ഷവുമായി പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല. നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം.

ഞങ്ങൾ കർശനമായ അസമത്വത്തോടെയാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്, അതിന് ഒരു > അടയാളമുണ്ട്. x-അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഉത്തരം എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമായിരിക്കുമ്പോൾ ഇത് കൃത്യമായി സംഭവിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:(− ∞, + ∞) അല്ലെങ്കിൽ x ∈ R.

ഉദാഹരണം 6

അസമത്വത്തിന് പരിഹാരം കാണേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ് − 2 x 2 - 7 x - 12 ≥ 0ഗ്രാഫിക്കായി.

പരിഹാരം

പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കുന്നു. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ പരവലയത്തിനും x-അക്ഷത്തിനും ഇടയിൽ പൊതുവായ പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല. നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം.

≥ എന്ന ചിഹ്നത്തോടുകൂടിയ കർശനമല്ലാത്ത അസമത്വത്തോടെയാണ് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നത്, അതിനാൽ, x-അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ പരവലയം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഇടവേളകൾ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ളതാണ്. ഗ്രാഫ് അനുസരിച്ച്, അത്തരം വിടവുകളൊന്നുമില്ല. പ്രശ്നസാഹചര്യങ്ങളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഉത്തരം:പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

സ്റ്റാവ്രോപോൾ ടെറിട്ടറിയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ മന്ത്രാലയവും യുവജന നയവും

സംസ്ഥാന ബജറ്റ് പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം

ജോർജിവ്സ്ക് റീജിയണൽ കോളേജ് "ഇൻ്റഗ്രൽ"

വ്യക്തിഗത പദ്ധതി

"ഗണിതശാസ്ത്രം: ബീജഗണിതം, ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലന തത്വങ്ങൾ, ജ്യാമിതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ

വിഷയത്തിൽ: "സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം"

സ്പെഷ്യാലിറ്റിയിൽ പഠിക്കുന്ന പികെ -61 ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു വിദ്യാർത്ഥി പൂർത്തിയാക്കി

"കമ്പ്യൂട്ടർ സിസ്റ്റങ്ങളിലെ പ്രോഗ്രാമിംഗ്"

സെല്ലർ തിമൂർ വിറ്റാലിവിച്ച്

തല: അധ്യാപകൻ സെർകോവ എൻ.എ.

ഡെലിവറി തീയതി:"" 2017

പ്രതിരോധ തീയതി:"" 2017

ജോർജീവ്സ്ക് 2017

വിശദീകരണ കുറിപ്പ്

പദ്ധതിയുടെ ലക്ഷ്യം:

ലക്ഷ്യം: സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിയുടെ ഗുണങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

ചുമതലകൾ:

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിശകലന, ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക.

ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിക്ക് ഗുണങ്ങളുള്ളതെന്ന് കണ്ടെത്തുക.

മോഡുലസും പാരാമീറ്ററും ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുക.

ഗവേഷണത്തിൻ്റെ പ്രസക്തി: സമർപ്പിക്കപ്പെട്ട മെറ്റീരിയലിൻ്റെ വിശകലനം ഗ്രാഫിക് പരിഹാരംഈ വിഷയം പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത് വ്യത്യസ്ത രചയിതാക്കൾ "ആൾജിബ്രയും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും" എന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളിലെ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും. പരിഗണനയിലുള്ള വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിർബന്ധിത പഠന ഫലങ്ങളും.

ഉള്ളടക്കം

ആമുഖം

1. പരാമീറ്ററുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ

1.1 നിർവചനങ്ങൾ

1.2 പരിഹാര അൽഗോരിതം

1.3 ഉദാഹരണങ്ങൾ

2. പരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള അസമത്വങ്ങൾ

2.1 നിർവചനങ്ങൾ

2.2 പരിഹാര അൽഗോരിതം

2.3 ഉദാഹരണങ്ങൾ

3. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

3.1. ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം

3.2. സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ

3.3. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ

4. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രയോഗം

5. ഉപസംഹാരം

6. റഫറൻസുകൾ

ആമുഖം

പലരെയും പഠിക്കുന്നു ശാരീരിക പ്രക്രിയകൾജ്യാമിതീയ പാറ്റേണുകൾ പലപ്പോഴും പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ചില സർവ്വകലാശാലകൾ പരീക്ഷ പേപ്പറുകളിൽ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും അവയുടെ സംവിധാനങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അവ പലപ്പോഴും വളരെ സങ്കീർണ്ണവും പരിഹാരത്തിന് നിലവാരമില്ലാത്ത സമീപനം ആവശ്യമാണ്. സ്‌കൂളിൽ, സ്‌കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് കോഴ്‌സിൻ്റെ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നായ ഇത് കുറച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട ക്ലാസുകളിൽ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ.

പാചകം ഈ ജോലി, ഈ വിഷയത്തിൻ്റെ ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം ഞാൻ വെച്ചു, ഏറ്റവും കൂടുതൽ തിരിച്ചറിയുന്നു യുക്തിസഹമായ തീരുമാനം, പെട്ടെന്ന് ഒരു ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി സൗകര്യപ്രദമാണ് വേഗതയേറിയ രീതിയിൽപാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നു.

എൻ്റെ പ്രോജക്റ്റ് പതിവായി നേരിടുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും അവയുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും പരിശോധിക്കുന്നു.

1. പരാമീറ്ററുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ

1. അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ

സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, ..., k, x), (1)

ഇവിടെ a, b, c, ..., k, x എന്നിവ വേരിയബിൾ അളവുകളാണ്.

വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും സിസ്റ്റം

a = a 0 , ബി = ബി 0 , സി = സി 0 ,…, k = k 0 , x = x 0 ,

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നതിനെ ഒരു സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങൾവേരിയബിളുകൾ a, b, c, ..., k, x. A എന്നത് a യുടെ എല്ലാ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗണമായിരിക്കട്ടെ, B എന്നത് b മുതലായവയുടെ സ്വീകാര്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗണമായിരിക്കട്ടെ, X എന്നത് x ൻ്റെ എല്ലാ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗണമായിരിക്കട്ടെ, അതായത്. aA, bB, ..., xX. A, B, C, ..., K ഓരോ സെറ്റുകൾക്കും ഞങ്ങൾ യഥാക്രമം a, b, c, ..., k എന്ന ഒരു മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുത്ത് പരിഹരിക്കുകയും അവയെ സമവാക്യം (1) ആക്കി മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, നമുക്ക് x ന് ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും, അതായത് ഒരു അജ്ഞാതവുമായുള്ള സമവാക്യം.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്ഥിരമായി കണക്കാക്കുന്ന a, b, c, ..., k എന്നീ വേരിയബിളുകളെ പരാമീറ്ററുകൾ എന്നും സമവാക്യത്തെ തന്നെ പരാമീറ്ററുകൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

പാരാമീറ്ററുകൾ ആദ്യ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാല: a, b, c, d, ..., k, l, m, n കൂടാതെ അജ്ഞാതർ - x, y, z എന്നീ അക്ഷരങ്ങളാൽ.

പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം പാരാമീറ്ററുകളുടെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് പരിഹാരങ്ങൾ നിലനിൽക്കുന്നതെന്നും അവ എന്താണെന്നും സൂചിപ്പിക്കുക എന്നാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ ഒരേ പാരാമീറ്ററുകൾ അടങ്ങുന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെ തുല്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു:

a) ഒരേ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾക്ക് അവ അർത്ഥമാക്കുന്നു;

b) ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ പരിഹാരവും രണ്ടാമത്തേതിന് ഒരു പരിഹാരമാണ്, തിരിച്ചും.

1. പരിഹാര അൽഗോരിതം

സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക.

x ൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി ഞങ്ങൾ a പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

xOa കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ a=(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

a=c എന്ന നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അവിടെ c(-;+) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ a=(x) ഗ്രാഫിനൊപ്പം. a=c എന്ന നേർരേഖ ഗ്രാഫിനെ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ a=( x), തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, x എന്നതിന് a=(x) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ചാൽ മതി.

ഞങ്ങൾ ഉത്തരം എഴുതുന്നു.

1. ഉദാഹരണങ്ങൾ

I. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

(1)

പരിഹാരം.

x=0 സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് അല്ലാത്തതിനാൽ, ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

അഥവാ

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് രണ്ട് "ഗ്ലൂഡ്" ഹൈപ്പർബോളുകളാണ്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് നിർമ്മിത രേഖയുടെയും y=a എന്ന നേർരേഖയുടെയും കവല പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

a  (-;-1](1;+) എങ്കിൽ, y=a എന്ന നേർരേഖ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ (1) ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ ബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa നമ്മൾ കണ്ടെത്തും. x-ന്.

അങ്ങനെ, ഈ ഇടവേളയിൽ, (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്.

a  ആണെങ്കിൽ, y=a എന്ന നേർരേഖ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ (1) രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്താം, നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഒപ്പം.

a  ആണെങ്കിൽ, y=a എന്ന നേർരേഖ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1) ഗ്രാഫിനെ ഖണ്ഡിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം:

ഒരു  (-;-1](1;+) എങ്കിൽ;

ഒരു  എങ്കിൽ, പിന്നെ;

ഒരു  എങ്കിൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

II. സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുള്ള പരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഫോമിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുകയും ഒരു ജോടി ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്‌താൽ, a എന്ന പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്ഥാനങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ്.

xOy കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കും). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് അതിനെ ഫോമിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, കൂടാതെ ഉയർന്നുവരുന്ന നാല് കേസുകൾ പരിഗണിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഫോമിൽ എഴുതുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു നേർരേഖയായതിനാൽ ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് തുല്യമായ ചെരിവിൻ്റെ കോണും Oy അക്ഷത്തെ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ (0, a) ഛേദിക്കുന്നതും ആയതിനാൽ, സൂചിപ്പിച്ച മൂന്ന് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ മാത്രമേ ലഭിക്കൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. ഈ വരി ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ സ്പർശിക്കുമ്പോൾ. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു

ഉത്തരം: .

III. പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, അവയിൽ ഓരോന്നിനും സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം

പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.

പരിഹാരം.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യം "സെമി-പാരബോളസ്" എന്ന ഒരു കുടുംബത്തെ നിർവചിക്കുന്നു - പരാബോളയുടെ "സ്ലൈഡ്" ൻ്റെ വലത് ശാഖകൾ അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിൽ അവയുടെ ലംബങ്ങളുള്ളതാണ്.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള സമ്പൂർണ്ണ ചതുരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് അതിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന തലത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളുടെ കൂട്ടം രണ്ട് നേർരേഖകളാണ്

"സെമിപാരബോളസ്" എന്ന കുടുംബത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വക്രത്തിന് പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങളിലാണ് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നേർരേഖകളിലൊന്നിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു പൊതു പോയിൻ്റെങ്കിലും ഉള്ളതെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

സെമിപാരബോളുകളുടെ ലംബങ്ങൾ പോയിൻ്റ് എയുടെ വലതുവശത്തും ബിയുടെ ഇടതുവശത്തും ആണെങ്കിൽ (പോയിൻ്റ് ബി സ്പർശിക്കുന്ന "സെമിപാരബോള" യുടെ ശീർഷകവുമായി യോജിക്കുന്നു

നേർരേഖ), അപ്പോൾ പരിഗണനയിലുള്ള ഗ്രാഫുകൾക്ക് പൊതുവായ പോയിൻ്റുകൾ ഇല്ല. "സെമിപാരബോള" യുടെ ശീർഷകം പോയിൻ്റ് എയുമായി യോജിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പിന്നെ.

സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയിൽ സ്പർശിക്കുന്ന "സെമിപാരബോള" കേസ് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം

ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, അവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

തൽഫലമായി, യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, പക്ഷേ കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്.

ഉത്തരം: a  (-;-3] (;+).

IV. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം.

സമത്വം ഉപയോഗിച്ച്, തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ഞങ്ങൾ രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതുന്നു

ഈ സമവാക്യം സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ്

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതുന്നു

. (*)

അവസാന സമവാക്യം ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. നമുക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം, ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഒത്തുവരുമ്പോൾ, അതിനാൽ, എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണെങ്കിൽ (*).

ഗ്രാഫുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ abscissa ആണ്. അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിന് (*) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉള്ളപ്പോൾ - .

സമവാക്യത്തിന് (*) കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരങ്ങൾ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ അന്വേഷിക്കാം.

അത് അപ്പോൾ ആവട്ടെ. സംവിധാനം രൂപപ്പെടും

അതിൻ്റെ പരിഹാരം ഇടവേള x (1;5) ആയിരിക്കും. അത് പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇടവേളയിൽ നിന്ന് x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളാലും തൃപ്തിപ്പെട്ടാൽ, യഥാർത്ഥ അസമത്വം ശരിയായ സംഖ്യാ അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

ഇൻ്റഗ്രലിൽ (1;+∞) നമുക്ക് വീണ്ടും ലീനിയർ അസമത്വം 2x ലഭിക്കും<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

എന്നിരുന്നാലും, അതേ ഫലം ദൃശ്യപരവും അതേ സമയം കർശനമായ ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളിൽ നിന്നും ലഭിക്കും. ചിത്രം 7 ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു:വൈ= എഫ്( x)=| x-1|+| x+1| ഒപ്പംവൈ=4.

ചിത്രം 7.

ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ (-2;2) ഗ്രാഫിൽവൈ= എഫ്(x) y=4 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് കീഴിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, അതായത് അസമത്വംഎഫ്(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )പാരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള അസമത്വങ്ങൾ.

ഒന്നോ അതിലധികമോ പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത്, ചട്ടം പോലെ, പരാമീറ്ററുകളില്ലാത്ത ഒരു പ്രശ്നവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, a എന്ന പരാമീറ്റർ അടങ്ങുന്ന അസമത്വം √a+x+√a-x>4, സ്വാഭാവികമായും അസമത്വം √1+x + √1-x>1 എന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ പരിശ്രമം ആവശ്യമാണ്.

ഈ അസമത്വങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത് പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? സാരാംശത്തിൽ, ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു അസമത്വം മാത്രമല്ല, ഒരു മുഴുവൻ ക്ലാസും, പരാമീറ്ററിന് ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയാൽ ലഭിക്കുന്ന അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം. എഴുതപ്പെട്ട അസമത്വങ്ങളിൽ രണ്ടാമത്തേത് ആദ്യത്തേതിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, കാരണം ഇത് a = 1 എന്ന മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, പാരാമീറ്ററുകൾ അടങ്ങിയ അസമത്വം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അസമത്വത്തിന് ഏത് പാരാമീറ്ററുകളുടെ മൂല്യങ്ങളിലാണ് പരിഹാരങ്ങളുള്ളതെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുകയും അത്തരം എല്ലാ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾക്കും എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം1:

അസമത്വം പരിഹരിക്കുക |x-a|+|x+a|< ബി, എ<>0.

രണ്ട് പരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻഎ യു ബിനമുക്ക് ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകൾ ഉപയോഗിക്കാം. 8-ഉം 9-ഉം ചിത്രങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു.

വൈ= എഫ്(x)=| x- എ|+| x+ എ| യു വൈ= ബി.

എപ്പോൾ എന്ന് വ്യക്തമാണ്ബി<=2| എ| ഋജുവായത്വൈ= ബിവക്രത്തിൻ്റെ തിരശ്ചീന വിഭാഗത്തിന് മുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നില്ലവൈ=| x- എ|+| x+ എ| അതിനാൽ, ഈ കേസിലെ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല (ചിത്രം 8). എങ്കിൽബി>2| എ|, പിന്നെ വരിവൈ= ബിഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ വിഭജിക്കുന്നുവൈ= എഫ്(x) രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ (-ബി/2; ബി) യു (ബി/2; ബി)(ചിത്രം 6) കൂടാതെ ഈ കേസിലെ അസമത്വത്തിന് സാധുതയുണ്ട് -ബി/2< x< ബി/2, കാരണം വേരിയബിളിൻ്റെ ഈ മൂല്യങ്ങൾക്ക് വക്രംവൈ=| x+ എ|+| x- എ| നേർരേഖയ്ക്ക് കീഴിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവൈ= ബി.

ഉത്തരം: എങ്കിൽബി<=2| എ| , പിന്നെ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല,

എങ്കിൽബി>2| എ|, പിന്നെx €(- ബി/2; ബി/2).

III) ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ:

ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുമായുള്ള അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആനുകാലികതയും അനുബന്ധ ഇടവേളകളിലെ അവയുടെ ഏകതാനതയും പ്രധാനമായും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷൻപാപം x2π യുടെ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ് ഉണ്ട്. അതിനാൽ, രൂപത്തിൻ്റെ അസമത്വങ്ങൾ:sin x>a, sin x>=a,

പാപം x

ദൈർഘ്യം 2 ൻ്റെ ചില സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ആദ്യം പരിഹരിച്ചാൽ മതിπ . ഫോം 2 ൻ്റെ ഈ സെഗ്‌മെൻ്റ് നമ്പറുകളിൽ കാണപ്പെടുന്ന ഓരോ പരിഹാരങ്ങളിലേക്കും ചേർത്തുകൊണ്ട് എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഒരു സെറ്റ് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.π p, pЄZ.

ഉദാഹരണം 1: അസമത്വം പരിഹരിക്കുകപാപം x>-1/2.(ചിത്രം 10)

ആദ്യം, ഈ അസമത്വം [-π/2;3π/2] എന്ന ഇടവേളയിൽ പരിഹരിക്കാം. നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഇടതുവശം പരിഗണിക്കാം - സെഗ്മെൻ്റ് [-π/2;3π/2]. ഇവിടെ സമവാക്യംപാപം x=-1/2 ന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് x=-π/6; ചടങ്ങുംപാപം xഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം if –π/2 എന്നാണ്<= x<= -π/6, то പാപം x<= പാപം(- π /6)=-1/2, അതായത്. ഈ x മൂല്യങ്ങൾ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമല്ല. എങ്കിൽ –π/6<х<=π/2 то പാപം x> പാപം(-π/6) = –1/2. x ൻ്റെ ഈ മൂല്യങ്ങളെല്ലാം അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമല്ല.

ശേഷിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൽ [π/2;3π/2] ഫംഗ്‌ഷൻപാപം xസമവാക്യവും ഏകതാനമായി കുറയുന്നുപാപം x= -1/2 ന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് x=7π/6. അതിനാൽ, π/2 ആണെങ്കിൽ<= x<7π/, то പാപം x> പാപം(7π/6)=-1/2, അതായത്. x ൻ്റെ ഈ മൂല്യങ്ങളെല്ലാം അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണ്. വേണ്ടിxനമുക്ക് ഉണ്ട്പാപം x<= പാപം(7π/6)=-1/2, ഈ x മൂല്യങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങളല്ല. അങ്ങനെ, [-π/2;3π/2] ഇടവേളയിലെ ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും സെറ്റ് അവിഭാജ്യമാണ് (-π/6;7π/6).

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ആനുകാലികത കാരണംപാപം xഫോമിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും അവിഭാജ്യത്തിൽ നിന്ന് x ൻ്റെ 2π മൂല്യങ്ങളുടെ കാലയളവിനൊപ്പം: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ കൂടിയാണ്. x ൻ്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങളൊന്നും ഈ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരമല്ല.

ഉത്തരം: -π/6+2πഎൻ< x<7π/6+2π എൻ, എവിടെഎൻЄ Z.

ഉപസംഹാരം

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഞങ്ങൾ നോക്കി; ഞങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു, അതിൻ്റെ പരിഹാരം മോണോടോണിസിറ്റിയും പാരിറ്റിയും പോലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു.ശാസ്ത്രീയ സാഹിത്യത്തിൻ്റെയും ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെയും വിശകലനം, പഠനത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത മെറ്റീരിയൽ രൂപപ്പെടുത്താനും സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫലപ്രദമായ രീതികൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാനും വികസിപ്പിക്കാനും സാധ്യമാക്കി. സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിയും ഈ രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളും പേപ്പർ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സഹായ മെറ്റീരിയലായി പ്രോജക്റ്റിൻ്റെ ഫലം സൃഷ്ടിപരമായ ജോലികളായി കണക്കാക്കാം.

ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക

ഡാലിംഗർ വി.എ. "ജ്യോമെട്രി ബീജഗണിതത്തെ സഹായിക്കുന്നു." പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് "സ്കൂൾ - പ്രസ്സ്". മോസ്കോ 1996

ഡാലിംഗർ വി.എ. "ഗണിതത്തിലെ അവസാന പരീക്ഷകളിലും പ്രവേശന പരീക്ഷകളിലും വിജയം ഉറപ്പാക്കാൻ എല്ലാം." ഓംസ്ക് പെഡഗോഗിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റിയുടെ പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ്. ഓംസ്ക് 1995

Okunev A. A. "പാരാമീറ്ററുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം." പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് "സ്കൂൾ - പ്രസ്സ്". മോസ്കോ 1986

പിസ്മെൻസ്കി ഡി.ടി. "ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രം." പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് "ഐറിസ്". മോസ്കോ 1996

Yastribinetsky G. A. "പാരാമീറ്ററുകൾ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും." പബ്ലിഷിംഗ് ഹൗസ് "Prosveshcheniye". മോസ്കോ 1972

G. കോണും T. കോണും "ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം." പ്രസിദ്ധീകരണശാല "സയൻസ്" ഫിസിക്കൽ, ഗണിത സാഹിത്യം. മോസ്കോ 1977

അമെൽകിൻ വി.വി.യും റാബ്റ്റ്സെവിച്ച് വി.എൽ. "പാരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ". പ്രസിദ്ധീകരണശാല "അസർ". മിൻസ്ക് 1996

ഇൻ്റർനെറ്റ് ഉറവിടങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ മാർഗ്ഗം ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിയാണ്. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് ഗ്രാഫിക്കലായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത് എന്ന് നോക്കാം. ആദ്യം, ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ചർച്ച ചെയ്യാം. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അവതരിപ്പിക്കുകയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ഗ്രാഫിക് രീതിയുടെ സാരാംശം

എല്ലാം അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ മാത്രമല്ല, മറ്റ് തരത്തിലുള്ള അസമത്വങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിയുടെ സാരാംശംഅടുത്തത്: അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന y=f(x), y=g(x) എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിഗണിക്കുക, അവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർമ്മിക്കുകയും അതിലൊന്നിൻ്റെ ഗ്രാഫ് എത്ര ഇടവേളകളിൽ എന്ന് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക. അവ മറ്റേതിനേക്കാൾ താഴ്ന്നതോ ഉയർന്നതോ ആണ്. എവിടെ ആ ഇടവേളകൾ

• g ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് മുകളിലുള്ള f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് f(x)>g(x) ;
• f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് g ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനേക്കാൾ കുറവല്ല, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് f(x)≥g(x) ;
• g യുടെ ഗ്രാഫിന് താഴെയുള്ള f ൻ്റെ ഗ്രാഫ് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് f(x)
• f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ല, f(x)≤g(x) അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്.

f, g ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സകൾ f(x)=g(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളാണെന്നും ഞങ്ങൾ പറയും.

ഈ ഫലങ്ങൾ നമ്മുടെ കേസിലേക്ക് മാറ്റാം - ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻ a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു: ആദ്യ y=a x 2 +b x+c (f(x)=a x 2 +b x+c) ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തെ y=0 (g ( കൂടെ x)=0 ) അസമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശവുമായി യോജിക്കുന്നു. പട്ടിക ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനം f എന്നത് ഒരു പരവലയവും ഗ്രാഫും ആണ് സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം g - abscissa axis Ox-മായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന നേർരേഖ.

അടുത്തതായി, അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി അനുസരിച്ച്, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് മറ്റൊന്നിന് മുകളിലോ താഴെയോ ഏത് ഇടവേളകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്ന് വിശകലനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിന് ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരം എഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പരവലയത്തിൻ്റെ സ്ഥാനം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

a, b, c എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന ആറ് ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ് (ഞങ്ങളുടെ ആവശ്യങ്ങൾക്ക്, ഒരു സ്കീമാറ്റിക് പ്രാതിനിധ്യം മതിയാകും, കൂടാതെ Oy അക്ഷം ചിത്രീകരിക്കേണ്ടതില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ സ്ഥാനം ബാധിക്കില്ല. അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ):

ഈ ഡ്രോയിംഗിൽ നമ്മൾ ഒരു പരവലയം കാണുന്നു, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, അത് ഓക്സ് അക്ഷത്തെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു, അവയുടെ അബ്സിസ്സ x 1 ഉം x 2 ഉം ആണ്. കോ എഫിഷ്യൻ്റ് a പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ (പരവലയ ശാഖകളുടെ മുകളിലേക്കുള്ള ദിശയ്ക്ക് ഇത് ഉത്തരവാദിയാണ്), മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഈ ഡ്രോയിംഗ് ഓപ്ഷനുമായി യോജിക്കുന്നു. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനം a x 2 +b x+c (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ട്രൈനോമിയലിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, അത് ഞങ്ങൾ x 1, x 2 എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിച്ചു, ഞങ്ങൾ x 1 എന്ന് അനുമാനിച്ചു 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =-2, x 2 =3 .

വ്യക്തതയ്ക്കായി, എക്സ്-അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന പരാബോളയുടെ ഭാഗങ്ങൾ ചുവപ്പിലും നീല നിറത്തിലും - എക്സ്-അക്ഷത്തിന് താഴെയുള്ളവയും ചിത്രീകരിക്കാം.


ഏതൊക്കെ ഇടവേളകളാണ് ഈ ഭാഗങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്നതെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇനിപ്പറയുന്ന ഡ്രോയിംഗ് അവരെ തിരിച്ചറിയാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും (ഭാവിയിൽ ഞങ്ങൾ മാനസികമായി ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ സമാനമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പുകൾ നടത്തും):


അതിനാൽ abscissa അച്ചുതണ്ടിൽ രണ്ട് ഇടവേളകൾ (−∞, x 1), (x 2 , +∞) എന്നിവ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തു, അവയിൽ പരവലയം ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ്, അവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിന് ഒരു x 2 +b x ഒരു പരിഹാരമാണ്. +c>0 , കൂടാതെ ഇടവേള (x 1 , x 2) നീല നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു, ഓക്‌സ് അക്ഷത്തിന് താഴെ ഒരു പരവലയമുണ്ട്, ഇത് അസമത്വത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

ഇപ്പോൾ ചുരുക്കത്തിൽ: a>0, D=b 2 −4 a c>0 (അല്ലെങ്കിൽ D"=D/4>0 ഇരട്ട ഗുണകത്തിന് b)

• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം a x 2 +b x+c>0 ആണ് (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x x2;
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം a x 2 +b x+c≥0 ആണ് (−∞, x 1 ]∪ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x 1 ≤x≤x 2 ,

ഇവിടെ x 1, x 2 എന്നിവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകളാണ് a x 2 +b x+c, ഒപ്പം x 1


ഇവിടെ നമ്മൾ ഒരു പരവലയം കാണുന്നു, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, അത് അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു, അതായത്, അതിനോട് ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് ഉണ്ട്; ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സയെ ഞങ്ങൾ x 0 ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അവതരിപ്പിച്ച കേസ് a>0 (ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു), D=0 (സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിന് ഒരു റൂട്ട് x 0 ഉണ്ട്) എന്നിവയുമായി യോജിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ y=x 2 -4·x+4 എടുക്കാം, ഇവിടെ a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0, x 0 =2.

കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റ് ഒഴികെ എല്ലായിടത്തും പരവലയം കാള അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണെന്ന് ഡ്രോയിംഗ് വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു, അതായത്, ഇടവേളകളിൽ (-−, x 0), (x 0, ∞). വ്യക്തതയ്ക്കായി, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയുമായി സാമ്യമുള്ള ഡ്രോയിംഗിലെ ഏരിയകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം.


ഞങ്ങൾ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു: a>0, D=0 എന്നിവയ്ക്ക്

• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിൻ്റെ പരിഹാരം a·x 2 +b·x+c>0 ആണ് (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x≠x 0;
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിൻ്റെ പരിഹാരം a·x 2 +b·x+c≥0 ആണ് (−∞, +∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x∈R ;
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വത്തിന് a x 2 +b x+c≤0 ന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് x=x 0 (ഇത് സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് കൊണ്ടാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്),

ഇവിടെ x 0 എന്നത് a x 2 + b x + c എന്ന സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ മൂലമാണ്.


ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഇതിന് അബ്സിസ്സ അക്ഷവുമായി പൊതുവായ പോയിൻ്റുകൾ ഇല്ല. ഇവിടെ നമുക്ക് വ്യവസ്ഥകൾ ഉണ്ട് a>0 (ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു) കൂടാതെ D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

വ്യക്തമായും, പരാബോള അതിൻ്റെ മുഴുവൻ നീളത്തിലും ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് (അത് ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് താഴെയുള്ള ഇടവേളകളൊന്നുമില്ല, സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് ഇല്ല).


അങ്ങനെ, a>0, D എന്നിവയ്ക്ക്<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0, a x 2 +b x+c≥0 എന്നത് എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്, അസമത്വങ്ങൾ a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

കാളയുടെ അച്ചുതണ്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മുകളിലേയ്‌ക്കല്ല, താഴേക്ക് നയിക്കുന്ന ശാഖകളുള്ള പരാബോളയുടെ സ്ഥാനത്തിന് മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകൾ അവശേഷിക്കുന്നു. തത്വത്തിൽ, അവ പരിഗണിക്കേണ്ടതില്ല, കാരണം അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും −1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് x 2 ൻ്റെ പോസിറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള തുല്യമായ അസമത്വത്തിലേക്ക് പോകാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഈ കേസുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു ആശയം ലഭിക്കാൻ ഇപ്പോഴും അത് ഉപദ്രവിക്കുന്നില്ല. ഇവിടെ ന്യായവാദം സമാനമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ പ്രധാന ഫലങ്ങൾ മാത്രം എഴുതും.

പരിഹാര അൽഗോരിതം

മുമ്പത്തെ എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും ഫലം ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കലായി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിൽ ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു, അത് ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടും (Oy അക്ഷം ചിത്രീകരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല) y=a·x 2 +b·x+c എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ഒരു രേഖാചിത്രവും ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ഒരു രേഖാചിത്രം വരയ്ക്കുന്നതിന്, രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കാൻ ഇത് മതിയാകും:

• ഒന്നാമതായി, a എന്ന ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യം അനുസരിച്ച് അതിൻ്റെ ശാഖകൾ എവിടെയാണ് നയിക്കുന്നത് എന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു (a>0 - മുകളിലേക്ക്, ഒരു<0 – вниз).
• രണ്ടാമതായി, a x 2 + b x + c എന്ന സ്‌ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനത്തിൻ്റെ മൂല്യം അനുസരിച്ച്, പരാബോള അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തെ രണ്ട് പോയിൻ്റിൽ (D>0) വിഭജിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു (D>0 ന്), ഒരു ബിന്ദുവിൽ (D=0 ന്) സ്പർശിക്കുന്നു. , അല്ലെങ്കിൽ ഓക്സ് അക്ഷവുമായി പൊതുവായ പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല (ഡിയിൽ<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• ഡ്രോയിംഗ് തയ്യാറാകുമ്പോൾ, അത് അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുക

  • ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം a·x 2 +b·x+c>0 പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അബ്സിസ്സയ്ക്ക് മുകളിൽ പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു;
  • അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ a·x 2 +b·x+c≥0, abscissa അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ (അല്ലെങ്കിൽ tangent പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa) അബ്സിസ്സകൾ ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അവരെ;
  • അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • അവസാനമായി, ax 2 +b·x+c≤0 ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പരവലയം ഓക്സ് അക്ഷത്തിനും ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ (അല്ലെങ്കിൽ ടാൻജൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സയ്ക്കും താഴെയുള്ള ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ) അവയിൽ ചേർക്കുന്നു;

  അവ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അസമത്വത്തിന് ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അത്തരം ഇടവേളകളും സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളും ഇല്ലെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഈ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് കുറച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.

പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം.

അസമത്വം പരിഹരിക്കുക .

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്നുള്ള അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാം. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട് . x 2 ൻ്റെ ഗുണകം 2 ന് തുല്യമാണ്, ഇത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. പരവലയത്തിന് x-ആക്സിസുമായി പൊതുവായ പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടോ എന്നും നോക്കാം; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കും. . നമുക്ക് ഉണ്ട് . വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായി മാറി, അതിനാൽ, ട്രൈനോമിയലിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം , അതായത്, x 1 =-3, x 2 =1/3.

ഇതിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്, പരവലയം കാള അച്ചുതണ്ടിനെ അബ്‌സിസാസ് -3, 1/3 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു. കർശനമല്ലാത്ത അസമത്വം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ ഡ്രോയിംഗിലെ ഈ പോയിൻ്റുകൾ സാധാരണ പോയിൻ്റുകളായി ഞങ്ങൾ ചിത്രീകരിക്കും. വ്യക്തമാക്കിയ ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഡ്രോയിംഗ് ലഭിക്കും (ലേഖനത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്നുള്ള ആദ്യ ടെംപ്ലേറ്റിന് ഇത് അനുയോജ്യമാണ്):

നമുക്ക് അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം. ≤ എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കർശനമല്ലാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ, അബ്‌സിസ്സയ്ക്ക് താഴെയായി പരവലയം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഇടവേളകൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും അവയ്ക്ക് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സകൾ ചേർക്കുകയും വേണം.

ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന്, പരവലയം ഇടവേളയിൽ (−3, 1/3) എക്സ്-അക്ഷത്തിന് താഴെയാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ ചേർക്കുന്നു, അതായത്, അക്കങ്ങൾ -3, 1/3. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ എത്തുന്നു [-3, 1/3] . ഇതാണ് ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്ന പരിഹാരം. ഇത് ഇരട്ട അസമത്വം −3≤x≤1/3 ആയി എഴുതാം.

ഉത്തരം:

[−3, 1/3] അല്ലെങ്കിൽ −3≤x≤1/3 .

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക -x 2 +16 x−63<0 .

പരിഹാരം.

പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ആരംഭിക്കുന്നു. വേരിയബിളിൻ്റെ വർഗ്ഗത്തിൻ്റെ സംഖ്യാ ഗുണകം നെഗറ്റീവ് ആണ്, −1, അതിനാൽ പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ അതിലും മികച്ചത്, അതിൻ്റെ നാലാം ഭാഗം: D"=8 2 −(-1)·(-63)=64−63=1. അതിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണ്, നമുക്ക് സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാം: ഒപ്പം , x 1 =7, x 2 =9. അതിനാൽ പരവലയം 7 ഉം 9 ഉം ഉള്ള രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നു (യഥാർത്ഥ അസമത്വം കർശനമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഈ പോയിൻ്റുകൾ ഒരു ശൂന്യമായ കേന്ദ്രത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കും) ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഒരു അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കർശനമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ രണ്ട് ഇടവേളകളാണ് (−∞, 7) , (9, +∞) എന്ന് ഡ്രോയിംഗ് കാണിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

(−∞, 7)∪(9, +∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x<7 , x>9 .

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള വിവേചനം പൂജ്യമായിരിക്കുമ്പോൾ, ഉത്തരത്തിൽ നിന്ന് ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നതിനോ ഒഴിവാക്കുന്നതിനോ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു: അസമത്വം കർശനമാണെങ്കിൽ, അത് അസമത്വത്തിന് ഒരു പരിഹാരമല്ല, എന്നാൽ അത് കർശനമല്ലെങ്കിൽ, അത്.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം 10 x 2 -14 x+4.9≤0 ന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടോ?

പരിഹാരം.

y=10 x 2 -14 x+4.9 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം. x 2 ൻ്റെ ഗുണകം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അത് അബ്‌സിസ്സ 0.7 ഉള്ള ബിന്ദുവിലെ abscissa അക്ഷത്തെ സ്പർശിക്കുന്നു, കാരണം D"=(−7) 2 -10 4.9=0, എവിടെ നിന്ന് അല്ലെങ്കിൽ 0.7 എന്ന രൂപത്തിൽ ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ. സ്കീമാറ്റിക്കായി ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

≤ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ, അതിൻ്റെ പരിഹാരം പരവലയം ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് താഴെയുള്ള ഇടവേളകളും ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സയും ആയിരിക്കും. ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന്, പരവലയം കാളയുടെ അച്ചുതണ്ടിന് താഴെയുള്ള ഒരു വിടവ് പോലും ഇല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ അതിൻ്റെ പരിഹാരം ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സ മാത്രമായിരിക്കും, അതായത് 0.7.

ഉത്തരം:

ഈ അസമത്വത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് 0.7.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുക –x 2 +8 x−16<0 .

പരിഹാരം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ പിന്തുടരുകയും ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിലൂടെ ആരംഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. x 2 ൻ്റെ ഗുണകം −1 ആയതിനാൽ പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനം കണ്ടെത്താം –x 2 +8 x−16, നമുക്കുണ്ട് D'=4 2 −(-1)·(-16)=16−16=0തുടർന്ന് x 0 =−4/(-1) , x 0 =4 . അതിനാൽ, പരവലയം അബ്‌സിസ്സ പോയിൻ്റ് 4-ൽ ഓക്സ് അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു, അത് അവിടെയുണ്ട്<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇവ തുറന്ന കിരണങ്ങളാണ് (-∞, 4) , (4, +∞) . പ്രത്യേകമായി, 4 - കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa - ഒരു പരിഹാരമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, കാരണം കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റിൽ പരാബോള ഓക്സ് അക്ഷത്തേക്കാൾ താഴ്ന്നതല്ല.

ഉത്തരം:

(−∞, 4)∪(4, +∞) അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x≠4 .

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ നൽകുക. ഇവിടെ തിരക്കിട്ട് അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെന്ന് പറയേണ്ടതില്ല (നിഷേധാത്മകമായ വിവേചനമുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നത് പതിവാണ്). ഡിയുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം എന്നതാണ് കാര്യം<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിന് 3 x 2 +1>0 പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ആരംഭിക്കുന്നു. കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എ 3 ആണ്, ഇത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു: D=0 2 −4·3·1=−12 . വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, പരവലയത്തിന് ഓക്സ് അക്ഷവുമായി പൊതുവായ പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല. ഒരു സ്കീമാറ്റിക് ഗ്രാഫിന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മതിയാകും:

ഒരു > ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കർശനമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു. പരവലയം ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് മുകളിലുള്ള എല്ലാ ഇടവേളകളായിരിക്കും അതിൻ്റെ പരിഹാരം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, പരവലയം അതിൻ്റെ മുഴുവൻ നീളത്തിലും x-അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ്, അതിനാൽ ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരം എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമായിരിക്കും.

ഓക്സ് , കൂടാതെ നിങ്ങൾ കവലയുടെ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സ അല്ലെങ്കിൽ അവയിലേക്ക് സ്പർശനത്തിൻ്റെ അബ്സിസ്സ എന്നിവ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് അത്തരം ഇടവേളകളൊന്നുമില്ലെന്ന് വ്യക്തമായി കാണാം (പരവലയം എല്ലായിടത്തും അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിന് താഴെയായതിനാൽ), വിഭജന പോയിൻ്റുകളില്ലാത്തതുപോലെ, സ്പർശന ബിന്ദുക്കൾ ഇല്ല. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല.

ഉത്തരം:

പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു എൻട്രിയിൽ ∅.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം എട്ടാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ബീജഗണിതം:ഒമ്പതാം ക്ലാസ്: വിദ്യാഭ്യാസം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2009. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. എട്ടാം ക്ലാസ്. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ. ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - 11-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. 9-ാം ക്ലാസ്. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ. ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്, പി.വി. സെമെനോവ്. - 13-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതവും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും. ഗ്രേഡ് 11. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ, ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം (പ്രൊഫൈൽ ലെവൽ) / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്, പി.വി. സെമെനോവ്. - രണ്ടാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

പാഠത്തിനിടയിൽ, "സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം" എന്ന വിഷയം നിങ്ങൾക്ക് സ്വതന്ത്രമായി പഠിക്കാൻ കഴിയും. പാഠ സമയത്ത്, സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികൾ അധ്യാപകൻ പരിശോധിക്കും. ഗ്രാഫുകൾ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാമെന്നും അവ വിശകലനം ചെയ്യാമെന്നും സമവാക്യങ്ങൾക്കും അസമത്വങ്ങൾക്കും പരിഹാരം കണ്ടെത്താനും നിങ്ങളെ പഠിപ്പിക്കും. ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങളും പാഠം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

വിഷയം: സംഖ്യാ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പാഠം: സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം, അസമത്വങ്ങൾ

1. പാഠ വിഷയം, ആമുഖം

വിവിധ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഉൾപ്പെടെ പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ മാറ്റുന്നതിനും പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളും ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. ഈ കഴിവുകളെല്ലാം ആവശ്യമുള്ളപ്പോൾ പ്രയോഗിക്കണം ഗ്രാഫിക്പരിഹാരംസമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരംഅസമത്വങ്ങൾ.

2. സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 1: സമവാക്യം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക:

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം (ചിത്രം 1).

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പരവലയമാണ്

ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു നേർരേഖയാണ്, പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് നിർമ്മിക്കാം.

ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ മറ്റ് പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല, കാരണം ഫംഗ്ഷൻ ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, ഫംഗ്ഷൻ ഏകതാനമായി കുറയുന്നു, അതിനാൽ, അവയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് മാത്രമാണ്.

ഉദാഹരണം 2: അസമത്വം പരിഹരിക്കുക

എ. അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലായിരിക്കണം (ചിത്രം 1). എപ്പോഴാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്

ബി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നേരെമറിച്ച്, പരവലയം നേർരേഖയ്ക്ക് കീഴിലായിരിക്കണം. എപ്പോഴാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്

ഉദാഹരണം 3. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം (ചിത്രം 2).

പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്തപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്താം. ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്.

അസമത്വം നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, ഹൈപ്പർബോള രേഖയ്ക്ക് മുകളിലായിരിക്കണം .

ഉദാഹരണം 4. അസമത്വം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക:

ഡൊമെയ്ൻ:

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം വേണ്ടി (ചിത്രം 3).

എ. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഗ്രാഫിന് താഴെ സ്ഥിതിചെയ്യണം; ഇത് എപ്പോഴാണ് ചെയ്യുന്നത്

ബി. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഗ്രാഫിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് എന്നാൽ അവസ്ഥയ്ക്ക് ദുർബലമായ ഒരു അടയാളം ഉള്ളതിനാൽ, ഒറ്റപ്പെട്ട റൂട്ട് നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്.

3. ഉപസംഹാരം

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഞങ്ങൾ നോക്കി; ഞങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു, അതിൻ്റെ പരിഹാരം മോണോടോണിസിറ്റിയും പാരിറ്റിയും പോലുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു.

1. Mordkovich A.G. et al. ആൾജിബ്ര 9-ാം ഗ്രേഡ്: പാഠപുസ്തകം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ.- 4th ed. - എം.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. et al. ആൾജിബ്ര 9-ആം ഗ്രേഡ്: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പ്രശ്ന പുസ്തകം / A.G. മൊർഡ്കോവിച്ച്, T.N. മിഷുസ്റ്റീന മറ്റുള്ളവരും - 4th ed. - എം.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. മക്കാരിച്ചേവ് യു.എൻ. ആൾജിബ്ര. ഒമ്പതാം ക്ലാസ്: വിദ്യാഭ്യാസം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക്. സ്ഥാപനങ്ങൾ / യു.എൻ. മകാരിചേവ്, എൻ.ജി. മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ. നെഷ്കോവ്, ഐ.ഇ. ഫിയോക്റ്റിസ്റ്റോവ്. - ഏഴാം പതിപ്പ്, റവ. കൂടാതെ അധികവും - എം.: മെമോസിൻ, 2008.

4. അലിമോവ് Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. ആൾജിബ്ര. 9-ാം ക്ലാസ്. 16-ാം പതിപ്പ്. - എം., 2011. - 287 പേ.

5. മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ആൾജിബ്ര. 9-ാം ക്ലാസ്. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ. ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്, പി.വി. സെമെനോവ്. - 12-ാം പതിപ്പ്, മായ്ച്ചു. - എം.: 2010. - 224 പേ.: അസുഖം.

6. ബീജഗണിതം. 9-ാം ക്ലാസ്. 2 ഭാഗങ്ങളായി, ഭാഗം 2. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പ്രശ്ന പുസ്തകം / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്, എൽ.എ. അലക്സാന്ദ്രോവ, ടി.എൻ. മിഷുസ്റ്റീന തുടങ്ങിയവർ; എഡ്. എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - 12-ാം പതിപ്പ്., റവ. - എം.: 2010.-223 പേ.: അസുഖം.

1. കോളേജ് വിഭാഗം. ഗണിതത്തിൽ ru.

2. ഇൻ്റർനെറ്റ് പ്രോജക്റ്റ് "ടാസ്കുകൾ".

3. വിദ്യാഭ്യാസ പോർട്ടൽ "ഞാൻ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ പരിഹരിക്കും".

1. Mordkovich A.G. et al. ആൾജിബ്ര 9-ാം ഗ്രേഡ്: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പ്രശ്ന പുസ്തകം / A.G. മൊർഡ്കോവിച്ച്, T.N. മിഷുസ്റ്റീന et al. - 4th ed. - എം.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. നമ്പർ 355, 356, 364.