ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും അവയുടെ ഗ്രാഫുകളുടെയും പഠനം. ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് \(y=\frac(x3)(1-x)\) ഫംഗ്‌ഷൻ അന്വേഷിക്കുകയും അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക

പ്രശ്നത്തിന് അതിൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ നിർമ്മാണത്തോടൊപ്പം f (x) = x 2 4 x 2 - 1 ഫംഗ്ഷൻ്റെ പൂർണ്ണമായ പഠനം ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ തത്വം വിശദമായി പരിഗണിക്കും.

ഈ തരത്തിലുള്ള ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾ പ്രധാനത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫുകളും ഉപയോഗിക്കണം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഗവേഷണ അൽഗോരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

Yandex.RTB R-A-339285-1

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുന്നു

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഗവേഷണം നടക്കുന്നതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 1

ODZ-ൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നതിന് ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ഫലമായി, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ, ലോഗരിതം മുതലായവ ലഭിക്കും. തുടർന്ന്, അസമത്വ g (x) ≥ 0 എന്ന തരത്തിൽ g (x) 4 എന്ന ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിനായി ODZ തിരയാൻ കഴിയും, ലോഗരിതം ലോഗ് a g (x) അസമത്വം g (x) > 0 ഉപയോഗിച്ച്.

ODZ ൻ്റെ അതിരുകൾ പഠിക്കുകയും ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു

അത്തരം പോയിൻ്റുകളിലെ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ അനന്തമായിരിക്കുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അതിരുകളിൽ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2

ഉദാഹരണത്തിന്, x = ± 1 2 ന് തുല്യമായ ബോർഡർ പോയിൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കുക.

അപ്പോൾ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധി കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ ലിം x → - 1 2 + 0 f (x) = ലിം x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = ലിം x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ ലിം x → 1 2 - 0 f (x) = ലിം x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ലിം x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ ലിം x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ അനന്തമാണെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു, അതായത് x = ± 1 2 എന്ന നേർരേഖകൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളാണ്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ കുറിച്ചുള്ള പഠനം, അത് ഇരട്ട ആണോ വിചിത്രമാണോ എന്ന്

y (- x) = y (x) എന്ന അവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ തുല്യമായി കണക്കാക്കുന്നു. Oy യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഗ്രാഫ് സമമിതിയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വ്യവസ്ഥ y (- x) = - y (x) തൃപ്തികരമാകുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ വിചിത്രമായി കണക്കാക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം സമമിതി കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നാണ്. കുറഞ്ഞത് ഒരു അസമത്വമെങ്കിലും തൃപ്തികരമല്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് പൊതുവായ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും.

സമത്വം y (- x) = y (x) ഫംഗ്‌ഷൻ തുല്യമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഒയ്യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതി ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, യഥാക്രമം f " (x) ≥ 0, f " (x) ≤ 0 എന്നീ വ്യവസ്ഥകൾക്കൊപ്പം കൂടുന്നതിൻ്റെയും കുറയുന്നതിൻ്റെയും ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 1

സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകൾ- ഇവയാണ് ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്ന പോയിൻ്റുകൾ.

നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ- ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ആന്തരിക പോയിൻ്റുകളാണ് ഇവ.

ഒരു തീരുമാനം എടുക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന കുറിപ്പുകൾ കണക്കിലെടുക്കണം:

• f "(x) > 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അസമത്വങ്ങൾ വർധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന നിലവിലുള്ള ഇടവേളകളിൽ, നിർണ്ണായക പോയിൻ്റുകൾ പരിഹാരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല;
• പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവില്ലാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ കൂടുന്നതിൻ്റെയും കുറയുന്നതിൻ്റെയും ഇടവേളകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തണം (ഉദാഹരണത്തിന്, y = x 3, ഇവിടെ x = 0 പോയിൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷനെ നിർവചിക്കുന്നു, ഡെറിവേറ്റീവിന് അനന്തതയുടെ മൂല്യമുണ്ട്. പോയിൻ്റ്, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 വർദ്ധിക്കുന്ന ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്);
• അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, വിദ്യാഭ്യാസ മന്ത്രാലയം ശുപാർശ ചെയ്യുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര സാഹിത്യം ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നെങ്കിൽ, കൂടുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകളിൽ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തൽ.

നിർവ്വചനം 2

വേണ്ടി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെയും കുറവിൻ്റെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

• ഡെറിവേറ്റീവ്;
• നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ;
• നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർവചനം ഡൊമെയ്ൻ ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക;
• ഓരോ ഇടവേളകളിലും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക, ഇവിടെ + എന്നത് വർദ്ധനവും - ഒരു കുറവുമാണ്.

ഉദാഹരണം 3

f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - എന്ന ഡൊമെയ്‌നിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക. 1) 2 .

പരിഹാരം

പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

• കണ്ടെത്തുക നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾ, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ x = 0 ഉണ്ട്;
• ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, ഉദാഹരണം x = ± 1 2-ൽ പൂജ്യം മൂല്യം എടുക്കുന്നു.

ഓരോ ഇടവേളയിലും ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ നമ്പർ ലൈനിൽ പോയിൻ്റുകൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് എടുത്ത് ഒരു കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തിയാൽ മതി. ഫലം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫിൽ + ചിത്രീകരിക്കുന്നു, അതായത് ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു, കൂടാതെ - അത് കുറയുന്നു എന്നാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, അതായത് ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ ഇടവേളയിൽ + ചിഹ്നമുണ്ട്. നമ്പർ ലൈൻ പരിഗണിക്കുക.

ഉത്തരം:

• ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു - ∞; - 1 2 ഒപ്പം (- 1 2 ; 0 ] ;
• ഇടവേളയിൽ ഒരു കുറവുണ്ട് [0; 1 2) കൂടാതെ 1 2 ; +∞ .

ഡയഗ്രാമിൽ, +, - എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പോസിറ്റിവിറ്റിയും നെഗറ്റിവിറ്റിയും ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അമ്പടയാളങ്ങൾ കുറയുകയും വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെടുകയും അതിലൂടെ ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 4

x = 0 ആയ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 ന് തുല്യമാണ്. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നം + മുതൽ - വരെ മാറുകയും x = 0 എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റ് (0; 0) പരമാവധി പോയിൻ്റായി കണക്കാക്കുന്നു. ചിഹ്നം - മുതൽ + വരെ മാറുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു മിനിമം പോയിൻ്റ് ലഭിക്കും.

f "" (x) ≥ 0, f "" (x) ≤ 0 എന്നീ രൂപങ്ങളുടെ അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിച്ചാണ് കോൺവെക്സിറ്റിയും കോൺകാവിറ്റിയും നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. കോൺകവിറ്റിക്ക് പകരം കോൺവെക്‌സിറ്റി ഡൗൺ എന്ന പേരും കോൺവെക്‌സിറ്റിക്ക് പകരം മുകളിലേക്ക് കോൺവെക്‌സിറ്റി എന്ന പേരുമാണ് സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

നിർവ്വചനം 3

വേണ്ടി കോൺകാവിറ്റിയുടെയും കൺവെക്സിറ്റിയുടെയും ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നുആവശ്യമാണ്:

• രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക;
• രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക;
• നിർവചന മേഖലയെ ദൃശ്യമാകുന്ന പോയിൻ്റുകളുള്ള ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക;
• ഇടവേളയുടെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉദാഹരണം 5

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെയും പൂജ്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അവിടെ ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ x = ± 1 2 ആണ്.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ നമ്പർ ലൈനിലെ പോയിൻ്റുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയും ഓരോ ഇടവേളയിൽ നിന്നും രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുകയും വേണം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

ഉത്തരം:

• ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേള മുതൽ കോൺവെക്സ് ആണ് - 1 2 ; 12 ;
• ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളകളിൽ നിന്ന് കോൺകേവ് ആണ് - ∞ ; - 1 2, 1 2; +∞ .

നിർവ്വചനം 4

ഒരു വളവിൽ വളവിന്റെ ഗതി മാറുന്ന ബിന്ദു- ഇത് x 0 ഫോമിൻ്റെ ഒരു പോയിൻ്റാണ്; f (x 0) . ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് അതിന് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ഉള്ളപ്പോൾ, അത് x 0 ലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ ചിഹ്നത്തെ വിപരീതമായി മാറ്റുന്നു.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കടന്നുപോകുകയും ചിഹ്നം മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു പോയിൻ്റാണിത്, കൂടാതെ പോയിൻ്റുകളിൽ തന്നെ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല. എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിൽ, x = ± 1 2 പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങളുടെ അടയാളം ആയതിനാൽ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ലെന്ന് വ്യക്തമായി. അവയാകട്ടെ, നിർവചനത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.

തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു

അനന്തതയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾക്കായി നോക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിർവ്വചനം 5

ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ y = k x + b എന്ന സമവാക്യം നൽകുന്ന നേർരേഖകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഇവിടെ k = lim x → ∞ f (x) x, b = lim x → ∞ f (x) - k x.

k = 0, b എന്നിവയ്ക്ക് അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമല്ല, ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് ആയി മാറുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു തിരശ്ചീനമായ.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അനന്തതയിൽ സമീപിക്കുന്ന വരികളായി അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ ദ്രുത നിർമ്മാണം ഇത് സുഗമമാക്കുന്നു.

അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഇല്ലെങ്കിലും, രണ്ട് അനന്തതകളിലും ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഈ അനന്തതകളിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധി കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 6

അതൊരു ഉദാഹരണമായി പരിഗണിക്കാം

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. പ്രവർത്തനം പരിശോധിച്ച ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അത് നിർമ്മിക്കാൻ തുടങ്ങാം.

ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് പോയിൻ്റുകളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നു

ഗ്രാഫ് കൂടുതൽ കൃത്യമാക്കുന്നതിന്, ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് പോയിൻ്റുകളിൽ നിരവധി ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 7

ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഫംഗ്ഷൻ തുല്യമായതിനാൽ, ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ മൂല്യങ്ങളുമായി മൂല്യങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നതായി നമുക്ക് ലഭിക്കും, അതായത്, നമുക്ക് x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 ലഭിക്കും.

നമുക്ക് എഴുതി പരിഹരിക്കാം:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

ഫംഗ്ഷൻ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ, ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് പോയിൻ്റുകൾ എന്നിവയുടെ മാക്സിമയും മിനിമയും നിർണ്ണയിക്കാൻ, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സൗകര്യപ്രദമായ സ്ഥാനനിർണ്ണയത്തിനായി, വർദ്ധിക്കുന്നതും കുറയുന്നതും കുത്തനെയുള്ളതും കോൺകാവിറ്റിയുടെ ഇടവേളകളും രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. താഴെയുള്ള ചിത്രം നോക്കാം.

അടയാളപ്പെടുത്തിയ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഗ്രാഫ് ലൈനുകൾ വരയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് അമ്പടയാളങ്ങൾ പിന്തുടർന്ന് അസിംപ്റ്റോട്ടുകളെ സമീപിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

ഇത് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണമായ പര്യവേക്ഷണം അവസാനിപ്പിക്കുന്നു. ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചില പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്ന കേസുകളുണ്ട്.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പഠനം വ്യക്തമായ ഒരു സ്കീം അനുസരിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്, അത് വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ആവശ്യമാണ് ഉറച്ച അറിവ്നിർവചനത്തിൻ്റെയും മൂല്യങ്ങളുടെയും ഡൊമെയ്ൻ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തുടർച്ച, അസിംപ്റ്റോട്ട്, എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ, പാരിറ്റി, ആവർത്തനങ്ങൾ തുടങ്ങിയ അടിസ്ഥാന ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ. വിദ്യാർത്ഥിക്ക് പ്രവർത്തനങ്ങളെ സ്വതന്ത്രമായി വേർതിരിക്കാനും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും കഴിയണം, അത് ചിലപ്പോൾ വളരെ സങ്കീർണ്ണമായേക്കാം.

അതായത്, ഈ ടാസ്‌ക് അറിവിൻ്റെ ഒരു പ്രധാന പാളി പരിശോധിക്കുന്നു, ഏത് വിടവും നേടുന്നതിന് തടസ്സമാകും ശരിയായ തീരുമാനം. പ്രത്യേകിച്ച് പലപ്പോഴും, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകുന്നു. ഈ തെറ്റ് ടീച്ചർക്ക് ഉടനടി ശ്രദ്ധയിൽ പെടുകയും മറ്റെല്ലാം ശരിയായി ചെയ്താലും നിങ്ങളുടെ ഗ്രേഡിനെ വളരെയധികം നശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം ഓൺലൈൻ പ്രവർത്തന ഗവേഷണ പ്രശ്നങ്ങൾ: പഠന ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഡൗൺലോഡ് പരിഹാരങ്ങൾ, ഓർഡർ അസൈൻമെൻ്റുകൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്‌ത് ഒരു ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക: ഓൺലൈനിൽ ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്കായി ധാരാളം റെഡിമെയ്ഡ് ഫംഗ്‌ഷൻ പഠനങ്ങൾ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്, അവ സൊല്യൂഷൻ ബുക്കിൽ പണമടച്ചതും ഫംഗ്‌ഷൻ പഠനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്ന വിഭാഗത്തിൽ സൗജന്യവുമാണ്. ഈ പരിഹരിച്ച ടാസ്ക്കുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സമാന ജോലികൾ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് വിശദമായി പരിചയപ്പെടാനും സമാനതകളാൽ നിങ്ങളുടെ ഗവേഷണം നടത്താനും കഴിയും.

ഞങ്ങൾ വാഗ്ദാനം തരുന്നു റെഡിമെയ്ഡ് ഉദാഹരണങ്ങൾഏറ്റവും സാധാരണമായ തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ പഠനവും പ്ലോട്ടിംഗും: ബഹുപദങ്ങൾ, ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ, യുക്തിരഹിതമായ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ. പരിഹരിക്കപ്പെട്ട ഓരോ പ്രശ്‌നവും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ, മാക്‌സിമ, മിനിമ എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം ഒരു റെഡിമെയ്ഡ് ഗ്രാഫ് ഉണ്ട്.

ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതിനാൽ, പരിഹരിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് വലിയ സഹായകമാകും. ഇതിനകം പരിഹരിച്ച നൂറുകണക്കിന് പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ, നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾലോകത്ത് അനന്തമായ സംഖ്യകളുണ്ട്, പാവപ്പെട്ട വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി കൂടുതൽ കൂടുതൽ തന്ത്രപരമായ ജോലികൾ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിൽ അധ്യാപകർ മികച്ച വിദഗ്ധരാണ്. അതിനാൽ, പ്രിയ വിദ്യാർത്ഥികളേ, യോഗ്യതയുള്ള സഹായം നിങ്ങളെ ഉപദ്രവിക്കില്ല.

ഇഷ്‌ടാനുസൃത പ്രവർത്തന ഗവേഷണ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ പങ്കാളികൾ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു സേവനം വാഗ്ദാനം ചെയ്യും - പൂർണ്ണ പ്രവർത്തന ഗവേഷണം ഓൺലൈനിൽഓർഡർ ചെയ്യാൻ. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ എല്ലാ ആവശ്യകതകളും പാലിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്കായി ചുമതല പൂർത്തിയാക്കും, അത് നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകനെ വളരെയധികം സന്തോഷിപ്പിക്കും.

ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾക്കായി ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പൂർണ്ണമായ പഠനം നടത്തും: ഞങ്ങൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും മൂല്യങ്ങളുടെ ഡൊമെയ്‌നും കണ്ടെത്തും, തുടർച്ചയും വിച്ഛേദവും പരിശോധിക്കും, തുല്യത സ്ഥാപിക്കും, ആനുകാലികതയ്‌ക്കായി നിങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുക, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. . കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, സഹായത്തോടെ കൂടുതൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ്: ഞങ്ങൾ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തും, എക്സ്ട്രീമ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണക്കാക്കുകയും ഗ്രാഫ് തന്നെ നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യും.

ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ജോലികളിലൊന്നാണ് വികസനം സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾപ്രവർത്തന സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങൾ.

ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x) ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ (a,b) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=f(x) (f"(x)0) വർദ്ധിക്കുന്നു. y=f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ (a,b) 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=f(x) (f"(x)0 ആയി കുറയുന്നു. )

ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുകയോ കൂടുകയോ ചെയ്യാത്ത ഇടവേളകളെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം മാറുന്ന നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രമേ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത മാറാൻ കഴിയൂ. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1 (1st മതിയായ അവസ്ഥഒരു തീവ്രതയുടെ അസ്തിത്വം).

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കട്ടെ, കൂടാതെ ഒരു അയൽപക്കം δ>0 ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, അതായത്, പ്രവർത്തനം ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായും ഇടവേളയിൽ (x 0 -δ,x 0)u(x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , കൂടാതെ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും ഒരു സ്ഥിരമായ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു. x 0 -δ,x 0), (x 0 , x 0 +δ) എന്നിവയിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്‌തമാണെങ്കിൽ, x 0 ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റാണ്, അവ പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, x 0 ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റല്ല . കൂടാതെ, x0 എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റുന്നുവെങ്കിൽ (x 0 f"(x)>0 ൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് തൃപ്തമായാൽ, x 0 ആണ് പരമാവധി പോയിൻ്റ്; ഡെറിവേറ്റീവ് മാറുകയാണെങ്കിൽ മൈനസ് മുതൽ പ്ലസ് വരെ (x 0 എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്ത f"(x) ൻ്റെ വലതുവശത്ത്<0, то х 0 - точка минимума.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകളെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എന്നും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി, മിനിമം പോയിൻ്റുകളെ അതിൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2 (ഒരു പ്രാദേശിക അതിരിൻ്റെ ആവശ്യമായ അടയാളം).

y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് നിലവിലെ x=x 0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ f'(x 0)=0 അല്ലെങ്കിൽ f'(x 0) നിലവിലില്ല.
ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളിൽ, അതിൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഓക്‌സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
2) നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത്. ഫംഗ്ഷൻ തുടർച്ചയുള്ളതും ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ അല്ലാത്തതോ ആയ പോയിൻ്റുകൾ.
3) ഓരോ പോയിൻ്റിൻ്റെയും അയൽപക്കം പരിഗണിക്കുക, ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക.
4) തീവ്ര പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക, ഈ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് നിർണ്ണായക പോയിൻ്റുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഉചിതമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുക.

ഉദാഹരണം 18. ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായി y=x 3 -9x 2 +24x ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുക

പരിഹാരം.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) ഡെറിവേറ്റീവിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ x 1 =2, x 2 =4 കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് എല്ലായിടത്തും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു; ഇതിനർത്ഥം കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഒഴികെ, മറ്റ് നിർണായക പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല.
3) y"=3(x-2)(x-4) എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നം ചിത്രം 1-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഇടവേളയെ ആശ്രയിച്ച് മാറുന്നു. x=2 എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറുന്നു, കൂടാതെ x=4 എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ - മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസ് വരെ.
4) x=2 പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി y max =20, പോയിൻ്റ് x=4 - കുറഞ്ഞ y മിനിറ്റ് =16.

സിദ്ധാന്തം 3. (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ).

f"(x 0) എന്നും x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ f""(x 0) ഉണ്ടെന്നും അനുവദിക്കുക. അപ്പോൾ f""(x 0)>0 ആണെങ്കിൽ, x 0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ, y=f(x) ഫംഗ്‌ഷന് ഏറ്റവും ചെറിയ (y ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്) അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും വലിയ (y ഏറ്റവും ഉയർന്ന) മൂല്യത്തിൽ എത്താൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഇടവേളയിൽ (a;b) കിടക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകളിൽ അല്ലെങ്കിൽ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ.

സെഗ്‌മെൻ്റിൽ y=f(x) എന്ന തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) f"(x) കണ്ടെത്തുക.
2) f"(x)=0 അല്ലെങ്കിൽ f"(x) നിലവിലില്ലാത്ത പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തി അവയിൽ നിന്ന് സെഗ്‌മെൻ്റിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നവ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
3) ഘട്ടം 2-ൽ ലഭിച്ച പോയിൻ്റുകളിലും സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്തും y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക, അവയിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതും തിരഞ്ഞെടുക്കുക: അവ യഥാക്രമം ഏറ്റവും വലുത് (y) ഇടവേളയിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതും (y ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്) മൂല്യങ്ങളും.

ഉദാഹരണം 19. സെഗ്‌മെൻ്റിൽ y=x 3 -3x 2 -45+225 എന്ന തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

1) നമുക്ക് സെഗ്മെൻ്റിൽ y"=3x 2 -6x-45 ഉണ്ട്
2) എല്ലാ x-നും y" എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്. നമുക്ക് y"=0 എന്ന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം; നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 പോയിൻ്റുകളിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക
സെഗ്‌മെൻ്റിൽ x=5 എന്ന പോയിൻ്റ് മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുത് 225 ആണ്, ഏറ്റവും ചെറിയത് 50 ആണ്. അതിനാൽ, y max = 225, y മിനിറ്റ് = 50.

കോൺവെക്സിറ്റിയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം

ചിത്രം രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, രണ്ടാമത്തേത് താഴേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.

y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയുള്ളതും (a;b) ഇടവേളയിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതുമാണ്, axb-ന്, അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിനേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ല (താഴ്‌ന്നതല്ല) എങ്കിൽ ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ കോൺവെക്‌സ് മുകളിലേക്ക് (താഴേക്ക്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏത് പോയിൻ്റിലും വരച്ച ടാൻജെൻ്റ് M 0 (x 0 ;f(x 0)), ഇവിടെ axb.

സിദ്ധാന്തം 4. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഇൻ്റീരിയർ പോയിൻ്റിൽ x എന്ന രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്ത് തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്യട്ടെ. അസമത്വം f""(x)0 ഇടവേളയിൽ (a;b) പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ താഴോട്ട് കുത്തനെയുള്ളതാണ്; അസമത്വം f""(x)0 ഇടവേളയിൽ (a;b) പിടിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലേയ്ക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.

സിദ്ധാന്തം 5. y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഇടവേളയിൽ (a;b) രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് x 0 പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ചിഹ്നം മാറുകയാണെങ്കിൽ, M(x 0 ;f(x 0)) ആണ് ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റ്.

ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം:

1) f""(x) നിലവിലില്ലാത്തതോ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതോ ആയ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
2) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ കാണുന്ന ഓരോ പോയിൻ്റിൻ്റെയും ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും f""(x) ചിഹ്നം പരിശോധിക്കുക.
3) സിദ്ധാന്തം 4 അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുക.

ഉദാഹരണം 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകളും ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. വ്യക്തമായും, f"(x)=0 എപ്പോൾ x 1 =0, x 2 =1. x=0 എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തെ മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറ്റുന്നു, എന്നാൽ x=1 എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ അത് ചിഹ്നം മാറില്ല. ഇതിനർത്ഥം x=0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് (y മിനിറ്റ് =12), കൂടാതെ പോയിൻ്റ് x=1-ൽ എക്സ്ട്രീം ഇല്ല. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു . രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് x 1 =1, x 2 =1/3 എന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറുന്നു: കിരണത്തിൽ (-∞;) നമുക്ക് f""(x)>0 ഉണ്ട്, ഇടവേളയിൽ (;1) നമുക്ക് f""(x) ഉണ്ട്.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. അതിനാൽ, x= എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിൻ്റാണ് (കോൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് താഴേക്കുള്ള കോൺവെക്‌സിറ്റി മുകളിലേയ്‌ക്കുള്ള പരിവർത്തനം) കൂടാതെ x=1 എന്നത് ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിൻ്റുമാണ് (കൺവെക്‌സിറ്റിയിൽ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് കോൺവെക്‌സിറ്റി താഴേക്കുള്ള പരിവർത്തനം). x= എങ്കിൽ y=; എങ്കിൽ, x=1, y=13.

ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

I. y=f(x) x → a ആയി ആണെങ്കിൽ, x=a ഒരു ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.
II. y=f(x) x → ∞ അല്ലെങ്കിൽ x → -∞ ആണെങ്കിൽ, y=A ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.
III. ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
1) കണക്കാക്കുക. പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ b ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, y=b ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോറ്റാണ്; എങ്കിൽ, രണ്ടാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
2) കണക്കാക്കുക. ഈ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, ലക്ഷണമില്ല; അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ k ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മൂന്നാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
3) കണക്കാക്കുക. ഈ പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, ലക്ഷണമില്ല; അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ b ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക.
4) ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക y=kx+b.

ഉദാഹരണം 21: ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുക

1)
2)
3)
4) ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനും അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുമുള്ള സ്കീം

I. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക.
II. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
III. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.
IV. സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
വി. നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
VI. ഓക്സിലറി ഫിഗർ ഉപയോഗിച്ച്, ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടയാളം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക. വർദ്ധിച്ചുവരുന്നതും കുറയുന്നതുമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മേഖലകൾ നിർണ്ണയിക്കുക, ഗ്രാഫിൻ്റെ കോൺവെക്‌സിറ്റിയുടെ ദിശ, തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റുകൾ, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
VII. 1-6 ഖണ്ഡികകളിൽ നടത്തിയ ഗവേഷണം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

ഉദാഹരണം 22: മുകളിലുള്ള ഡയഗ്രം അനുസരിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക

പരിഹാരം.
I. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ x=1 ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.
II. x 2 +1=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലാത്തതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് ഓക്‌സ് അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളില്ല, പക്ഷേ Oy അക്ഷത്തെ ബിന്ദുവിൽ (0;-1) വിഭജിക്കുന്നു.
III. അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം നമുക്ക് വ്യക്തമാക്കാം. x=1 എന്ന ഡിസ്‌കണ്ടിന്യുറ്റി പോയിൻ്റിന് സമീപമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സ്വഭാവം നമുക്ക് പഠിക്കാം. y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+ ആയതിനാൽ, x=1 എന്ന നേർരേഖ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോറ്റാണ്.
x → +∞(x → -∞) ആണെങ്കിൽ y → +∞(y → -∞); അതിനാൽ, ഗ്രാഫിന് ഒരു തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ടില്ല. കൂടാതെ, പരിധികളുടെ അസ്തിത്വത്തിൽ നിന്ന്

x 2 -2x-1=0 സമവാക്യം പരിഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് രണ്ട് എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ ലഭിക്കും:
x 1 =1-√2, x 2 =1+√2

വി. നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നു:

f""(x) അപ്രത്യക്ഷമാകാത്തതിനാൽ, നിർണായക പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല.
VI. ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അടയാളം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. പരിഗണിക്കേണ്ട സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ: x 1 =1-√2, x 2 =1+√2, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നെ ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) കൂടാതെ (1+√2;+∞).

ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും, ഡെറിവേറ്റീവ് അതിൻ്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു: ആദ്യത്തേതിൽ - പ്ലസ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ - മൈനസ്, മൂന്നാമത്തേതിൽ - പ്ലസ്. ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതപ്പെടും: +,-,+.
ഫംഗ്‌ഷൻ (-∞;1-√2)-ൽ കൂടുകയും (1-√2;1+√2)-ൽ കുറയുകയും (1+√2;+∞)-ൽ വീണ്ടും വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ: പരമാവധി x=1-√2, ഒപ്പം f(1-√2)=2-2√2 കുറഞ്ഞത് x=1+√2, f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1)-ൽ ഗ്രാഫ് മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, (1;+∞)-ൽ അത് താഴോട്ട് കുത്തനെയുള്ളതാണ്.
VII നമുക്ക് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം

VIII ലഭിച്ച ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സ്കീം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, കൂടാതെ തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീമ, മോണോടോണിസിറ്റി, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ എന്നിവ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും ഞങ്ങൾ നൽകും.

സ്കീം

1. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ (DOA).
2. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ, പാരിറ്റി, ആവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കവല (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ).
3. ബ്രേക്കിംഗ് പോയിൻ്റുകൾ (അവരുടെ തരം). തുടർച്ച. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ലംബമാണ്.
4. ഏകതാനതയും അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകളും.
5. ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ. കോൺവെക്സ്.
6. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾക്ക്: തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതുമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം.
7. ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

മോണോടോണിസിറ്റി ടെസ്റ്റ്

സിദ്ധാന്തം.ചടങ്ങാണെങ്കിൽ ജിതുടർച്ചയായി , വ്യത്യാസപ്പെടുത്തി (എ; ബി)ഒപ്പം g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(a; b), അത് ജിവർദ്ധിക്കുന്നത് (കുറയുന്നു). .

ഉദാഹരണം:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: xєR

y' = x 2 + 6x + 5.

സ്ഥിരമായ അടയാളങ്ങളുടെ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം y'. എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് y'ഒരു പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനമാണ്, അപ്പോൾ അത് പൂജ്യമാകുന്നതോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രമേ ചിഹ്നങ്ങൾ മാറ്റാൻ കഴിയൂ. അവളുടെ ODZ: xєR.

ഡെറിവേറ്റീവ് 0 (പൂജ്യം) ന് തുല്യമായ പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

y' = 0;

x = -1; -5.

അതിനാൽ, വൈവളരുന്നു (-∞; -5] കൂടാതെ [-1; +∞), വൈ ഇറങ്ങുന്നു .

അതിരുകടന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണം

ടി. x 0സെറ്റിലെ പരമാവധി പോയിൻ്റ് (പരമാവധി) എന്ന് വിളിക്കുന്നു എപ്രവർത്തനങ്ങൾ ജിഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം എടുക്കുമ്പോൾ g(x 0) ≥ g(x), xєA.

ടി. x 0ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് (മിനിറ്റ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ജിഒരു സെറ്റിൽ എഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം എടുക്കുമ്പോൾ g(x 0) ≤ g(x), xєА.

സെറ്റിൽ എപരമാവധി (പരമാവധി), ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ (മിനിറ്റ്) പോയിൻ്റുകളെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ജി. അത്തരം തീവ്രതകളെ സെറ്റിൽ സമ്പൂർണ്ണ എക്സ്ട്രീമ എന്നും വിളിക്കുന്നു .

എങ്കിൽ x 0- ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് ജിഅതിൻ്റെ ചില ജില്ലകളിൽ, പിന്നെ x 0ഫംഗ്ഷൻ്റെ ലോക്കൽ അല്ലെങ്കിൽ ലോക്കൽ എക്സ്ട്രീമത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് (പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിറ്റ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ജി.

സിദ്ധാന്തം (ആവശ്യമായ അവസ്ഥ).എങ്കിൽ x 0- ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് (ലോക്കൽ). ജി, അപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല അല്ലെങ്കിൽ ഈ പ്രദേശത്ത് 0 (പൂജ്യം) ന് തുല്യമാണ്.

നിർവ്വചനം.നിലവിലില്ലാത്തതോ 0 (പൂജ്യം) ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമോ ഉള്ള പോയിൻ്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളാണ് അങ്ങേയറ്റം സംശയാസ്പദമായത്.

സിദ്ധാന്തം (മതിയായ വ്യവസ്ഥ നമ്പർ 1).ചടങ്ങാണെങ്കിൽ ജിചില ജില്ലകളിൽ തുടർച്ചയായി അതായത്. x 0ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പരിവർത്തന സമയത്ത് ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ അടയാളം മാറുന്നു, തുടർന്ന് ഈ പോയിൻ്റ് തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റാണ് ജി.

സിദ്ധാന്തം (മതിയായ വ്യവസ്ഥ നമ്പർ 2).പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില ജില്ലകളിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ രണ്ടുതവണ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ g' = 0, ഒപ്പം g'' > 0 (g''< 0) , പിന്നെ ഈ പോയിൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി (പരമാവധി) അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ (മിനിറ്റ്) പോയിൻ്റാണ്.

ബൾജ് ടെസ്റ്റ്

ഫംഗ്‌ഷനെ ഇടവേളയിൽ താഴേക്കുള്ള കോൺവെക്സ് (അല്ലെങ്കിൽ കോൺകേവ്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു (എ, ബി)ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഏതെങ്കിലും x ഉള്ള ഇടവേളയിലെ സെക്കൻ്റിനേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ലെങ്കിൽ (എ, ബി), ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു .

ഫംഗ്ഷൻ കുത്തനെയുള്ളതായിരിക്കും (എ, ബി), if - ഗ്രാഫ് ഇടവേളയിലെ സെക്കൻ്റിനു താഴെയാണ്.

ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ മുകളിലേക്ക് (കോൺവെക്സ്) കുത്തനെയുള്ളതായി പറയപ്പെടുന്നു (എ, ബി), ഏതെങ്കിലും ടി പോയിൻ്റുകൾ കൂടെ (എ, ബി)ഇടവേളയിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ അബ്‌സിസ്സയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സെക്കൻ്റ് ലൈനേക്കാൾ കുറവല്ല. .

ഫംഗ്ഷൻ കർശനമായി മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതായിരിക്കും (എ, ബി), if - ഇടവേളയിലെ ഗ്രാഫ് സെക്കൻ്റ് ലൈനിന് മുകളിലാണ്.

ചില പോയിൻ്റ് ജില്ലയിൽ ഒരു ചടങ്ങാണെങ്കിൽ തുടർച്ചയായും അതിലൂടെയും ടി. x 0പരിവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ അതിൻ്റെ കോൺവെക്സിറ്റി മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് ഈ പോയിൻ്റിനെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അസിംപ്റ്റോട്ടുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം

നിർവ്വചനം.നേർരേഖയെ അസിംപ്റ്റോട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു g(x), കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് അനന്തമായ അകലത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലെ ഒരു പോയിൻ്റ് അതിനെ സമീപിക്കുന്നു: d(M,l).

അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ലംബവും തിരശ്ചീനവും ചരിഞ്ഞതും ആകാം.

സമവാക്യത്തോടുകൂടിയ ലംബ രേഖ x = x 0 ഫംഗ്‌ഷൻ g ൻ്റെ ലംബ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലക്ഷണമായിരിക്കും , പോയിൻ്റ് x 0-ൽ അനന്തമായ വിടവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ പോയിൻ്റിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു ഇടത് അല്ലെങ്കിൽ വലത് അതിർത്തിയുണ്ട് - അനന്തത.

ഏറ്റവും ചെറുതും വലുതുമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ പഠിക്കുന്നു

പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ , പിന്നെ വീയർസ്ട്രാസ് സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് ഈ സെഗ്മെൻ്റിൽ പരമാവധി മൂല്യവും കുറഞ്ഞ മൂല്യവും ഉണ്ട്, അതായത് ടി. അടങ്ങുന്ന കണ്ണട അത്തരം g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . ഏകതാനതയെയും തീവ്രതയെയും കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന്, ചെറുതും വലുതുമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഒരു ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.

പ്ലാൻ ചെയ്യുക

1. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക g'(x).
2. തിരയൽ പ്രവർത്തന മൂല്യം ജിഈ പോയിൻ്റുകളിലും സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്തും.
3. കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്ത് ഏറ്റവും ചെറുതും വലുതുമായത് തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

അഭിപ്രായം.നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിമിതമായ ഇടവേളയിൽ പഠിക്കണമെങ്കിൽ (എ, ബി), അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായി (-∞; b); (-∞; +∞)പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങളിൽ, പിന്നെ പ്ലാനിൽ, ഇടവേളയുടെ അറ്റത്തുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരം, ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ ഏകപക്ഷീയമായ അതിരുകൾക്കായി തിരയുന്നു: പകരം f(a)ഇതിനായി തിരയുന്നു f(a+) = limf(x), ഇതിനുപകരമായി f(b)ഇതിനായി തിരയുന്നു f(-b). ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ODZ ഒരു ഇടവേളയിൽ കണ്ടെത്താനാകും, കാരണം ഈ കേസിൽ കേവലമായ എക്‌സ്ട്രീമ നിലനിൽക്കണമെന്നില്ല.

ചില അളവുകളുടെ അതിരുകടന്ന പ്രയോഗിച്ച പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിനായി ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പ്രയോഗം

1. പ്രശ്‌ന പ്രസ്താവനയിൽ നിന്നുള്ള മറ്റ് അളവുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഈ അളവ് പ്രകടിപ്പിക്കുക, അതുവഴി ഇത് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ മാത്രം പ്രവർത്തനമാണ് (സാധ്യമെങ്കിൽ).
2. ഈ വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുക.
3. പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങളിൽ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷനെ കുറിച്ച് ഒരു പഠനം നടത്തുക.

ടാസ്ക്.ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്ലാറ്റ്ഫോം നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഒരു മീറ്റർ മെഷ് ഉപയോഗിച്ച്, ചുവരിന് നേരെ, ഒരു വശത്ത് അത് മതിലിനോട് ചേർന്നാണ്, മറ്റ് മൂന്നിൽ അത് ഒരു മെഷ് ഉപയോഗിച്ച് വേലികെട്ടിയിരിക്കുന്നു. ഏത് വീക്ഷണാനുപാതത്തിലാണ് അത്തരമൊരു പ്ലാറ്റ്‌ഫോമിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഏറ്റവും വലുത്?

എസ് = xy- 2 വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനം.

S = x(a - 2x)- ഒന്നാം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനം ; x є .

എസ് = കോടാലി - 2x 2 ; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം;

എസ്(0) =0.

ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ മറുവശം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: ചെയ്തത് = എ: 2.

വീക്ഷണ അനുപാതം: y: x = 2.

ഉത്തരം.ഏറ്റവും വലിയ പ്രദേശം തുല്യമായിരിക്കും ഒരു 2/8, മതിൽ സമാന്തരമായ വശം മറുവശത്തേക്കാൾ 2 മടങ്ങ് വലുതാണെങ്കിൽ.

പ്രവർത്തന പഠനം. ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1

ലഭ്യമാണ് y=x 3: (1-x) 2 . ഗവേഷണം നടത്തു.

1. ODZ: xє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. പോയിൻ്റ് 0 (പൂജ്യം) മായി ബന്ധപ്പെട്ട് പൊതുവായ രൂപത്തിൻ്റെ (ഇരട്ടയോ ഒറ്റയോ അല്ല) ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ സമമിതിയല്ല.
3. പ്രവർത്തന ചിഹ്നങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷൻ പ്രാഥമികമാണ്, അതിനാൽ അത് 0 (പൂജ്യം) ന് തുല്യമായ അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ലാത്ത പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രമേ ചിഹ്നം മാറ്റാൻ കഴിയൂ.
4. പ്രവർത്തനം പ്രാഥമികമാണ്, അതിനാൽ ODZ-ൽ തുടർച്ചയായി: (-∞; 1) U (1; ∞).

വിടവ്: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- 2-ആം തരത്തിലുള്ള (അനന്തം) വിച്ഛേദനം, അതിനാൽ പോയിൻ്റ് 1-ൽ ഒരു ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട് ഉണ്ട്;

x = 1- ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടിൻ്റെ സമവാക്യം.

5. y' = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y'): x ≠ 1;

x = 1- നിര്ണ്ണായക ബിന്ദു.

y' = 0;

0; 3 - നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

നിർണായക ഇനങ്ങൾ: 1, 0;

x = 0 - ബെൻഡ് പോയിൻ്റ്, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളൊന്നുമില്ല, പക്ഷേ ഒരു ചെരിഞ്ഞ ഒന്നുണ്ടാകാം.

k = 1- നമ്പർ;

b = 2- നമ്പർ.

അതിനാൽ, ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് ഉണ്ട് y = x + 2 at + ∞, at - ∞.

ഉദാഹരണം 2

നൽകിയത് y = (x 2 + 1) : (x - 1). ഉത്പാദിപ്പിക്കുക ഒപ്പംഗവേഷണം. ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

1. അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എന്നത് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഒഴികെയുള്ള മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയുമാണ് x = 1.

2. വൈക്രോസ് OY (സാധ്യമെങ്കിൽ) ഉൾപ്പെടെ. (0;g(0)). ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു y(0) = -1 - ടി കവല OY .

ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ OXസമവാക്യം പരിഹരിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു y = 0. സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല, അതിനാൽ ഈ ഫംഗ്ഷൻ വിഭജിക്കുന്നില്ല OX.

3. പ്രവർത്തനം ആനുകാലികമല്ല. പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക

g(-x) ≠ g(x), g(-x) ≠ -g(x). ഇതിനർത്ഥം ഇത് ഒരു പൊതു ഫംഗ്‌ഷൻ (ഇരട്ടമോ വിചിത്രമോ അല്ല) എന്നാണ്.

4. ടി. x = 1നിർത്തലാക്കൽ രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ളതാണ്. മറ്റെല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായതാണ്.

5. ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2 = y"

ഒപ്പം സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക y" = 0.

അതിനാൽ, 1 - √2, 1 + √2, 1 - നിർണ്ണായക പോയിൻ്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ സാധ്യമായ തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റുകൾ. ഈ പോയിൻ്റുകൾ സംഖ്യാ രേഖയെ നാല് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു .

ഓരോ ഇടവേളയിലും, ഡെറിവേറ്റീവിന് ഒരു നിശ്ചിത ചിഹ്നമുണ്ട്, അത് ഇടവേളകളുടെ രീതിയിലൂടെയോ വ്യക്തിഗത പോയിൻ്റുകളിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെയോ സ്ഥാപിക്കാവുന്നതാണ്. ഇടവേളകളിൽ (-∞; 1 - √2 ) യു (1 + √2 ; ∞) , പോസിറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവ്, അതായത് പ്രവർത്തനം വളരുകയാണ്; എങ്കിൽ xє(1 - √2 ; 1) യു(1; 1 + √2 ) , അപ്പോൾ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, കാരണം ഈ ഇടവേളകളിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്. ടി വഴി. x 1പരിവർത്തന സമയത്ത് (ചലനം ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പിന്തുടരുന്നു), ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം "+" ൽ നിന്ന് "-" ആയി മാറുന്നു, അതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു പ്രാദേശിക പരമാവധി ഉണ്ട്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

വൈപരമാവധി = 2 - 2 √2 .

കടന്നുപോകുമ്പോൾ x 2ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങളുടെ ചിഹ്നം “-” ൽ നിന്ന് “+” ലേക്ക്, അതിനാൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു പ്രാദേശിക മിനിമം ഉണ്ട്, കൂടാതെ

y മിക്സ് = 2 + 2√2.

ടി. x = 1അത്ര തീവ്രമല്ല.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

ഓൺ (-∞; 1 ) 0 > y"" , തത്ഫലമായി, ഈ ഇടവേളയിൽ വക്രം കുത്തനെയുള്ളതാണ്; xє ആണെങ്കിൽ (1 ; ∞) - വളവ് കോൺകേവ് ആണ്. ടിയിൽ പോയിൻ്റ് 1ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല, അതിനാൽ ഈ പോയിൻ്റ് ഒരു ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റല്ല.

7. ഖണ്ഡിക 4 ൻ്റെ ഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു x = 1- വക്രതയുടെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട്.

തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളൊന്നുമില്ല.

x + 1 = വൈ - ഈ വക്രത്തിൻ്റെ ചരിഞ്ഞ ലക്ഷണം. മറ്റ് രോഗലക്ഷണങ്ങളൊന്നുമില്ല.

8. നടത്തിയ ഗവേഷണം കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു (മുകളിലുള്ള ചിത്രം കാണുക).

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പഠിക്കുമ്പോഴും അവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോഴും റഫറൻസ് പോയിൻ്റുകൾ സ്വഭാവ പോയിൻ്റുകളാണ് - വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ, തീവ്രത, ഇൻഫ്ലക്ഷൻ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായുള്ള വിഭജനം. ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും സവിശേഷതകൾഫംഗ്ഷനുകളിലെ മാറ്റങ്ങൾ: വർദ്ധനവും കുറവും, പരമാവധി, മിനിമം, ഗ്രാഫിൻ്റെ കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും കോൺകാവിറ്റിയുടെയും ദിശ, അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സാന്നിധ്യം.

അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്‌കെച്ച് വരയ്‌ക്കാം (കൂടാതെ വേണം), പഠനം പുരോഗമിക്കുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പഠനത്തിൻ്റെ സംഗ്രഹ പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫംഗ്ഷൻ പഠന പദ്ധതി സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

1.നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ, തുടർച്ചയുടെ ഇടവേളകൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ബ്രേക്ക്‌പോയിൻ്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

2.തുല്യത അല്ലെങ്കിൽ വിചിത്രത (ഗ്രാഫിൻ്റെ അക്ഷീയ അല്ലെങ്കിൽ കേന്ദ്ര സമമിതി) എന്നതിനായുള്ള പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുക.

3.അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ (ലംബമോ തിരശ്ചീനമോ ചരിഞ്ഞതോ) കണ്ടെത്തുക.

4.പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെയും കുറവിൻ്റെയും ഇടവേളകൾ, അതിൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തി പഠിക്കുക.

5.വക്രതയുടെ കോൺവെക്സിറ്റിയുടെയും കോൺകാവിറ്റിയുടെയും ഇടവേളകൾ, അതിൻ്റെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

6.കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വക്രത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

7.പഠനത്തിൻ്റെ ഒരു സംഗ്രഹ പട്ടിക സമാഹരിക്കുക.

8.മുകളിൽ വിവരിച്ച പോയിൻ്റുകൾ അനുസരിച്ച് നടത്തിയ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പഠനം കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.പ്രവർത്തനം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക

അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക.

7. ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനായി നമുക്ക് ഒരു സംഗ്രഹ പട്ടിക സമാഹരിക്കാം, അവിടെ ഞങ്ങൾ എല്ലാ സ്വഭാവ സവിശേഷതകളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഇടവേളകളും നൽകും. ഫംഗ്ഷൻ്റെ പാരിറ്റി കണക്കിലെടുത്ത്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക ലഭിക്കും: