ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ആദ്യം, എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് പഠിക്കാം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ. വേരിയബിളിൻ്റെ അത്തരം എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ അർത്ഥവത്താണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനായി തുക ഉണ്ടാക്കുന്ന എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും അർത്ഥമാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനയുടെ സാധുതയെക്കുറിച്ച് യാതൊരു സംശയവുമില്ല:

f ഫംഗ്ഷൻ f 1, f 2, …, f n എന്നീ n ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ, f ഫംഗ്ഷൻ y=f 1 (x)+f 2 (x)+...+f n (x) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് നൽകുന്നത്. ), തുടർന്ന് f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ f 1, f 2, ..., f n ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളുടെ കവലയാണ്. നമുക്ക് ഇത് എന്ന് എഴുതാം.

അവസാനത്തേതിന് സമാനമായ എൻട്രികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടരാൻ സമ്മതിക്കാം, അതിലൂടെ ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു ചുരുണ്ട ബ്രേസിനുള്ളിൽ എഴുതിയത് അല്ലെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും വ്യവസ്ഥകളുടെ ഒരേസമയം പൂർത്തീകരണം എന്നാണ്. ഇത് സൗകര്യപ്രദവും സ്വാഭാവികമായും സിസ്റ്റങ്ങളുടെ അർത്ഥവുമായി പ്രതിധ്വനിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

y=x 7 +x+5+tgx എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ നിർവചന ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പരിഹാരം.

നാല് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് f ഫംഗ്‌ഷൻ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്: f 1 - എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 7 ഉള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ, f 2 - എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 1 ഉള്ള പവർ ഫംഗ്ഷൻ, f 3 - കോൺസ്റ്റൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ, എഫ് 4 - ടാൻജെൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ.

പ്രധാനം നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള മേഖലകളുടെ പട്ടിക നോക്കുന്നു പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ, D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , കൂടാതെ ഡൊമെയ്ൻ സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനം എല്ലാറ്റിൻ്റെയും ഗണമാണ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾഅക്കങ്ങൾ ഒഴികെ .

f 1, f 2, f 3, f 4 എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളുടെ കവലയാണ് f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ. അക്കങ്ങൾ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ് ഇത് എന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ് .

ഉത്തരം:

ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും കൂട്ടം .

നമുക്ക് കണ്ടെത്തലിലേക്ക് പോകാം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമാനമായ ഒരു നിയമം ബാധകമാണ്:

f ഫംഗ്‌ഷൻ f 1, f 2, ..., f n ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗുണനഫലമാണെങ്കിൽ, f എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഫോർമുലയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), തുടർന്ന് f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ f 1, f 2, ..., f n ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളുടെ കവലയാണ്. അതിനാൽ, .

ഇത് മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ, സൂചിപ്പിച്ച പ്രദേശത്ത് എല്ലാ ഉൽപ്പന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളും നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ ഫംഗ്ഷൻ f തന്നെ.

ഉദാഹരണം.

Y=3·arctgx·lnx.

പരിഹാരം.

ഫംഗ്‌ഷനെ നിർവചിക്കുന്ന ഫോർമുലയുടെ വലതുവശത്തെ ഘടനയെ f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) ആയി കണക്കാക്കാം, ഇവിടെ f 1 ഒരു സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനമാണ്, f 2 എന്നത് ആർക്റ്റഞ്ചൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷനാണ്, കൂടാതെ f 3 അടിസ്ഥാന e ഉള്ള ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(-−∞, +∞) കൂടാതെ D(f 3)=(0, +∞) എന്നിവ നമുക്കറിയാം. പിന്നെ .

ഉത്തരം:

y=3·arctgx·lnx ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.

y=C·f(x) എന്ന ഫോർമുല നൽകുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ നമുക്ക് പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം, ഇവിടെ C എന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും യോജിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. തീർച്ചയായും, ഫംഗ്‌ഷൻ y=C·f(x) ഒരു സ്ഥിരാങ്ക ഫംഗ്‌ഷൻ്റെയും ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെയും ഫലമാണ്. സ്ഥിരമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്, കൂടാതെ f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ D(f) ആണ്. അപ്പോൾ y=C f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ആണ് , അതാണ് കാണിക്കേണ്ടത്.

അതിനാൽ, y=f(x), y=C·f(x) എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകൾ ഒത്തുചേരുന്നു, ഇവിടെ C എന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, റൂട്ടിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ആണ്, F 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ x-ൻ്റെയും സെറ്റാണ് D(f) എന്ന് വ്യക്തമാകും, ഇതിനായി f 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ f 2 (x) ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ y=f 1 (f 2 (x)) എന്നത് രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ കവലയാണ്: അത്തരം എല്ലാ x ആ x∈D(f 2) യുടെയും x ൻ്റെയും ഗണവും f 2 (x)D(f 1) അതായത്, നമ്മൾ സ്വീകരിച്ച നൊട്ടേഷനിൽ (ഇത് അടിസ്ഥാനപരമായി അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്).

ചില ഉദാഹരണ പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം. ഈ പ്രക്രിയയെ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിവരിക്കില്ല, കാരണം ഇത് ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ പരിധിക്കപ്പുറമാണ്.

ഉദാഹരണം.

y=lnx 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനെ y=f 1 (f 2 (x)) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഇവിടെ f 1 അടിസ്ഥാന e ഉള്ള ഒരു ലോഗരിതം ആണ്, f 2 ആണ് വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനം 2 എന്ന സൂചകത്തോടൊപ്പം.

പ്രധാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ഡൊമെയ്‌നുകളിലേക്ക് തിരിയുമ്പോൾ, നമുക്ക് D(f 1)=(0, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞) .

പിന്നെ

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തി, ഇത് പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.

ഉത്തരം:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എന്താണ് ?

പരിഹാരം.

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സങ്കീർണ്ണമാണ്, ഇതിനെ y=f 1 (f 2 (x)) ആയി കണക്കാക്കാം, ഇവിടെ f 1 എന്നത് എക്‌സ്‌പോണൻ്റോടുകൂടിയ ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, കൂടാതെ f 2 എന്നത് ആർക്‌സൈൻ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്കറിയാവുന്നത് നോക്കാം: D(f 1)=(0, +∞) കൂടാതെ D(f 2)=[−1, 1] . x∈D(f 2), f 2 (x)∈D(f 1) എന്നിങ്ങനെയുള്ള x മൂല്യങ്ങളുടെ സെറ്റുകളുടെ വിഭജനം കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

arcsinx>0-ലേക്ക്, arcsine ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഓർക്കുക. നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലുടനീളം ആർക്‌സൈൻ വർദ്ധിക്കുകയും [−1, 1] x=0-ൽ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ, ഇടവേളയിൽ നിന്ന് (0, 1] ഏത് x-നും arcsinx>0.

നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ആവശ്യമായ ഡൊമെയ്ൻ പകുതി ഇടവേളയാണ് (0, 1].

ഉത്തരം:

(0, 1] .

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് പോകാം പൊതുവായ കാഴ്ച y=f 1 (f 2 (...f n (x)))) . ഈ കേസിൽ f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഇങ്ങനെയാണ് കാണപ്പെടുന്നത് .

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം.

നൽകിയത് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) എന്ന് എഴുതാം, ഇവിടെ f 1 - sin, f 2 - ഫോർത്ത്-ഡിഗ്രി റൂട്ട് ഫംഗ്ഷൻ, f 3 - ലോഗ്.

D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= എന്ന് നമുക്കറിയാം ∪ ∪

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള വാക്കാലുള്ള രീതിയിൽ, നിങ്ങൾ അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുകയും അവിടെ Xs-ൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും വേണം. ചിലപ്പോൾ കണ്ണുകൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നു, പക്ഷേ വാക്കുകൾ ബോധത്തെ മറികടക്കുന്നു, അതെ...) മുമ്പത്തെ പാഠത്തിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണം:

ഫംഗ്ഷൻ വ്യവസ്ഥയാൽ വ്യക്തമാക്കുന്നു: സ്വാഭാവിക ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ ഓരോ മൂല്യവും x ൻ്റെ മൂല്യം ഉണ്ടാക്കുന്ന അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് മാത്രം X ൻ്റെ സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങളെക്കുറിച്ച്. പിന്നെ ഡി(എഫ്)തൽക്ഷണം രേഖപ്പെടുത്തി:

D(f): x ∈ എൻ

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വ്യാപ്തി അങ്ങനെയല്ല സങ്കീർണ്ണമായ ആശയം. ഈ പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കുന്നതിനും അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം എഴുതുന്നതിനും ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനും വരുന്നു. തീർച്ചയായും, ലളിതവും സങ്കീർണ്ണവുമായ എല്ലാ തരത്തിലുള്ള സംവിധാനങ്ങളും ഉണ്ട്. പക്ഷേ...

ഞാനത് തുറക്കാം ചെറിയ രഹസ്യം. ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഭയപ്പെടുത്തുന്നതായി തോന്നുന്നു. ഞാൻ വിളറി കരയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.) എന്നാൽ അസമത്വങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥ ഞാൻ എഴുതുമ്പോൾ തന്നെ... പെട്ടെന്ന്, സിസ്റ്റം പ്രാഥമികമായി മാറുന്നു! മാത്രമല്ല, പലപ്പോഴും, കൂടുതൽ ഭയാനകമായ പ്രവർത്തനം, സിസ്റ്റം ലളിതമാണ് ...

ധാർമ്മികത: കണ്ണുകൾ ഭയപ്പെടുന്നു, തല തീരുമാനിക്കുന്നു!)

ഒരു വേരിയബിളുള്ള ഏതൊരു എക്‌സ്‌പ്രഷനും അതിൻ്റേതായ സാധുവായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി ഉണ്ട്, അവിടെ അത് നിലവിലുണ്ട്. തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ ODZ എപ്പോഴും കണക്കിലെടുക്കണം. അത് ഇല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് തെറ്റായ ഫലം ലഭിച്ചേക്കാം.

ODZ എങ്ങനെ ശരിയായി കണ്ടെത്താമെന്നും ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും ഈ ലേഖനം കാണിക്കും. തീരുമാനമെടുക്കുമ്പോൾ DZ സൂചിപ്പിക്കേണ്ടതിൻ്റെ പ്രാധാന്യവും ചർച്ച ചെയ്യും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

സാധുതയുള്ളതും അസാധുവായതുമായ വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ

ഈ നിർവചനം വേരിയബിളിൻ്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുമ്പോൾ, അത് എന്ത് ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് നോക്കാം.

ഗ്രേഡ് 7 മുതൽ, ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ. വേരിയബിളുകളുള്ള പ്രാരംഭ നിർവചനങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത വേരിയബിളുകളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ അർത്ഥത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

തിരഞ്ഞെടുത്ത വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉള്ളപ്പോൾ, അവയിൽ ചിലത് തൃപ്തികരമല്ലായിരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫോം 1 ൻ്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം: a, a = 0 ആണെങ്കിൽ, അത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. അതായത്, പദപ്രയോഗത്തിന് ഏത് സാഹചര്യത്തിലും അനുയോജ്യവും ഉത്തരം നൽകുന്നതുമായ മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിലവിലുള്ള വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവ അർത്ഥമാക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 1

വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയെ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ മാത്രമേ അത് അർത്ഥമാക്കൂ.

നിർവ്വചനം 2

വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തപ്പോൾ അത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

അതായത്, ഇത് ഒരു പൂർണ്ണമായ നിർവചനം സൂചിപ്പിക്കുന്നു

നിർവ്വചനം 3

നിലവിലുള്ള അനുവദനീയമായ വേരിയബിളുകൾ പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളാണ്. അത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അവ അസ്വീകാര്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

മുകളിൽ പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്: ഒന്നിൽ കൂടുതൽ വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അനുയോജ്യമായ ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് വേരിയബിളുകൾ ഉള്ള 1 x - y + z എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ പരിഗണിക്കുക. അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് x = 0, y = 1, z = 2 എന്ന് എഴുതാം, അതേസമയം മറ്റൊരു എൻട്രിക്ക് ഫോം ഉണ്ട് (0, 1, 2). ഈ മൂല്യങ്ങളെ സാധുത എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത് പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും. നമുക്ക് 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 ലഭിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കാണുന്നത് (1, 1, 2) അസ്വീകാര്യമാണ്. പകരം വയ്ക്കുന്നത് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതായത് 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

എന്താണ് ODZ?

സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി - പ്രധാന ഘടകംബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ വിലയിരുത്തുമ്പോൾ. അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ ഇത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

നിർവ്വചനം 4

ODZ ഏരിയനൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ്.

ഒരു ഉദാഹരണ പ്രയോഗം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

നമുക്ക് 5 z - 3 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ODZ ന് ഫോം (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) ഉണ്ട്. തന്നിരിക്കുന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷനുള്ള വേരിയബിൾ z-നെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സാധുവായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയാണിത്.

z x - y ഫോമിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, x ≠ y, z ഏതെങ്കിലും മൂല്യം എടുക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇതിനെ ODZ എക്സ്പ്രഷനുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജനം ലഭിക്കാതിരിക്കാൻ ഇത് കണക്കിലെടുക്കണം.

അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധിക്കും നിർവചനത്തിൻ്റെ പരിധിക്കും ഒരേ അർത്ഥമുണ്ട്. അവയിൽ രണ്ടാമത്തേത് മാത്രമേ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കായി ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ, ആദ്യത്തേത് സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങൾക്കായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. DL ൻ്റെ സഹായത്തോടെ, പദപ്രയോഗം അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വം അർത്ഥവത്താണ്. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ f (x) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിനായുള്ള വേരിയബിളിൻ്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ODZ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഉദാഹരണങ്ങൾ, പരിഹാരങ്ങൾ

ODZ കണ്ടെത്തുക എന്നതിനർത്ഥം എല്ലാം കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് സാധുവായ മൂല്യങ്ങൾ, തന്നിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിനോ അസമത്വത്തിനോ അനുയോജ്യമാണ്. ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നതിൽ പരാജയപ്പെടുന്നത് തെറ്റായ ഫലങ്ങൾക്ക് കാരണമായേക്കാം. ODZ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിലെ പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്.

അവയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ അസാധ്യമായ എക്സ്പ്രഷനുകളുണ്ട്:

• പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ;
• ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കൽ;
• ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ സൂചകത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം - പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രം;
• ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു;
• ടാൻജെൻ്റ് π 2 + π · k, k ∈ Z, cotangent π · k, k ∈ Z എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ;
• ഒരു സംഖ്യയുടെ ആർക്സൈൻ, ആർക്കോസൈൻ എന്നിവയുടെ മൂല്യം [-1 യിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത മൂല്യം കണ്ടെത്തൽ; 1 ] .

ODZ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് എത്ര പ്രധാനമാണെന്ന് ഇതെല്ലാം കാണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 3

ODZ എക്സ്പ്രഷൻ x 3 + 2 x y - 4 കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം

ഏത് സംഖ്യയും ക്യൂബ് ചെയ്യാം. ഈ പദപ്രയോഗത്തിന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയില്ല, അതിനാൽ x, y എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും ആകാം. അതായത്, ODZ എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്.

ഉത്തരം: x, y - ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 4

1 3 - x + 1 0 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമാകുന്നിടത്ത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ടെന്ന് കാണാം. ഇതിനർത്ഥം x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും നമുക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം, ഈ പദപ്രയോഗം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം, അതായത്, ഇതിന് അധിക ബാധ്യതയൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം: ∅ .

ഉദാഹരണം 5

നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്തുക x + 2 · y + 3 - 5 · x.

പരിഹാരം

ലഭ്യത സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഈ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയിരിക്കണം എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ചെയ്തത് നെഗറ്റീവ് മൂല്യംഅർത്ഥമില്ല. x + 2 · y + 3 ≥ 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അസമത്വം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അതായത്, സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ആവശ്യമുള്ള ശ്രേണിയാണിത്.

ഉത്തരം: x, y എന്നിവയുടെ സെറ്റ്, ഇവിടെ x + 2 y + 3 ≥ 0.

ഉദാഹരണം 6

1 x + 1 - 1 + ലോഗ് x + 8 (x 2 + 3) ഫോമിൻ്റെ ODZ എക്സ്പ്രഷൻ നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട്, അതിനാൽ അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കരുത്. നമുക്ക് x + 1 - 1 ≠ 0 ലഭിക്കും. പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത് x + 1 ≥ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ സമൂലമായ പദപ്രയോഗം എല്ലായ്പ്പോഴും അർത്ഥവത്താണ്. ഇതിന് ഒരു ലോഗരിതം ഉള്ളതിനാൽ, അതിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷൻ കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം, അതായത്, x 2 + 3 > 0. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും ഉണ്ടായിരിക്കണം പോസിറ്റീവ് മൂല്യം 1-ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഞങ്ങൾ x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1 എന്നീ വ്യവസ്ഥകൾ ചേർക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ള ODZ ഫോം എടുക്കുമെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു വേരിയബിളുമായി അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന ODZ നൊട്ടേഷനിലേക്ക് നയിക്കും [− 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

ഉത്തരം: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

ഡ്രൈവിംഗ് മാറ്റുമ്പോൾ DPD പരിഗണിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമായിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തന സമയത്ത്, ODZ കണ്ടെത്തേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ODZ ൻ്റെ അസ്തിത്വം സംഭവിക്കാത്ത സന്ദർഭങ്ങളുണ്ട്. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടോ എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ എക്സ്പ്രഷനിലെ വേരിയബിളുകളുടെ VA ഉം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ്റെ VA ഉം താരതമ്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനങ്ങൾ:

• DL-നെ ബാധിച്ചേക്കില്ല;
• DZ ൻ്റെ വികാസം അല്ലെങ്കിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം;
• DZ നെ ചുരുക്കാൻ കഴിയും.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 7

നമുക്ക് x 2 + x + 3 · x എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ODZ നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. കൊണ്ടുവരുമ്പോൾ പോലും സമാനമായ നിബന്ധനകൾകൂടാതെ ODZ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ലളിതവൽക്കരണം മാറില്ല.

ഉദാഹരണം 8

x + 3 x - 3 x എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണമെടുത്താൽ, കാര്യങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്. നമുക്ക് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ട്. പൂജ്യത്താൽ വിഭജിക്കുന്നത് അസ്വീകാര്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അപ്പോൾ ODZ ന് ഫോം ഉണ്ട് (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . പൂജ്യം ഒരു പരിഹാരമല്ലെന്ന് കാണാൻ കഴിയും, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു പരാൻതീസിസ് ഉപയോഗിച്ച് ചേർക്കുന്നു.

ഒരു സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യമുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 9

x - 1 · x - 3 ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ODZ-ൽ ശ്രദ്ധിക്കണം, കാരണം അത് അസമത്വം (x - 1) · (x - 3) ≥ 0 ആയി എഴുതണം. ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ സാധിക്കും, തുടർന്ന് ODZ ഫോം എടുക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . x - 1 · x - 3 രൂപാന്തരപ്പെടുത്തി വേരുകളുടെ സ്വത്ത് പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, ODZ സപ്ലിമെൻ്റ് ചെയ്യാനും എല്ലാം x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ ഫോമിൻ്റെ അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതാനും കഴിയും. 0. അത് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു [3 , + ∞) . ഇതിനർത്ഥം ODZ പൂർണ്ണമായും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു എന്നാണ്: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

DZ ഇടുങ്ങിയ രൂപാന്തരങ്ങൾ ഒഴിവാക്കണം.

ഉദാഹരണം 10

x = - 1 ആകുമ്പോൾ x - 1 · x - 3 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . ഞങ്ങൾ ഈ പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തി x - 1 · x - 3 ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുകയാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടുമ്പോൾ 2 - 1 · 2 - 3 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് അർത്ഥമില്ല, കാരണം റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

ODZ മാറാത്ത സമാന പരിവർത്തനങ്ങൾ പാലിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അതിൽ വിപുലീകരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ഡിഎൽ-ലേക്ക് ചേർക്കണം.

ഉദാഹരണം 11

x x 3 + x ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഉദാഹരണം നോക്കാം. ഞങ്ങൾ x ഉപയോഗിച്ച് റദ്ദാക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് 1 x 2 + 1 ലഭിക്കും. അപ്പോൾ ODZ വികസിക്കുകയും (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) ആകുകയും ചെയ്യുന്നു. മാത്രമല്ല, കണക്കുകൂട്ടുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ രണ്ടാമത്തെ ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ, സ്ഥിതി അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഉദാഹരണം 12

ln x + ln (x + 3) എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി അടിസ്ഥാനമാക്കി ln (x · (x + 3)) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ODZ (0 , + ∞) മുതൽ (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) ലേക്ക് കാണാനാകും. അതിനാൽ, ODZ ln (x · (x + 3)) നിർണ്ണയിക്കാൻ ODZ-ൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത് (0, + ∞) സെറ്റ്.

പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, വ്യവസ്ഥ നൽകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഘടനയും തരവും എപ്പോഴും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഡെഫനിഷൻ ഏരിയ ശരിയായി കണ്ടെത്തിയാൽ, ഫലം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക