നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രികളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ. സംഖ്യാ ശക്തി: നിർവചനങ്ങൾ, നൊട്ടേഷൻ, ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഗുണനവുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനമാണ് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ; ഈ പ്രവർത്തനം ഒരു സംഖ്യയെ ആവർത്തിച്ച് ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലമാണ്. നമുക്ക് അതിനെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം: a1 * a2 * … * an = an.

ഉദാഹരണത്തിന്, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

പൊതുവേ, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട് വിവിധ ഫോർമുലകൾഗണിതത്തിലും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും. സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, വിഭജനം എന്നീ നാല് പ്രധാന ലക്ഷ്യങ്ങളേക്കാൾ കൂടുതൽ ശാസ്ത്രീയമായ ഉദ്ദേശ്യം ഈ ഫംഗ്ഷനുണ്ട്.

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനമല്ല. ഗുണനവും സങ്കലനവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിന് സമാനമായ രീതിയിൽ ഇത് ഗുണനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. "a" സംഖ്യകളുടെ n-ാമത്തെ സംഖ്യയെ പരസ്പരം ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഒരു ഹ്രസ്വ നൊട്ടേഷനാണ് a എന്ന നൊട്ടേഷൻ.

പരമാവധി എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ പരിഗണിക്കുക ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ, സങ്കീർണ്ണമായവയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 42. 42 = 4 * 4 = 16. നാല് സ്ക്വയർ (രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക്) പതിനാറിന് തുല്യമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനം 4 * 4 മനസ്സിലായില്ലെങ്കിൽ, ഗുണനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഞങ്ങളുടെ ലേഖനം വായിക്കുക.

നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . അഞ്ച് ക്യൂബ്ഡ് (മൂന്നാം ശക്തിയിലേക്ക്) നൂറ്റി ഇരുപത്തഞ്ചിന് തുല്യമാണ്.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . ഒമ്പത് ക്യൂബ് എഴുനൂറ്റി ഇരുപത്തിയൊമ്പതിന് തുല്യമാണ്.

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകൾ

ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ശരിയായി ഉയർത്താൻ, ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുകയും അറിയുകയും വേണം. ഇതിൽ അധിക സ്വാഭാവികമായി ഒന്നുമില്ല, പ്രധാന കാര്യം സാരാംശം മനസിലാക്കുക എന്നതാണ്, തുടർന്ന് അവ ഓർമ്മിക്കപ്പെടുക മാത്രമല്ല, എളുപ്പമുള്ളതായി തോന്നുകയും ചെയ്യും.

ഒരു അധികാരത്തിലേക്ക് ഒരു മോണോമിയൽ ഉയർത്തുന്നു

എന്താണ് മോണോമിയൽ? ഏത് അളവിലും സംഖ്യകളുടെയും വേരിയബിളുകളുടെയും ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണിത്. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് ഒരു മോണോമിയലാണ്. ഈ ലേഖനം കൃത്യമായി അത്തരം മോണോമിയലുകൾ അധികാരത്തിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ്.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷനുള്ള ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു മോണോമിയലിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ കണക്കാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; നിങ്ങൾ ഒരു മോണോമിയലിനെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയാണെങ്കിൽ, മോണോമിയലിൻ്റെ ഓരോ ഘടകവും ഒരു പവറായി ഉയർത്തപ്പെടും.

ഇതിനകം ഒരു പവർ ഉള്ള ഒരു വേരിയബിൾ ഉയർത്തുന്നതിലൂടെ, ശക്തികൾ ഗുണിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

നെഗറ്റീവ് ബിരുദം- പരസ്പര സംഖ്യ. പരസ്പര സംഖ്യ എന്താണ്? ഏതൊരു സംഖ്യയും X ൻ്റെ പരസ്പര സംഖ്യ 1/X ആണ്. അതായത്, X-1=1/X. ഇതാണ് നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രിയുടെ സാരാംശം.

ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

എന്തുകൊണ്ടാണത്? ഡിഗ്രിയിൽ ഒരു മൈനസ് ഉള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഈ പദപ്രയോഗം ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് അത് മൂന്നാം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. ലളിതമല്ലേ?

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുന്നത് ആരംഭിക്കാം നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം. 43/2. ഡിഗ്രി 3/2 എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? 3 - ന്യൂമറേറ്റർ, ഒരു സംഖ്യയെ (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 4) ഒരു ക്യൂബിലേക്ക് ഉയർത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. നമ്പർ 2 ആണ് ഡിനോമിനേറ്റർ; ഇത് ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ടിൻ്റെ വേർതിരിച്ചെടുക്കലാണ് (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 4).

അപ്പോൾ നമുക്ക് 43 = 2^3 = 8 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം ലഭിക്കും. ഉത്തരം: 8.

അതിനാൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഡിഗ്രിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഒന്നുകിൽ 3 അല്ലെങ്കിൽ 4 അല്ലെങ്കിൽ അനന്തതയിലേക്കുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ആകാം, ഈ സംഖ്യ ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കുന്നു സ്ക്വയർ റൂട്ട്, നൽകിയിരിക്കുന്ന നമ്പറിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചെടുത്തത്. തീർച്ചയായും, ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമാകാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഒരു റൂട്ട് ഉയർത്തുന്നു

റൂട്ടിൻ്റെ ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമായ ഒരു ഡിഗ്രിയിലേക്ക് റൂട്ട് ഉയർത്തിയാൽ, ഉത്തരം ഒരു സമൂലമായ പദപ്രയോഗമായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, (√x)2 = x. അതിനാൽ ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, വേരിൻ്റെ അളവും റൂട്ട് ഉയർത്തുന്നതിൻ്റെ അളവും തുല്യമാണ്.

എങ്കിൽ (√x)^4. തുടർന്ന് (√x)^4=x^2. പരിഹാരം പരിശോധിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗത്തെ ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ ഉള്ള ഒരു എക്സ്പ്രഷനാക്കി മാറ്റുന്നു. റൂട്ട് ചതുരമായതിനാൽ, ഡിനോമിനേറ്റർ 2 ആണ്. കൂടാതെ റൂട്ട് നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ, ന്യൂമറേറ്റർ 4 ആണ്. നമുക്ക് 4/2=2 ലഭിക്കും. ഉത്തരം: x = 2.

എന്തായാലും മികച്ച ഓപ്ഷൻപദപ്രയോഗത്തെ ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ ഉള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമാക്കി മാറ്റുക. ഭിന്നസംഖ്യ റദ്ദാക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഇതാണ് ഉത്തരം.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

എന്താണ് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ? a + b * i എന്ന ഫോർമുല ഉള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമാണ് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ; a, b - യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ. ഞാൻ ഒരു സംഖ്യയാണ്, അത് ചതുരമാക്കുമ്പോൾ, -1 എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്നു.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

കോഴ്‌സിനായി സൈൻ അപ്പ് ചെയ്യുക "മാനസിക ഗണിത വേഗത്തിലാക്കുക, അല്ല മാനസിക ഗണിതശാസ്ത്രം"വേഗത്തിലും കൃത്യമായും എങ്ങനെ കൂട്ടിച്ചേർക്കാം, കുറയ്ക്കുക, ഗുണിക്കുക, ഹരിക്കുക, വർഗ്ഗ സംഖ്യകൾ, വേരുകൾ എടുക്കുക എന്നിവപോലും പഠിക്കാൻ. ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ലളിതമാക്കാൻ എളുപ്പമുള്ള തന്ത്രങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് 30 ദിവസത്തിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ പഠിക്കും. ഓരോ പാഠത്തിലും പുതിയ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾഉപയോഗപ്രദമായ ജോലികളും.

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ ഓൺലൈനിൽ

ഞങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം:

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ ഏഴാം ഗ്രേഡ്

സ്‌കൂൾ കുട്ടികൾ ഏഴാം ക്ലാസിൽ പഠിക്കുമ്പോൾ മാത്രമാണ് അധികാരത്തിലേക്ക് ഉയരാൻ തുടങ്ങുന്നത്.

ഗുണനവുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനമാണ് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ; ഈ പ്രവർത്തനം ഒരു സംഖ്യയെ ആവർത്തിച്ച് ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലമാണ്. നമുക്ക് അതിനെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാം: a1 * a2 * … * an=an.

ഉദാഹരണത്തിന്, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

പരിഹാരത്തിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ അവതരണം

ഏഴാം ക്ലാസുകാർക്കായി രൂപകൽപ്പന ചെയ്‌ത അധികാരങ്ങളിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അവതരണം. അവതരണം വ്യക്തമല്ലാത്ത ചില പോയിൻ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കിയേക്കാം, പക്ഷേ ഞങ്ങളുടെ ലേഖനത്തിന് നന്ദി ഈ പോയിൻ്റുകൾ മായ്‌ക്കപ്പെടില്ല.

താഴത്തെ വരി

ഗണിതശാസ്ത്രം നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ മഞ്ഞുമലയുടെ അഗ്രം മാത്രമാണ് നോക്കിയത് - ഞങ്ങളുടെ കോഴ്‌സിനായി സൈൻ അപ്പ് ചെയ്യുക: മാനസിക ഗണിതത്തെ ത്വരിതപ്പെടുത്തുന്നു - മാനസിക ഗണിതമല്ല.

കോഴ്‌സിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ലളിതവും വേഗത്തിലുള്ളതുമായ ഗുണനം, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, ഗുണനം, വിഭജനം, ശതമാനം കണക്കാക്കൽ എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള ഡസൻ കണക്കിന് സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ പഠിക്കുക മാത്രമല്ല, പ്രത്യേക ജോലികളിലും വിദ്യാഭ്യാസ ഗെയിമുകളിലും നിങ്ങൾ അവ പരിശീലിക്കുകയും ചെയ്യും! മാനസിക ഗണിതത്തിന് വളരെയധികം ശ്രദ്ധയും ഏകാഗ്രതയും ആവശ്യമാണ്, രസകരമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സജീവമായി പരിശീലിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

ഗുണനം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം. ഉദാഹരണത്തിന്: 5+5+5+5+5+5=5x6. തുല്യ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് മടക്കിയതാണ് അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗം എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. തിരിച്ചും, ഈ സമത്വം വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് വായിച്ചാൽ, നമ്മൾ തുല്യ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വികസിപ്പിച്ചതായി കാണാം. അതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് 5x5x5x5x5x5=5 6 തുല്യ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം ചുരുക്കാൻ കഴിയും.

അതായത്, ആറ് സമാന ഘടകങ്ങളെ 5x5x5x5x5x5 ഗുണിക്കുന്നതിനുപകരം, അവർ 5 6 എഴുതുകയും "അഞ്ച് മുതൽ ആറാം ശക്തി" എന്ന് പറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

5 6 എന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്, ഇവിടെ:

5 - ഡിഗ്രി അടിസ്ഥാനം;

6 - ഘാതം.

തുല്യ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപന്നത്തെ ഒരു ശക്തിയായി ചുരുക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.

പൊതുവേ, അടിസ്ഥാനം "a" ഉം ഘാതം "n" ഉം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു

a എന്ന സംഖ്യയെ n-ലേക്ക് ഉയർത്തുക എന്നതിനർത്ഥം n ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്, അവ ഓരോന്നും a ന് തുല്യമാണ്.

ഡിഗ്രി "a" യുടെ അടിസ്ഥാനം 1 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, 1 5 =1, 1 256 =1

നിങ്ങൾ "a" എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തുകയാണെങ്കിൽ ഒന്നാം ബിരുദം, അപ്പോൾ നമുക്ക് a എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കും: a 1 = a

നിങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ഉയർത്തുകയാണെങ്കിൽ പൂജ്യം ഡിഗ്രി, പിന്നെ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി നമുക്ക് ഒന്ന് ലഭിക്കും. a 0 = 1

ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ശക്തികളെ പ്രത്യേകമായി കണക്കാക്കുന്നു. അവർ അവർക്കായി പേരുകൾ കൊണ്ടുവന്നു: രണ്ടാമത്തെ ബിരുദം വിളിക്കുന്നു സംഖ്യയുടെ സമചതുരം, മൂന്നാമത് - ക്യൂബ്ഈ നമ്പർ.

ഏത് സംഖ്യയും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താം - പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ ബാധകമല്ല:

ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഫലം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

പൂജ്യം ഇൻ കണക്കാക്കുമ്പോൾ സ്വാഭാവിക ബിരുദംനമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കും.

x മീ · x n = x m + n

ഉദാഹരണത്തിന്: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

ലേക്ക് അധികാരങ്ങളെ അതേ അടിത്തറയിൽ വിഭജിക്കുകഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം മാറ്റില്ല, പക്ഷേ എക്സ്പോണൻ്റുകൾ കുറയ്ക്കുക:

x മീ / x n = x m - n , എവിടെ, m > n,

ഉദാഹരണത്തിന്: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നുഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം മാറ്റില്ല, എന്നാൽ ഘാതകങ്ങളെ പരസ്പരം ഗുണിക്കുക.

(മീറ്റിൽ ) എൻ = വൈ എം എൻ

ഉദാഹരണത്തിന്: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) എൻ = x n · വൈ എം ,

ഉദാഹരണത്തിന്:(2 3) 3 = 2 n 3 മീ,

അനുസരിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നുഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയിലേക്ക് ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഞങ്ങൾ ഉയർത്തുന്നു

(x/y)n = x n / വൈ എൻ

ഉദാഹരണത്തിന്: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

ഒരു ഡിഗ്രി അടങ്ങുന്ന എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ക്രമം.

പരാൻതീസിസുകളില്ലാതെ, എന്നാൽ ശക്തികൾ അടങ്ങിയ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ, ഒന്നാമതായി, അവ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷനും പിന്നീട് ഗുണനവും ഹരിക്കലും നടത്തുന്നു, അതിനുശേഷം മാത്രമേ സങ്കലനവും വ്യവകലനവും നടത്തൂ.

നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കണമെങ്കിൽ, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച ക്രമത്തിൽ ആദ്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുക, തുടർന്ന് ബാക്കിയുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് അതേ ക്രമത്തിൽ ചെയ്യുക.

പ്രായോഗിക കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ വളരെ വ്യാപകമായി, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ റെഡിമെയ്ഡ് ടേബിളുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയെ സ്വയം ഗുണിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രവർത്തനം ലളിതമാക്കാൻ പവർ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, എഴുതുന്നതിനുപകരം, നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5))(ഈ പരിവർത്തനത്തിനുള്ള വിശദീകരണം ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ ആദ്യ വിഭാഗത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു). ഡിഗ്രികൾ ദീർഘമായി എഴുതുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾഅല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങൾ; പവറുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും എളുപ്പമാണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗം അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യം (ഉദാഹരണത്തിന്, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

കുറിപ്പ്:നിങ്ങൾക്ക് തീരുമാനിക്കണമെങ്കിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം(അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിൽ അജ്ഞാതമായത് ഘാതകത്തിലാണ്), വായിക്കുക.

പടികൾ

ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ശക്തിയുടെ അടിത്തറയെ അതിൻ്റെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക സൂചകത്തിന് തുല്യമാണ്ഡിഗ്രികൾ.നിങ്ങൾക്ക് കൈകൊണ്ട് ഒരു പവർ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കണമെങ്കിൽ, പവർ ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനമായി മാറ്റിയെഴുതുക, അവിടെ ശക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനം സ്വയം ഗുണിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബിരുദം നൽകി 3 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3^(4)). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പവർ 3 ൻ്റെ അടിസ്ഥാനം സ്വയം 4 തവണ ഗുണിക്കണം: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3*3*3*3). മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

ആദ്യം, ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുക.ഉദാഹരണത്തിന്, 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). വിഷമിക്കേണ്ട - കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയ ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ തോന്നുന്നത്ര സങ്കീർണ്ണമല്ല. ആദ്യം ആദ്യത്തെ രണ്ട് ഫോറുകൾ ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലം ഉപയോഗിച്ച് അവയെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഇതുപോലെ:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4*4=16)

1. ഫലം (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ 16) അടുത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.തുടർന്നുള്ള ഓരോ ഫലവും ആനുപാതികമായി വർദ്ധിക്കും. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, 16 നെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഇതുപോലെ:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • നിങ്ങളുടെ അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതുവരെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഫലം അടുത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് തുടരുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഫലത്തെ അടുത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഈ രീതി ഏത് ബിരുദത്തിനും സാധുവാണ്. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കണം: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം പരിശോധിക്കുക.

   • 8 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 8^(2))
   • 3 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3^(4))
   • 10 7 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 10^(7))

3. നിങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്ററിൽ, "exp" അല്ലെങ്കിൽ " എന്ന് ലേബൽ ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന കീ തിരയുക x n (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(n))", അല്ലെങ്കിൽ "^".ഈ കീ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തും. ഒരു വലിയ സൂചകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രി സ്വമേധയാ കണക്കാക്കുന്നത് മിക്കവാറും അസാധ്യമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിഗ്രി 9 15 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 9^(15))), എന്നാൽ കാൽക്കുലേറ്ററിന് ഈ ടാസ്ക് എളുപ്പത്തിൽ നേരിടാൻ കഴിയും. വിൻഡോസ് 7-ൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് കാൽക്കുലേറ്റർ എൻജിനീയറിങ് മോഡിലേക്ക് മാറ്റാം; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, "കാണുക" -> "എഞ്ചിനീയറിംഗ്" ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. സാധാരണ മോഡിലേക്ക് മാറാൻ, "കാണുക" -> "സാധാരണ" ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക.

   • ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം പരിശോധിക്കുക തിരയല് യന്ത്രം(Google അല്ലെങ്കിൽ Yandex). നിങ്ങളുടെ കമ്പ്യൂട്ടർ കീബോർഡിലെ "^" കീ ഉപയോഗിച്ച്, തിരയൽ എഞ്ചിനിലേക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുക, അത് ശരിയായ ഉത്തരം തൽക്ഷണം പ്രദർശിപ്പിക്കും (കൂടാതെ നിങ്ങൾക്ക് പഠിക്കാൻ സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കാം).

   ശക്തികളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം

   1. ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ഡിഗ്രികൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും കഴിയൂ.നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ ബേസുകളും എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുമുള്ള പവർ ചേർക്കണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സങ്കലന പ്രവർത്തനം ഗുണന പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകി 4 5 + 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)+4^(5)). ഡിഗ്രി എന്ന് ഓർക്കുക 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5))രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം 1 ∗ 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 1*4^(5)); അങ്ങനെ, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(എവിടെ 1 +1 =2). അതായത്, സമാന ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം എണ്ണുക, തുടർന്ന് ആ ഡിഗ്രിയും ഈ സംഖ്യയും ഗുണിക്കുക. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് 4 ഉയർത്തുക, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. സങ്കലന പ്രവർത്തനം ഗുണന പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3+3=2*3). മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 = 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 = 2 x 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കപ്പെടുന്നു (അടിസ്ഥാനം മാറില്ല).ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകി x 2 ∗ x 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(2)*x^(5)). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ സൂചകങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, അടിസ്ഥാനം മാറ്റമില്ലാതെ അവശേഷിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(2)*x^(5)=x^(7)). ഈ നിയമത്തിൻ്റെ ഒരു ദൃശ്യ വിശദീകരണം ഇതാ:

      ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, എക്സ്പോണൻ്റുകൾ ഗുണിക്കുന്നു.ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബിരുദം നൽകിയിരിക്കുന്നു. എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ ഗുണിച്ചതിനാൽ, അപ്പോൾ (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). നിങ്ങൾ ശക്തികളാൽ ഗുണിക്കുക എന്നതാണ് ഈ നിയമത്തിൻ്റെ കാര്യം (x 2) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2)))സ്വയം അഞ്ച് തവണ. ഇതുപോലെ:

      • (x 2) 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • അടിസ്ഥാനം ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ, എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. ഒരു നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉള്ള ഒരു പവർ ഫ്രാക്ഷനിലേക്ക് (റിവേഴ്സ് പവർ) പരിവർത്തനം ചെയ്യണം.റിസിപ്രോക്കൽ ബിരുദം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ലെങ്കിലും കാര്യമില്ല. നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബിരുദമാണ് നിങ്ങൾക്ക് നൽകിയതെങ്കിൽ, ഉദാ. 3 - 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3^(-2)), ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഈ ബിരുദം എഴുതുക (സംഖ്യയിൽ 1 ഇടുക), ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആക്കുക. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ: 1 3 2 (\പ്രദർശന ശൈലി (\frac (1)(3^(2)))). മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

      ഒരേ ബേസ് ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികളെ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതം കുറയ്ക്കുന്നു (അടിസ്ഥാനം മാറില്ല).വിഭജന പ്രവർത്തനം ഗുണന പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വിപരീതമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകി 4 4 4 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (4^(4))(4^(2)))). ന്യൂമറേറ്ററിലെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൽ നിന്ന് ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ഘാതം കുറയ്ക്കുക (അടിസ്ഥാനം മാറ്റരുത്). അങ്ങനെ, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (4^(4))(4^(2))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ശക്തി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: 1 4 2 (\പ്രദർശന ശൈലി (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(-2)). ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എന്നത് നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് (പവർ, എക്സ്പ്രഷൻ).

   4. എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുമായുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന ചില പദപ്രയോഗങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഈ വിഭാഗത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയലിനെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഉത്തരം കാണാൻ, ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുക ശൂന്യമായ ഇടംതുല്യ ചിഹ്നത്തിന് ശേഷം.

   ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

   ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ (ഉദാഹരണത്തിന്, ) ഒരു റൂട്ട് പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ: x 1 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (1)(2))) = x (\പ്രദർശനശൈലി (\sqrt (x))). ഇവിടെ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഏത് സംഖ്യയാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, x 1 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (1)(4)))- "x" ൻ്റെ നാലാമത്തെ മൂലമാണ്, അതായത് x 4 (\പ്രദർശനശൈലി (\sqrt[(4)](x))) .

   1. ഘാതം ആണെങ്കിൽ അനുചിതമായ അംശം, അപ്പോൾ അത്തരമൊരു ബിരുദം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹാരം ലളിതമാക്കുന്നതിന് രണ്ട് ഡിഗ്രികളായി വിഘടിപ്പിക്കാം. ഇതിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല - ശക്തികളെ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഓർക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബിരുദം നൽകിയിരിക്കുന്നു. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ശക്തിയെ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമായ ഒരു റൂട്ടാക്കി മാറ്റുക, തുടർന്ന് ഈ റൂട്ട് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററിന് തുല്യമായ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അത് ഓർക്കുക 5 3 (\പ്രദർശനശൈലി (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\പ്രദർശന ശൈലി ((\frac (1)(3)))*5). ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ:

      • x 5 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\പ്രദർശനശൈലി ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. ചില കാൽക്കുലേറ്ററുകൾക്ക് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഒരു ബട്ടൺ ഉണ്ട് (നിങ്ങൾ ആദ്യം അടിസ്ഥാനം നൽകണം, തുടർന്ന് ബട്ടൺ അമർത്തുക, തുടർന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് നൽകുക). ഇത് ^ അല്ലെങ്കിൽ x^y ആയി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
   3. ആദ്യത്തെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 4 1 = 4. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(1)=4.)മാത്രമല്ല, ഒന്നുകൊണ്ട് ഗുണിച്ചതോ ഹരിച്ചതോ ആയ ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണ്, ഉദാ. 5 ∗ 1 = 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 5*1=5)ഒപ്പം 5 / 1 = 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 5/1=5).
   4. പവർ 0 0 നിലവിലില്ലെന്ന് അറിയുക (അത്തരം ശക്തിക്ക് പരിഹാരമില്ല). നിങ്ങൾ ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിലോ കമ്പ്യൂട്ടറിലോ അത്തരമൊരു ബിരുദം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പിശക് ലഭിക്കും. എന്നാൽ പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും 1 ആണെന്ന് ഓർക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 4 0 = 1. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(0)=1.)
   5. IN ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം, സാങ്കൽപ്പിക സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), എവിടെ i = (− 1) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ i=(\sqrt (())-1)); e എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ഏകദേശം 2.7 ന് തുല്യമാണ്; a എന്നത് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്. ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ തെളിവ് ഉന്നത ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏത് പാഠപുസ്തകത്തിലും കാണാം.

   മുന്നറിയിപ്പുകൾ

   • എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അതിൻ്റെ മൂല്യം വളരെയധികം വർദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാൽ ഉത്തരം തെറ്റാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് തോന്നുന്നുവെങ്കിൽ, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ശരിയായിരിക്കാം. ഏതെങ്കിലും പ്ലോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻഉദാ 2 x.

ബീജഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ പലപ്പോഴും അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളിലൊന്നാണ് നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത്. വിശദമായ നിർദ്ദേശങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ഒരു നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം - സിദ്ധാന്തം

നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു സാധാരണ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ മൂല്യം പല തവണ വർദ്ധിപ്പിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 3 = 3×3×3 = 27. ഒരു നെഗറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് വിപരീതം ശരിയാണ്. പൊതുവായ രൂപംഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: a -n = 1/a n. അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്താൻ, നിങ്ങൾ നൽകിയ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഒന്നിനെ ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, പക്ഷേ ഒരു പോസിറ്റീവ് പവറിലേക്ക്.

നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം - സാധാരണ സംഖ്യകളിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

മുകളിലുള്ള നിയമം മനസ്സിൽ വെച്ചുകൊണ്ട്, നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
ഉത്തരം: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
ഉത്തരം -4 -2 = 1/16.

എന്നാൽ ഒന്നും രണ്ടും ഉദാഹരണങ്ങളിലെ ഉത്തരങ്ങൾ ഒരുപോലെയാകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ (2, 4, 6, മുതലായവ) അടയാളം പോസിറ്റീവ് ആയി മാറുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. ഡിഗ്രി തുല്യമായിരുന്നെങ്കിൽ, മൈനസ് നിലനിൽക്കും:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം - 0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ

0 നും 1 നും ഇടയിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയെ പോസിറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ശക്തി വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് മൂല്യം കുറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 0.5 2 = 0.25. 0.25

ഉദാഹരണം 3: 0.5 -2 കണക്കാക്കുക
പരിഹാരം: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
ഉത്തരം: 0.5 -2 = 4

വിശകലനം (പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം):

• ഞങ്ങൾ വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു ദശാംശം 0.5 മുതൽ ഫ്രാക്ഷണൽ 1/2 വരെ. ആ വഴിയാണ് എളുപ്പം.
  1/2 നെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുക. 1/(2) -2 . 1 നെ 1/(2) 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 ലഭിക്കും

ഉദാഹരണം 4: 0.5 -3 കണക്കാക്കുക
പരിഹാരം: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

ഉദാഹരണം 5: -0.5 -3 കണക്കാക്കുക
പരിഹാരം: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
ഉത്തരം: -0.5 -3 = -8

നാലാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും ഉദാഹരണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് നിരവധി നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും:

• 0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിലുള്ള ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് (ഉദാഹരണം 4), ഒരു നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ, പവർ ഇരട്ടിയായാലും ഒറ്റയായാലും പ്രധാനമല്ല, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. അതേ സമയം, അധികം കൂടുതൽ ബിരുദം, വലിയ മൂല്യം.
• 0 മുതൽ 1 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിലുള്ള ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് (ഉദാഹരണം 5), ഒരു നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ, പവർ ഇരട്ടിയായാലും ഒറ്റയായാലും പ്രധാനമല്ല, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉയർന്ന ഡിഗ്രി, താഴ്ന്ന മൂല്യം.

ഒരു നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം - ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ ഒരു ശക്തി

ഈ തരത്തിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ട്: a -m/n, ഇവിടെ a ഒരു സാധാരണ സംഖ്യയാണ്, m എന്നത് ഡിഗ്രിയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ആണ്, n എന്നത് ഡിഗ്രിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററാണ്.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:
കണക്കാക്കുക: 8 -1/3

പരിഹാരം (പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം):

• ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം നമുക്ക് ഓർക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• ഡിനോമിനേറ്ററിന് ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിൽ 8 എന്ന സംഖ്യ ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ കണക്കാക്കുന്നതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപം ഇപ്രകാരമാണ്: a m/n = n √8 m.
• അങ്ങനെ, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). നമുക്ക് എട്ടിൻ്റെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ലഭിക്കുന്നു, അത് 2 ന് തുല്യമാണ്. ഇവിടെ നിന്ന്, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• ഉത്തരം: 8 -1/3 = 2

സ്‌കൂളിൽ നിന്ന്, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷനെക്കുറിച്ചുള്ള നിയമം നമുക്കെല്ലാവർക്കും അറിയാം: എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് N ഉള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഈ സംഖ്യയെ N എണ്ണം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, 7 മുതൽ 3 ൻ്റെ ശക്തി 7 എന്നത് മൂന്നിരട്ടിയായി ഗുണിച്ചാൽ, അതായത് 343. മറ്റൊരു നിയമം, ഏത് അളവും 0 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് ഒന്ന് നൽകുന്നു, കൂടാതെ ഒരു നെഗറ്റീവ് അളവ് ഉയർത്തുന്നത് സാധാരണ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമാണ്. പവർ ഇരട്ട ആണെങ്കിൽ, അതേ ഫലം വിചിത്രമാണെങ്കിൽ മൈനസ് ചിഹ്നം.

ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം എന്നതിനുള്ള ഉത്തരവും നിയമങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് സാധാരണ രീതിയിൽഇൻഡിക്കേറ്ററിൻ്റെ മൊഡ്യൂളിന് ആവശ്യമായ മൂല്യം, തുടർന്ന് യൂണിറ്റിനെ ഫലം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

ഈ നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് വലിയ അളവിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന യഥാർത്ഥ ജോലികൾ നിർവഹിക്കുന്നതിന് സാന്നിധ്യം ആവശ്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാകും സാങ്കേതിക മാർഗങ്ങൾ. സ്വമേധയാ നിങ്ങൾക്ക് ഇരുപത് മുതൽ മുപ്പത് വരെ സംഖ്യകളുടെ പരമാവധി ശ്രേണി സ്വയം ഗുണിക്കാം, തുടർന്ന് മൂന്നോ നാലോ തവണയിൽ കൂടരുത്. ഫലത്താൽ ഒന്നിനെ ഹരിച്ചാൽ ഇത് പരാമർശിക്കേണ്ടതില്ല. അതിനാൽ, ഒരു പ്രത്യേക എഞ്ചിനീയറിംഗ് കാൽക്കുലേറ്റർ കയ്യിൽ ഇല്ലാത്തവർക്ക്, Excel-ൽ ഒരു നമ്പർ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളോട് പറയും.

Excel-ൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് ഓപ്ഷനുകളിലൊന്ന് ഉപയോഗിക്കാൻ Excel നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ആദ്യത്തേത് ഒരു സാധാരണ "ലിഡ്" ചിഹ്നമുള്ള ഒരു ഫോർമുലയുടെ ഉപയോഗമാണ്. വർക്ക്ഷീറ്റ് സെല്ലുകളിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഡാറ്റ നൽകുക:

അതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം ഏത് ശക്തിയിലേക്കും ഉയർത്താം - നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ നടത്തി ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാം. ഉദാഹരണം:

നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലയിൽ =B2^-C2 നേരിട്ട് ശരിയാക്കാം.

രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ റെഡിമെയ്ഡ് “ഡിഗ്രി” ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്, അത് ആവശ്യമായ രണ്ട് ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ എടുക്കുന്നു - ഒരു സംഖ്യയും ഒരു ഘാതകവും. ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിന്, ഫോർമുലയുടെ ആരംഭം സൂചിപ്പിക്കുന്ന തുല്യ ചിഹ്നം (=) ഏതെങ്കിലും സ്വതന്ത്ര സെല്ലിൽ ഇടുക, മുകളിൽ പറഞ്ഞ വാക്കുകൾ നൽകുക. പ്രവർത്തനത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്ന രണ്ട് സെല്ലുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് (അല്ലെങ്കിൽ നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറുകൾ സ്വമേധയാ വ്യക്തമാക്കുക) എൻ്റർ കീ അമർത്തുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്. കുറച്ച് ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എക്സൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്കും ഒരു സാധാരണ പവറിലേക്കും എങ്ങനെ ഉയർത്താം എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമായ "ലിഡ്" ചിഹ്നവും പ്രോഗ്രാമിൻ്റെ ബിൽറ്റ്-ഇൻ ഫംഗ്ഷനും ഉപയോഗിക്കാം, അത് ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഇത് ഒരു നിശ്ചിത പ്ലസ് ആണ്!

നമുക്ക് കൂടുതൽ മുന്നോട്ട് പോകാം സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിയമം നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം, കൂടാതെ Excel-ൽ ഈ പ്രശ്നം വളരെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് നമുക്ക് കാണാം.

ഫ്രാക്ഷണൽ സൂചകങ്ങൾ

ചുരുക്കത്തിൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സംഖ്യ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ഇപ്രകാരമാണ്.

1. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ശരിയായ അല്ലെങ്കിൽ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക.
2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിവർത്തനം ചെയ്ത ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് ഞങ്ങളുടെ നമ്പർ ഉയർത്തുക.
3. മുൻ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച സംഖ്യയിൽ നിന്ന്, റൂട്ട് കണക്കാക്കുക, റൂട്ടിൻ്റെ ഘാതം ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററായിരിക്കും.

ചെറിയ സംഖ്യകളും ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യകളും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ പോലും, അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് വളരെയധികം സമയമെടുക്കുമെന്ന് സമ്മതിക്കുക. എക്സൽ സ്പ്രെഡ്ഷീറ്റ് പ്രോസസർ ഏത് സംഖ്യയെ ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ല എന്നത് നല്ലതാണ്. ജോലിയിൽ അത് പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക എക്സൽ ഷീറ്റ്ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം:

മുകളിലുള്ള നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, കണക്കുകൂട്ടൽ ശരിയായി ചെയ്തിട്ടുണ്ടോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിച്ച് ഉറപ്പാക്കാം.

ഞങ്ങളുടെ ലേഖനത്തിൻ്റെ അവസാനം, ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം എന്നതിൻ്റെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളും ഫോർമുലകളും ഫലങ്ങളും ഉള്ള ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യകൾബിരുദങ്ങളും.

ഉദാഹരണ പട്ടിക

നിങ്ങളുടെ Excel വർക്ക്ഷീറ്റിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക. എല്ലാം ശരിയായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിന്, ഫോർമുല പകർത്തുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു മിക്സഡ് റഫറൻസ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഉയർത്തുന്ന സംഖ്യയും സൂചകം അടങ്ങുന്ന വരിയുടെ എണ്ണവും അടങ്ങുന്ന നിരയുടെ എണ്ണം ശരിയാക്കുക. നിങ്ങളുടെ ഫോർമുല ഇതുപോലെയായിരിക്കണം: "=$B4^C$3."

ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻ്റിനു പ്രശ്‌നങ്ങളില്ലാതെ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ (നോൺ-ഇൻ്റേജറുകൾ പോലും) കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. സംഖ്യകളൊന്നും പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിൽ പ്രശ്‌നങ്ങളൊന്നുമില്ല. എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ ഫ്രാക്ഷണൽ പവറായി ഉയർത്തുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തെറ്റായി മാറും, കാരണം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉയർത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങളുടെ ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന നിയമം പിന്തുടരുന്നത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം സമത്വം എന്നത് ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയുടെ മാത്രം സ്വഭാവമാണ്.

ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഒരു സംഖ്യസ്വയം പലതവണ ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയെ അവർ വിളിക്കുന്നു.

നെഗറ്റീവ് മൂല്യമുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി (a - n) പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള അതേ സംഖ്യയുടെ ശക്തി എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു എന്നതിന് സമാനമായ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കാനാകും (എ എൻ) . എന്നിരുന്നാലും, ഇതിന് അധിക നിർവ്വചനം ആവശ്യമാണ്. ഫോർമുല ഇങ്ങനെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

a-n = (1/a n)

സംഖ്യകളുടെ നെഗറ്റീവ് ശക്തികളുടെ ഗുണങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ശക്തികൾക്ക് സമാനമാണ്. സമവാക്യം അവതരിപ്പിച്ചു എ m/a n= ഒരു m-n പോലെ ന്യായമായേക്കാം

« ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പോലെ ഒരിടത്തും, നിഗമനത്തിൻ്റെ വ്യക്തതയും കൃത്യതയും ഒരു വ്യക്തിയെ ചോദ്യത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റി സംസാരിച്ചുകൊണ്ട് ഉത്തരത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തേക്ക് പോകാൻ അനുവദിക്കുന്നില്ല.».

എ ഡി അലക്സാണ്ട്രോവ്

ചെയ്തത് എൻ കൂടുതൽ എം , ഒപ്പം എം കൂടുതൽ എൻ . നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

ആദ്യം നിങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന നമ്പർ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. b=a(-n) . ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ -എൻ ഒരു ഘാതം ആണ് ബി - ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യാ മൂല്യം, എ - ഒരു സ്വാഭാവിക രൂപത്തിൽ ബിരുദത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം സംഖ്യാ മൂല്യം. തുടർന്ന് മൊഡ്യൂൾ നിർണ്ണയിക്കുക, അതായത്, ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം. ഒരു കേവല സംഖ്യയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അളവ് ഒരു സൂചകമായി കണക്കാക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഒന്നിനെ ഹരിച്ചാണ് ബിരുദത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നത്.

അരി. 1

നെഗറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി പരിഗണിക്കുക. a എന്ന സംഖ്യ ഏതെങ്കിലും ആണെന്ന് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അക്കങ്ങൾ എൻ ഒപ്പം എം - പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ. നിർവചനം അനുസരിച്ച് എ , അത് അധികാരത്തിലേക്ക് ഉയർത്തപ്പെടുന്നു - പോസിറ്റീവ് പവർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രം 1). ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള സംഖ്യകൾ മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കൂ.

ഓർക്കേണ്ടതാണ്പൂജ്യം ഒരിക്കലും ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘാതം ആകാൻ കഴിയില്ല (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള നിയമം).

ഒരു സംഖ്യ എന്ന നിലയിൽ അത്തരമൊരു ആശയത്തിൻ്റെ വ്യാപനം അളക്കൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പോലെയുള്ള കൃത്രിമത്വങ്ങളായി മാറി, അതുപോലെ തന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ഒരു ശാസ്ത്രമായി വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളുടെ ആമുഖം ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ വികസനം മൂലമാണ്, അത് അവയുടെ നിർദ്ദിഷ്ട അർത്ഥവും യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ ഡാറ്റയും പരിഗണിക്കാതെ ഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങൾ നൽകി. ഇന്ത്യയിൽ, 6-11 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ വ്യവസ്ഥാപിതമായി ഉപയോഗിക്കുകയും ഇന്നത്തെ അതേ രീതിയിൽ വ്യാഖ്യാനിക്കുകയും ചെയ്തു. യൂറോപ്യൻ സയൻസിൽ, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടാൻ തുടങ്ങിയത് R. Descartes ന് നന്ദി, അദ്ദേഹം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെ സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ ദിശകളായി ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം നൽകി. രണ്ട് നിലകളുള്ള സൂത്രവാക്യമായി പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നതിന് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഒരു സംഖ്യയുടെ പേര് നിർദ്ദേശിച്ചത് ഡെസ്കാർട്ടാണ്. ഒരു എൻ .

മറ്റ് അളവുകൾ പോലെ ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് വ്യക്തമാണ് , അവയുടെ അടയാളങ്ങൾക്കൊപ്പം അവയെ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി ചേർത്തുകൊണ്ട്.

അതിനാൽ, a 3, b 2 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 3 + b 2 ആണ്.
a 3 - b n, h 5 -d 4 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 3 - b n + h 5 - d 4 ആണ്.

സാധ്യതകൾ സമാന വേരിയബിളുകളുടെ തുല്യ ശക്തികൾകൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യാം.

അതിനാൽ, 2a 2, 3a 2 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 5a 2 ന് തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾ രണ്ട് ചതുരങ്ങൾ a, അല്ലെങ്കിൽ മൂന്ന് ചതുരങ്ങൾ a, അല്ലെങ്കിൽ അഞ്ച് ചതുരങ്ങൾ a എടുത്താൽ അത് വ്യക്തമാണ്.

പക്ഷേ ഡിഗ്രികൾ വിവിധ വേരിയബിളുകൾഒപ്പം വിവിധ ഡിഗ്രികൾ സമാന വേരിയബിളുകൾ, അവയുടെ അടയാളങ്ങൾക്കൊപ്പം അവയെ ചേർത്തുകൊണ്ട് രചിക്കേണ്ടതാണ്.

അതിനാൽ, 2, എ 3 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 2 + എ 3 യുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

a യുടെ ചതുരവും a യുടെ ക്യൂബും a യുടെ ഇരട്ടി ചതുരത്തിന് തുല്യമല്ല, മറിച്ച് a യുടെ ഇരട്ടി ക്യൂബിന് തുല്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

a 3 b n, 3a 5 b 6 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 3 b n + 3a 5 b 6 ആണ്.

കുറയ്ക്കൽഉപഭോക്താക്കളുടെ അടയാളങ്ങൾ അതിനനുസരിച്ച് മാറ്റണം എന്നതൊഴിച്ചാൽ അധികാരങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പോലെ തന്നെ നടപ്പിലാക്കുന്നു.

അഥവാ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

ശക്തികളെ ഗുണിക്കുക

ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ ഒന്നിന് പുറകെ ഒന്നായി എഴുതുന്നതിലൂടെയും അവയ്ക്കിടയിൽ ഗുണന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചോ അല്ലാതെയോ മറ്റ് അളവുകളെപ്പോലെ ഗുണിക്കാവുന്നതാണ്.

അങ്ങനെ, a 3 നെ b 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലം a 3 b 2 അല്ലെങ്കിൽ aaabb ആണ്.

അഥവാ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

സമാന വേരിയബിളുകൾ ചേർത്ത് അവസാന ഉദാഹരണത്തിലെ ഫലം ഓർഡർ ചെയ്യാവുന്നതാണ്.
എക്സ്പ്രഷൻ ഫോം എടുക്കും: a 5 b 5 y 3.

നിരവധി സംഖ്യകളെ (വേരിയബിളുകൾ) ശക്തികളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, അവയിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ടെണ്ണം ഗുണിച്ചാൽ, ഫലം തുല്യമായ പവർ ഉള്ള ഒരു സംഖ്യ (വേരിയബിൾ) ആണെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. തുകനിബന്ധനകളുടെ ഡിഗ്രികൾ.

അതിനാൽ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

ഇവിടെ 5 എന്നത് ഗുണനത്തിൻ്റെ ഫലത്തിൻ്റെ ശക്തിയാണ്, 2 + 3 ന് തുല്യമാണ്, നിബന്ധനകളുടെ ശക്തികളുടെ ആകെത്തുക.

അതിനാൽ, a n .a m = a m+n .

ഒരു n ന്, n ൻ്റെ ശക്തിയുടെ എത്രയോ മടങ്ങ് ഒരു ഘടകമായി a എടുക്കുന്നു;

ഒരു m എന്നത് എത്ര തവണ ഘടകമായി കണക്കാക്കുന്നുവോ അത്രയും തവണ m എന്നത് തുല്യമാണ്;

അതുകൊണ്ടാണ്, ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ശക്തികളുടെ ഘാതകങ്ങൾ ചേർത്ത് ഗുണിക്കാം.

അതിനാൽ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . കൂടാതെ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

അഥവാ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ഗുണിക്കുക.
ഉത്തരം: x 4 - y 4.
ഗുണിക്കുക (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള സംഖ്യകൾക്കും ഈ നിയമം ശരിയാണ് നെഗറ്റീവ്.

1. അതിനാൽ, a -2 .a -3 = a -5 . ഇത് (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa എന്ന് എഴുതാം.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b എന്നത് a - b കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഫലം 2 - b 2 ആയിരിക്കും: അതായത്

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം.

ഉയർത്തിയ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും നിങ്ങൾ ഗുണിച്ചാൽ സമചതുരം Samachathuram, ഫലം ഈ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും നാലാമത്തെഡിഗ്രികൾ.

അതിനാൽ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

ഡിഗ്രികളുടെ വിഭജനം

ഡിവിഡൻഡിൽ നിന്ന് കുറച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ സ്ഥാപിച്ചോ മറ്റ് സംഖ്യകളെപ്പോലെ ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കാം.

അങ്ങനെ, a 3 b 2 നെ b 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ a 3 ആണ്.

അഥവാ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ $\frac(a^5)(a^3)$ പോലെ തോന്നുന്നു. എന്നാൽ ഇത് ഒരു 2 ന് തുല്യമാണ്. സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ഏത് സംഖ്യയും മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, ഘാതം തുല്യമായിരിക്കും വ്യത്യാസംഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ സൂചകങ്ങൾ.

ഒരേ അടിത്തറയിൽ ഡിഗ്രികളെ ഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതകങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു..

അതിനാൽ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. അതായത് $\frac(yyy)(yy) = y$.

കൂടാതെ a n+1:a = a n+1-1 = a n . അതായത് $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

അഥവാ:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

ഉള്ള സംഖ്യകൾക്കും നിയമം ശരിയാണ് നെഗറ്റീവ്ഡിഗ്രി മൂല്യങ്ങൾ.
-5-നെ -3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലം -2 ആണ്.
കൂടാതെ, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 അല്ലെങ്കിൽ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബീജഗണിതത്തിൽ വളരെ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ, ഗുണനവും വിഭജനവും നന്നായി കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

1. എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളെ $\frac(5a^4)(3a^2)$ കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുക ഉത്തരം: $\frac(5a^2)(3)$.

2. എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളെ $\frac(6x^6)(3x^5)$ കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുക. ഉത്തരം: $\frac(2x)(1)$ അല്ലെങ്കിൽ 2x.

3. എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ a 2 /a 3, a -3 /a -4 എന്നിവ കുറയ്ക്കുകയും ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുക.
a 2 .a -4 ഒരു -2 ആണ് ആദ്യത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ.
a 3 .a -3 എന്നത് 0 = 1 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ.
a 3 .a -4 എന്നത് a -1 ആണ്, സാധാരണ ന്യൂമറേറ്റർ.
ലളിതമാക്കിയ ശേഷം: a -2 /a -1, 1/a -1 .

4. എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ 2a 4 /5a 3, 2 /a 4 എന്നിവ കുറയ്ക്കുകയും ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുക.
ഉത്തരം: 2a 3 /5a 7, 5a 5 /5a 7 അല്ലെങ്കിൽ 2a 3 /5a 2, 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

6. (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

7. b 4 /a -2 നെ h -3 /x കൊണ്ടും a n /y -3 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

8. ഒരു 4 /y 3 യെ 3 /y 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഉത്തരം: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.