നക്ഷത്ര വാർത്ത
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി ഡെഫനിഷനും ഗ്രാഫിക്സും. പാഠം “എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ, അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫും
x=2 എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ വിവിധ യുക്തിസഹമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം; 0; -3; -
x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം ഏത് സംഖ്യ നൽകിയാലും, ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും കണ്ടെത്താനാകും. ഇതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾ ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുന്നു എന്നാണ് (E എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിക്ക് മൂന്ന് തുല്യമാണ്), റേഷണൽ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്: .
അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്തുകൊണ്ട് ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം.
നമുക്ക് നടപ്പിലാക്കാം സുഗമമായ ലൈൻ, ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം 1)
ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം:
3. നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ മേഖലയിലും വർദ്ധിക്കുന്നു.
- പൂജ്യം മുതൽ അനന്തത വരെയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി.
8. ഫംഗ്ഷൻ കുത്തനെ താഴേക്കാണ്.
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ; y=(y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിക്ക് രണ്ടിന് തുല്യമാണ്, y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്, y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്, y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിക്ക് ഏഴ് തുല്യമാണ്), അപ്പോൾ അവയ്ക്ക് y= ൻ്റെ അതേ ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. (y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിക്ക് മൂന്ന് തുല്യമാണ്) (ചിത്രം. 2), അതായത്, y = രൂപത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും (y എന്നത് x ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്, ഒന്നിൽ കൂടുതൽ) പ്രോപ്പർട്ടികൾ.
നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം:
1. അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുന്നു.
കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ലഭിച്ച പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് അടയാളപ്പെടുത്താം.
ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സുഗമമായ ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 3).
ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:
1. നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.
2. ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.
3. നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലുടനീളം കുറയുന്നു.
4. ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആയ മൂല്യങ്ങൾ ഇല്ല.
5. താഴെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ മുകളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.
6. നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും തുടർച്ചയായി.
7. പൂജ്യം മുതൽ അനന്തത വരെയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി.
8. ഫംഗ്ഷൻ കുത്തനെ താഴേക്കാണ്.
അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ; y = (y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിയുടെ പകുതിക്ക് തുല്യമാണ്, y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിയുടെ അഞ്ചിലൊന്നിന് തുല്യമാണ്, y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിയുടെ ഏഴിലൊന്നിന് തുല്യമാണ്), അപ്പോൾ അവയിൽ ഉണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം y = (y എന്നത് പവർ x-ൻ്റെ മൂന്നിലൊന്നിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രം 4), അതായത്, y = എന്ന ഫോമിൻ്റെ എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കും അത്തരം ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും (y എന്നത് a കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. x പവർ, പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും എന്നാൽ ഒന്നിൽ കുറവും)
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം
ഇതിനർത്ഥം, y=y= ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളും a യുടെ അതേ മൂല്യത്തിന് സമമിതികളായിരിക്കും (y എന്നത് x പവറിന് തുല്യമാണ്.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ച് അതിൻ്റെ പ്രധാന ഗുണങ്ങളെ സൂചിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം:
നിർവ്വചനം: y= എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ, (a എന്നത് പവർ x ന് തുല്യമാണ്, ഇവിടെ a എന്നത് പോസിറ്റീവും ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവുമാണ്), ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ y=, പവർ ഫംഗ്ഷൻ y=, a=2,3,4,.... എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ശ്രവണമായും ദൃശ്യമായും. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ എക്സ്ഒരു ബിരുദമാണ്, കൂടാതെ വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനം എക്സ്അടിസ്ഥാനമാണ്.
ഉദാഹരണം1: സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക (മൂന്ന് മുതൽ പവർ x ഒമ്പത് വരെ)
(Y എന്നത് X ൻ്റെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്, Y എന്നത് ഒമ്പതിന് തുല്യമാണ്) ചിത്രം 7
അവയ്ക്ക് ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് M (2;9) ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക (ഇം കോർഡിനേറ്റുകൾ രണ്ട്; ഒമ്പത്), അതായത് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ആയിരിക്കും. അതായത്, സമവാക്യത്തിന് x = 2 എന്ന ഒറ്റമൂലി ഉണ്ട്.
ഉദാഹരണം 2: സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, y= എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ട് ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും (y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിയുടെ അഞ്ചിന് തുല്യമാണ്, y എന്നത് ഇരുപത്തിയഞ്ചിലൊന്നിന് തുല്യമാണ്) ചിത്രം 8. ഗ്രാഫുകൾ ഒരു പോയിൻ്റിൽ വിഭജിക്കുന്നു T (-2; (കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള te മൈനസ് രണ്ട്; ഒന്ന് ഇരുപത്തിയഞ്ചാം). ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x = -2 (സംഖ്യ മൈനസ് രണ്ട്) എന്നാണ്.
ഉദാഹരണം 3: അസമത്വം പരിഹരിക്കുക
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നമ്മൾ y= ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ട് ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കും
(എക്‌സിൻ്റെ ശക്തിക്ക് Y സമം മൂന്ന്, Y എന്നത് ഇരുപത്തിയേഴും തുല്യം).
Fig.9 ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y=at എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്
x അതിനാൽ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേളയാണ് (മൈനസ് അനന്തതയിൽ നിന്ന് മൂന്ന് വരെ)
ഉദാഹരണം 4: അസമത്വം പരിഹരിക്കുക
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, y= ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ട് ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും (y എന്നത് x ൻ്റെ ശക്തിയുടെ നാലിലൊന്നിന് തുല്യമാണ്, y എന്നത് പതിനാറിന് തുല്യമാണ്). (ചിത്രം 10). ഗ്രാഫുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ K (-2;16) വിഭജിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം, y= ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് x-ൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് താഴെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനാൽ, അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേളയാണ് (-2; (മൈനസ് രണ്ട് മുതൽ പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി വരെ).
ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സാധുത പരിശോധിക്കാൻ ഞങ്ങളുടെ ന്യായവാദം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:
തീം 1: ശരിയാണെങ്കിൽ m=n ആണെങ്കിൽ മാത്രം.
സിദ്ധാന്തം 2: എങ്കിൽ മാത്രം ശരിയാണെങ്കിൽ, അസമത്വം ശരിയാണെങ്കിൽ മാത്രം ശരിയാണ് (ചിത്രം *)
സിദ്ധാന്തം 4: സത്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം ആണെങ്കിൽ (ചിത്രം**), അസമത്വം ശരിയാണെങ്കിൽ മാത്രം ശരിയാണ്. സിദ്ധാന്തം 3: ശരിയാണെങ്കിൽ m=n ആണെങ്കിൽ മാത്രം.
ഉദാഹരണം 5: ഫംഗ്ഷൻ y= ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക
ഡിഗ്രി y= ൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ പരിഷ്കരിക്കാം
നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം അധിക സംവിധാനംകോർഡിനേറ്റുകളും ഇൻ പുതിയ സംവിധാനംകോർഡിനേറ്റുകൾ, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കും y = (y എന്നത് x പവറിന് രണ്ടിന് തുല്യമാണ്) ചിത്രം 11.
ഉദാഹരണം 6: സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നമ്മൾ y= ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ട് ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കും
(Y എന്നത് X ൻ്റെ ശക്തിക്ക് ഏഴ് ആണ്, Y എന്നത് എട്ട് മൈനസ് X ന് തുല്യമാണ്) ചിത്രം 12.
ഗ്രാഫുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു E (1; (e കോർഡിനേറ്റുകൾ ഒന്ന്; ഏഴ്) ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x = 1 (x ഒന്നിന് തുല്യമാണ്).
ഉദാഹരണം 7: അസമത്വം പരിഹരിക്കുക
ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നമ്മൾ y= ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ട് ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കും
(Y എന്നത് X ൻ്റെ ശക്തിയുടെ നാലിലൊന്നിന് തുല്യമാണ്, Y എന്നത് X പ്ലസ് ഫൈവിന് തുല്യമാണ്). അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേള x (മൈനസ് ഒന്ന് മുതൽ പ്ലസ് അനന്തത വരെ) ആയിരിക്കുമ്പോൾ y=ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y=x+5 ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് താഴെയാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.
എക്‌സ്‌പോണൻ്ററി, ലോഗാരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ VIII
§ 179 എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ
ഈ വിഭാഗത്തിൽ നമ്മൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ പഠിക്കും
y = a x (1)
അത് താഴെ ഓർക്കാം എ ഫോർമുലയിൽ (1) ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്ഥിരമാണ് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.
സ്വത്ത് 1. ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.
വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു പോസിറ്റീവ് കൂടെ എ ആവിഷ്കാരം എ x ഏതിനും നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ എക്സ് .
പ്രോപ്പർട്ടി 2. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ സ്വീകരിക്കൂ.
തീർച്ചയായും, എങ്കിൽ എക്സ് > 0, പിന്നെ, § 176-ൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടതുപോലെ,
എ x > 0.
എങ്കിൽ എക്സ് <. 0, то
എ x =
എവിടെ - എക്സ് ഇതിനകം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതൽ. അതുകൊണ്ടാണ് എ - x > 0. എന്നാൽ പിന്നെ
എ x = > 0.
ഒടുവിൽ, എപ്പോൾ എക്സ് = 0
എ x = 1.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ 2nd പ്രോപ്പർട്ടിക്ക് ലളിതമായ ഗ്രാഫിക്കൽ വ്യാഖ്യാനമുണ്ട്. ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് (ചിത്രം 246 ഉം 247 ഉം കാണുക) പൂർണ്ണമായും abscissa അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് എന്ന വസ്തുതയിലാണ് ഇത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്.
സ്വത്ത് 3. എങ്കിൽ എ >1, പിന്നെ എപ്പോള് എക്സ് > 0 എ x > 1, എപ്പോൾ എന്നും എക്സ് < 0 എ x < 1. എങ്കിൽ എ < 1, тഓ, നേരെമറിച്ച്, എപ്പോൾ എക്സ് > 0 എ x < 1, എപ്പോൾ എന്നും എക്സ് < 0 എ x > 1.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിനും അനുവദിക്കുന്നു. ചെയ്തത് എ > 1 (ചിത്രം 246) വളവുകൾ y = a x നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ചെയ്തത് = 1 at എക്സ് > 0 ഉം നേർരേഖയ്ക്ക് താഴെയും ചെയ്തത് = 1 at എക്സ് < 0.
എങ്കിൽ എ < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x നേർരേഖയ്ക്ക് താഴെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു ചെയ്തത് = 1 at എക്സ് > 0 ഉം അതിനുമുകളിലും ഈ നേർരേഖയിൽ എക്സ് < 0.
3-ാമത്തെ വസ്തുവിൻ്റെ കർശനമായ തെളിവ് നൽകാം. അനുവദിക്കുക എ > 1 ഒപ്പം എക്സ് - ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. അത് കാണിക്കാം
എ x > 1.
നമ്പർ ആണെങ്കിൽ എക്സ് യുക്തിസഹമായ ( എക്സ് = എം / എൻ ), അത് എ x = എ m/ എൻ = എൻ √എ എം .
എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് എ > 1, പിന്നെ എ എം > 1, എന്നാൽ ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് വ്യക്തമായും 1 നേക്കാൾ വലുതാണ്.
എങ്കിൽ എക്സ് യുക്തിരഹിതമാണ്, തുടർന്ന് പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യകളുണ്ട് X" ഒപ്പം X" , ഇത് ഒരു സംഖ്യയുടെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങളായി വർത്തിക്കുന്നു x :
X"< х < х" .
എന്നാൽ പിന്നീട്, യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദത്തിൻ്റെ നിർവചനം
എ x" < എ x < എ x"" .
മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, നമ്പർ എ x" ഒന്നില് കൂടുതല്. അതിനാൽ നമ്പർ എ x , അതിലും വലുത് എ x" , 1-ൽ കൂടുതലായിരിക്കണം,
അതിനാൽ, എപ്പോഴാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിച്ചുതന്നു എ >1, അനിയന്ത്രിതമായ പോസിറ്റീവ് എക്സ്
എ x > 1.
നമ്പർ ആണെങ്കിൽ എക്സ് നെഗറ്റീവ് ആയിരുന്നു, അപ്പോൾ നമുക്ക് കിട്ടുമായിരുന്നു
എ x =
നമ്പർ എവിടെയാണ് എക്സ് ഇതിനകം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ് എ - x > 1. അതിനാൽ,
എ x = < 1.
അങ്ങനെ, എപ്പോൾ എ > 1, അനിയന്ത്രിതമായ നെഗറ്റീവ് x
എ x < 1.
0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ കേസ്< എ < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
സ്വത്ത് 4. x ആണെങ്കിൽ = 0, പിന്നെ പരിഗണിക്കാതെ എ എ x =1.
ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു; പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും പൂജ്യം പവർ 1 ന് തുല്യമാണ്. ഗ്രാഫിക്കലായി, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഏത് വസ്തുതയിലും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എ വളവ് ചെയ്തത് = എ x (ചിത്രം 246, 247 കാണുക) അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നു ചെയ്തത് ഓർഡിനേറ്റ് 1 ഉള്ള പോയിൻ്റിൽ.
സ്വത്ത് 5. ചെയ്തത് എ >1 എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ = എ x ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, കൂടാതെ a < 1 - ഏകതാനമായി കുറയുന്നു.
ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിനും അനുവദിക്കുന്നു.
ചെയ്തത് എ > 1 (ചിത്രം 246) വക്രം ചെയ്തത് = എ x വളർച്ചയോടെ എക്സ് ഉയർന്ന് ഉയരുന്നു, എപ്പോൾ എ < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
അഞ്ചാമത്തെ വസ്തുവിൻ്റെ കർശനമായ തെളിവ് നൽകാം.
അനുവദിക്കുക എ > 1 ഒപ്പം എക്സ് 2 > എക്സ് 1 . അത് കാണിക്കാം
എ x 2 > എ x 1
എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് എക്സ് 2 > എക്സ് 1., പിന്നെ എക്സ് 2 = എക്സ് 1 + ഡി , എവിടെ ഡി - കുറച്ച് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. അതുകൊണ്ടാണ്
എ x 2 - എ x 1 = എ x 1 + ഡി - എ x 1 = എ x 1 (എ ഡി - 1)
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ 2-ആം പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം എ x 1 > 0. മുതൽ ഡി > 0, തുടർന്ന് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂന്നാം പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം എ ഡി > 1. ഉൽപ്പന്നത്തിലെ രണ്ട് ഘടകങ്ങളും എ x 1 (എ ഡി - 1) പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ഈ ഉൽപ്പന്നം തന്നെ പോസിറ്റീവ് ആണ്. അർത്ഥമാക്കുന്നത്, എ x 2 - എ x 1 > 0, അല്ലെങ്കിൽ എ x 2 > എ x 1, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
അതിനാൽ, എപ്പോൾ എ > 1 ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = എ x ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. അതുപോലെ, എപ്പോൾ എന്ന് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു എ < 1 функция ചെയ്തത് = എ x ഏകതാനമായി കുറയുന്നു.
അനന്തരഫലം. 1 ഒഴികെയുള്ള ഒരേ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ രണ്ട് ശക്തികൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഘാതം തുല്യമാണ്.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എങ്കിൽ
എ ബി = എ സി (എ > 0 ഒപ്പം എ =/= 1),
ബി = സി .
തീർച്ചയായും, അക്കങ്ങളാണെങ്കിൽ ബി ഒപ്പം കൂടെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനത കാരണം തുല്യമായിരുന്നില്ല ചെയ്തത് = എ x അവയിൽ ഏറ്റവും വലുത് യോജിക്കും എ >1 വലുത്, എപ്പോൾ എ < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или എ ബി > എ സി , അഥവാ എ ബി < എ സി . രണ്ടും വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിരുദ്ധമാണ് എ ബി = എ സി . അത് സമ്മതിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു ബി = സി .
സ്വത്ത് 6. അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ > 1, പിന്നെ വാദത്തിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവ് എക്സ് (എക്സ് -> ∞ ) പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ ചെയ്തത് = എ x അനിശ്ചിതമായി വളരുകയും ചെയ്യുന്നു (ചെയ്തത് -> ∞ ). വാദം പരിധിയില്ലാതെ കുറയുമ്പോൾ എക്സ് (എക്സ് -> -∞ ) ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആയി തുടരുമ്പോൾ പൂജ്യമായി മാറുന്നു (ചെയ്തത്->0; ചെയ്തത് > 0).
മുകളിൽ തെളിയിച്ച പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകതാനത കണക്കിലെടുക്കുന്നു ചെയ്തത് = എ x , പരിഗണനയിലിരിക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് നമുക്ക് പറയാം ചെയ്തത് = എ x ഏകതാനമായി 0 മുതൽ വർധിക്കുന്നു ∞ .
എങ്കിൽ 0 <എ < 1, ആർഗ്യുമെൻ്റ് x (x -> ∞) യുടെ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവോടെ, y = a x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് ആയി തുടരുമ്പോൾ പൂജ്യമായി മാറുന്നു (ചെയ്തത്->0; ചെയ്തത് > 0). ആർഗ്യുമെൻ്റ് x പരിധിയില്ലാതെ കുറയുമ്പോൾ (എക്സ് -> -∞ ) ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പരിധിയില്ലാതെ വളരുന്നു (ചെയ്തത് -> ∞ ).
പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകതാനത കാരണം y = a x ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പ്രവർത്തനം എന്ന് നമുക്ക് പറയാം ചെയ്തത് = എ x മുതൽ ഏകതാനമായി കുറയുന്നു ∞ 0 വരെ.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആറാമത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി 246, 247 എന്നിവയിൽ വ്യക്തമായി പ്രതിഫലിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അത് കർശനമായി തെളിയിക്കില്ല.
നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ശ്രേണി സ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ് y = a x (എ > 0, എ =/= 1).
മുകളിൽ ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനം തെളിയിച്ചു y = a x പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം എടുക്കുകയും ഒന്നുകിൽ 0 മുതൽ ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ∞ (ഏറ്റ് എ > 1), അല്ലെങ്കിൽ ഏകതാനമായി കുറയുന്നു ∞ 0 വരെ (0 ന്< എ <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = a x നിങ്ങൾ മാറുമ്പോൾ എന്തെങ്കിലും കുതിച്ചുചാട്ടം ഉണ്ടോ? ഇതിന് എന്തെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ ആവശ്യമുണ്ടോ? ഈ പ്രശ്നം പോസിറ്റീവ് ആയി പരിഹരിച്ചു. എങ്കിൽ എ > 0 ഒപ്പം എ =/= 1, അപ്പോൾ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ എന്തായാലും ചെയ്തത് 0 തീർച്ചയായും കണ്ടെത്തും എക്സ് 0, അത്തരത്തിലുള്ള
എ x 0 = ചെയ്തത് 0 .
(ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനത കാരണം y = a x നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം എക്സ് 0 തീർച്ചയായും ഒന്നായിരിക്കും.)
ഈ വസ്തുത തെളിയിക്കുന്നത് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമിൻ്റെ പരിധിക്കപ്പുറമാണ്. അതിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഏതിനും എന്നതാണ് പോസിറ്റീവ് മൂല്യം ചെയ്തത് 0 ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് y = a x തീർച്ചയായും ഒരു നേർരേഖയുമായി വിഭജിക്കും ചെയ്തത് = ചെയ്തത് 0 കൂടാതെ, ഒരു ഘട്ടത്തിൽ മാത്രം (ചിത്രം 248).
ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനത്തിലെത്താം, അത് ഞങ്ങൾ പ്രോപ്പർട്ടി 7 ആയി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.
സ്വത്ത് 7. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം y = a x (എ > 0, എ =/= 1)എല്ലാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.
വ്യായാമങ്ങൾ
1368. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകൾ കണ്ടെത്തുക:
1369. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതാണ് 1-നേക്കാൾ വലുതും 1-ൽ കുറവും:
1370. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏത് സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് അത് പ്രസ്താവിക്കാൻ കഴിയുക
a) (5 / 7) 2.6 > (5 / 7) 2.5; b) (4 / 3) 1.3 > (4 / 3) 1.2
1371. ഏത് സംഖ്യയാണ് വലുത്:
എ) π - √3 അല്ലെങ്കിൽ (1/ π ) - √3 ; c) (2/3) 1 + √6 അല്ലെങ്കിൽ (2/3) √2 + √5 ;
b) ( π / 4) 1 + √3 അല്ലെങ്കിൽ ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 അല്ലെങ്കിൽ (√3) √3 - 2 ?
1372. അസമത്വങ്ങൾ തുല്യമാണോ:
1373. സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും എക്സ് ഒപ്പം ചെയ്തത് , എങ്കിൽ ഒരു x = കൂടാതെ വൈ , എവിടെ എ - നൽകിയ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ?
1374. 1) ഫംഗ്ഷൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളിലും ഇത് സാധ്യമാണോ? ചെയ്തത് = 2x ഹൈലൈറ്റ്:
2) ഫംഗ്ഷൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളിലും ഇത് സാധ്യമാണോ? ചെയ്തത് = 2 | x| ഹൈലൈറ്റ്:
a) ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം; b) ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം?
അറിവിൻ്റെ ഹൈപ്പർമാർക്കറ്റ് >>ഗണിതം >>ഗണിതം പത്താം ക്ലാസ് >>
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ, അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫും
നമുക്ക് 2x എന്ന പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കാം, വേരിയബിളിൻ്റെ വിവിധ യുക്തിസഹമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, x = 2;
പൊതുവേ, x എന്ന വേരിയബിളിന് നമ്മൾ എന്ത് യുക്തിസഹമായ മൂല്യം നൽകിയാലും, നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അനുയോജ്യമായത് കണക്കാക്കാം. സംഖ്യാ മൂല്യംപദപ്രയോഗങ്ങൾ 2 x. അതിനാൽ, നമുക്ക് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം പ്രവർത്തനങ്ങൾ y=2 x, യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ Q സെറ്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്:
ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നോക്കാം.
സ്വത്ത് 1.- പ്രവർത്തനം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായി തെളിവ് നടപ്പിലാക്കുന്നു.
ആദ്യ ഘട്ടം. r ഒരു പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, 2 r >1 ആണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.
രണ്ട് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്: 1) r - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, r = n; 2) സാധാരണ ഇളവ് അംശം,
നമുക്കുള്ള അവസാന അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്ത് 1. അവസാന അസമത്വവും രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
അതിനാൽ, ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, അസമത്വം 2 r > 1 നിലനിർത്തുന്നു, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
രണ്ടാം ഘട്ടം. x 1 ഉം x 2 ഉം സംഖ്യകളും x 1 ഉം x 2 ഉം ആകട്ടെ< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(ഞങ്ങൾ x 2 - x 1 എന്ന വ്യത്യാസം r എന്ന അക്ഷരത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചു).
r ഒരു പോസിറ്റീവ് റേഷണൽ സംഖ്യയായതിനാൽ, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രകാരം, 2 r > 1, അതായത്. 2 r -1 >0. 2x" എന്ന സംഖ്യയും പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത് ഉൽപ്പന്നം 2 x-1 (2 Г -1) പോസിറ്റീവ് ആണ്. അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിച്ചു അസമത്വം 2 Xg -2x" >0.
അതിനാൽ, അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
പ്രോപ്പർട്ടി 2.താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.
താഴെയുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ ബൗണ്ടഡ്‌നെസ് അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു 2 x >0, ഇത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്. അതേ സമയം, നിങ്ങൾ എന്ത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ എടുത്താലും, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു എക്സ്പോണൻ്റ് x തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അതായത് അസമത്വം 2 x >M തൃപ്തികരമാകും - ഇത് മുകളിൽ നിന്നുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധിയില്ലാത്തതിൻ്റെ സവിശേഷതയാണ്. നമുക്ക് നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം.
സ്വത്ത് 3.ഏറ്റവും ചെറുതോ വലുതോ ആയ മൂല്യമില്ല.
ഈ പ്രവർത്തനത്തിന് ഇല്ലാത്തത് ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യം, വ്യക്തമായും, കാരണം, നമ്മൾ ഇപ്പോൾ കണ്ടതുപോലെ, അത് മുകളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല. എന്നാൽ ഇത് താഴെ നിന്ന് പരിമിതമാണ്, എന്തുകൊണ്ട് ഇതിന് ഒരു മിനിമം മൂല്യം ഇല്ല?
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യമാണ് 2 r എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം (r എന്നത് ചില യുക്തിസഹമായ സൂചകമാണ്). നമുക്ക് q എന്ന യുക്തിസഹ സംഖ്യ എടുക്കാം<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
ഇതെല്ലാം നല്ലതാണ്, നിങ്ങൾ പറയുന്നു, പക്ഷേ എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ y-2 x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ മാത്രം പരിഗണിക്കുന്നത്, എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ ഇത് മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലോ അല്ലെങ്കിൽ തുടർച്ചയായ ചില ഇടവേളകളിലോ അറിയപ്പെടുന്ന മറ്റ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പോലെ കണക്കാക്കാത്തത് നമ്പർ ലൈൻ? എന്താണ് നമ്മെ തടയുന്നത്? നമുക്ക് സാഹചര്യത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം.
സംഖ്യാരേഖയിൽ യുക്തിസഹമായത് മാത്രമല്ല, യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. മുമ്പ് പഠിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ഇത് ഞങ്ങളെ ബുദ്ധിമുട്ടിച്ചില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, x ൻ്റെ യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി y = x2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി: നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യം x ൻ്റെ സമചതുരമാക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.
എന്നാൽ y=2 x ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിതി കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ന് യുക്തിസഹമായ അർത്ഥം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, തത്വത്തിൽ x കണക്കാക്കാം (ഞങ്ങൾ ഇത് കൃത്യമായി ചെയ്ത ഖണ്ഡികയുടെ തുടക്കത്തിലേക്ക് വീണ്ടും മടങ്ങുക). ആർഗ്യുമെൻ്റ് x എന്നതിന് യുക്തിരഹിതമായ അർത്ഥം നൽകിയാലോ? ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ഇതുവരെ അറിയില്ല.
ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു വഴി കണ്ടെത്തി; അങ്ങനെയാണ് അവർ ന്യായവാദം ചെയ്തത്.
എന്നാണ് അറിയുന്നത് 
യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക - പോരായ്മയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾ:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
1.732 = 1.7320, 1.732050 = 1.73205 എന്നിവ വ്യക്തമാണ്. അത്തരം ആവർത്തനങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, 0 എന്ന നമ്പറിൽ അവസാനിക്കുന്ന ക്രമത്തിലെ അംഗങ്ങളെ ഞങ്ങൾ നിരസിക്കുന്നു.
അപ്പോൾ നമുക്ക് വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ക്രമം ലഭിക്കും:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
അതനുസരിച്ച്, ക്രമം വർദ്ധിക്കുന്നു
ഈ ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും 22-ൽ താഴെയുള്ള പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്, അതായത്. ഈ ക്രമം പരിമിതമാണ്. വീയർസ്ട്രാസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് (§ 30 കാണുക), ഒരു ശ്രേണി വർദ്ധിക്കുകയും പരിമിതപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, അത് ഒത്തുചേരുന്നു. കൂടാതെ, § 30 മുതൽ ഒരു സീക്വൻസ് കൂടിച്ചേരുകയാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു പരിധി വരെ മാത്രമേ സംയോജിപ്പിക്കുന്നുള്ളൂ എന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ ഒരൊറ്റ പരിധി ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യമായി കണക്കാക്കണമെന്ന് സമ്മതിച്ചു. സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം 2 ൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം പോലും കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല; ഇതൊരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയാണെന്നത് പ്രധാനമാണ് (എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണെന്ന് പറയാൻ ഞങ്ങൾ ഭയപ്പെട്ടില്ല, 
ഒരു ത്രികോണമിതി സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്, കൃത്യമായി ഈ സംഖ്യകൾ എന്താണെന്ന് ചിന്തിക്കാതെ: 
അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ 2^ എന്ന ചിഹ്നത്തിൽ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. അതുപോലെ, a എന്താണെന്നും പൊതുവായി എന്താണെന്നും നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും, ഇവിടെ a എന്നത് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയും a > 1 ഉം ആണ്.
എന്നാൽ 0 ആണെങ്കിലോ<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള ശക്തികളെക്കുറിച്ച് മാത്രമല്ല, അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള ശക്തികളെക്കുറിച്ചും സംസാരിക്കാം. ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ സാധാരണ ഗുണങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്: ഒരേ ബേസുകളുള്ള പവറുകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഘാതകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അവ കുറയ്ക്കുന്നു, ഒരു ഡിഗ്രിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, അവ ഗുണിക്കുന്നു, തുടങ്ങിയവ. എന്നാൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന y-ax ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം എന്നതാണ്.
നമുക്ക് y = 2 x എന്ന ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മടങ്ങുകയും അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം y=2x:
കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താം (ചിത്രം 194), അവർ ഒരു നിശ്ചിത രേഖ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു, നമുക്ക് അത് വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 195).
y - 2 x ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ:
1)
2) ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല; 248
3) വർദ്ധിക്കുന്നു;
5) ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആയ മൂല്യങ്ങൾ ഇല്ല;
6) തുടർച്ചയായി;
7)
8) കുത്തനെ താഴേക്ക്.
y-2 x ഫംഗ്ഷൻ്റെ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്ത ഗുണങ്ങളുടെ കർക്കശമായ തെളിവുകൾ ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ ചിലത് ഒരു ഡിഗ്രി അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഞങ്ങൾ നേരത്തെ ചർച്ച ചെയ്തു, അവയിൽ ചിലത് നിർമ്മിച്ച ഗ്രാഫ് വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കുന്നു (ചിത്രം 195 കാണുക). ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പാരിറ്റിയുടെയോ വിചിത്രതയുടെയോ അഭാവം യഥാക്രമം y-അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതോ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതോ ആയ ഗ്രാഫിൻ്റെ സമമിതിയുടെ അഭാവവുമായി ജ്യാമിതീയമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
y = a x എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഏത് ഫംഗ്ഷനും, ഇവിടെ a > 1, സമാന ഗുണങ്ങളുള്ളതാണ്. ചിത്രത്തിൽ. ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ 196 നിർമ്മിച്ചു, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ y=2 x, y=3 x, y=5 x.
നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുകയും അതിനായി മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യാം:
കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്താം (ചിത്രം 197), അവർ ഒരു നിശ്ചിത രേഖ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു, നമുക്ക് അത് വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 198).
പ്രവർത്തന സവിശേഷതകൾ
1)
2) ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല;
3) കുറയുന്നു;
4) മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു;
5) ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആയ മൂല്യമില്ല;
6) തുടർച്ചയായി;
7)
8) കുത്തനെ താഴേക്ക്.
y = a x എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഏതൊരു പ്രവർത്തനത്തിനും സമാനമായ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, ഇവിടെ O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ 
ആ. y=2 x, y-അക്ഷത്തിൻ്റെ സമമിതി (ചിത്രം 201). ഇത് പൊതുവായ പ്രസ്താവനയുടെ അനന്തരഫലമാണ് (§ 13 കാണുക): y = f(x), y = f(-x) എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ y-അക്ഷത്തിന് സമമിതിയാണ്. അതുപോലെ, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ y = 3 x ഒപ്പം
പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു നിർവചനം നൽകുകയും അതിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണങ്ങൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യും.
നിർവ്വചനം.ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ y = a x
a> 1 എന്നതിനുള്ള y=a x ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 201, കൂടാതെ 0 നും<а < 1 - на рис. 202.
ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന വക്രം. 201 അല്ലെങ്കിൽ 202 ഘാതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സാധാരണയായി എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനെ തന്നെ y = a x എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ "എക്‌സ്‌പോണൻറ്" എന്ന പദം രണ്ട് അർത്ഥങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു: എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പേര് നൽകാനും എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് പേര് നൽകാനും. നമ്മൾ ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ചാണോ അതോ അതിൻ്റെ ഗ്രാഫിനെക്കുറിച്ചാണോ സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് സാധാരണയായി അർത്ഥം വ്യക്തമാണ്.
y=ax എന്ന എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ സവിശേഷത ശ്രദ്ധിക്കുക: x-അക്ഷം ഗ്രാഫിൻ്റെ തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്. ശരിയാണ്, ഈ പ്രസ്താവന സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വ്യക്തമാക്കുന്നു.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ തിരശ്ചീനമായ അസിംപ്റ്റോട്ടാണ് x-ആക്സിസ്
മറ്റൊരു വാക്കിൽ
ആദ്യത്തെ പ്രധാന കുറിപ്പ്. സ്കൂൾ കുട്ടികൾ പലപ്പോഴും നിബന്ധനകൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു: പവർ ഫംഗ്ഷൻ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ. താരതമ്യം ചെയ്യുക:
ഇവ പവർ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്; 
ഇവ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.
പൊതുവേ, y = x r, ഇവിടെ r എന്നത് ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയാണ്, ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനാണ് (ഡിഗ്രിയുടെ ബേസിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ് x അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു);
y = a", ഇവിടെ a എന്നത് ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയാണ് (പോസിറ്റീവും 1-ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തവും), ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനാണ് (എക്‌ഗ്യുമെൻ്റ് x എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു).
y = x" പോലെയുള്ള ഒരു "വിദേശ" ഫംഗ്ഷൻ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ അല്ലെങ്കിൽ പവർ ആയി കണക്കാക്കില്ല (ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു).
രണ്ടാമത്തെ പ്രധാന കുറിപ്പ്. സാധാരണയായി ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ a = 1 അല്ലെങ്കിൽ ബേസ് ഉള്ള അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കില്ല.<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0, a = 1 ആണെങ്കിൽ, x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും Ix = 1 തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. അങ്ങനെ, a = 1 ഉള്ള y = a" എന്ന എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്‌ഷനായി y = 1 ആയി മാറുന്നു - ഇത് രസകരമല്ല, a = 0 ആണെങ്കിൽ, x ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് മൂല്യത്തിന് 0x = 0, അതായത്, x > 0 ന് നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്ന y = 0 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും - ഇതും താൽപ്പര്യമില്ലാത്തതാണ്. ഒടുവിൽ, a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ നിങ്ങൾ ഇതുവരെ പഠിച്ച എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകളിൽ നിന്നും കാര്യമായ വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരു പുതിയ വസ്തുവിനെ സമഗ്രമായി പഠിക്കാൻ, നിങ്ങൾ അത് വ്യത്യസ്ത കോണുകളിൽ നിന്ന്, വ്യത്യസ്ത സാഹചര്യങ്ങളിൽ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.
ഉദാഹരണം 1.
പരിഹാരം, a) ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ y = 2 x, y = 1 എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിച്ച ശേഷം, അവയ്ക്ക് ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് (0; 1) ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു (ചിത്രം 203). 2x = 1 എന്ന സമവാക്യത്തിന് x =0 എന്ന ഒറ്റമൂലി ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
അതിനാൽ, 2x = 2 ° എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x = 0 ലഭിക്കും.
b) ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ y = 2 x, y = 4 എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിച്ച ശേഷം, അവയ്ക്ക് ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് (2; 4) ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു (ചിത്രം 203). ഇതിനർത്ഥം 2x = 4 എന്ന സമവാക്യത്തിന് x = 2 എന്ന ഒറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ടെന്നാണ്.
അതിനാൽ, 2 x = 2 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x = 2 ലഭിക്കും.
c) കൂടാതെ d) സമാന പരിഗണനകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, 2 x = 8 എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അത് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടതില്ല;
2 3 = 8 ആയതിനാൽ x = 3 ആണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതുപോലെ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരേയൊരു റൂട്ട് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
അതിനാൽ, 2x = 2 3 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x = 3 ലഭിച്ചു, 2 x = 2 x എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x = -4 ലഭിച്ചു.
e) y = 2 x ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, x > 0 എന്നതിന് y = 1 ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് - ഇത് ചിത്രത്തിൽ വ്യക്തമായി വായിക്കാവുന്നതാണ്. 203. 2x > 1 എന്ന അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇടവേളയാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം
f) y = 2 x ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, x-ൽ y = 4 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് താഴെയാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
ഉദാഹരണം 1 പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നടത്തിയ എല്ലാ നിഗമനങ്ങളുടെയും അടിസ്ഥാനം y = 2 x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനതയുടെ (വർദ്ധന) ഗുണമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കാം. ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സാധുത പരിശോധിക്കാൻ സമാനമായ ന്യായവാദം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
പരിഹാരം.നിങ്ങൾക്ക് ഇതുപോലെ തുടരാം: y-3 x ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക, തുടർന്ന് അത് x അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് 3-ൻ്റെ ഫാക്‌ടർ കൊണ്ട് നീട്ടുക, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഗ്രാഫ് 2 സ്കെയിൽ യൂണിറ്റുകളായി ഉയർത്തുക. എന്നാൽ 3- 3* = 3 * + 1 എന്ന വസ്തുത ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിനാൽ, y = 3 x * 1 + 2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.
അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ നമ്മൾ പലതവണ ചെയ്‌തിരിക്കുന്നതുപോലെ, ബിന്ദുവിൽ (-1; 2) ഉത്ഭവം ഉള്ള ഒരു ഓക്സിലറി കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് പോകാം - ചിത്രം x = - 1, 1x = 2 എന്നീ ഡോട്ട് ലൈനുകൾ. 207. പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് y=3* എന്ന ഫംഗ്ഷൻ "ലിങ്ക്" ചെയ്യാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള നിയന്ത്രണ പോയിൻ്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക 
, എന്നാൽ ഞങ്ങൾ അവയെ പഴയതല്ല, പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർമ്മിക്കും (ഈ പോയിൻ്റുകൾ ചിത്രം 207 ൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു). അപ്പോൾ നമ്മൾ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു എക്സ്പോണൻ്റ് നിർമ്മിക്കും - ഇത് ആവശ്യമായ ഗ്രാഫ് ആയിരിക്കും (ചിത്രം 207 കാണുക).
സെഗ്‌മെൻ്റിൽ [-2, 2] നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനാൽ അത് യഥാക്രമം ഏറ്റവും ചെറുതും വലുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ഇടത് വലത് അറ്റങ്ങൾ.
അതിനാൽ:
ഉദാഹരണം 4.സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുക:
പരിഹാരം, a) നമുക്ക് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ y=5*, y=6-x എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാം (ചിത്രം 208). അവ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു; ഡ്രോയിംഗിലൂടെ വിലയിരുത്തുമ്പോൾ, ഇത് പോയിൻ്റാണ് (1; 5). യഥാർത്ഥത്തിൽ പോയിൻ്റ് (1; 5) y = 5* എന്ന സമവാക്യത്തെയും y = 6-x എന്ന സമവാക്യത്തെയും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ചെക്ക് കാണിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സ നൽകിയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക മൂലമായി വർത്തിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, 5 x = 6 - x എന്ന സമവാക്യത്തിന് x = 1 എന്ന ഒറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്.
b) കൂടാതെ c) ഘാതം y-5x y=6-x എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണ്, x>1 ആണെങ്കിൽ, ഇത് ചിത്രത്തിൽ വ്യക്തമായി കാണാം. 208. ഇതിനർത്ഥം അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം 5*>6 ൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: x>1. അസമത്വത്തിന് 5x പരിഹാരവും<6 - х можно записать так: х < 1.
ഉത്തരം: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.
ഉദാഹരണം 5.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകി 
അത് തെളിയിക്കൂ 
പരിഹാരം.നമുക്കുള്ള വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ a ന് തുല്യമായ n സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ സാമാന്യവൽക്കരണമാണ്:
വൈ (n) = a n = a·a·a··a,
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിലേക്ക് x:
വൈ (x) = കോടാലി.
ഇവിടെ a എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്, അതിനെ വിളിക്കുന്നു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാനം.
ബേസ് എ ഉള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു ഘാതം മുതൽ a അടിസ്ഥാനം വരെ.
പൊതുവൽക്കരണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടത്തുന്നു.
സ്വാഭാവിക x = 1, 2, 3,...
, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ x ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ്:
.
മാത്രമല്ല, ഇതിന് ഗുണങ്ങളുണ്ട് (1.5-8) (), അത് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ പൂജ്യം, നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി, ഫോർമുലകൾ (1.9-10) ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഫ്രാക്ഷണൽ മൂല്യങ്ങൾക്കായി x = m/n യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ, , ഇത് ഫോർമുല (1.11) പ്രകാരമാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ അനുക്രമത്തിൻ്റെ പരിധിയായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:
,
x: ആയി മാറുന്ന യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ക്രമം എവിടെയാണ്.
ഈ നിർവ്വചനം ഉപയോഗിച്ച്, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ എല്ലാവർക്കുമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ സ്വാഭാവിക x പോലെയുള്ള പ്രോപ്പർട്ടികൾ (1.5-8) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപീകരണവും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളുടെ തെളിവും "ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണങ്ങളുടെ നിർവചനവും തെളിവും" എന്ന പേജിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ y = a x എന്ന എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:
(1.1)
എല്ലാവർക്കുമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായതും;
(1.2)
ഒരു ≠ 1
പല അർത്ഥങ്ങളുണ്ട്;
(1.3)
ൽ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, കർശനമായി കുറയുന്നു,
സ്ഥിരമാണ്;
(1.4)
ചെയ്തത് ;
ചെയ്തത് ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
മറ്റ് ഉപയോഗപ്രദമായ ഫോർമുലകൾ.
.
മറ്റൊരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ബേസ് ഉള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല:
b = e ആകുമ്പോൾ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ മുഖേന നമുക്ക് ലഭിക്കും:
സ്വകാര്യ മൂല്യങ്ങൾ
, , , , .
ചിത്രം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു
വൈ (x) = കോടാലി
നാല് മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഡിഗ്രി അടിസ്ഥാനങ്ങൾ: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
ഒപ്പം a = 1/8
. ഒരു > എന്നതിന് എന്ന് കാണാം 1
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. ഡിഗ്രി a യുടെ അടിത്തറ വലുതാണ്, വളർച്ച ശക്തമാണ്. ചെയ്തത് 0
< a < 1
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ ഏകതാനമായി കുറയുന്നു. ചെറിയ ഘാതം a, ശക്തി കുറയുന്നു.
ആരോഹണം അവരോഹണം
ഇതിനായുള്ള എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ കർശനമായി ഏകതാനമാണ്, അതിനാൽ തീവ്രതയില്ല. അതിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
| y = a x, a > 1 | y = കോടാലി, 0 < a < 1 | |
| ഡൊമെയ്ൻ | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| മോണോടോൺ | ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു | ഏകതാനമായി കുറയുന്നു |
| പൂജ്യങ്ങൾ, y = 0 | ഇല്ല | ഇല്ല |
| x = ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷം ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റുകൾ തടസ്സപ്പെടുത്തുക 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
വിപരീത പ്രവർത്തനം
ബേസ് a ഉള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിപരീതം a അടിസ്ഥാന a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്.
എങ്കിൽ, പിന്നെ
.
എങ്കിൽ, പിന്നെ
.
ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വ്യത്യാസം
ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കാൻ, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം e എന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് ചുരുക്കണം, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയും ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ റൂളും പ്രയോഗിക്കുക. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്
ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടികയിൽ നിന്നുള്ള ഫോർമുലയും:
.
ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ നൽകട്ടെ:
.
ഞങ്ങൾ അതിനെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു e:
സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം നമുക്ക് പ്രയോഗിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുക
പിന്നെ
നമുക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് (വേരിയബിൾ x-നെ z ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക):
.
ഒരു സ്ഥിരാങ്കമായതിനാൽ, x നെ സംബന്ധിച്ച z ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് തുല്യമാണ്
.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം അനുസരിച്ച്:
.
ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
.
Nth ഓർഡറിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>>
ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യാസപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
y = 3 5 x
പരിഹാരം
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാനം e എന്ന സംഖ്യയിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാം.
3 = e ln 3
പിന്നെ
.
ഒരു വേരിയബിൾ നൽകുക
.
പിന്നെ
ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് 5ln 3ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്, അപ്പോൾ x ൻ്റെ വ്യുൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമാണ്:
.
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:
.
ഉത്തരം
ഇൻ്റഗ്രൽ
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക z:
എഫ് (z) = a z
ഇവിടെ z = x + iy; ഐ 2 = - 1
.
മോഡുലസ് r, ആർഗ്യുമെൻ്റ് φ എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ സ്ഥിരാങ്കം പ്രകടിപ്പിക്കാം:
a = r e i φ
പിന്നെ
.
വാദം φ അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. പൊതുവായി
φ = φ 0 + 2 πn,
ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. അതിനാൽ ഫംഗ്ഷൻ എഫ് (z)എന്നതും വ്യക്തമല്ല. അതിൻ്റെ പ്രധാന പ്രാധാന്യം പലപ്പോഴും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു
.
സീരീസ് വിപുലീകരണം
.
റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ
y = a എന്ന ഫോമിൻ്റെ പ്രവർത്തനം x , a പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും a ഒന്നിന് തുല്യമല്ലാത്തതും എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ:
1. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണമായിരിക്കും.
2. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി എല്ലാ പോസിറ്റീവ് റിയൽ നമ്പറുകളുടെയും സെറ്റായിരിക്കും. ചിലപ്പോൾ ഈ സെറ്റ് സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി R+ ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
3. ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനിൽ ബേസ് a ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കും. ബേസിൻ്റെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ 0 തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ
4. ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും സാധുവായിരിക്കും. ഡിഗ്രികളുടെ പ്രധാന ഗുണങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:
എ x *എ വൈ = എ (x+y) ;
(എ x )/(എ വൈ ) = എ (x-y) ;
(എ*ബി) x = (എ x )*(എ വൈ );
(എ/ബി) x = എ x /ബി x ;
(എ x ) വൈ = എ (x * y) .
x, y എന്നിവയുടെ എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾക്കും ഈ തുല്യതകൾ സാധുവായിരിക്കും.
5. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് എല്ലായ്പ്പോഴും കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (0;1)
6. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച്, അതിൻ്റെ ഗ്രാഫിന് രണ്ട് രൂപങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഉണ്ടായിരിക്കും.
വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം കാണിക്കുന്നു: a>0.
കുറയുന്ന എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം കാണിക്കുന്നു: 0
അഞ്ചാമത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച്, വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫും കുറയുന്ന എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫും പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (0;1).
7. ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ പോയിൻ്റുകൾ ഇല്ല, അതായത്, മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അതിന് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകൾ ഇല്ല. ഏതെങ്കിലും നിർദ്ദിഷ്ട സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയുടെ അറ്റത്ത് ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കും.
8. ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടയോ ഒറ്റയോ അല്ല. ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് പൊതുവായ കാഴ്ച. ഗ്രാഫുകളിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ കഴിയും; അവയൊന്നും Oy അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അല്ലെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതികളല്ല.
ലോഗരിതം
ലോഗരിതം എപ്പോഴും പരിഗണിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വിഷയംഒരു സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ. ലോഗരിതത്തിന് നിരവധി വ്യത്യസ്ത നിർവചനങ്ങൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ ചില കാരണങ്ങളാൽ മിക്ക പാഠപുസ്തകങ്ങളും അവയിൽ ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണവും വിജയിക്കാത്തതുമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ലളിതമായും വ്യക്തമായും നിർവചിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം:
അതിനാൽ, നമുക്ക് രണ്ട് ശക്തികളുണ്ട്. താഴത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ നമ്പർ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, 16 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. 64 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം ആറാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് മേശയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.
ഇപ്പോൾ - യഥാർത്ഥത്തിൽ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം:
നിർവ്വചനം
ലോഗരിതം a വാദത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് x സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ്എ നമ്പർ ലഭിക്കാൻ x.
പദവി
ലോഗ് a x = b
ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനം, x എന്നത് വാദം, b - യഥാർത്ഥത്തിൽ, ലോഗരിതം എന്തിന് തുല്യമാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 = 8 ⇒ ലോഗ് 2 8 = 3 (8 ൻ്റെ അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം മൂന്ന് ആയതിനാൽ 2 3 = 8). അതേ വിജയത്തോടെ, 2 6 = 64 മുതൽ 2 64 = 6 ലോഗ് ചെയ്യുക.
ഒരു നിശ്ചിത അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നുലോഗരിതം . അതിനാൽ, നമ്മുടെ പട്ടികയിലേക്ക് ഒരു പുതിയ വരി ചേർക്കാം:
നിർഭാഗ്യവശാൽ, എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളും അത്ര എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 5 കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. പട്ടികയിൽ നമ്പർ 5 ഇല്ല, എന്നാൽ ലോജിക് ലോഗരിതം ഇടവേളയിൽ എവിടെയെങ്കിലും കിടക്കുമെന്ന് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. കാരണം 2 2< 5 < 2 3 , а чем കൂടുതൽ ബിരുദംരണ്ട്, വലിയ സംഖ്യ.
അത്തരം സംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ദശാംശ പോയിൻ്റിന് ശേഷമുള്ള സംഖ്യകൾ അനന്തമായി എഴുതാം, അവ ഒരിക്കലും ആവർത്തിക്കില്ല. ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, അത് അങ്ങനെ തന്നെ ഉപേക്ഷിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്: ലോഗ് 2 5, ലോഗ് 3 8, ലോഗ് 5 100.
രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള (അടിസ്ഥാനവും വാദവും) ഒരു പദപ്രയോഗമാണ് ലോഗരിതം എന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ആദ്യം, അടിസ്ഥാനം എവിടെയാണെന്നും വാദം എവിടെയാണെന്നും പലരും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന തെറ്റിദ്ധാരണകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ചിത്രം നോക്കുക:
ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല നമ്മുടെ മുമ്പിൽ. ഓർക്കുക: ലോഗരിതം ഒരു ശക്തിയാണ് , ഒരു വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം നിർമ്മിക്കണം.ഇത് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ അടിത്തറയാണ് - ഇത് ചിത്രത്തിൽ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനം എല്ലായ്പ്പോഴും അടിയിലാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു! ആദ്യ പാഠത്തിൽ തന്നെ ഈ അത്ഭുതകരമായ നിയമം ഞാൻ എൻ്റെ വിദ്യാർത്ഥികളോട് പറയുന്നു - ആശയക്കുഴപ്പം ഉണ്ടാകില്ല.
ഞങ്ങൾ നിർവചനം കണ്ടെത്തി - ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് പഠിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്, അതായത്. "ലോഗ്" ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുക. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നു നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന വസ്തുതകൾ പിന്തുടരുന്നു:
വാദവും അടിത്തറയും എപ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. ഇത് ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്സ്പോണൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് പിന്തുടരുന്നു, അതിലേക്ക് ലോഗരിതം നിർവചനം കുറയുന്നു.
അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കണം, കാരണം ഒരെണ്ണം ഏതെങ്കിലുമൊരു ഡിഗ്രി വരെ ഇപ്പോഴും ഒന്നായി തുടരും.ഇക്കാരണത്താൽ, "രണ്ടെണ്ണം ലഭിക്കാൻ ഒരാൾ ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം" എന്ന ചോദ്യം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ബിരുദം ഇല്ല!
അത്തരം നിയന്ത്രണങ്ങൾവിളിക്കുന്നു സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി(ODZ). ലോഗരിതം ODZ ഇതുപോലെയാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു: ലോഗ് a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക എണ്ണത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ലബി (ലോഗരിതം മൂല്യം) ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം: ലോഗ് 2 0.5 = -1, കാരണം 0.5 = 2 -1.
എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാത്രമാണ് പരിഗണിക്കുന്നത്, അവിടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ VA അറിയേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളുടെ രചയിതാക്കൾ ഇതിനകം തന്നെ കണക്കിലെടുത്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ലോഗരിതമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പ്രാബല്യത്തിൽ വരുമ്പോൾ, ഡിഎൽ ആവശ്യകതകൾ നിർബന്ധമാകും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനത്തിലും വാദത്തിലും മുകളിൽ പറഞ്ഞ നിയന്ത്രണങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത വളരെ ശക്തമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം.
ഇപ്പോൾ പൊതുവായത് പരിഗണിക്കുക ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം. ഇത് മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:
ഒരു കാരണം നൽകുക a, വാദം x സാധ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അടിത്തറ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ഉള്ള ഒരു ശക്തിയുടെ രൂപത്തിൽ. വഴിയിൽ, ദശാംശങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്;
ഒരു വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിക്കുക b സമവാക്യം: x = a b ;
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ b ആയിരിക്കും ഉത്തരം.
അത്രയേയുള്ളൂ! ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ തന്നെ ദൃശ്യമാകും. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്ന ആവശ്യം വളരെ പ്രധാനമാണ്: ഇത് പിശകിൻ്റെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതുപോലെ ദശാംശങ്ങൾ: നിങ്ങൾ അവ ഉടനടി പതിവുള്ളവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, കുറച്ച് പിശകുകൾ ഉണ്ടാകും.
ഈ സ്കീം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ:
ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 5 25
അടിസ്ഥാനവും വാദവും അഞ്ചിൻ്റെ ശക്തിയായി സങ്കൽപ്പിക്കുക: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
ലോഗ് 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 2.
ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക:
അടിസ്ഥാനവും വാദവും മൂന്നിൻ്റെ ശക്തിയായി സങ്കൽപ്പിക്കാം: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 -1 = (3 4) -1 = 3 -4 ;
നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: −4.
−4
ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 4 64
അടിസ്ഥാനവും വാദവും രണ്ടിൻ്റെ ശക്തിയായി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
ലോഗ് 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 3.
ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 16 1
അടിസ്ഥാനവും വാദവും രണ്ടിൻ്റെ ശക്തിയായി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
ലോഗ് 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 0.
ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 7 14
നമുക്ക് അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഏഴിൻ്റെ ശക്തിയായി സങ്കൽപ്പിക്കാം: 7 = 7 1 ; 7 1 മുതൽ 14-നെ ഏഴിൻ്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല< 14 < 7 2 ;
മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നില്ല;
ഉത്തരം മാറ്റമില്ല: ലോഗ് 7 14.
ലോഗ് 7 14
അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പ്. ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തിയല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഉറപ്പിക്കാം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് - അതിനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കുക. വികാസത്തിന് കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, സംഖ്യ ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല.
സംഖ്യകൾ കൃത്യമായ ശക്തികളാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി, കാരണം ഒരു ഗുണിതം മാത്രമേയുള്ളൂ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല, കാരണം രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട്: 3, 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി;
35 = 7 · 5 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല;
14 = 7 · 2 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ഡിഗ്രി അല്ല;
8, 81 - കൃത്യമായ ബിരുദം; 48, 35, 14 - നമ്പർ.
നമ്മൾ തന്നെയാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കാം പ്രധാന സംഖ്യകൾഎല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ കൃത്യമായ ഡിഗ്രികളാണ്.
ദശാംശ ലോഗരിതം
ചില ലോഗരിതങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമാണ്, അവയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പേരും ചിഹ്നവും ഉണ്ട്.
നിർവ്വചനം
ദശാംശ ലോഗരിതംവാദത്തിൽ നിന്ന് x അടിസ്ഥാന 10-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് 10 എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി x.
പദവി
lg x
ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - മുതലായവ.
ഇനി മുതൽ, "Find lg 0.01" പോലുള്ള ഒരു വാചകം ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമ്പോൾ, ഇത് അക്ഷരത്തെറ്റല്ലെന്ന് അറിയുക. ഇതൊരു ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾക്ക് ഈ നൊട്ടേഷൻ പരിചയമില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും മാറ്റിയെഴുതാം:
ലോഗ് x = ലോഗ് 10 x
സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് സത്യമായതെല്ലാം ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങൾക്കും ശരിയാണ്.
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം
അതിൻ്റേതായ പദവിയുള്ള മറ്റൊരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ചില വഴികളിൽ, ഇത് ദശാംശത്തേക്കാൾ പ്രധാനമാണ്. അത് ഏകദേശംസ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തെക്കുറിച്ച്.
നിർവ്വചനം
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംവാദത്തിൽ നിന്ന് x അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്ഇ , അതായത്. ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിഇ നമ്പർ ലഭിക്കാൻ x.
പദവി
ln x
പലരും ചോദിക്കും: ഇ നമ്പർ എന്താണ്? ഇതൊരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്; അതിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം കണ്ടെത്താനും എഴുതാനും കഴിയില്ല. ഞാൻ ആദ്യ കണക്കുകൾ മാത്രം നൽകും:
ഇ = 2.718281828459...
ഈ നമ്പർ എന്താണെന്നും അത് എന്തിനാണ് ആവശ്യമുള്ളതെന്നും ഞങ്ങൾ വിശദമായി പറയില്ല. ഇ എന്ന് മാത്രം ഓർക്കുക - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം:
ln x = ലോഗ് ഇ x
അങ്ങനെ ln e = 1; ln e 2 = 2; ഇ 16 = 16 - മുതലായവ. മറുവശത്ത്, ln 2 ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്. പൊതുവേ, ഏതിൻറെയും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയുക്തിരഹിതമായ. തീർച്ചയായും, ഒന്നിന് ഒഴികെ: ln 1 = 0.
വേണ്ടി സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംസാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ശരിയായ എല്ലാ നിയമങ്ങളും സാധുവാണ്.
ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ
ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, അവയ്ക്ക് അവരുടേതായ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.
ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും
ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗ് a x ഉം ലോഗ് a y ഉം . തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:
ലോഗ്ഒരു x + ലോഗ്ആയ് = ലോഗ്എ ( x · വൈ );
ലോഗ്ഒരു x - ലോഗ്ആയ് = ലോഗ്എ ( x : വൈ ).
അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്.ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന പോയിൻ്റ് ഒരേ അടിസ്ഥാനമാണ്. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും (പാഠം കാണുക " "). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.
ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 = ലോഗ് 6 (4 9) = ലോഗ് 6 36 = 2.
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.
അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 (48: 3) = ലോഗ് 2 16 = 4.
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.
വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 = ലോഗ് 3 (135: 5) = ലോഗ് 3 27 = 3.
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പലതും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.
ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്സ്പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു
ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? പിന്നെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ബിരുദത്തിൻ്റെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:
അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.
തീർച്ചയായും ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമുള്ളത്.
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6 .
ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 = 6 ലോഗ് 7 49 = 6 2 = 12
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:
ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.
ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.
ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം
ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?
ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:
സിദ്ധാന്തം
ലോഗരിതം ലോഗ് നൽകട്ടെഒരു x . പിന്നെ ഏത് നമ്പറിനും c> 0, c എന്നിങ്ങനെ ≠ 1, സമത്വം ശരിയാണ്:
പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ ഇട്ടാൽ c = x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പരമ്പരാഗതമായി അപൂർവ്വമായി കാണപ്പെടുന്നു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ. തീരുമാനിക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും.
എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 ലോഗ് 2 25.
രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ലോഗ് 5 16 = ലോഗ് 5 2 4 = 4ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 = ലോഗ് 2 5 2 = 2ലോഗ് 2 5;
ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:
ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 lg 3.
ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:
ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:
അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി
പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:
ആദ്യ കേസിൽ, നമ്പർഎൻ വാദത്തിൽ നിലകൊള്ളുന്ന ഡിഗ്രിയുടെ സൂചകമായി മാറുന്നു. നമ്പർഎൻ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.
രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. ഇതിനെ വിളിക്കുന്നത് ഇതാണ്:അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി.
വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.
ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.
ടാസ്ക്
പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:
പരിഹാരം
ലോഗ് 25 64 = ലോഗ് 5 എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക 8 - അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ചതുരവും ലോഗരിതം ആർഗ്യുമെൻ്റും എടുക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
200
ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)
ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും
ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതം നിർവചിച്ചതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
ലോഗ് a a = 1 ആണ് ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതംഎ ഇതിൽ നിന്ന് തന്നെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
ലോഗ് a 1 = 0 ആണ് ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യം. അടിസ്ഥാനം എ എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണംഒരു 0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.
അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക!
