എല്ലാ കേസുകളും യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. സമവാക്യവും അതിൻ്റെ വേരുകളും: നിർവചനങ്ങൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു സമവാക്യത്തിൽ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട്, അപ്പോൾ സമവാക്യത്തെ യുക്തിരഹിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിലപ്പോൾ ഒരു യഥാർത്ഥ സാഹചര്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യമാണ്. അതിനാൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളെങ്കിലും പരിഹരിക്കാൻ നാം പഠിക്കണം.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം 2 x + 1 = 3 പരിഗണിക്കുക.

ശ്രദ്ധിക്കുക!

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതിയാണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വർഗ്ഗീകരിക്കുന്ന രീതി.

എന്നിരുന്നാലും, ഇത് മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ: സ്ക്വയർ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് എങ്ങനെ രക്ഷപ്പെടാം?

\(2x + 1 = 9\) സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ \(x = 4\) കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് \(2x + 1 = 9\) സമവാക്യത്തിൻ്റെയും തന്നിരിക്കുന്ന യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും റൂട്ട് ആണ്.

സ്ക്വയറിംഗ് രീതി സാങ്കേതികമായി ലളിതമാണ്, പക്ഷേ ചിലപ്പോൾ കുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം 2 x - 5 = 4 x - 7 പരിഗണിക്കുക.

ഇരുവശത്തും ചതുരാകൃതിയിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

2 x - 5 2 = 4x - 7 2 2 x - 5 = 4 x - 7

എന്നാൽ മൂല്യം \(x = 1\), അത് യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ആണെങ്കിലും \(2x - 5 = 4x - 7\), നൽകിയിരിക്കുന്ന യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് അല്ല. എന്തുകൊണ്ട്? തന്നിരിക്കുന്ന യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് \(x\) പകരം \(1\) പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് − 3 = − 3 ലഭിക്കും.

ഒരു സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ നിവൃത്തിയെക്കുറിച്ച് അതിൻ്റെ ഇടത്തും വലത്തും അർത്ഥമില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ നമുക്ക് എങ്ങനെ സംസാരിക്കാനാകും?

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ അവർ പറയുന്നു: \(x = 1\) - ബാഹ്യമായ റൂട്ട്തന്നിരിക്കുന്ന യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യത്തിന്. നൽകിയിരിക്കുന്ന യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

ഒരു ബാഹ്യ റൂട്ട് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ ആശയമല്ല; യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ബാഹ്യ വേരുകൾ ഇതിനകം നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്; അവ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സ്ഥിരീകരണം സഹായിക്കുന്നു.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾക്ക്, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിർബന്ധിത ഘട്ടമാണ് സ്ഥിരീകരണം, അത് ബാഹ്യമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്താനും അവ ഉപേക്ഷിക്കാനും സഹായിക്കും (സാധാരണയായി അവർ "കളയെടുക്കുക" എന്ന് പറയും).

ശ്രദ്ധിക്കുക!

അതിനാൽ, ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം ഇരുവശവും ചതുരാകൃതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നു; തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, സാധ്യമായ ബാഹ്യ വേരുകൾ പരിശോധിച്ച് കളകൾ നീക്കം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ നിഗമനം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം:

5 x - 16 = x - 2 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

5 x - 16 = x - 2: 5 x - 16 2 = x - 2 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കാം.

ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

5 x - 16 = x 2 - 4 x 4 ; - x 2 9 x - 20 = 0 ; x 2 - 9 x 20 = 0 ; x 1 = 5 ; x 2 = 4.

പരീക്ഷ. 5 x - 16 = x - 2 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് \(x = 5\) പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് 9 = 3 - ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കും. 5 x - 16 = x - 2 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് \(x = 4\) പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് 4 = 2 - ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളും 5 x - 16 = x - 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്.

വിവിധ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നിങ്ങൾ ഇതിനകം കുറച്ച് അനുഭവം നേടിയിട്ടുണ്ട്: രേഖീയ, ക്വാഡ്രാറ്റിക്, യുക്തിസഹമായ, യുക്തിരഹിതം. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, വിവിധ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, ഉദാഹരണത്തിന്: സമവാക്യത്തിലെ ഒരു അംഗം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ മാറ്റുന്നു; സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുക; ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് മോചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, അവർ p x q x = 0 എന്ന സമവാക്യത്തെ \(p(x)=0\) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു; സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരാകൃതിയിലാണ്.

തീർച്ചയായും, ചില പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, ബാഹ്യമായ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചു, അതിനാൽ നിങ്ങൾ ജാഗ്രത പാലിക്കണം: കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ വേരുകളും പരിശോധിക്കുക. അതിനാൽ, സൈദ്ധാന്തിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഇതെല്ലാം മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ശ്രമിക്കും.

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ \(f (x) = g(x)\) കൂടാതെ \(r(x) = s(x)\) ഉണ്ടെങ്കിൽ അവയെ തത്തുല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഒരേ വേരുകൾ(അല്ലെങ്കിൽ, പ്രത്യേകിച്ച്, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്കും വേരുകളില്ലെങ്കിൽ).

സാധാരണയായി, ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവർ ഈ സമവാക്യത്തെ ലളിതമായ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു, പക്ഷേ അതിന് തുല്യമാണ്. അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യമായ പരിവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളാണ്:

1. സമവാക്യത്തിൻ്റെ പദങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളോടെ കൈമാറുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, \(2x + 5 = 7x - 8\) എന്ന സമവാക്യം \(2x - 7x = - 8 - 5\) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്. ഇതിനർത്ഥം \(2x + 5 = 7x -8\), \(2x - 7x = -8 - 5\) എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ യുക്തിരഹിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ സാധാരണയായി യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനുള്ള (ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്) സാധ്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം, ഇത് യഥാർത്ഥ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ്. മിക്കപ്പോഴും, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. ഇത് യഥാർത്ഥമായതിൻ്റെ അനന്തരഫലമായ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്നവ കണക്കിലെടുക്കണം:

1) റാഡിക്കൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, റാഡിക്കൽ എക്‌സ്‌പ്രെഷൻ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യവും നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണ് (ഒരു ഇരട്ട ഘാതം ഉള്ള ഒരു റൂട്ടിൻ്റെ നിർവ്വചനം);

2) റാഡിക്കൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാകാം; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റൂട്ടിൻ്റെ അടയാളം സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും ചതുരമാക്കാം.
x 2 - 3 = 1;
സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് -3 വലത്തേക്ക് നീക്കി സമാനമായ പദങ്ങളുടെ ഒരു കുറവ് നടത്താം.
x 2 = 4;
അപൂർണ്ണമായി ലഭിച്ചു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംരണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട് - 2 ഉം 2 ഉം.

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് x വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ലഭിച്ച വേരുകൾ പരിശോധിക്കാം.
പരീക്ഷ.
എപ്പോൾ x 1 = -2 - ശരി:
x 2 = -2- സത്യമാകുമ്പോൾ.
യഥാർത്ഥ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട് -2 ഉം 2 ഉം.

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക .

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിലെ അതേ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ ഇത് വ്യത്യസ്തമായി ചെയ്യും.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്താം. സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഒരേസമയം രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ഈ ലെവലിൻ്റെ ODZ: x.

ഉത്തരം: വേരുകളില്ല.

ഉദാഹരണം 3.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക =+ 2.

ഈ സമവാക്യത്തിൽ ODZ കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമാണ്. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കാം:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
പരിശോധിച്ച ശേഷം, x 2 =0 ഒരു അധിക റൂട്ട് ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു.
ഉത്തരം: x 1 =1.

ഉദാഹരണം 4. x = എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ODZ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ: x[-1;).

നമുക്ക് ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് x 2 = x + 1 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഇവയാണ്:

കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. പക്ഷേ, രണ്ട് വേരുകളും ODZ- ൻ്റേതാണെങ്കിലും, രണ്ട് വേരുകളും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെന്ന് ഉറപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഇത് ഒരു പിശകിന് കാരണമാകും. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഒരു യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം രണ്ട് അസമത്വങ്ങളുടെയും ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെയും സംയോജനത്തിന് തുല്യമാണ്:

x+10 ഒപ്പം x0 ഒപ്പം x 2 = x + 1, അതിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു നെഗറ്റീവ് റൂട്ട്കാരണം യുക്തിരഹിതമായ ഒരു സമവാക്യം അതിരുകടന്നതും തള്ളിക്കളയേണ്ടതുമാണ്.

ഉദാഹരണം 5.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക += 7.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമചതുരമാക്കുകയും സമാന പദങ്ങൾ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പദങ്ങൾ മാറ്റുകയും ഇരുവശങ്ങളെയും 0.5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുക. തൽഫലമായി, നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും
= 12, (*) ഇത് യഥാർത്ഥമായതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വീണ്ടും സമചതുരമാക്കാം. നമുക്ക് സമവാക്യം (x + 5) (20 - x) = 144 ലഭിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥമായതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം x 2 - 15x + 44 =0 രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഈ സമവാക്യത്തിന് (ഒറിജിനൽ ഒന്നിൻ്റെ അനന്തരഫലവും) x 1 = 4, x 2 = 11 എന്നീ റൂട്ടുകളുണ്ട്. രണ്ട് വേരുകളും, സ്ഥിരീകരണം കാണിക്കുന്നത് പോലെ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ജനപ്രതിനിധി x 1 = 4, x 2 = 11.

അഭിപ്രായം. സമവാക്യങ്ങൾ വർഗ്ഗീകരിക്കുമ്പോൾ, വിദ്യാർത്ഥികൾ പലപ്പോഴും (*) പോലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഗുണിക്കുന്നു, അതായത്, സമവാക്യത്തിന് പകരം = 12, അവർ സമവാക്യം എഴുതുന്നു = 12. ഇത് പിശകുകളിലേക്ക് നയിക്കില്ല, കാരണം സമവാക്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ അത്തരം ഗുണനം അസമമായ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്നുവെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഒരാൾക്ക് ആദ്യം റാഡിക്കലുകളിൽ ഒന്നിനെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കാൻ കഴിയും. അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു റാഡിക്കൽ അവശേഷിക്കുന്നു, സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ചതുരമാക്കിയ ശേഷം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനം ലഭിക്കും. യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ സാങ്കേതികത (റാഡിക്കലിൻ്റെ ഒറ്റപ്പെടൽ) പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 6. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക-= 3.

ആദ്യത്തെ റാഡിക്കലിനെ വേർതിരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും
=+ 3, ഒറിജിനൽ ഒന്നിന് തുല്യം.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വർഗ്ഗീകരിച്ചാൽ നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, സമവാക്യത്തിന് തുല്യം

4x - 5 = 3(*). ഈ സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും ചതുരാകൃതിയിലാക്കിയാൽ, നമ്മൾ സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), അല്ലെങ്കിൽ

7x 2 - 13x - 2 = 0.

ഈ സമവാക്യം സമവാക്യത്തിൻ്റെ (*) അനന്തരഫലമാണ് (അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം) വേരുകളുണ്ട്. ആദ്യത്തെ റൂട്ട് x 1 = 2 യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് x 2 = ഇല്ല.

ഉത്തരം: x = 2.

നമ്മൾ ഉടൻ തന്നെ, റാഡിക്കലുകളിൽ ഒന്നിനെ വേർതിരിക്കാതെ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമചതുരമാക്കിയാൽ, നമുക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടി വരും.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, റാഡിക്കലുകളുടെ ഒറ്റപ്പെടലിനു പുറമേ, മറ്റ് രീതികളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. അജ്ഞാതനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം (ഒരു സഹായ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതി).

ബീജഗണിതം പഠിക്കുമ്പോൾ, സ്കൂൾ കുട്ടികൾ പല തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായവയിൽ രേഖീയമായവ ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിൽ അജ്ഞാതമായ ഒന്ന് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ഗണിത പദപ്രയോഗത്തിലെ ഒരു വേരിയബിൾ ഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ, സമവാക്യത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ക്യൂബിക്, ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്നിങ്ങനെ വിളിക്കുന്നു. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം. എന്നാൽ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളുമുണ്ട്. അജ്ഞാതമായത് റാഡിക്കൽ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സാന്നിധ്യത്താൽ അവ മറ്റുള്ളവരിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് (അതായത്, പൂർണ്ണമായും ബാഹ്യമായി, ഇവിടെയുള്ള വേരിയബിൾ സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന് കീഴിൽ എഴുതിയതായി കാണാം). യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അതിൻ്റേതായ ഉണ്ട് സവിശേഷതകൾ. ശരിയായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുമ്പോൾ, അവ കണക്കിലെടുക്കണം.

"വാക്കിൽ പറഞ്ഞറിയിക്കാൻ പറ്റാത്തത്"

പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പ്രധാനമായും പ്രവർത്തിച്ചിരുന്നു എന്നത് രഹസ്യമല്ല യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, സാധാരണ, ദശാംശ ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യകളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, തന്നിരിക്കുന്ന കമ്മ്യൂണിറ്റിയുടെ പ്രതിനിധികൾ എന്നിവ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ത്രികോണമിതി, ജ്യോതിശാസ്ത്രം, ബീജഗണിതം എന്നിവ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഇന്ത്യയുടെയും മധ്യ-കിഴക്കൻ പ്രദേശങ്ങളിലെയും ശാസ്ത്രജ്ഞരും യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പഠിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഗ്രീക്കുകാർക്ക് സമാനമായ അളവുകൾ അറിയാമായിരുന്നു, എന്നാൽ അവയെ വാക്കാലുള്ള രൂപത്തിലാക്കി, അവർ "അലോഗോസ്" എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ചു, അതിനർത്ഥം "പ്രകടിപ്പിക്കാനാവാത്തത്" എന്നാണ്. കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ്, യൂറോപ്യന്മാർ, അവരെ അനുകരിച്ചു, അത്തരം സംഖ്യകളെ "ബധിരർ" എന്ന് വിളിച്ചു. അവ മറ്റെല്ലാവരിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമാണ്, അവ അനന്തമായ ആനുകാലികമല്ലാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ മാത്രമേ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയൂ, അതിൻ്റെ അന്തിമ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം നേടുന്നത് അസാധ്യമാണ്. അതിനാൽ, മിക്കപ്പോഴും സംഖ്യകളുടെ രാജ്യത്തിൻ്റെ അത്തരം പ്രതിനിധികൾ അക്കങ്ങളുടെയും അടയാളങ്ങളുടെയും രൂപത്തിൽ രണ്ടാമത്തേതോ ഉയർന്നതോ ആയ ഡിഗ്രിയുടെ അടിയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ചില പദപ്രയോഗങ്ങളായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

മേൽപ്പറഞ്ഞവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, യുക്തിരഹിതമായ ഒരു സമവാക്യം നിർവചിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയ "പ്രകടിപ്പിക്കാനാവാത്ത സംഖ്യകൾ" അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അവർക്ക് എല്ലാത്തരം സങ്കീർണ്ണമായ ഓപ്ഷനുകളെയും പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ അവയിൽ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിൽഅവ ചുവടെയുള്ള ഫോട്ടോ പോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, ആദ്യം നിങ്ങൾ പ്രദേശം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങൾവേരിയബിൾ.

പ്രയോഗത്തിന് അർത്ഥമുണ്ടോ?

ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗം സ്വീകാര്യമാണ് കൂടാതെ ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ മാത്രം എന്തെങ്കിലും അർത്ഥമുണ്ട്. രണ്ട് ഡിഗ്രികളുടെ വേരുകളുള്ള സന്ദർഭങ്ങളിൽ, എല്ലാ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകളും പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം. എങ്കിൽ ഈ അവസ്ഥനിവൃത്തിയില്ല, അപ്പോൾ അവതരിപ്പിച്ച ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥവത്തായി കണക്കാക്കാനാവില്ല.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം എന്നതിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണം നൽകാം (ചുവടെയുള്ള ചിത്രം).

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 11 ≤ x ≤ 4 എന്ന് മാറുന്നതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം അംഗീകരിച്ച ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി നിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇതിനർത്ഥം Ø മാത്രമേ പരിഹാരമാകൂ എന്നാണ്.

വിശകലന രീതി

മുകളിൽ പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, ചില തരം യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് വ്യക്തമാകും. ഇവിടെ ഫലപ്രദമായ രീതിയിൽഒരു ലളിതമായ വിശകലനമായിരിക്കാം.

ഇത് വീണ്ടും വ്യക്തമായി തെളിയിക്കുന്ന നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം (ചുവടെയുള്ള ചിത്രം).

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, പദപ്രയോഗം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, അത് ശരിയാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഉടൻ തന്നെ വളരെ വ്യക്തമാകും. തീർച്ചയായും, സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്താണ് നമുക്ക് ലഭിക്കേണ്ടത് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അത് -1 ന് തുല്യമാകാൻ സാധ്യതയില്ല.

രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരേ സമയം x - 3 = 0 ഉം x + 3 = 0 ഉം ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി കണക്കാക്കാൻ കഴിയൂ. ഇത് വീണ്ടും അസാധ്യമാണ്. അതിനർത്ഥം ഉത്തരം വീണ്ടും എഴുതണം Ø എന്നാണ്.

മൂന്നാമത്തെ ഉദാഹരണം നേരത്തെ ചർച്ച ചെയ്തതിന് സമാനമാണ്. തീർച്ചയായും, ഇവിടെ ODZ ൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അസംബന്ധ അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നു: 5 ≤ x ≤ 2. അതേ രീതിയിൽ അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് വിവേകപൂർണ്ണമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകില്ല.

അൺലിമിറ്റഡ് സൂം

യുക്തിഹീനതയുടെ സ്വഭാവം ഏറ്റവും വ്യക്തമായും പൂർണ്ണമായും വിശദീകരിക്കാനും അനന്തമായ സംഖ്യകളിലൂടെ മാത്രമേ അറിയാനും കഴിയൂ ദശാംശം. കൂടാതെ പ്രത്യേകം, ഒരു തിളങ്ങുന്ന ഉദാഹരണംഈ കുടുംബത്തിലെ ഒരു അംഗം πi ആണ്. ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവും വിസ്തീർണ്ണവും കണക്കാക്കാൻ ഈ ഗണിത സ്ഥിരാങ്കം പുരാതന കാലം മുതൽ അറിയപ്പെടുന്നു എന്നത് കാരണമില്ലാതെയല്ല. എന്നാൽ യൂറോപ്യന്മാർക്കിടയിൽ ഇത് ആദ്യമായി പ്രാവർത്തികമാക്കിയത് ഇംഗ്ലീഷുകാരനായ വില്യം ജോൺസും സ്വിസ് ലിയോനാർഡ് യൂലറുമാണ്.

ഈ സ്ഥിരാങ്കം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഉണ്ടാകുന്നു. വ്യത്യസ്ത ചുറ്റളവുകളുടെ സർക്കിളുകൾ താരതമ്യം ചെയ്താൽ, അവയുടെ നീളത്തിൻ്റെയും വ്യാസത്തിൻ്റെയും അനുപാതം ഒരേ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഇത് പൈ ആണ്. നമ്മൾ അത് പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ പൊതു അംശം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഏകദേശം 22/7 ലഭിക്കും. ഇത് ആദ്യം ചെയ്തത് മഹാനായ ആർക്കിമിഡീസ് ആണ്, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഛായാചിത്രം മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് സമാനമായ സംഖ്യഅവൻ്റെ പേര് ലഭിച്ചു. എന്നാൽ ഇത് വ്യക്തമായ ഒരു സംഖ്യയല്ല, ഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും അത്ഭുതകരമായ സംഖ്യകളുടെ ഏകദേശ മൂല്യമാണ്. ഒരു മിടുക്കനായ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം 0.02 കൃത്യതയോടെ കണ്ടെത്തി, എന്നാൽ, വാസ്തവത്തിൽ, ഈ സ്ഥിരാങ്കത്തിന് യഥാർത്ഥ അർത്ഥമില്ല, പക്ഷേ 3.1415926535 ആയി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു... ഇത് അനന്തമായ സംഖ്യകളുടെ പരമ്പരയാണ്, അനിശ്ചിതമായി ചില പുരാണ മൂല്യങ്ങളെ സമീപിക്കുന്നു.

സ്ക്വയറിങ്ങ്

എന്നാൽ നമുക്ക് യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങാം. അജ്ഞാതമായത് കണ്ടെത്താൻ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവർ പലപ്പോഴും അവലംബിക്കുന്നു ലളിതമായ രീതി: നിലവിലുള്ള സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും സമചതുരം. ഈ രീതി സാധാരണയായി നല്ല ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു. എന്നാൽ യുക്തിരഹിതമായ അളവുകളുടെ വഞ്ചന കണക്കിലെടുക്കണം. ഇതിൻ്റെ ഫലമായി ലഭിച്ച എല്ലാ വേരുകളും പരിശോധിക്കേണ്ടതാണ്, കാരണം അവ അനുയോജ്യമല്ലായിരിക്കാം.

എന്നാൽ നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കുന്നത് തുടരാം, പുതുതായി നിർദ്ദേശിച്ച രീതി ഉപയോഗിച്ച് വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ചില പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, ഞങ്ങൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപീകരിച്ചതിനുശേഷം ആവശ്യമുള്ള അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഒട്ടും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. വേരുകൾക്കിടയിൽ 2 ഉം -19 ഉം ഉണ്ടാകുമെന്ന് ഇവിടെ മാറുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഈ വേരുകളൊന്നും അനുയോജ്യമല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പാക്കാൻ കഴിയും. യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഇത് ഒരു സാധാരണ സംഭവമാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഞങ്ങളുടെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിന് വീണ്ടും പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, ഉത്തരം ഒരു ശൂന്യമായ സെറ്റിനെ സൂചിപ്പിക്കണം.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒന്നല്ല, പലതവണ ചതുരമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ആവശ്യമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. അവ താഴെ കാണാം.

വേരുകൾ ലഭിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, അവ പരിശോധിക്കാൻ മറക്കരുത്, കാരണം അധികമായവ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് സാധ്യമായതെന്ന് വിശദീകരിക്കണം. ഈ രീതി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യം കുറച്ച് യുക്തിസഹമാണ്. എന്നാൽ നമുക്ക് ഇഷ്ടപ്പെടാത്ത വേരുകൾ ഒഴിവാക്കുക, അത് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നമ്മെ തടയുന്നു ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ നിലവിലുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി വികസിപ്പിക്കുന്നതായി തോന്നുന്നു, അത് പരിണതഫലങ്ങൾ നിറഞ്ഞതാണ് (ഒരാൾക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയുന്നത് പോലെ). ഇത് മുൻകൂട്ടി കണ്ടുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിശോധന നടത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വേരുകളിൽ ഒന്ന് മാത്രം അനുയോജ്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ അവസരമുണ്ട്: x = 0.

സിസ്റ്റങ്ങൾ

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ട സന്ദർഭങ്ങളിൽ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യണം, ഞങ്ങൾക്ക് ഒന്നല്ല, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുണ്ട്? ഇവിടെ ഞങ്ങൾ സാധാരണ കേസുകളിലെ അതേ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഈ ഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ മേൽപ്പറഞ്ഞ സവിശേഷതകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു. ഓരോ പുതിയ ജോലിയിലും, തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കണം സർഗ്ഗാത്മകത. പക്ഷേ, വീണ്ടും, എല്ലാം പരിഗണിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണംതാഴെ അവതരിപ്പിച്ചു. ഇവിടെ നിങ്ങൾ x, y എന്നീ വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുക മാത്രമല്ല, ഉത്തരത്തിൽ അവയുടെ തുക സൂചിപ്പിക്കുകയും വേണം. അതിനാൽ, യുക്തിരഹിതമായ അളവുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു സംവിധാനമുണ്ട് (ചുവടെയുള്ള ഫോട്ടോ കാണുക).

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അത്തരമൊരു ടാസ്ക് അമാനുഷികമായി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒന്നും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നില്ല. നിങ്ങൾ മിടുക്കനായിരിക്കുകയും ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം തുകയുടെ വർഗ്ഗമാണെന്ന് ഊഹിക്കുകയും വേണം. സമാനമായ ജോലികൾ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ കാണപ്പെടുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ യുക്തിരഹിതം

ഓരോ തവണയും, ചില സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ മതിയായ "സ്പേസ്" ഇല്ലാത്തപ്പോൾ മനുഷ്യരാശിക്കിടയിൽ പുതിയ തരം സംഖ്യകൾ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത ഉയർന്നു. യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ ഒരു അപവാദമല്ല. ചരിത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള വസ്തുതകൾ സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തുന്നതുപോലെ, നമ്മുടെ യുഗത്തിന് മുമ്പുതന്നെ, ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മഹാനായ ഋഷിമാർ ഇത് ആദ്യം ശ്രദ്ധിച്ചു. മാനവ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഇന്ത്യയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ഇത് ചെയ്തത്. ചിലരുടെ കാര്യം അയാൾക്ക് വ്യക്തമായി മനസ്സിലായി സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾറൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക അസാധ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതിൽ 2 ഉൾപ്പെടുന്നു; 17 അല്ലെങ്കിൽ 61, അതുപോലെ മറ്റു പലതും.

പൈതഗോറിയൻ വംശജരിൽ ഒരാളായ ഹിപ്പാസസ് എന്ന ചിന്തകനും കണക്കുകൂട്ടാൻ ശ്രമിച്ചുകൊണ്ട് ഇതേ നിഗമനത്തിലെത്തി. സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾപെൻ്റഗ്രാമിൻ്റെ വശങ്ങൾ. സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്തതും സാധാരണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണങ്ങളില്ലാത്തതുമായ ഗണിത ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അദ്ദേഹം തൻ്റെ സഹപ്രവർത്തകരെ വളരെയധികം രോഷാകുലരാക്കി, കപ്പലിൽ നിന്ന് കടലിലേക്ക് എറിയപ്പെട്ടു. മറ്റ് പൈതഗോറിയൻമാർ അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ന്യായവാദത്തെ പ്രപഞ്ച നിയമങ്ങൾക്കെതിരായ കലാപമായി കണക്കാക്കി എന്നതാണ് വസ്തുത.

റാഡിക്കലിൻ്റെ അടയാളം: പരിണാമം

ആവിഷ്കാരത്തിനുള്ള റൂട്ട് ചിഹ്നം സംഖ്യാ മൂല്യംപരിഹരിക്കുന്നതിൽ "ബധിര" സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി യുക്തിരഹിതമായ അസമത്വങ്ങൾകൂടാതെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉടനടി ലഭ്യമല്ല. യൂറോപ്യൻ, പ്രത്യേകിച്ച് ഇറ്റാലിയൻ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലാണ് റാഡിക്കലിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാൻ തുടങ്ങിയത്. അതേ സമയം, ലാറ്റിൻ R എന്ന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കാനുള്ള ആശയം അവർ കൊണ്ടുവന്നു, എന്നാൽ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അവരുടെ കൃതികളിൽ വ്യത്യസ്തമായി പ്രവർത്തിച്ചു. അവർക്ക് V എന്ന അക്ഷരം കൂടുതൽ ഇഷ്ടപ്പെട്ടു.ജർമ്മനിയിൽ, V(2), V(3) എന്ന പദവി ഉടൻ പ്രചരിച്ചു, അത് 2, 3, മുതലായവയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ്. പിന്നീട്, ഡച്ചുകാർ ഇടപെട്ട് റാഡിക്കലിൻ്റെ അടയാളം പരിഷ്കരിച്ചു. റെനെ ഡെസ്കാർട്ടസ് പരിണാമം പൂർത്തിയാക്കി, വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തെ ആധുനിക പൂർണ്ണതയിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു.

യുക്തിരഹിതമായതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ മാത്രമല്ല ഒരു വേരിയബിളും ഉൾപ്പെടുത്താം. അത് ഏത് അളവിലും ആകാം. അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനുള്ള ഏറ്റവും സാധാരണമായ മാർഗ്ഗം സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഉചിതമായ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക എന്നതാണ്. യുക്തിരഹിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന പ്രധാന പ്രവർത്തനമാണിത്. ഇരട്ട-സംഖ്യകളുള്ള കേസുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നമ്മൾ നേരത്തെ ചർച്ച ചെയ്തതിൽ നിന്ന് പ്രത്യേകിച്ച് വ്യത്യസ്തമല്ല. ഇവിടെ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ്റെ നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റിക്കുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കണം, കൂടാതെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ അവസാനം, ഇതിനകം പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണങ്ങളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന അതേ രീതിയിൽ വേരിയബിളുകളുടെ ബാഹ്യ മൂല്യങ്ങൾ ഫിൽട്ടർ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. .

ശരിയായ ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ സഹായിക്കുന്ന അധിക പരിവർത്തനങ്ങളിൽ, പദപ്രയോഗത്തെ അതിൻ്റെ സംയോജനത്തിലൂടെ ഗുണിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, കൂടാതെ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കേണ്ടതും പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്, ഇത് പരിഹാരം എളുപ്പമാക്കുന്നു. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് ഉചിതം.

വിഷയം: "ഫോമിൻ്റെ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ , .»

(രീതിശാസ്ത്രപരമായ വികസനം.)

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ റൂട്ട് (റാഡിക്കൽ) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു.

f(x)=g(x) എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം, f(x) അല്ലെങ്കിൽ g(x) എന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും യുക്തിരഹിതമാണ്. യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം.

റാഡിക്കലുകളുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ:

• എല്ലാ റാഡിക്കലുകളും ബിരുദം പോലും ആകുന്നു കണക്ക്, ആ. റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, റാഡിക്കലിന് അർത്ഥമില്ല (നിലവിലില്ല); റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, റാഡിക്കലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്; സമൂലമായ പദപ്രയോഗം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, റാഡിക്കലിൻ്റെ അർത്ഥം നിലവിലുണ്ട്, അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്.
• എല്ലാ റാഡിക്കലുകളും വിചിത്രമായ ബിരുദം സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ റാഡിക്കൽ നെഗറ്റീവ് ആണ്; റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്; കീഴ്‌പ്പെടുത്തിയ പദപ്രയോഗം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ്.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

യുക്തിരഹിതമായ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക - അതായത് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, അവയെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ അത് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമായി മാറുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ നിലവിലില്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക. യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ സെറ്റിൽ പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾആർ.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിനായി ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റാഡിക്കലുകളുടെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എല്ലാ പദപ്രയോഗങ്ങളും നെഗറ്റീവ് അല്ല.

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ ആകുന്നു:

a) സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി;

ബി) പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതി (മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി);

സി) യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കൃത്രിമ രീതികൾ.

ഈ ലേഖനത്തിൽ മുകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഗണനയിൽ ഞങ്ങൾ താമസിക്കുകയും അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള 6 രീതികൾ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും.

1 രീതി. ക്യൂബ്.

ഈ രീതിക്ക് ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ അതിൽ അപാകതകളൊന്നും അടങ്ങിയിട്ടില്ല, അതായത്. പുറമേയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നില്ല.

ഉദാഹരണം 1.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം:

ഫോമിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം അതിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും ക്യൂബ് ചെയ്യുക. ഈ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും,

ഉത്തരം: x=2, x=11.

ഉദാഹരണം 2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

നമുക്ക് സമവാക്യം രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം, അതിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ക്യൂബ് ചെയ്യുക. ഈ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം വേരുകളിൽ ഒന്നുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി പരിഗണിക്കുക

അതിനാൽ, വിവേചനം 0 ആണ്, സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം x = -2 ഉണ്ടാകാം.

പരീക്ഷ:

ഉത്തരം: x=-2.

അഭിപ്രായം: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ ചെക്ക് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്.

രീതി 2. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ക്യൂബ്.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം ക്യൂബ് ചെയ്യുന്നത് തുടരും, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ പരിഷ്കരിച്ച ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

നമുക്ക് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം:

(അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലയുടെ ചെറിയ മാറ്റം), പിന്നെ

ഉദാഹരണം 3.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക .

പരിഹാരം:

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം ക്യൂബ് ചെയ്യാം.

എന്നാൽ ആവിഷ്കാരം വലതുവശത്ത് തുല്യമായിരിക്കണം. അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

.

ഇപ്പോൾ, ക്യൂബ് ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും:

, അതിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ

രണ്ട് മൂല്യങ്ങളും, ടെസ്റ്റ് കാണിക്കുന്നത് പോലെ, ശരിയാണ്.

ഉത്തരം: x=2, x=-33.

എന്നാൽ ഇവിടെയുള്ള എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും തുല്യമാണോ? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നതിനുമുമ്പ്, നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം കൂടി പരിഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 4.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

മുമ്പത്തെപ്പോലെ ഇരുവശങ്ങളെയും മൂന്നാം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

എവിടെ നിന്ന് (ബ്രാക്കറ്റിലെ പദപ്രയോഗം ന് തുല്യമാണെന്ന് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് ഒരു പരിശോധന നടത്താം, x=0 എന്നത് ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.

ഉത്തരം: .

“എന്തുകൊണ്ടാണ് അധിക വേരുകൾ ഉണ്ടായത്?” എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാം.

സമത്വം സമത്വത്തെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു . എന്നതിൽ നിന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക - ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഐഡൻ്റിറ്റി പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്

അതിനാൽ, എങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ , അല്ലെങ്കിൽ . സമവാക്യത്തെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം , .

-s-ലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: if , പിന്നെ ഒന്നുകിൽ അല്ലെങ്കിൽ

അതിനാൽ, ഈ പരിഹാര രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, വിദേശ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് പരിശോധിച്ച് ഉറപ്പാക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്.

രീതി 3. സിസ്റ്റം രീതി.

ഉദാഹരണം 5.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക .

പരിഹാരം:

അനുവദിക്കുക,. അപ്പോൾ:

അത് എവിടെ വ്യക്തമാണ്

റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനം യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിനെ ആശ്രയിക്കാത്ത വിധത്തിലാണ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നത്.

സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരമില്ലെന്നും അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമില്ലെന്നും കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഉത്തരം: വേരുകൾ ഇല്ല.

ഉദാഹരണം 6.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക .

പരിഹാരം:

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം.

അനുവദിക്കുക,. പിന്നെ

ഒറിജിനൽ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ നമുക്കുള്ളത്:

ഉത്തരം: x=0.

രീതി 4 പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏകതാനത ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ഈ രീതിനമുക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് തിരിയാം.

ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്:

ഉദാഹരണം 7.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക .

പരിഹാരം:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്, വലതുഭാഗം ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്. ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്, അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ടുകളില്ല, അത് നമ്മൾ തിരഞ്ഞെടുക്കും: x=9. പരിശോധിച്ച് റൂട്ട് അനുയോജ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കും.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികൾ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകൾ അല്ലെങ്കിൽ അഭ്യർത്ഥനകൾ എന്നിവയ്ക്ക് അനുസൃതമായി സർക്കാർ ഏജൻസികൾറഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്ത് - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുക. സുരക്ഷയ്‌ക്കോ നിയമ നിർവ്വഹണത്തിനോ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്കോ ​​അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെയുള്ള മുൻകരുതലുകൾ ഞങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.