Berita bintang
Menurunkan perkembangan. Janjang geometri. Contoh dengan penyelesaian
Janjang geometri ialah jujukan berangka, ahli pertama yang bukan sifar, dan setiap ahli berikutnya adalah sama dengan ahli sebelumnya didarab dengan nombor bukan sifar yang sama.
Konsep janjang geometri
Janjang geometri ditandakan b1,b2,b3, …, bn, ….
Nisbah mana-mana sebutan ralat geometri kepada sebutan sebelumnya adalah sama dengan nombor yang sama, iaitu, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ini mengikuti terus dari definisi janjang aritmetik. Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri. Biasanya penyebut janjang geometri dilambangkan dengan huruf q.
Jumlah janjang geometri tak terhingga untuk |q|<1
Salah satu cara untuk menentukan janjang geometri ialah dengan menentukan sebutan pertamanya b1 dan penyebut ralat geometri q. Contohnya, b1=4, q=-2. Kedua-dua keadaan ini mentakrifkan janjang geometri 4, -8, 16, -32, ….
Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka janjang itu ialah jujukan monoton. Contohnya, jujukan, 2, 4,8,16,32, ... ialah jujukan meningkat secara monoton (b1=2, q=2).
Jika penyebut dalam ralat geometri ialah q=1, maka semua sebutan janjang geometri akan sama antara satu sama lain. Dalam kes sedemikian, perkembangan itu dikatakan sebagai urutan yang tetap.
Agar urutan nombor (bn) menjadi janjang geometri, adalah perlu setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, menjadi min geometri bagi ahli jiran. Iaitu, perlu memenuhi persamaan berikut
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sebarang n>0, di mana n tergolong dalam set nombor asli N.
Sekarang mari letakkan (Xn) - janjang geometri. Penyebut bagi janjang geometri q, dan |q|∞).
Jika kita sekarang menyatakan dengan S jumlah janjang geometri tak terhingga, maka formula berikut akan digunakan:
S=x1/(1-q).
Mari lihat contoh mudah:
Cari hasil tambah janjang geometri tak terhingga 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….
Untuk mencari S, kita menggunakan formula untuk jumlah janjang aritmetik tak terhingga. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Beberapa masalah dalam fizik dan matematik boleh diselesaikan menggunakan sifat siri nombor. Dua jujukan nombor termudah yang diajar di sekolah ialah algebra dan geometri. Dalam artikel ini, kita akan melihat dengan lebih dekat persoalan tentang cara mencari jumlah janjang geometri menurun tak terhingga.
Kemajuan geometri
Kata-kata ini bermaksud siri berikut nombor nyata, yang unsur a i memenuhi ungkapan:
Di sini i ialah nombor unsur dalam siri, r ialah nombor tetap yang dipanggil penyebut.
Takrifan ini menunjukkan bahawa, mengetahui mana-mana ahli janjang dan penyebutnya, anda boleh memulihkan keseluruhan siri nombor. Sebagai contoh, jika elemen ke-10 diketahui, maka membahagikannya dengan r akan mendapat elemen ke-9, kemudian membahagikannya semula akan mendapat ke-8 dan seterusnya. Argumen mudah ini membolehkan kami menulis ungkapan yang sah untuk siri nombor yang sedang dipertimbangkan:
Contoh janjang dengan penyebut 2 ialah siri berikut:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Jika penyebutnya sama dengan -2, maka siri yang sama sekali berbeza diperoleh:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Janjang geometri jauh lebih cepat daripada janjang algebra, iaitu sebutannya meningkat dengan cepat dan menurun dengan cepat.
Jumlah i sebutan janjang
Untuk menyelesaikan masalah praktikal, selalunya perlu untuk mengira jumlah beberapa elemen urutan berangka yang sedang dipertimbangkan. Untuk kes ini formula berikut adalah sah:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Dapat dilihat bahawa untuk mengira jumlah sebutan i, anda hanya perlu mengetahui dua nombor: a 1 dan r, yang logik, kerana ia secara unik menentukan keseluruhan jujukan.
Turutan menurun dan jumlah istilahnya
Sekarang mari kita lihat kes khas. Kami akan menganggap bahawa modulus penyebut r tidak melebihi satu, iaitu -1 Janjang geometri yang menurun adalah menarik untuk dipertimbangkan kerana jumlah tak terhingga sebutannya cenderung kepada nombor nyata terhingga. Mari dapatkan formula untuk jumlah ini. Ini mudah dilakukan jika anda menulis ungkapan untuk S i yang diberikan dalam perenggan sebelumnya. Kami ada: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Mari kita pertimbangkan kes apabila i->∞. Oleh kerana modulus penyebut kurang daripada 1, menaikkannya kepada kuasa tak terhingga akan memberikan sifar. Ini boleh disemak menggunakan contoh r=0.5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Hasilnya, jumlah sebutan bagi janjang geometri menurun tak terhingga akan berbentuk: Formula ini sering digunakan dalam amalan, sebagai contoh, untuk mengira kawasan angka. Ia juga digunakan untuk menyelesaikan paradoks Zeno of Elea dengan kura-kura dan Achilles. Adalah jelas bahawa mengambil kira jumlah janjang peningkatan geometri tak terhingga (r>1) akan membawa kepada keputusan S ∞ = +∞. Mari kita tunjukkan cara menggunakan formula di atas menggunakan contoh penyelesaian masalah. Adalah diketahui bahawa jumlah janjang geometri tak terhingga ialah 11. Selain itu, sebutan ke-7nya adalah 6 kali kurang daripada sebutan ketiga. Apakah elemen pertama untuk siri nombor ini? Mula-mula, mari kita tulis dua ungkapan untuk menentukan unsur ke-7 dan ke-3. Kami mendapat: Membahagikan ungkapan pertama dengan yang kedua dan menyatakan penyebut, kita mempunyai: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Oleh kerana nisbah sebutan ketujuh dan ketiga diberikan dalam pernyataan masalah, anda boleh menggantikannya dan mencari r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894 Kami mengira r hingga lima tempat perpuluhan. Oleh kerana nilai yang terhasil adalah kurang daripada satu, janjangnya berkurangan, yang mewajarkan penggunaan formula untuk jumlah tak terhingganya. Mari kita tulis ungkapan untuk sebutan pertama melalui jumlah S ∞: Kami menggantikan nilai yang diketahui ke dalam formula ini dan dapatkan jawapannya: a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166. Zeno dari Elea ialah seorang ahli falsafah Yunani terkenal yang hidup pada abad ke-5 SM. e. Sebilangan apogees atau paradoksnya telah mencapai hari ini, di mana masalah yang tidak terhingga besar dan yang tidak terhingga kecil dalam matematik dirumuskan. Salah satu paradoks Zeno yang terkenal ialah persaingan antara Achilles dan kura-kura. Zeno percaya jika Achilles memberi kelebihan kepada kura-kura dalam jarak jauh, dia tidak akan dapat mengejarnya. Sebagai contoh, biarkan Achilles berlari 10 kali lebih cepat daripada haiwan yang merangkak, yang, sebagai contoh, berada 100 meter di hadapannya. Apabila pahlawan itu berlari sejauh 100 meter, penyu itu merangkak sejauh 10 meter. Setelah berlari 10 meter lagi, Achilles melihat penyu itu merangkak lagi 1 meter. Anda boleh berhujah dengan cara ini ad infinitum, jarak antara pesaing memang akan berkurangan, tetapi penyu akan sentiasa berada di hadapan. Membawa Zeno kepada kesimpulan bahawa pergerakan tidak wujud, dan semua pergerakan objek di sekeliling adalah ilusi. Sudah tentu, ahli falsafah Yunani kuno itu salah. Penyelesaian kepada paradoks terletak pada fakta bahawa jumlah tak terhingga bagi segmen yang sentiasa berkurangan cenderung kepada nombor terhingga. Dalam kes di atas, untuk jarak yang Achilles lari, kita dapat: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Menggunakan formula untuk jumlah janjang geometri tak terhingga, kita memperoleh: S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 meter Keputusan ini menunjukkan Achilles akan mengejar kura-kura apabila ia merangkak hanya 11.111 meter. Orang Yunani purba tidak tahu bagaimana untuk bekerja dengan kuantiti yang tidak terhingga dalam matematik. Walau bagaimanapun, paradoks ini boleh diselesaikan jika kita memberi perhatian bukan kepada bilangan jurang yang tidak terhingga yang mesti diatasi oleh Achilles, tetapi kepada bilangan langkah yang terhingga yang diperlukan oleh pelari untuk mencapai matlamatnya. JURUTAN NOMER VI § l48. Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga Sehingga kini, apabila bercakap tentang jumlah, kita selalu menganggap bahawa bilangan istilah dalam jumlah ini adalah terhingga (contohnya, 2, 15, 1000, dll.). Tetapi apabila menyelesaikan beberapa masalah (terutamanya matematik yang lebih tinggi), seseorang itu perlu berurusan dengan jumlah bilangan sebutan yang tidak terhingga S= a
1 + a
2 + ... + a
n
+ ... . (1) Apakah jumlah ini? Mengikut takrifan hasil tambah bilangan sebutan yang tidak terhingga a
1 , a
2 , ..., a
n
, ... dipanggil had jumlah S n
pertama n
nombor apabila n
-> ∞
: S=S n
= (a
1 + a
2 + ... + a
n
). (2) Had (2), sudah tentu, mungkin wujud atau tidak. Sehubungan itu, mereka mengatakan bahawa jumlah (1) wujud atau tidak wujud. Bagaimanakah kita dapat mengetahui sama ada jumlah (1) wujud dalam setiap satu kes tertentu? Penyelesaian umum untuk isu ini melangkaui skop program kami. Walau bagaimanapun, terdapat satu kes khas penting yang perlu kita pertimbangkan sekarang. Kita akan bercakap tentang menjumlahkan terma bagi janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. biarlah a
1 , a
1 q
, a
1 q
2, ... ialah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga. Ini bermakna bahawa | q
|< 1. Сумма первых n
syarat perkembangan ini adalah sama Daripada teorem asas mengenai had pembolehubah (lihat § 136) kita perolehi: Tetapi 1 = 1, a qn
= 0. Oleh itu Jadi, hasil tambah suatu janjang geometri yang menyusut tak terhingga adalah sama dengan sebutan pertama janjang ini dibahagikan dengan satu tolak penyebut janjang ini. 1) Jumlah janjang geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... adalah sama dengan dan hasil tambah janjang geometri ialah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama 2) Tukarkan pecahan berkala mudah 0.454545 ... kepada pecahan biasa. Untuk menyelesaikan masalah ini, bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga: Sisi kanan kesamaan ini ialah hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga, sebutan pertamanya bersamaan dengan 45/100, dan penyebutnya ialah 1/100. sebab tu Menggunakan kaedah yang diterangkan adalah mungkin untuk mendapatkan peraturan am penukaran pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa (lihat Bab II, § 38): Untuk menukar pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa, anda perlu melakukan perkara berikut: letakkan noktah dalam pengangka perpuluhan, dan penyebutnya ialah nombor yang terdiri daripada sembilan diambil seberapa banyak kali terdapat digit dalam tempoh pecahan perpuluhan.
3) Tukarkan pecahan berkala bercampur 0.58333 .... kepada pecahan biasa. Mari kita bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga: Di sebelah kanan kesamaan ini, semua sebutan, bermula dari 3/1000, membentuk janjang geometri menyusut tak terhingga, sebutan pertamanya bersamaan dengan 3/1000, dan penyebutnya ialah 1/10. sebab tu Menggunakan kaedah yang diterangkan, peraturan am untuk menukar pecahan berkala campuran kepada pecahan biasa boleh diperolehi (lihat Bab II, § 38). Kami sengaja tidak membentangkannya di sini. Tidak perlu mengingati peraturan yang rumit ini. Adalah lebih berguna untuk mengetahui bahawa mana-mana pecahan berkala bercampur boleh diwakili sebagai hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga dan nombor tertentu. Dan formulanya untuk jumlah janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga, anda mesti, sudah tentu, ingat. Sebagai latihan, kami mencadangkan anda, sebagai tambahan kepada masalah No. 995-1000 yang diberikan di bawah, sekali lagi beralih kepada masalah No. 301 § 38. Senaman
995. Apakah yang dipanggil hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga? 996. Cari jumlah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga: 997. Pada nilai apa X
kemajuan adakah ia semakin berkurangan? Cari jumlah janjang sedemikian. 998. Dalam segi tiga sama sisi dengan sisi A
segi tiga baru ditulis dengan menyambungkan titik tengah sisinya; segi tiga baharu ditulis dalam segi tiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. a) jumlah perimeter semua segi tiga ini; b) jumlah kawasan mereka. 999. Segi empat dengan sisi A
segi empat sama baru ditulis dengan menyambungkan titik tengah sisinya; segi empat sama ditulis dalam petak ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Cari hasil tambah perimeter semua segi empat sama ini dan hasil tambah luasnya. 1000. Susun suatu janjang geometri yang menyusut tak terhingga supaya hasil tambahnya adalah sama dengan 25/4, dan hasil tambah kuasa dua sebutannya adalah sama dengan 625/24. Tujuan pelajaran: untuk memperkenalkan pelajar kepada jenis jujukan baharu - janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. Pelajaran mengenai topik "Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga" (algebra, gred ke-10) Objektif pelajaran: memperkenalkan pelajar kepada jenis jujukan baharu - janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. Tugasan: merumuskan idea awal tentang had urutan berangka; berkenalan dengan cara lain untuk menukar pecahan berkala tak terhingga kepada pecahan biasa menggunakan formula untuk hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga; pembangunan kualiti intelek keperibadian murid sekolah seperti pemikiran logik, keupayaan untuk membuat tindakan penilaian, dan generalisasi; memupuk aktiviti, bantuan bersama, kolektivisme, dan minat dalam subjek. peralatan: kelas komputer, projektor, skrin. Jenis pelajaran: pelajaran - mempelajari topik baru. Kemajuan pelajaran I. Org. seketika. Nyatakan tajuk dan tujuan pelajaran. II. Mengemaskini pengetahuan pelajar. Dalam gred 9 anda mempelajari janjang aritmetik dan geometri. Soalan 1. Definisi janjang aritmetik. (Janjang aritmetik ialah urutan di mana setiap ahli Bermula dari yang kedua, ia sama dengan sebutan sebelumnya yang ditambah kepada nombor yang sama). 2. Formula n sebutan ke satu janjang aritmetik 3. Formula untuk jumlah yang pertama n sebutan bagi suatu janjang aritmetik. (atau) 4. Definisi janjang geometri. (Janjang geometri ialah urutan nombor bukan sifar Setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya didarab dengan Nombor yang sama). 5. Formula n sebutan ke atas janjang geometri 6. Formula untuk jumlah yang pertama n ahli janjang geometri. 7. Apakah formula lain yang anda tahu? (, Di mana ; ; ;
,
)
Pencarian 1. Janjang aritmetik diberikan oleh formula a n = 7 – 4n . Cari 10. (-33) 2. Dalam janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari 4 . (4) 3. Dalam janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari 17 . (-35) 4. Dalam janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1 . Cari S 17. (-187) 5. Untuk janjang geometricari sebutan kelima. 6. Untuk janjang geometri cari sebutan ke-n. 7. Secara eksponen b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari b 4 . (4) 8. Secara eksponen b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari b 1 dan q. 9. Secara eksponen b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari S5. (62) III. Mempelajari topik baru(demonstrasi pembentangan). Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi yang sama dengan 1. Mari kita lukis petak lain yang sisinya adalah separuh saiz petak pertama, kemudian satu lagi yang sisinya separuh kedua, kemudian yang seterusnya, dsb. Setiap kali sisi petak baharu adalah sama dengan separuh daripada petak sebelumnya. Akibatnya, kami menerima urutan sisi segi empat samamembentuk janjang geometri dengan penyebut.
Dan, apa yang sangat penting, semakin banyak kita membina petak sedemikian, semakin kecil sisi petak tersebut. Sebagai contoh, Itu. Apabila nombor n bertambah, sebutan janjang menghampiri sifar. Menggunakan angka ini, anda boleh mempertimbangkan urutan lain. Sebagai contoh, urutan luas segi empat sama: Dan, sekali lagi, jika n meningkat selama-lamanya, maka kawasan itu menghampiri sifar sedekat yang anda suka. Mari kita lihat contoh lain. Segitiga sama sisi dengan sisi sama dengan 1 cm. Mari kita bina segitiga seterusnya dengan bucu pada titik tengah sisi segitiga pertama, mengikut teorem tentang garis tengah segi tiga - sisi ke-2 sama dengan separuh sisi pertama, sisi ke-3 sama dengan separuh sisi ke-2, dsb. Sekali lagi kita memperoleh urutan panjang sisi segi tiga. Pada . Jika kita mempertimbangkan janjang geometri dengan penyebut negatif. Kemudian, sekali lagi, dengan peningkatan jumlah n terma pendekatan janjang sifar. Mari kita perhatikan penyebut jujukan ini. Di mana-mana penyebutnya adalah kurang daripada 1 dalam nilai mutlak. Kita boleh membuat kesimpulan: suatu janjang geometri akan berkurangan secara tidak terhingga jika modulus penyebutnya kurang daripada 1. Kerja depan. Definisi: Janjang geometri dikatakan menurun secara tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang daripada satu..
Menggunakan takrifan, anda boleh memutuskan sama ada janjang geometri menurun secara tidak terhingga atau tidak. Tugasan Adakah jujukan itu merupakan janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga jika ia diberikan oleh formula: Penyelesaian: Mari cari q. ;
;
;
.
janjang geometri ini semakin berkurangan. b) jujukan ini bukan janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi yang sama dengan 1. Bahagikannya kepada separuh, satu daripada separuh kepada separuh, dsb. Kawasan semua segi empat tepat yang terhasil membentuk janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga: Jumlah kawasan semua segi empat tepat yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas segi empat sama pertama dan sama dengan 1. Tetapi di sebelah kiri kesamaan ini ialah jumlah bilangan sebutan yang tidak terhingga. Mari kita pertimbangkan hasil tambah n sebutan pertama. Menurut formula untuk hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri, ia adalah sama dengan.
Jika n meningkat tanpa had, maka atau . Oleh itu, i.e. . Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhinggaterdapat had urutan S 1, S 2, S 3, …, S n, …. Sebagai contoh, untuk kemajuan,
kita ada Kerana Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhinggaboleh didapati menggunakan formula.
III. Pemahaman dan penyatuan(menyiapkan tugasan). №13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Merumuskan. Apakah urutan yang anda kenali hari ini? Tentukan janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga. Bagaimana untuk membuktikan bahawa janjang geometri menurun secara tidak terhingga? Berikan formula untuk hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga. V. Kerja rumah. 2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun untuk diri sendiri ( akaun) Google dan log masuk: https://accounts.google.com Setiap orang harus dapat berfikir secara konsisten, menilai dengan bukti, dan menyangkal kesimpulan yang salah: ahli fizik dan penyair, pemandu traktor dan ahli kimia. E. Kolman Dalam matematik, seseorang harus ingat bukan formula, tetapi proses berfikir. V.P.Ermakov Lebih mudah untuk mencari kuasa dua bulatan daripada mengecoh ahli matematik. Augustus de Morgan Sains apakah yang lebih mulia, lebih terpuji, lebih berguna kepada manusia daripada matematik? Franklin Gred 10 janjang geometri menurun secara tidak terhingga saya. Janjang aritmetik dan geometri. Soalan 1. Definisi janjang aritmetik. Janjang aritmetik ialah jujukan di mana setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya yang ditambah kepada nombor yang sama. 2. Formula bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik. 3. Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik. 4. Definisi janjang geometri. Janjang geometri ialah jujukan nombor bukan sifar, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya didarab dengan nombor yang sama 5. Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang geometri. 6. Formula bagi hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri. II. Janjang aritmetik. Tugasan Satu janjang aritmetik diberikan oleh formula a n = 7 – 4 n Cari a 10 . (-33) 2. Dalam janjang aritmetik, a 3 = 7 dan a 5 = 1. Cari 4 . (4) 3. Dalam janjang aritmetik a 3 = 7 dan a 5 = 1. Cari 17 . (-35) 4. Dalam janjang aritmetik, a 3 = 7 dan a 5 = 1. Cari S 17. (-187) II. Janjang geometri. Tugasan 5. Untuk janjang geometri, cari sebutan kelima 6. Untuk janjang geometri, cari sebutan ke-n. 7. Dalam janjang geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari b 4 . (4) 8. Dalam janjang geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari b 1 dan q. 9. Dalam janjang geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Cari S5. (62) takrifan: Janjang geometri dipanggil menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang daripada satu. Masalah No. 1 Adakah jujukan itu merupakan janjang geometri yang menurun secara tak terhingga jika ia diberikan oleh formula: Penyelesaian: a) janjang geometri ini menurun secara tak terhingga. b) jujukan ini bukan janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga. Hasil tambah bagi janjang geometri menyusut tak terhingga ialah had bagi jujukan S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Sebagai contoh, untuk janjang yang kita ada Oleh kerana Jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga boleh didapati menggunakan formula Menyelesaikan tugasan Cari hasil tambah janjang geometri menyusut tak terhingga dengan sebutan pertama 3, kedua 0.3. 2. No 13; No 14; buku teks, ms 138 3. No. 15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. No 19; No 20. Apakah urutan yang anda kenali hari ini? Tentukan janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga. Bagaimana untuk membuktikan bahawa janjang geometri menurun secara tidak terhingga? Berikan formula untuk hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga. Soalan Ahli matematik Poland terkenal Hugo Steinhaus secara berseloroh mendakwa bahawa terdapat undang-undang yang dirumuskan seperti berikut: seorang ahli matematik akan melakukannya dengan lebih baik. Iaitu, jika anda mengamanahkan dua orang, salah seorang daripadanya adalah seorang ahli matematik, untuk melakukan apa-apa kerja yang tidak biasa bagi mereka, maka hasilnya akan sentiasa seperti berikut: ahli matematik akan melakukannya dengan lebih baik. Hugo Steinhaus 01/14/1887-02/25/1972 Bahan tambahan Alat bantu pendidikan dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 9
Lelaki, hari ini kita akan berkenalan dengan satu lagi jenis perkembangan. Contoh. 1,2,4,8,16... Janjang geometri di mana sebutan pertama adalah sama dengan satu, dan $q=2$. Contoh. 8,8,8,8... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan lapan, Contoh. 3,-3,3,-3,3... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan tiga, Janjang geometri mempunyai sifat monotoni. Sama seperti dalam janjang aritmetik, jika dalam janjang geometri bilangan unsur adalah terhingga, maka janjang itu dipanggil janjang geometri terhingga. $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$. Mari kita kembali kepada contoh kita. Contoh. 1,2,4,8,16... Janjang geometri di mana sebutan pertama bersamaan dengan satu, Contoh. 16,8,4,2,1,1/2… Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan enam belas, dan $q=\frac(1)(2)$. Contoh. 8,8,8,8... Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan lapan, dan $q=1$. Contoh. 3,-3,3,-3,3... Janjang geometri dengan sebutan pertama bersamaan dengan tiga, dan $q=-1$. Contoh. Janjang geometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ diberi. Penyelesaian. Contoh. Perbezaan antara sebutan ketujuh dan kelima janjang geometri ialah 192, hasil tambah sebutan kelima dan keenam janjang itu ialah 192. Cari sebutan kesepuluh janjang ini. Penyelesaian. Biarkan janjang geometri terhingga diberikan: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$. $S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. $S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. Kami telah memperoleh formula untuk jumlah janjang geometri terhingga. Penyelesaian. Contoh. Penyelesaian. $S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$. Urutan nombor ialah janjang geometri hanya apabila kuasa dua setiap ahli adalah sama dengan hasil darab dua ahli janjang yang bersebelahan. Jangan lupa bahawa untuk perkembangan terhingga syarat ini tidak dipenuhi untuk istilah pertama dan terakhir. Modulus mana-mana sebutan janjang geometri adalah sama dengan min geometri dua sebutan bersebelahannya. Penyelesaian.
Tugas mencari penggal pertama sesuatu janjang
Paradoks terkenal Zeno dengan Achilles yang cepat dan kura-kura yang perlahan
Tugasan:
merumuskan idea awal tentang had urutan berangka;
berkenalan dengan cara lain untuk menukar pecahan berkala tak terhingga kepada pecahan biasa menggunakan formula untuk hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga;
perkembangan kualiti intelek sahsiah murid sekolah seperti pemikiran logik, keupayaan untuk tindakan penilaian, generalisasi;
memupuk aktiviti, bantuan bersama, kolektivisme, dan minat dalam subjek.Muat turun:
Pratonton:
Pratonton:
Kapsyen slaid:
Pelajaran dan pembentangan tentang topik: "Jujukan nombor. Janjang geometri"
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Kuasa dan punca Fungsi dan graf
Topik pelajaran hari ini ialah janjang geometri.Janjang geometri
Definisi. Urutan berangka di mana setiap sebutan, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan hasil darab yang sebelumnya dan beberapa nombor tetap dipanggil janjang geometri.
Mari kita takrifkan jujukan kita secara rekursif: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
di mana b dan q ialah nombor tertentu yang diberi. Nombor q dipanggil penyebut janjang itu.
dan $q=1$.
dan $q=-1$.
Jika $b_(1)>0$, $q>1$,
maka turutan semakin bertambah.
Jika $b_(1)>0$, $0 Urutan biasanya dilambangkan dalam bentuk: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Ambil perhatian bahawa jika jujukan ialah janjang geometri, maka jujukan segi empat sama juga merupakan janjang geometri. Dalam urutan kedua, sebutan pertama adalah sama dengan $b_(1)^2$, dan penyebutnya adalah sama dengan $q^2$.Formula untuk sebutan ke-n suatu janjang geometri
Janjang geometri juga boleh dinyatakan dalam bentuk analisis. Mari lihat bagaimana untuk melakukan ini:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Kami dengan mudah melihat corak: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula kami dipanggil "rumus sebutan ke-n bagi janjang geometri."
dan $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
a) Diketahui bahawa $b_(1)=6, q=3$. Cari $b_(5)$.
b) Diketahui bahawa $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Cari n.
c) Diketahui bahawa $q=-2, b_(6)=96$. Cari $b_(1)$.
d) Diketahui bahawa $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Cari q.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, sejak $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Kami tahu bahawa: $b_(7)-b_(5)=192$ dan $b_(5)+b_(6)=192$.
Kami juga tahu: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kemudian:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kami menerima sistem persamaan:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Menyamakan persamaan kita, kita dapat:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Kami mendapat dua penyelesaian q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Gantikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ tiada penyelesaian.
Kami mendapat bahawa: $b_(1)=4, q=2$.
Mari cari sebutan kesepuluh: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.Jumlah janjang geometri terhingga
Marilah kita mempunyai janjang geometri terhingga. Mari, sama seperti untuk janjang aritmetik, hitung jumlah sebutannya.
Mari kita perkenalkan sebutan untuk jumlah termanya: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dalam kes apabila $q=1$. Semua sebutan janjang geometri adalah sama dengan sebutan pertama, maka jelaslah bahawa $S_(n)=n*b_(1)$.
Sekarang mari kita pertimbangkan kes $q≠1$.
Mari kita darabkan jumlah di atas dengan q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Nota:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
Contoh.
Cari hasil tambah tujuh sebutan pertama suatu janjang geometri yang sebutan pertamanya ialah 4 dan penyebutnya ialah 3.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Cari sebutan kelima bagi janjang geometri yang diketahui: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.Sifat ciri janjang geometri
Lelaki, janjang geometri diberikan. Mari kita lihat tiga ahli berturut-turut: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Kami tahu bahawa:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Kemudian:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jika janjang adalah terhingga, maka kesamaan ini berlaku untuk semua istilah kecuali yang pertama dan terakhir.
Jika tidak diketahui terlebih dahulu apakah bentuk jujukan itu, tetapi diketahui bahawa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Kemudian kita dengan selamat boleh mengatakan bahawa ini adalah janjang geometri.
Mari lihat identiti ini: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ dipanggil min geometri bagi nombor a dan b.
Contoh.
Cari x sehingga $x+2; 2x+2; 3x+3$ ialah tiga sebutan berturut-turut bagi janjang geometri.
Mari gunakan sifat ciri:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dan $x_(2)=-1$.
Marilah kita menggantikan penyelesaian kita secara berurutan ke dalam ungkapan asal:
Dengan $x=2$, kami mendapat jujukan: 4;6;9 – janjang geometri dengan $q=1.5$.
Untuk $x=-1$, kami mendapat urutan: 1;0;0.
Jawapan: $x=2.$Masalah untuk diselesaikan secara bebas
1. Cari sebutan pertama kelapan bagi janjang geometri 16;-8;4;-2….
2. Cari sebutan kesepuluh bagi janjang geometri 11,22,44….
3. Diketahui bahawa $b_(1)=5, q=3$. Cari $b_(7)$.
4. Diketahui bahawa $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Cari n.
5. Cari hasil tambah 11 sebutan pertama bagi janjang geometri 3;12;48….
6. Cari x sehingga $3x+4; 2x+4; x+5$ ialah tiga sebutan berturut-turut bagi janjang geometri.
