Bir okul kursunda herhangi bir konuyu incelerken, belirli bir minimum problemi seçebilirsiniz ve bunları çözme yöntemlerine hakim olan öğrenciler, çalışılan konuyla ilgili program gereksinimleri düzeyinde herhangi bir sorunu çözebileceklerdir. Okul matematik dersinde bireysel konuların karşılıklı ilişkilerini görmenizi sağlayacak problemleri düşünmeyi öneriyorum. Bu nedenle, derlenmiş görev sistemi Etkili araçlarÖğrencileri sınava hazırlama sürecinde eğitim materyallerinin tekrarlanması, genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.

Sınavı geçmek için üçgenin bazı unsurları hakkında ek bilgi sahibi olmak faydalı olacaktır. Bir üçgenin medyanının özelliklerini ve bu özelliklerin kullanılabileceği problemleri ele alalım. Önerilen görevler seviye farklılaşması ilkesini uygular. Tüm görevler şartlı olarak seviyelere bölünmüştür (seviye her görevden sonra parantez içinde gösterilir).

Bir üçgenin medyanının bazı özelliklerini hatırlayalım

Mülk 1. Bir üçgenin medyanının olduğunu kanıtlayın ABC, tepe noktasından çekilmiş A kenarları toplamının yarısından azı AB Ve AC..

Kanıt

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Mülk 2. Medyan üçgeni iki eşit alana böler.

Kanıt

ABC üçgeninin B köşesinden BD kenarortayını ve BE yüksekliğini çizelim..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

BD segmenti medyan olduğundan, o zaman

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Mülk 4. Bir üçgenin kenarortayları üçgeni 6 eşit üçgene böler.

Kanıt

Medyanların ABC üçgenini böldüğü altı üçgenin her birinin alanının ABC üçgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, örneğin AOF üçgenini düşünün ve A köşesinden BF çizgisine dik bir AK bırakın.

Özellik 2 nedeniyle,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Mülk 6. Bir tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin medyanı dik açı, hipotenüsün yarısına eşittir.

Kanıt

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Sonuçlar:1. Bir dik üçgenin çevrelediği dairenin merkezi hipotenüsün ortasında yer alır.

2. Bir üçgende kenarortanın uzunluğu, çizildiği kenarın uzunluğunun yarısına eşitse, bu üçgen dik açılıdır.

GÖREVLER

Sonraki her problemi çözerken kanıtlanmış özellikler kullanılır.

№1 Konular: Medyanın iki katına çıkarılması. Zorluk: 2+

Paralelkenarın işaretleri ve özellikleri Sınıflar: 8,9

Durum

Medyanın devamında sabahüçgen ABC puan başına M bölüm ertelendi MD, eşit sabah. Dörtgen olduğunu kanıtlayın ABDC- paralelkenar.

Çözüm

Paralelkenarın işaretlerinden birini kullanalım. Bir dörtgenin köşegenleri ABDC bir noktada kesişmek M ve onu ikiye bölelim, böylece dörtgen ABDC- paralelkenar.

Medyan, bir üçgenin tepe noktasından karşı kenarın ortasına çizilen, yani kesişme noktasında onu ikiye bölen bir parçadır. Medyanın çıktığı tepe noktasının karşısındaki kenarla kesiştiği noktaya taban denir. Üçgenin her medyanı kesişme noktası adı verilen bir noktadan geçer. Uzunluğunun formülü çeşitli şekillerde ifade edilebilir.

Medyanın uzunluğunu ifade etmek için formüller

• Geometri problemlerinde öğrenciler genellikle bir üçgenin kenarortayı gibi bir parçayla uğraşmak zorunda kalırlar. Uzunluğunun formülü kenarlar cinsinden ifade edilir:

burada a, b ve c kenarlardır. Ayrıca c medyanın düştüğü taraftır. En basit formül bu şekilde görünüyor. Bazen yardımcı hesaplamalar için bir üçgenin medyanlarına ihtiyaç duyulur. Başka formüller de var.

• Hesaplama sırasında bir üçgenin iki tarafı ve aralarında bulunan belirli bir α açısı biliniyorsa, o zaman üçgenin ortancasının üçüncü tarafa indirilen uzunluğu aşağıdaki gibi ifade edilecektir.

Temel özellikler

• Tüm medyanların ortak bir O kesişme noktası vardır ve tepe noktasından sayılırsa ikiye bir oranında ona bölünür. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.
• Medyan, üçgeni alanları eşit olan iki parçaya böler. Bu tür üçgenlere eşit alan denir.
• Tüm kenarortayları çizerseniz, üçgen 6 eşit rakama bölünecek ve bunlar da üçgen olacaktır.
• Bir üçgenin üç kenarı da eşitse, kenarortayların her biri aynı zamanda bir yükseklik ve bir açıortay olacaktır, yani çizildiği kenara dik olacak ve çıktığı açıyı ikiye bölecektir.
• Bir ikizkenar üçgende, hiçbir eşit olmayan kenarın karşısındaki tepe noktasından çizilen kenarortay aynı zamanda yükseklik ve açıortay olacaktır. Diğer köşelerden düşen medyanlar eşittir. Bu da gerekli ve yeterli koşul ikizkenar.
• Bir üçgen normal bir piramidin tabanı ise, bu tabana düşen yükseklik tüm kenarortayların kesişme noktasına yansıtılır.

• Bir dik üçgende en uzun kenara çizilen kenarortay uzunluğunun yarısına eşittir.
• Üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası O olsun. Aşağıdaki formül herhangi bir M noktası için geçerli olacaktır.

• Bir üçgenin medyanının başka bir özelliği daha vardır. Kenarların karelerinden uzunluğunun karesinin formülü aşağıda sunulmuştur.

Medyanın çizildiği kenarların özellikleri

• Medyanların herhangi iki kesişme noktasını düştükleri kenarlarla birleştirirseniz, ortaya çıkan bölüm üçgenin orta çizgisi olacak ve üçgenin ortak noktaları olmayan tarafının yarısı olacaktır.
• Bir üçgende yüksekliklerin ve kenarortayların tabanları ile üçgenin köşelerini yüksekliklerin kesişme noktasına bağlayan bölümlerin orta noktaları aynı daire üzerinde bulunur.

Sonuç olarak en önemli parçalardan birinin üçgenin medyanı olduğunu söylemek mantıklı olacaktır. Formülü diğer kenarlarının uzunluklarını bulmak için kullanılabilir.

İlk seviye

Medyan. Görsel rehber (2019)

1. Medyan nedir?

Çok basit!

Bir üçgen alın:

Bir tarafının ortasını işaretleyin.

Ve karşı köşeye bağlanın!

Ortaya çıkan çizgi ve bir medyan var.

2. Medyanın özellikleri.

Ne iyi özellikler medyan var mı?

1) Üçgenin olduğunu hayal edelim. dikdörtgen. Böyle şeyler var değil mi?

Neden??? Dik açının bununla ne alakası var?

Dikkatlice izleyelim. Sadece bir üçgen değil, bir dikdörtgen. Neden soruyorsun?

Ama siz Dünya üzerinde yürüyorsunuz; onun yuvarlak olduğunu görüyor musunuz? Hayır elbette bunu yapabilmek için Dünya'ya uzaydan bakmanız gerekiyor. Böylece dik üçgenimize “uzaydan” bakıyoruz.

Bir köşegen çizelim:

Bir dikdörtgenin köşegenlerinin olduğunu hatırlıyor musunuz? eşit Ve paylaşmak kesişim noktası yarısında? (Hatırlamıyorsanız konuya bakın)

Bu, ikinci köşegenin yarısının bizim olduğu anlamına gelir medyan. Köşegenler eşittir ve elbette onların yarıları da eşittir. Alacağımız şey bu

Bu ifadeyi kanıtlamayacağız, ancak buna inanmak için kendiniz düşünün: Dikdörtgen dışında eşit köşegenlere sahip başka bir paralelkenar var mı? Tabii ki değil! Bu, medyanın yalnızca bir dik üçgende bir kenarın yarısına eşit olabileceği anlamına gelir.

Bu özelliğin sorunları çözmeye nasıl yardımcı olduğunu görelim.

Burada, görev:
Yanlara; . Üstten çizilmiş medyan. Varsa bulun.

Yaşasın! Pisagor teoremini uygulayabilirsiniz! Ne kadar harika olduğunu gördün mü? Eğer bunu bilmiyor olsaydık medyan bir kenarın yarısına eşit

Pisagor teoremini uyguluyoruz:

2) Şimdi bir taneye değil bütüne sahip olalım üç medyan! Nasıl davranıyorlar?

Çok hatırla önemli gerçek:

Zor? Resme bak:

Medyanlar ve bir noktada kesişirler.

Ve….(bunu kanıtlıyoruz, ancak şimdilik Hatırlamak!):

• - iki kat daha fazla;
• - iki kat daha fazla;
• - iki kat daha fazla.

Henüz yorulmadın mı? Bir sonraki örnek için yeterince güçlü olacak mısın? Artık konuştuğumuz her şeyi uygulayacağız!

Görev: Bir üçgende kenarortaylar ve bir noktada kesişen kenarortaylar çizilir. Eğer varsa bul

Pisagor teoremini kullanarak bulalım:

Şimdi medyanların kesişme noktası hakkındaki bilgiyi uygulayalım.

Bunu tanımlayalım. Segment, a. Her şey net değilse resme bakın.

Bunu zaten bulduk.

Araç, ; .

Problemde bize bir segment hakkında soru soruluyor.

Bizim notumuzda.

Cevap: .

Beğendiniz mi? Şimdi medyan hakkındaki bilgilerinizi kendiniz uygulamaya çalışın!

MEDYAN. ORTALAMA SEVİYE

1. Medyan kenarı ikiye böler.

Bu kadar? Ya da belki başka bir şeyi ikiye bölüyor? Bunu hayal edin!

2. Teorem: Medyan alanı ikiye böler.

Neden? En çok hatırlayalım basit biçimüçgenin alanı.

Ve bu formülü iki kere uyguluyoruz!

Bakın, medyan iki üçgene bölünmüştür: ve. Ancak! Aynı yüksekliğe sahipler - ! Ancak bu yükseklikte yana düşüyor ve - devam tarafında. Şaşırtıcı bir şekilde bu da oluyor: üçgenler farklı ama yükseklik aynı. Şimdi formülü iki kez uygulayacağız.

Bu ne anlama geliyor? Resme bak. Aslında bu teoremde iki ifade vardır. Bunu fark ettiniz mi?

İlk açıklama: medyanlar bir noktada kesişir.

İkinci ifade: Ortancanın kesişme noktası tepe noktasından sayılan bir orana bölünür.

Bu teoremin sırrını çözmeye çalışalım:

Noktaları birleştirelim ve. Ne oldu?

Şimdi başka bir orta çizgi çizelim: ortayı işaretleyin - bir nokta koyun, ortayı işaretleyin - bir nokta koyun.

Şimdi - orta hat. Yani

1. paralel;

Herhangi bir tesadüf fark ettiniz mi? Her ikisi de ve paraleldir. Ve ve.

Bundan ne sonuç çıkıyor?

1. paralel;

Tabii ki sadece paralelkenar için!

Bu onun bir paralelkenar olduğu anlamına gelir. Ne olmuş? Paralelkenarın özelliklerini hatırlayalım. Örneğin bir paralelkenarın köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz? Doğru, kesişme noktasına göre ikiye bölünüyorlar.

Çizime tekrar bakalım.

Yani medyan noktalarla üç eşit parçaya bölünmüştür. Ve tamamen aynı.

Bu, her iki medyanın da orandaki bir noktayla ayrıldığı anlamına gelir; yani ve.

Üçüncü medyana ne olacak? Hadi başlangıca geri dönelim. Aman Tanrım?! Hayır, artık her şey çok daha kısa olacak. Ortancayı atalım ve ortancaları yapalım ve.

Şimdi medyanlar ve ile tamamen aynı mantığı yürüttüğümüzü hayal edin. Sonra ne?

Medyanın medyanı tamamen aynı şekilde böleceği ortaya çıktı: noktadan itibaren sayılarak bir oranda.

Peki bir doğru parçasını noktadan itibaren sayarak bir orana bölen kaç nokta olabilir?

Tabii ki sadece bir tane! Ve biz bunu zaten gördük; mesele bu.

Sonunda ne oldu?

Medyan kesinlikle geçti! Üç medyan da içinden geçti. Ve tepeden sayarak herkesin tutumu bölünmüştü.

Böylece teoremi çözdük (kanıtladık). Çözümün bir üçgenin içinde duran bir paralelkenar olduğu ortaya çıktı.

4. Ortanca uzunluk formülü

Kenarlar biliniyorsa medyanın uzunluğu nasıl bulunur? Buna ihtiyacın olduğuna emin misin? Hadi açalım korkunç sır: Bu formül pek kullanışlı değildir. Ama yine de yazacağız ama kanıtlamayacağız (kanıtla ilgileniyorsanız bir sonraki seviyeye bakın).

Bunun neden olduğunu nasıl anlayabiliriz?

Dikkatlice izleyelim. Sadece üçgen değil, dikdörtgen.

O halde bir dikdörtgen düşünelim.

Üçgenimizin bu dikdörtgenin tam yarısı olduğunu fark ettiniz mi?

Haydi bir köşegen çizelim

Bir dikdörtgenin köşegenlerinin eşit olduğunu ve kesişme noktasını ikiye böldüğünü hatırlıyor musunuz? (Hatırlamıyorsanız konuya bakın)
Ancak köşegenlerden biri hipotenüsümüzdür! Bu, köşegenlerin kesişme noktasının hipotenüsün ortası olduğu anlamına gelir. Bizimki denirdi.

Bu, ikinci köşegenin yarısının medyanımız olduğu anlamına gelir. Köşegenler eşittir ve elbette onların yarıları da eşittir. Alacağımız şey bu

Üstelik bu yalnızca dik üçgende olur!

Bu ifadeyi kanıtlamayacağız, ancak buna inanmak için kendiniz düşünün: Dikdörtgen dışında eşit köşegenlere sahip başka bir paralelkenar var mı? Tabii ki değil! Bu, medyanın yalnızca bir dik üçgende bir kenarın yarısına eşit olabileceği anlamına gelir. Bu özelliğin sorunları çözmeye nasıl yardımcı olduğunu görelim.

İşte görev:

Yanlara; . Medyan tepe noktasından çizilir. Varsa bulun.

Yaşasın! Pisagor teoremini uygulayabilirsiniz! Ne kadar harika olduğunu gördün mü? Ortancanın kenarın yarısı olduğunu bilmeseydik sadece dik üçgende, bu sorunu çözmemizin hiçbir yolu yok. Ve şimdi yapabiliriz!

Pisagor teoremini uyguluyoruz:

MEDYAN. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Medyan kenarı ikiye böler.

2. Teorem: kenarortay alanı ikiye böler

4. Ortanca uzunluk formülü

Converse teoremi: medyan kenarın yarısına eşitse üçgen dik açılıdır ve bu medyan hipotenüse çizilir.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

İçin başarılı tamamlama Birleşik Devlet Sınavı, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi bir eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak.

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

İkinci durumda sana vereceğiz simülatör "Her konu için, tüm karmaşıklık seviyelerinde çözümleri ve cevapları olan 6000 problem." Herhangi bir konudaki problemlerin çözümüne el atmanız kesinlikle yeterli olacaktır.

Aslında bu bir simülatörden çok daha fazlasıdır; tam bir eğitim programıdır. Gerektiğinde ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.

Tüm metinlere ve programlara erişim, sitenin TÜM varlığı boyunca sağlanmaktadır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Üçgen, üç tarafı olan bir çokgen veya üç bağlantılı kapalı bir kesik çizgi veya aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir (bkz. Şekil 1).

Temel unsurlar abc üçgeni

Zirveler – A, B ve C noktaları;

Partiler – köşeleri birbirine bağlayan a = BC, b = AC ve c = AB segmentleri;

Açılar – α, β, γ üç kenar çiftinden oluşur. Açılar genellikle köşelerle aynı şekilde A, B ve C harfleriyle gösterilir.

Bir üçgenin kenarlarının oluşturduğu ve onun iç alanında kalan açıya iç açı, komşu olana ise üçgenin komşu açısı denir (2, s. 534).

Bir üçgenin yükseklikleri, kenarortayları, açıortayları ve orta çizgileri

Üçgenin ana elemanlarına ek olarak ilginç özelliklere sahip diğer parçalar da dikkate alınır: yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve orta çizgiler.

Yükseklik

Üçgen yükseklikleri- bunlar üçgenin köşelerinden zıt taraflara bırakılan dikmelerdir.

Yüksekliği çizmek için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) üçgenin kenarlarından birini içeren düz bir çizgi çizin (eğer yükseklik tepe noktasından çiziliyorsa) dar açı geniş bir üçgende);

2) Çizilen çizginin karşısındaki tepe noktasından, noktadan bu çizgiye 90 derecelik bir açı yaparak bir parça çizin.

Üçgenin kenarını yüksekliğin kestiği noktaya denir yükseklik tabanı (bkz. Şekil 2).

Üçgen yüksekliklerinin özellikleri

Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından çizilen yükseklik, onu orijinal üçgene benzer iki üçgene böler.

Dar bir üçgende, iki yüksekliği benzer üçgenleri ondan keser.

Üçgen dar ise, yüksekliklerin tüm tabanları üçgenin kenarlarına aittir ve geniş bir üçgende iki yükseklik kenarların devamına düşer.

Dar bir üçgende üç yükseklik bir noktada kesişir ve bu noktaya denir. diklik merkezi üçgen.

Medyan

Medyanlar(Latince mediana'dan - “orta”) - bunlar üçgenin köşelerini karşı tarafların orta noktalarına bağlayan bölümlerdir (bkz. Şekil 3).

Medyanı oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) kenarın ortasını bulun;

2) Üçgenin kenarının ortasındaki noktayı karşı köşeye bir doğru parçasıyla bağlayın.

Üçgen kenarortaylarının özellikleri

Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her biri köşeden sayılarak 2:1 oranında bölünür. Bu noktaya denir ağırlık merkezi üçgen.

Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Açıortay

Bisektörler(Latince bis - iki kez ve seko - kesimden gelir), bir üçgenin içine alınmış ve açılarını ikiye bölen düz çizgi parçalarıdır (bkz. Şekil 4).

Bir açıortay oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) açının tepe noktasından çıkan ve onu iki eşit parçaya (açının açıortayı) bölen bir ışın oluşturun;

2) üçgenin açısının açıortayının karşı tarafla kesişme noktasını bulun;

3) üçgenin tepe noktasını karşı taraftaki kesişme noktasına bağlayan bir doğru parçası seçin.

Üçgen açıortayların özellikleri

Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı bitişik iki kenarın oranına eşit bir oranda böler.

Üçgenin iç açılarının açıortayları bir noktada kesişir. Bu noktaya yazılı dairenin merkezi denir.

İç ve dış açıların açıortayları birbirine diktir.

Bir üçgende bir dış açının açıortayı karşı kenarın uzantısıyla kesişiyorsa ADBD=ACBC olur.

Bir iç ve iki açıortay dış köşelerüçgenler bir noktada kesişir. Bu nokta, bu üçgenin üç dış çemberinden birinin merkezidir.

Bir üçgenin iki iç ve bir dış açısının açıortaylarının tabanları, eğer dış açının açıortayı üçgenin karşı kenarına paralel değilse aynı düz çizgi üzerinde bulunur.

Bir üçgenin dış açılarının açıortayları karşı kenarlara paralel değilse tabanları aynı düz çizgi üzerindedir.

1. Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

2. Üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her biri köşeden sayılarak 2:1 oranında bölünür. Bu noktaya denir ağırlık merkeziüçgen.

3. Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Üçgen açıortayların özellikleri

1. Bir açının açıortayı, bu açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir.

2. Açıortay iç köşe Bir üçgenin karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara bölünür: .

3. Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, bu üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir.

Üçgen yüksekliklerinin özellikleri

1. Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından çizilen yükseklik, onu orijinaline benzer iki üçgene böler.

2. Dar bir üçgende, iki yüksekliği benzer olanları kesiyor üçgenler.

Bir üçgenin dik açıortaylarının özellikleri

1. Bir doğru parçasına dik açıortayın her noktası, bu doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersi de doğrudur: Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik açıortay üzerinde yer alır.

2. Üçgenin kenarlarına çizilen dik açıortayların kesişme noktası, bu üçgenin çevrelediği dairenin merkezidir.

Bir üçgenin orta çizgisinin özelliği

Bir üçgenin orta çizgisi kenarlarından birine paraleldir ve o kenarın yarısına eşittir.

Üçgenlerin benzerliği

İki üçgen benzer aşağıdaki koşullardan biri denirse benzerlik işaretleri:

· bir üçgenin iki açısı diğer üçgenin iki açısına eşittir;

· bir üçgenin iki kenarı diğer üçgenin iki kenarıyla orantılıdır ve bu kenarların oluşturduğu açılar eşittir;

· Bir üçgenin üç kenarı diğer üçgenin üç kenarıyla sırasıyla orantılıdır.

Benzer üçgenlerde karşılık gelen çizgiler (yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar vb.) orantılıdır.

Sinüs teoremi

Kosinüs teoremi

bir 2= b2+ c2- 2M.Öçünkü

Üçgen alan formülleri

1. Serbest Üçgen

a, b, c - taraflar; - kenarlar arasındaki açı A Ve B; - yarı çevre; R- sınırlı daire yarıçapı; R- yazılı dairenin yarıçapı; S- kare; ha bir -çizilen yükseklik taraf A.

S = ah bir

S = mutlak günah

S = halkla ilişkiler

2. Sağ üçgen

a, b - bacaklar; C- hipotenüs; h c - yan tarafa çekilen yükseklik C.

S = ch c S = ab

3. Eşkenar üçgen

Dörtgenler

Paralelkenarın özellikleri

· karşıt taraflar eşittir;

· zıt açılar eşittir;

· köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür;

· bir tarafa bitişik açıların toplamı 180°'dir;

Köşegenlerin karelerinin toplamı tüm kenarların karelerinin toplamına eşittir:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Bir dörtgen aşağıdaki durumlarda bir paralelkenardır:

1. Karşılıklı iki kenarı eşit ve paraleldir.

2. Karşıt taraflar ikili olarak eşittir.

3. Karşıt açılar çiftler halinde eşittir.

4. Köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Yamuğun özellikleri

· orta çizgisi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir;

· yamuk ikizkenar ise köşegenleri eşittir ve tabandaki açıları eşittir;

· yamuk ikizkenar ise, o zaman onun etrafında bir daire tanımlanabilir;

· Tabanların toplamı kenarların toplamına eşitse içine bir daire yazılabilir.

Dikdörtgen Özellikleri

Köşegenler eşittir.

Bir paralelkenar aşağıdaki durumlarda bir dikdörtgendir:

1. Açılarından biri düzdür.

2. Köşegenleri eşittir.

Eşkenar dörtgenin özellikleri

· bir paralelkenarın tüm özellikleri;

Köşegenler diktir;

Köşegenler, açılarının ortaortaylarıdır.

1. Bir paralelkenar aşağıdaki durumlarda eşkenar dörtgendir:

2. Bitişik iki kenarı eşittir.

3. Köşegenleri diktir.

4. Köşegenlerden biri açısının açıortayıdır.

Bir karenin özellikleri

· Meydanın tüm köşeleri doğru;

· Bir karenin köşegenleri eşittir, birbirine diktir, kesişme noktası karenin köşelerini ikiye böler ve ikiye böler.

Bir dikdörtgen, eşkenar dörtgenin herhangi bir özelliğine sahipse bir karedir.

Temel formüller

1. Herhangi bir dışbükey dörtgen
gün 1,d 2 - köşegenler; - aralarındaki açı; S- kare.

S = d 1 D 2 günah