Bir kesir ondalık sayıyla nasıl çarpılır. Ondalık sayıları çarpma, kurallar, örnekler, çözümler

Ondalık kesirlerle bir sonraki eylemi incelemeye geçelim, şimdi kapsamlı bir göz atacağız ondalık sayıları çarpma. Önce konuşalım Genel İlkeler ondalık kesirlerin çarpılması. Bundan sonra, ondalık kesiri ondalık kesirle çarpmaya geçeceğiz, ondalık kesirlerin bir sütunla nasıl çarpılacağını göstereceğiz ve örneklerin çözümlerini ele alacağız. Daha sonra, ondalık kesirleri doğal sayılarla, özellikle 10, 100 vb. ile çarpmaya bakacağız. Son olarak ondalık sayıları kesirlerle ve karışık sayılarla çarpmaktan bahsedelim.

Hemen diyelim ki bu yazıda sadece pozitif ondalık kesirlerin çarpılmasından bahsedeceğiz (pozitif ve negatif sayılara bakın). Geri kalan durumlar rasyonel sayıların çarpımı ve makalelerinde tartışılmıştır. gerçek sayıları çarpma.

Sayfada gezinme.

Ondalık sayıları çarpmanın genel ilkeleri

Ondalık sayılarla çarpma işleminde uyulması gereken genel ilkeleri tartışalım.

Finalden bu yana ondalık sayılar ve sonsuz periyodik kesirler, ortak kesirleri yazmanın ondalık biçimidir, bu durumda bu tür ondalık sayıları çarpmak, esasen ortak kesirleri çarpmak anlamına gelir. Başka bir deyişle, sonlu ondalık sayıları çarpma, sonlu ve periyodik ondalık kesirlerin çarpılması, Ve periyodik ondalık sayıları çarpma ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdükten sonra sıradan kesirleri çarpmaya gelir.

Belirtilen ondalık kesirlerin çarpılması ilkesinin uygulama örneklerine bakalım.

Örnek.

1,5 ile 0,75 arasındaki ondalık sayıları çarpın.

Çözüm.

Çarpan ondalık kesirleri karşılık gelen normal kesirlerle değiştirelim. 1,5=15/10 ve 0,75=75/100 olduğundan . Bir kesri azaltabilir ve ardından uygunsuz kesirden tüm kısmı veya daha uygun bir şekilde ortaya çıkan kısmı seçebilirsiniz. ortak kesir 1,125/1,000'i 1,125 ondalık kesir olarak yazın.

Cevap:

1,5·0,75=1,125.

Bir sütunda son ondalık kesirleri çarpmanın uygun olduğuna dikkat edilmelidir; ondalık kesirleri çarpmanın bu yöntemi hakkında konuşacağız.

Periyodik ondalık kesirlerin çarpılmasına ilişkin bir örneğe bakalım.

Örnek.

Periyodik ondalık kesirlerin 0,(3) ve 2,(36) çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Periyodik ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürelim:

Daha sonra . Ortaya çıkan sıradan kesri ondalık kesire dönüştürebilirsiniz:

Cevap:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Çarpılmış ondalık kesirler arasında sonsuz periyodik olmayan kesirler varsa, sonlu ve periyodik olanlar dahil tüm çarpılmış kesirler belirli bir rakama yuvarlanmalıdır (bkz. sayıları yuvarlama) ve yuvarlamadan sonra elde edilen son ondalık kesirleri çarpın.

Örnek.

5,382... ve 0,2 ondalık sayılarını çarpın.

Çözüm.

Öncelikle sonsuz periyodik olmayan bir ondalık kesri yuvarlayalım, yuvarlama yüzde birlere de yapılabilir, 5.382...≈5.38 elde ederiz. Son ondalık kesir olan 0,2'nin en yakın yüzlüğe yuvarlanmasına gerek yoktur. Böylece, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Geriye son ondalık kesirlerin çarpımını hesaplamak kalıyor: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Cevap:

5,382…·0,2≈1,076.

Ondalık kesirleri sütunla çarpma

Sonlu ondalık kesirlerin çarpılması, bir sütundaki doğal sayıların çarpılmasına benzer şekilde bir sütunda yapılabilir.

Hadi formüle edelim ondalık kesirleri sütunla çarpma kuralı. Ondalık kesirleri sütunla çarpmak için şunları yapmanız gerekir:

• virgüllere dikkat etmeden, doğal sayılar sütunuyla çarpmanın tüm kurallarına göre çarpma yapın;
• ortaya çıkan sayıdan ayrı ondalık nokta Her iki faktörde de ondalık basamaklar olduğu kadar sağda da sayı var ve çarpımda yeterli sayı yoksa sola eklemeniz gerekiyor gerekli miktar sıfırlar.

Ondalık kesirleri sütunlarla çarpma örneklerine bakalım.

Örnek.

63,37 ve 0,12 ondalık sayılarını çarpın.

Çözüm.

Bir sütundaki ondalık kesirleri çarpalım. Öncelikle virgülleri göz ardı ederek sayıları çarpıyoruz:

Geriye kalan tek şey ortaya çıkan ürüne virgül eklemek. Faktörlerin toplam dört ondalık basamağı olduğundan (ikisi 3,37'de ve iki tanesi 0,12'de) sağdaki 4 haneyi ayırması gerekiyor. Orada yeterli sayı var, dolayısıyla sola sıfır eklemenize gerek yok. Kaydı bitirelim:

Sonuç olarak 3,37·0,12=7,6044 elde ederiz.

Cevap:

3,37·0,12=7,6044.

Örnek.

3,2601 ve 0,0254 ondalık sayıların çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Virgülleri hesaba katmadan bir sütunda çarpma işlemi gerçekleştirdiğimizde aşağıdaki resmi elde ederiz:

Şimdi çarpılan kesirlerin ondalık basamaklarının toplam sayısı sekiz olduğundan, çarpımda sağdaki 8 rakamı virgülle ayırmanız gerekiyor. Ancak çarpımda sadece 7 rakam var, bu nedenle 8 rakamı virgülle ayırabilmeniz için sola olabildiğince sıfır eklemeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda iki sıfır atamamız gerekiyor:

Bu, ondalık kesirlerin sütunla çarpılmasını tamamlar.

Cevap:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Ondalık sayıları 0,1, 0,01 vb. ile çarpmak

Çoğunlukla ondalık kesirleri 0,1, 0,01 vb. ile çarpmanız gerekir. Bu nedenle, ondalık kesirleri bu sayılarla çarpmak için yukarıda tartışılan ondalık kesirleri çarpma ilkelerinden yola çıkarak bir kural formüle etmeniz önerilir.

Bu yüzden, belirli bir ondalık sayının 0,1, 0,01, 0,001 vb. ile çarpılması Gösteriminde virgül sırasıyla 1, 2, 3 vb. basamaklarla sola kaydırılırsa ve virgülün taşınması için yeterli basamak yoksa orijinalden elde edilen bir kesir verir. sola ekle Gerekli miktar sıfırlar.

Örneğin 54,34 ondalık kesirini 0,1 ile çarpmak için 54,34 kesirindeki virgülünü 1 basamak sola kaydırmanız gerekir, bu size 5,434 kesirini yani 54,34·0,1=5,434 kesirini verecektir. Başka bir örnek verelim. Ondalık kesri 9,3 ile 0,0001 ile çarpın. Bunu yapmak için, 9.3 ile çarpılmış ondalık kesirde virgülünü 4 basamak sola kaydırmamız gerekir, ancak 9.3 kesirinin gösterimi o kadar çok basamak içermez. Dolayısıyla 9.3 kesirinin soluna o kadar çok sıfır atamamız gerekiyor ki virgülünü rahatlıkla 4 basamağa taşıyabiliriz, 9.3·0.0001=0.00093 elde ederiz.

Ondalık kesirleri 0,1, 0,01, ... ile çarpmak için belirtilen kuralın sonsuz ondalık kesirler için de geçerli olduğunu unutmayın. Örneğin, 0.(18)·0.01=0.00(18) veya 93.938…·0.1=9.3938… .

Bir ondalık sayıyı bir doğal sayıyla çarpmak

Onun çekirdeğinde ondalık sayıları doğal sayılarla çarpma ondalık sayıyı ondalık sayıyla çarpmaktan hiçbir farkı yoktur.

Son ondalık kesri bir sütundaki doğal bir sayıyla çarpmak en uygunudur; bu durumda, önceki paragraflardan birinde tartışılan bir sütundaki ondalık kesirleri çarpma kurallarına uymalısınız.

Örnek.

15·2.27 çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Bir doğal sayıyı bir sütundaki ondalık kesirle çarpalım:

Cevap:

15.2.27=34.05.

Periyodik bir ondalık kesiri doğal bir sayıyla çarparken, periyodik kesrin sıradan bir kesirle değiştirilmesi gerekir.

Örnek.

0.(42) ondalık kesirini 22 doğal sayısıyla çarpın.

Çözüm.

Öncelikle periyodik ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştürelim:

Şimdi çarpma işlemini yapalım: . Ondalık sayı olarak bu sonuç 9,(3) .

Cevap:

0,(42)·22=9,(3) .

Ve sonsuz, periyodik olmayan bir ondalık kesiri doğal bir sayıyla çarparken, önce yuvarlama yapmanız gerekir.

Örnek.

4·2,145… ile çarpın.

Çözüm.

Orijinal sonsuz ondalık kesri yüzde birlere yuvarladıktan sonra, bir doğal sayı ile son ondalık kesrin çarpımına ulaşırız. Elimizde 4·2.145…≈4·2.15=8.60 var.

Cevap:

4·2,145…≈8,60.

Bir ondalık sayıyı 10, 100, ile çarpmak...

Çoğu zaman ondalık kesirleri 10, 100 ile çarpmanız gerekir ... Bu nedenle, bu durumlar üzerinde ayrıntılı olarak durmanız tavsiye edilir.

Haydi seslendirelim ondalık kesirleri 10, 100, 1000 vb. ile çarpma kuralı. Ondalık kesri 10, 100, ... ile çarparken, ondalık noktayı sırasıyla sağa 1, 2, 3, ... haneye taşımanız ve soldaki fazladan sıfırları atmanız gerekir; çarpılacak kesirin gösteriminde ondalık noktayı hareket ettirmek için yeterli basamak yoksa, o zaman gerekli sayıda sıfırı sağa eklemeniz gerekir.

Örnek.

0,0783 ondalık kesirini 100 ile çarpın.

Çözüm.

0,0783 kesrini iki basamak sağa kaydırırsak 007,83 elde ederiz. Soldaki iki sıfırı düşürmek, 7,38 ondalık kesirini verir. Böylece 0,0783·100=7,83 olur.

Cevap:

0,0783·100=7,83.

Örnek.

Ondalık kesri 0,02 ile 10.000 ile çarpın.

Çözüm.

0,02'yi 10.000 ile çarpmak için virgülü 4 basamak sağa kaydırmamız gerekir. Açıkçası, 0,02 kesirinin gösteriminde virgülün 4 basamak hareket ettirilmesi için yeterli basamak yoktur, bu nedenle virgülün hareket ettirilebilmesi için sağa birkaç sıfır ekleyeceğiz. Örneğimizde üç sıfır eklemek yeterli, elimizde 0,02000 var. Virgülün yerini değiştirdikten sonra 00200.0 girişini alıyoruz. Soldaki sıfırları attığımızda, 0,02 ondalık kesirinin 10.000 ile çarpılması sonucu elde edilen 200 doğal sayısına eşit olan 200,0 sayısını elde ederiz.

§ 1 Ondalık kesirleri çarpma kuralının uygulanması

Bu derste ondalık sayıları çarpma kuralını ve ondalık sayıyı 0,1, 0,01 vb. gibi bir basamak değeri birimiyle çarpma kuralını öğrenecek ve nasıl uygulayacağınızı öğreneceksiniz. Ayrıca ondalık sayı içeren ifadelerin değerlerini bulurken çarpma işleminin özelliklerine de bakacağız.

Sorunu çözelim:

Araç hızı 59,8 km/saattir.

Araba 1,3 saatte ne kadar yol kat edecek?

Bildiğiniz gibi bir yol bulmak için hızı zamanla çarpmanız gerekir, yani. 59,8 çarpı 1,3.

Sayıları bir sütuna yazalım ve virgüllere dikkat etmeden çarpmaya başlayalım: 8'i 3 ile çarparsak 24 olur, 4'ü kafamıza 2 yazarız, 3'ü 9 ile çarparsak 27 olur, artı artı 2, 29 olur, kafamıza 9, 2 yazalım. Şimdi 3'ü 5 ile çarpıyoruz, 15 oluyor, 2'yi eklediğimizde 17 oluyor.

Geçelim ikinci satıra: 1'i 8 ile çarparsak 8, 1'i 9 ile çarparsak, 9, 1'i 5 ile çarparsak, 5 olur, bu iki satırı toplarsak, 4 olur, 9+8 eşittir 17, 7'yi kafamıza 1 yazarız, 7 +9 16 olur ve 1'i daha alırız, 17 olur, 7'yi kafamıza 1 yazarız, 1+5 ve 1'i daha alırsak 7 olur.

Şimdi her iki ondalık kesirde kaç tane ondalık basamak bulunduğunu görelim! İlk kesirin virgülden sonra bir rakamı vardır ve ikinci kesirin virgülden sonra bir rakamı vardır, sadece iki rakam. Bu, sonucun sağ tarafında iki rakamı saymanız ve virgül koymanız gerektiği anlamına gelir; 77,74 olacak. Yani 59,8'i 1,3 ile çarptığımızda 77,74 elde ederiz. Bu da sorunun cevabının 77,74 km olduğu anlamına geliyor.

Böylece, iki ondalık kesri çarpmak için ihtiyacınız olan:

Birincisi: virgüllere dikkat etmeden çarpma işlemini yapın

İkincisi: Ortaya çıkan çarpımda, her iki faktörde de virgülden sonraki rakam sayısı kadar sağdaki rakamı virgülle ayırın.

Ortaya çıkan çarpımda virgülle ayrılması gerekenden daha az rakam varsa, önüne bir veya daha fazla sıfır eklenmelidir.

Örneğin: 0,145'i 0,03 ile çarptığımızda 435 elde ediyoruz ve sağdaki 5 rakamı virgülle ayırmamız gerekiyor, bu nedenle 4 sayısının önüne 2 sıfır daha ekleyip virgül koyup bir sıfır daha ekliyoruz. 0.00435 cevabını alıyoruz.

§ 2 Ondalık kesirleri çarpmanın özellikleri

Ondalık kesirleri çarparken, doğal sayılara uygulanan çarpma işleminin tüm özellikleri korunur. Bazı görevleri tamamlayalım.

Görev No.1:

Bu örneği çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliğini uygulayarak çözelim.

Parantezlerden 5,7'yi (ortak faktör) çıkaralım, 3,4 artı 0,6'yı parantez içinde bırakalım. Bu toplamın değeri 4 ve şimdi 4'ü 5,7 ile çarpmamız gerekiyor, 22,8 elde ediyoruz.

Görev No.2:

Çarpmanın değişme özelliğini uygulayalım.

Önce 2,5'u 4 ile çarpıyoruz, 10 tam sayı elde ediyoruz, şimdi 10'u 32,9 ile çarpmamız gerekiyor ve 329 elde ediyoruz.

Ek olarak, ondalık kesirleri çarparken aşağıdakileri fark edebilirsiniz:

Bir sayıyı uygunsuz bir ondalık kesirle çarparken, ör. 1'den büyük veya 1'e eşitse artar veya değişmez, örneğin:

Bir sayıyı uygun bir ondalık kesirle çarparken, ör. 1'den küçükse azalır, örneğin:

Bir örnek çözelim:

23,45 0,1 ile çarpılır.

2,345'i 1 ile çarpıp sağa doğru üç virgül ayırsak 2,345 elde ederiz.

Şimdi başka bir örnek çözelim: 23,45 bölü 10, ondalık basamağı bir basamak sola kaydırmalıyız çünkü basamak biriminde 1 sıfır var, 2,345 elde ediyoruz.

Bu iki örnekten, bir ondalık sayıyı 0,1, 0,01, 0,001 vb. ile çarpmanın, sayıyı 10, 100, 1000 vb. ile bölmek anlamına geldiği sonucuna varabiliriz; Ondalık kesirlerde, virgülünü, faktördeki 1'den önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmanız gerekir.

Ortaya çıkan kuralı kullanarak ürünlerin değerlerini buluyoruz:

13,45 çarpı 0,01

1 sayısının önünde 2 sıfır var, yani virgülünü 2 basamak sola kaydırırsak 0,1345 elde ederiz.

0,02 çarpı 0,001

1 sayısının önünde 3 sıfır var yani virgülü üç basamak sola kaydırırsak 0,00002 elde ederiz.

Böylece bu derste ondalık kesirlerin nasıl çarpılacağını öğrendiniz. Bunu yapmak için, virgüllere dikkat etmeden çarpma işlemini yapmanız ve ortaya çıkan çarpımda, her iki faktörde de ondalık noktadan sonra olduğu kadar sağdaki basamakları virgülle ayırmanız yeterlidir. Ek olarak, ondalık kesirleri 0,1, 0,01 vb. ile çarpma kuralını da öğrendik ve ayrıca ondalık kesirlerle çarpmanın özelliklerini de inceledik.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Matematik 5. sınıf. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. ve diğerleri 31. baskı, silindi. - E: 2013.
2. Didaktik materyaller matematik 5. sınıfta. Yazar - Popov M.A. - 2013 yılı
3. Hatasız hesaplıyoruz. Matematik 5-6. Sınıflarda kendi kendine test ile çalışın. Yazar - Minaeva S.S. - yıl 2014
4. Matematik 5. sınıf didaktik materyaller. Yazarlar: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Kontrol ve bağımsız iş matematik 5. sınıfta. Yazarlar - Popov M.A. - yıl2012
6. Matematik. 5. sınıf: eğitici. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009

Son derste ondalık sayıların nasıl toplanıp çıkarılacağını öğrendik (“Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma” dersine bakın). Aynı zamanda sıradan "iki katlı" kesirlere kıyasla hesaplamaların ne kadar basitleştirildiğini de değerlendirdik.

Ne yazık ki ondalık sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde bu etki oluşmaz. Bazı durumlarda ondalık gösterim bu işlemleri bile karmaşık hale getirir.

Öncelikle yeni bir tanım verelim. Onu sadece bu derste değil, sık sık göreceğiz.

Bir sayının anlamlı kısmı, sonlar da dahil olmak üzere sıfırdan farklı ilk rakam ile son rakam arasındaki her şeydir. Hakkında yalnızca sayılar hakkında, ondalık nokta dikkate alınmaz.

Bir sayının anlamlı kısmında yer alan rakamlara anlamlı rakamlar denir. Tekrarlanabilirler ve hatta sıfıra eşit olabilirler.

Örneğin, birkaç ondalık kesri düşünün ve karşılık gelen önemli kısımları yazın:

1. 91,25 → 9125 (önemli rakamlar: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (önemli rakamlar: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (önemli rakamlar: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (anlamlı rakamlar: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (önemli şahsiyet yalnızca bir tanesi: 3).

Lütfen dikkat: Sayının önemli kısmının içindeki sıfırlar hiçbir yere gitmez. Ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmeyi öğrendiğimizde zaten benzer bir şeyle karşılaştık (“ Ondalık Sayılar” dersine bakın).

Bu nokta o kadar önemli ki ve burada o kadar sık ​​hata yapılıyor ki, yakın gelecekte bu konuyla ilgili bir test yayınlayacağım. Mutlaka pratik yapın! Ve biz, önemli kısım kavramıyla donanmış olarak, aslında dersin konusuna geçeceğiz.

Ondalık Sayıların Çarpılması

Çarpma işlemi birbirini takip eden üç adımdan oluşur:

1. Her kesir için önemli kısmı yazın. Herhangi bir payda ve ondalık nokta olmadan iki sıradan tamsayı elde edeceksiniz;
2. Bu sayıları herhangi biriyle çarpın uygun bir şekilde. Sayılar küçükse veya bir sütun halindeyse doğrudan. İstenilen fraksiyonun önemli bir kısmını elde ediyoruz;
3. İlgili anlamlı kısmı elde etmek için orijinal kesirlerdeki ondalık noktanın nereye ve kaç basamak kaydırıldığını öğrenin. Önceki adımda elde edilen önemli kısım için ters kaydırmalar yapın.

Önemli kısmın kenarlarındaki sıfırların asla dikkate alınmadığını bir kez daha hatırlatayım. Bu kuralın göz ardı edilmesi hatalara yol açar.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10.000.

İlk ifadeyle çalışıyoruz: 0,28 · 12,5.

1. Bu ifadedeki sayıların anlamlı kısımlarını yazalım: 28 ve 125;
2. Çarpımları: 28 · 125 = 3500;
3. İlk faktörde virgül 2 basamak sağa kaydırılır (0,28 → 28), ikincisinde ise 1 basamak daha kaydırılır. Toplamda üç haneli sola kaydırmanız gerekir: 3500 → 3.500 = 3,5.

Şimdi 6.3 · 1.08 ifadesine bakalım.

1. Önemli kısımları yazalım: 63 ve 108;
2. Çarpımları: 63 · 108 = 6804;
3. Yine sağa iki kaydırma: sırasıyla 2 ve 1 basamak. Toplam - yine sağa 3 hane, yani ters kaydırma 3 hane sola olacaktır: 6804 → 6,804. Bu sefer sonunda sıfır yok.

Üçüncü ifadeye ulaştık: 132,5 · 0,0034.

1. Önemli parçalar: 1325 ve 34;
2. Çarpımları: 1325 · 34 = 45.050;
3. İlk kesirde, ondalık nokta 1 basamak sağa, ikincisinde ise 4'e kadar hareket eder. Toplam: 5 sağa. 5 birim sola kaydırıyoruz: 45,050 → 0,45050 = 0,4505. Sıfır sondan çıkarıldı ve “çıplak” bir ondalık nokta bırakmayacak şekilde öne eklendi.

Aşağıdaki ifade: 0,0108 · 1600,5.

1. Önemli kısımları yazıyoruz: 108 ve 16 005;
2. Bunları çarpıyoruz: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. Virgülden sonraki sayıları sayıyoruz: İlk sayıda 4, ikincisinde 1 var. Toplam yine 5. Elimizde: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854 var. Sonunda “ekstra” sıfır kaldırıldı.

Son olarak son ifade: 5,25 10.000.

1. Önemli parçalar: 525 ve 1;
2. Bunları çarpıyoruz: 525 · 1 = 525;
3. İlk kesir 2 basamak sağa, ikinci kesir ise 4 basamak sola kaydırılır (10.000 → 1.0000 = 1). Toplam 4 − 2 = sola doğru 2 basamak. Sağa 2 basamak ters kaydırma yapıyoruz: 525, → 52.500 (sıfır eklemek zorunda kaldık).

Son örneğe dikkat edin: ondalık nokta taşındığından farklı güzergahlar toplam kayma farktan bulunur. Bu çok önemli nokta! İşte başka bir örnek:

1,5 ve 12.500 sayılarını düşünün. Elimizde: 1,5 → 15 (sağa 1 kaydırma); 12.500 → 125 (2'yi sola kaydırın). 1 rakamı sağa, ardından 2 rakamını sola “adımlıyoruz”. Sonuç olarak 2 − 1 = 1 basamak sola adım attık.

Ondalık bölme

Bölünme belki de en zor operasyondur. Elbette burada çarpma işlemine benzeterek hareket edebilirsiniz: önemli kısımları bölün ve ardından ondalık noktayı "hareket ettirin". Ancak bu durumda potansiyel tasarrufları ortadan kaldıran birçok incelik vardır.

Bu nedenle, biraz daha uzun ama çok daha güvenilir olan evrensel bir algoritmaya bakalım:

1. Tüm ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün. Biraz pratik yaparsanız bu adım birkaç saniyenizi alacaktır;
2. Ortaya çıkan kesirleri bölün klasik şekilde. Başka bir deyişle, ilk kesri “tersine çevrilmiş” ikinciyle çarpın (“Sayısal kesirlerle çarpma ve bölme” dersine bakın);
3. Mümkünse sonucu tekrar ondalık kesir olarak sunun. Bu adım aynı zamanda hızlıdır çünkü payda genellikle zaten onun katıdır.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

İlk ifadeyi ele alalım. Öncelikle kesirleri ondalık sayıya çevirelim:

Aynı işlemi ikinci ifade için de yapalım. İlk kesrin payı yine çarpanlara ayrılacaktır:

Üçüncü ve dördüncü örneklerde önemli bir nokta var: Ondalık gösterimden kurtulduktan sonra indirgenebilir kesirler ortaya çıkıyor. Ancak bu indirimi yapmayacağız.

Son örnek ilginçtir çünkü ikinci kesrin payı bir asal sayı içermektedir. Burada çarpanlara ayıracak hiçbir şey yok, bu yüzden bunu doğrudan ele alıyoruz:

Bazen bölme işlemi tam sayıyla sonuçlanır (son örnekten bahsediyorum). Bu durumda üçüncü adım hiç gerçekleştirilmez.

Ek olarak, bölerken genellikle ondalık sayılara dönüştürülemeyen "çirkin" kesirler ortaya çıkar. Bu, sonuçların her zaman ondalık biçimde temsil edildiği çarpma işleminden bölmeyi ayırır. Tabii bu durumda son adım yine yerine getirilmedi.

3. ve 4. örneklere de dikkat edin. Ondalık sayılardan elde edilen sıradan kesirleri bilinçli olarak azaltmıyoruz. Aksi takdirde, bu, son cevabı tekrar ondalık biçimde temsil eden ters görevi karmaşıklaştıracaktır.

Unutmayın: Bir kesrin temel özelliği (matematiğin diğer kuralları gibi) kendi başına onun her yerde, her zaman, her fırsatta uygulanması gerektiği anlamına gelmez.

Bu derste bu işlemlerin her birine ayrı ayrı bakacağız.

Ders içeriği

Ondalık Sayıları Ekleme

Bildiğimiz gibi ondalık kesrin bir tamsayı, bir de kesirli kısmı vardır. Ondalık sayılar toplanırken tam ve kesirli kısımlar ayrı ayrı toplanır.

Örneğin, 3,2 ve 5,3 ondalık kesirlerini toplayalım. Bir sütuna ondalık kesirler eklemek daha uygundur.

Öncelikle bu iki kesri bir sütuna yazalım; tamsayı kısımlar mutlaka tamsayıların altında, kesirler de kesirlerin altında olacak şekilde. Okulda bu gereksinime denir "virgül altında virgül".

Kesirleri virgül virgülün altında olacak şekilde bir sütuna yazalım:

Kesirli kısımları toplamaya başlıyoruz: 2 + 3 = 5. Beşini cevabımızın kesirli kısmına yazıyoruz:

Şimdi tüm parçaları topluyoruz: 3 + 5 = 8. Cevabımızın tamamına sekiz yazıyoruz:

Şimdi tam kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırıyoruz. Bunu yapmak için yine kuralı uyguluyoruz "virgül altında virgül":

8,5 yanıt aldık. Yani 3,2 + 5,3 ifadesi 8,5'e eşittir

Aslında her şey ilk bakışta göründüğü kadar basit değil. Burada da şimdi bahsedeceğimiz tuzaklar var.

Ondalık basamaklar

Ondalık kesirlerin de sıradan sayılar gibi kendi rakamları vardır. Bunlar ondalıklar, yüzdelikler, binlikler. Bu durumda rakamlar virgülden sonra başlar.

Ondalık noktadan sonraki ilk basamak onuncu basamağı, virgülden sonraki ikinci basamak yüzler basamağını ve ondalık noktadan sonraki üçüncü basamak binler basamağını oluşturur.

Ondalık kesirlerdeki yerler bazı içerir kullanışlı bilgi. Özellikle, bir ondalık sayının kaç ondalık, yüzde birlik ve binde birlik olduğunu söylerler.

Örneğin, 0,345 ondalık kesirini düşünün

Üçünün bulunduğu konuma denir onuncu yer

Dördünün bulunduğu konuma denir yüzüncü sıra

Beşin bulunduğu konuma denir bininci yer

Bu çizime bakalım. Onuncu sırada bir üçün olduğunu görüyoruz. Bu, 0,345 ondalık kesirinde onda üçün olduğu anlamına gelir.

Kesirleri toplarsak orijinal ondalık kesir olan 0,345'i elde ederiz.

İlk başta cevabı aldığımız görülüyor ancak bunu ondalık kesre dönüştürdük ve 0,345 elde ettik.

Ondalık kesirleri eklerken, sıradan sayıların toplanmasıyla aynı prensip ve kurallara uyulur. Ondalık kesirlerin eklenmesi rakamlarla gerçekleşir: onda biri onda bire, yüzde biri yüzde bire, binde biri binde bire eklenir.

Bu nedenle ondalık kesirleri eklerken kurala uymalısınız. "virgül altında virgül". Virgülün altındaki virgül, onda birlerin onluğa, yüzde birlerin yüzde birlere, binde birlerin binde birlere eklendiği sırayı sağlar.

Örnek 1. 1.5 + 3.4 ifadesinin değerini bulun

Öncelikle 5 + 4 = 9 kesirli kısımlarını topluyoruz. Cevabımızın kesirli kısmına dokuz yazıyoruz:

Şimdi 1 + 3 = 4 tam sayı kısımlarını topluyoruz. Cevabımızın tam sayı kısmına dördünü yazıyoruz:

Şimdi tam kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırıyoruz. Bunu yapmak için yine “virgül altında virgül” kuralını uyguluyoruz:

4.9 yanıtını aldık. Bu da 1,5 + 3,4 ifadesinin değerinin 4,9 olduğu anlamına gelir.

Örnek 2.İfadenin değerini bulun: 3,51 + 1,22

Bu ifadeyi “virgül altında virgül” kuralına uyarak bir sütuna yazıyoruz.

Öncelikle kesirli kısmı yani 1+2=3'ün yüzde birini topluyoruz. Cevabımızın yüzüncü kısmına üçlü yazıyoruz:

Şimdi onda birini ekleyin 5+2=7. Cevabımızın onuncu kısmına yedi yazıyoruz:

Şimdi tüm parçaları 3+1=4 ekliyoruz. Cevabımızın tamamına dördünü yazıyoruz:

“Virgül altında virgül” kuralına uyarak, tüm kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırıyoruz:

Aldığımız cevap 4,73 oldu. Bu, 3,51 + 1,22 ifadesinin değerinin 4,73'e eşit olduğu anlamına gelir

3,51 + 1,22 = 4,73

Normal sayılarda olduğu gibi, ondalık sayıları toplarken . Bu durumda cevaba bir rakam yazılır, geri kalanı bir sonraki rakama aktarılır.

Örnek 3. 2,65 + 3,27 ifadesinin değerini bulun

Bu ifadeyi sütuna yazıyoruz:

Yüzde birleri toplayın 5+7=12. 12 sayısı cevabımızın yüzüncü kısmına sığmayacaktır. Bu nedenle yüzüncü bölüme 2 sayısını yazıp birimi bir sonraki rakama taşıyoruz:

Şimdi 6+2=8'in onda birini artı bir önceki işlemden bulduğumuz birimi topladığımızda 9 elde ediyoruz. Cevabımızın onda birine 9 sayısını yazıyoruz:

Şimdi tüm parçaları topluyoruz 2+3=5. Cevabımızın tamsayı kısmına 5 sayısını yazıyoruz:

Aldığımız cevap 5,92 oldu. Bu, 2,65 + 3,27 ifadesinin değerinin 5,92'ye eşit olduğu anlamına gelir

2,65 + 3,27 = 5,92

Örnek 4. 9.5 + 2.8 ifadesinin değerini bulun

Bu ifadeyi sütuna yazıyoruz

5 + 8 = 13'ün kesirli kısımlarını topluyoruz. 13 sayısı cevabımızın kesirli kısmına sığmayacağı için önce 3 sayısını yazıp birimi bir sonraki basamağa taşıyoruz, daha doğrusu aktarıyoruz. tamsayı kısmı:

Şimdi 9+2=11 tamsayı kısmını artı bir önceki işlemden elde ettiğimiz birimi topladığımızda 12 elde ediyoruz. Cevabımızın tamsayı kısmına 12 sayısını yazıyoruz:

Tüm kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırın:

12.3 cevabını aldık. Bu da 9,5 + 2,8 ifadesinin değerinin 12,3 olduğu anlamına gelir.

9,5 + 2,8 = 12,3

Ondalık sayılar toplanırken her iki kesirde virgülden sonraki basamak sayısı aynı olmalıdır. Yeterli sayı yoksa kesirli kısımdaki bu yerler sıfırlarla doldurulur.

Örnek 5. İfadenin değerini bulun: 12,725 + 1,7

Bu ifadeyi bir sütuna yazmadan önce her iki kesirde virgülden sonraki basamak sayısını eşitleyelim. 12.725 ondalık kesirinde virgülden sonra üç basamak bulunur, ancak 1.7 kesirinde yalnızca bir basamak bulunur. Bu, 1.7 kesirinin sonuna iki sıfır eklemeniz gerektiği anlamına gelir. Sonra 1.700 kesirini elde ederiz. Artık bu ifadeyi bir sütuna yazıp hesaplamaya başlayabilirsiniz:

Bininci kısımları ekleyin 5+0=5. Cevabımızın binde bir kısmına 5 sayısını yazıyoruz:

Yüzde birlik kısımları ekleyin 2+0=2. Cevabımızın yüzüncü kısmına 2 sayısını yazıyoruz:

Onuncuları toplayın 7+7=14. 14 sayısı cevabımızın onda birine sığmayacak. Bu nedenle önce 4 sayısını yazıp birimi bir sonraki rakama taşıyoruz:

Şimdi 12+1=13 tamsayı kısmını bir önceki işlemden elde ettiğimiz birim ile topladığımızda 14 elde ediyoruz. Cevabımızın tamsayı kısmına 14 sayısını yazıyoruz:

Tüm kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırın:

14.425 yanıt aldık. Bu da 12.725+1.700 ifadesinin değerinin 14.425 olduğu anlamına gelir.

12,725+ 1,700 = 14,425

Ondalık Sayıları Çıkarma

Ondalık kesirleri çıkarırken, eklerken uyguladığınız kuralların aynısını izlemelisiniz: "ondalık ayırıcının altında virgül" ve "ondalık ayırıcıdan sonra eşit sayıda basamak."

Örnek 1. 2,5 − 2,2 ifadesinin değerini bulun

Bu ifadeyi “virgül altında virgül” kuralına uyarak bir sütuna yazıyoruz:

Kesirli kısmı 5−2=3 hesaplıyoruz. Cevabımızın onuncu kısmına 3 sayısını yazıyoruz:

2−2=0 tamsayı kısmını hesaplıyoruz. Cevabımızın tamsayı kısmına sıfır yazıyoruz:

Tüm kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırın:

0,3 yanıtını aldık. Bu, 2,5 − 2,2 ifadesinin değerinin 0,3'e eşit olduğu anlamına gelir

2,5 − 2,2 = 0,3

Örnek 2. 7.353 - 3.1 ifadesinin değerini bulun

Bu ifadede farklı miktarlar virgülden sonraki sayılar. 7.353 kesrinin virgülden sonra üç basamağı vardır, ancak 3.1 kesrinin yalnızca bir rakamı vardır. Bu, her iki kesirdeki basamak sayısını aynı kılmak için kesir 3.1'in sonuna iki sıfır eklemeniz gerektiği anlamına gelir. O zaman 3.100 alıyoruz.

Artık bu ifadeyi bir sütuna yazıp hesaplayabilirsiniz:

4.253 yanıt aldık. Bu, 7,353 − 3,1 ifadesinin değerinin 4,253'e eşit olduğu anlamına gelir

7,353 — 3,1 = 4,253

Sıradan sayılarda olduğu gibi, bazen çıkarma işlemi imkansız hale gelirse bitişik rakamdan bir sayı ödünç almak zorunda kalırsınız.

Örnek 3. 3,46 − 2,39 ifadesinin değerini bulun

6−9'un yüzde birini çıkarın. 6 sayısından 9 sayısını çıkaramazsınız. Bu nedenle yanındaki rakamdan bir tane ödünç almanız gerekir. Bitişik rakamdan bir alınırsa 6 sayısı 16 sayısına dönüşür. Artık 16−9=7'nin yüzde birini hesaplayabilirsiniz. Cevabımızın yüzüncü kısmına yedi yazıyoruz:

Şimdi onda birini çıkarıyoruz. Onuncu sıraya bir birim aldığımız için oradaki rakam bir birim azaldı. Yani onda birler basamağında artık 4 sayısı değil 3 sayısı var. 3−3=0'ın onda birini hesaplayalım. Cevabımızın onuncu kısmına sıfır yazıyoruz:

Şimdi 3−2=1'in tüm parçalarını çıkarıyoruz. Cevabımızın tamsayı kısmına bir tane yazıyoruz:

Tüm kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırın:

1.07 yanıtını aldık. Bu, 3,46−2,39 ifadesinin değerinin 1,07'ye eşit olduğu anlamına gelir

3,46−2,39=1,07

Örnek 4. 3−1.2 ifadesinin değerini bulun

Bu örnekte bir tam sayıdan ondalık sayı çıkarılmaktadır. Bu ifadeyi bir sütuna yazalım ki Bütün parça 1,23 ondalık kesirinin 3 sayısı olduğu ortaya çıktı

Şimdi virgülden sonraki basamak sayısını aynı yapalım. Bunu yapmak için 3 rakamından sonra virgül koyup bir sıfır ekliyoruz:

Şimdi onda birini çıkarıyoruz: 0−2. 2 sayısını sıfırdan çıkaramazsınız. Bu nedenle bitişik rakamdan bir tane almanız gerekir. Komşu rakamdan bir ödünç aldığımızda 0, 10 sayısına dönüşür. Artık 10−2=8'in onda birini hesaplayabilirsiniz. Cevabımızın onuncu kısmına sekiz yazıyoruz:

Şimdi tüm parçaları çıkarıyoruz. Daha önce 3 rakamı bütünün içinde yer alıyordu ama biz ondan bir birim aldık. Sonuç olarak 2 sayısına dönüştü. Dolayısıyla 2'den 1 çıkarıyoruz. 2−1=1. Cevabımızın tamsayı kısmına bir tane yazıyoruz:

Tüm kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırın:

Aldığımız cevap 1.8 oldu. Bu, 3−1,2 ifadesinin değerinin 1,8 olduğu anlamına gelir

Ondalık Sayıların Çarpılması

Ondalık sayıları çarpmak basit ve hatta eğlencelidir. Ondalık sayıları çarpmak için, virgülleri göz ardı ederek normal sayılar gibi çarparsınız.

Cevabı aldıktan sonra, tüm kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırmanız gerekir. Bunu yapmak için, her iki kesirde de virgülden sonraki rakam sayısını saymanız, ardından cevapta sağdan aynı sayıda rakamı saymanız ve virgül koymanız gerekir.

Örnek 1. 2,5 × 1,5 ifadesinin değerini bulun

Bu ondalık kesirleri virgülleri göz ardı ederek sıradan sayılar gibi çarpalım. Virgülleri göz ardı etmek için geçici olarak bunların tamamen yok olduğunu hayal edebilirsiniz:

375 elde ettik. Bu sayıda tam kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, 2,5 ve 1,5 kesirlerinde ondalık noktadan sonraki basamak sayısını saymanız gerekir. İlk kesirin virgülden sonra bir rakamı vardır, ikinci kesirin de bir rakamı vardır. Toplam iki sayı.

375 numarasına dönüyoruz ve sağdan sola hareket etmeye başlıyoruz. Sağdaki iki rakamı sayıp virgül koymamız gerekiyor:

3,75 yanıt aldık. Yani 2,5×1,5 ifadesinin değeri 3,75 olur

2,5 × 1,5 = 3,75

Örnek 2. 12,85 × 2,7 ifadesinin değerini bulun

Virgülleri göz ardı ederek bu ondalık kesirleri çarpalım:

34695 aldık. Bu sayıda tam sayı kısmını kesirli kısımdan virgülle ayırmanız gerekiyor. Bunu yapmak için 12,85 ve 2,7 kesirlerinde ondalık noktadan sonraki basamak sayısını saymanız gerekir. 12,85 kesirinin virgülden sonra iki basamağı vardır ve 2,7 kesirinin bir basamağı vardır - toplam üç basamak.

34695 numarasına dönüyoruz ve sağdan sola hareket etmeye başlıyoruz. Sağdan üç rakamı sayıp virgül koymamız gerekiyor:

34.695 yanıt aldık. Yani 12,85×2,7 ifadesinin değeri 34,695 olur

12,85 × 2,7 = 34,695

Bir ondalık sayıyı normal bir sayıyla çarpmak

Bazen ondalık kesri normal bir sayıyla çarpmanız gerektiğinde durumlar ortaya çıkar.

Bir ondalık sayıyı ve bir sayıyı çarpmak için ondalık basamaktaki virgüllere dikkat etmeden çarparsınız. Cevabı aldıktan sonra, tüm kısmı kesirli kısımdan virgülle ayırmanız gerekir. Bunu yapmak için, ondalık kesirdeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısını saymanız, ardından cevapta sağdan aynı sayıdaki basamakları saymanız ve virgül koymanız gerekir.

Örneğin 2,54'ü 2 ile çarpın

Virgülleri göz ardı ederek 2,54 ondalık kesirini normal sayı olan 2 ile çarpın:

508 sayısını elde ettik. Bu sayıda tam sayı kısmını kesirli kısımdan virgülle ayırmanız gerekiyor. Bunu yapmak için 2,54 kesirindeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısını saymanız gerekir. 2.54 kesirinde virgülden sonra iki rakam bulunur.

508 numaraya dönüyoruz ve sağdan sola hareket etmeye başlıyoruz. Sağdaki iki rakamı sayıp virgül koymamız gerekiyor:

5.08 cevabını aldık. Yani 2,54 × 2 ifadesinin değeri 5,08'dir.

2,54 × 2 = 5,08

Ondalık sayıları 10, 100, 1000 ile çarpmak

Ondalık sayıları 10, 100 veya 1000 ile çarpmak, ondalık sayıları normal sayılarla çarpmakla aynı şekilde yapılır. Ondalık kesirdeki virgüllere dikkat etmeden çarpma işlemini yapmanız, ardından cevapta tüm kısmı kesirli kısımdan ayırmanız, sağdan ondalık noktadan sonraki rakamlarla aynı sayıda rakamı saymanız gerekir.

Örneğin 2,88'i 10 ile çarpın

Ondalık kesirdeki virgülleri göz ardı ederek 2,88'lik ondalık kesri 10 ile çarpın:

2880 elde ettik. Bu sayıda tam sayı kısmını kesirli kısımdan virgülle ayırmanız gerekiyor. Bunu yapmak için 2,88 kesirindeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısını saymanız gerekir. 2,88 kesirinin virgülden sonra iki haneli olduğunu görüyoruz.

2880 numarasına dönüyoruz ve sağdan sola hareket etmeye başlıyoruz. Sağdaki iki rakamı sayıp virgül koymamız gerekiyor:

28.80 cevabını aldık. Son sıfırı atalım ve 28,8'i elde edelim. Bu da 2,88×10 ifadesinin değerinin 28,8 olduğu anlamına gelir.

2,88 × 10 = 28,8

Ondalık kesirleri 10, 100, 1000 ile çarpmanın ikinci bir yolu var. Bu yöntem çok daha basit ve kullanışlıdır. Ondalık noktayı, faktördeki sıfır sayısı kadar sağa kaydırmaktan oluşur.

Mesela karar verelim önceki örnek 2,88x10 bu şekilde. Herhangi bir hesaplama yapmadan hemen 10 çarpanına bakıyoruz. İçinde kaç tane sıfır olduğuyla ilgileniyoruz. İçinde bir sıfır olduğunu görüyoruz. Şimdi 2,88 kesirinde virgülünü bir basamak sağa kaydırırsak 28,8 elde ederiz.

2,88 × 10 = 28,8

2,88'i 100 ile çarpmaya çalışalım. Hemen 100 faktörüne bakıyoruz. İçinde kaç tane sıfır olduğuyla ilgileniyoruz. İçinde iki sıfır olduğunu görüyoruz. Şimdi 2,88 kesirinde virgülünü sağdaki iki basamağa kaydırırsak 288 elde ederiz

2,88 × 100 = 288

2,88'i 1000 ile çarpmaya çalışalım. Hemen 1000 faktörüne bakıyoruz. İçinde kaç tane sıfır olduğuyla ilgileniyoruz. İçinde üç tane sıfır olduğunu görüyoruz. Şimdi 2,88 kesirinde virgülünü üç basamak sağa kaydırıyoruz. Orada üçüncü rakam yok, bu yüzden bir sıfır daha ekliyoruz. Sonuç olarak 2880 elde ediyoruz.

2,88 × 1000 = 2880

Ondalık sayıları 0,1 0,01 ve 0,001 ile çarpma

Ondalık sayıları 0,1, 0,01 ve 0,001 ile çarpmak, bir ondalık sayıyı bir ondalık sayıyla çarpmakla aynı şekilde çalışır. Kesirleri sıradan sayılar gibi çarpmak ve her iki kesirde de virgülden sonraki basamaklar kadar sağdaki basamakları sayarak cevaba virgül koymak gerekir.

Örneğin 3,25'i 0,1 ile çarpın

Bu kesirleri sıradan sayılar gibi çarpıyoruz, virgülleri göz ardı ediyoruz:

325 elde ettik. Bu sayıda tam sayı kısmını kesirli kısımdan virgülle ayırmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, 3,25 ve 0,1 kesirlerinde ondalık noktadan sonraki basamak sayısını saymanız gerekir. 3,25 kesirinin virgülden sonra iki basamağı vardır ve 0,1 kesirinin bir basamağı vardır. Toplam üç sayı.

325 numarasına dönüyoruz ve sağdan sola hareket etmeye başlıyoruz. Sağdan üç rakamı sayıp virgül koymamız gerekiyor. Üç haneyi geri saydıktan sonra sayıların tükendiğini görüyoruz. Bu durumda bir sıfır ve virgül eklemeniz gerekir:

0,325 yanıtını aldık. Bu, 3,25 × 0,1 ifadesinin değerinin 0,325 olduğu anlamına gelir.

3,25 × 0,1 = 0,325

Ondalık sayıları 0,1, 0,01 ve 0,001 ile çarpmanın ikinci bir yolu vardır. Bu yöntem çok daha basit ve kullanışlıdır. Faktördeki sıfır sayısı kadar virgülün sola kaydırılmasından oluşur.

Mesela bir önceki örnek olan 3.25×0.1'i bu şekilde çözelim. Herhangi bir hesaplama yapmadan hemen 0,1 çarpanına bakıyoruz. İçinde kaç tane sıfır olduğuyla ilgileniyoruz. İçinde bir sıfır olduğunu görüyoruz. Şimdi 3,25 kesirinde virgülünü bir basamak sola kaydırıyoruz. Virgülü bir rakam sola kaydırdığımızda üç rakamından önce rakam kalmadığını görüyoruz. Bu durumda bir sıfır ekleyin ve virgül koyun. Sonuç 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

3,25'i 0,01 ile çarpmayı deneyelim. Hemen 0,01 çarpanına bakıyoruz. İçinde kaç tane sıfır olduğuyla ilgileniyoruz. İçinde iki sıfır olduğunu görüyoruz. Şimdi 3,25 kesirinde virgülünü iki basamak sola kaydırırsak 0,0325 elde ederiz

3,25 × 0,01 = 0,0325

3,25'i 0,001 ile çarpmayı deneyelim. Hemen 0,001 çarpanına bakıyoruz. İçinde kaç tane sıfır olduğuyla ilgileniyoruz. İçinde üç tane sıfır olduğunu görüyoruz. Şimdi 3,25 kesirinde virgülünü üç basamak sola kaydırırsak 0,00325 elde ederiz

3,25 × 0,001 = 0,00325

Ondalık kesirleri 0,1, 0,001 ve 0,001 ile çarpmakla 10, 100, 1000 ile çarpmayı karıştırmayın. Yaygın hataçoğu insan.

10, 100, 1000 ile çarparken, çarpanda sıfırlar olduğu için virgül aynı sayıda basamak sağa kaydırılır.

Ve 0,1, 0,01 ve 0,001 ile çarpıldığında, çarpanda sıfırlar olduğu için virgül aynı sayıda basamak sola kaydırılır.

İlk başta hatırlamak zorsa, sıradan sayılarla olduğu gibi çarpma işleminin yapıldığı ilk yöntemi kullanabilirsiniz. Cevapta her iki kesirde de virgülden sonraki rakamlar olduğu için sağdaki aynı sayıda rakamı sayarak tam kısmı kesirli kısımdan ayırmanız gerekecektir.

Daha küçük bir sayının daha büyük bir sayıya bölünmesi. İleri düzey.

Önceki derslerden birinde, daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıya bölerken payının bölen, paydasının da bölen olduğu bir kesir elde edildiğini söylemiştik.

Örneğin bir elmayı ikiye bölmek için paya 1 (bir elma), paydaya 2 (iki arkadaş) yazmanız gerekir. Sonuç olarak kesri elde ederiz. Bu, her arkadaşın bir elma alacağı anlamına gelir. Başka bir deyişle yarım elma. Kesir sorunun cevabıdır “Bir elma nasıl ikiye bölünür?”

1'i 2'ye bölerseniz bu sorunu daha da çözebileceğiniz ortaya çıktı. Sonuçta, herhangi bir kesirdeki kesir çizgisi bölme anlamına gelir ve bu nedenle kesirde bu bölmeye izin verilir. Ama nasıl? Kâr payının her zaman bölenden daha büyük olduğu gerçeğine alışkınız. Ancak burada tam tersine, temettü bölenden daha azdır.

Kesrin ezmek, bölmek, bölmek anlamına geldiğini hatırlarsak her şey netleşecektir. Bu, ünitenin yalnızca iki parçaya değil, istenildiği kadar parçaya bölünebileceği anlamına gelir.

Daha küçük bir sayıyı daha büyük bir sayıya böldüğünüzde, tamsayı kısmı 0 (sıfır) olan bir ondalık kesir elde edersiniz. Kesirli kısım herhangi bir şey olabilir.

O halde 1'i 2'ye bölelim. Bu örneği bir köşeyle çözelim:

Bir şey tamamen ikiye bölünemez. Bir soru sorarsan “birinde kaç tane ikili var” , o zaman cevap 0 olacaktır. Bu nedenle bölümde 0 yazıp virgül koyuyoruz:

Şimdi, her zamanki gibi, kalanı elde etmek için bölümü bölenle çarpıyoruz:

Ünitenin iki parçaya bölünebileceği an geldi. Bunu yapmak için ortaya çıkanın sağına bir sıfır daha ekleyin:

10'u bulduk. 10'u 2'ye bölersek 5 buluruz. Cevabımızın kesirli kısmına beşi yazıyoruz:

Şimdi hesaplamayı tamamlamak için son kalanı çıkarıyoruz. 10 elde etmek için 5'i 2 ile çarpın

0,5 yanıtını aldık. Yani kesir 0,5

Yarım elma, 0,5 ondalık kesir kullanılarak da yazılabilir. Bu iki yarımı (0,5 ve 0,5) toplarsak, yine orijinal bir tam elmayı elde ederiz:

1 cm'nin nasıl ikiye bölündüğünü hayal ederseniz bu nokta da anlaşılabilir. 1 santimetreyi 2 parçaya bölerseniz 0,5 cm elde edersiniz

Örnek 2. 4:5 ifadesinin değerini bulun

Dörtte kaç tane beş var? Hiç de bile. Bölüme 0 yazıp virgül koyuyoruz:

0'ı 5 ile çarpıyoruz, 0 alıyoruz. Dördün altına sıfır yazıyoruz. Bu sıfırı derhal temettüden çıkarın:

Şimdi dördünü 5 parçaya ayırmaya (bölmeye) başlayalım. Bunun için 4'ün sağına sıfır ekleyip 40'ı 5'e bölersek 8 elde ederiz. Bölüme sekiz yazıyoruz.

Örneği 8'i 5 ile çarparak 40 elde ederek tamamlıyoruz:

0,8 yanıt aldık. Bu, 4:5 ifadesinin değerinin 0,8 olduğu anlamına gelir.

Örnek 3. 5: 125 ifadesinin değerini bulun

125 sayısı beşte kaç sayıdır? Hiç de bile. Bölüme 0 yazıp virgül koyuyoruz:

0'ı 5 ile çarpıyoruz, 0 alıyoruz. Beşin altına 0 yazıyoruz. Hemen beşten 0'ı çıkarın

Şimdi beşi 125 parçaya ayırmaya (bölmeye) başlayalım. Bunu yapmak için bu beşin sağına bir sıfır yazıyoruz:

50'yi 125'e bölün. 50 sayısında 125 kaç sayı vardır? Hiç de bile. Yani bölüme tekrar 0 yazıyoruz

0'ı 125 ile çarparsak 0 elde ederiz. Bu sıfırı 50'nin altına yazın. Hemen 50'den 0'ı çıkarın.

Şimdi 50 sayısını 125 parçaya bölün. Bunu yapmak için 50'nin sağına bir sıfır daha yazıyoruz:

500'ü 125'e bölün. 500 sayısında 125 kaç sayı vardır? 500 sayısında 4 adet 125 sayısı vardır. Bu 4 sayıyı bölümde yazın:

Örneği 4 ile 125'i çarparak 500 sonucunu elde ederek tamamlıyoruz.

0,04 yanıtını aldık. Bu, 5:125 ifadesinin değerinin 0,04 olduğu anlamına gelir

Sayıları kalansız bölme

O halde bölümde birimden sonra virgül koyarak tam sayılarda bölme işleminin bittiğini ve kesirli kısma geçtiğimizi belirtelim:

Kalan 4'e sıfır ekleyelim

Şimdi 40'ı 5'e bölersek 8 elde ederiz. Bölüme sekiz yazıyoruz:

40−40=0. 0'ımız kaldı. Bu, bölünmenin tamamen tamamlandığı anlamına gelir. 9'u 5'e bölmek 1,8 ondalık kesirini verir:

9: 5 = 1,8

Örnek 2. 84'ü 5'e kalansız bölün

İlk olarak, her zamanki gibi 84'ü 5'e ve bir kalana bölün:

16'mız özelde kaldı, 4'ü daha kaldı. Şimdi bu kalanı 5'e bölelim. Bölüme virgül koyup kalana 0 ekleyelim 4

Şimdi 40'ı 5'e bölüyoruz, 8 elde ediyoruz. Sekizi virgülden sonraki bölüme yazıyoruz:

ve hala kalanın olup olmadığını kontrol ederek örneği tamamlayın:

Ondalık sayının normal bir sayıya bölünmesi

Ondalık kesir, bildiğimiz gibi, bir tam sayıdan ve bir kesirli kısımdan oluşur. Ondalık kesri normal bir sayıya bölerken öncelikle şunları yapmanız gerekir:

• ondalık kesrin tamamını bu sayıya bölün;
• parçanın tamamı bölündükten sonra bölüme hemen virgül koyup normal bölmede olduğu gibi hesaplamaya devam etmeniz gerekir.

Örneğin 4,8'i 2'ye bölün

Bu örneği bir köşeye yazalım:

Şimdi tüm parçayı 2'ye bölelim. Dört bölü ikiye eşittir iki. Bölüme iki yazıyoruz ve hemen virgül koyuyoruz:

Şimdi bölümü bölenle çarpıyoruz ve bölümden kalan olup olmadığına bakıyoruz:

4−4=0. Geriye kalan sıfırdır. Çözüm tamamlanmadığı için henüz sıfır yazmıyoruz. Daha sonra normal bölme işleminde olduğu gibi hesaplamaya devam ediyoruz. 8'i çıkar ve 2'ye böl

8: 2 = 4. Bölüme dördü yazıp hemen bölenle çarpıyoruz:

2.4 yanıtını aldık. 4.8:2 ifadesinin değeri 2.4'tür

Örnek 2. 8.43: 3 ifadesinin değerini bulun

8'i 3'e bölersek 2 elde ederiz. 2'den hemen sonra virgül koyun:

Şimdi bölümü 2 × 3 = 6 böleni ile çarpıyoruz. Altıyı sekizin altına yazıp kalanı buluyoruz:

24'ü 3'e bölersek 8 elde ederiz. Bölüme sekiz yazıyoruz. Bölmenin geri kalanını bulmak için bunu hemen bölenle çarpın:

24−24=0. Geriye kalan sıfırdır. Henüz sıfır yazmıyoruz. Bölünen kısımdan son üçü çıkarıyoruz ve 3'e bölüyoruz, 1 elde ediyoruz. Bu örneği tamamlamak için hemen 1 ile 3'ü çarpıyoruz:

Aldığımız cevap 2,81 oldu. Bu da 8.43:3 ifadesinin değerinin 2.81 olduğu anlamına gelir.

Ondalık sayıyı ondalık sayıya bölme

Ondalık kesri ondalık kesirle bölmek için, bölendeki ve bölendeki ondalık noktayı, bölendeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırmanız ve ardından normal sayıya bölmeniz gerekir.

Örneğin 5,95'i 1,7'ye bölün

Bu ifadeyi köşeli olarak yazalım.

Şimdi bölünen ve bölende, virgülünü, bölendeki virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırıyoruz. Bölen virgülden sonra tek rakamlıdır. Bu, bölen ve bölende ondalık noktayı bir basamak sağa kaydırmamız gerektiği anlamına gelir. Aktarıyoruz:

Ondalık virgülü bir basamak sağa kaydırıldıktan sonra 5,95 ondalık kesri 59,5 kesri haline geldi. Ve ondalık kesir 1,7, ondalık noktayı bir basamak sağa kaydırdıktan sonra normal sayı 17'ye dönüştü. Ve ondalık kesirin normal bir sayıya nasıl bölüneceğini zaten biliyoruz. Daha fazla hesaplama zor değildir:

Bölmeyi kolaylaştırmak için virgül sağa kaydırılır. Buna izin verilir çünkü bölünen ve böleni aynı sayıyla çarparken veya bölerken bölüm değişmez. Bu ne anlama geliyor?

Bu bir tanesi ilginç özellikler bölüm. Buna bölüm özelliği denir. 9: 3 = 3 ifadesini düşünün. Bu ifadede bölünen ve bölen aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse bölüm 3 değişmeyecektir.

Bölen ve böleni 2 ile çarpalım ve sonuçta ne çıkacağını görelim:

(9×2) : (3×2) = 18: 6 = 3

Örnekte görüldüğü gibi bölüm değişmedi.

Aynı şey, virgülü bölen ve bölende hareket ettirdiğimizde de olur. 5,91'i 1,7'ye böldüğümüz önceki örnekte, bölen ve bölen kısmındaki virgülü bir basamak sağa kaydırdık. Ondalık noktayı hareket ettirdikten sonra 5,91 kesri 59,1 kesrine ve 1,7 kesiri normal sayı 17'ye dönüştürüldü.

Aslında bu süreçte 10'la çarpma işlemi de vardı. Şöyle görünüyordu:

5,91 × 10 = 59,1

Dolayısıyla bölenin virgülden sonraki basamak sayısı, bölenin ve bölenin neyle çarpılacağını belirler. Başka bir deyişle, bölende virgülden sonraki hanelerin sayısı, bölende kaç hanenin ve bölende virgülün kaç hanenin sağa kaydırılacağını belirleyecektir.

Bir ondalık sayının 10, 100, 1000'e bölünmesi

Ondalık sayının 10, 100 veya 1000'e bölünmesi aynı şekilde yapılır. Örneğin 2,1'i 10'a bölün. Bu örneği bir köşe kullanarak çözün:

Ama ikinci bir yol daha var. Daha hafif. Bu yöntemin özü, bölendeki virgülün, bölendeki sıfır sayısı kadar sola kaydırılmasıdır.

Bir önceki örneğimizi bu şekilde çözelim. 2.1: 10. Bölene bakıyoruz. İçinde kaç tane sıfır olduğuyla ilgileniyoruz. Bir sıfırın olduğunu görüyoruz. Bu, 2.1'in bölüşümünde ondalık noktayı bir basamak sola kaydırmanız gerektiği anlamına gelir. Virgülü bir basamak sola kaydırıyoruz ve başka basamak kalmadığını görüyoruz. Bu durumda sayıdan önce bir sıfır daha ekleyin. Sonuç olarak 0,21 elde ediyoruz

2,1'i 100'e bölmeye çalışalım. 100'de iki sıfır var. Bu, 2.1 payında virgülü iki basamak sola kaydırmamız gerektiği anlamına gelir:

2,1: 100 = 0,021

2,1'i 1000'e bölmeye çalışalım. 1000'de üç sıfır var. Bu, 2.1 temettüsünde virgülü üç basamak sola kaydırmanız gerektiği anlamına gelir:

2,1: 1000 = 0,0021

Ondalık sayının 0,1, 0,01 ve 0,001'e bölünmesi

Ondalık kesirin 0,1, 0,01 ve 0,001'e bölünmesi, ile aynı şekilde yapılır. Bölen ve bölende, virgülünü, bölendeki virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir.

Örneğin 6,3'ü 0,1'e bölelim. Öncelikle bölen ve bölendeki virgülleri, bölendeki virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydıralım. Bölen virgülden sonra tek rakamlıdır. Bu, bölen ve bölendeki virgülleri bir basamak sağa kaydırdığımız anlamına gelir.

Ondalık noktayı bir basamak sağa kaydırdıktan sonra, ondalık kesir 6,3 normal sayı 63 olur ve ondalık kesir 0,1, ondalık noktayı bir basamak sağa kaydırdıktan sonra bire dönüşür. Ve 63'ü 1'e bölmek çok basittir:

Bu, 6.3: 0.1 ifadesinin değerinin 63 olduğu anlamına gelir.

Ama ikinci bir yol daha var. Daha hafif. Bu yöntemin özü, bölendeki virgülün, bölendeki sıfır sayısı kadar sağa kaydırılmasıdır.

Bir önceki örneğimizi bu şekilde çözelim. 6.3: 0.1. Bölene bakalım. İçinde kaç tane sıfır olduğuyla ilgileniyoruz. Bir sıfırın olduğunu görüyoruz. Bu, 6,3'ün payında ondalık noktayı bir basamak sağa kaydırmanız gerektiği anlamına gelir. Virgülü bir basamak sağa taşıyın ve 63'ü elde edin

6,3'ü 0,01'e bölmeye çalışalım. 0,01'in böleninde iki sıfır vardır. Bu, 6.3 bölüşümünde ondalık noktayı iki basamak sağa kaydırmamız gerektiği anlamına gelir. Ancak temettüde virgülden sonra yalnızca bir basamak vardır. Bu durumda sonuna bir sıfır daha eklemeniz gerekir. Sonuç olarak 630 elde ediyoruz

6,3'ü 0,001'e bölmeye çalışalım. 0,001'in böleninde üç sıfır vardır. Bu, 6.3 temettüsünde ondalık noktayı üç basamak sağa kaydırmamız gerektiği anlamına gelir:

6,3: 0,001 = 6300

Bağımsız çözüm için görevler

Dersi beğendin mi?
Bize katılın yeni Grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın

Tıpkı normal sayılar gibi.

2. 1. ondalık kesir ve 2. kesir için ondalık basamak sayısını sayarız. Sayılarını topluyoruz.

3. Nihai sonuçta, yukarıdaki paragrafta olduğu gibi sağdan sola aynı sayıda rakamı sayın ve virgül koyun.

Ondalık kesirlerle çarpma kuralları.

1. Virgüllere dikkat etmeden çarpın.

2. Çarpmada, her iki faktörde de virgülden sonraki aynı sayıda rakamı bir arada ayırıyoruz.

Ondalık kesri doğal bir sayıyla çarparken şunları yapmanız gerekir:

1. Virgüllere dikkat etmeden sayıları çarpın;

2. Sonuç olarak virgülü, sağında ondalık kesirdeki rakam sayısı kadar rakam olacak şekilde yerleştiriyoruz.

Ondalık kesirlerin sütunla çarpılması.

Bir örneğe bakalım:

Ondalık kesirleri bir sütuna yazıp virgüllere dikkat etmeden doğal sayılar olarak çarpıyoruz. Onlar. 3,11'i 311, 0,01'i ise 1 olarak kabul ediyoruz.

Sonuç 311. Daha sonra her iki kesir için de virgülden sonraki işaret (rakam) sayısını sayıyoruz. İlk ondalık sayı 2 basamaklı, ikinci ondalık sayı ise 2 basamaklıdır. Toplam sayısı virgülden sonraki rakamlar:

2 + 2 = 4

Sonucun sağdan sola dört hanesini sayıyoruz. Nihai sonuç, virgülle ayrılması gerekenden daha az sayı içeriyor. Bu durumda eksik olan sıfır sayısını sola eklemeniz gerekir.

Bizim durumumuzda ilk rakam eksik olduğundan sola 1 sıfır ekliyoruz.

Not:

Herhangi bir ondalık kesir 10, 100, 1000 vb. ile çarpıldığında, ondalık kesirdeki ondalık nokta, birden sonra sıfır sayısı kadar sağa kaydırılır.

Örneğin:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Not:

Bir ondalık sayıyı 0,1 ile çarpmak için; 0,01; 0,001; vb., bu kesirdeki ondalık noktayı birden önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmanız gerekir.

Sıfır tamsayıları sayıyoruz!

Örneğin:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56