Ortak paydaya sahip kesirlerin toplanması. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi. Ortak kesirleri toplama ve çıkarma

Alçı
15.10.2019
Ders içeriği

Paydaları benzer olan kesirleri toplama

İki tür kesir toplama işlemi vardır:

  1. Paydaları benzer olan kesirleri toplama
  2. Kesirleri şununla ekleme: farklı paydalar

Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerin toplamasını öğrenelim. Burada her şey basit. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Örneğin kesirleri toplayalım ve . Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya pizza eklerseniz pizza elde edersiniz:

Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve .

Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Görevin sonu geldiğinde uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Kurtulmak için uygunsuz kesir, bir kısmının tamamını seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda Bütün parça kolayca göze çarpıyor - iki bölü ikiye eşittir bir:

İki parçaya bölünen bir pizzayı hatırlarsak bu örneği daha kolay anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz bir bütün pizza elde edersiniz:

Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .

Yine payları topluyoruz ve paydayı değiştirmeden bırakıyoruz:

Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz pizza alırsınız:

Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza ekleyip daha fazla pizza eklerseniz 1 tam pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.

Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirleri toplamanın karmaşık bir tarafı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

  1. Paydası aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;

Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması

Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri nasıl toplayacağımızı öğrenelim. Kesirleri eklerken kesirlerin paydalarının aynı olması gerekir. Ancak her zaman aynı değildirler.

Örneğin kesirler aynı paydalara sahip oldukları için toplanabilir.

Ancak kesirlerin paydaları farklı olduğundan kesirler hemen eklenemez. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.

Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Diğer yöntemler yeni başlayanlar için karmaşık görünebileceğinden bugün bunlardan yalnızca birine bakacağız.

Bu yöntemin özü, öncelikle her iki kesirin paydalarının LCM'sinin aranmasıdır. LCM daha sonra ilk ek faktörü elde etmek için ilk kesrin paydasına bölünür. Aynısını ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek faktörlerle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz.

örnek 1. Kesirleri toplayalım ve

Öncelikle her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 2 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.

LCM (2 ve 3) = 6

Şimdi kesirlere dönelim ve . İlk olarak, LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü elde edin. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.

Ortaya çıkan 2 sayısı ilk ek çarpandır. Bunu ilk kesire yazıyoruz. Bunu yapmak için kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek çarpanı yazın:

Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz ve ikinci ek faktörü elde ediyoruz. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.

Ortaya çıkan 3 sayısı ikinci ek çarpandır. Bunu ikinci kesire yazıyoruz. Yine ikinci kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve onun üzerinde bulunan ek çarpanı yazıyoruz:

Artık eklemeye hazır her şeyimiz var. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Geldiğimiz noktaya dikkatlice bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:

Bu örneği tamamlıyor. Eklemek ortaya çıkıyor.

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir tam pizza ve altıda bir pizza daha alırsınız:

Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri ve . Bu iki fraksiyon aynı pizza parçalarıyla temsil edilecek. Tek fark bu sefer eşit paylara bölünecek (aynı paydaya indirgenecek).

İlk çizim bir kesri (altıda dört parça), ikinci çizim ise bir kesri (altıda üç parça) temsil etmektedir. Bu parçaları ekleyerek (altıdan yedi parça) elde ederiz. Bu kısım uygunsuz olduğundan tamamını vurguladık. Sonuç olarak (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza) elde ettik.

Lütfen bu örneği çok ayrıntılı olarak anlattığımızı unutmayın. İÇİNDE Eğitim Kurumları Bu kadar ayrıntılı yazmak alışılmış bir şey değil. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulmanız ve ayrıca bulunan ek faktörleri paylarınız ve paydalarınızla hızlı bir şekilde çarpmanız gerekir. Eğer okulda olsaydık bu örneği şu şekilde yazmamız gerekirdi:

Ama aynı zamanda var arka taraf madalyalar. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında detaylı notlar almazsanız bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden bir anda bambaşka kesirlere dönüşüyor? «.

Farklı paydalara sahip kesirleri toplamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:

  1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
  2. LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör elde edin;
  3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın;
  4. Paydaları aynı olan kesirleri ekleyin;
  5. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun .

Yukarıda verilen talimatları kullanalım.

Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun

Her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır

Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin

LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek faktör olan 6'yı elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası da 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek faktör olan 4'ü elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek faktör 3'ü elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:

Adım 3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın

Pay ve paydaları ek faktörleriyle çarpıyoruz:

Adım 4. Paydaları aynı olan kesirleri toplayın

Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Geriye kalan tek şey bu kesirleri eklemek. Üzerine eklemek:

Ekleme tek satıra sığmadığı için kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Buna matematikte izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) konulması gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.

Adım 5. Cevabın hatalı bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, cevabın tamamını seçin

Cevabımızın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Bir kısmını tam olarak vurgulamamız gerekiyor. Şunları vurguluyoruz:

Bir cevap aldık

Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma

Kesirlerde iki tür çıkarma işlemi vardır:

  1. Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
  2. Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmayı öğrenelim. Burada her şey basit. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız, ancak paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Örneğin ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Bunu yapalım:

Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:

Örnek 2.İfadenin değerini bulun.

Yine birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. İlk kesirin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:

Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işleminde karmaşık bir şey yoktur. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

  1. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
  2. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman onun tamamını vurgulamanız gerekir.

Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Örneğin, kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bir kesirden kesir çıkaramazsınız çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.

Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibin aynısını kullanarak bulunur. Öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, ilk kesrin paydasına bölünür ve ilk kesrin üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci kesrin üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirler ek katsayılarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz.

Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:

Bu kesirlerin paydaları farklı olduğundan onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.

İlk önce her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 4 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.

LCM (3 ve 4) = 12

Şimdi kesirlere dönelim ve

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üstüne bir dört yazın:

Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üç yazın:

Artık çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:

Bir cevap aldık

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Pizzayı pizzadan keserseniz pizza alırsınız

Bu, çözümün ayrıntılı versiyonudur. Okulda olsaydık bu örneği daha kısa çözmek zorunda kalırdık. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:

Kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer eşit paylara bölünecekler (aynı paydaya indirgenmiş):

İlk resim bir kesiri (on ikiden sekizi) gösterirken, ikinci resim bir kesiri (on ikiden üçü) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça kestiğimizde on iki parçadan beş parça elde ediyoruz. Kesir bu beş parçayı tanımlamaktadır.

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu nedenle önce onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.

Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.

Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için LCM'yi her kesrin paydasına bölün.

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölerek ilk ek çarpan 3'ü elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölerek ikinci ek faktör 10'u elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üzerine yazıyoruz:

Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e bölerek üçüncü ek faktör 6'yı elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:

Artık her şey çıkarma işlemine hazır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.

Örneğin devamı tek satıra sığmayacağından devamını bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:

Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı ve her şey bize uygun görünüyor, ancak bu çok hantal ve çirkin. Bunu daha basit hale getirmeliyiz. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.

Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarının (GCD) ile bölmeniz gerekir.

Böylece 20 ve 30 sayılarının gcd'sini buluyoruz:

Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan gcd'ye yani 10'a bölüyoruz.

Bir cevap aldık

Bir kesri bir sayıyla çarpmak

Bir kesri bir sayıyla çarpmak için kesrin payını o sayıyla çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.

örnek 1. Bir kesri 1 sayısıyla çarpın.

Kesrin payını 1 sayısıyla çarpın

Kayıt yarım 1 kez sürüyormuş gibi anlaşılabilir. Örneğin, bir kez pizza yerseniz pizza alırsınız

Çarpma yasalarından biliyoruz ki, çarpan ve çarpan yer değiştirirse çarpım değişmeyecektir. İfade olarak yazılırsa çarpım yine eşit olacaktır. Bir tam sayı ile bir kesri çarpma kuralı yine işe yarar:

Bu notasyon birin yarısını almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 1 tam pizza varsa ve yarısını alırsak pizza elde ederiz:

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Kesrin payını 4 ile çarpın

Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:

İfadeden iki çeyreğin 4 kere alınması şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 4 pizza alırsanız 2 tam pizza alırsınız.

Çarpan ile çarpanı yer değiştirirsek, ifadesini elde ederiz. Bu da 2'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi dört tam pizzadan iki pizzanın alınması şeklinde de anlayabiliriz:

Kesirle çarpılacak sayı ve kesrin paydası, eğer varsa çözümlenir. ortak bölen, birden büyük.

Örneğin bir ifade iki şekilde değerlendirilebilir.

İlk yol. 4 sayısını kesrin payı ile çarpın ve kesrin paydasını değiştirmeden bırakın:

İkinci yol. Çarpılan dört ve kesrin paydasındaki dört azaltılabilir. İki dördün en büyük ortak böleni dördün kendisi olduğundan bu dörtler 4'e indirgenebilir:

Aynı sonucu elde ettik 3. Dörtleri indirdikten sonra onların yerine yeni sayılar oluşuyor: iki bir. Ama birini üçle çarpıp bire bölmek hiçbir şeyi değiştirmez. Bu nedenle çözüm kısaca şöyle yazılabilir:

İlk yöntemi kullanmaya karar verdiğimizde bile azaltma yapılabilir, ancak 4 sayısı ile pay 3'ün çarpılması aşamasında indirgemeyi kullanmaya karar verdik:

Ancak örneğin, ifade yalnızca ilk şekilde hesaplanabilir - 7'yi kesrin paydasıyla çarpın ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Bunun nedeni, 7 sayısı ile kesrin paydasının birden büyük ortak böleninin olmaması ve dolayısıyla birbirini götürmemesidir.

Bazı öğrenciler çarpılacak sayıyı ve kesrin payını yanlışlıkla kısaltırlar. Bunu yapamazsın. Örneğin aşağıdaki girdi doğru değil:

Bir kesrin azaltılması şu anlama gelir: hem pay hem de payda aynı sayıya bölünecektir. İfade durumunda bölme işlemi sadece payda yapılır, çünkü yazmak yazmakla aynı şeydir. Bölmenin sadece payda yapıldığını, paydada bölme yapılmadığını görüyoruz.

Kesirlerin Çarpılması

Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, onun tamamını vurgulamanız gerekir.

Örnek 1.İfadenin değerini bulun.

Bir cevap aldık. Bu oranın azaltılması tavsiye edilir. Kesir 2 oranında azaltılabilir. Daha sonra nihai çözüm aşağıdaki formu alacaktır:

İfade yarım pizzadan pizza almak şeklinde anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? Öncelikle bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:

Ve bu üç parçadan ikisini alın:

Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde pizzanın nasıl göründüğünü unutmayın:

Bu pizzanın bir parçası ile aldığımız iki parça aynı boyutlara sahip olacak:

Başka bir deyişle, Hakkında konuşuyoruz yaklaşık aynı büyüklükte pizza. Bu nedenle ifadenin değeri

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:

Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:

Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı, ancak kısaltılması iyi olurdu. Bu kesri azaltmak için, bu kesrin payını ve paydasını 105 ve 450 sayılarının en büyük ortak bölenine (GCD) bölmeniz gerekir.

O halde 105 ve 450 sayılarının gcd'sini bulalım:

Şimdi cevabımızın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz gcd'ye, yani 15'e bölüyoruz.

Bir tam sayıyı kesir olarak gösterme

Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin 5 sayısı şu şekilde gösterilebilir. Bu beşin anlamını değiştirmez çünkü ifade “beş sayısının bire bölümü” anlamına gelir ve bu da bildiğimiz gibi beşe eşittir:

Karşılıklı sayılar

Şimdi çok tanışacağız ilginç konu Matematikte. Buna "ters sayılar" denir.

Tanım. Numaraya geri dönA ile çarpıldığında bir sayıdırA bir tane verir.

Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım A 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:

Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir tane verir.

5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulunabilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Beşi kesir olarak düşünelim:

Daha sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Yani kesri kendisiyle ancak tersten çarpalım:

Bunun sonucunda ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek şunu elde ederiz:

Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5'i çarptığınızda bir elde edersiniz.

Bir sayının tersi herhangi bir tam sayı için de bulunabilir.

Ayrıca herhangi bir kesrin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmeniz yeterlidir.

Bir kesri bir sayıya bölmek

Diyelim ki yarım pizzamız var:

İkiye eşit olarak paylaştıralım. Kişi başına ne kadar pizza verilecek?

Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri birer pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülüyor. Böylece herkes pizza alır.

Farklı paydalara sahip kesirleri toplama kuralları çok basittir.

Farklı paydalara sahip kesirleri adım adım toplama kurallarına bakalım:

1. Paydaların LCM'sini (en küçük ortak katını) bulun. Ortaya çıkan NOC, ortak payda kesirler;

2. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin;

3. Ortak bir paydaya indirgenmiş kesirleri ekleyin.

Açık basit örnek Farklı paydalara sahip kesirleri toplama kurallarını nasıl uygulayacağımızı öğrenelim.

Örnek

Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanmasına bir örnek.

Farklı paydalara sahip kesirler ekleyin:

1 + 5
6 12

Adım adım karar vereceğiz.

1. Paydaların LCM'sini (en küçük ortak katını) bulun.

12 sayısı 6'ya bölünür.

Buradan 12'nin, 6 ve 12 sayılarının en küçük ortak katı olduğu sonucuna varırız.

Cevap: 6 ve 12 sayılarının sayısı 12'dir:

LCM(6, 12) = 12

Ortaya çıkan LCM, 1/6 ve 5/12 olmak üzere iki kesrin ortak paydası olacaktır.

2. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

Örneğimizde, yalnızca ilk kesirin ortak paydası 12'ye indirgenmesi gerekiyor çünkü ikinci kesirin paydası zaten 12'dir.

12'nin ortak paydasını ilk kesrin paydasına bölün:

2'nin ek bir çarpanı vardır.

İlk kesrin payını ve paydasını (1/6) ek olarak 2 faktörüyle çarpın.

Kesirli ifadeleri bir çocuğun anlaması zordur. Çoğu insan bu konuda zorluk yaşıyor. "Tam sayılarla kesirleri toplama" konusunu incelerken çocuk şaşkına döner ve sorunu çözmekte zorlanır. Birçok örnekte, bir eylemi gerçekleştirmeden önce bir dizi hesaplamanın yapılması gerekir. Örneğin, kesirleri dönüştürün veya uygun olmayan bir kesri uygun bir kesire dönüştürün.

Çocuğa bunu açıkça anlatalım. İkisi bütün olacak üç elmayı alıp üçüncüsünü 4 parçaya bölelim. Kesilmiş elmanın bir dilimini ayırın ve kalan üçünü iki tam meyvenin yanına yerleştirin. Bir tarafta elmanın ¼'ünü, diğer tarafta 2 ¾'ünü alıyoruz. Bunları birleştirirsek üç elma elde ederiz. 2 ¾ elmayı ¼ oranında azaltmaya çalışalım, yani bir dilim daha çıkaralım, 2 2/4 elma elde ederiz.

Tam sayı içeren kesirlerle işlemlere daha yakından bakalım:

Öncelikle ortak paydalı kesirli ifadeler için hesaplama kuralını hatırlayalım:

İlk bakışta her şey kolay ve basittir. Ancak bu yalnızca dönüştürme gerektirmeyen ifadeler için geçerlidir.

Paydaların farklı olduğu bir ifadenin değeri nasıl bulunur?

Bazı görevlerde paydaların farklı olduğu bir ifadenin anlamını bulmanız gerekir. Belirli bir duruma bakalım:
3 2/7+6 1/3

İki kesrin ortak paydasını bularak bu ifadenin değerini bulalım.

7 ve 3 sayıları için bu 21'dir. Tamsayı kısımları aynı bırakıp kesirli kısımları 21'e getiririz, bunun için ilk kesri 3 ile ikinciyi 7 ile çarparız, şunu elde ederiz:
6/21+7/21, tüm parçaların dönüştürülemeyeceğini unutmayın. Sonuç olarak, aynı paydaya sahip iki kesir elde ediyoruz ve toplamlarını hesaplıyoruz:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Toplamanın sonucu zaten tamsayı kısmı olan uygunsuz bir kesir ise:
2 1/3+3 2/3
İÇİNDE bu durumda Tüm parçaları ve kesirli parçaları toplarsak şunu elde ederiz:
5 3/3, bildiğiniz gibi 3/3 birdir, yani 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Toplamı bulmak gayet açık, hadi çıkarma işlemine bakalım:

Söylenenlerin hepsinden, karışık sayılarla yapılan işlemlere ilişkin kural şöyledir:

  • Kesirli bir ifadeden tamsayı çıkarmanız gerekiyorsa ikinci sayıyı kesir olarak göstermenize gerek yoktur, işlemi yalnızca tamsayı kısımlarında yapmanız yeterlidir.

İfadelerin anlamını kendimiz hesaplamaya çalışalım:

“m” harfinin altındaki örneğe daha yakından bakalım:

4 5/11-2 8/11, birinci kesrin payı ikinciden küçüktür. Bunu yapmak için ilk kesirden bir tamsayı ödünç alırız, şunu elde ederiz:
3 5/11+11/11=3 tam 16/11, ikinciyi birinci kesirden çıkarın:
3 16/11-2 8/11=1 tam 8/11

  • Görevi tamamlarken dikkatli olun, tüm kısmı vurgulayarak uygunsuz kesirleri karışık kesirlere dönüştürmeyi unutmayın. Bunu yapmak için payın değerini paydanın değerine bölmeniz gerekir, sonra olan tüm parçanın yerini alır, geri kalan pay olacaktır, örneğin:

19/4=4 ¾, kontrol edelim: 4*4+3=19, payda 4 değişmeden kalıyor.

Özetle:

Kesirlerle ilgili bir göreve başlamadan önce bunun nasıl bir ifade olduğunu, çözümün doğru olabilmesi için kesir üzerinde ne gibi dönüşümler yapılması gerektiğini analiz etmek gerekir. Daha fazlasını arayın rasyonel yolçözümler. Zor yola gitmeyin. Tüm aksiyonları planlayın, önce karar verin taslak, ardından bunu okul not defterinize aktarın.

Kesirli ifadeleri çözerken karışıklığı önlemek için tutarlılık kuralına uymalısınız. Acele etmeden her şeye dikkatlice karar verin.

Kesirli eylemler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye.

Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, her şey sıradan sayılarla aynı. Ekle, çıkar, çarp, böl.

Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir.

Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.

Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Hatırlatmama izin ver: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma.

Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:

Kısacası, Genel görünüm:

Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin:

Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için rahatsız edici, 4/10'u ise gerçekten sorun değil.

Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun.

Başka bir örnek:

Durum benzer. Burada 16 üzerinden 48 yapıyoruz. Basit çarpma ile saat 3'te. Her şey açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık:

Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna “ortak bir paydaya indirgemek” denir:

Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir!

Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin:

Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb.

Bu arada 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak...

Örneği kendiniz tamamlayın. Bir çeşit logaritma değil... 29/16 olmalı.

Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ama bu zevk, alt sınıflarda dürüst çalışan ve hiçbir şeyi unutmayanlar için geçerlidir.

Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Yeni komisyon burada ortaya çıkacak, evet...

Bu nedenle iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:

Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma işlemi! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (iyi olur!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Yani kesrin doğrusunu yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra ekliyoruz ve unutmamak için paydaların çarpımını aşağıya yazıyoruz:

Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki x(x+1) paydasını elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Bu ne olsun:

Not! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil...

Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerde olduğu gibi, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açıyoruz yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz:

Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar, tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar!

Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca uğraşır, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Şöyle: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesir olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)

Hesaplamak:

Cevaplar (karışıklık içinde):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Pay ve paydayı bulun. Bir kesir iki sayı içerir: Çizginin üstünde bulunan sayıya pay, çizginin altında bulunan sayıya ise payda denir. Payda, bir bütünün bölündüğü toplam parça sayısını, pay ise dikkate alınan parçaların sayısını belirtir.

  • Örneğin ½ kesirinde pay 1, payda 2'dir.

Paydayı belirleyin.İki veya daha fazla kesrin ortak paydası varsa, bu kesirlerin çizgi altında aynı numarası vardır, yani bu durumda belirli bir bütün aynı sayıda parçaya bölünür. Ortak paydaya sahip kesirlerin eklenmesi çok basittir çünkü toplanan kesrin paydası, eklenen kesirlerle aynı olacaktır. Örneğin:

  • 3/5 ve 2/5 kesirlerinin ortak paydası 5'tir.
  • 3/8, 5/8, 17/8 kesirlerinin ortak paydası 8'dir.

  • Payları belirleyin. Ortak paydalı kesirleri toplamak için paylarını toplayın ve sonucu, eklenen kesirlerin paydasının üstüne yazın.

    • 3/5 ve 2/5 kesirlerinin payları 3 ve 2'dir.
    • 3/8, 5/8, 17/8 kesirlerinin payları 3, 5, 17'dir.

  • Payları toplayın. 3/5 + 2/5 probleminde, 3 + 2 = 5 paylarını ekleyin. 3/8 + 5/8 + 17/8 probleminde, 3 + 5 + 17 = 25 paylarını ekleyin.

  • Toplam kesri yazın. Ortak paydalı kesirleri eklerken değişmeden kaldığını unutmayın; yalnızca paylar eklenir.

    • 3/5 + 2/5 = 5/5
    • 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

  • Gerekirse kesri dönüştürün. Bazen bir kesir, kesir ya da kesir yerine tam sayı olarak yazılabilir. ondalık. Örneğin, payı paydasına eşit olan her kesir 1 olduğundan 5/5 kesri kolayca 1'e dönüştürülür. Bir pastanın üç parçaya bölündüğünü hayal edin. Eğer üç parçayı da yerseniz, pastanın tamamını yemiş olursunuz.

    • Herhangi bir kesir ondalık sayıya dönüştürülebilir; Bunu yapmak için payı paydaya bölün. Örneğin 5/8 kesri şu şekilde yazılabilir: 5 ÷ 8 = 0,625.

  • Mümkünse kesri basitleştirin. Basitleştirilmiş kesir, pay ve paydasının ortak çarpanları olmayan kesirdir.

    • Örneğin 3/6 kesirini düşünün. Burada hem pay hem de paydanın ortak böleni 3'tür, yani pay ve payda 3'e tamamen bölünebilir. Dolayısıyla 3/6 kesri şu şekilde yazılabilir: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .

  • Gerekirse uygunsuz bir kesri karışık bir kesire (karışık sayı) dönüştürün. Uygun olmayan bir kesirin payı paydasından daha büyüktür, örneğin 25/8 (doğru bir kesirin payı paydadan daha az). Uygunsuz bir kesir, bir tamsayı kısmından (yani bir tam sayı) ve bir kesir kısmından (yani uygun bir kesirden) oluşan karışık bir kesire dönüştürülebilir. 25/8 gibi uygunsuz bir kesri karışık sayıya dönüştürmek için şu adımları izleyin:

    • Uygunsuz bir kesrin payını paydasına bölün; kısmi bölümü (tüm cevap) yazın. Örneğimizde: 25 ÷ 8 = 3 artı bir miktar kalan. Bu durumda cevabın tamamı karışık sayının tam kısmıdır.
    • Geri kalanı bulun. Örneğimizde: 8 x 3 = 24; elde edilen sonucu orijinal paydan çıkarın: 25 - 24 = 1, yani kalan 1'dir. Bu durumda kalan, karışık sayının kesirli kısmının payıdır.
    • Karışık bir kesir yazın. Payda değişmez (yani bileşik kesrin paydasına eşittir), yani 25/8 = 3 1/8.