Sayıların ortak katı. Çevrimiçi hesap makinesi GCD ve LCM'yi bulma (hesaplama)

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A- belirli bir sayıyı bölen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.

Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 ​​da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır; bu durumda bu 90. Bu sayıya denir en küçükortak kat (CMM).

LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.

En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.

Değişebilirlik:

İlişkisellik:

Özellikle, ve eş asal sayılar ise, o zaman:

İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).

Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).

Dağıtım kanunundan ne çıkar? asal sayılar.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:

Nerede p 1 ,...,pk- çeşitli asal sayılar ve d 1 ,...,dk Ve e 1 ,...,ek— negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).

Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;

- en büyük ayrıştırmayı (verilenlerin en büyük sayısının faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın ve ardından ilk sayıda görünmeyen veya içinde yer almayan diğer sayıların ayrıştırılmasından faktörleri ekleyin daha az kez;

— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayılar kendi NOC'leri var. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının asal çarpanları (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) ile tamamlanır, elde edilen çarpım (84) şu şekilde olur: en küçük sayı 21 ve 28'e bölünebilen sayıdır.

Asal faktörler Daha 30'a 25 sayısının 5 çarpanı eklenirse, elde edilen 150 çarpımı en büyük sayı olan 30'dan büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu en az ürün verilen tüm sayıların katı olduğu olası (150, 250, 300...)

2,3,11,37 sayıları asal sayılar olduğundan LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.

Kural. Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birbiriyle çarpmanız gerekir.

Başka seçenek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için ihtiyacınız olan:

1) her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil edin, örneğin:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Tüm asal faktörlerin kuvvetlerini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu sayıların her birinin asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;

4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;

5) bu güçleri çarpın.

Örnek. 168, 180 ve 3024 sayılarının LCM'sini bulun.

Çözüm. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

biz yazıyoruz en büyük dereceler tüm asal bölenleri bulun ve bunları çarpın:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Çevrimiçi bir hesap makinesi, en büyüğü hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar ortak bölen ve iki sayının veya başka herhangi bir sayının en küçük ortak katı.

GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi

GCD ve LOC'yi bulun

Bulunan GCD ve LOC: 5806

Hesap makinesi nasıl kullanılır?

• Giriş alanına sayıları girin
• Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
• "GCD ve LOC Bul" düğmesini tıklayın

Sayılar nasıl girilir

• Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
• Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, dolayısıyla uzun sayıların GCD'sini ve LCM'sini bulmak zor değil

GCD ve NOC nedir?

En büyük ortak böleni birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En küçük ortak Kat Birkaç sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.

Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.

Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler

1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Son rakama bakıyoruz: 8 - bu, sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.

2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı üçe bölünüyor.

3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.

4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.

İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının gcd'si nasıl bulunur

En basit bir şekildeİki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve içlerinden en büyüğünü seçmektir.

Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:

1. Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Ortak faktörleri, yani her iki sayının da sahip olduğu faktörleri buluyoruz: 1, 2 ve 2.
3. Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

İki sayının LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.

LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:

1. 28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
2. OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma

En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bunun için en büyük ortak böleni bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrıştırılır ve bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımı bulunur. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).

Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.

1. Öncelikle sayıları çarpanlara ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
3. Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
4. Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
5. Her üç sayının da LCM'sini bulmak için GCD(96, 36)'yı bulmanız gerekir: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

“LCM - en küçük ortak kat, tanım, örnekler” bölümünde başlattığımız en küçük ortak kat hakkındaki sohbete devam edelim. Bu konu başlığımızda üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmanın yollarına bakacağız ve negatif bir sayının LCM'si nasıl bulunur sorusuna bakacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD Aracılığıyla En Küçük Ortak Katın (LCM) Hesaplanması

En küçük ortak kat ile en büyük ortak bölen arasındaki ilişkiyi zaten kurmuştuk. Şimdi GCD aracılığıyla LCM'nin nasıl belirleneceğini öğrenelim. Öncelikle bunu nasıl yapacağımızı bulalım pozitif sayılar.

Tanım 1

LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) formülünü kullanarak en küçük ortak katı en büyük ortak bölenden bulabilirsiniz.

örnek 1

126 ve 70 sayılarının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

a = 126, b = 70'i alalım. En büyük ortak bölen LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) aracılığıyla en küçük ortak katı hesaplamak için değerleri formüle koyalım.

70 ve 126 sayılarının gcd'sini bulur. Bunun için Öklid algoritmasına ihtiyacımız var: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, dolayısıyla GCD (126 , 70) = 14 .

LCM'yi hesaplayalım: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Cevap: LCM(126, 70) = 630.

Örnek 2

68 ve 34 sayısını bulun.

Çözüm

Bu durumda GCD'yi bulmak zor değil çünkü 68 34'e bölünebilir. En küçük ortak katı şu formülü kullanarak hesaplayalım: LCM (68, 34) = 68 34: OBEB (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Cevap: LCM(68, 34) = 68.

Bu örnekte, a ve b pozitif tam sayılarının en küçük ortak katını bulma kuralını kullandık: eğer ilk sayı ikinciye bölünebiliyorsa, bu sayıların LCM'si ilk sayıya eşit olacaktır.

Sayıları asal faktörlere ayırarak LCM'yi bulma

Şimdi sayıları asal çarpanlarına ayırmaya dayanan LCM'yi bulma yöntemine bakalım.

Tanım 2

En küçük ortak katı bulmak için birkaç basit adım uygulamamız gerekir:

• LCM'yi bulmamız gereken sayıların tüm asal faktörlerinin çarpımını oluştururuz;
• tüm asal faktörleri bunların ortaya çıkan ürünlerinden hariç tutuyoruz;
• ortak asal faktörleri çıkardıktan sonra elde edilen ürün, verilen sayıların LCM'sine eşit olacaktır.

En küçük ortak katı bulmanın bu yöntemi, LCM (a, b) = a · b: OBEB (a, b) eşitliğine dayanır. Formüle bakarsanız, netleşecektir: a ve b sayılarının çarpımı, bu iki sayının ayrışmasına katılan tüm faktörlerin çarpımına eşittir. Bu durumda iki sayının gcd'si, bu iki sayının çarpanlara ayrılmasında aynı anda bulunan tüm asal çarpanların çarpımına eşittir.

Örnek 3

75 ve 210 olmak üzere iki sayımız var. Bunları şu şekilde çarpanlara ayırabiliriz: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. İki orijinal sayının tüm faktörlerinin çarpımını oluşturursanız şunu elde edersiniz: 2 3 3 5 5 5 7.

Hem 3 hem de 5 sayılarının ortak çarpanlarını hariç tutarsak, aşağıdaki biçimde bir çarpım elde ederiz: 2 3 5 5 7 = 1050. Bu ürünümüz 75 ve 210 numaralar için LCM olacaktır.

Örnek 4

Sayıların LCM'sini bulun 441 Ve 700 , her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırıyoruz.

Çözüm

Koşulda verilen sayıların tüm asal çarpanlarını bulalım:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

İki sayı zinciri elde ederiz: 441 = 3 3 7 7 ve 700 = 2 2 5 5 7.

Bu sayıların ayrıştırılmasına katılan tüm faktörlerin çarpımı şu şekilde olacaktır: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ortak faktörleri bulalım. Bu 7 numara. Bunu toplam üründen hariç tutalım: 2 2 3 3 5 5 7 7. Görünüşe göre NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Cevap: LOC(441, 700) = 44,100.

Sayıları asal çarpanlara ayırarak LCM'yi bulma yönteminin başka bir formülasyonunu verelim.

Tanım 3

Daha önce, her iki sayı için ortak olan toplam faktör sayısını hariç tutuyorduk. Şimdi bunu farklı şekilde yapacağız:

• Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım:
• birinci sayının asal çarpanlarının çarpımına ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyin;
• iki sayının istenen LCM'si olacak ürünü elde ederiz.

Örnek 5

Önceki örneklerden birinde LCM'yi aradığımız 75 ve 210 sayılarına dönelim. Bunları basit faktörlere ayıralım: 75 = 3 5 5 Ve 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ve faktörlerin çarpımına 5 75 sayısı eksik faktörleri topluyor 2 Ve 7 Sayılar 210. Şunu elde ederiz: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Bu, 75 ve 210 sayılarının LCM'sidir.

Örnek 6

84 ve 648 sayılarının LCM'sini hesaplamak gerekir.

Çözüm

Koşuldaki sayıları basit çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7 Ve 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Çarpıma 2, 2, 3 ve 3 çarpanlarını ekleyelim. 7 sayı 84'te 2, 3, 3 ve 3'ün çarpanları eksik
3 648 numara. Ürünü alıyoruz 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Bu 84 ve 648'in en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 648) = 4,536.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulma

Kaç sayıyla uğraştığımıza bakılmaksızın, eylemlerimizin algoritması her zaman aynı olacaktır: iki sayının LCM'sini sırayla bulacağız. Bu durum için bir teorem var.

Teorem 1

Tamsayılarımız olduğunu varsayalım a 1 , a 2 , … , a k. NOC mk bu sayılar sırasıyla m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) hesaplanarak bulunur.

Şimdi teoremin belirli problemleri çözmek için nasıl uygulanabileceğine bakalım.

Örnek 7

140, 9, 54 ve 4 sayının en küçük ortak katını hesaplamanız gerekir. 250 .

Çözüm

Şu gösterimi tanıtalım: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9)'u hesaplayarak başlayalım. 140 ve 9 sayılarının OBEB'sini hesaplamak için Öklid algoritmasını uygulayalım: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Şunu elde ederiz: OBEB (140, 9) = 1, OBEB (140, 9) = 140 9: OBEB (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Dolayısıyla m2 = 1.260.

Şimdi aynı algoritmayı kullanarak hesaplayalım m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Hesaplamalar sırasında m 3 = 3 780 elde ederiz.

Sadece m4 = LCM (m3, a4) = LCM (3 780, 250) hesaplamamız gerekiyor. Aynı algoritmayı takip ediyoruz. m4 = 94 500 elde ederiz.

Örnek koşuldaki dört sayının LCM'si 94500'dür.

Cevap: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Gördüğünüz gibi hesaplamalar basit ama oldukça emek yoğun. Zamandan tasarruf etmek için başka bir yola gidebilirsiniz.

Tanım 4

Size aşağıdaki eylem algoritmasını sunuyoruz:

• tüm sayıları asal çarpanlara ayırıyoruz;
• birinci sayının çarpanlarının çarpımına ikinci sayının çarpımından eksik çarpanları ekliyoruz;
• önceki aşamada elde edilen ürüne üçüncü sayının vb. eksik faktörlerini ekliyoruz;
• ortaya çıkan çarpım, koşuldaki tüm sayıların en küçük ortak katı olacaktır.

Örnek 8

84, 6, 48, 7, 143 numaralı beş sayının LCM'sini bulmanız gerekiyor.

Çözüm

Beş sayının tümünü asal çarpanlara ayıralım: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Asal sayılar yani 7 sayısı asal faktörlere dahil edilemez. Bu sayılar asal faktörlere ayrıştırılmalarıyla örtüşmektedir.

Şimdi 84 sayısının 2, 2, 3 ve 7 asal çarpanlarının çarpımını alıp bunlara ikinci sayının eksik çarpanlarını ekleyelim. 6 sayısını 2 ve 3'e ayırdık. Bu faktörler zaten ilk sayının çarpımındadır. Bu nedenle bunları atlıyoruz.

Eksik çarpanları eklemeye devam ediyoruz. Asal çarpanları 2 ile 2'nin çarpımından aldığımız 48 sayısına geçelim. Daha sonra dördüncü sayıdan 7'nin asal çarpanını ve beşincinin 11 ve 13'ünün çarpanlarını toplarız. Şunu elde ederiz: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Bu, orijinal beş sayının en küçük ortak katıdır.

Cevap: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Negatif sayıların en küçük ortak katını bulma

En küçük ortak katı bulmak için negatif sayılar, bu sayıların önce ters işaretli sayılarla değiştirilmesi, ardından yukarıdaki algoritmalar kullanılarak hesaplamaların yapılması gerekir.

Örnek 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ve LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Bu tür eylemlere izin verilir çünkü eğer bunu kabul edersek A Ve - bir– zıt sayılar,
daha sonra bir sayının katları kümesi A bir sayının katları kümesiyle eşleşir - bir.

Örnek 10

Negatif sayıların LCM'sini hesaplamak gerekir − 145 Ve − 45 .

Çözüm

Sayıları değiştirelim − 145 Ve − 45 zıt sayılarına 145 Ve 45 . Şimdi, algoritmayı kullanarak, daha önce Öklid algoritmasını kullanarak GCD'yi belirleyerek LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305'i hesaplıyoruz.

Sayıların LCM'sinin -145 olduğunu anlıyoruz ve − 45 eşittir 1 305 .

Cevap: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için öncelikle "çoklu" teriminin anlamını belirlemelisiniz.

A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır. Dolayısıyla, 5'in katı olan sayılar 15, 20, 25 vb. olarak kabul edilebilir.

Belirli bir sayının sınırlı sayıda böleni olabilir, ancak sonsuz sayıda katı vardır.

Doğal sayıların ortak katı, kendilerine kalan bırakmadan bölünebilen sayıdır.

Sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur

Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların tümüne bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

LOC'yi bulmak için çeşitli yöntemler kullanabilirsiniz.

Küçük sayılar için, aralarında ortak bir şey bulana kadar bu sayıların tüm katlarını bir satıra yazmak uygundur. Katlar büyük harf K ile gösterilir.

Örneğin 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:

K(4) = (8,12,16,20,24,...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Böylece 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 24 sayısı olduğunu görebilirsiniz. Bu gösterim şu şekilde yapılır:

LCM(4, 6) = 24

Sayılar büyükse, üç veya daha fazla sayının ortak katını bulun, o zaman LCM'yi hesaplamak için başka bir yöntem kullanmak daha iyidir.

Görevi tamamlamak için verilen sayıları asal faktörlere ayırmanız gerekir.

Öncelikle en büyük sayının ayrıştırılmasını bir satıra ve altına - gerisini yazmanız gerekir.

Her sayının ayrıştırılması farklı sayıda faktör içerebilir.

Örneğin 50 ve 20 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

Küçük sayının açılımında, ilk en büyük sayının açılımında eksik olan faktörleri vurgulayıp sonra bunları ona eklemelisiniz. Sunulan örnekte bir iki eksik.

Artık 20 ve 50'nin en küçük ortak katını hesaplayabilirsiniz.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Böylece büyük sayının asal çarpanları ile ikinci sayının büyük sayının açılımına dahil edilmeyen çarpanlarının çarpımı en küçük ortak kat olacaktır.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için, önceki durumda olduğu gibi hepsini asal çarpanlara ayırmalısınız.

Örnek olarak 16, 24, 36 sayılarının en küçük ortak katını bulabilirsiniz.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Bu nedenle, daha büyük bir sayının çarpanlara ayrılmasına on altının açılımından yalnızca iki iki dahil edilmedi (bir, yirmi dördün açılımındadır).

Bu nedenle daha büyük bir sayının açılımına eklenmeleri gerekir.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

En küçük ortak katın belirlenmesinde özel durumlar vardır. Yani, eğer sayılardan biri diğerine kalansız bölünebiliyorsa, bu sayılardan büyük olanı en küçük ortak kat olacaktır.

Örneğin on iki ve yirmi dört sayısının LCM'si yirmi dörttür.

Aynı bölenlere sahip olmayan eş asal sayıların en küçük ortak katını bulmak gerekiyorsa, bunların LCM'leri çarpımlarına eşit olacaktır.

Örneğin, LCM (10, 11) = 110.

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A- belirli bir sayıyı bölen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.

Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 ​​da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır, bu durumda 90'dır. Bu sayıya denir. en küçükortak kat (CMM).

LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.

En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.

Değişebilirlik:

İlişkisellik:

Özellikle, ve eş asal sayılar ise, o zaman:

İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).

Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).

Asal sayıların dağılım kanunundan çıkan sonuç.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:

Nerede p 1 ,...,pk- çeşitli asal sayılar ve d 1 ,...,dk Ve e 1 ,...,ek— negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).

Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;

- en büyük ayrıştırmayı (verilenlerin en büyük sayısının faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın ve ardından ilk sayıda görünmeyen veya içinde yer almayan diğer sayıların ayrıştırılmasından faktörleri ekleyin daha az kez;

— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının asal çarpanlarına (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) eklenir, elde edilen çarpım (84), 21 ve 28'e bölünebilen en küçük sayı olacaktır.

En büyük 30 sayısının asal çarpanları, 25 sayısının 5 çarpanı ile tamamlanır; sonuçta ortaya çıkan 150 çarpımı, en büyük 30 sayısından büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu, verilen tüm sayıların katı olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300...).

2,3,11,37 sayıları asal sayılar olduğundan LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.

Kural. Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birbiriyle çarpmanız gerekir.

Başka seçenek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için ihtiyacınız olan:

1) her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil edin, örneğin:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Tüm asal faktörlerin kuvvetlerini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu sayıların her birinin asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;

4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;

5) bu güçleri çarpın.

Örnek. 168, 180 ve 3024 sayılarının LCM'sini bulun.

Çözüm. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Tüm asal bölenlerin en büyük kuvvetlerini yazıp çarpıyoruz:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.