Koordinat çizgisi (sayı doğrusu), koordinat ışını. Koordinat çizgisi

Yani bir birim parça ve onun onuncu, yüzüncü vb. parçaları, koordinat çizgisinin son parçaya karşılık gelecek noktalarına ulaşmamızı sağlar. ondalık sayılar(önceki örnekte olduğu gibi). Ancak koordinat çizgisi üzerinde ulaşamadığımız ama bir birim parçanın sonsuz küçük bir kesrine kadar gittikçe küçülenleri kullanarak istediğimiz kadar yaklaşabileceğimiz noktalar vardır. Bu noktalar sonsuz periyodik ve periyodik olmayan ondalık kesirlere karşılık gelir. Birkaç örnek verelim. Koordinat doğrusu üzerindeki bu noktalardan biri 3.711711711...=3,(711) sayısına karşılık gelir. Bu noktaya yaklaşmak için 3 birim parça ayırmanız gerekir; bir birim parçanın 7 onda biri, 1 yüzde biri, 1 binde biri, 7 on binde biri, 1 yüz binde biri, 1 milyonda biri vb. Koordinat doğrusu üzerindeki bir başka nokta da pi'ye (π=3.141592...) karşılık gelir.

Gerçel sayılar kümesinin elemanlarının tümü sonlu ve sonsuz ondalık kesirler şeklinde yazılabilen sayılar olduğundan, bu paragrafta yukarıda sunulan tüm bilgiler, her noktaya belirli bir gerçek sayı atadığımızı ifade etmemizi sağlar. Koordinat çizgisinin farklı noktalarının farklı gerçek sayılara karşılık geldiği açıktır.

Bu yazışmaların birebir olduğu da oldukça açık. Yani, bir reel sayıyı koordinat doğrusu üzerindeki belirli bir noktayla ilişkilendirebiliriz, ancak aynı zamanda belirli bir durum için de bunu yapabiliriz. gerçek Numara Belirli bir gerçek sayının karşılık geldiği koordinat çizgisi üzerinde belirli bir noktayı belirtin. Bunu yapmak için, geri sayımın başlangıcından itibaren istenen yönde belirli sayıda birim segmentin yanı sıra bir birim segmentin onda biri, yüzde biri vb. kesirlerini bir kenara ayırmamız gerekecek. Örneğin 703.405 sayısı koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir ve bu noktaya orijinden itibaren pozitif yönde 703 birim parça, bir birimin onda birini oluşturan 4 parça ve bir birimin binde birini oluşturan 5 parça çizilerek ulaşılabilir. .

Yani koordinat doğrusu üzerindeki her noktaya bir gerçel sayı vardır ve her gerçel sayının da koordinat doğrusu üzerinde bir nokta şeklinde yeri vardır. Koordinat çizgisinin sıklıkla çağrılmasının nedeni budur. sayı doğrusu.

Koordinat çizgisi üzerindeki noktaların koordinatları

Koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelen sayıya ne denir bu noktanın koordinatı.

Bir önceki paragrafta her reel sayının koordinat doğrusu üzerinde tek bir noktaya karşılık geldiğini, dolayısıyla bir noktanın koordinatının o noktanın koordinat doğrusu üzerindeki konumunu benzersiz olarak belirlediğini söylemiştik. Başka bir deyişle, bir noktanın koordinatı, koordinat doğrusu üzerinde bu noktayı benzersiz şekilde tanımlar. Öte yandan, koordinat doğrusu üzerindeki her nokta tek bir gerçek sayıya, yani bu noktanın koordinatına karşılık gelir.

Geriye söylenecek tek şey kalıyor kabul edilen notasyonlar. Noktanın koordinatı, noktayı temsil eden harfin sağında parantez içinde yazılır. Örneğin, M noktası -6 koordinatına sahipse, M(-6) yazabilirsiniz ve formun gösterimi, koordinat doğrusu üzerindeki M noktasının koordinatına sahip olduğu anlamına gelir.

Kaynakça.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik: 5. sınıf ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. Eğitim Kurumları.

Açık bu ders Koordinat çizgisi kavramını tanıyacağız ve onun temel özelliklerini ve özelliklerini türeteceğiz. Ana sorunları formüle edelim ve çözmeyi öğrenelim. Bu problemleri birleştirmenin birkaç örneğini çözelim.

Geometri dersinden düz bir çizginin ne olduğunu biliyoruz, ancak sıradan bir düz çizginin koordinat çizgisi haline gelmesi için ne yapılması gerekiyor?

1) Başlangıç ​​noktasını seçin;

2) Bir yön seçin;

3) Ölçeği seçin;

Şekil 1 normal bir çizgiyi, Şekil 2 ise bir koordinat çizgisini göstermektedir.

Koordinat çizgisi, üzerinde O başlangıç ​​noktasının seçildiği bir çizgidir - referansın kökeni, ölçek bir birim bölümdür, yani uzunluğu bire eşit kabul edilen bir bölüm ve pozitif bir yöndür.

Koordinat çizgisine koordinat ekseni veya X ekseni de denir.

Koordinat çizgisine neden ihtiyaç duyulduğunu bulalım; bunu yapmak için onun ana özelliğini tanımlayacağız. Koordinat çizgisi, tüm sayılar kümesi ile bu doğru üzerindeki tüm noktalar kümesi arasında bire bir yazışma kurar. İşte bazı örnekler:

İki sayı verilmiştir: (“+” işareti, modül üçe eşittir) ve (işareti “-”, modül üçe eşittir).

Burada sayıya A koordinatı, sayıya B koordinatı denir.

Ayrıca bir sayının görüntüsünün koordinatlı C noktası ve bir sayının görüntüsünün koordinatlı D noktası olduğunu söylüyorlar:

Dolayısıyla, koordinat çizgisinin ana özelliği, noktalar ve sayılar arasında bire bir yazışmanın kurulması olduğundan, iki ana görev ortaya çıkar: belirli bir sayı ile bir noktayı belirtmek, bunu yukarıda zaten yaptık ve belirtmek Belirli bir noktaya göre bir sayı. İkinci görevin bir örneğine bakalım:

M noktası verilsin:

Belirli bir noktadan bir sayı belirlemek için öncelikle orijinden noktaya olan mesafeyi belirlemeniz gerekir. İÇİNDE bu durumda mesafe ikidir. Şimdi sayının işaretini, yani M noktasının düz çizginin hangi ışınında bulunduğunu belirlemeniz gerekir. Bu durumda nokta, pozitif ışında orijinin sağında yer alır, bu da sayının olacağı anlamına gelir. “+” işareti bulunur.

Başka bir noktayı alalım ve onu sayıyı belirlemek için kullanalım:

Orijinden noktaya olan mesafe benzerdir önceki örnek ikiye eşittir, ancak bu durumda nokta orijinin solunda, negatif ışın üzerinde yer alır, bu da N noktasının sayıyı karakterize ettiği anlamına gelir

Koordinat çizgisiyle ilgili tüm tipik problemler, bir şekilde onun ana özelliği ve formüle edip çözdüğümüz iki ana problemle bağlantılıdır.

İLE tipik görevler ilgili olmak:

-Noktaları ve koordinatlarını yerleştirebilme;

-sayıların karşılaştırılmasını anlamak:

ifade, koordinat 4'e sahip C noktasının, koordinat 2'ye sahip M noktasının sağında yer aldığı anlamına gelir:

Ve tam tersi, eğer bize bir koordinat çizgisi üzerindeki noktaların konumu verilirse, onların koordinatlarının belirli bir ilişkiyle ilişkili olduğunu anlamalıyız:

M(x M) ve N(x N) noktaları verilsin:

M noktasının n noktasının sağında yer aldığını görüyoruz, bu da koordinatlarının şu şekilde ilişkili olduğu anlamına gelir:

-Noktalar arasındaki mesafeyi belirleme.

X ve A noktaları arasındaki mesafenin sayının modülüne eşit olduğunu biliyoruz. iki noktayı belirtelim:

O zaman aralarındaki mesafe şuna eşit olacaktır:

Bir diğer çok önemli görev ise sayı kümelerinin geometrik açıklaması.

Koordinat ekseninde yer alan, kökenini içermeyen ancak diğer tüm noktaları içeren bir ışın düşünün:

Böylece bize koordinat ekseninde bulunan bir dizi nokta veriliyor. Bu noktalar kümesiyle karakterize edilen sayılar kümesini tanımlayalım. Bunun gibi sayısız sayı ve nokta var, dolayısıyla bu giriş şöyle görünüyor:

Açıklama yapalım: ikinci kayıt seçeneğinde parantez “(” koyarsanız, o zaman uç sayı - bu durumda 3 sayısı kümeye dahil edilmez, ancak köşeli parantez “[ ”, o zaman ekstrem sayı kümeye dahil edilir.

Böylece, belirli bir nokta kümesini karakterize eden sayısal bir kümeyi analitik olarak yazdık. analitik gösterim, söylediğimiz gibi, ya eşitsizlik biçiminde ya da aralık biçiminde gerçekleştirilir.

Bir dizi nokta verilmiştir:

Bu durumda a=3 noktası kümeye dahil edilir. Sayılar kümesini analitik olarak tanımlayalım:

Sonsuza asla ulaşamayacağımız için her zaman sonsuzluk işaretinden sonra veya önce bir parantez konulduğunu ve görevin koşullarına bağlı olarak sayının yanında bir parantez veya köşeli parantez olabileceğini lütfen unutmayın.

Ters problemin bir örneğini ele alalım.

Bir koordinat çizgisi verilmiştir. Üzerine sayısal kümeye karşılık gelen bir dizi nokta çizin ve:

Koordinat çizgisi herhangi bir nokta ile bir sayı arasında ve dolayısıyla sayısal kümeler ile nokta kümeleri arasında bire bir yazışma kurar. Hem pozitif hem de negatif yönlere yönlendirilen ışınlara, tepe noktaları dahil ve tepe noktası hariç baktık. Şimdi bölümlere bakalım.

Örnek 10:

Bir takım sayılar veriliyor. Karşılık gelen nokta kümesini çizin

Örnek 11:

Bir takım sayılar veriliyor. Bir dizi nokta çizin:

Bazen bir parçanın uçlarının kümeye dahil olmadığını göstermek için oklar çizilir:

Örnek 12:

Bir sayı seti verilir. Geometrik modelini oluşturun:

Bulmak en küçük sayı arasından:

Varsa aralıktaki en büyük sayıyı bulun:

Sekizden keyfi olarak küçük bir sayı çıkarıp sonucun en büyük sayı olacağını söyleyebiliriz, ancak hemen daha da küçük bir sayı bulacağız ve çıkarmanın sonucu artacaktır, böylece en büyük sayıyı bulmak imkansızdır. bu aralık.

Koordinat doğrusunda herhangi bir sayıya en yakın sayıyı seçmenin imkânsız olduğuna dikkat edelim, çünkü her zaman daha da yakın bir sayı vardır.

Belirli bir aralıkta kaç tane doğal sayı vardır?

Aralıktan şu doğal sayıları seçiyoruz: 4, 5, 6, 7 - dört doğal sayı.

Doğal sayıların saymada kullanılan sayılar olduğunu hatırlayın.

Bir set daha alalım.

Örnek 13:

Bir dizi sayı verildiğinde

Geometrik modelini oluşturun:

Bu makale koordinat ışını ve koordinat çizgisi gibi kavramların analizine ayrılmıştır. Her bir kavram üzerinde duracağız ve örneklere ayrıntılı olarak bakacağız. Bu makale sayesinde bir öğretmenin yardımına ihtiyaç duymadan bilginizi tazeleyebilir veya konuya aşina olabilirsiniz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kavramı tanımlamak için koordinat ışınıışının ne olduğu hakkında bir fikriniz olmalı.

Tanım 1

ışın- Bu geometrik şekil Koordinat ışınının kökenine ve hareket yönüne sahip olan. Düz çizgi genellikle yatay olarak gösterilir ve sağa doğru yönü gösterir.

Örnekte O'nun ışının başlangıcı olduğunu görüyoruz.

örnek 1

Koordinat ışını aynı şemaya göre tasvir edilmiştir, ancak önemli ölçüde farklıdır. Bir başlangıç ​​noktası belirliyoruz ve tek bir segmenti ölçüyoruz.

Örnek 2

Tanım 2

Birim segmenti 0'dan ölçüm için seçilen noktaya olan mesafedir.

Örnek 3

Tek bir segmentin sonundan itibaren birkaç vuruş yapmanız ve işaretlemeler yapmanız gerekir.

Kirişle yaptığımız manipülasyonlar sayesinde koordinat haline geldi. Konturları 1'den başlayarak doğal sayılarla etiketleyin; örneğin, 2, 3, 4, 5...

Örnek 4

Tanım 3

sonsuza kadar sürebilecek bir ölçektir.

Çoğunlukla O noktasından başlayan bir ışın olarak tasvir edilir ve tek bir birim parça çizilir. Şekilde bir örnek gösterilmektedir.

Örnek 5

Her durumda ölçeği ihtiyacımız olan sayıya kadar devam ettirebileceğiz. Sayıları mümkün olduğu kadar rahat bir şekilde - kirişin altına veya üstüne yazabilirsiniz.

Örnek 6

Işın koordinatlarını görüntülemek için hem büyük hem de küçük harfler kullanılabilir.

Bir koordinat çizgisini tasvir etme ilkesi pratik olarak bir ışını tasvir etmekten farklı değildir. Çok basit - bir ışın çizin ve onu düz bir çizgiye ekleyerek ona bir okla gösterilen pozitif bir yön verin.

Örnek 7

Işını şuraya doğrultun karşı taraf, onu düz bir çizgiye genişletiyoruz

Örnek 8

Yukarıdaki örneğe göre tekli segmentleri bir kenara koyun

Sol tarafa 1, 2, 3, 4, 5... doğal sayılarını zıt işaretli olarak yazın. Örneğe dikkat edin.

Örnek 9

Yalnızca orijini ve tekli segmentleri işaretleyebilirsiniz. Nasıl görüneceğine ilişkin örneğe bakın.

Örnek 10

Tanım 4

- 0 olarak alınan belirli bir referans noktası, birim parça ve belirli bir hareket yönü ile gösterilen düz bir çizgidir.

Koordinat çizgisi üzerindeki noktalar ile gerçek sayılar arasındaki yazışma

Bir koordinat çizgisi birçok nokta içerebilir. Gerçek sayılarla doğrudan ilişkilidirler. Bu birebir yazışma olarak tanımlanabilir.

Tanım 5

Koordinat doğrusu üzerindeki her nokta tek bir gerçek sayıya karşılık gelir ve her gerçek sayı da koordinat doğrusu üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir.

Kuralı daha iyi anlayabilmek için koordinat doğrusu üzerinde bir noktayı işaretlemeli ve ne olduğunu görmelisiniz. doğal sayı işaretiyle eşleşir. Bu nokta orijine denk geliyorsa sıfır olarak işaretlenecektir. Eğer nokta orijine uymuyorsa erteleriz gerekli miktar belirtilen işarete ulaşana kadar tek segmentler. Altına yazılan sayı bu noktaya karşılık gelecektir. Aşağıdaki örneği kullanarak size bu kuralı net bir şekilde göstereceğiz.

Örnek 11

Birim parçaları çizerek bir nokta bulamıyorsak, birim parçanın onda birini, yüzde birini veya binde birini oluşturan noktaları da işaretlememiz gerekir. Bu kuralı detaylı olarak incelemek için bir örnek kullanılabilir.

Birkaç benzer parçayı bir kenara bırakarak, yalnızca bir tam sayı değil, aynı zamanda hem pozitif hem de negatif kesirli bir sayı da elde edebiliriz.

İşaretli bölümler koordinat çizgisi üzerinde gerekli noktayı bulmamıza yardımcı olacaktır. Bunlar bütün veya kesirli sayılar. Ancak düz bir çizgi üzerinde tek doğru parçaları kullanarak bulunması çok zor olan noktalar vardır. Bu noktalar ondalık kesirlere karşılık gelir. Böyle bir noktayı aramak için bir birim segmenti, onda birini, yüzde birini, binde birini, on binde birini ve diğer kısımlarını ayırmanız gerekecek. Koordinat doğrusu üzerindeki bir nokta irrasyonel π (= 3, 141592...) sayısına karşılık gelir.

Gerçek sayılar kümesi kesirli olarak yazılabilen tüm sayıları içerir. Bu, kuralı tanımlamanıza olanak tanır.

Tanım 6

Koordinat çizgisi üzerindeki her nokta belirli bir gerçek sayıya karşılık gelir. Farklı noktalar farklı gerçek sayıları tanımlar.

Bu yazışma benzersizdir; her nokta belirli bir gerçek sayıya karşılık gelir. Ama bu aynı zamanda işe yarıyor ters yön. Koordinat doğrusu üzerinde belirli bir gerçek sayıyla ilişkili olacak belirli bir noktayı da belirtebiliriz. Sayı bir tam sayı değilse, belirli bir yöndeki onda bir ve yüzde birlerin yanı sıra birkaç birim parçayı işaretlememiz gerekir. Örneğin 400350 sayısı koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir ve bu noktaya orijinden pozitif yönde 400 birim parça, bir birimin onda birini oluşturan 3 parça ve binde biri oluşturan 5 parça çizilerek ulaşılabilir.

Matematik. 6 Sınıf. Ölçek 2. Seçenek 1 .

1. Dikdörtgenin uzunluğu 8 cm, genişliği 6 cm'dir. Bu dikdörtgenin alanı sabit olduğuna göre genişliği 4 cm olursa uzunluğunun ne olacağını bulunuz.

A) 14cm; İÇİNDE) 10cm; İLE) 30cm; D) 15cm; e) 12 cm.

2 . Bilinmeyen oran terimini bulun:

A) 45;İÇİNDE) 6,5; İLE) 4,5; D) 3,5; e) 1,5.

3 . Düzlem üzerinde O noktasına eşit uzaklıktaki noktalar kümesinin adını verin.

A) kare; İÇİNDE) dikdörtgen; İLE) daire; D) daire; e)üçgen.

4. 24 sayısının bölenleri kümesini elemanlarını listeleyerek yazınız.

A) {1; 2; 8; 12; 24}; B) {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}; C) {1; 24}; D) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 12; 24}; e) {1; 4; 6; 8; 24}.

5 . Aşağıdaki durumda A ve B kümelerinin birleşimini bulun: A=(-5; 0; 5; 13), B=(-5; 10; 13).

A) {-5; 5}; B) {-5; 5; 13}; C) {10}; D) {-5; 13}; e) {-5; 0; 5; 10; 13}.

6. Koordinat doğrusunda, orijinden itibaren yön pozitif yön olarak alınır.

A) sol; İÇİNDE) aşağı; İLE) yukarı; D) Sağ; e) herhangi bir yönde.

7 . A ve B noktaları koordinat çizgisi üzerinde işaretlenmiştir. Her noktanın koordinatlarını bulun.

A) A(-3), B(2); İÇİNDE) A(-2), B(1.5); İLE) A(-1), B(1.5); D) A(-4), B(2.5); e) A(-2), B(2).

8. Karşıt sayı negatif sayı, bir numara var... .

A) tam tersi ; İÇİNDE) hükümsüz; İLE) olumsuz; D) zıt; e) pozitif.

9. Eşitliğin sağlanması için yıldız işareti yerine bir sayı yazın: - (*) = 10.

A) 10;İÇİNDE) -10; İLE) -2;D) -5; e) -100.

10 . Aşağıdaki sayılardan: -3; -1; 0; 1; 1.2; 3; 6 tamamen doğal olanı seçin.

A) -3; -1; 1; 6; B) 1; 6;C) 1; 3; 6; D) -3; 1,2; e) -3; -1; 0.

11. ... sayılar, koordinat çizgisi üzerinde başlangıç ​​noktasından sayıyı temsil eden noktaya kadar olan mesafeyi (birim parçalar halinde) belirtir.

A) kare; İÇİNDE) küp; İLE) davranış; D) modül; e) norm.

12. Eylemleri gerçekleştirin: |-64|:|1.6|.

A) -40; B) 40; C) 4; D) -4; e) 400.

Testlerin cevaplarını sayfada bulabilirsiniz. " Yanıtlar " .

• Koordinat düz bir çizgi, üzerinde verilen düz bir çizgidir olumlu yön, köken(O noktası) ve bir birim segment.
• Koordinat çizgisi üzerindeki her nokta, bu noktanın koordinatı adı verilen belirli bir sayıya karşılık gelir. Örneğin, bir(5). Şunu okurlar: koordinat beş olan A noktası. 3'TE). Şunu okurlar: koordinat eksi üç olan B noktası.

Örnek 1. Koordinat doğrusu üzerinde A(-7), B(-3), C(2), D (5) noktalarını çizin.

Düz bir çizgi çizelim, pozitif yönünü okla gösterelim, O(0) noktasını orijin olarak belirleyelim ve 1 hücrelik bir birim segment seçelim. Ortaya çıkan koordinat çizgisinde verilen noktaları işaretleyin. A(-7) noktası, başlangıç ​​noktası olan O noktasından sola doğru 7 birim parça (7 hücre) uzaklıkta yer almaktadır. Başlangıç ​​noktasının 3 hücre solundaki B(-3) noktasını işaretleyin. C noktası (2) sıfırın 2 hücre sağında yer alacak ve başlangıç ​​noktasının 5 hücre sağında D (5) noktası işaretlenecektir.

Örnek 2. Koordinat doğrusu üzerinde A(-4.5), B(-2), C(2.5) ve D (6) noktalarını çizin.

Bir koordinat çizgisi çizelim ve 1 hücreyi birim segment olarak alalım. Geri sayımın başlangıcından itibaren dört buçuk hücreyi sola taşıyıp A noktasını yerleştireceğiz. C noktası, sıfırın sağında iki buçuk hücre uzaklıkta yer alacak. O noktasının solundaki B 2 hücrelerini ve O noktasının sağındaki D 6 hücrelerini işaretleyin.

Örnek 3. Koordinat doğrusundaki sayıları çizin: 5; -4; -1; 3; -6; 7. Bir koordinat çizgisi kullanarak karşılaştırın: a) 0 ve 5; b) -1 ve 7; c) -6 ve -4; d) 5 ve -6; e) 0 ve -6; e) -4 ve 3. Sonuç çıkarın.

1 hücreye eşit bir birim segment seçtikten sonra sıfırın soluna -6, -4 ve -1 rakamlarını, sıfırın sağına ise 3, 5 ve 7 rakamlarını işaretliyoruz. Az numara bulunur Sola Koordinat çizgisi üzerinde ve daha fazlası sağda.

A) 0<5 ; B) -1<7 ; V) -6<-4 ; G) 5>-6 ; e) 0>-6 ; e) -4<3 .

Sıfır herhangi bir negatif sayıdan büyük, ancak herhangi bir pozitif sayıdan küçüktür. Herhangi bir negatif sayı herhangi bir pozitif sayıdan küçüktür.

Sayfa 1/1 1

Grafik oluşturmayı, eşitsizlikleri koordinat çizgisi üzerinde göstermeyi ve koordinat eksenleriyle çalışmayı bilmiyorsanız, matematik bildiğinizi iddia etmek imkansızdır. Bilimde görsellik hayati öneme sahiptir çünkü görsel örnekler olmadan formüller ve hesaplamalar bazen çok kafa karıştırıcı olabilir. Bu makalede koordinat eksenleriyle nasıl çalışılacağına bakacağız ve basit fonksiyon grafiklerinin nasıl oluşturulacağını öğreneceğiz.

Başvuru

Koordinat çizgisi, bir okul çocuğunun eğitim yolunda karşılaştığı en basit grafik türlerinin temelidir. Hemen hemen her matematik konusunda kullanılır: hız ve zaman hesaplanırken, nesnelerin boyutlarının yansıtılmasında ve alanlarının hesaplanmasında, trigonometride sinüs ve kosinüslerle çalışırken.

Böyle doğrudan bir hattın ana değeri netliktir. Matematik yüksek düzeyde soyut düşünme gerektiren bir bilim olduğundan, grafikler bir nesnenin gerçek dünyada temsil edilmesine yardımcı olur. Nasıl davranıyor? Birkaç saniye, dakika, saat içinde uzayın hangi noktasında olacaksınız? Diğer nesnelerle karşılaştırıldığında onun hakkında ne söylenebilir? Zamanın rastgele seçilmiş bir anında hızı nedir? Hareketini nasıl karakterize edebilirim?

Hızdan bahsetmemizin bir nedeni var; fonksiyon grafiklerinde sıklıkla görüntülenen şey budur. Ayrıca bir nesnenin içindeki sıcaklık veya basınçtaki değişiklikleri, nesnenin boyutunu ve ufka göre yönünü de görüntüleyebilirler. Bu nedenle fizikte genellikle bir koordinat çizgisi oluşturmak gerekir.

Tek boyutlu arsa

Çok boyutluluk kavramı var. Bir noktanın yerini belirlemek için tek bir sayı yeterlidir. Koordinat çizgisinin kullanımında da durum tam olarak budur. Uzay iki boyutlu ise iki sayı gereklidir. Bu tür grafikler çok daha sık kullanılıyor ve bunlara kesinlikle makalenin biraz ilerisinde bakacağız.

Yalnızca bir tane varsa, eksen üzerindeki noktaları kullanarak ne görebilirsiniz? Nesnenin boyutunu, uzaydaki konumunu bir “sıfır”a, yani başlangıç ​​noktası olarak seçilen noktaya göre görebilirsiniz.

Tüm okumalar belirli bir an için görüntüleneceğinden zaman içinde parametrelerdeki değişiklikleri görmek mümkün olmayacaktır. Ancak bir yerden başlamalısınız! Öyleyse başlayalım.

Koordinat ekseni nasıl oluşturulur

Öncelikle yatay bir çizgi çizmeniz gerekiyor - bu bizim eksenimiz olacak. Sağ tarafta onu bir ok gibi görünecek şekilde "keskinleştireceğiz". Bu şekilde sayıların artacağı yönü belirtmiş oluyoruz. Ok genellikle azalan yönde yerleştirilmez. Geleneksel olarak eksen sağa işaret eder, bu nedenle bu kurala uyacağız.

Koordinatların kökenini gösterecek bir sıfır işareti koyalım. Burası boyut, ağırlık, hız veya başka herhangi bir şey olsun, geri sayımın yapıldığı yerdir. Sıfıra ek olarak, sözde bölme değerini de belirtmeliyiz, yani belirli miktarları eksene çizeceğimiz standart bir birim tanıtmalıyız. Bir koordinat çizgisi üzerindeki bir parçanın uzunluğunu bulabilmek için bu yapılmalıdır.

Çizgiye birbirinden eşit uzaklıkta noktalar veya "çentikler" koyacağız ve altlarına sırasıyla 1,2,3 vb. yazacağız. Ve artık her şey hazır. Ancak yine de ortaya çıkan programla nasıl çalışacağınızı öğrenmeniz gerekiyor.

Koordinat çizgisi üzerindeki nokta türleri

Ders kitaplarında önerilen çizimlere ilk bakışta açıkça görülüyor: eksen üzerindeki noktalar gölgelenebilir veya gölgelenmeyebilir. Sizce bu bir kaza mı? Hiç de bile! Kesin olmayan bir eşitsizlik için "katı" bir nokta kullanılır; "büyük veya eşittir" şeklinde okunur. Aralığı kesin olarak sınırlamamız gerekiyorsa (örneğin, "x" sıfırdan bire kadar değerler alabilir ancak onu içermez), "içi boş" bir nokta, yani aslında küçük bir daire kullanacağız eksende. Öğrencilerin katı eşitsizliklerden pek hoşlanmadıkları, çünkü onlarla çalışmak daha zor olduğu unutulmamalıdır.

Grafikte hangi noktaları kullandığınıza bağlı olarak oluşturulan aralıklar adlandırılacaktır. Her iki taraftaki eşitsizlik kesin değilse bir segment elde ederiz. Bir tarafta “açık” çıkarsa buna yarım aralık adı verilecektir. Son olarak, eğer bir doğrunun bir kısmı her iki taraftan da içi boş noktalarla sınırlanmışsa buna aralık adı verilecektir.

Uçak

İki düz çizgi çizerken zaten fonksiyonların grafiklerini dikkate alabiliriz. Diyelim ki yatay çizgi zaman ekseni, dikey çizgi ise mesafe olacak. Artık nesnenin bir dakikalık veya bir saatlik yolculukta ne kadar yol alacağını belirleyebiliyoruz. Böylece bir düzlemle çalışmak, bir nesnenin durumundaki değişikliklerin izlenmesini mümkün kılar. Bu, statik bir durumu incelemekten çok daha ilginçtir.

Böyle bir düzlemdeki en basit grafik düz bir çizgidir; Y(X) = aX + b fonksiyonunu yansıtır. Hat bükülüyor mu? Bu, nesnenin araştırma süreci boyunca özelliklerinin değişmesi anlamına gelir.

Bir binanın çatısında durduğunuzu ve uzattığınız elinizde bir taş tuttuğunuzu hayal edin. Bıraktığınızda aşağı doğru uçacak ve hareketine sıfır hızdan başlayacaktır. Ancak bir saniyede saatte 36 kilometre hıza ulaşacak. Taş hızlanmaya devam edecek ve hareketinin grafiğini çizmek için, eksen üzerinde uygun yerlere noktalar yerleştirerek hızını birkaç noktada ölçmeniz gerekecektir.

Yatay koordinat çizgisi üzerindeki işaretler varsayılan olarak X1, X2,X3 olarak adlandırılır ve dikey koordinat çizgisi üzerindeki işaretler sırasıyla Y1, Y2,Y3 olarak adlandırılır. Bunları bir düzleme yansıtıp kesişim noktaları bularak ortaya çıkan çizimin parçalarını buluyoruz. Bunları bir çizgiye bağlayarak fonksiyonun grafiğini elde ederiz. Bir taşın düşmesi durumunda ikinci dereceden fonksiyon şu şekilde olacaktır: Y(X) = aX * X + bX + c.

Ölçek

Elbette satırdaki bölmelerin yanına tamsayı değerleri koymanıza gerek yok. Dakikada 0,03 metre hızla sürünen bir salyangozun hareketini düşünüyorsanız koordinat doğrusundaki değerleri kesirli olarak ayarlayın. Bu durumda bölme değerini 0,01 metreye ayarlayın.

Bu tür çizimleri kare bir defterde yapmak özellikle uygundur - burada, programınız için sayfada yeterli alan olup olmadığını ve kenar boşluklarının ötesine geçip geçmeyeceğinizi hemen görebilirsiniz. Gücünüzü hesaplamak kolaydır çünkü böyle bir defterdeki hücrenin genişliği 0,5 santimetredir. Çizimi azaltmak gerekiyordu. Grafiğin ölçeğini değiştirmek, onun özelliklerinin kaybolmasına veya değişmesine neden olmaz.

Bir noktanın ve bir doğru parçasının koordinatları

Bir derste bir matematik problemi verildiğinde, hem kenar uzunluğu, çevre, alan hem de koordinatlar şeklinde çeşitli geometrik şekillerin parametrelerini içerebilir. Bu durumda hem şekli oluşturmanız hem de onunla ilişkili bazı verileri elde etmeniz gerekebilir. Şu soru ortaya çıkıyor: Koordinat çizgisinde gerekli bilgiler nasıl bulunur? Peki bir figür nasıl oluşturulur?

Mesela bir noktadan bahsediyoruz. O zaman problem cümlesi bir büyük harf içerecek ve parantez içinde çoğu zaman iki olmak üzere birkaç sayı olacaktır (bu, iki boyutlu uzayda sayacağımız anlamına gelir). Parantez içinde noktalı virgül veya virgülle ayrılmış üç sayı varsa bu üç boyutlu bir uzaydır. Her değer, karşılık gelen eksen üzerindeki bir koordinattır: önce yatay (X), sonra dikey (Y) boyunca.

Bir segmentin nasıl oluşturulacağını hatırlıyor musunuz? Bunu geometride aldın. İki nokta varsa aralarına düz bir çizgi çizebilirsiniz. Sorunda bir bölüm belirirse, parantez içinde gösterilenler bunların koordinatlarıdır. Örneğin: A(15, 13) - B(1, 4). Böyle düz bir çizgi oluşturmak için koordinat düzlemindeki noktaları bulup işaretlemeniz ve ardından bunları birleştirmeniz gerekir. Bu kadar!

Ve bildiğiniz gibi herhangi bir çokgen, bölümler kullanılarak çizilebilir. Problem çözüldü.

Hesaplamalar

Diyelim ki X ekseni boyunca konumu iki sayı ile tanımlanan bir nesne var: koordinatı (-3) olan bir noktada başlıyor ve (+2) ile bitiyor. Bu cismin uzunluğunu bulmak istiyorsak büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarmalıyız. Negatif bir sayının çıkarma işaretini emdiğine dikkat edin çünkü "eksi çarpı eksi artı eder." Yani (2+3)'ü toplayıp 5 elde ediyoruz. İstenilen sonuç budur.

Başka bir örnek: bize nesnenin bitiş noktası ve uzunluğu veriliyor, ancak başlangıç ​​noktası verilmiyor (ve onu bulmamız gerekiyor). Bilinen noktanın konumu (6) ve incelenen nesnenin boyutu - (4) olsun. Uzunluğu son koordinattan çıkararak cevabı buluruz. Toplam: (6 - 4) = 2.

Negatif sayılar

Uygulamada çoğu zaman negatif değerlerle çalışmak gerekir. Bu durumda koordinat ekseni boyunca sola doğru hareket edeceğiz. Örneğin 3 santimetre yüksekliğindeki bir nesne suda yüzer. Üçte biri sıvıya batırılmış, üçte ikisi havadadır. Daha sonra suyun yüzeyini eksen olarak seçerek, iki sayı elde etmek için basit aritmetik hesaplamalar kullanırız: nesnenin üst noktası (+2) koordinatına ve alt noktası (-1) santimetre koordinatına sahiptir.

Bir düzlem söz konusu olduğunda bir koordinat çizgisinin dörtte birine sahip olduğumuzu görmek kolaydır. Her birinin kendi numarası vardır. İlk (sağ üst) kısımda iki pozitif koordinatı olan noktalar olacak, ikincisinde - sol üstte - "x" ekseni boyunca değerler negatif ve "y" ekseninde değerler olacak - pozitif. Üçüncü ve dördüncü saat yönünün tersine sayılır.

Önemli özellik

Düz bir çizginin sonsuz sayıda noktayla temsil edilebileceğini biliyorsunuz. Eksenin her iki tarafındaki herhangi bir sayıdaki değere istediğimiz kadar dikkatli bakabiliriz ancak kopyalarla karşılaşmayacağız. Bu saf ve anlaşılır görünebilir, ancak bu ifade önemli bir gerçekten kaynaklanmaktadır: her sayı, koordinat doğrusu üzerinde yalnızca bir noktaya karşılık gelir.

Çözüm

Tüm eksenlerin, şekillerin ve mümkünse grafiklerin bir cetvel kullanılarak oluşturulması gerektiğini unutmayın. Ölçü birimleri insan tarafından tesadüfen icat edilmemiştir - çizim sırasında hata yaparsanız, elde edilmesi gereken görüntüden farklı bir görüntü görme riskiyle karşı karşıya kalırsınız.

Grafikler ve hesaplamalar oluştururken dikkatli ve dikkatli olun. Okulda öğrenilen her bilim gibi matematik de kesinliği sever. Biraz çaba harcarsanız, iyi notların gelmesi uzun sürmeyecektir.