En az yaygın olan çoklu örnekler. LCM'nin en küçük ortak katı

Cevrimici hesap makinesi en büyüğünü hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar ortak bölen ve iki sayının veya başka herhangi bir sayının en küçük ortak katı.

GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi

GCD ve LOC'yi bulun

Bulunan GCD ve LOC: 5806

Hesap makinesi nasıl kullanılır?

• Giriş alanına sayıları girin
• Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
• "GCD ve LOC Bul" düğmesini tıklayın

Sayılar nasıl girilir

• Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
• Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, dolayısıyla uzun sayıların GCD'sini ve LCM'sini bulmak zor değil

GCD ve NOC nedir?

En büyük ortak böleni birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En küçük ortak Kat Birkaç sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.

Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.

Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler

1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Son rakama bakıyoruz: 8 - bu, sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.

2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı üçe bölünüyor.

3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.

4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.

İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının gcd'si nasıl bulunur

En basit bir şekildeİki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve içlerinden en büyüğünü seçmektir.

Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:

1. Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Ortak faktörleri, yani her iki sayının da sahip olduğu faktörleri buluyoruz: 1, 2 ve 2.
3. Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

İki sayının LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.

LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:

1. 28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
2. OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma

En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bunun için en büyük ortak böleni bulunacak sayılar asal çarpanlara ayrıştırılır ve bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımı bulunur. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).

Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.

1. Öncelikle sayıları çarpanlara ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
3. Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
4. Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
5. Her üç sayının da LCM'sini bulmak için GCD(96, 36)'yı bulmanız gerekir: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A- Durum bu doğal sayı verilen sayıyı bölen A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.

Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen bir sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 ​​da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır; bu durumda bu 90. Bu sayıya denir en küçükortak kat (CMM).

LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.

En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.

Değişebilirlik:

İlişkisellik:

Özellikle, ve eş asal sayılar ise, o zaman:

İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).

Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).

Dağıtım kanunundan ne çıkar? asal sayılar.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:

Nerede p 1 ,...,pk- çeşitli asal sayılar ve d 1 ,...,dk Ve e 1 ,...,ek— negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).

Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;

- en büyük ayrıştırmayı (verilenlerin en büyük sayısının faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın ve ardından ilk sayıda görünmeyen veya içinde yer almayan diğer sayıların ayrıştırılmasından faktörleri ekleyin daha az kez;

— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının asal çarpanları (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) ile tamamlanır, elde edilen çarpım (84) şu şekilde olur: en küçük sayı 21 ve 28'e bölünebilen sayıdır.

En büyük 30 sayısının asal çarpanları, 25 sayısının 5 çarpanı ile tamamlanır; sonuçta ortaya çıkan 150 çarpımı, en büyük 30 sayısından büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu en az ürün verilen tüm sayıların katı olduğu olası (150, 250, 300...)

2,3,11,37 sayıları asal sayılar olduğundan LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.

Kural. Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birbiriyle çarpmanız gerekir.

Başka seçenek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için ihtiyacınız olan:

1) her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil edin, örneğin:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Tüm asal faktörlerin kuvvetlerini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu sayıların her birinin asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;

4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;

5) bu güçleri çarpın.

Örnek. 168, 180 ve 3024 sayılarının LCM'sini bulun.

Çözüm. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

biz yazıyoruz en büyük dereceler tüm asal bölenleri bulun ve bunları çarpın:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

İkinci sayı: b=

Bin ayırıcı Boşluk ayırıcı olmadan "'

Sonuç:

En büyük ortak bölen gcd( A,B)=6

LCM'nin en küçük ortak katı( A,B)=468

a ve b sayılarına kalansız bölünebilen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak böleni(GCD) bu sayıların. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) veya hcf(a,b) ile gösterilir.

En küçük ortak Katİki a ve b tam sayısının LCM'si, a ve b'ye kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. LCM(a,b) veya lcm(a,b) ile gösterilir.

a ve b tam sayılarına denir karşılıklı olarak asal+1 ve -1 dışında ortak bölenleri yoksa.

En büyük ortak böleni

İki tane verilsin pozitif sayılar A 1 ve A 2 1). Bu sayıların ortak bölenini bulmak gerekiyor yani. böyle bir numara bul λ sayıları bölen A 1 ve A 2 aynı anda. Algoritmayı açıklayalım.

1) Bu yazıda sayı kelimesi tam sayı olarak anlaşılacaktır.

İzin vermek A 1 ≥ A 2 ve izin ver

Nerede M 1 , A 3 bazı tam sayılardır, A 3 <A 2 (bölmenin geri kalanı A başına 1 A 2 daha az olmalı A 2).

Öyleymiş gibi yapalım λ böler A 1 ve A 2 o zaman λ böler M 1 A 2 ve λ böler A 1 −M 1 A 2 =A 3 (“Sayıların bölünebilirliği. Bölünebilirlik testi” makalesinin 2. ifadesi). Buradan her ortak bölenin A 1 ve A 2 ortak bölendir A 2 ve A 3. Bunun tersi de geçerliyse λ ortak bölen A 2 ve A 3 o zaman M 1 A 2 ve A 1 =M 1 A 2 +A 3 de bölünebilir λ . Bu nedenle ortak bölen A 2 ve A 3 aynı zamanda bir ortak bölendir A 1 ve A 2. Çünkü A 3 <A 2 ≤A 1 ise sayıların ortak bölenini bulma probleminin çözümünü söyleyebiliriz. A 1 ve A 2 sayıların ortak bölenini bulma gibi daha basit bir probleme indirgenmiştir A 2 ve A 3 .

Eğer A 3 ≠0 ise bölebiliriz A 2 açık A 3. Daha sonra

,

Nerede M 1 ve A 4 bazı tam sayılardır, ( A Bölmeden kalan 4 A 2 açık A 3 (A 4 <A 3)). Benzer akıl yürütmeyle sayıların ortak bölenlerinin olduğu sonucuna varıyoruz. A 3 ve A 4, sayıların ortak bölenleriyle çakışır A 2 ve A 3 ve ayrıca ortak bölenlerle A 1 ve A 2. Çünkü A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... sürekli azalan sayılardır ve aralarında sonlu sayıda tam sayı olduğundan A 2 ve 0, sonra bir adımda N, bölümün geri kalanı A hayır A n+1 sıfıra eşit olacaktır ( A n+2 =0).

.

Her ortak bölen λ sayılar A 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların bölenidir A 2 ve A 3 , A 3 ve A 4 , .... A n ve A n+1 . Bunun tersi de doğrudur, sayıların ortak bölenleri A n ve A n+1 aynı zamanda sayıların bölenleridir A n−1 ve A N , .... , A 2 ve A 3 , A 1 ve A 2. Ancak sayıların ortak böleni A n ve A n+1 bir sayıdır A n+1 çünkü A n ve A n+1 şunlara bölünebilir: A n+1 (unutmayın A n+2 =0). Buradan A n+1 aynı zamanda sayıların bölenidir A 1 ve A 2 .

Numaraya dikkat edin A n+1 sayıların en büyük böleni A n ve A n+1 , en büyük bölenden beri A n+1 kendisidir A n+1 . Eğer A n+1 tam sayıların çarpımı olarak gösterilebilirse bu sayılar aynı zamanda sayıların ortak bölenleridir. A 1 ve A 2. Sayı A n+1 denir en büyük ortak böleni sayılar A 1 ve A 2 .

Sayılar A 1 ve A 2 pozitif ya da negatif sayı olabilir. Sayılardan biri sıfıra eşitse bu sayıların en büyük ortak böleni diğer sayının mutlak değerine eşit olacaktır. Sıfır sayıların en büyük ortak böleni tanımsızdır.

Yukarıdaki algoritma denir Öklid algoritmasıİki tam sayının en büyük ortak bölenini bulmak için

İki sayının en büyük ortak bölenini bulma örneği

630 ve 434 numaralı iki sayının en büyük ortak bölenini bulun.

• Adım 1. 630 sayısını 434'e bölün. Geri kalan 196'dır.
• Adım 2. 434 sayısını 196'ya bölün. Geri kalan 42 olur.
• Adım 3. 196 sayısını 42'ye bölün. Geri kalan 28'dir.
• Adım 4. 42 sayısını 28'e bölün. Geri kalan 14'tür.
• Adım 5. 28 sayısını 14'e bölün. Geri kalan 0'dır.

5. adımda bölmeden kalan 0 olur. Dolayısıyla 630 ve 434 sayılarının en büyük ortak böleni 14'tür. 2 ve 7 sayılarının aynı zamanda 630 ve 434 sayılarının da bölenleri olduğuna dikkat edin.

Eş asal sayılar

Tanım 1. Sayıların en büyük ortak böleni olsun A 1 ve A 2 bire eşittir. Daha sonra bu numaralar çağrılır eş asal sayılar, ortak böleni yoktur.

Teorem 1. Eğer A 1 ve A 2 eş asal sayı ve λ bir sayı, ardından sayıların herhangi bir ortak böleni λa 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların ortak bölenidir λ Ve A 2 .

Kanıt. Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını düşünün A 1 ve A 2 (yukarıya bakın).

.

Teoremin koşullarına göre sayıların en büyük ortak böleni şu şekildedir: A 1 ve A 2 ve bu nedenle A n ve A n+1 eşittir 1. Yani A n+1 =1.

Bütün bu eşitlikleri şununla çarpalım: λ , Daha sonra

.

Ortak bölen olsun A 1 λ Ve A 2 evet δ . Daha sonra δ çarpan olarak dahil edilir A 1 λ , M 1 A 2 λ ve A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (bkz. "Sayıların bölünebilirliği", Açıklama 2). Daha öte δ çarpan olarak dahil edilir A 2 λ Ve M 2 A 3 λ ve bu nedenle bir faktördür A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Bu şekilde akıl yürüterek, şuna ikna olduk: δ çarpan olarak dahil edilir A n−1 λ Ve M n−1 A N λ ve bu nedenle A n−1 λ −M n−1 A N λ =A n+1 λ . Çünkü A n+1 =1 ise δ çarpan olarak dahil edilir λ . Bu nedenle sayı δ sayıların ortak böleni λ Ve A 2 .

Teorem 1'in özel durumlarını ele alalım.

Sonuçlar 1. İzin vermek A Ve C Asal sayılar görecelidir B. Daha sonra onların ürünü AC göre asal bir sayıdır B.

Gerçekten mi. Teorem 1'den AC Ve B aynı ortak bölenlere sahip C Ve B. Ama sayılar C Ve B nispeten basit, yani tek bir ortak böleni var 1. Sonra AC Ve B ayrıca tek bir ortak bölen 1 var. Bu nedenle AC Ve B karşılıklı olarak basit.

Sonuçlar 2. İzin vermek A Ve B eş asal sayılar ve izin ver B böler tamam. Daha sonra B böler ve k.

Gerçekten mi. Onay koşulundan tamam Ve B ortak bir böleni var B. Teorem 1'e göre, B ortak bölen olmalı B Ve k. Buradan B böler k.

Sonuç 1 genelleştirilebilir.

Sonuçlar 3. 1. Sayıları bırakın A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sayıya göre asaldır B. Daha sonra A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, bu sayıların çarpımı sayıya göre asaldır B.

2. İki satırlık sayılarımız olsun

Öyle ki, birinci serideki her sayı, ikinci serideki her sayının oranında asaldır. Daha sonra ürün

Bu sayıların her birine bölünebilen sayıları bulmanız gerekir.

Bir sayı bölünebiliyorsa A 1, o zaman formu var sa 1 nerede S bir miktar. Eğer Q sayıların en büyük ortak böleni A 1 ve A 2, o zaman

Nerede S 1 bir tam sayıdır. Daha sonra

dır-dir sayıların en küçük ortak katları A 1 ve A 2 .

A 1 ve A 2 aralarında asalsa sayıların en küçük ortak katıdır A 1 ve A 2:

Bu sayıların en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor.

Yukarıdakilerden herhangi bir sayının katları olduğu sonucu çıkar A 1 , A 2 , A 3 sayının katı olmalı ε Ve A 3 ve geri. sayıların en küçük ortak katı olsun ε Ve A 3 evet ε 1. Daha sonra sayıların katları A 1 , A 2 , A 3 , A 4 sayının katı olmalı ε 1 ve A 4. sayıların en küçük ortak katı olsun ε 1 ve A 4 evet ε 2. Böylece sayıların tüm katlarının olduğunu öğrendik. A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m belirli bir sayının katlarıyla çakışıyor ε n'ye verilen sayıların en küçük ortak katı denir.

Sayıların olduğu özel durumda A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m göreceli olarak asaldır, bu durumda sayıların en küçük ortak katıdır A 1 , AŞekil 2, yukarıda gösterildiği gibi (3) formuna sahiptir. Sonraki, beri A Sayılara göre 3 asal A 1 , A 2 o zaman A 3 asal sayı A 1 · A 2 (Sonuç 1). Sayıların en küçük ortak katı anlamına gelir A 1 ,A 2 ,A 3 bir sayıdır A 1 · A 2 · A 3. Benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki ifadelere ulaşıyoruz.

İfade 1. Eş asal sayıların en küçük ortak katı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m onların çarpımına eşittir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

İfade 2. Eş asal sayıların her birine bölünebilen herhangi bir sayı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m aynı zamanda çarpımlarına da bölünebilir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

Ortak katlar

Basitçe söylemek gerekirse, verilen sayıların her birine bölünebilen herhangi bir tam sayı Ortak çoklu tamsayılar verilmiştir.

İki veya daha fazla tam sayının ortak katını bulabilirsiniz.

örnek 1

İki sayının ortak katını hesaplayın: $2$ ve $5$.

Çözüm.

Tanım gereği, $2$ ve $5$'ın ortak katı $10$'dır, çünkü $2$ sayısının ve $5$ sayısının katıdır:

$2$ ve $5$ sayılarının ortak katları aynı zamanda $–10, 20, –20, 30, –30$ vb. sayılar olacaktır, çünkü hepsi $2$ ve $5$ sayılarına bölünmüştür.

Not 1

Sıfır, herhangi bir sayıda sıfırdan farklı tam sayıların ortak katıdır.

Bölünebilme özelliklerine göre, eğer belirli bir sayı birkaç sayının ortak katı ise, o zaman işaretli karşısındaki sayı da verilen sayıların ortak katı olacaktır. Bu, ele alınan örnekten görülebilir.

Verilen tam sayıların ortak katlarını her zaman bulabilirsiniz.

Örnek 2

$111$ ve $55$'ın ortak katını hesaplayın.

Çözüm.

Verilen sayıları çarpalım: $111\div 55=6105$. $6105$ sayısının $111$ ve $55$ sayılarına bölünebildiğini doğrulamak kolaydır:

$6105\div 111=$55;

6105$\böl 55=111$.

Dolayısıyla $6105$, $111$ ve $55$'ın ortak katıdır.

Cevap: $111$ ile $55$'ın ortak katı $6105$'dır.

Ancak önceki örnekte de gördüğümüz gibi bu ortak kat bir değildir. Diğer ortak katlar $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ vb. olacaktır. Böylece şu sonuca vardık:

Not 2

Herhangi bir tamsayı kümesinin sonsuz sayıda ortak katı vardır.

Pratikte bunlar yalnızca pozitif tamsayı (doğal) sayıların ortak katlarını bulmakla sınırlıdır, çünkü Belirli bir sayının katları ve karşıtının kümeleri çakışır.

En Küçük Ortak Katın Belirlenmesi

Verilen sayıların tüm katları arasında en sık en küçük ortak kat (LCM) kullanılır.

Tanım 2

Verilen tam sayıların en küçük pozitif ortak katı en küçük ortak Kat bu sayılar.

Örnek 3

$4$ ve $7$ sayılarının LCM'sini hesaplayın.

Çözüm.

Çünkü bu sayıların ortak bölenleri yoktur, bu durumda $LCM(4,7)=28$ olur.

Cevap: $NOK (4,7)=28$.

GCD aracılığıyla NOC'yi bulma

Çünkü LCM ve GCD arasında bir bağlantı var, onun yardımıyla hesaplayabilirsiniz İki pozitif tam sayının LCM'si:

Not 3

Örnek 4

$232$ ve $84$ sayılarının LCM'sini hesaplayın.

Çözüm.

LCM'yi GCD aracılığıyla bulmak için formülü kullanalım:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Öklid algoritmasını kullanarak $232$ ve $84$ sayılarının OBE'sini bulalım:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Onlar. $OBEB(232, 84)=4$.

$LCC (232, 84)$'ı bulalım:

$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Cevap: $NOK (232,84)=$4872.

Örnek 5

$LCD(23, 46)$ değerini hesaplayın.

Çözüm.

Çünkü $46$, $23$'a bölünebilir, bu durumda $gcd (23, 46)=23$ olur. LOC'yi bulalım:

$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Cevap: NOK (23,46)=46$.

Böylece formüle edilebilir kural:

Not 4

Matematiksel ifadeler ve problemler çok fazla ek bilgi gerektirir. NOC, özellikle lisede konu üzerinde sıklıkla kullanılan ana konulardan biridir ve materyali anlamak özellikle zor değildir; kuvvetleri ve çarpım tablosunu bilen bir kişi, gerekli sayıları tanımlamakta ve sayıları keşfetmekte zorluk çekmeyecektir. sonuç.

Tanım

Ortak kat, aynı anda iki sayıya (a ve b) tamamen bölünebilen bir sayıdır. Çoğu zaman bu sayı, orijinal a ve b sayıları çarpılarak elde edilir. Sayı aynı anda her iki sayıya da sapma olmadan bölünebilmelidir.

NOC, ilk harflerden toplanan, atama için benimsenen kısa addır.

Numara almanın yolları

Sayıları çarpma yöntemi, LCM'yi bulmak için her zaman uygun değildir; basit tek basamaklı veya iki basamaklı sayılar için çok daha uygundur. Faktörlere bölmek gelenekseldir; sayı ne kadar büyük olursa, o kadar fazla faktör olacaktır.

Örnek 1

En basit örnek olarak okullar genellikle asal, tek veya çift haneli sayıları kullanır. Örneğin, aşağıdaki görevi çözmeniz, 7 ve 3 sayılarının en küçük ortak katını bulmanız gerekiyor, çözüm oldukça basit, sadece bunları çarpmanız gerekiyor. Sonuç olarak 21 sayısı var, daha küçük bir sayı yok.

Örnek No.2

Görevin ikinci versiyonu çok daha zor. 300 ve 1260 sayıları verilmiştir, LOC'yi bulmak zorunludur. Sorunu çözmek için aşağıdaki eylemlerin gerçekleştirildiği varsayılmaktadır:

Birinci ve ikinci sayıların basit faktörlere ayrıştırılması. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. İlk aşama tamamlandı.

İkinci aşama, önceden elde edilmiş verilerle çalışmayı içerir. Alınan sayıların her biri nihai sonucun hesaplanmasına katılmalıdır. Her faktör için en büyük oluşum sayısı orijinal sayılardan alınır. LCM genel bir sayıdır, bu nedenle sayıların çarpanlarının her birinde, hatta bir kopyada mevcut olanlar bile tekrarlanması gerekir. Her iki ilk sayı da farklı güçlerde 2, 3 ve 5 sayılarını içerir; 7 yalnızca bir durumda mevcuttur.

Nihai sonucu hesaplamak için, denklemde temsil edilen kuvvetlerin en büyüğündeki her sayıyı almanız gerekir. Geriye kalan tek şey çarpmak ve cevabı almak; eğer doğru doldurulursa, görev açıklama gerektirmeden iki adıma sığar:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Bütün sorun bu, gerekli sayıyı çarpma yoluyla hesaplamaya çalışırsanız, 300 * 1260 = 378.000 olduğundan cevap kesinlikle doğru olmayacaktır.

Muayene:

6300/300 = 21 - doğru;

6300/1260 = 5 - doğru.

Elde edilen sonucun doğruluğu kontrol edilerek - LCM'nin her iki başlangıç ​​numarasına bölünmesiyle belirlenir; eğer sayı her iki durumda da bir tam sayı ise, o zaman cevap doğrudur.

NOC matematikte ne anlama geliyor?

Bildiğiniz gibi matematikte tek bir işe yaramaz fonksiyon yoktur, bu da bir istisna değildir. Bu sayının en yaygın amacı kesirleri ortak bir paydaya indirgemektir. Genellikle ortaokul 5-6. Sınıflarda çalışılanlar. Ayrıca problemde bu tür koşullar mevcutsa, tüm katlar için ortak bir bölendir. Böyle bir ifade, yalnızca iki sayının katını değil, aynı zamanda çok daha büyük bir sayının (üç, beş vb.) katını da bulabilir. Sayı ne kadar fazla olursa, görevdeki eylemler de o kadar fazla olur, ancak karmaşıklık artmaz.

Örneğin, 250, 600 ve 1500 sayıları verildiğinde bunların ortak LCM'sini bulmanız gerekir:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - bu örnek, çarpanlara ayırmayı azaltma olmadan ayrıntılı olarak açıklamaktadır.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Bir ifade oluşturmak için tüm faktörlerden bahsetmek gerekir, bu durumda 2, 5, 3 verilir - tüm bu sayılar için maksimum dereceyi belirlemek gerekir.

Dikkat: Tüm faktörler tamamen sadeleştirilme noktasına getirilmeli, mümkünse tek haneli rakamlara ayrıştırılmalıdır.

Muayene:

1) 3000/250 = 12 - doğru;

2) 3000/600 = 5 - doğru;

3) 3000/1500 = 2 – doğru.

Bu yöntem herhangi bir hile veya dahi düzeyinde yetenek gerektirmez, her şey basit ve açıktır.

Diğer yol

Matematikte birçok şey birbiriyle bağlantılıdır, birçok şey iki veya daha fazla yolla çözülebilir; aynı şey en küçük ortak kat olan LCM'yi bulmak için de geçerlidir. Basit iki basamaklı ve tek basamaklı sayılar söz konusu olduğunda aşağıdaki yöntem kullanılabilir. Çarpanın dikey olarak, çarpanın yatay olarak girildiği ve çarpımın sütunun kesişen hücrelerinde belirtildiği bir tablo derlenir. Tabloyu bir çizgi kullanarak yansıtabilir, bir sayı alıp bu sayıyı 1'den sonsuza kadar tam sayılarla çarpmanın sonuçlarını yazabilirsiniz, bazen 3-5 puan yeterlidir, ikinci ve sonraki sayılar aynı hesaplama sürecinden geçer. Ortak bir kat bulunana kadar her şey olur.

30, 35, 42 sayıları göz önüne alındığında, tüm sayıları birbirine bağlayan LCM'yi bulmanız gerekir:

1) 30'un katları: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, vb.

2) 35'in katları: 70, 105, 140, 175, 210, 245, vb.

3) 42'nin katları: 84, 126, 168, 210, 252, vb.

Tüm sayıların oldukça farklı olduğu dikkat çekiyor, aralarındaki tek ortak sayı 210, yani NOC olacak. Bu hesaplamada yer alan süreçler arasında, benzer prensiplere göre hesaplanan ve komşu problemlerde sıklıkla karşılaşılan en büyük ortak bölen de bulunmaktadır. Fark küçük ama oldukça anlamlıdır; LCM, verilen tüm başlangıç ​​değerlerine bölünen sayının hesaplanmasını içerir ve GCD, orijinal sayıların bölündüğü en büyük değeri hesaplamayı içerir.