Yıldız haberleri
Bir sayının asal olup olmadığını öğrenin. Bir sayının asal olup olmadığı nasıl kontrol edilir
Bölenlerin numaralandırılması. Tanım gereği sayı N yalnızca 2'ye ve 1 ve kendisi dışındaki diğer tam sayılara tam olarak bölünemiyorsa asaldır. Yukarıdaki formül gereksiz adımları ortadan kaldırır ve zaman tasarrufu sağlar: örneğin bir sayının 3'e bölünüp bölünemediğini kontrol ettikten sonra 9'a bölünüp bölünemediğini kontrol etmeye gerek yoktur.
- Floor(x) işlevi, x'i x'ten küçük veya ona eşit olan en yakın tam sayıya yuvarlar.
Modüler aritmetik hakkında bilgi edinin."X mod y" işlemi (mod, Latince "modulo" yani "modül" kelimesinin kısaltmasıdır) "x'i y'ye böl ve kalanı bul" anlamına gelir. Başka bir deyişle, modüler aritmetikte belirli bir değere ulaşıldığında buna denir. modül, sayılar tekrar sıfıra "döner". Örneğin bir saat, zamanı 12 modülüyle tutar: saat 10, 11 ve 12'yi gösterir ve sonra 1'e döner.
- Çoğu hesap makinesinde mod tuşu bulunur. Bu bölümün sonunda bu fonksiyonun büyük sayılar için manuel olarak nasıl değerlendirileceği gösterilmektedir.
Fermat'ın Küçük Teoreminin tuzakları hakkında bilgi edinin. Test koşullarının karşılanmadığı tüm sayılar bileşiktir ancak geri kalan sayılar yalnızca muhtemelen basit olarak sınıflandırılır. Yanlış sonuçlardan kaçınmak istiyorsanız, N"Carmichael sayıları" (bu testi karşılayan bileşik sayılar) ve "sözde" listesinde asal sayılarÇiftlik" (bu sayılar yalnızca bazı değerler için test koşullarına karşılık gelir) A).
Uygunsa Miller-Rabin testini kullanın. Rağmen Bu method Manuel olarak hesaplama yaparken oldukça hantal olduğundan sıklıkla kullanılır. bilgisayar programları. Kabul edilebilir bir hız sağlar ve Fermat'ın yöntemine göre daha az hata üretir. Bileşik sayı, değerlerin ¼'ünden fazlası için hesaplama yapılması durumunda asal sayı olarak kabul edilmeyecektir. A. Rastgele seçerseniz Farklı anlamlar A ve hepsi için test olumlu sonuç verecektir, oldukça yüksek bir güvenle şunu varsayabiliriz: N bir asal sayıdır.
Büyük sayılar için modüler aritmetik kullanın. Elinizde mod işlevi olan bir hesap makineniz yoksa veya hesap makinesi bu tür işlemler için tasarlanmamışsa büyük sayılar hesaplamaları kolaylaştırmak için kuvvetlerin özelliklerini ve modüler aritmetiği kullanın. Aşağıda bunun için bir örnek verilmiştir 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:
- İfadeyi daha fazla yeniden yazın uygun form: mod 50. Manuel hesaplamalar için daha fazla basitleştirme gerekli olabilir.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Burada modüler çarpma özelliğini dikkate aldık.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle =49).
Sayılar farklıdır: doğal, rasyonel, rasyonel, tam sayı ve kesirli, pozitif ve negatif, karmaşık ve asal, tek ve çift, gerçek vb. Bu makaleden asal sayıların ne olduğunu öğrenebilirsiniz.
İngilizce'de hangi sayılara "basit" denir?
Çoğu zaman, okul çocukları matematikteki en basit sorulardan birine, asal sayının ne olduğuna dair ilk bakışta nasıl cevap vereceklerini bilmiyorlar. Asal sayıları sıklıkla doğal sayılarla (yani insanların nesneleri sayarken kullandıkları, bazı kaynaklarda sıfırla, bazılarında ise bir ile başlayan sayılar) karıştırırlar. Ancak bunlar tamamen iki farklı kavramdır. Asal sayılar doğal sayılardır, yani birden büyük olan ve yalnızca 2 doğal böleni olan tam sayılar ve pozitif sayılardır. Üstelik bu bölenlerden biri verilen sayı, ikincisi ise birdir. Örneğin üç asal sayıdır çünkü kendisinden ve birden başka hiçbir sayıya kalansız bölünemez.
Bileşik sayılar
Asal sayıların tersi bileşik sayılardır. Onlar da doğaldır, yine birden büyüktür, ancak iki değil, daha fazla sayıda böleni vardır. Yani örneğin 4, 6, 8, 9 vb. sayılar doğal, bileşik sayılardır ancak asal sayılar değildir. Gördüğünüz gibi bunlar çoğunlukla çift sayılardır, ancak hepsi değildir. Ancak "iki" bir çift sayıdır ve asal sayılar dizisinin "ilk sayısı"dır.
Alt sıra
Bir dizi asal sayı oluşturmak için tüm doğal sayılar arasından tanımlarını dikkate alarak seçim yapmak, yani çelişkili hareket etmek gerekir. Pozitif doğal sayıların her birinin ikiden fazla böleni olup olmadığını incelemek gerekir. Asal sayılardan oluşan bir seri (dizi) oluşturmaya çalışalım. Liste iki ile başlar, sadece kendisine ve bire bölünebildiği için üç ile devam eder. Dört sayısını düşünün. Dört ve bir dışında bölenleri var mı? Evet bu sayı 2'dir. Yani dört asal sayı değildir. Beş de asaldır (1 ve 5 dışında başka hiçbir sayıya bölünemez), ancak altı bölünebilir. Ve genel olarak tüm çift sayıları takip ederseniz "iki" dışında hiçbirinin asal olmadığını fark edeceksiniz. Bundan iki dışındaki çift sayıların asal olmadığı sonucuna varırız. Başka bir keşif: Üçün kendisi dışında, ister çift ister tek olsun, üçe bölünebilen tüm sayılar da asal değildir (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, vb.). Aynı şey beşe ve yediye bölünebilen sayılar için de geçerlidir. Bütün bunların çokluğu da basit değil. Özetleyelim. Yani basit olanlara tek haneli sayılar Bir ve dokuz dışındaki tüm tek sayılar dahil edilmiştir ve çift sayılar çift sayılardır. Onlarlık sayılar (10, 20,... 40, vb.) basit değildir. İki basamaklı, üç basamaklı vb. asal sayılar yukarıdaki ilkelere göre belirlenebilir: Kendilerinden ve birden başka böleni yoksa.
Asal sayıların özelliklerine ilişkin teoriler
Asal sayılar da dahil olmak üzere tam sayıların özelliklerini inceleyen bir bilim vardır. Bu, yüksek denilen bir matematik dalıdır. Tamsayıların özelliklerinin yanı sıra cebirsel ve aşkın sayılar ve bu sayıların aritmetiğiyle ilgili çeşitli kökenlerdeki fonksiyonlarla da ilgilenmektedir. Bu çalışmalarda temel ve cebirsel yöntemlerin yanı sıra analitik ve geometrik yöntemler de kullanılmaktadır. Özellikle “Sayı Teorisi” asal sayıların incelenmesiyle ilgilidir.
Asal sayılar doğal sayıların “yapı taşlarıdır”
Aritmetikte temel teorem adı verilen bir teorem vardır. Ona göre herhangi bir doğal sayı Biri hariç, çarpanları asal sayı olan ve çarpanların sırası tek olan bir çarpım olarak gösterilebilir, bu da temsil yönteminin tek olduğu anlamına gelir. Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmasına denir. Bu işlemin başka bir adı daha var; sayıların çarpanlara ayrılması. Buna dayanarak asal sayılara “” denilebilir. Yapı malzemesi”, Doğal sayıları oluşturmak için “bloklar”.
Asal sayıları arayın. Basitlik testleri
Farklı zamanlardan birçok bilim adamı, asal sayıların bir listesini bulmak için bazı ilkeler (sistemler) bulmaya çalıştı. Bilim, Atkin eleği, Sundartham eleği ve Eratosthenes eleği adı verilen sistemleri biliyor. Ancak anlamlı sonuçlar vermezler ve asal sayıları bulmak için basit bir test kullanılır. Matematikçiler de algoritmalar yarattılar. Bunlara genellikle asallık testleri denir. Mesela Rabin ve Miller'ın geliştirdiği bir test var. Kriptograflar tarafından kullanılır. Kayal-Agrawal-Sasquena testi de var. Bununla birlikte, yeterli doğruluğa rağmen hesaplanması çok zordur ve bu da pratik önemini azaltır.
Asal sayılar kümesinin bir sınırı var mıdır?
Antik Yunan bilim adamı Öklid, “Elementler” adlı kitabında asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunu yazmıştı. Şunu söyledi: “Bir an için asal sayıların bir sınırı olduğunu düşünelim. Daha sonra bunları birbiriyle çarpalım ve bir tanesini çarpıma ekleyelim. Bu basit işlemler sonucunda elde edilen sayı herhangi bir asal sayı dizisine bölünemez çünkü kalan her zaman bir olacaktır. Bu, asal sayılar listesinde henüz yer almayan başka bir sayının olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla varsayımımız doğru değildir ve bu kümenin limiti olamaz. Öklid'in kanıtının yanı sıra, on sekizinci yüzyıl İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından verilen daha modern bir formül de var. Buna göre ilk n sayının toplamının tersinin toplamı, n sayısı arttıkça sınırsız olarak büyümektedir. Asal sayıların dağılımına ilişkin teoremin formülü ise şöyle: (n), n/ln (n) kadar artar.
En büyük asal sayı nedir?
Aynı Leonard Euler, zamanının en büyük asal sayısını bulmayı başardı. Bu 2 31 - 1 = 2147483647'dir. Ancak 2013 yılına kadar asal sayılar listesindeki en doğru en büyük sayı hesaplandı - 2 57885161 - 1. Buna Mersenne sayısı denir. Yaklaşık 17 milyon içerir Ondalık basamak. Gördüğünüz gibi, bir 18. yüzyıl bilim adamının bulduğu sayı bundan birkaç kat daha küçüktür. Öyle olması gerekirdi çünkü Euler bu hesaplamayı manuel olarak yapıyordu, oysa çağdaşımıza muhtemelen bir bilgisayar yardım ediyordu. Üstelik bu sayı Amerika'daki bölümlerden birinde Matematik Fakültesi'nde elde edildi. Bu bilim adamının adını taşıyan sayılar Luc-Lemaire asallık testini geçiyor. Ancak bilim burada durmak istemiyor. 1990 yılında Amerika Birleşik Devletleri'nde (EFF) kurulan Electronic Frontier Foundation, büyük asal sayıları bulanlara parasal bir ödül teklif etti. Ve eğer 2013 yılına kadar ödül, onları 1 ile 10 milyon arasında bulan bilim insanlarına verilseydi ondalık sayılar o zaman bugün bu rakam 100 milyondan 1 milyara ulaştı. Ödüller 150 ila 250 bin ABD doları arasında değişiyor.
Özel asal sayıların adları
Bazı bilim adamlarının oluşturduğu algoritmalar sayesinde bulunan ve basitlik testini geçen sayılara özel sayı deniyor. Bunlardan bazıları:
1. Mersin.
4. Cullen.
6. Mills ve diğerleri.
Adını yukarıda adı geçen bilim adamlarının adını taşıyan bu sayıların basitliği, aşağıdaki testler kullanılarak belirlenmektedir:
1.Luc-Lemaire.
2. Pepina.
3. Riesel.
4. Billhart - Lemaire - Selfridge ve diğerleri.
Modern bilim bununla bitmiyor ve muhtemelen yakın gelecekte dünya, en büyük asal sayıyı bularak 250.000 dolarlık ödülü kazanmayı başaranların isimlerini öğrenecek.
Sorun 2.30
Doğal sayılardan oluşan tek boyutlu bir A dizisi verilmiştir. Dizideki asal sayıların sayısını görüntüleyin.
Öncelikle asal sayıların ne olduğunu hatırlatayım.
Şimdi göreve geçelim. Esas olarak asal sayıları bulan bir programa ihtiyacımız var. Ve içindeki unsurları sıralamak ve değerlerini kontrol etmek bir teknoloji meselesidir. Aynı zamanda dizinin asal sayılarını sadece saymakla kalmıyoruz, aynı zamanda görüntülüyoruz.
Pascal'da asal sayı nasıl belirlenir
Çözüm algoritması detaylı analiz Pascal'da vereceğim. Çözümü C++'daki örnek programda görebilirsiniz.
ÖNEMLİ!
Pek çok insanın yanılabileceği nokta burasıdır. Tanım, bir asal sayının olduğunu söylüyor düz iki farklı bölücü Bu nedenle 1 sayısı asal değildir (sıfır herhangi bir sayıya bölünebildiği için asal da değildir).
Kendimiz oluşturacağımız sayıyı kullanarak asal olup olmadığını kontrol edeceğiz. Sayı asal ise bu fonksiyon TRUE değerini döndürecektir.
Fonksiyonda öncelikle sayının ikiden küçük olup olmadığını kontrol edeceğiz. Eğer öyleyse, o zaman artık asal sayı değildir. Sayı 2 veya 3 ise bu açıkça asaldır ve ek bir kontrole gerek yoktur.
Ama eğer N sayısı ise üçten fazla, bu durumda 2'den başlayarak (N-1)'e kadar tüm olası bölenler arasında geçiş yapacağız. Eğer N sayısı herhangi bir bölenle kalansız bölünebiliyorsa bu da asal sayı değildir. Bu durumda döngüyü keseriz (çünkü daha fazla kontrol etmenin bir anlamı yoktur) ve işlev FALSE değerini döndürür.
Bir sayının kendine bölünebilir olup olmadığını kontrol etmenin bir anlamı yoktur (bu nedenle döngü yalnızca N-1'e kadar sürer).
Burada fonksiyonun kendisini sunmayacağım - örnek programlara bakın.
Pascal'da 2.30 problemini çözme benim görevim; //**************************************************** ************* //SABİTLER //******************************** ********* *********************************** COUNT = 100; //Dizinin eleman sayısı //******************************************** *********** ********************** // İŞLEVLER VE PROSEDÜRLER //************ *************************************************** ** //************************************************ * ******** // Sayının asal olup olmadığını kontrol eder // GİRİŞ: N - sayı // ÇIKIŞ: DOĞRU - N sayısı asaldır, YANLIŞ - asal değildir //********** **************************************** **** IsPrimeNumber(N: WORD) : ; var i: ; başlangıç := DOĞRU; N of 0..3: başlangıç N Çıkış; son; son; i:= 2'den (N-1)'e geçin, eğer (N i) = 0 ise //asal sayı değil başlar Sonuç:= FALSE; ; son; son; ben: KELİME; X: KELİME = 0; A: WORD'ün; //**************************************************** **************** // ANA PROGRAM //**************************** ************************************ begin // Diziyi i:= 1'e kadar sayılarla doldur COUNT do A[i] := i; //i:= 1 için dizideki asal sayıları sayın ve seçin; COUNT yapın, eğer IsPrimeNumber(A[i]) sonra başlar (X); Yaz(A[i], " "); son; (#10#13"Asal Sayıların Sayısı = ", X); WriteLn("Son. ENTER'a basın..."); ; son.
C++'da Problem 2.30'un Çözümü#katmak
Makalede asal ve bileşik sayı kavramları tartışılmaktadır. Bu sayıların tanımları örneklerle verilmiştir. Asal sayıların sayısının sınırsız olduğuna dair bir kanıt sunacağız ve bunu Eratosthenes yöntemini kullanarak asal sayılar tablosuna kaydedeceğiz. Bir sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu belirlemek için kanıtlar verilecektir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Asal ve Bileşik Sayılar - Tanımlar ve Örnekler
Asal ve bileşik sayılar pozitif tam sayılar olarak sınıflandırılır. Birden büyük olmaları gerekir. Bölenler ayrıca basit ve bileşik olarak ikiye ayrılır. Bileşik sayılar kavramını anlamak için öncelikle bölen ve kat kavramlarını incelemelisiniz.
Tanım 1
Asal sayılar, birden büyük ve kendisi ve 1 olmak üzere iki pozitif böleni olan tam sayılardır.
Tanım 2
Bileşik sayılar birden büyük ve en az üç pozitif böleni olan tam sayılardır.
Bir ne asal ne de bileşik sayıdır. Tek bir pozitif böleni olduğundan diğer tüm pozitif sayılardan farklıdır. Pozitif tam sayıların tümüne doğal sayılar denir, yani saymada kullanılır.
Tanım 3
asal sayılar yalnızca iki pozitif böleni olan doğal sayılardır.
Tanım 4
Bileşik sayı ikiden fazla pozitif böleni olan bir doğal sayıdır.
1'den büyük olan herhangi bir sayı ya asaldır ya da bileşiktir. Bölünebilme özelliğinden şunu elde ederiz: 1 ve a sayısı her zaman herhangi bir a sayısının bölenleri olacaktır, yani hem kendisine hem de 1'e bölünebilir. Tam sayıların tanımını verelim.
Tanım 5
Asal olmayan doğal sayılara bileşik sayılar denir.
Asal sayılar: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sadece kendilerine ve 1'e bölünebilirler. Bileşik sayılar: 6, 63, 121, 6697. Yani 6 sayısını 2 ve 3'e, 63 sayısını da 1, 3, 7, 9, 21, 63 ve 121 sayısını 11, 11'e ayrıştırabiliriz yani bölenleri 1, 11, 121 olacaktır. 6697 sayısı 37 ve 181'e ayrıştırılmıştır. Asal sayı ve eş asal sayı kavramlarının farklı kavramlar olduğunu unutmayın.
Asal sayıları kullanmayı kolaylaştırmak için bir tablo kullanmanız gerekir:
Mevcut tüm doğal sayıları içeren bir tablo gerçekçi değildir, çünkü bunlardan sonsuz sayıda vardır. Sayılar 10000 veya 1000000000 boyutlarına ulaştığında Eratosthenes Eleği kullanmayı düşünmelisiniz.
Son ifadeyi açıklayan teoremi ele alalım.
Teorem 1
Birden büyük bir doğal sayının 1 dışındaki en küçük pozitif böleni asal sayıdır.
Kanıt 1
a'nın 1'den büyük bir doğal sayı olduğunu, b'nin a'nın bir olmayan en küçük böleni olduğunu varsayalım. Çelişki yöntemini kullanarak b'nin asal sayı olduğunu kanıtlamak gerekir.
B'nin bileşik bir sayı olduğunu varsayalım. Buradan b için hem 1'den hem de b'den farklı bir bölen olduğunu anlıyoruz. Böyle bir bölen b 1 olarak gösterilir. 1. koşulun sağlanması gerekiyor< b 1 < b tamamlanmıştı.
Koşuldan a'nın b'ye bölündüğü, b'nin b 1'e bölündüğü açıktır, bu da bölünebilirlik kavramının şu şekilde ifade edildiği anlamına gelir: a = bq ve b = b 1 · q 1 , buradan a = b 1 · (q 1 · q) , burada q ve q 1 tamsayılardır. Tam sayıların çarpımı kuralına göre, tam sayıların çarpımının a = b 1 · (q 1 · q) biçiminde eşitliğe sahip bir tam sayı olduğunu biliyoruz. Görülüyor ki b 1 a sayısının böleni. Eşitsizlik 1< b 1 < b Olumsuz karşılık gelir, çünkü b'nin a'nın en küçük pozitif ve 1 olmayan böleni olduğunu bulduk.
Teorem 2
Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
Kanıt 2
Muhtemelen sonlu sayıda n doğal sayısını alıyoruz ve bunları p 1, p 2, …, p n olarak gösteriyoruz. Belirtilenlerden farklı bir asal sayı bulma seçeneğini ele alalım.
p 1, p 2, ..., p n + 1'e eşit olan p sayısını dikkate alalım. p 1, p 2, ..., p n formundaki asal sayılara karşılık gelen sayıların her birine eşit değildir. p sayısı asaldır. Daha sonra teoremin kanıtlanmış olduğu kabul edilir. Bileşik ise p n + 1 notasyonunu almanız gerekir. ve bölenin p 1, p 2, ..., p n'den herhangi biriyle çakışmadığını gösterin.
Eğer durum böyle olmasaydı p 1, p 2, ..., p n çarpımının bölünebilme özelliğine göre , pn + 1'e bölünebileceğini bulduk. p n + 1 ifadesinin olduğuna dikkat edin p sayısının bölünmesi p 1, p 2, ..., p n + 1 toplamına eşittir. p n + 1 ifadesini elde ederiz Bu toplamın 1'e eşit olan ikinci teriminin bölünmesi gerekir, ancak bu imkansızdır.
Verilen asal sayılar arasında herhangi bir asal sayının bulunabileceği görülmektedir. Buradan sonsuz sayıda asal sayının olduğu sonucu çıkar.
Çok fazla asal sayı olduğundan tablolar 100, 1000, 10000 vb. sayılarla sınırlıdır.
Asal sayılar tablosunu derlerken, böyle bir görevin 2'den 100'e kadar sayıların sıralı olarak kontrol edilmesini gerektirdiğini dikkate almalısınız. Bölen yoksa tabloya kaydedilir, bileşik ise tabloya girilmez.
Gelin adım adım bakalım.
2 sayısıyla başlarsanız, yalnızca 2 böleni vardır: 2 ve 1, bu da tabloya girilebileceği anlamına gelir. 3 numarayla aynı. 4 sayısı bileşiktir; 2 ve 2'ye ayrıştırılması gerekir. 5 sayısı asaldır, yani tabloya kaydedilebilir. Bunu 100 sayısına kadar yapın.
Bu method uygunsuz ve uzun. Bir masa oluşturabilirsiniz, ancak harcamanız gerekecek çok sayıda zaman. Bölenleri bulma sürecini hızlandıracak bölünebilme kriterlerini kullanmak gerekir.
Eratosthenes eleğini kullanan yöntemin en uygun olduğu kabul edilir. Örnek olarak aşağıdaki tablolara bakalım. Başlangıç olarak 2, 3, 4, ..., 50 sayıları yazılır.
Şimdi 2'nin katı olan tüm sayıların üzerini çizmeniz gerekiyor. Sıralı üst çizgileri gerçekleştirin. Şöyle bir tablo elde ediyoruz:
5'in katı olan sayıların üzerini çizmeye devam ediyoruz. Şunu elde ederiz:
7, 11'in katı olan sayıların üzerini çizin. Sonuçta tablo şuna benziyor
Teoremin formülasyonuna geçelim.
Teorem 3
A tabanının en küçük pozitif ve 1 olmayan böleni a'yı aşmaz; burada a, verilen sayının aritmetik köküdür.
Kanıt 3
Bileşik bir a sayısının en küçük bölenini b olarak belirtmek gerekir. a = b · q olan bir q tam sayısı vardır ve b ≤ q'ya sahibiz. Formdaki eşitsizlikler kabul edilemez b > q,Çünkü koşul ihlal edilmiştir. b ≤ q eşitsizliğinin her iki tarafı da 1'e eşit olmayan herhangi bir pozitif b sayısıyla çarpılmalıdır. b 2 ≤ a ve b ≤ a olmak üzere b · b ≤ b · q sonucunu elde ederiz.
Kanıtlanmış teoremden, tablodaki sayıların üzerinin çizilmesinin, b 2'ye eşit ve b 2 ≤ a eşitsizliğini karşılayan bir sayıyla başlamanın gerekli olduğu gerçeğine yol açtığı açıktır. Yani, 2'nin katı olan sayıların üzerini çizerseniz, süreç 4 ile başlar ve 3'ün katları 9 ile başlar ve bu şekilde 100'e kadar devam eder.
Eratosthenes teoremini kullanarak böyle bir tablo derlemek, tüm bileşik sayıların üzeri çizildiğinde, n'yi aşmayan asal sayıların kalacağını gösterir. N = 50 olan örnekte n = 50 elde ederiz. Buradan Eratosthenes süzgecinin değeri önemli olmayan tüm bileşik sayıları elediğini anlıyoruz. daha büyük değer 50'nin kökü. Numaraların aranması üzeri çizilerek yapılır.
Çözmeden önce sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu bulmanız gerekir. Bölünebilme kriterleri sıklıkla kullanılır. Aşağıdaki örnekte buna bakalım.
örnek 1
898989898989898989 sayısının bileşik olduğunu kanıtlayın.
Çözüm
Belirli bir sayının rakamlarının toplamı 9 8 + 9 9 = 9 17'dir. Bu, 9'a bölünebilme testine göre 9 · 17 sayısının 9'a bölünebileceği anlamına gelir. Bundan kompozit olduğu sonucu çıkar.
Bu tür işaretler bir sayının asallığını kanıtlayamaz. Doğrulama gerekiyorsa başka eylemler de gerçekleştirilmelidir. En uygun yol- bir grup sayı. İşlem sırasında asal ve bileşik sayılar bulunabilir. Yani sayıların a değerini aşmaması gerekir. Yani a sayısı asal çarpanlara ayrılmalıdır. eğer bu sağlanırsa, o zaman a sayısı asal sayılabilir.
Örnek 2
11723'ün bileşik veya asal sayısını belirleyin.
Çözüm
Şimdi 11723 sayısının tüm bölenlerini bulmanız gerekiyor. 11723'ü değerlendirmemiz gerekiyor.
Buradan 11723'ü görüyoruz< 200 , то 200 2 = 40 000 ve 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 daha az sayı 200 .
11723 sayısının daha doğru bir tahmini için 108 2 = 11 664 ifadesini yazmanız gerekir ve 109 2 = 11 881 , O 108 2 < 11 723 < 109 2 . 11723 sonucu çıkıyor< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Genişlettiğimizde 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 sayıları asal sayılardır. Tüm bu süreç bir sütunla bölünme olarak gösterilebilir. Yani 11723'ü 19'a bölün. Kalansız bölme işlemi yaptığımız için 19 sayısı onun çarpanlarından biridir. Bölmeyi bir sütun olarak temsil edelim:
Buradan 11723'ün bileşik bir sayı olduğu sonucu çıkar, çünkü kendisine ve 1'e ek olarak 19'a bölen vardır.
Cevap: 11723 bileşik bir sayıdır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bu yazıda keşfedeceğiz asal ve bileşik sayılar. Öncelikle asal ve bileşik sayıların tanımlarını verip örnekler vereceğiz. Daha sonra sonsuz sayıda asal sayının olduğunu ispatlayacağız. Daha sonra asal sayılar tablosu yazacağız ve Eratosthenes kalburu adı verilen yönteme özellikle dikkat ederek asal sayılar tablosu oluşturma yöntemlerini ele alacağız. Sonuç olarak belirli bir sayının asal veya bileşik olduğunu ispatlarken dikkate alınması gereken ana noktaları vurgulayacağız.
Sayfada gezinme.
Asal ve Bileşik Sayılar - Tanımlar ve Örnekler
Asal sayı ve bileşik sayı kavramları birden büyük sayıları ifade eder. Bu tür tam sayılar, pozitif bölenlerinin sayısına bağlı olarak asal ve bileşik sayılara bölünür. Yani anlamak asal ve bileşik sayıların tanımları, bölenlerin ve katların ne olduğunu iyi anlamanız gerekir.
Tanım.
asal sayılar kendileri ve 1 olmak üzere yalnızca iki pozitif böleni olan büyük birimler olan tam sayılardır.
Tanım.
Bileşik sayılar- bunlar, aşağıdakilere göre sahip olan tam sayılardır, büyük birimlerdir: en azından, üç pozitif bölen.
Ayrı olarak, 1 sayısının asal veya bileşik sayılar için geçerli olmadığını not ediyoruz. Birimin yalnızca bir pozitif böleni vardır, o da 1 sayısının kendisidir. Bu, 1 sayısını en az iki pozitif böleni olan diğer tüm pozitif tam sayılardan ayırır.
Pozitif tam sayıların olduğunu ve bir tek pozitif böleni olduğunu göz önünde bulundurursak, asal ve bileşik sayıların belirtilen tanımlarının başka formülasyonlarını da verebiliriz.
Tanım.
asal sayılar yalnızca iki pozitif böleni olan doğal sayılardır.
Tanım.
Bileşik sayılar ikiden fazla pozitif böleni olan doğal sayılardır.
Birden büyük her pozitif tam sayının ya asal ya da bileşik sayı olduğunu unutmayın. Yani asal ve bileşik olmayan tek bir tam sayı yoktur. Bu, 1 ve a sayılarının her zaman herhangi bir a tam sayısının bölenleri olduğunu belirten bölünebilirlik özelliğinden kaynaklanır.
Önceki paragraftaki bilgilere dayanarak bileşik sayıların aşağıdaki tanımını verebiliriz.
Tanım.
Asal olmayan doğal sayılara denir kompozit.
Hadi verelim asal ve bileşik sayılara örnekler.
Bileşik sayıların örnekleri arasında 6, 63, 121 ve 6.697 yer alır. Bu ifadenin de açıklığa kavuşturulması gerekiyor. 6 sayısının, 1 ve 6 pozitif bölenlerine ek olarak, 2 ve 3 bölenleri de vardır, çünkü 6 = 2 3, dolayısıyla 6 gerçekten bileşik bir sayıdır. 63'ün pozitif bölenleri 1, 3, 7, 9, 21 ve 63 sayılarıdır. 121 sayısı 11·11 çarpımına eşit olduğundan pozitif bölenleri 1, 11 ve 121'dir. Ve 6,697 sayısı bileşiktir, çünkü pozitif bölenleri 1 ve 6,697'ye ek olarak 37 ve 181 sayılarıdır.
Bu noktanın sonucu olarak asal sayılar ile eş asal sayıların aynı şey olmaktan uzak olduğuna da dikkat çekmek isterim.
Asal sayılar tablosu
Kolaylık sağlamak için asal sayılar daha fazla kullanım, asal sayılar tablosu adı verilen bir tabloya kaydedilir. Aşağıda asal sayılar tablosu 1.000'e kadar.
Mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: "Neden asal sayılar tablosunu sadece 1.000'e kadar doldurduk, mevcut tüm asal sayıların tablosunu oluşturmak mümkün değil mi?"
Önce bu sorunun ilk kısmına cevap verelim. Asal sayıların kullanılmasını gerektiren çoğu problem için bin içindeki asal sayılar yeterli olacaktır. Diğer durumlarda, büyük olasılıkla bazı özel çözümlere başvurmanız gerekecektir. Tabii ki, isteğe bağlı olarak büyük bir sonlu tam sayıya kadar asal sayıların bir tablosunu yapabiliriz. pozitif sayıİster 10.000 ister 1.000.000.000 olsun, bir sonraki paragrafta asal sayı tablolarının derlenmesine yönelik yöntemlerden bahsedeceğiz, özellikle denilen yöntemi analiz edeceğiz.
Şimdi mevcut tüm asal sayıların bir tablosunu derleme olasılığına (veya daha doğrusu imkansızlığına) bakalım. Asal sayıların sonsuz sayıda olması nedeniyle tüm asal sayıların tablosunu yapamayız. Son ifade, aşağıdaki yardımcı teoremden sonra kanıtlayacağımız bir teoremdir.
Teorem.
Birden büyük bir doğal sayının 1 dışındaki en küçük pozitif böleni asal sayıdır.
Kanıt.
İzin vermek a, birden büyük bir doğal sayıdır ve b, a'nın birden büyük pozitif bölenidir. B'nin asal sayı olduğunu çelişkili olarak kanıtlayalım.
B'nin bileşik bir sayı olduğunu varsayalım. Sonra b sayısının hem 1'den hem de b'den farklı bir böleni var (bunu b 1 olarak gösterelim). Bölenin mutlak değerinin, bölünebilirliğin mutlak değerini aşmadığını da hesaba katarsak (bölünebilme özelliklerinden bunu biliyoruz), o zaman koşul 1'in karşılanması gerekir.
a sayısı b'ye koşula göre bölünebildiğine göre ve b'nin de b 1'e bölünebileceğini söylediğimize göre, bölünebilirlik kavramı a=b q ve b=b şeklinde q ve q 1 tamsayılarının varlığından söz etmemizi sağlar. 1 q 1 , buradan a= b 1 ·(q 1 ·q) . İki tam sayının çarpımı bir tam sayı olduğu için a=b 1 ·(q 1 ·q) eşitliği b 1'in a sayısının bir böleni olduğunu gösterir. Yukarıdaki eşitsizlikler dikkate alınarak 1
Artık sonsuz sayıda asal sayının olduğunu kanıtlayabiliriz.
Teorem.
Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
Kanıt.
Durumun böyle olmadığını varsayalım. Yani, yalnızca n tane asal sayı olduğunu ve bu asal sayıların p 1, p 2, ..., p n olduğunu varsayalım. Her zaman belirtilenlerden farklı bir asal sayı bulabileceğimizi gösterelim.
p sayısının p 1 ·p 2 ·…·p n +1'e eşit olduğunu düşünün. Bu sayının p 1, p 2, ..., p n asal sayılarının her birinden farklı olduğu açıktır. Eğer p sayısı asal ise teorem kanıtlanmış olur. Eğer bu sayı bileşik sayıysa, önceki teorem uyarınca bu sayının bir asal böleni vardır (bunu p n+1 olarak gösteririz). Bu bölenin p 1, p 2, ..., p n sayılarından hiçbiriyle çakışmadığını gösterelim.
Eğer böyle olmasaydı, bölünebilme özelliklerine göre p 1 ·p 2 ·…·p n çarpımı p n+1'e bölünürdü. Ancak p sayısı aynı zamanda p n+1'e de bölünebilir, bu da p 1 ·p 2 ·…·p n +1 toplamına eşittir. Buradan p n+1'in bu toplamın bire eşit olan ikinci terimini bölmesi gerektiği sonucu çıkar, ancak bu imkansızdır.
Böylece önceden belirlenen asal sayılar arasında yer almayan yeni bir asal sayının her zaman bulunabileceği kanıtlanmıştır. Bu nedenle sonsuz sayıda asal sayı vardır.
Dolayısıyla, sonsuz sayıda asal sayı olması nedeniyle, asal sayı tablolarını derlerken kendinizi her zaman yukarıdan bir sayıyla, genellikle 100, 1.000, 10.000 vb. ile sınırlandırırsınız.
Eratostenes Eleği
Şimdi asal sayılar tablosu oluşturmanın yollarını tartışacağız. 100'e kadar asal sayıların bir tablosunu yapmamız gerektiğini varsayalım.
Bu sorunu çözmenin en belirgin yöntemi, 2'den başlayıp 100 ile biten pozitif tam sayıları, 1'den büyük ve test edilen sayıdan küçük bir pozitif bölenin varlığı açısından sırayla kontrol etmektir (bildiğimiz bölünebilirlik özelliklerinden) Bölenin mutlak değeri, sıfır olmayan temettü mutlak değerini aşmaz). Böyle bir bölen bulunamazsa test edilen sayı asaldır ve asal sayılar tablosuna girilir. Böyle bir bölen bulunursa, test edilen sayı bileşiktir; asal sayılar tablosuna girilmez. Bundan sonra, bir bölenin varlığı açısından benzer şekilde kontrol edilen bir sonraki sayıya geçiş yapılır.
İlk birkaç adımı açıklayalım.
2 numarayla başlıyoruz. 2 sayısının 1 ve 2 dışında pozitif böleni yoktur. Bu nedenle basittir, bu nedenle asal sayılar tablosuna giriyoruz. Burada 2'nin en küçük asal sayı olduğunu söylemek gerekir. Gelelim 3 numaraya. 1 ve 3 dışındaki olası pozitif böleni 2 sayısıdır. Ancak 3, 2'ye bölünemez, bu nedenle 3 asal bir sayıdır ve asal sayılar tablosuna da dahil edilmesi gerekir. 4 numaraya geçelim. 1 ve 4 dışındaki pozitif bölenleri 2 ve 3 sayıları olabilir, kontrol edelim. 4 sayısı 2'ye bölünebilir, bu nedenle 4 bileşik bir sayıdır ve asal sayılar tablosuna dahil edilmesi gerekmez. Lütfen 4'ün en küçük bileşik sayı olduğunu unutmayın. 5 numaraya geçelim. 2, 3, 4 sayılarından en az birinin böleni olup olmadığını kontrol ediyoruz. 5, 2'ye, 3'e veya 4'e bölünemediği için asaldır ve asal sayılar tablosuna yazılması gerekir. Daha sonra 6, 7 vb. sayılara 100'e kadar geçiş yapılır.
Asal sayılar tablosunu derlemeye yönelik bu yaklaşım ideal olmaktan uzaktır. Öyle ya da böyle var olma hakkı var. Tamsayılardan oluşan bir tablo oluşturmanın bu yöntemiyle, bölenleri bulma sürecini biraz hızlandıracak bölünebilirlik kriterlerini kullanabileceğinizi unutmayın.
Asal sayılar tablosu oluşturmanın daha uygun bir yolu var. Adında bulunan "elek" kelimesi tesadüfi değildir, çünkü bu yöntemin eylemleri, basit sayıları bileşik olanlardan ayırmak için tam sayıları ve büyük birimleri Eratosthenes eleği aracılığıyla "elemeye" yardımcı olur.
50'ye kadar asal sayılar tablosunu derlerken Eratosthenes'in eleğinin çalışmasını gösterelim.
Öncelikle 2, 3, 4, ..., 50 rakamlarını sırasıyla yazın.
İlk yazılan sayı olan 2 asaldır. Şimdi 2 numaradan itibaren sırayla iki sayı sağa doğru ilerliyoruz ve derlenmekte olan sayılar tablosunun sonuna ulaşana kadar bu sayıların üzerini çiziyoruz. Bu, ikinin katı olan tüm sayıların üzerini çizecektir.
2'den sonra üstü çizili olmayan ilk sayı 3'tür. Bu sayı asaldır. Şimdi, 3 numaradan, sırayla üç sayı ile sağa doğru hareket ediyoruz (önceden çizilen sayıları hesaba katarak) ve üstlerini çiziyoruz. Bu, üçün katı olan tüm sayıların üzerini çizecektir.
3'ten sonra üstü çizili olmayan ilk sayı 5'tir. Bu sayı asaldır. Şimdi 5 numaradan sürekli olarak 5 numara sağa doğru hareket ediyoruz (daha önce üzeri çizilen sayıları da hesaba katıyoruz) ve üstlerini çiziyoruz. Bu, beşin katı olan tüm sayıların üzerini çizecektir.
Daha sonra 7'nin katı olan sayıların üzerini çiziyoruz, ardından 11'in katı olan sayıların üzerini çiziyoruz ve bu şekilde devam ediyoruz. Üstü çizilecek başka sayı kalmadığında işlem sona erer. Aşağıda Eratosthenes eleği kullanılarak elde edilen 50'ye kadar asal sayıların tamamlanmış tablosu yer almaktadır. Üzeri çizili olmayan tüm sayılar asaldır ve üstü çizili olan tüm sayılar bileşiktir.
Ayrıca Eratosthenes süzgecini kullanarak asal sayılar tablosunu derleme sürecini hızlandıracak bir teoremi formüle edip kanıtlayalım.
Teorem.
Bir bileşik a sayısının birden farklı olan en küçük pozitif böleni, a'dan itibaren olan değeri aşmaz.
Kanıt.
Birden farklı bir bileşik a sayısının en küçük bölenini b harfiyle gösterelim (önceki paragrafın en başında kanıtlanan teoremden anlaşılacağı üzere b sayısı asaldır). O halde a=b·q şeklinde bir q tamsayısı vardır (burada q, tamsayıların çarpma kurallarından çıkan pozitif bir tam sayıdır) ve (b>q için b'nin a'nın en küçük böleni olması koşulu ihlal edilmiştir) çünkü a=q·b) eşitliği nedeniyle q aynı zamanda a sayısının bir böleni olduğundan. Eşitsizliğin her iki tarafını da bir pozitif ve birden büyük bir tamsayı ile çarparak (bunu yapmamıza izin verilir), ve'yi elde ederiz.
Kanıtlanmış teorem Eratostenes eleği hakkında bize ne veriyor?
İlk olarak, bir asal sayı b'nin katları olan bileşik sayıların üzerinin çizilmesi, eşit bir sayıyla başlamalıdır (bu eşitsizlikten kaynaklanır). Örneğin, ikinin katı olan sayıların üzerinin çizilmesi 4 sayısıyla, üçün katları 9 sayısıyla, beşin katları 25 sayısıyla vb. başlamalıdır.
İkinci olarak, Eratosthenes süzgeci kullanılarak n sayısına kadar asal sayılar tablosunun derlenmesi, asal sayıların katları olan tüm bileşik sayıların 'yi aşmaması durumunda tamamlanmış sayılabilir. Örneğimizde n=50 (50'ye kadar asal sayılar tablosu yaptığımız için) ve bu nedenle Eratosthenes süzgecinin, 2, 3, 5 ve 7 asal sayıların katları olan tüm bileşik sayıları elemesi gerekir. 50'nin aritmetik karekökünü aşamaz. Yani, artık 11, 13, 17, 19, 23 ve benzeri asal sayıların katları olan sayıları 47'ye kadar aramamıza ve üstlerini çizmemize gerek yok, çünkü bu sayıların üzeri zaten daha küçük asal sayılar 2'nin katları olarak çizilmiş olacaktır. , 3, 5 ve 7 .
Bu sayı asal mı yoksa bileşik mi?
Bazı görevler belirli bir sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu bulmayı gerektirir. Genel olarak bu görev, özellikle yazıları önemli sayıda karakterden oluşan sayılar için basit olmaktan uzaktır. Çoğu durumda, sorunu çözmenin belirli bir yolunu aramanız gerekir. Ancak basit durumlar için düşünce zincirine yön vermeye çalışacağız.
Elbette belirli bir sayının bileşik olduğunu kanıtlamak için bölünebilme testlerini kullanmayı deneyebilirsiniz. Örneğin, bir bölünebilirlik testi, belirli bir sayının birden büyük bir pozitif tam sayıya bölünebildiğini gösteriyorsa, o zaman orijinal sayı bileşiktir.
Örnek.
898.989.898.989.898.989'un bileşik bir sayı olduğunu kanıtlayın.
Çözüm.
Bu sayının rakamlarının toplamı 9·8+9·9=9·17'dir. 9.17'ye eşit olan sayı 9'a bölünebildiğine göre, 9'a bölünebilme yöntemine göre orijinal sayının da 9'a bölünebildiğini söyleyebiliriz. Bu nedenle kompozittir.
Bu yaklaşımın önemli bir dezavantajı, bölünebilirlik kriterlerinin bir sayının asallığını kanıtlamaya izin vermemesidir. Bu nedenle bir sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğunu test ederken farklı bir şekilde ilerlemeniz gerekir.
En mantıklı yaklaşım, belirli bir sayının olası tüm bölenlerini denemektir. Olası bölenlerden hiçbiri belirli bir sayının gerçek böleni değilse bu sayı asal olacaktır, aksi takdirde bileşik olacaktır. Önceki paragrafta kanıtlanan teoremlerden, belirli bir a sayısının bölenlerinin, 'yi aşmayan asal sayılar arasında aranması gerektiği sonucu çıkıyor. Böylece, belirli bir a sayısı, a sayısının bölenini bulmaya çalışarak asal sayılara (bunlar asal sayılar tablosundan uygun şekilde alınır) sırayla bölünebilir. Bir bölen bulunursa, a sayısı bileşiktir. 'yi geçmeyen asal sayılar arasında a sayısının böleni yoksa a sayısı asaldır.
Örnek.
Sayı 11 723 basit mi bileşik mi?
Çözüm.
11,723 sayısının bölenlerinin hangi asal sayıya kadar olabileceğini bulalım. Bunu yapmak için değerlendirelim.
Oldukça açık ki 
, 200'den beri 2 =40.000 ve 11.723<40 000
(при необходимости смотрите статью sayıların karşılaştırılması). Dolayısıyla 11.723'ün olası asal çarpanları 200'den küçüktür. Bu zaten işimizi çok kolaylaştırıyor. Eğer bunu bilmeseydik 200'e kadar değil, 11.723'e kadar tüm asal sayıların üzerinden geçmek zorunda kalırdık.
İstenirse daha doğru değerlendirme yapılabilir. 108 2 =11,664 ve 109 2 =11,881 olduğuna göre 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Bu nedenle, 109'dan küçük asal sayılardan herhangi biri, verilen 11.723 sayısının potansiyel olarak asal çarpanıdır.
Şimdi 11,723 sayısını sırasıyla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 asal sayılarına böleceğiz. , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . 11.723 sayısı yazılı asal sayılardan birine bölünürse bileşik olur. Eğer yazılı asal sayılardan herhangi birine bölünemiyorsa asıl sayı asaldır.
Bütün bu tekdüze ve tekdüze bölünme sürecini anlatmayacağız. Hemen diyelim ki 11.723
