İki düzlem arasındaki açı kavramı. Dihedral açı. Tam Resimli Kılavuz (2019)

İki farklı düzlem arasındaki açının büyüklüğü, düzlemlerin herhangi bir göreceli konumu için belirlenebilir.

Düzlemlerin paralel olması önemsiz bir durum. Daha sonra aralarındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.

Düzlemlerin kesişmesi önemsiz olmayan bir durum. Bu dava daha fazla tartışmanın konusudur. Öncelikle dihedral açı kavramına ihtiyacımız var.

9.1 Dihedral açı

Dihedral açı, ortak bir düz çizgiye sahip iki yarım düzlemdir (buna dihedral açının kenarı denir). İncirde. Şekil 50, yarım düzlemlerin oluşturduğu bir dihedral açıyı göstermektedir ve; bu dihedral açının kenarı, bu yarım düzlemlerde ortak olan düz çizgi a'dır.

Pirinç. 50. Dihedral açı

Dihedral açı tek kelimeyle derece veya radyan cinsinden ölçülebilir; dihedral açının açısal değerini girin. Bu şu şekilde yapılır.

Yarım düzlemlerin oluşturduğu dihedral açının kenarında keyfi bir M noktası alıyoruz. Bu yarım düzlemlerde bulunan ve kenara dik olan sırasıyla MA ve MB ışınlarını çizelim (Şekil 51).

Pirinç. 51. Doğrusal dihedral açı

Ortaya çıkan AMB açısı dihedral açının doğrusal açısıdır. " = \AMB açısı tam olarak dihedral açımızın açısal değeridir.

Tanım. Bir dihedral açının açısal büyüklüğü, belirli bir dihedral açının doğrusal açısının büyüklüğüdür.

Dihedral açının tüm doğrusal açıları birbirine eşittir (sonuçta birbirlerinden paralel kayma ile elde edilirler). Bu yüzden bu tanım doğru: "değeri şunlara bağlı değildir: özel seçim dihedral açının kenarındaki M noktaları.

9.2 Düzlemler arasındaki açının belirlenmesi

İki düzlem kesiştiğinde dört dihedral açı elde edilir. Hepsi aynı boyuta sahipse (her biri 90), o zaman düzlemlere dik denir; Bu durumda düzlemler arasındaki açı 90 olur.

Tüm dihedral açılar aynı değilse (yani, iki dar ve iki geniş açı varsa), o zaman düzlemler arasındaki açı, dar dihedral açının değeridir (Şekil 52).

Pirinç. 52. Düzlemler arasındaki açı

9.3 Problem çözme örnekleri

Şimdi üç soruna bakalım. Birincisi basit, ikincisi ve üçüncüsü matematikte Birleşik Devlet Sınavında yaklaşık olarak C2 düzeyindedir.

Problem 1. Düzgün bir tetrahedronun iki yüzü arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. ABCD olsun düzenli tetrahedron. Karşılık gelen yüzlerin ortancalarını AM ve DM'yi ve ayrıca tetrahedronun DH yüksekliğini çizelim (Şekil 53).

Pirinç. 53. Görev 1'e

Ortancalar olan AM ve DM aynı zamanda eşkenar yüksekliklerdir ABC üçgenleri ve DBC. Dolayısıyla " = \AMD açısı, ABC ve DBC yüzlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bunu DHM üçgeninden buluruz:

Cevap: arccos 1 3 .

Problem 2. Düzenli dörtgen piramit SABCD'de (köşe noktası S olan), yan kenar tabanın kenarına eşittir. K noktası SA kenarının ortasıdır. Düzlemler arasındaki açıyı bulun

Çözüm. BC çizgisi AD'ye paraleldir ve dolayısıyla ADS düzlemine paraleldir. Bu nedenle, KBC düzlemi ADS düzlemini BC'ye paralel KL düz çizgisi boyunca keser (Şekil 54).

Pirinç. 54. Görev 2'ye

Bu durumda KL aynı zamanda AD doğrusuna da paralel olacaktır; bu nedenle KL orta hat ADS üçgeni ve L noktası DS'nin orta noktasıdır.

Piramidin yüksekliğini SO bulalım. N, DO'nun ortası olsun. O halde LN, DOS üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla LN k SO'dur. Bu, LN'nin ABC düzlemine dik olduğu anlamına gelir.

N noktasından dik NM'yi BC düz çizgisine indiriyoruz. Düz çizgi NM, eğimli LM'nin ABC düzlemine izdüşümü olacaktır. Üç dik teoremden LM'nin aynı zamanda BC'ye de dik olduğu sonucu çıkar.

Dolayısıyla " = \LMN açısı, KBC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bu açıyı şuradan arayacağız: dik üçgen LMN.

Piramidin kenarı a'ya eşit olsun. İlk önce piramidin yüksekliğini buluyoruz:

Çözüm. A1 K ve AB doğrularının kesişme noktası L olsun. Daha sonra A1 KC düzlemi ABC düzlemini CL düz çizgisi boyunca keser (Şekil 55).

A C

Pirinç. 55. Sorun 3'e

A1 B1 K ve KBL üçgenlerinin kenar ve dar açıları eşittir. Dolayısıyla diğer bacaklar eşittir: A1 B1 = BL.

ACL üçgenini düşünün. İçinde BA = BC = BL. CBL açısı 120'dir; dolayısıyla \BCL = 30 . Ayrıca \BCA = 60 . Bu nedenle \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Peki LC? AC. Ancak AC çizgisi, A1 C çizgisinin ABC düzlemine izdüşümü olarak hizmet eder. Üç dik teoreminden şu sonuca varırız: LC? A1 C.

Dolayısıyla A1 CA açısı, A1 KC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bu istenilen açıdır. A1 AC ikizkenar dik üçgeninden bunun 45'e eşit olduğunu görüyoruz.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

Normal bir ABCDA_1B_1C_1D_1 prizması verildiğinde, M ve N sırasıyla AB ve BC kenarlarının orta noktalarıdır, K noktası MN'nin orta noktasıdır.

A) KD_1 ve MN doğrularının dik olduğunu kanıtlayın.

B) Aşağıdaki durumda MND_1 ve ABC düzlemleri arasındaki açıyı bulun. AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Çözüm

A)\triangle DCN ve \triangle MAD'de elimizde: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

Dolayısıyla \triangle DCN=\triangle MAD iki ayak üzerindedir. Daha sonra MD=DN, \üçgen DMN ikizkenar. Bu, medyan DK'nin aynı zamanda yükseklik olduğu anlamına gelir. Bu nedenle DK \perp MN.

Koşula göre DD_1 \perp MND, D_1K - eğik, KD - projeksiyon, DK \perp MN.

Dolayısıyla teoreme göre üç dik MN\perp D_1K.

B) Kanıtlandığı gibi A), DK \perp MN ve MN \perp D_1K, ancak MN, MND_1 ve ABC düzlemlerinin kesişme çizgisidir; bu, \angle DKD_1'in, MND_1 ve ABC düzlemleri arasındaki dihedral açının doğrusal açısı olduğu anlamına gelir.

Pisagor teoremine göre \üçgen DAM'de DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Bu nedenle Pisagor teoremine göre DKM \üçgeninde DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Daha sonra \triangle DKD_1'de, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Bu, \angle DKD_1=45^(\circ) anlamına gelir.

Cevap

45^(\circ).

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

ABCDA_1B_1C_1D_1 düzgün dörtgen prizmasında tabanın kenarları 4'e, yan kenarları ise 6'ya eşittir. M noktası CC_1 kenarının ortasıdır, N noktası BB_1 kenarı üzerinde BN:NB_1=1:2 olacak şekilde işaretlenir.

A) AMN düzlemi DD_1 kenarını hangi oranda böler?

B) ABC ve AMN düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

A) AMN düzlemi, belirli bir prizmanın bu düzlem tarafından kesitinin dördüncü köşesi olan DD_1 kenarını K noktasında keser. Kesit bir paralelkenar ANMK'dir çünkü belirli bir prizmanın zıt yüzleri paraleldir.

BN =\frac13BB_1=2. KL \paralel CD çizelim, sonra ABN ve KLM üçgenleri eşittir, yani ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. O halde KD_1=6-1=5. Artık KD:KD_1=1:5 oranını bulabilirsiniz.

B) F, CD ve KM düz çizgilerinin kesişme noktasıdır. ABC ve AMN düzlemleri AF düz çizgisi boyunca kesişir. Açı \angle KHD =\alpha, bir dihedral açının doğrusal açısıdır (HD\perp AF, o zaman üç dik teoreminin tersi teoremiyle, KH \perp AF) ve bir KHD dik üçgeninin dar açısıdır, bacak KD=1.

FKD ve FMC üçgenleri benzerdir (KD \paralel MC), dolayısıyla FD:FC=KD:MC, FD:(FD+4)=1:3 oranını çözersek, FD=2 elde ederiz. Ayakları 2 ve 4 olan bir AFD dik üçgeninde (\açı D=90^(\circ)) hipotenüsü hesaplıyoruz AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

Bir dik üçgende KHD'yi buluyoruz tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, bu istenilen açı anlamına gelir \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Cevap

A) 1:5;

B) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

Taban tarafı MNPQ'su 6'ya eşit ve bir yan kenarı olan düzenli bir dörtgen piramit KMNPQ verildiğinde 3\sqrt (26).

A) F noktası MK kenarının ortası ise, piramidin MP köşegenine paralel NF çizgisinden geçen bir düzlemle bir kesiti oluşturun.

B) Kesit düzlemi ile KMP düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

A) KO piramidin yüksekliği olsun, F MK'nin orta noktası olsun; FE \paralel MP (PKM düzleminde) . FE, PKM üçgeninin orta çizgisi olduğundan, o zaman FE=\frac(MP)2.

Piramidin NF'den geçen ve MP'ye paralel bir düzlemi, yani NFE düzlemi olan bir kesitini oluşturalım. L, EF ve KO'nun kesişme noktasıdır. L ve N noktaları istenen kesite ait olduğundan ve KQN düzleminde yer aldığından, LN ve KQ'nun kesişimi olarak elde edilen T noktası aynı zamanda istenen kesit ile KQ kenarının kesişme noktasıdır. NETF gerekli bölümdür.

B) NFE ve MPK düzlemleri FE düz çizgisi boyunca kesişiyor. Bu, bu düzlemler arasındaki açının OFEN dihedral açısının doğrusal açısına eşit olduğu anlamına gelir, hadi bunu oluşturalım: LO\perpMP, MP\paralel FE, buradan, LO\perpFE;\triangle NFE ikizkenardır (KPN ve KMN eşit üçgenlerinin karşılık gelen medyanları olarak NE=NF), NL onun medyanıdır (EL=LF, çünkü PO=OM ve \triangle KEF \sim \triangle KPM). Dolayısıyla NL \perp FE ve \angle NLO arzu edilendir.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - dikdörtgen.

Pisagor teoremine göre bacak KO eşittir KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\açı NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Cevap

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

ABCA_(1)B_(1)C_(1) düzgün üçgen prizmasının tüm kenarları 6'ya eşittir. AC ve BB_(1) kenarları ile A_(1) tepe noktasının orta noktalarından bir kesme düzlemi çizilir.

A) BC kenarının kesme düzlemine C noktasından başlayarak 2:1 oranında bölündüğünü kanıtlayın.

B) Kesme düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

A) D ve E sırasıyla AC ve BB_(1) kenarlarının orta noktaları olsun.

AA_(1)C_(1) düzleminde, CC_(1) düz çizgisini K noktasında kesen, BB_(1)C_(1) düzleminde - düz bir çizgi olan A_(1)D düz çizgisini çiziyoruz BC kenarını F noktasında kesen KE. AA_(1)B_(1) düzleminde yer alan A_(1) ve E noktaları ile ABC düzleminde yer alan D ve F noktalarını birleştirerek A_(1)EFD kesitini elde ederiz.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK bacak boyunca AD=DC ve dar açı.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - dikey olanlar gibi, AA_(1)=CK=6 şeklinde olur. \bigtriangleup CKF ve \bigtriangleup BFE iki açıda benzerdir \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - dikey olanlar gibi.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, yani benzerlik katsayısı 2'dir, bu da CF:FB=2:1 anlamına gelir.

B) AH \perp DF'yi gerçekleştirelim. Kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açı açıya eşit AHA_(1). Aslında, AH \perp DF parçası (DF, bu düzlemlerin kesişme çizgisidir) A_(1)H parçasının taban düzlemine izdüşümüdür, dolayısıyla üç dik teoremine göre, A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

AH'yi bulalım. \angle ADH =\angle FDC (dikey ile aynı).

\bigtriangleup DFC'deki kosinüs teoremine göre:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\açı FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Temel trigonometrik özdeşliğin sonucu olarak

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .\bigtriangleup ADH'den AH'yi buluruz:

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\angle AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Cevap

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

İş türü: 14
Konu: Düzlemler arası açı

Durum

ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) dik prizmasının tabanı, geniş B açısı 120^\circ'ye eşit olan bir eşkenar dörtgendir. Bu prizmanın tüm kenarları 10'a eşittir. P ve K noktaları sırasıyla CC_(1) ve CD kenarlarının orta noktalarıdır.

A) PK ve PB_(1) doğrularının dik olduğunu kanıtlayın.

B) PKB_(1) ve C_(1)B_(1)B düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

A) Koordinat yöntemini kullanacağız. \vec(PK) ve \vec(PB_(1)) vektörlerinin skaler çarpımını ve ardından bu vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulalım. Oy eksenini CD boyunca, Oz eksenini CC_(1) boyunca ve Ox eksenini \perp CD boyunca yönlendirelim. C kökendir.

Daha sonra C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), yani B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Vektörlerin koordinatlarını bulalım: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

\vec(PK) ve \vec(PB_(1)) arasındaki açı \alpha'ya eşit olsun.

Aldık \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​\vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) anlamına gelir ve PK ve PB_(1) doğruları diktir.

B) Düzlemler arasındaki açı, bu düzlemlere dik sıfır olmayan vektörler arasındaki açıya (veya açı genişse, ona bitişik açıya) eşittir. Bu tür vektörlere düzlemlerin normalleri denir. Onları bulalım.

\vec(n_(1))=\(x; y; z\) PKB_(1) düzlemine dik olsun. Sistemi çözerek bulalım \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(durumlar)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(durumlar)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(durumlar)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(durumlar)

Hadi alalım y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right \).

\vec(n_(2))=\(x; y; z\) C_(1)B_(1)B düzlemine dik olsun. Sistemi çözerek bulalım \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)) \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(durumlar)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(durumlar)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(durumlar)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(durumlar)

Hadi alalım x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

İstenilen \beta açısının kosinüsünü bulalım (\vec(n_(1)) ve \vec(n_(2)) arasındaki açının kosinüsünün modülüne eşittir).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Cevap

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2017'ye hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.Kulabukhova.

ABCD bir karedir ve yan yüzleri eşit dikdörtgenlerdir.

Kesit düzlemi AC köşegenine paralel M ve D noktalarından geçtiğinden, onu M noktasından geçen A_(1)AC düzleminde oluşturmak için AC'ye paralel bir MN doğru parçası çizeriz. Doğrunun ve düzlemin paralelliğine dayanarak AC \paralel (MDN) elde ederiz.

MDN düzlemi, A_(1)AD ve B_(1)BC paralel düzlemleriyle kesişir, ardından paralel düzlemlerin özelliği nedeniyle A_(1)ADD_(1) ve B_(1)BCC_( yüzlerinin kesişme çizgileri bulunur. 1) MDN düzlemine göre paraleldir.

NE doğru parçasını MD doğru parçasına paralel olarak çizelim.

Dörtgen DMEN gerekli bölümdür.

B) Kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulalım. Kesit düzleminin taban düzlemini D noktasından geçen bir p düz çizgisi boyunca kesmesine izin verin. AC \parallel MN, dolayısıyla AC \parallel p (eğer bir düzlem başka bir düzleme paralel bir çizgiden geçiyorsa ve bu düzlemle kesişiyorsa, o zaman düzlemlerin kesişme çizgisi bu çizgiye paraleldir). Bir karenin köşegenleri olarak BD \perp AC, yani BD \perp p. BD, ED'nin ABC düzlemine izdüşümüdür, o zaman üç dik açının teoremine göre ED \perp p, dolayısıyla \angle EDB, kesit düzlemi ile taban düzlemi arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır.

Dörtgen DMEN türünü ayarlayın. MD \parallel EN, ME \parallel DN'ye benzer, yani DMEN bir paralelkenardır ve MD=DN olduğundan (MAD ve NCD dik üçgenleri iki ayak üzerinde eşittir: karenin kenarları olarak AD=DC, AM=CN olarak) AC ve MN paralel çizgileri arasındaki mesafeler), dolayısıyla DMEN bir eşkenar dörtgendir. Dolayısıyla F, MN'nin orta noktasıdır.

AM:MA_(1)=2:3 koşuluna göre, o zaman AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC bir dikdörtgendir, F, MN'nin ortasıdır, O, AC'nin ortasıdır. Araç, FO\paralel MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Bir karenin köşegeninin olduğunu bilmek a\sqrt(2), a karenin kenarı nerede, şunu elde ederiz BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

Bir dik üçgende FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Bu nedenle \angle FDO=60^\circ.

Düzlemler arasındaki açının ölçüsü keskin köşe bu düzlemlerde uzanan ve kesişme çizgisine dik olarak çizilen iki düz çizgiden oluşan.

İnşaat algoritması

1. Rasgele bir K noktasından, verilen düzlemlerin her birine dikler çizilir.
2. Seviye çizgisi etrafında döndürülerek, K noktasındaki tepe noktasıyla γ° açısı belirlenir.
3. γ° > 90° olmak koşuluyla, ϕ° = 180 – γ° düzlemleri arasındaki açıyı hesaplayın. Eğer γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Şekil α ve β düzlemlerinin izlerle verildiği durumu göstermektedir. Tüm gerekli yapılar algoritmaya göre gerçekleştirilir ve aşağıda açıklanmıştır.

Çözüm

1. Çizimde rastgele bir yerde K noktasını işaretleyin. Buradan sırasıyla m ve n dik noktalarını α ve β düzlemlerine indiriyoruz. m ve n projeksiyonlarının yönü şu şekildedir: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. M ve n çizgileri arasındaki ∠γ° gerçek boyutunu belirliyoruz. Bunu yapmak için, ön f etrafında, K tepe noktasıyla açının düzlemini ön projeksiyon düzlemine paralel bir konuma döndürüyoruz. K noktasının dönüş yarıçapı R değere eşit Kenarı K""K 0 = y K – y O olan O""K""K 0 dik üçgeninin hipotenüsü.
3. ∠γ° dar açı olduğundan istenen açı ϕ° = ∠γ°'dir.

Aşağıdaki şekil, sırasıyla paralel ve kesişen çizgilerle verilen α ve β düzlemleri arasındaki γ° açısını bulmanın gerekli olduğu bir problemin çözümünü göstermektedir.

Çözüm

1. α ve β düzlemlerine ait h 1, h 2 yataylarının ve f 1, f 2 cephelerinin çıkıntılarının yönünü oklarla gösterilen sırayla belirleriz. Kare üzerindeki keyfi bir K noktasından. α ve β'da e ve k dik açılarını atlıyoruz. Bu durumda, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 ve k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. e ve k doğruları arasında ∠γ° tanımlıyoruz. Bunu yapmak için, yatay bir h 3 çizgisi çizin ve onun etrafında K noktasını K 1 konumuna döndürün; burada △CKD yatay düzleme paralel olacak ve doğal boyutunda yansıtılacaktır - △C"K" 1 D ". O" dönme merkezinin izdüşümü, K"O"ya dik h" 3'e çizilen üzerinde bulunur. R yarıçapı, tarafı K"K 0 = olan O"K"K 0 dik üçgeninden belirlenir. Z O – Z K.
3. γ° açısı dar olduğundan istenilen değerin değeri ∠ϕ° = ∠γ°'dir.

Makale düzlemler arasındaki açının bulunmasından bahsediyor. Tanımı verdikten sonra grafiksel bir örnek verelim ve düşünelim. ayrıntılı yöntem Koordinat yöntemiyle bulma. Kesişen düzlemler için normal vektörlerin koordinatlarını içeren bir formül elde ederiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materyalde daha önce uzaydaki düzlem ve çizgiyle ilgili makalelerde incelenen veri ve kavramlar kullanılacak. Öncelikle kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesinde belirli bir yaklaşıma sahip olmamızı sağlayan akıl yürütmeye geçmek gerekir.

Kesişen iki düzlem γ 1 ve γ 2 verilmiştir. Bunların kesişimi c adını alacaktır. χ düzleminin yapısı bu düzlemlerin kesişimiyle ilişkilidir. χ düzlemi M noktasından c düz bir çizgisi olarak geçiyor. γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin kesişimi χ düzlemi kullanılarak yapılacaktır. γ 1 ve χ'yi kesen çizgiyi a doğrusu, γ 2 ve χ'yi kesen çizgiyi b doğrusu olarak alıyoruz. A ve b doğrularının kesişiminin M noktasını verdiğini görüyoruz.

M noktasının konumu, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıyı etkilemez ve M noktası, içinden χ düzleminin geçtiği c doğrusu üzerinde bulunur.

c doğrusuna dik ve χ düzleminden farklı bir χ 1 düzleminin inşa edilmesi gerekmektedir. γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin χ 1 yardımıyla kesişmesi, a 1 ve b 1 çizgilerinin gösterimini alacaktır.

χ ve χ 1'i oluştururken, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu, ardından a 1, b 1'in c çizgisine dik olduğu görülebilir. γ 1 düzleminde c düz çizgisine dik olan a ve a 1 düz çizgilerini bulduğumuzda, bunların paralel olduğu düşünülebilir. Aynı şekilde b ve b 1'in γ 2 düzlemindeki c düz çizgisine dik konumu da paralelliklerini gösterir. Bu, χ 1 düzlemini χ'ye paralel olarak aktarmanın gerekli olduğu anlamına gelir; burada çakışan iki düz çizgi a ve a 1, b ve b 1 elde ederiz. Kesişen a ve b 1 çizgileri arasındaki açının, kesişen a ve b çizgilerinin açısına eşit olduğunu buluyoruz.

Aşağıdaki şekle bakalım.

Bu önerme, kesişen a ve b doğruları arasında M noktasının yani kesişme noktasının konumuna bağlı olmayan bir açının bulunmasıyla kanıtlanmaktadır. Bu çizgiler γ 1 ve γ 2 düzlemlerinde bulunur. Aslında ortaya çıkan açı, kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak düşünülebilir.

Mevcut kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açıyı belirlemeye geçelim.

Tanım 1

Kesişen iki düzlem arasındaki açı γ 1 ve γ 2γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin c çizgisine dik χ düzlemiyle kesiştiği a ve b çizgilerinin kesişmesiyle oluşan açı denir.

Aşağıdaki şekli düşünün.

Karar başka bir biçimde de sunulabilir. γ 1 ve γ 2 düzlemleri kesiştiğinde, burada c, kesiştikleri çizgidir, içinden c çizgisine dik olan ve γ 1 ve γ 2 düzlemlerinde yer alan a ve b çizgilerini çizen bir M noktası işaretleyin, ardından aralarındaki açı a ve b çizgileri düzlemler arasındaki açı olacaktır. Pratikte bu, düzlemler arasındaki açının oluşturulması için geçerlidir.

Geçiş sırasında 90 dereceden daha az bir açı oluşur, yani derece ölçüsü açı bu tip bir aralıkta geçerlidir (0, 90). Aynı zamanda kesişme noktasında dik bir açı oluşuyorsa bu düzlemlere dik denir. paralel düzlemler sıfıra eşit kabul edilir.

Kesişen düzlemler arasındaki açıyı bulmanın genel yolu ek yapılar yapmaktır. Bu, onu doğru bir şekilde belirlemeye yardımcı olur ve bu, bir üçgenin, sinüslerin ve bir açının kosinüslerinin eşitlik veya benzerlik işaretleri kullanılarak yapılabilir.

C 2 bloğundaki Birleşik Devlet Sınavı problemlerinden bir örnek kullanarak problemleri çözmeyi düşünelim.

örnek 1

Dikdörtgen paralel yüzlü bir A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 verildiğinde, burada A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, E noktası A A 1 kenarını 4: 3 oranında böler. A B C ve B E D 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

Netlik sağlamak için bir çizim yapmak gerekir. Bunu anlıyoruz

Düzlemler arasındaki açıyla çalışmayı daha uygun hale getirmek için görsel bir temsil gereklidir.

A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesişme noktasının oluştuğu düz çizgiyi belirleriz. B noktası ortak noktadır. Başka bir ortak kesişme noktası bulunmalıdır. Aynı A D D 1 düzleminde bulunan D A ve D 1 E düz çizgilerini ele alalım. Konumları paralellik göstermez; ortak bir kesişme noktasına sahip oldukları anlamına gelir.

Bununla birlikte, D A düz çizgisi A B C düzleminde ve D 1 E B E D 1 düzleminde bulunur. Bundan düz çizgilerin olduğunu anlıyoruz D bir Ve D 1 E A B C ve B E D 1 düzlemleri için ortak olan ortak bir kesişme noktasına sahiptir. Çizgilerin kesişme noktasını belirtir D bir ve D 1 E F harfi Bundan B F'nin A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgi olduğunu elde ederiz.

Aşağıdaki şekle bakalım.

Cevabı elde etmek için, A B C ve B E D 1 düzlemlerinde bulunan ve B F çizgisi üzerinde bulunan ve ona dik olan bir noktadan geçen düz çizgiler çizmek gerekir. Daha sonra bu düz çizgiler arasında ortaya çıkan açı, A B C ve B E D 1 düzlemleri arasında istenen açı olarak kabul edilir.

Buradan A noktasının, E noktasının A B C düzlemine izdüşümü olduğunu görebiliriz. M noktasında dik açıyla B F çizgisiyle kesişen düz bir çizgi çizmek gerekir. A M düz çizgisinin izdüşümü olduğu görülebilir. A M ⊥ B F dik açıları hakkındaki teoreme dayalı olarak, E M düz çizgisinin A B C düzlemi üzerine. Aşağıdaki resmi düşünün.

∠ A M E, A B C ve B E D 1 düzlemlerinin oluşturduğu istenen açıdır. Ortaya çıkan A E M üçgeninden açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını ve ardından yalnızca iki tarafı biliniyorsa açının kendisini bulabiliriz. Koşullu olarak, A E uzunluğunun şu şekilde bulunmasını sağlarız: A A 1 düz çizgisi E noktasına 4: 3 oranında bölünür, bu da düz çizginin toplam uzunluğunun 7 parça olduğu anlamına gelir, bu durumda A E = 4 parça olur. A M'yi buluyoruz.

Bir A B F dik üçgenini dikkate almak gerekir. A M yüksekliğinde bir dik açımız var. A B = 2 koşulundan, D D 1 F ve A E F üçgenlerinin benzerliğinden A F uzunluğunu bulabiliriz. Şunu elde ederiz: A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Pisagor teoremini kullanarak A B F üçgeninin B F kenarının uzunluğunu bulmak gerekir. B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 olduğunu anlıyoruz. A M tarafının uzunluğu A B F üçgeninin alanı boyunca bulunur. Alanın hem S A B C = 1 2 · A B · A F hem de S A B C = 1 2 · B F · A M'ye eşit olabileceğini biliyoruz.

Şunu elde ederiz: A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Daha sonra A E M üçgeninin açısının tanjantının değerini bulabiliriz. Şunu elde ederiz:

t g ∠ Bir M E = Bir E Bir M = 4 4 5 5 = 5

A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesişmesiyle elde edilen istenen açı a r c t g 5'e eşittir, daha sonra basitleştirmeyle a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 elde ederiz.

Cevap: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulmanın bazı durumları kullanılarak belirtilir. koordinat uçağı O x y z ve koordinat yöntemi. Hadi daha yakından bakalım.

Kesişen düzlemler γ1 ve γ2 arasındaki açıyı bulmanın gerekli olduğu bir problem verilirse, istenen açıyı α olarak belirtiriz.

O zaman verilen koordinat sistemi, kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2'nin normal vektörlerinin koordinatlarına sahip olduğumuzu gösterir. Daha sonra n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z'nin γ 1 düzleminin normal vektörü olduğunu ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - olduğunu belirtiriz. düzlem γ 2. Bu düzlemler arasında bulunan açının vektörlerin koordinatlarına göre ayrıntılı olarak belirlenmesini ele alalım.

γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin c harfiyle kesiştiği düz çizgiyi belirtmek gerekir. c doğrusu üzerinde c'ye dik bir χ düzlemi çizdiğimiz bir M noktası var. a ve b çizgileri boyunca uzanan χ düzlemi, M noktasında γ 1 ve γ 2 düzlemleriyle kesişir. tanımdan, kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açının, sırasıyla bu düzlemlere ait kesişen a ve b çizgilerinin açısına eşit olduğu anlaşılmaktadır.

χ düzleminde M noktasından itibaren normal vektörleri çizeriz ve bunları n 1 → ve n 2 → olarak gösteririz. Vektör n 1 → a çizgisine dik bir çizgi üzerinde bulunur ve vektör n 2 → b çizgisine dik bir çizgi üzerinde bulunur. Buradan, verilen χ düzleminin a doğrusu için n 1 →'ye eşit ve b doğrusu için n 2 →'ye eşit normal bir vektöre sahip olduğunu elde ederiz. Aşağıdaki şekli düşünün.

Buradan vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen doğruların açısının sinüsünü hesaplayabileceğimiz bir formül elde ederiz. A ve b düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünün, kesişen γ 1 ve γ 2 düzlemleri arasındaki kosinüsle aynı olduğunu bulduk; cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 formülünden türetildi x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, burada n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) ve n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) temsil edilen düzlemlerin vektörlerinin koordinatlarıdır.

Kesişen çizgiler arasındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

α = a r c çünkü n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Örnek 2

Koşula göre paralel yüzlü A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. , burada A B = 2, AD = 3, A A 1 = 7 ve E noktası A A 1 4:3 kenarını böler. A B C ve B E D 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

Durumdan, kenarlarının ikili olarak dik olduğu açıktır. Bu, köşesi C noktasında ve koordinat eksenleri O x, O y, O z olan bir O x y z koordinat sisteminin tanıtılmasının gerekli olduğu anlamına gelir. Yönü uygun taraflara ayarlamak gerekir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Kesişen düzlemler ABC Ve YATAK 1α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n formülü kullanılarak bulunabilecek bir açı oluşturur 2 y 2 + n 2 z 2, burada n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) normal vektörlerdir. bu uçaklar. Koordinatları belirlemek gerekiyor. Şekilden O x y koordinat ekseninin A B C düzlemiyle çakıştığını görüyoruz, bu, normal vektör k → koordinatlarının n 1 → = k → = (0, 0, 1) değerine eşit olduğu anlamına gelir.

B E D 1 düzleminin normal vektörü, B E → ve B D 1 → vektör ürünü olarak alınır; burada koordinatları, B, E, D 1 uç noktalarının koordinatları tarafından belirlenir. sorun.

Bunu B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7) olarak elde ederiz. A E E A 1 = 4 3 olduğundan, A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 noktalarının koordinatlarından E 2, 3, 4'ü buluruz. B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · ben → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Ark kosinüs boyunca açıyı hesaplamak için bulunan koordinatları formülde değiştirmek gerekir. Aldık

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinat yöntemi de benzer bir sonuç verir.

Cevap: a r c cos 6 6 .

Son problem, düzlemlerin bilinen mevcut denklemleri ile kesişen düzlemler arasındaki açının bulunması amacıyla ele alınmıştır.

Örnek 3

O x y z koordinat sisteminde tanımlanan ve 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ve 3 y - z denklemleriyle verilen, açının sinüsünü, kosinüsünü ve kesişen iki çizginin oluşturduğu açının değerini hesaplayın. -1 = 0.

Çözüm

Bir konuyu incelerken genel denklem A x + B y + C z + D = 0 formundaki düz çizgi, A, B, C'nin normal vektörün koordinatlarına eşit katsayılar olduğunu ortaya çıkardı. Bu, n 1 → = 2, - 4, 1 ve n 2 → = 0, 3, - 1'in verilen doğruların normal vektörleri olduğu anlamına gelir.

Kesişen düzlemlerin istenen açısını hesaplamak için düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını formülde değiştirmek gerekir. O zaman bunu anlıyoruz

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Buradan açının kosinüsünün cos α = 13 210 formunu aldığını görüyoruz. O halde kesişen çizgilerin açısı geniş değildir. Değiştirme trigonometrik özdeşlik, açının sinüs değerinin ifadeye eşit olduğunu buluyoruz. Bunu hesaplayıp bulalım

günah α = 1 - çünkü 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

Cevap: sin α = 41,210, çünkü α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu makale düzlemler arasındaki açı ve bunun nasıl bulunacağı hakkındadır. Öncelikle iki düzlem arasındaki açının tanımı ve grafiksel gösterimi verilmiştir. Daha sonra kesişen iki düzlem arasındaki açının koordinat yöntemi kullanılarak bulunması prensibi incelendi ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin bilinen koordinatlarını kullanarak kesişen düzlemler arasındaki açıyı hesaplamanıza olanak sağlayan bir formül elde edildi. Sonuç olarak gösterilmiştir detaylı çözümler karakteristik görevler.

Sayfada gezinme.

Düzlemler arasındaki açı - tanım.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesine kademeli olarak yaklaşmamızı sağlayacak argümanlar sunalım.

Bize kesişen iki düzlem verilsin. Bu düzlemler, c harfiyle gösterdiğimiz düz bir çizgi boyunca kesişir. C doğrusunun M noktasından geçen ve c doğrusuna dik bir düzlem çizelim. Bu durumda düzlem düzlemlerle kesişecektir ve. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi a, düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi b olarak gösterelim. Açıkçası, a ve b doğruları M noktasında kesişiyor.

Kesişen a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği c doğrusu üzerindeki M noktasının konumuna bağlı olmadığını göstermek kolaydır.

c doğrusuna dik ve düzlemden farklı bir düzlem çizelim. Düzlem, sırasıyla 1 ve b 1 olarak gösterdiğimiz düzlemlerle ve düz çizgiler boyunca kesişir.

Düzlem oluşturma yönteminden, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu ve a 1 ve b 1 çizgilerinin c çizgisine dik olduğu sonucu çıkar. a ve a 1 doğruları aynı düzlemde olduklarından ve c doğrusuna dik olduklarından paraleldirler. Benzer şekilde, b ve b 1 çizgileri aynı düzlemde bulunur ve c doğrusuna diktir, dolayısıyla paraleldirler. Böylece, düzlemin, düz çizgi a 1'in düz çizgi a ile ve düz çizgi b düz çizgi b 1 ile çakıştığı düzleme paralel bir aktarımı gerçekleştirmek mümkündür. Bu nedenle, kesişen iki çizgi a 1 ve b 1 arasındaki açı, kesişen çizgiler a ve b arasındaki açıya eşittir.

Bu, kesişen düzlemlerde yer alan a ve b çizgileri arasındaki açının, düzlemin içinden geçtiği M noktasının seçimine bağlı olmadığını kanıtlar. Bu nedenle bu açıyı kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak almak mantıklıdır.

Artık kesişen iki düzlem arasındaki açının tanımını seslendirebilirsiniz.

Tanım.

Düz bir çizgide kesişen iki düzlem arasındaki açı ve- bu, düzlemlerin c çizgisine dik düzlemle kesiştiği, kesişen iki çizgi a ve b arasındaki açıdır.

İki düzlem arasındaki açının tanımı biraz farklı verilebilir. Düzlemlerin kesiştiği düz çizgi c üzerinde, bir M noktasını işaretleyin ve bunun içinden, düz çizgi c'ye dik ve düzlemlerde yatan düz çizgiler a ve b çizin ve sırasıyla düz çizgiler a arasındaki açı ve b, düzlemler arasındaki açıdır ve. Genellikle pratikte düzlemler arasındaki açıyı elde etmek için bu tür yapılar yapılır.

Kesişen düz çizgiler arasındaki açı aşmadığından, belirtilen tanımdan, kesişen iki düzlem arasındaki açının derece ölçüsünün ifade edildiği sonucu çıkar. gerçek Numara aralıktan. Bu durumda kesişen düzlemlere denir. dik aralarındaki açı doksan derece ise. Paralel düzlemler arasındaki açı ya hiç belirlenmez ya da sıfıra eşit kabul edilir.

Kesişen iki düzlem arasındaki açının bulunması.

Genellikle, kesişen iki düzlem arasında bir açı bulurken, önce aralarındaki açı istenen açıya eşit olan kesişen düz çizgileri görmek için ek yapılar yapmanız ve ardından eşitlik testleri, benzerlik kullanarak bu açıyı orijinal verilerle bağlamanız gerekir. testler, kosinüs teoremi veya sinüs, kosinüs ve açının tanjantının tanımları. Geometri dersinde lise benzer sorunlar yaşanıyor.

Örnek olarak, 2012 Matematik Birleşik Devlet Sınavından Problem C2'nin çözümünü verelim (koşul kasıtlı olarak değiştirildi, ancak bu, çözümün ilkesini etkilemez). İçinde kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmanız gerekiyordu.

Örnek.

Çözüm.

İlk önce bir çizim yapalım.

Düzlemler arasındaki açıyı “görmek” için ek yapılar yapalım.

Öncelikle ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği bir düz çizgi tanımlayalım. B noktası ortak noktalarından biridir. Bu düzlemlerin ikinci ortak noktasını bulalım. DA ve D 1 E çizgileri aynı ADD 1 düzleminde yer alır ve paralel değildirler ve bu nedenle kesişirler. Öte yandan DA doğrusu ABC düzleminde ve D 1 E doğrusu BED 1 düzleminde yer aldığından DA ve D 1 E doğrularının kesişme noktası ABC ve BED 1 düzlemlerinin ortak noktası olacaktır. Öyleyse DA ve D 1 E çizgilerini F harfiyle kesiştikleri noktayı belirten kesişme noktasına kadar devam ettirelim. O halde BF, ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgidir.

Sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinde uzanan, BF çizgisi üzerindeki bir noktadan geçen ve BF çizgisine dik olan iki çizgi oluşturmaya devam ediyor - bu çizgiler arasındaki açı, tanım gereği, aralarında istenen açıya eşit olacaktır. ABC ve BED 1 uçakları. Hadi yapalım.

Nokta A, E noktasının ABC düzlemine izdüşümüdür. M noktasında dik açıyla BF çizgisiyle kesişen bir düz çizgi çizelim. O halde AM düz çizgisi, EM düz çizgisinin ABC düzlemine izdüşümüdür ve üç dik teoremine göredir.

Böylece ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir.

Eğer iki kenarının uzunluğunu biliyorsak, AEM dik üçgeninden bu açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını (ve dolayısıyla açının kendisini) belirleyebiliriz. Koşuldan AE uzunluğunu bulmak kolaydır: E noktası AA 1 kenarını A noktasından itibaren sayarak 4'e 3 oranında böldüğüne ve AA 1 kenarının uzunluğu 7 olduğuna göre AE = 4 olur. AM uzunluğunu bulalım.

Bunu yapmak için, AM'nin yüksekliği olduğu A dik açısına sahip bir ABF dik üçgenini düşünün. AB = 2 koşuluna göre. AF kenarının uzunluğunu DD 1 F ve AEF dik üçgenlerinin benzerliğinden bulabiliriz:

Pisagor teoremini kullanarak ABF üçgenini buluyoruz. AM uzunluğunu ABF üçgeninin alanı boyunca buluyoruz: bir tarafta ABF üçgeninin alanı şuna eşittir: , diğer tarafta , Neresi .

Böylece, AEM dik üçgeninden elimizdeki .

Bu durumda ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açı eşittir (not edin ki ).

Cevap:

Bazı durumlarda kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulmak için Oxyz'i ayarlamak ve koordinat yöntemini kullanmak uygundur. Orada duralım.

Görevi belirleyelim: kesişen iki düzlem arasındaki açıyı bulun. İstenilen açıyı olarak gösterelim.

Belirli bir Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını bildiğimizi ve veya bunları bulma fırsatına sahip olduğumuzu varsayacağız. İzin vermek düzlemin normal vektörüdür ve düzlemin normal vektörüdür. Kesişen düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını ve bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla göstereceğiz.

Düzlemlerin kesiştiği doğruyu c olarak gösterelim. C doğrusu üzerindeki M noktasından c doğrusuna dik bir düzlem çiziyoruz. Düzlem düzlemleri keser ve sırasıyla a ve b çizgileri boyunca a ve b çizgileri M noktasında kesişir. Tanım gereği, kesişen düzlemler arasındaki açı, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıya eşittir.

Düzlemdeki M noktasından itibaren normal vektörleri ve düzlemleri çizelim. Bu durumda, vektör a doğrusuna dik bir doğru üzerinde, vektör de b doğrusuna dik bir doğru üzerinde yer alır. Dolayısıyla düzlemde vektör a doğrusuna ait normal vektördür, b doğrusuna ait normal vektördür.

Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulma yazımızda normal vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü hesaplamamızı sağlayan bir formül aldık. Böylece, a ve b çizgileri arasındaki açının kosinüsü ve sonuç olarak, kesişen düzlemler arasındaki açının kosinüsü ve formülle bulunur, burada Ve sırasıyla düzlemlerin normal vektörleridir ve. Daha sonra şu şekilde hesaplanır .

Haydi karar verelim önceki örnek koordinat yöntemi.

Örnek.

AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ve E noktasının AA 1 kenarını A noktasından sayarak 4 ila 3 oranında böldüğü dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm.

Bir tepe noktasındaki dikdörtgen paralel yüzlü kenarları çiftler halinde dik olduğundan, Oxyz dikdörtgen koordinat sistemini aşağıdaki şekilde tanıtmak uygundur: başlangıcı C tepe noktasıyla hizalayın ve Ox, Oy ve Oz koordinat eksenlerini CD kenarları boyunca yönlendirin. , CB ve CC 1 sırasıyla.

ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açı, bu düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları aracılığıyla aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir; burada ve sırasıyla ABC ve BED 1 düzlemlerinin normal vektörleridir. Normal vektörlerin koordinatlarını belirleyelim.