Hogyan csökkentsük a nagy frakciókat. Algebrai törtek redukálása: szabályok, példák

Anélkül, hogy tudnánk, hogyan kell egy törtet kicsinyíteni, és nem rendelkeznénk stabil készségekkel az ilyen példák megoldásában, nagyon nehéz az algebrát tanulni az iskolában. Minél tovább megy, annál jobban megzavarja a törtek csökkentésével kapcsolatos alapvető ismereteit. új információk. Először hatványok jelennek meg, majd faktorok, amelyek később polinomokká válnak.

Hogyan kerülheti el, hogy itt összezavarodjon? Alaposan megszilárdítsa a korábbi témákban szerzett készségeket, és fokozatosan készüljön fel a töredék csökkentésének ismeretére, amely évről évre bonyolultabbá válik.

Alapvető ismeretek

Ezek nélkül nem tudsz megbirkózni semmilyen szintű feladattal. Ahhoz, hogy megértsd, kettőt kell értened egyszerű pillanatok. Először is: csak a tényezőket csökkentheti. Ez az árnyalat nagyon fontosnak bizonyul, amikor polinomok szerepelnek a számlálóban vagy a nevezőben. Ezután világosan meg kell különböztetnie, hol van a szorzó és hol az összeadás.

A második pont azt mondja, hogy bármilyen szám ábrázolható faktorok formájában. Ráadásul a redukció eredménye egy olyan tört, amelynek számlálója és nevezője már nem csökkenthető.

A közönséges törtek csökkentésére vonatkozó szabályok

Először is ellenőrizni kell, hogy a számláló osztható-e a nevezővel, vagy fordítva. Akkor pontosan ezt a számot kell csökkenteni. Ez a legegyszerűbb lehetőség.

A második az elemzés megjelenés számok. Ha mindkettő egy vagy több nullára végződik, lerövidíthető 10-zel, 100-zal vagy ezerrel. Itt láthatja, hogy a számok párosak-e. Ha igen, akkor nyugodtan vághatja kettővel.

A tört csökkentésének harmadik szabálya a számláló és a nevező prímtényezőkbe való beszámítása. Ebben az időben aktívan fel kell használnia minden tudását a számok oszthatóságának jeleiről. E felbontás után már csak az ismétlődőket kell megkeresni, megszorozni és a kapott számmal csökkenteni.

Mi van, ha egy törtben algebrai kifejezés van?

Itt jelentkeznek az első nehézségek. Mert itt jelennek meg a kifejezések, amelyek azonosak lehetnek a tényezőkkel. Nagyon szeretném csökkenteni őket, de nem tudom. Az algebrai tört csökkentése előtt át kell alakítani úgy, hogy faktorai legyenek.

Ehhez több lépést kell végrehajtania. Előfordulhat, hogy mindegyiket végig kell mennie, vagy talán az első kínál megfelelő lehetőséget.

Ellenőrizze, hogy a számláló és a nevező, vagy a bennük lévő bármely kifejezés előjelben különbözik-e. Ebben az esetben csak mínusz egyet kell zárójelbe tenni. Ez egyenlő tényezőket eredményez, amelyek csökkenthetők.

Nézze meg, hogy lehetséges-e eltávolítani a közös tényezőt a polinomból zárójelben. Lehetséges, hogy ez zárójelet eredményez, ami szintén lerövidíthető, vagy egy eltávolított monom lesz.

Próbálja meg csoportosítani a monomokat, hogy aztán közös tényezőt adjon hozzájuk. Ezek után kiderülhet, hogy lesznek csökkenthető tényezők, vagy ismét megismétlődik a közös elemek zárójelezése.

Próbálja meg figyelembe venni a rövidített szorzóképleteket írásban. Segítségükkel a polinomokat könnyen faktorokká alakíthatja.

Hatványos törtekkel végzett műveletsor

Annak érdekében, hogy könnyen megértsük azt a kérdést, hogyan lehet egy töredéket csökkenteni a hatalommal, határozottan emlékeznie kell a velük végzett alapvető műveletekre. Ezek közül az első a hatáskörök megsokszorozásához kapcsolódik. Ebben az esetben, ha az alapok megegyeznek, a mutatókat hozzá kell adni.

A második a felosztás. Ismétlem, azoknál, akiknek ugyanaz az oka, a mutatókat le kell vonni. Ezenkívül le kell vonnia az osztalékban lévő számból, és nem fordítva.

A harmadik a hatványozás. Ebben a helyzetben a mutatók megsokszorozódnak.

A sikeres csökkentés azt is megköveteli, hogy a teljesítményeket egyenlő alapokra csökkentsük. Vagyis látni, hogy négy az kettő négyzet. Vagy 27 - a három kocka. Mert a 9 négyzetes és a 3 kockás csökkentése nehéz. De ha az első kifejezést (3 2) 2-re alakítjuk, akkor a redukció sikeres lesz.

Osztályés a tört számlálója és nevezője az ő közös osztó , az egyiktől eltérő, az úgynevezett töredékének csökkentése.

Egy közönséges tört csökkentéséhez el kell osztania a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a természetes számmal.

Ez a szám az adott tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója.

A következők lehetségesek döntési rögzítési űrlapok Példák a közönséges frakciók csökkentésére.

A hallgatónak joga van bármilyen rögzítési formát választani.

Példák. Törtszámok egyszerűsítése.

Csökkentse a törtet 3-mal (ossza el a számlálót 3-mal;

ossza el a nevezőt 3-mal).

Csökkentse a törtet 7-tel.

A jelzett műveleteket a tört számlálójában és nevezőjében hajtjuk végre.

A kapott frakciót 5-tel csökkentjük.

Csökkentsük ezt a törtet 4) -on 5,7³- a számláló és a nevező legnagyobb közös osztója (GCD), amely a számláló és a nevező közös tényezőiből áll, a legkisebb kitevőjű hatványra véve.

Tekintsük ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét prímtényezőkbe.

Kapunk: 756=2²·3³·7És 1176=2³·3·7².

Határozzuk meg a tört számlálójának és nevezőjének GCD-jét (legnagyobb közös osztóját) 5) .

Ez a legalacsonyabb kitevővel vett közös tényezők szorzata.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel, azaz 2²·3·7 redukálhatatlan törtet kapunk 9/14 .

Vagy lehetséges volt a számláló és a nevező felosztását prímtényezők szorzataként felírni, a hatvány fogalmának használata nélkül, majd a törtet csökkenteni úgy, hogy a számlálóban és a nevezőben ugyanazokat a tényezőket áthúzzuk. Ha már nem marad egyforma tényező, a fennmaradó tényezőket külön a számlálóban és külön a nevezőben megszorozzuk, és kiírjuk a kapott törtet 9/14 .

És végül sikerült ezt a töredéket csökkenteni 5) fokozatosan alkalmazva a számok osztójeleit a tört számlálójára és nevezőjére egyaránt. Gondolkodjunk így: számok 756 És 1176 páros számra végződik, ami azt jelenti, hogy mindkettő osztható vele 2 . Ezzel csökkentjük a törtet 2 . Az új tört számlálója és nevezője számok 378 És 588 is osztva 2 . Ezzel csökkentjük a törtet 2 . Észrevesszük, hogy a szám 294 - még, és 189 páratlan, és a 2-vel való csökkentés már nem lehetséges. Vizsgáljuk meg a számok oszthatóságát 189 És 294 -on 3 .

Az (1+8+9)=18 osztható 3-mal, a (2+9+4)=15 pedig osztható 3-mal, tehát maguk a számok 189 És 294 részre vannak osztva 3 . Ezzel csökkentjük a törtet 3 . Következő, 63 osztható 3-mal és 98 - Nem. Nézzünk más elsődleges tényezőket. Mindkét szám osztható vele 7 . Ezzel csökkentjük a törtet 7 és megkapjuk a redukálhatatlan törtet 9/14 .

Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk, hogyan redukáló frakciók. Először beszéljük meg az úgynevezett törtcsökkentést. Ezek után beszéljünk egy redukálható tört redukálhatatlan formára való redukálásáról. Ezután megkapjuk a törtek csökkentésére vonatkozó szabályt, és végül példákat tekintünk ennek a szabálynak az alkalmazására.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a töredék csökkentése?

Tudjuk, hogy a közönséges törteket redukálható és irreducibilis törtekre osztják. A nevekből sejthető, hogy a redukálható törtek csökkenthetők, de az irreducibilis törtek nem.

Mit jelent a töredék csökkentése? Csökkentse a töredékét- ez azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt el kell osztani pozitívukkal, amelyek különböznek az egységtől. Jól látható, hogy egy tört redukálása eredményeként egy új tört keletkezik kisebb számlálóval és nevezővel, és a tört alaptulajdonsága miatt a kapott tört megegyezik az eredetivel.

Például csökkentsük közönséges tört 8/24 úgy, hogy a számlálóját és a nevezőjét elosztja 2-vel. Más szóval, csökkentsük a 8/24 törtet 2-vel. Mivel 8:2=4 és 24:2=12, ez a csökkentés a 4/12-t eredményezi, ami megegyezik az eredeti 8/24 törttel (lásd egyenlő és egyenlőtlen tört). Ennek eredményeként van .

A közönséges törtek redukálása irreducibilis formába

Jellemzően a tört csökkentésének végső célja egy olyan irreducibilis tört elérése, amely megegyezik az eredeti redukálható törttel. Ezt a célt úgy érhetjük el, hogy az eredeti redukálható törtet számlálójára és nevezőjére csökkentjük. Az ilyen redukció eredményeként mindig egy redukálhatatlan törtet kapunk. Valóban, töredéke redukálhatatlan, mivel ez ismert És - . Itt azt fogjuk mondani, hogy egy tört számlálójának és nevezőjének legnagyobb közös osztója az a legnagyobb szám, amellyel ez a tört csökkenthető.

Így, közönséges frakciót redukálhatatlan formává redukálni abból áll, hogy az eredeti redukálható tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel.

Nézzünk egy példát, amelyre visszatérünk a 8/24 törthez, és csökkentjük a 8 és 24 számok legnagyobb közös osztójával, amely egyenlő 8-cal. Mivel 8:8=1 és 24:8=3, elérkeztünk a redukálhatatlan törthez 1/3. Szóval, .

Vegye figyelembe, hogy a „töredék csökkentése” kifejezés gyakran azt jelenti, hogy az eredeti töredéket redukálhatatlan formájára redukálják. Más szóval, a tört redukálása nagyon gyakran azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt el kell osztani a legnagyobb közös tényezővel (nem pedig bármilyen közös tényezővel).

Hogyan lehet töredéket csökkenteni? A törtek csökkentésére vonatkozó szabályok és példák

Nincs más hátra, mint megnézni a törtek csökkentésére vonatkozó szabályt, amely elmagyarázza, hogyan kell egy adott törtet csökkenteni.

A törtek csökkentésére vonatkozó szabály két lépésből áll:

• először megtaláljuk a tört számlálójának és nevezőjének gcd-jét;
• másodszor, a tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk a gcd-jükkel, ami az eredetivel megegyező irreducibilis törtet ad.

Tegyük rendbe példa a tört csökkentésére a megállapított szabály szerint.

Példa.

Csökkentse a törtet 182/195-re.

Megoldás.

Végezzük el a törtcsökkentési szabály által előírt mindkét lépést.

Először megtaláljuk a GCD(182, 195) . A legkényelmesebb az euklideszi algoritmus használata (lásd): 195=182·1+13, 182=13·14, azaz GCD(182, 195)=13.

Most elosztjuk a 182/195 tört számlálóját és nevezőjét 13-mal, és megkapjuk az irreducibilis tört 14/15-öt, amely megegyezik az eredeti törttel. Ezzel befejeződik a frakció csökkentése.

Röviden a megoldást a következőképpen írhatjuk fel: .

Válasz:

Itt fejezhetjük be a frakciók csökkentését. De hogy teljes legyen a kép, nézzünk meg még két módszert a törtek csökkentésére, amelyeket általában egyszerű esetekben használnak.

Néha a csökkentendő tört számlálója és nevezője nem nehéz. A tört csökkentése ebben az esetben nagyon egyszerű: csak el kell távolítania az összes gyakori tényezőt a számlálóból és a nevezőből.

Érdemes megjegyezni, hogy ez a módszer közvetlenül következik a törtek redukálásának szabályából, mivel a számláló és a nevező összes közös prímtényezőjének szorzata egyenlő a legnagyobb közös osztójukkal.

Nézzük a példa megoldását.

Példa.

Csökkentse a törtet 360/2 940-re.

Megoldás.

Tegyük a számlálót és a nevezőt egyszerű tényezőkre: 360=2·2·2·3·3·5 és 2,940=2·2·3·5·7·7. Így, .

Most megszabadulunk a számlálóban és a nevezőben szereplő közös tényezőktől, egyszerűen áthúzzuk őket: .

Végül megszorozzuk a fennmaradó tényezőket: , és a tört redukciója kész.

Íme egy rövid összefoglaló a megoldásról: .

Válasz:

Nézzünk egy másik módszert a tört csökkentésére, amely szekvenciális redukcióból áll. Itt minden lépésben a törtet a számláló és a nevező valamilyen közös osztójával csökkentjük, ami vagy nyilvánvaló, vagy könnyen meghatározható

Első pillantásra az algebrai törtek nagyon összetettnek tűnnek, és egy felkészületlen tanuló azt gondolhatja, hogy nem lehet velük mit kezdeni. A változók, számok, sőt fokozatok rendetlensége félelmet kelt. Csökkenteni azonban a szokásos (pl. 15/25) ill algebrai törtek ugyanazokat a szabályokat alkalmazzák.

Lépések

Frakciók csökkentése

Nézze meg a tevékenységeket egyszerű törtek. A közönséges és algebrai törtekkel végzett műveletek hasonlóak. Vegyük például a 15/35 törtet. Ennek a törtnek az egyszerűsítéséhez meg kell tennie közös osztót találni. Mindkét szám osztható öttel, így a számlálóban és a nevezőben elkülöníthetjük az 5-öt:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Most megteheti csökkenti a közös tényezőket, azaz húzd át az 5-öt a számlálóban és a nevezőben. Ennek eredményeként az egyszerűsített törtet kapjuk 3/7 . IN algebrai kifejezések a közös tényezőket ugyanúgy osztják fel, mint a szokásosnál. IN előző példa könnyen azonosítani tudtunk 5-öt a 15-ből – ugyanez az elv vonatkozik többre is összetett kifejezések, például 15x – 5. Keressük meg a közös tényezőt. IN ebben az esetben ez 5 lesz, mivel mindkét tag (15x és -5) osztható 5-tel. Mint korábban, különítse el a közös tényezőt és mozgassa el balra.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Annak ellenőrzéséhez, hogy minden helyes-e, csak szorozza meg a zárójelben lévő kifejezést 5-tel - az eredmény ugyanazok a számok lesznek, mint az elején. Az összetett tagok ugyanúgy elkülöníthetők, mint az egyszerűek. Az algebrai törtekre ugyanazok az elvek vonatkoznak, mint a közönséges törtekre. Ez a legegyszerűbb módja a töredék csökkentésének. Tekintsük a következő törtszámot:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Vegye figyelembe, hogy a számláló (fent) és a nevező (alul) is tartalmaz egy tagot (x+2), így ez ugyanúgy csökkenthető, mint a 15/35 tört közös 5-ös tényezője:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Ennek eredményeként egy egyszerűsített kifejezést kapunk: (x-3)/(x+10)

Algebrai törtek redukálása

Keresse meg a közös tényezőt a számlálóban, vagyis a tört tetején. Egy algebrai tört redukálásakor az első lépés mindkét oldal egyszerűsítése. Kezdje a számlálóval, és próbálja meg annyira bontani nagyobb szám szorzók. Tekintsük ebben a részben a következő törtszámot:

9x-3 15x+6

Kezdjük a számlálóval: 9x – 3. 9x és -3 esetén a közös tényező a 3. Vegyük ki a 3-at a zárójelekből, ahogy a közönséges számoknál is tesszük: 3 * (3x-1). Ennek az átalakításnak az eredménye a következő tört:

3 (3x-1) 15x+6

Keresse meg a közös tényezőt a számlálóban. Folytassuk a fenti példával, és írjuk fel a nevezőt: 15x+6. Mint korábban, nézzük meg, melyik számmal osztható mindkét rész. És ebben az esetben a közös tényező 3, így írhatjuk: 3 * (5x +2). Írjuk át a törtet a következő alakba:

3 (3x-1) 3 (5x+2)

Rövidítse le ugyanazokat a kifejezéseket. Ebben a lépésben egyszerűsítheti a törtet. Törölje ugyanazokat a kifejezéseket a számlálóban és a nevezőben. Példánkban ez a szám 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Határozza meg, hogy a tört rendelkezik legegyszerűbb formája. A tört teljesen leegyszerűsödik, ha a számlálóban és a nevezőben nem maradnak közös tényezők. Ne feledje, hogy nem törölheti a zárójelben megjelenő kifejezéseket – a fenti példában nem lehet x-et elkülöníteni a 3x-tól és az 5x-től, mivel a teljes kifejezések a következők: (3x -1) és (5x + 2). Így a tört nem egyszerűsíthető tovább, és a végső válasz a következő:

(3x-1)(5x+2)

Gyakorolja önállóan a törtek csökkentését. A legjobb módja tanuld meg a módszert önálló döntés feladatokat. A helyes válaszokat a példák alatt közöljük.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Válasz:(x=13)

2x 2-x 5x

Válasz:(2x-1)/5

Különleges mozdulatok

Helyezze a negatív előjelet a törten kívülre. Tegyük fel, hogy a következő törtet kapod:

3 (x-4) 5 (4-x)

Figyeljük meg, hogy (x-4) és (4-x) „majdnem” azonosak, de nem redukálhatók azonnal, mert „fordított”. Azonban (x - 4) felírható -1 * (4 - x), ahogy (4 + 2x) 2 * (2 + x). Ezt hívják „jelváltásnak”.

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Most csökkentheti az azonos kifejezéseket (4-szer):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Tehát megkapjuk a végső választ: -3/5 . Tanuld meg felismerni a négyzetek közötti különbséget. Négyzetkülönbség az, ha egy szám négyzetét kivonjuk egy másik szám négyzetéből, mint az (a 2 - b 2) kifejezésben. A tökéletes négyzetek különbsége mindig két részre bontható - az összegre és a megfelelő különbségére négyzetgyökök. Ekkor a kifejezés a következő formában jelenik meg:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ez a technika nagyon hasznos a keresés során általános tagjai algebrai törtekben.

• Ellenőrizze, hogy helyesen faktorálta-e ezt vagy azt a kifejezést. Ehhez szorozza meg a tényezőket - az eredménynek ugyanannak a kifejezésnek kell lennie.
• A tört teljes leegyszerűsítéséhez mindig különítse el a legnagyobb tényezőket.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk alapműveletek algebrai törtekkel:

• redukáló frakciók
• törtek szorzása
• osztó törteket

Kezdjük azzal algebrai törtek csökkentése.

Úgy tűnik algoritmus nyilvánvaló.

To csökkentse az algebrai törteket, kell

1. Tényezősítse a tört számlálóját és nevezőjét!

2. Csökkentse az egyenlő tényezőket.

Az iskolások azonban gyakran elkövetik azt a hibát, hogy nem a tényezőket, hanem a kifejezéseket „csökkentik”. Például vannak amatőrök, akik „lecsökkentik” a törteket, és ennek eredményeként megkapják, ami természetesen nem igaz.

Nézzünk példákat:

1. Törtrész csökkentése:

1. Tényezőzzük a számlálót az összeg négyzetének képletével, a nevezőt pedig a négyzetkülönbség képletével

2. Ossza el a számlálót és a nevezőt ezzel!

2. Törtrész csökkentése:

1. Tényezősítsük a számlálót. Mivel a számláló négy tagot tartalmaz, ezért csoportosítást használunk.

2. Tényezősítsük a nevezőt. Használhatunk csoportosítást is.

3. Írjuk fel a kapott törtet, és csökkentsük ugyanazokat a tényezőket:

Algebrai törtek szorzása.

Az algebrai törtek szorzásakor a számlálót megszorozzuk a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel.

Fontos! Nem kell sietni a tört számlálójának és nevezőjének szorzásával. Miután felírtuk a számlálóba a törtek számlálóinak szorzatát és a nevezőben a nevezők szorzatát, minden tényezőt faktorálni kell, és a törtet csökkenteni kell.

Nézzünk példákat:

3. Egyszerűsítse a kifejezést:

1. Írjuk fel a törtek szorzatát: a számlálóba a számlálók szorzatát, a nevezőbe pedig a nevezők szorzatát:

2. Tényezőzzünk minden zárójelet:

Most ugyanezeket a tényezőket kell csökkentenünk. Vegye figyelembe, hogy a és kifejezések csak előjelben különböznek: és az első kifejezést a másodikkal osztva -1-et kapunk.

Így,

Az algebrai törteket a következő szabály szerint osztjuk fel:

Azaz A törttel való osztáshoz meg kell szorozni a "fordított" értékkel.

Látjuk, hogy a törtek osztása a szorzáshoz vezet, és a szorzás végül a törtek csökkentésére vezethető vissza.

Nézzünk egy példát:

4. Egyszerűsítse a kifejezést: