Példák megoldása változókkal online. Az algebrai kifejezések egyszerűsítése

1. § A szó szerinti kifejezés egyszerűsítésének fogalma

Ebben a leckében megismerkedünk a " hasonló kifejezések"és példák segítségével megtanuljuk, hogyan csökkenthetjük a hasonló kifejezéseket, így egyszerűsítve szó szerinti kifejezések.

Nézzük meg az „egyszerűsítés” fogalmát. Az „egyszerűsítés” szó az „egyszerűsítés” szóból származik. Egyszerűsíteni annyit jelent, mint egyszerűbbé, egyszerűbbé tenni. Ezért a szó szerinti kifejezés leegyszerűsítése annyit tesz, mint rövidebbé tenni minimális mennyiség akciókat.

Tekintsük a 9x + 4x kifejezést. Ez egy szó szerinti kifejezés, amely összeg. A kifejezések itt egy szám és egy betű szorzataként jelennek meg. Az ilyen kifejezések numerikus tényezőjét együtthatónak nevezzük. Ebben a kifejezésben az együtthatók a 9-es és a 4-es számok. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a betű által képviselt tényező ennek az összegnek mindkét értelemben ugyanaz.

Emlékezzünk vissza a szorzás eloszlási törvényére:

Ha egy összeget meg szeretne szorozni egy számmal, minden tagot megszorozhat ezzel a számmal, és összeadhatja a kapott szorzatokat.

BAN BEN Általános nézet a következőképpen írva: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Ez a törvény mindkét irányban igaz ac + bc = (a + b) ∙ c

Alkalmazzuk szó szerinti kifejezésünkre: 9x és 4x szorzatának összege egyenlő azzal a szorzattal, amelynek első tényezője egyenlő az összeggel 9 és 4, a második tényező x.

9 + 4 = 13, ez 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

A kifejezésben szereplő három művelet helyett csak egy művelet maradt - a szorzás. Ez azt jelenti, hogy a szó szerinti kifejezésünket egyszerűbbé tettük, azaz. leegyszerűsítette.

2. § Hasonló feltételek csökkentése

A 9x és 4x kifejezések csak az együtthatójukban különböznek – az ilyen kifejezéseket hasonlónak nevezik. A hasonló kifejezések betűrésze ugyanaz. A hasonló kifejezések közé tartoznak a számok és az egyenlő kifejezések is.

Például a 9a + 12 - 15 kifejezésben hasonló tagok lesznek a 12 és -15 számok, a 12 és 6a szorzatának összegében pedig a 14 szám, valamint a 12 és 6a szorzata (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) a 12 és 6a szorzata által képviselt egyenlő tagok.

Fontos megjegyezni, hogy azok a tagok, amelyek együtthatói egyenlőek, de betűtényezői eltérőek, nem hasonlóak, bár néha célszerű alkalmazni rájuk a szorzás eloszlási törvényét, például az 5x és 5y szorzat összege egyenlő az 5 szám és x és y összegének szorzatával

5x + 5y = 5(x + y).

Egyszerűsítsük a -9a + 15a - 4 + 10 kifejezést.

Hasonló kifejezések a ebben az esetben a -9a és 15a kifejezések, mivel csak az együtthatójukban különböznek. A betűszorzójuk megegyezik, a -4 és 10 kifejezések is hasonlóak, hiszen számokról van szó. Adjon hozzá hasonló kifejezéseket:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

A következőt kapjuk: 6a + 6.

A kifejezés leegyszerűsítésével hasonló tagok összegét találtuk, ezt a matematikában hasonló tagok redukciójának nevezik.

Ha az ilyen kifejezések hozzáadása nehéz, akkor szavakat találhat ki hozzájuk, és objektumokat adhat hozzá.

Vegyük például a következő kifejezést:

Minden betűhöz vesszük a saját tárgyunkat: b-alma, c-körte, majd kapjuk: 2 alma mínusz 5 körte plusz 8 körte.

Kivonhatjuk a körtét az almából? Természetesen nem. De mínusz 5 körtéhez hozzáadhatunk 8 körtét.

Mutassunk be hasonló kifejezéseket -5 körte + 8 körte. A hasonló kifejezéseknek ugyanaz a betűrésze van, így hasonló kifejezések hozásakor elegendő az együtthatókat hozzáadni és a betűrészt hozzáadni az eredményhez:

(-5 + 8) körte - 3 körtét kapsz.

Visszatérve szó szerinti kifejezésünkre: -5 s + 8 s = 3 s. Így hasonló kifejezések hozása után a 2b + 3c kifejezést kapjuk.

Tehát ebben a leckében megismerkedtél a „hasonló kifejezések” fogalmával, és megtanultad, hogyan egyszerűsítsd le a betűkifejezéseket a hasonló kifejezések csökkentésével.

A felhasznált irodalom listája:

1. Matematika. 6. osztály: óratervek a tankönyvhöz I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // szerző-összeállító L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv tanulóknak oktatási intézmények. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára/G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov és mások/szerkesztette: G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Orosz Tudományos Akadémia, Orosz Oktatási Akadémia. M.: „Felvilágosodás”, 2010.
4. Matematika. 6. évfolyam: tanulmány általános oktatási intézmények számára/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Túzok, 2014.

Felhasznált képek:

Az algebrai kifejezések egyszerűsítése az algebra tanulásának egyik kulcsa, és rendkívül hasznos készség minden matematikus számára. Az egyszerűsítés lehetővé teszi, hogy egy összetett vagy hosszú kifejezést egyszerű kifejezéssé redukáljon, amellyel könnyen dolgozhat. Az egyszerűsítés alapkészségei még azok számára is jók, akik nem rajonganak a matematikáért. Több megfigyelésével egyszerű szabályok, leegyszerűsítheti az algebrai kifejezések legáltalánosabb típusait különösebb matematikai ismeretek nélkül.

Lépések

Fontos meghatározások

1. Hasonló tagok. Ezek azonos sorrendű változójú tagok, azonos változójú tagok vagy szabad tagok (változót nem tartalmazó tagok). Más szavakkal, a hasonló kifejezések ugyanazt a változót ugyanolyan mértékben tartalmazzák, több azonos változót tartalmaznak, vagy egyáltalán nem tartalmaznak változót. A kifejezések sorrendje a kifejezésben nem számít.

   • Például a 3x 2 és a 4x 2 hasonló kifejezések, mert tartalmaznak egy másodrendű (másodlagos hatvány) "x" változót. Az x és az x2 azonban nem hasonló kifejezések, mivel különböző sorrendű (első és második) „x” változót tartalmaznak. Hasonlóképpen, a -3yx és az 5xz nem hasonló kifejezések, mert különböző változókat tartalmaznak.

2. Faktorizáció. Ez olyan számok keresése, amelyek szorzata az eredeti számhoz vezet. Bármely eredeti számnak több tényezője lehet. Például a 12-es szám beszámítható a következő tényezők sorozatába: 1 × 12, 2 × 6 és 3 × 4, tehát azt mondhatjuk, hogy az 1, 2, 3, 4, 6 és 12 számok a faktorok tényezői. 12. szám. A tényezők megegyeznek a tényezőkkel, vagyis azokkal a számokkal, amelyekkel az eredeti szám el van osztva.

   • Például, ha a 20-as számot szeretné faktorálni, írja be a következőképpen: 4×5.
   • Vegye figyelembe, hogy a faktorálás során a változót a rendszer figyelembe veszi. Például 20x = 4 (5x).
   • A prímszámokat nem lehet faktorozni, mert csak önmagukkal és 1-gyel oszthatók.

3. Ne felejtse el és kövesse a műveletek sorrendjét, hogy elkerülje a hibákat.

   • zárójelek
   • Fokozat
   • Szorzás
   • Osztály
   • Kiegészítés
   • Kivonás

   Hasonló tagokat hozni

   1. Írd le a kifejezést. Az egyszerű algebrai kifejezések (amelyek nem tartalmaznak törteket, gyököket stb.) néhány lépésben megoldhatók (leegyszerűsíthetők).

      • Például egyszerűsítse a kifejezést 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Hasonló kifejezések definiálása (azonos sorrendű változókkal rendelkező kifejezések, azonos változójú kifejezések vagy szabad kifejezések).

      • Keressen hasonló kifejezéseket ebben a kifejezésben. A 2x és 4x kifejezések azonos sorrendű változót tartalmaznak (először). Ezenkívül az 1 és a -3 szabad kifejezések (nem tartalmaznak változót). Így ebben a kifejezésben a kifejezések 2x és 4x hasonlóak, és a tagok 1 és -3 szintén hasonlóak.

   3. Adjon meg hasonló kifejezéseket. Ez azt jelenti, hogy hozzáadjuk vagy kivonjuk őket, és egyszerűsítjük a kifejezést.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Írja át a kifejezést a megadott kifejezések figyelembevételével! Egy egyszerű kifejezést kapsz, kevesebb kifejezéssel. Az új kifejezés megegyezik az eredetivel.

      • Példánkban: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x-2, vagyis az eredeti kifejezés leegyszerűsödik és könnyebben kezelhető.

   5. Hasonló tagok hozásakor kövesse a műveleti sorrendet. Példánkban könnyű volt hasonló kifejezéseket megadni. Az olyan összetett kifejezések esetében azonban, amelyekben a kifejezések zárójelben vannak, és vannak törtek és gyökök, nem olyan egyszerű ilyen kifejezéseket behozni. Ezekben az esetekben kövesse a műveletek sorrendjét.

      • Vegyük például az 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x kifejezést. Itt hiba lenne azonnal a 3x és a 2x hasonló kifejezéseket definiálni és bemutatni, mert előbb ki kell nyitni a zárójelet. Ezért a műveleteket a sorrendjük szerint végezze el.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Most, amikor a kifejezés csak összeadási és kivonási műveleteket tartalmaz, hasonló kifejezéseket hozhat létre.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   A szorzót zárójelből kivéve

   1. Keresse meg a kifejezés összes együtthatójának legnagyobb közös osztóját (GCD). A GCD a legnagyobb szám, amellyel a kifejezés összes együtthatója el van osztva.

      • Vegyük például a 9x 2 + 27x - 3 egyenletet. Ebben az esetben GCD = 3, mivel ennek a kifejezésnek bármely együtthatója osztható 3-mal.

   2. Osszuk el a kifejezés minden tagját gcd-vel. A kapott kifejezések kisebb együtthatókat tartalmaznak, mint az eredeti kifejezésben.

      • Példánkban a kifejezés minden tagját osszuk el 3-mal.
        • 9x2 /3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Az eredmény egy kifejezés volt 3x 2 + 9x - 1. Nem egyenlő az eredeti kifejezéssel.

   3. Írja fel az eredeti kifejezést úgy, hogy egyenlő legyen a gcd és a kapott kifejezés szorzatával. Ez azt jelenti, hogy a kapott kifejezést zárójelek közé kell tenni, és a gcd-t ki kell venni a zárójelek közül.

      • Példánkban: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Törtkifejezések egyszerűsítése a tényező zárójelekbe helyezésével. Miért kell egyszerűen zárójelbe tenni a szorzót, ahogy korábban megtették? Aztán megtanulni egyszerűsíteni összetett kifejezések, például törtkifejezések. Ebben az esetben, ha a faktort a zárójelek közé helyezzük, az segíthet megszabadulni a törttől (a nevezőtől).

      • Vegyük például a törtkifejezést (9x 2 + 27x - 3)/3. Használja a faktorálást a kifejezés egyszerűsítéséhez.
        • Tegye a 3-as tényezőt a zárójelek közé (ahogy korábban tette): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Figyeljük meg, hogy a számlálóban és a nevezőben is 3 van, ezt le lehet redukálni a következő kifejezéshez: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Mivel minden olyan tört, amelynek nevezője 1, egyszerűen egyenlő a számlálóval, az eredeti tört kifejezés leegyszerűsödik a következőre: 3x 2 + 9x - 1.

   További egyszerűsítési módszerek

4. Nézzünk egy egyszerű példát: √(90). A 90-es szám a következő tényezőkkel számolható be: 9 és 10, és a 9-ből kinyerhető Négyzetgyök(3) és távolítsa el a 3-at a gyökér alól.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Kifejezések egyszerűsítése erőkkel. Egyes kifejezések hatványokkal szorzó- vagy osztási műveleteket tartalmaznak. Azonos bázisú tagok szorzása esetén a hatáskörök összeadódnak; azonos bázisú tagok felosztása esetén a hatványaik levonásra kerülnek.

   • Vegyük például a 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15) kifejezést. Szorzás esetén add össze a hatványokat, osztásnál pedig vond ki.
     • 6x3 × 8x4 + (x17 /x15)
     • (6 × 8) × 3 + 4 + (x 17–15)
     • 48x7 + x 2
   • Az alábbiakban a kifejezések hatványokkal való szorzásának és osztásának szabályait ismertetjük.
     • A kifejezések hatványokkal való szorzása megegyezik a tagok önmagukkal való szorzásával. Például mivel x 3 = x × x × x és x 5 = x × x × x × x × x, akkor x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), vagy x 8 .
     • Hasonlóképpen, a tagok fokozatokkal való felosztása egyenértékű a tagok önmagukkal való osztásával. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Mivel a számlálóban és a nevezőben is található hasonló kifejezések csökkenthetők, két „x” vagy x 2 szorzata a számlálóban marad.

• Mindig emlékezzen a kifejezések előtti jelekre (plusz vagy mínusz), mivel sok embernek nehézséget okoz a megfelelő jel kiválasztása.
• Szükség esetén kérjen segítséget!
• Az algebrai kifejezések leegyszerűsítése nem könnyű, de ha egyszer rászoktál, ez egy olyan készség, amelyet életed végéig használhatsz.

Mérnöki számológép online

Örömmel ajándékozunk meg mindenkit egy ingyenes mérnöki számológéppel. Segítségével bármely diák gyorsan és ami a legfontosabb, könnyen elvégezhet különféle típusú matematikai számításokat az interneten.

A számológép a webhelyről származik - web 2.0 tudományos számológép

Az egyszerű és könnyen használható mérnöki számológép nem feltűnő és intuitív felülettel valóban hasznos lesz az internetfelhasználók széles köre számára. Most, amikor számológépre van szüksége, látogasson el weboldalunkra, és használja az ingyenes mérnöki számológépet.

Egy mérnöki számológép egyszerű aritmetikai műveleteket és meglehetősen bonyolult matematikai számításokat is tud végezni.

A Web20calc egy mérnöki számológép, amely rengeteg funkcióval rendelkezik, például az összes elemi függvények. A számológép támogatja a trigonometrikus függvényeket, mátrixokat, logaritmusokat és még a grafikonokat is.

A Web20calc kétségtelenül érdekelni fogja a keresett emberek azon csoportját egyszerű megoldások betárcsáz kereső motorok kérés: matematikai online számológép. Egy ingyenes webalkalmazás segítségével azonnal kiszámíthatja valamilyen matematikai kifejezés eredményét, például kivonás, összeadás, osztás, gyökér kivonása, hatványra emelés stb.

A kifejezésben használhatjuk a hatványozás, összeadás, kivonás, szorzás, osztás, százalék és a PI állandó műveleteit. Összetett számításokhoz zárójeleket kell feltüntetni.

A mérnöki számológép jellemzői:

1. számtani alapműveletek;
2. számokkal való munka standard formában;
3. számítás trigonometrikus gyökerek, függvények, logaritmusok, hatványozás;
4. statisztikai számítások: összeadás, számtani átlag vagy szórás;
5. memóriacellák és 2 változó egyedi függvényeinek használata;
6. dolgozzon szögekkel radián- és fokmértékben.

A mérnöki számológép számos matematikai függvény használatát teszi lehetővé:

Gyökerek kinyerése (négyzet-, köb- és n-edik gyök);
ex (e az x hatványhoz), exponenciális;
trigonometrikus függvények: szinusz - sin, koszinusz - cos, tangens - tan;
inverz trigonometrikus függvények: arcszinusz - sin-1, arccosine - cos-1, arctangens - tan-1;
hiperbolikus függvények: szinusz - sinh, koszinusz - cosh, tangens - tanh;
logaritmusok: bináris logaritmus kettős bázis - log2x, tízes bázis logaritmus - log, természetes logaritmus - ln.

Ez a műszaki számológép tartalmaz egy értékkalkulátort is, amely képes átváltani fizikai mennyiségek Mert különféle rendszerek mérések - számítógép egységek, távolság, súly, idő stb. Ezzel a funkcióval azonnal átválthatja a mérföldeket kilométerekre, a fontokat kilogrammokra, a másodperceket órákra stb.

Matematikai számítások elvégzéséhez először írja be a matematikai kifejezések sorozatát a megfelelő mezőbe, majd kattintson az egyenlőségjelre, és nézze meg az eredményt. Az értékeket közvetlenül a billentyűzetről adhatja meg (ehhez a számológép területnek aktívnak kell lennie, ezért célszerű a kurzort a beviteli mezőbe helyezni). Többek között magának a számológépnek a gombjaival lehet adatokat bevinni.

Grafikonok készítéséhez a beviteli mezőbe írja be a függvényt a példákkal ellátott mezőben jelzett módon, vagy használja a speciálisan erre kialakított eszköztárat (az eléréséhez kattintson a grafikon ikonnal ellátott gombra). Az értékek konvertálásához kattintson az Egység elemre, a mátrixok kezeléséhez pedig a Mátrix elemre.

Alkalmazás

Bármilyen típusú egyenlet megoldása online az oldalon diákok és iskolások számára a tanult anyag összevonására Egyenletek megoldása online. Egyenletek online. Léteznek algebrai, parametrikus, transzcendentális, funkcionális, differenciális és egyéb egyenletek Egyes egyenletosztályoknak vannak analitikus megoldásai, amelyek kényelmesek, mert nemcsak a gyök pontos értékét adják meg, hanem lehetővé teszik a megoldás beírását is a képlet formájában, amely paramétereket is tartalmazhat. Az analitikus kifejezések nemcsak a gyökök kiszámítását teszik lehetővé, hanem azok létezésének és mennyiségének elemzését is a paraméterértékektől függően, ami gyakran még fontosabb praktikus alkalmazás, mint a gyökök fajlagos értékei. Egyenletek megoldása online.. Egyenletek online. Az egyenlet megoldása az a feladat, hogy megtaláljuk az érvek olyan értékeit, amelyeknél ez az egyenlőség megvalósul. További feltételek (egész, valós stb.) szabhatók az argumentumok lehetséges értékeire. Egyenletek megoldása online.. Egyenletek online. Az egyenletet online azonnal és nagy pontossággal megoldhatja. A megadott függvények argumentumait (amelyeket néha "változóknak" is neveznek) egyenlet esetén "ismeretleneknek" nevezik. Az ismeretlenek értékeit, amelyeknél ez az egyenlőség megvalósul, az egyenlet megoldásainak vagy gyökereinek nevezzük. A gyökök állítólag kielégítik ezt az egyenletet. Egy egyenlet online megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldásának (gyöknek) halmazát, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek gyökök. Egyenletek megoldása online.. Egyenletek online. Azokat az egyenleteket, amelyek gyökhalmazai egybeesnek, ekvivalensnek vagy egyenlőnek nevezzük. Azok az egyenletek is ekvivalensnek tekintendők, amelyeknek nincs gyökük. Az egyenletek ekvivalenciájának megvan a szimmetria tulajdonsága: ha az egyik egyenlet ekvivalens a másikkal, akkor a második egyenlet ekvivalens az elsővel. Az egyenletek ekvivalenciájának tranzitiv tulajdonsága van: ha az egyik egyenlet ekvivalens a másikkal, a második pedig egy harmadikkal, akkor az első egyenlet ekvivalens a harmadikkal. Az egyenletek ekvivalencia tulajdonsága lehetővé teszi, hogy transzformációkat hajtsunk végre velük, amelyekre a megoldási módszerek épülnek. Egyenletek megoldása online.. Egyenletek online. A webhely lehetővé teszi az egyenlet online megoldását. Azok az egyenletek, amelyek analitikai megoldásai ismertek, magukban foglalják a legfeljebb negyedik fokú algebrai egyenleteket: lineáris egyenlet, másodfokú egyenlet, köbegyenlet és negyedfokú egyenlet. A magasabb fokú algebrai egyenleteknek általában nincs analitikus megoldásuk, bár egyesek kisebb fokú egyenletekre redukálhatók. A transzcendentális függvényeket tartalmazó egyenleteket transzcendentálisnak nevezzük. Közülük egyesek számára ismertek az analitikai megoldások trigonometrikus egyenletek, nullák óta trigonometrikus függvények jól ismert. Általános esetben, ha nem találunk analitikus megoldást, numerikus módszereket alkalmazunk. A numerikus módszerek nem adnak pontos megoldást, csak azt teszik lehetővé, hogy egy bizonyos előre meghatározott értékre szűkítsük azt az intervallumot, amelyben a gyök található. Egyenletek online megoldása. Online egyenletek. Online egyenlet helyett azt képzeljük el, hogy ugyanaz a kifejezés hogyan alkot lineáris kapcsolatot, nemcsak egy egyenes érintő mentén, hanem a gráf inflexiós pontján is. Ez a módszer mindenkor nélkülözhetetlen a tantárgy tanulmányozásában. Gyakran előfordul, hogy az egyenletek megoldása végtelen számok felhasználásával és vektorok írásával közelíti meg a végső értéket. A kiindulási adatok ellenőrzése szükséges és ez a feladat lényege. Ellenkező esetben a helyi feltétel képletté alakul. Egy adott függvényből egyenes vonalban történő inverzió, amelyet az egyenletszámoló nagy késedelem nélkül kiszámol a végrehajtás során, az eltolás térkiváltságként fog szolgálni. Szó lesz a hallgatók tudományos környezetben elért sikereiről. Azonban, mint a fentiek mindegyike, ez is segítségünkre lesz a keresési folyamatban, és amikor az egyenletet teljesen megoldja, a kapott választ tárolja az egyenes szakasz végén. A térbeli vonalak egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot az egyenesek által metszettnek nevezzük. A sorban lévő intervallum a korábban meghatározottak szerint jelenik meg. Megjelenik a matematikatudomány legmagasabb posztja. Egy paraméteresen megadott felületről argumentumérték hozzárendelése és az egyenlet online megoldása képes lesz felvázolni a függvény produktív hozzáférésének alapelveit. A Möbius-csík, vagy ahogy nevezik a végtelent, úgy néz ki, mint egy nyolcas szám. Ez egy egyoldalú felület, nem kétoldalas. A mindenki által általánosan ismert elv szerint objektíven elfogadjuk lineáris egyenletek az alap megnevezéshez, ahogy van és a tanulmányi területen. A szekvenciálisan megadott argumentumoknak csak két értéke képes felfedni a vektor irányát. Feltételezve, hogy az online egyenletek egy másik megoldása sokkal több, mint egyszerű megoldás, azt jelenti, hogy ennek eredményeként megkapjuk az invariáns teljes értékű változatát. Integrált megközelítés nélkül a tanulók nehezen tanulnak ezt az anyagot. A korábbiakhoz hasonlóan minden speciális esetre kényelmes és intelligens online egyenletkalkulátorunk segít mindenkinek a nehéz időkben, mert csak meg kell adni a bemeneti paramétereket, és a rendszer maga számítja ki a választ. Mielőtt elkezdené az adatok bevitelét, szükségünk lesz egy beviteli eszközre, ami különösebb nehézség nélkül elvégezhető. Az egyes válaszbecslések száma másodfokú egyenlethez vezet következtetéseinkhez, de ezt nem olyan egyszerű megtenni, mert könnyű bizonyítani az ellenkezőjét. Az elméletet sajátosságaiból adódóan gyakorlati tudás nem támasztja alá. A válasz közzétételének szakaszában egy törtszámítógépet látni nem könnyű feladat a matematikában, hiszen a szám halmazra történő írásának alternatívája elősegíti a függvény növekedését. Helytelen lenne azonban nem beszélni a hallgatói képzésről, ezért mindannyian annyit mondunk, amennyit tenni kell. A korábban megtalált köbös egyenlet jogosan a definíció tartományába fog tartozni, és tartalmazza a számértékek terét, valamint a szimbolikus változókat. Tanulóink ​​a tétel megtanulása vagy memorizálása után csak azzal bizonyítanak a legjobb oldal, és örülni fogunk nekik. Ellentétben a többszörös mezőmetszetekkel, online egyenleteinket egy mozgássíkkal írjuk le, két és három numerikus kombinált egyenes szorzásával. A matematikában egy halmaz nincs egyedileg definiálva. A hallgatók szerint a legjobb megoldás a kifejezés teljes rögzítése. Ahogy mondták tudományos nyelv, a szimbolikus kifejezések absztrakciója nem kerül a dolgok állapotába, de az egyenletek megoldása minden ismert esetben egyértelmű eredményt ad. A tanári óra időtartama a javaslat igényeitől függ. Az elemzés számos területen megmutatta az összes számítási technika szükségességét, és teljesen egyértelmű, hogy az egyenletszámológép nélkülözhetetlen eszköz egy tehetséges diák kezében. A matematika tanulmányozásának lojális megközelítése meghatározza a különböző irányokból érkező nézetek fontosságát. Meg akarja határozni az egyik kulcstételt, és úgy akarja megoldani az egyenletet, hogy melyik választól függően lesz további igény az alkalmazására. Az elemzés ezen a területen lendületet kap. Kezdjük elölről, és származtatjuk a képletet. A függvény növekedési szintjét áttörve, az inflexiós pont érintője mentén húzódó egyenes minden bizonnyal oda vezet, hogy az egyenlet online megoldása lesz az egyik fő szempont a függvény argumentumából ugyanezen gráf megalkotásában. Az amatőr megközelítésnek joga van alkalmazni, ha ezt az állapotot nem mond ellent a tanulók következtetéseinek. Ez az a részfeladat, amely a matematikai feltételek lineáris egyenletek elemzését az objektum létező definíciós tartományába háttérbe helyezi. Az ortogonalitás irányába történő nettósítás megszünteti az egyetlen abszolút érték előnyeit. A Modulo egyenletek online megoldása ugyanannyi megoldást ad, ha a zárójeleket először pluszjellel, majd mínuszjellel nyitja meg. Ebben az esetben kétszer annyi megoldás lesz, és az eredmény pontosabb lesz. A stabil és helyes online egyenletszámológép siker a kitűzött cél elérésében a tanár által kitűzött feladatban. Lehetségesnek tűnik a megfelelő módszer kiválasztása a nagy tudósok nézeteinek jelentős eltérései miatt. A kapott másodfokú egyenlet leírja a vonalak görbéjét, az úgynevezett parabolát, és az előjel határozza meg annak konvexitását a négyzet koordináta-rendszerben. Az egyenletből a diszkriminánst és magukat a gyököket is megkapjuk Vieta tétele szerint. Az első lépés a kifejezés megfelelő vagy helytelen törtként való megjelenítése, és törtszámító használata. Ennek függvényében alakul ki további számításaink terve. Az elméleti megközelítésű matematika minden szakaszban hasznos lesz. Az eredményt mindenképpen köbegyenletként fogjuk bemutatni, mert ennek a kifejezésnek a gyökereit rejtjük el, hogy leegyszerűsítsük az egyetemi hallgató feladatát. Bármely módszer jó, ha alkalmas felületes elemzésre. Az extra aritmetikai műveletek nem vezetnek számítási hibákhoz. Adott pontossággal határozza meg a választ. Az egyenletek megoldásával lássuk be, egy adott függvény független változójának megtalálása nem olyan egyszerű, különösen a végtelen párhuzamos egyenesek tanulmányozásának időszakában. A kivételre tekintettel a szükség nyilvánvaló. A polaritás különbség egyértelmű. Az intézeti tanítás tapasztalataiból tanult tanárunk fő lecke, amelyben az egyenleteket online tanulmányozták a teljes matematikai értelemben. Itt nagyobb erőfeszítésekről és speciális készségekről volt szó az elmélet alkalmazásában. Következtetéseink mellett nem szabad prizmán keresztül nézni. Egészen a közelmúltig azt hitték, hogy a zárt halmaz gyorsan növekszik a régióban, ahogy van, és az egyenletek megoldását egyszerűen meg kell vizsgálni. Az első szakaszban nem vettünk figyelembe minden lehetséges lehetőséget, de ez a megközelítés minden eddiginél indokoltabb. A zárójeles kiegészítő műveletek indokolják az ordináta és az abszcissza tengelyek mentén történő előrelépést, amelyet szabad szemmel nem lehet kihagyni. A függvény kiterjedt arányos növekedésének értelmében van egy inflexiós pont. Még egyszer bebizonyítjuk, hogyan szükséges feltétel A vektor egyik vagy másik csökkenő helyzetének csökkentésének teljes intervallumában alkalmazzuk. Szűk térben kiválasztunk egy változót a szkriptünk kezdeti blokkjából. A három vektor mentén bázisként felépített rendszer felelős a fő erőnyomaték hiányáért. Az egyenlet-kalkulátor azonban létrehozta és segített megtalálni a felépített egyenlet összes tagját, mind a felszín felett, mind a párhuzamos egyenesek mentén. Rajzoljunk kört a kiindulási pont köré. Így elkezdünk felfelé haladni a metszetvonalak mentén, és az érintő leírja a kört annak teljes hosszában, ami egy evolvensnek nevezett görbét eredményez. Apropó, meséljünk egy kis történelmet erről a görbéről. A tény az, hogy a matematikában történelmileg nem létezett magának a matematikának a tiszta felfogása, mint ma. Korábban minden tudós egyetlen közös feladattal foglalkozott, ez a tudomány. Később, több évszázaddal később, amikor a tudományos világ hatalmas mennyiségű információval volt tele, az emberiség mégis számos tudományágat azonosított. Továbbra is változatlanok maradnak. Mégis, a tudósok világszerte minden évben megpróbálják bebizonyítani, hogy a tudomány határtalan, és az egyenletet csak akkor tudod megoldani, ha ismered a természettudományokat. Lehet, hogy ennek nem lehet végre véget vetni. Ezen gondolkodni éppoly értelmetlen, mint felmelegíteni a levegőt kint. Határozzuk meg azt az intervallumot, amelynél az argumentum, ha az értéke pozitív, erőteljesen növekvő irányban határozza meg az érték modulusát. A reakció segít megtalálni legalább három megoldást, de ezeket ellenőriznie kell. Kezdjük azzal, hogy az egyenletet online kell megoldanunk weboldalunk egyedülálló szolgáltatásának segítségével. Adjuk meg a megadott egyenlet mindkét oldalát, kattintsunk a „MEGOLDÁS” gombra, és néhány másodpercen belül megkapjuk a pontos választ. Speciális esetekben vegyünk egy matematikai könyvet, és nézzük meg még egyszer a válaszunkat, nevezetesen, csak a választ nézzük, és minden kiderül. Ugyanez a projekt egy mesterségesen redundáns paralelepipedonra is kirepül. Van egy paralelogramma a párhuzamos oldalaival, és számos elvet és megközelítést magyaráz meg a képletekben az üreges tér felhalmozódásának növekvő folyamatának térbeli kapcsolatának tanulmányozásához. természetes megjelenés. A kétértelmű lineáris egyenletek megmutatják a kívánt változó függőségét az általános megoldásunktól adott időpontban, és valahogyan le kell vezetnünk és hoznunk kell helytelen tört egy nem triviális esethez. Jelöljön ki tíz pontot az egyenesen, és rajzoljon egy görbét minden ponton az adott irányban, a konvex ponttal felfelé. Egyenlet-kalkulátorunk minden különösebb nehézség nélkül olyan formában jelenít meg egy kifejezést, hogy a szabályok érvényességének ellenőrzése már a felvétel elején is nyilvánvaló legyen. A matematikusok számára a stabilitás speciális reprezentációinak rendszere az első, ha a képlet másként nem rendelkezik. Erre egy részletes beszámolóval fogunk válaszolni, amely egy plasztikus testrendszer izomorf állapotáról szól, és az egyenletek online megoldása leírja az egyes anyagi pontok mozgását ebben a rendszerben. A mélyreható kutatás szintjén szükséges lesz legalább a tér alsó rétegének inverzióinak részletes tisztázása. A függvény folytonossági szakaszán növekvő sorrendben alkalmazzuk általános módszer egyébként kiváló kutató, honfitársunk, és az alábbiakban a gép viselkedéséről lesz szó. Egy analitikusan definiált függvény erős jellemzői miatt az online egyenletszámológépet a származtatott hatáskörökön belül csak rendeltetésszerűen használjuk. Tovább okoskodva, áttekintésünkben magának az egyenletnek a homogenitására fogunk összpontosítani, vagyis a jobb oldala nullával egyenlő. Még egyszer Győződjön meg arról, hogy a matematikai döntésünk helyes. Annak érdekében, hogy elkerüljük a triviális megoldás elérését, a rendszer feltételes stabilitásának problémájának kezdeti feltételeit módosítjuk. Hozzunk létre egy másodfokú egyenletet, amelyhez egy jól ismert képlettel írunk ki két bejegyzést, és keressük meg a negatív gyököket. Ha egy gyök öt egységgel nagyobb, mint a második és harmadik gyök, akkor a fő argumentum változtatásával torzítjuk a részfeladat kezdeti feltételeit. A matematikában valami szokatlan természeténél fogva mindig a század pontossággal leírható. pozitív szám. A törtszámítógép a szerverterhelés legjobb pillanatában többszörösen felülmúlja analógjait hasonló erőforrásokon. Az ordináta tengely mentén növekvő sebességvektor felületére hét, egymással ellentétes irányba hajlított vonalat húzunk. A hozzárendelt függvény argumentum összemérhetősége megelőzi a helyreállítási egyenleg számlálójának leolvasását. A matematikában ezt a jelenséget egy képzeletbeli együtthatós köbegyenleten, valamint csökkenő egyenesek bipoláris progressziójában ábrázolhatjuk. A hőmérséklet-különbség kritikus pontjai sok jelentésükben és progressziójukban egy összetett törtfüggvény faktorokra bontásának folyamatát írják le. Ha azt mondják, hogy oldjon meg egy egyenletet, ne rohanjon azonnal, először feltétlenül értékelje a teljes cselekvési tervet, és csak azután fogadja el a helyes megközelítés. Biztosan lesznek előnyei. A munka egyszerűsége nyilvánvaló, és ugyanez igaz a matematikára is. Oldja meg az egyenletet online. Minden online egyenlet egy bizonyos típusú szám- vagy paraméterrekordot és egy meghatározandó változót jelent. Számítsa ki ezt a változót, azaz keresse meg egy értékkészlet meghatározott értékeit vagy intervallumait, amelyeken az identitás megmarad. A kezdeti és végső feltételek közvetlenül függenek. Az általános egyenletmegoldás általában tartalmaz néhány változót és állandót, amelyek beállításával teljes megoldáscsaládokat kapunk egy adott problémafelvetésre. Általában ez indokolja a 100 centiméteres oldalú térkocka funkcionalitásának növelésére fordított erőfeszítéseket. A válaszalkotás bármely szakaszában alkalmazhat egy tételt vagy lemmát. Az oldal fokozatosan előállít egy egyenlet-kalkulátort, ha szükséges, a termékek összesítésének bármely intervallumában legkisebb érték. Az esetek felében egy ilyen golyó üreges, nem nagyobb mértékben megfelel a köztes válasz beállításának követelményeinek. Által legalább az ordináta tengelyen a csökkenő vektorreprezentáció irányában ez az arány kétségtelenül optimálisabb lesz, mint az előző kifejezés. Abban az órában, amikor egy teljes pontelemzést végzünk lineáris függvényeken, tulajdonképpen az összes komplex számunkat és bipoláris síkterünket egyesítjük. Ha a kapott kifejezésbe egy változót behelyettesít, lépésről lépésre megoldja az egyenletet, és nagy pontossággal adja meg a legrészletesebb választ. Jó formája lenne a tanulónak, ha még egyszer ellenőrizné a matematikából a tetteit. A törtek arányának aránya az eredmény integritását mindenkinél rögzítette fontos területek nulla vektoraktivitás. A trivialitás a befejezett akciók végén megerősítést nyer. Egy egyszerű feladat esetén a tanulóknak nem okoz nehézséget, ha a lehető legrövidebb idő alatt online megoldják az egyenletet, de ne feledkezzünk meg a különböző szabályokról sem. A részhalmazok halmaza egy konvergens jelölésű tartományban metszi egymást. BAN BEN különböző esetek a termék nincs hibásan faktorálva. Segítséget kap az egyenlet online megoldásában az első szakaszunkban, amely a matematikai technikák alapjaival foglalkozik az egyetemi és műszaki főiskolai hallgatók számára fontos szakaszok számára. Nem kell néhány napot várnunk a válaszokra, hiszen a vektoranalízis legjobb interakcióját a szekvenciális megoldáskereséssel a múlt század elején szabadalmazták. Kiderült, hogy a környező csapattal való kapcsolatok kialakítására tett erőfeszítések nem voltak hiábavalók, először nyilvánvalóan valami másra volt szükség. Több generációval később a tudósok szerte a világon elhitették az emberekkel, hogy a matematika a tudományok királynője. Mindegy, hogy a bal vagy a jobb válaszról van szó, a kimerítő kifejezéseket három sorban kell felírni, mivel esetünkben biztosan csak a mátrix tulajdonságainak vektoranalíziséről lesz szó. A nemlineáris és lineáris egyenletek, valamint a kétnegyedes egyenletek különleges helyet foglalnak el könyvünkben. legjobb gyakorlatok a mozgás pályájának kiszámítása az összes anyagi pont terében zárt rendszer. Három egymást követő vektor skaláris szorzatának lineáris elemzése segít életre kelteni az ötletet. Az egyes utasítások végén a feladatot megkönnyíti az optimalizált numerikus kivételek megvalósítása a végrehajtott számtérfedvényeken. Egy eltérő megítélés nem fogja szembeállítani a talált választ a kör háromszögének tetszőleges alakjában. A két vektor közötti szög tartalmazza a szükséges százalékos határt, és az egyenletek online megoldása gyakran felfedi az egyenlet bizonyos közös gyökerét, szemben a kezdeti feltételekkel. A kivétel a katalizátor szerepét tölti be abban az elkerülhetetlen folyamatban, hogy pozitív megoldást találjunk a függvény meghatározása terén. Ha nem azt mondják, hogy nem tud számítógépet használni, akkor egy online egyenletszámológép pontosan megfelel a nehéz problémáknak. Csak meg kell adnia feltételes adatait a megfelelő formátumban, és szerverünk a lehető legrövidebb időn belül teljes értékű eredményt ad. Exponenciális függvény sokkal gyorsabban növekszik, mint a lineáris. Az okos könyvtári irodalom Talmudjai erről tanúskodnak. Elvégzi az általános értelemben vett számítást, ahogy egy adott, három összetett együtthatóval rendelkező másodfokú egyenlet tenné. A félsík felső részében lévő parabola a pont tengelyei mentén egyenes vonalú párhuzamos mozgást jellemez. Itt érdemes megemlíteni a potenciálkülönbséget a test munkaterében. A szuboptimális eredményért cserébe törtkalkulátorunk joggal foglalja el az első helyet a szerveroldali funkcionális programok áttekintésének matematikai értékelésében. A szolgáltatás egyszerű használatát internetfelhasználók milliói fogják értékelni. Ha nem tudja, hogyan kell használni, szívesen segítünk. Külön is szeretnénk kiemelni és kiemelni a köbegyenletet számos általános iskolai feladatból, amikor gyorsan meg kell találni a gyökereit és meg kell alkotni a függvény grafikonját egy síkon. Magasabb fokozatok A reprodukció az egyik összetett matematikai probléma az intézetben, és ennek tanulmányozására elegendő óraszám áll rendelkezésre. Mint minden lineáris egyenlet, a miénk sem kivétel számos objektív szabály szerint, nézzünk különböző nézőpontokból, és kiderül, hogy egyszerű és elegendő a kezdeti feltételek felállítása. A növekedési intervallum egybeesik a függvény konvexitási intervallumával. Egyenletek megoldása online. Az elmélet tanulmányozása a fő tudományág tanulmányozásának számos részéből származó online egyenleteken alapul. A bizonytalan problémák e megközelítése esetén nagyon egyszerű egyenletek megoldását előre meghatározott formában bemutatni, és nem csak következtetéseket vonni le, hanem egy ilyen pozitív megoldás kimenetelét is megjósolni. A szolgáltatás leginkább a tárgykör elsajátításában segít legjobb hagyományai matematika, pontosan úgy, ahogy keleten szokás. Az időintervallum legjobb pillanataiban a hasonló feladatokat közös tízes tényezővel szorozták meg. Az egyenlet-kalkulátorban a többváltozós szorzatok bősége a minőséggel, nem pedig a mennyiségi változókkal, például tömeggel vagy testtömeggel szorozni kezdett. Az anyagrendszer kiegyensúlyozatlanságának elkerülése érdekében a háromdimenziós transzformátor levezetése a nem degenerált matematikai mátrixok triviális konvergenciáján teljesen nyilvánvaló számunkra. Végezze el a feladatot, és oldja meg az egyenletet! adott koordináták, mivel a kimenet előre nem ismert, ahogy a térbeli utóidőben szereplő összes változó sem. Tovább rövid időszak mozgassa a közös tényezőt a zárójelen túlra, és ossza el a legnagyobbkal közös osztó mindkét részt előre. A kapott számok lefedett részhalmaza alól vegye ki részletesen rövid idő alatt zsinórban harminchárom pontot. Olyan mértékben, hogy a lehető legjobb módon Egy egyenlet online megoldása minden diák számára lehetséges, előretekintve mondjunk egy fontos, de kulcsfontosságú dolgot, ami nélkül nehéz lesz a jövőben élni. A múlt században a nagy tudós számos mintát vett észre a matematika elméletében. A gyakorlatban az eredmény nem egészen az események által várt benyomást keltette. Elvileg azonban az egyenleteknek ez az online megoldása javítja a tanulmányozás holisztikus megközelítésének megértését és észlelését, valamint a hallgatók által lefedett elméleti anyag gyakorlati megszilárdítását. Tanulási idő alatt ezt sokkal könnyebb megtenni.

=

Fontos jegyzetek!
1. Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt megtenni a böngészőben:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen a navigátorunkra, ahol megtalálja a leghasznosabb forrásokat

Gyakran halljuk ezt a kellemetlen mondatot: "egyszerűsítsd a kifejezést."Általában egy ilyen szörnyet látunk:

„Sokkal egyszerűbb” – mondjuk, de egy ilyen válasz általában nem működik.

Most megtanítalak arra, hogy ne félj semmiféle ilyen feladattól.

Sőt, a lecke végén te magad is leegyszerűsíted ezt a példát (csak!) egy közönséges számra (igen, a pokolba ezekkel a betűkkel).

De mielőtt elkezdené ezt a tevékenységet, képesnek kell lennie rá kezelni a törteketÉs faktorpolinomok.

Ezért, ha még nem tette meg ezt, feltétlenül sajátítsa el a „” és a „” témakört.

Olvastad? Ha igen, akkor most készen áll.

Gyerünk! (Menjünk!)

Alapvető kifejezés-egyszerűsítési műveletek

Most nézzük meg a kifejezések egyszerűsítésére használt alapvető technikákat.

A legegyszerűbb az

1. Hasonló hozás

Mik a hasonlók? Ezt 7. osztályban vetted, amikor a számok helyett betűk jelentek meg először a matematikában.

Hasonló- ezek azonos betűrésszel rendelkező kifejezések (monomiálisok).

Például az összegben hasonló kifejezések és.

Emlékszel?

Adj hasonlót- azt jelenti, hogy több hasonló kifejezést adunk egymáshoz, és kapunk egy kifejezést.

Hogyan rakjuk össze a betűket? - kérdezed.

Ezt nagyon könnyű megérteni, ha azt képzeli, hogy a betűk valamiféle tárgyak.

Például egy levél egy szék. Akkor mivel egyenlő a kifejezés?

Két szék plusz három szék, hány lesz? Így van, székek: .

Most próbálja ki ezt a kifejezést: .

A félreértések elkerülése végett hagyjuk különböző betűk különböző objektumokat ábrázolnak.

Például a - (szokás szerint) egy szék, és - egy asztal.

székek asztalok szék asztalok székek székek asztalok

Azokat a számokat, amelyekkel az ilyen kifejezésekben szereplő betűket megszorozzuk, hívjuk együtthatók.

Például egy monomban az együttható egyenlő. És benne egyenlő.

Tehát a hasonlók behozatalának szabálya a következő:

Példák:

Adj hasonlókat:

Válaszok:

2. (és hasonló, mivel ezért ezeknek a kifejezéseknek ugyanaz a betűrésze).

2. Faktorizáció

Ez általában a kifejezések egyszerűsítésének legfontosabb része.

Miután megadta a hasonlókat, leggyakrabban az eredményül kapott kifejezésre van szükség tényezőkre bont, azaz termék formájában bemutatva.

Főleg ezt fontos törtszámban: végül is a tört csökkentése érdekében A számlálót és a nevezőt szorzatként kell ábrázolni.

A kifejezések faktorálásának módszereit részletesen végigjárta a „” témakörben, így itt csak emlékeznie kell arra, amit tanult.

Ehhez oldjon meg több példát (tényezősre kell őket)

Példák:

Megoldások:

3. Töredék csökkentése.

Nos, mi lehet kellemesebb, mint a számláló és a nevező egy részét áthúzni, és kidobni az életedből?

Ez a leépítés szépsége.

Ez egyszerű:

Ha a számláló és a nevező ugyanazokat a tényezőket tartalmazza, akkor redukálható, azaz eltávolítható a törtből.

Ez a szabály a tört alapvető tulajdonságából következik:

Vagyis a redukciós művelet lényege az A tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk ugyanazzal a számmal (vagy ugyanazzal a kifejezéssel).

A töredék csökkentéséhez a következőkre van szüksége:

1) számláló és nevező tényezőkre bont

2) ha a számláló és a nevező tartalmazza közös tényezők, áthúzhatók.

Példák:

Az elv, azt hiszem, egyértelmű?

Egy dologra szeretném felhívni a figyelmet tipikus hiba szerződéskötéskor. Bár ez a téma egyszerű, sokan mindent rosszul csinálnak, ezt nem értik csökkenteni- ez azt jelenti, hogy feloszt a számláló és a nevező ugyanaz a szám.

Nincsenek rövidítések, ha a számláló vagy a nevező összeg.

Például: egyszerűsítenünk kell.

Vannak, akik ezt teszik: ami teljesen helytelen.

Egy másik példa: csökkenteni.

A "legokosabb" ezt fogja tenni:

Mondd, mi a baj itt? Úgy tűnik: - ez egy szorzó, ami azt jelenti, hogy csökkenthető.

De nem: - ez csak egy tag tényezője a számlálóban, de maga a számláló egésze nincs faktorizálva.

Íme egy másik példa: .

Ez a kifejezés faktorizált, ami azt jelenti, hogy csökkentheti, azaz eloszthatja a számlálót és a nevezőt ezzel, majd a következővel:

Azonnal feloszthatja:

Az ilyen hibák elkerülése érdekében ne feledje egyszerű módja hogyan állapítható meg, hogy egy kifejezés faktorizált-e:

A kifejezés értékének kiszámításakor az utolsóként végrehajtott aritmetikai művelet a „fő” művelet.

Vagyis ha betűk helyett behelyettesítünk néhány (bármilyen) számot, és megpróbáljuk kiszámítani a kifejezés értékét, akkor ha az utolsó művelet a szorzás, akkor szorzatunk van (a kifejezés faktorizált).

Ha az utolsó művelet összeadás vagy kivonás, ez azt jelenti, hogy a kifejezés nincs faktorizálva (és ezért nem csökkenthető).

Ennek megerősítésére oldjon meg néhány példát saját maga:

Példák:

Megoldások:

4. Törtek összeadása és kivonása. Törtek redukálása közös nevezőre.

A közönséges törtek összeadása és kivonása ismert művelet: keresünk egy közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat.

Emlékezzünk:

Válaszok:

1. A és nevezők viszonylag prímszámúak, vagyis nincs közös tényezőjük. Ezért ezeknek a számoknak az LCM-je megegyezik a szorzatukkal. Ez lesz a közös nevező:

2. Itt a közös nevező:

3. Itt először a kevert frakciókat alakítjuk át nem megfelelővé, majd a szokásos séma szerint:

Teljesen más a helyzet, ha a törtek betűket tartalmaznak, pl.

Kezdjük valami egyszerűvel:

a) A nevezők nem tartalmaznak betűket

Itt minden ugyanaz, mint a közönséges numerikus törteknél: megtaláljuk a közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel, és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat:

Most a számlálóban megadhat hasonlókat, ha vannak, és faktorálhatja őket:

Próbáld ki magad:

Válaszok:

b) A nevezők betűket tartalmaznak

Emlékezzünk a betűk nélküli közös nevező megtalálásának elvére:

· mindenekelőtt meghatározzuk a közös tényezőket;

· majd egyenként írjuk ki az összes gyakori tényezőt;

· és szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

A nevezők közös tényezőinek meghatározásához először prímtényezőkbe soroljuk őket:

Hangsúlyozzuk a közös tényezőket:

Most egyenként írjuk ki a gyakori tényezőket, és adjuk hozzá az összes nem gyakori (nem aláhúzott) tényezőt:

Ez a közös nevező.

Térjünk vissza a levelekhez. A nevezők pontosan ugyanúgy vannak megadva:

· tényező a nevezők;

· közös (azonos) tényezők meghatározása;

· írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt;

· szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

Tehát sorrendben:

1) faktorozza a nevezőket:

2) határozza meg a közös (azonos) tényezőket:

3) írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt, és szorozza meg őket az összes többi (nem aláhúzott) tényezővel:

Tehát van itt egy közös nevező. Az első törtet meg kell szorozni a másodikkal:

Egyébként van egy trükk:

Például: .

Ugyanazokat a tényezőket látjuk a nevezőkben, csak mindegyik más mutatókkal. A közös nevező a következő lesz:

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig.

Bonyolítsuk a feladatot:

Hogyan készítsünk törteket azonos nevezővel?

Emlékezzünk a tört alapvető tulajdonságára:

Sehol nem szerepel, hogy ugyanaz a szám kivonható (vagy összeadható) a tört számlálójából és nevezőjéből. Mert nem igaz!

Győződjön meg saját szemével: vegyen például bármilyen törtet, és adjon hozzá néhány számot a számlálóhoz és a nevezőhöz, például . Mit tanultál?

Tehát még egy megingathatatlan szabály:

Amikor a törteket csökkenti közös nevező, csak a szorzási műveletet használja!

De mivel kell szorozni, hogy megkapjuk?

Szóval szorozd meg vele. És szorozzuk meg:

A nem faktorizálható kifejezéseket elemi tényezőknek nevezzük.

Például - ez egy elemi tényező. - Azonos. De nem: faktorizálható.

Mi a helyzet a kifejezéssel? Ez elemi?

Nem, mert faktorizálható:

(A faktorizációról már olvasott a "" témában).

Tehát azok az elemi tényezők, amelyekre egy kifejezést betűkkel bont, analógjai azoknak az egyszerű tényezőknek, amelyekre a számokat bontja. És ugyanúgy fogunk bánni velük.

Látjuk, hogy mindkét nevezőnek van szorzója. A fokig a közös nevezőre fog menni (emlékszel, miért?).

A tényező elemi, és nincs közös tényezőjük, ami azt jelenti, hogy az első törtet egyszerűen meg kell szorozni vele:

Egy másik példa:

Megoldás:

Mielőtt pánikszerűen megszorozná ezeket a nevezőket, el kell gondolkodnia azon, hogyan számolja be őket? Mindketten képviselik:

Nagy! Akkor:

Egy másik példa:

Megoldás:

Szokás szerint tizedeljük a nevezőket. Az első nevezőben egyszerűen zárójelbe tesszük; a másodikban - a négyzetek különbsége:

Úgy tűnik, hogy nincsenek közös tényezők. De ha jobban megnézed, hasonlóak... És ez igaz:

Tehát írjuk:

Vagyis így alakult: a zárójelben felcseréltük a kifejezéseket, és ezzel párhuzamosan a tört előtti jel az ellenkezőjére változott. Vegye figyelembe, hogy ezt gyakran meg kell tennie.

Most hozzuk egy közös nevezőre:

Megvan? Most nézzük meg.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Válaszok:

5. Törtek szorzása és osztása.

Nos, a legnehezebb része már elmúlt. És előttünk áll a legegyszerűbb, de ugyanakkor a legfontosabb:

Eljárás

Mi a numerikus kifejezés kiszámításának eljárása? Emlékezzen a kifejezés jelentésének kiszámításával:

számoltál?

Működnie kell.

Szóval hadd emlékeztesselek.

Az első lépés a fokozat kiszámítása.

A második a szorzás és az osztás. Ha egyszerre több szorzás és osztás is történik, tetszőleges sorrendben elvégezhető.

Végül végezzük az összeadást és a kivonást. Még egyszer, bármilyen sorrendben.

De: a zárójelben lévő kifejezés soron kívül kiértékelésre kerül!

Ha több zárójelet szorozunk vagy osztunk egymással, akkor először mindegyik zárójelben kiszámítjuk a kifejezést, majd szorozzuk vagy osztjuk őket.

Mi van, ha több zárójel van a zárójelben? Nos, gondoljuk át: a zárójelek közé valamilyen kifejezés van írva. Egy kifejezés kiszámításakor mit kell tennie először? Így van, számold ki a zárójeleket. Nos, kitaláltuk: először a belső zárójeleket számoljuk ki, aztán minden mást.

Tehát a fenti kifejezés eljárása a következő (az aktuális művelet pirossal van kiemelve, vagyis az a művelet, amelyet éppen végrehajtok):

Oké, minden egyszerű.

De ez nem ugyanaz, mint a betűs kifejezés?

Nem, ez ugyanaz! Csak ahelyett aritmetikai műveletek algebrai, azaz az előző részben leírt műveleteket kell végrehajtania: hasonlót hozva, frakciók hozzáadása, frakciók csökkentése stb. Az egyetlen különbség a polinomok faktorálása lesz (gyakran használjuk ezt, amikor törtekkel dolgozunk). A faktorizáláshoz leggyakrabban az I-t kell használnia, vagy egyszerűen csak zárójelbe kell tennie a közös tényezőt.

Általában az a célunk, hogy a kifejezést szorzatként vagy hányadosként ábrázoljuk.

Például:

Egyszerűsítsük a kifejezést.

1) Először is egyszerűsítjük a zárójelben lévő kifejezést. Ott törtek különbség van, és az a célunk, hogy ezt szorzatként vagy hányadosként mutassuk be. Tehát a törteket közös nevezőre hozzuk, és hozzáadjuk:

Ezt a kifejezést nem lehet tovább leegyszerűsíteni, itt minden tényező elemi (emlékszel még, mit jelent ez?).

2) Ezt kapjuk:

Törtek szorzása: mi lehetne egyszerűbb.

3) Most lerövidítheti:

Rendben, most mindennek vége. Semmi bonyolult, igaz?

Egy másik példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Először próbáld meg magad megoldani, és csak azután nézd meg a megoldást.

Megoldás:

Először is határozzuk meg a műveletek sorrendjét.

Először adjuk hozzá a zárójelben lévő törteket, így két tört helyett egyet kapunk.

Ezután törtosztást végzünk. Nos, adjuk hozzá az eredményt az utolsó törttel.

Sematikusan megszámozom a lépéseket:

Végül adok két hasznos tippet:

1. Ha vannak hasonlók, azonnal hozni kell. Bármikor is bukkannak fel hasonlók hazánkban, célszerű azonnal felhozni őket.

2. Ugyanez vonatkozik a frakciók redukálására is: amint megjelenik a redukció lehetősége, azt ki kell használni. Ez alól kivételt képeznek az összeadandó vagy kivont törtek: ha most ugyanazok a nevezők, akkor a csökkentést későbbre kell hagyni.

Íme néhány önálló megoldásra váró feladat:

És amit a legelején ígértek:

Válaszok:

Megoldások (röviden):

Ha legalább az első három példával megbirkózott, akkor elsajátította a témát.

Most pedig a tanuláshoz!

KIFEJEZÉSEK KONVERTÁLÁSA. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

Alapvető egyszerűsítési műveletek:

• Hasonlót hozni: hasonló kifejezések hozzáadásához (kicsinyítéséhez) hozzá kell adni az együtthatóikat és hozzá kell rendelni a betűrészt.
• Faktorizáció: a közös tényező zárójelből való kitétele, alkalmazása stb.
• Töredék csökkentése: A tört számlálója és nevezője ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozható vagy osztható, ami nem változtat a tört értékén.
  1) számláló és nevező tényezőkre bont
  2) ha a számlálónak és a nevezőnek közös tényezői vannak, akkor ezek áthúzhatók.

  FONTOS: csak a szorzók csökkenthetők!

• Törtek összeadása és kivonása:
  ;
• Törtek szorzása és osztása:
  ;

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Mert sikeres teljesítés Egységes államvizsga, költségvetési keretből való felvételhez, és ami a LEGFONTOSABB, élethosszig tartó felvételhez.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 499 RUR

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!