Nem szabványos módszerek tört racionális egyenletek megoldására. Tört racionális egyenletek

Maguk a törtekkel rendelkező egyenletek nem bonyolultak és nagyon érdekesek. Nézzük meg a törtegyenletek típusait és azok megoldását.

Hogyan oldjunk meg egyenleteket törtekkel - x a számlálóban

Ha törtegyenletet adunk meg, ahol az ismeretlen szerepel a számlálóban, akkor a megoldás nem igényel további feltételeket, és anélkül megoldható. felesleges szóváltás. Általános forma egy ilyen egyenlet x/a + b = c, ahol x az ismeretlen, a, b és c közönséges számok.

Keresse meg x: x/5 + 10 = 70.

Az egyenlet megoldásához meg kell szabadulnia a törtektől. Szorozzuk meg az egyenlet minden tagját 5-tel: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x és 5 törlődik, 10 és 70 megszorozzuk 5-tel, és a következőt kapjuk: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Keresse meg x: x/5 + x/10 = 90.

Ez a példa egy kicsit bonyolultabb változata az elsőnek. Itt két megoldás lehetséges.

• 1. lehetőség: Megszabadulunk a törtektől úgy, hogy az egyenlet összes tagját megszorozzuk egy nagyobb nevezővel, azaz 10-zel: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
• 2. lehetőség: Adja hozzá az egyenlet bal oldalát. x/5 + x/10 = 90. A közös nevező: 10. A 10-et elosztjuk 5-tel, megszorozzuk x-szel, 2x-et kapunk. Oszd el 10-et 10-zel, szorozd meg x-szel, x-et kapunk: 2x+x/10 = 90. Ebből következik, hogy 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Gyakran vannak olyan törtegyenletek, amelyekben az x-ek aszerint helyezkednek el különböző oldalak egyenlőségjel. Ilyen helyzetekben az összes X-es törtet az egyik oldalra, a számokat pedig a másik oldalra kell mozgatni.

• Keresse meg x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Mozogjon 2x/5-öt jobbra az ellenkező előjellel: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• 5x/5-tel csökkentjük, és megkapjuk: x = 130.

Hogyan lehet megoldani egy egyenletet törtekkel - x a nevezőben

Az ilyen típusú törtegyenletek további feltételeket igényelnek. Ezen feltételek feltüntetése kötelező és szerves részét képezi a helyes döntés. Ha nem adja hozzá őket, kockáztatja, mert előfordulhat, hogy a válasz (még ha helyes is) egyszerűen nem számít be.

A törtegyenletek általános formája, ahol x van a nevezőben, a következő: a/x + b = c, ahol x az ismeretlen, a, b, c közönséges számok. Kérjük, vegye figyelembe, hogy x nem tetszőleges szám. Például x nem egyenlő nullával, mivel nem osztható 0-val. Pontosan ez az a további feltétel, amelyet meg kell határoznunk. Ezt a megengedett értékek tartományának nevezzük, rövidítve VA.

Keresse meg x: 15/x + 18 = 21.

Azonnal felírjuk az ODZ-t x-re: x ≠ 0. Most, hogy az ODZ-t jeleztük, megoldjuk az egyenletet a standard séma szerint, a törtektől megszabadulva. Szorozzuk meg az egyenlet összes tagját x-szel. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Gyakran előfordulnak olyan egyenletek, ahol a nevező nem csak x-et tartalmaz, hanem más műveletet is tartalmaz vele, például összeadást vagy kivonást.

Keresse meg x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Azt már tudjuk, hogy a nevező nem lehet egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy x-3 ≠ 0. A -3-at jobbra mozgatjuk, a „-” jelet „+”-ra változtatva azt kapjuk, hogy x ≠ 3. Az ODZ jelzett.

Megoldjuk az egyenletet, mindent megszorozunk x-3-mal: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Mozgasd az X-eket jobbra, a számokat balra: 24 = 3x => x = 8.

"tört racionális egyenletek megoldása"

Az óra céljai:

Nevelési:

tört racionális egyenletek fogalmának kialakítása; fontolja meg a tört racionális egyenletek megoldásának különféle módjait; fontoljon meg egy algoritmust a tört racionális egyenletek megoldására, beleértve azt a feltételt, hogy a tört egyenlő nullával; tört racionális egyenletek megoldásának megtanítása algoritmus segítségével; a téma elsajátítási szintjének ellenőrzése teszt lebonyolításával.

Fejlődési:

a megszerzett ismeretekkel való helyes működés és a logikus gondolkodás képességének fejlesztése; az intellektuális készségek és a mentális műveletek fejlesztése - elemzés, szintézis, összehasonlítás és általánosítás; a kezdeményezés, a döntési képesség fejlesztése, és ne álljon meg itt; a kritikai gondolkodás fejlesztése; kutatási készségek fejlesztése.

Oktatás:

a téma iránti kognitív érdeklődés előmozdítása; az önállóság elősegítése az oktatási problémák megoldásában; akarat és kitartás ápolása a végső eredmények elérése érdekében.

Az óra típusa: lecke - új anyag magyarázata.

Az órák alatt

1. Szervezeti mozzanat.

Helló srácok! A táblára egyenletek vannak felírva, figyelmesen nézze meg őket. Meg tudod oldani ezeket az összes egyenletet? Melyek nem és miért?

Azokat az egyenleteket, amelyekben a bal és a jobb oldal tört racionális kifejezés, tört racionális egyenleteknek nevezzük. Szerinted mit fogunk tanulni ma az órán? Fogalmazd meg az óra témáját! Tehát nyisd ki a jegyzetfüzeteidet, és írd le a „Tört racionális egyenletek megoldása” című lecke témáját.

2. Az ismeretek frissítése. Frontális felmérés, szóbeli munka az osztállyal.

És most megismételjük a fő elméleti anyagot, amelyre egy új téma tanulmányozásához szükségünk lesz. Kérjük, válaszoljon a következő kérdésekre:

1. Mi az egyenlet? ( Egyenlõség változóval vagy változókkal.)

2. Mi a neve az 1. egyenletnek? ( Lineáris.) Lineáris egyenletek megoldási módszere. ( Helyezzen mindent az ismeretlennel az egyenlet bal oldalára, az összes számot jobbra. Vezet hasonló kifejezések. Ismeretlen tényező keresése).

3. Mi a neve a 3. számú egyenletnek? ( Négyzet.) Másodfokú egyenletek megoldási módszerei. ( Teljes négyzet elkülönítése képletekkel Vieta tételének és következményeinek felhasználásával.)

4. Mi az arányosság? ( Két arány egyenlősége.) Az arányosság fő tulajdonsága. ( Ha az arány helyes, akkor szélső tagjainak szorzata megegyezik a középső tagok szorzatával.)

5. Milyen tulajdonságokat használunk az egyenletek megoldása során? ( 1. Ha egy egyenletben szereplő tagot az egyik részből a másikba mozgatjuk, megváltoztatva az előjelét, akkor a megadottal egyenértékű egyenletet kapunk. 2. Ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor az adott egyenletet kapunk.)

6. Mikor egyenlő egy tört nullával? ( Egy tört akkor egyenlő nullával, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla..)

3. Új anyag magyarázata.

Oldd meg a 2. egyenletet a füzetedben és a táblán!

Válasz: 10.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani az arányosság alaptulajdonságával? (5. sz.).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Oldd meg a 4. egyenletet a füzetedben és a táblán!

Válasz: 1,5.

Milyen tört racionális egyenletet próbálhat meg megoldani úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozza a nevezővel? (6. sz.).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Válasz: 3;4.

Most próbálja meg megoldani a 7-es egyenletet az alábbi módszerek valamelyikével.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5) (x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Válasz: 0;5;-2.			Válasz: 5;-2.

Magyarázd el, miért történt ez? Miért van az egyik esetben három gyökér, a másikban kettő? Milyen számok gyökerei ennek a tört racionális egyenletnek?

Eddig a hallgatók nem találkoztak az idegen gyökér fogalmával, valóban nagyon nehéz megérteni, hogy ez miért történt. Ha az osztályban senki nem tud világos magyarázatot adni erre a helyzetre, akkor a tanár feltesz vezető kérdéseket.

Miben különbözik a 2. és 4. számú egyenlet az 5., 6., 7. egyenlettől? ( A 2. és 4. egyenletben számok vannak a nevezőben, az 5-7. számok változós kifejezések.) Mi az egyenlet gyöke? ( Annak a változónak az értéke, amelynél az egyenlet igazzá válik.) Hogyan lehet megtudni, hogy egy szám az egyenlet gyökere? ( Ellenőrizd.)

A tesztelés során néhány diák észreveszi, hogy nullával kell osztania. Arra a következtetésre jutottak, hogy a 0 és az 5 nem ennek az egyenletnek a gyökerei. Felmerül a kérdés: van-e mód tört racionális egyenletek megoldására, amely lehetővé teszi, hogy kiküszöböljük ezt a hibát? Igen, ez a módszer azon a feltételen alapul, hogy a tört nullával egyenlő.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ha x=5, akkor x(x-5)=0, ami azt jelenti, hogy 5 egy idegen gyök.

Ha x=-2, akkor x(x-5)≠0.

Válasz: -2.

Próbáljunk meg egy algoritmust megfogalmazni tört racionális egyenletek ilyen módon történő megoldására. A gyerekek maguk alkotják meg az algoritmust.

Algoritmus tört racionális egyenletek megoldására:

1. Vigyen mindent a bal oldalra.

2. Csökkentse a törteket közös nevezőre.

3. Hozzon létre egy rendszert: egy tört egyenlő nullával, ha a számláló nulla, a nevező pedig nem nulla.

4. Oldja meg az egyenletet!

5. Ellenőrizze az egyenlőtlenséget, hogy kizárja az idegen gyökereket.

6. Írd le a választ.

Megbeszélés: hogyan formalizáljuk a megoldást, ha az arányosság alaptulajdonságát használjuk, és az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk közös nevező. (Hozzá kell adni a megoldáshoz: zárja ki a gyökerei közül azokat, amelyek a közös nevezőt eltüntetik).

4. Az új anyag kezdeti megértése.

Párokban dolgozni. A tanulók maguk választják meg, hogyan oldják meg az egyenletet az egyenlet típusától függően. Feladatok az „Algebra 8” tankönyvből, 2007: 000. sz. (b, c, i); 000(a, d, g). A tanár figyelemmel kíséri a feladat teljesítését, válaszol a felmerülő kérdésekre, segítséget nyújt a gyengén teljesítő tanulóknak. Önellenőrzés: a válaszokat felírják a táblára.

b) 2 – idegen gyökér. Válasz: 3.

c) 2 – idegen gyökér. Válasz: 1.5.

a) Válasz: -12.5.

g) Válasz: 1;1.5.

5. Házi feladat beállítása.

2. Ismerje meg a tört racionális egyenletek megoldásának algoritmusát.

3. Oldja meg a 000-es számú füzetekben (a, d, e); No. 000(g, h).

4. Próbálja meg megoldani a No. 000(a) (nem kötelező).

6. Ellenőrző feladat elvégzése a tanult témában.

A munka papírlapokon történik.

Példa feladat:

A) Melyik egyenlet tört racionális?

B) Egy tört egyenlő nullával, ha a számláló ______________________, a nevező pedig ___________________________.

K) A -3 szám a 6-os egyenlet gyöke?

D) Oldja meg a 7. egyenletet!

A megbízás értékelési kritériumai:

„5” akkor jár, ha a tanuló a feladat több mint 90%-át helyesen teljesítette. „4” - 75%-89% „3” - 50%-74% „2”-t kap az a tanuló, aki a feladat 50%-ánál kevesebbet teljesített. A 2-es értékelés nem szerepel a naplóban, a 3-as nem kötelező.

7. Reflexió.

Az önálló munkalapokra írja fel:

1 – ha a lecke érdekes és érthető volt az Ön számára; 2 – érdekes, de nem egyértelmű; 3 – nem érdekes, de érthető; 4 – nem érdekes, nem egyértelmű.

8. A lecke összegzése.

Tehát ma a leckében megismerkedtünk a tört racionális egyenletekkel, megtanultuk, hogyan kell megoldani ezeket az egyenleteket különböző utak, egy tréning segítségével mérték össze tudásukat önálló munkavégzés. Önálló munkája eredményét a következő órán tanulja meg, otthon pedig lehetősége lesz tudásának megszilárdítására.

A tört racionális egyenletek megoldásának melyik módja szerinted könnyebb, elérhetőbb és racionálisabb? A tört racionális egyenletek megoldásának módszerétől függetlenül mire kell emlékeznie? Mi a tört racionális egyenletek „ravaszsága”?

Köszönöm mindenkinek, vége a leckének.

A legkisebb közös nevezőt használjuk az egyenlet egyszerűsítésére. Ezt a módszert akkor használjuk, ha egy adott egyenletet nem tud felírni egy racionális kifejezéssel az egyenlet mindkét oldalán (és használja a keresztezett szorzási módszert). Ezt a módszert akkor használjuk, ha 3 vagy több törtből álló racionális egyenletet kapunk (két tört esetén jobb a keresztezett szorzást használni).

Keresse meg a törtek legkisebb közös nevezőjét (vagy legkisebb közös többszörösét). NOZ az legkisebb szám, amely egyenletesen osztható minden nevezővel.

• Néha az NPD nyilvánvaló szám. Például, ha adott az egyenlet: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, akkor nyilvánvaló, hogy a 3, 2 és 6 számok legkisebb közös többszöröse 6.
• Ha az NCD nem egyértelmű, írja fel a legnagyobb nevező többszöröseit, és keressen közöttük olyat, amelyik többszöröse lesz a többi nevezőnek. A NOD gyakran két nevező egyszerű szorzásával is megtalálható. Például, ha az egyenlet x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, akkor NOS = 8*9 = 72.
• Ha egy vagy több nevező tartalmaz változót, akkor a folyamat valamivel bonyolultabbá válik (de nem lehetetlen). Ebben az esetben a NOC egy olyan kifejezés (amely változót tartalmaz), amely el van osztva minden nevezővel. Például az 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) egyenletben, mert ezt a kifejezést minden nevező osztja: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Szorozzuk meg az egyes törtek számlálóját és nevezőjét egy olyan számmal, amely megegyezik a NOC-nak az egyes törtek megfelelő nevezőjével való osztásával. Mivel a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal a számmal szorozza meg, gyakorlatilag a törtet szorozza 1-gyel (például 2/2 = 1 vagy 3/3 = 1).

• Példánkban tehát szorozzuk meg x/3-at 2/2-vel, hogy 2x/6-ot kapjunk, és 1/2-t 3/3-mal, hogy 3/6-ot kapjunk (a 3x +1/6 törtet nem kell szorozni, mert a nevező 6).
• Hasonló módon járjon el, ha a változó a nevezőben van. Második példánkban NOZ = 3x(x-1), tehát 5/(x-1) szorozzuk meg (3x)/(3x)-val, hogy 5(3x)/(3x)(x-1) legyen; 1/x szorozva 3(x-1)/3(x-1)-el, és kapunk 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) megszorozva (x-1)/(x-1)-gyel, és kapsz 2(x-1)/3x(x-1).

Keresse meg x-et. Most, hogy a törteket közös nevezőre redukálta, megszabadulhat a nevezőtől. Ehhez szorozza meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel. Ezután oldja meg a kapott egyenletet, azaz keresse meg az „x”-et. Ehhez izolálja a változót az egyenlet egyik oldalán.

• Példánkban: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Összeadhat 2 törtet azonos nevezővel, ezért írja fel az egyenletet a következőképpen: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 6-tal, és szabaduljunk meg a nevezőktől: 2x+3 = 3x +1. Oldja meg és kapja meg, hogy x = 2.
• Második példánkban (változóval a nevezőben) az egyenlet így néz ki (közös nevezőre redukálás után): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk N3-mal, akkor megszabadulunk a nevezőtől, és megkapjuk: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), vagy 15x = 3x - 3 + 2x -2, ill. 15x = x - 5 Oldja meg és kapja meg: x = -5/14.

Folytassuk a beszélgetést egyenletek megoldása. Ebben a cikkben részletesen foglalkozunk racionális egyenletekés az egyváltozós racionális egyenletek megoldásának elvei. Először is nézzük meg, hogy milyen típusú egyenleteket nevezünk racionálisnak, adjuk meg a teljes racionális és tört racionális egyenleteket, és adjunk példákat. Ezt követően racionális egyenletek megoldására szolgáló algoritmusokat kapunk, és természetesen tipikus példákra is megfontoljuk a megoldásokat minden szükséges magyarázattal.

Oldalnavigáció.

A megadott definíciók alapján több példát adunk racionális egyenletekre. Például x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , mind racionális egyenletek.

A bemutatott példákból jól látható, hogy a racionális egyenletek, valamint más típusú egyenletek lehetnek egy változós, vagy kettős, három stb. változók. A következő bekezdésekben a racionális egyenletek egy változós megoldásáról lesz szó. Egyenletek megoldása két változóbanés ők egy nagy szám külön figyelmet érdemelnek.

A racionális egyenleteket amellett, hogy elosztjuk az ismeretlen változók számával, egész és tört számokra is osztják. Adjuk meg a megfelelő definíciókat.

Meghatározás.

A racionális egyenletet ún egész, ha a bal és a jobb oldala is egész szám racionális kifejezés.

Meghatározás.

Ha egy racionális egyenletnek legalább az egyik része törtkifejezés, akkor egy ilyen egyenletet ún. töredékesen racionális(vagy töredékes racionális).

Nyilvánvaló, hogy az egész egyenletek nem tartalmaznak változóval való osztást, ellenkezőleg, a tört racionális egyenletek szükségszerűen tartalmazzák a változóval (vagy a nevezőben lévő változóval) való osztást. Tehát 3 x+2=0 és (x+y)·(3·x2 −1)+x=−y+0,5– ezek egész racionális egyenletek, mindkét részük egész kifejezés. A és x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 példák a tört racionális egyenletekre.

Ezt a pontot lezárva figyeljünk arra, hogy az eddig ismert lineáris és másodfokú egyenletek teljes racionális egyenletek.

Egész egyenletek megoldása

A teljes egyenletek megoldásának egyik fő módja az, hogy azokat egyenértékűre redukáljuk algebrai egyenletek. Ez mindig megtehető az egyenlet következő ekvivalens transzformációinak végrehajtásával:

• először, az eredeti egész egyenlet jobb oldaláról származó kifejezést átvisszük a bal oldalra ellenkező előjellel, hogy a jobb oldalon nullát kapjunk;
• ezt követően az egyenlet bal oldalán a kapott standard nézet.

Az eredmény egy algebrai egyenlet, amely ekvivalens az eredeti egész egyenlettel. Így a legegyszerűbb esetekben a teljes egyenletek megoldása lineáris vagy másodfokú egyenletek megoldására, általános esetben pedig n fokú algebrai egyenlet megoldására redukálódik. Az érthetőség kedvéért nézzük meg a példa megoldását.

Példa.

Keresse meg az egész egyenlet gyökereit! 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Megoldás.

Redukáljuk ennek az egész egyenletnek a megoldását egy ekvivalens algebrai egyenlet megoldására. Ehhez először átvisszük a kifejezést a jobb oldalról a balra, aminek eredményeként az egyenlethez jutunk 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. Másodszor pedig a bal oldalon képzett kifejezést standard alakú polinommá alakítjuk a szükséges kitöltésével: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 -9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2 -5 x-6. Így az eredeti egész egyenlet megoldása az x 2 −5·x−6=0 másodfokú egyenlet megoldására redukálódik.

Kiszámoljuk a diszkriminánsát D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ez pozitív, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek két valós gyöke van, amelyeket a másodfokú egyenlet gyökeinek képletével találunk meg:

Hogy teljesen biztosak legyünk, tegyük meg az egyenlet talált gyökeinek ellenőrzése. Először ellenőrizzük a 6-os gyökeret, helyettesítsük az x változó helyett az eredeti egész egyenletben: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, ami ugyanaz, 63=63. Ez egy érvényes numerikus egyenlet, ezért az x=6 valóban az egyenlet gyöke. Most ellenőrizzük a gyökér −1, megvan 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, honnan, 0=0 . Ha x=−1, akkor az eredeti egyenlet is helyes numerikus egyenlőséggé változik, ezért x=−1 is az egyenlet gyöke.

Válasz:

6 , −1 .

Itt azt is meg kell jegyezni, hogy a „teljes egyenlet foka” kifejezés egy teljes egyenlet algebrai egyenlet formájában történő megjelenítéséhez kapcsolódik. Adjuk meg a megfelelő definíciót:

Meghatározás.

Az egész egyenlet ereje egy ekvivalens algebrai egyenlet fokának nevezzük.

E definíció szerint az egész egyenlet a előző példa második diplomája van.

Ez a teljes racionális egyenletek megoldásának vége is lehetett volna, ha nem egy dologra… Mint ismeretes, a másodiknál ​​magasabb fokú algebrai egyenletek megoldása jelentős nehézségekkel jár, és a negyediknél magasabb fokú egyenletek esetében nincs általános képletek gyökerei Ezért a harmadik, negyedik és több teljes egyenletének megoldására magas fokok Gyakran más megoldási módszerekhez kell folyamodnia.

Ilyen esetekben teljes racionális egyenletek megoldásának megközelítése az alapján faktorizációs módszer. Ebben az esetben a következő algoritmust kell betartani:

• először is biztosítják, hogy az egyenlet jobb oldalán legyen egy nulla, ehhez a teljes egyenlet jobb oldaláról balra visszük át a kifejezést;
• majd a bal oldalon kapott kifejezés több tényező szorzataként jelenik meg, ami lehetővé teszi, hogy továbblépjünk több egyszerűbb egyenlet halmazára.

Az adott algoritmus egy teljes egyenlet faktorizálással történő megoldására részletes magyarázatot igényel egy példa segítségével.

Példa.

Oldja meg az egész egyenletet (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Megoldás.

Először szokás szerint átvisszük a kifejezést az egyenlet jobb oldaláról a bal oldalra, nem felejtve el megváltoztatni az előjelet, így kapjuk (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Itt teljesen nyilvánvaló, hogy nem célszerű a kapott egyenlet bal oldalát standard alakú polinommá alakítani, mert így az alak negyedik fokának algebrai egyenlete lesz. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, melynek megoldása nehéz.

Az viszont nyilvánvaló, hogy a kapott egyenlet bal oldalán x 2 −10 x+13 , így szorzatként jeleníthetjük meg. Nekünk van (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. A kapott egyenlet ekvivalens az eredeti teljes egyenlettel, és helyettesíthető két másodfokú egyenletből álló x 2 −10·x+13=0 és x 2 −2·x−1=0 egyenletekkel. Nem nehéz megtalálni a gyökereiket ismert gyökképletekkel diszkrimináns segítségével, a gyökerek egyenlőek. Ezek az eredeti egyenlet kívánt gyökerei.

Válasz:

Hasznos teljes racionális egyenletek megoldására is módszer egy új változó bevezetésére. Egyes esetekben lehetővé teszi, hogy olyan egyenletekre lépjen, amelyek foka alacsonyabb, mint az eredeti teljes egyenlet mértéke.

Példa.

Keresse meg a racionális egyenlet valódi gyökereit (x 2 +3 x+1) 2 +10=-2 (x 2 +3 x-4).

Megoldás.

Ezt az egész racionális egyenletet algebrai egyenletre redukálni enyhén szólva nem túl jó ötlet, mivel ebben az esetben egy olyan negyedfokú egyenlet megoldásához fogunk jutni, amely nem rendelkezik racionális gyökerei. Ezért más megoldást kell keresnie.

Itt jól belátható, hogy bevezethet egy új y változót, és ezzel helyettesítheti az x 2 +3·x kifejezést. Ez a helyettesítés elvezet minket a teljes (y+1) 2 +10=−2·(y−4) egyenlethez, amely a −2·(y−4) kifejezés bal oldalra mozgatása és a kifejezés ezt követő átalakítása után ott képzett másodfokú egyenletre redukálódik y 2 +4·y+3=0. Ennek az y=−1 és y=−3 egyenletnek a gyökerei könnyen megtalálhatók, például kiválaszthatók a Vieta tételével fordított tétel alapján.

Most áttérünk az új változó bevezetésének módszerének második részére, vagyis a fordított csere végrehajtására. A fordított helyettesítés végrehajtása után két x 2 +3 x=−1 és x 2 +3 x=−3 egyenletet kapunk, amelyek átírhatók x 2 +3 x+1=0 és x 2 +3 x+3 alakra. =0 . A másodfokú egyenlet gyökeinek képletével megtaláljuk az első egyenlet gyökereit. És a második másodfokú egyenlet nincs valódi gyöke, mivel a diszkriminánsa negatív (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Válasz:

Általában, amikor teljes, nagyfokú egyenletekkel van dolgunk, mindig fel kell készülnünk arra, hogy ezek megoldására valamilyen nem szabványos módszert vagy mesterséges technikát keressünk.

Tört racionális egyenletek megoldása

Először is hasznos lesz megérteni, hogyan lehet megoldani a formájú tört racionális egyenleteket, ahol p(x) és q(x) egész racionális kifejezések. Ezután megmutatjuk, hogyan redukálhatjuk le más tört racionális egyenletek megoldását a megadott típusú egyenletek megoldására.

Az egyenlet megoldásának egyik megközelítése a következő állításon alapul: az u/v numerikus tört, ahol v nem nulla szám (egyébként definiálatlan számmal fogunk találkozni), akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a számlálója egyenlő nullával, akkor akkor és csak akkor van, ha u=0 . Ezen kijelentés alapján az egyenlet megoldása két p(x)=0 és q(x)≠0 feltétel teljesülésére redukálódik.

Ez a következtetés megfelel a következőnek tört racionális egyenlet megoldására szolgáló algoritmus. Az alak tört racionális egyenletének megoldásához szüksége van

• oldja meg a teljes racionális egyenletet p(x)=0 ;
• és ellenőrizze, hogy a q(x)≠0 feltétel teljesül-e minden egyes talált gyökér esetében, miközben
• ha igaz, akkor ez a gyök az eredeti egyenlet gyöke;
• ha nem teljesül, akkor ez a gyök idegen, vagyis nem az eredeti egyenlet gyöke.

Nézzünk egy példát a bejelentett algoritmus használatára tört racionális egyenlet megoldása során.

Példa.

Keresse meg az egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Ez egy tört racionális egyenlet, és alakja, ahol p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Az ilyen típusú tört racionális egyenletek megoldására szolgáló algoritmus szerint először a 3 x−2=0 egyenletet kell megoldanunk. Ez lineáris egyenlet, melynek gyöke x=2/3.

Marad a gyökér ellenőrzése, vagyis annak ellenőrzése, hogy megfelel-e az 5 x 2 −2≠0 feltételnek. Behelyettesítjük a 2/3 számot az 5 x 2 −2 kifejezésbe x helyett, és azt kapjuk, hogy . A feltétel teljesül, tehát x=2/3 az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz:

2/3 .

A tört racionális egyenlet megoldását egy kicsit más pozícióból közelítheti meg. Ez az egyenlet ekvivalens a p(x)=0 egész egyenlettel az eredeti egyenlet x változóján. Vagyis ehhez ragaszkodhatsz tört racionális egyenlet megoldására szolgáló algoritmus :

• oldja meg a p(x)=0 egyenletet;
• keresse meg az x változó ODZ-jét;
• vegyen gyökereket az elfogadható értékek tartományába - ezek az eredeti tört racionális egyenlet kívánt gyökerei.

Például oldjunk meg egy tört racionális egyenletet ezzel az algoritmussal.

Példa.

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás.

Először az x 2 −2·x−11=0 másodfokú egyenletet oldjuk meg. Gyökerei a páros második együttható gyökképletével számíthatók ki D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, És .

Másodszor, megtaláljuk az eredeti egyenlet x változójának ODZ-jét. Minden olyan számból áll, amelyekre x 2 +3·x≠0, ami megegyezik x·(x+3)≠0-val, ahonnan x≠0, x≠−3.

Továbbra is ellenőrizni kell, hogy az első lépésben talált gyökerek szerepelnek-e az ODZ-ben. Nyilván igen. Ezért az eredeti tört racionális egyenletnek két gyöke van.

Válasz:

Vegye figyelembe, hogy ez a megközelítés jövedelmezőbb, mint az első, ha az ODZ könnyen megtalálható, és különösen előnyös, ha a p(x) = 0 egyenlet gyökei például irracionálisak vagy racionálisak, de meglehetősen nagy számlálóval és /vagy nevező, például 127/1101 és −31/59. Ez annak köszönhető, hogy ilyen esetekben a q(x)≠0 feltétel ellenőrzése jelentős számítási erőfeszítést igényel, és az ODZ segítségével könnyebb kizárni az idegen gyökereket.

Más esetekben az egyenlet megoldása során, különösen akkor, ha a p(x) = 0 egyenlet gyöke egész szám, előnyösebb az adott algoritmusok közül az elsőt használni. Vagyis célszerű azonnal megkeresni a teljes p(x)=0 egyenlet gyökereit, majd ellenőrizni, hogy teljesül-e rájuk a q(x)≠0 feltétel, ahelyett, hogy megkeresnénk az ODZ-t, majd megoldjuk az egyenletet. p(x)=0 ezen az ODZ-n. Ez annak köszönhető, hogy ilyen esetekben általában könnyebb ellenőrizni, mint megtalálni a DZ-t.

Tekintsük két példa megoldását a megadott árnyalatok illusztrálására.

Példa.

Keresse meg az egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Először is keressük meg az egész egyenlet gyökereit (2 x-1) (x-6) (x 2-5 x+14) (x+1)=0, amelyet a tört számlálójával állítunk össze. Ennek az egyenletnek a bal oldala egy szorzat, a jobb oldala pedig nulla, ezért a faktorizációs egyenletmegoldás módszere szerint ez az egyenlet négy egyenletből álló halmaznak felel meg: 2 x−1=0, x−6= 0, x 2 −5 x+ 14=0, x+1=0. Ezen egyenletek közül három lineáris, egy pedig másodfokú; meg tudjuk oldani őket. Az első egyenletből x=1/2, a másodikból - x=6, a harmadikból - x=7, x=−2, a negyedikből - x=−1.

A talált gyökökkel meglehetősen könnyű ellenőrizni, hogy az eredeti egyenlet bal oldalán lévő tört nevezője eltűnik-e, de az ODZ meghatározása éppen ellenkezőleg, nem olyan egyszerű, mert ehhez meg kell oldania egy ötödik fokú algebrai egyenlet. Ezért felhagyunk az ODZ keresésével a gyökerek ellenőrzése helyett. Ehhez a kifejezésben szereplő x változó helyett egyesével helyettesítjük őket x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, amelyet behelyettesítés után kapunk, és hasonlítsa össze őket nullával: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15,7 4 +57,7 3 −13,7 2 +26,7+112=0;
(−2) 5 −15 · (−2) 4 +57 · (−2) 3 −13 · (−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 · (−1) 4 +57 · (−1) 3 −13 · (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Így 1/2, 6 és -2 az eredeti tört racionális egyenlet kívánt gyöke, 7 és -1 pedig külső gyök.

Válasz:

1/2 , 6 , −2 .

Példa.

Keresse meg a tört racionális egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Először is keressük meg az egyenlet gyökereit (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ez az egyenlet két egyenletből álló halmaznak felel meg: négyzet 5 x 2 −7 x−1=0 és lineáris x−2=0. A másodfokú egyenlet gyökeinek képletével két gyöket találunk, és a második egyenletből x=2.

Elég kellemetlen ellenőrizni, hogy a nevező nullára megy-e az x talált értékeinél. És az x változó megengedett értékeinek tartományának meghatározása az eredeti egyenletben meglehetősen egyszerű. Ezért az ODZ-n keresztül fogunk eljárni.

Esetünkben az eredeti tört racionális egyenlet x változójának ODZ-je minden számból áll, kivéve azokat, amelyekre az x 2 +5·x−14=0 feltétel teljesül. Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei x=−7 és x=2, amiből levonjuk az ODZ-re vonatkozó következtetést: minden olyan x-ből áll, hogy .

Még ellenőrizni kell, hogy a talált gyökök és x=2 az elfogadható értékek tartományába tartoznak-e. A gyökök hozzátartoznak, tehát az eredeti egyenlet gyökei, és az x=2 nem tartozik hozzá, ezért ez egy idegen gyök.

Válasz:

Hasznos lesz külön foglalkozni azokkal az esetekkel is, amikor egy tört racionális alakegyenletben a számlálóban szám szerepel, vagyis amikor p(x) valamilyen számmal van ábrázolva. Ahol

• ha ez a szám nem nulla, akkor az egyenletnek nincs gyöke, mivel egy tört akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha a számlálója nulla;
• ha ez a szám nulla, akkor az egyenlet gyöke bármely szám az ODZ-ből.

Példa.

Megoldás.

Mivel az egyenlet bal oldalán lévő tört számlálója nem nulla számot tartalmaz, ezért bármely x esetén ennek a törtnek az értéke nem lehet nulla. Ezért ennek az egyenletnek nincs gyökere.

Válasz:

nincsenek gyökerei.

Példa.

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás.

Ennek a tört racionális egyenletnek a bal oldalán lévő tört számlálója nullát tartalmaz, így ennek a törtnek az értéke nulla minden olyan x esetén, amelyre értelme van. Más szavakkal, ennek az egyenletnek a megoldása a változó ODZ-jéből származó x bármely értéke.

Továbbra is meg kell határozni az elfogadható értékek ezen tartományát. Tartalmazza az összes x értékét, amelyre x 4 +5 x 3 ≠0. Az x 4 +5 x 3 =0 egyenlet megoldásai 0 és -5, mivel ez az egyenlet ekvivalens az x 3 (x+5)=0 egyenlettel, viszont ekvivalens két x egyenlet kombinációjával 3 =0 és x +5=0, ahonnan ezek a gyökerek láthatók. Ezért az elfogadható értékek kívánt tartománya tetszőleges x, kivéve x=0 és x=−5.

Így egy tört racionális egyenletnek végtelen sok megoldása van, amelyek tetszőleges számok, kivéve nullát és mínusz ötöt.

Válasz:

Végül itt az ideje, hogy beszéljünk tetszőleges alakú tört racionális egyenletek megoldásáról. Felírhatók a következőképpen: r(x)=s(x), ahol r(x) és s(x) racionális kifejezések, és legalább az egyikük tört. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy a megoldásuk a számunkra már ismert formájú egyenletek megoldásán múlik.

Ismeretes, hogy az egyenlet egyik részéből a másikba ellentétes előjelű tag átvitele ekvivalens egyenlethez vezet, ezért az r(x)=s(x) egyenlet ekvivalens az r(x)−s(x) egyenlettel. )=0.

Azt is tudjuk, hogy bármely , amely megegyezik ezzel a kifejezéssel, lehetséges. Így az r(x)−s(x)=0 egyenlet bal oldalán lévő racionális kifejezést mindig átalakíthatjuk a forma azonos racionális törtjére.

Tehát az eredeti r(x)=s(x) tört racionális egyenletről áttérünk az egyenletre, és a megoldása, mint fentebb megtudtuk, a p(x)=0 egyenlet megoldására redukálódik.

De itt figyelembe kell venni azt a tényt, hogy ha r(x)−s(x)=0-t -ra, majd p(x)=0-ra cserélünk, akkor az x változó megengedett értékeinek tartománya kibővülhet. .

Ebből következően az általunk kapott eredeti r(x)=s(x) és p(x)=0 egyenlet egyenlőtlennek bizonyulhat, és a p(x)=0 egyenlet megoldásával gyököket kaphatunk. amelyek az eredeti r(x)=s(x) egyenlet külső gyökei lesznek. Az idegen gyökök azonosítása és nem szerepeltetése a válaszban akár ellenőrzéssel, akár annak ellenőrzésével, hogy az eredeti egyenlet ODZ-jéhez tartoznak-e.

Foglaljuk össze ezeket az információkat algoritmus az r(x)=s(x) tört racionális egyenlet megoldására. Az r(x)=s(x) törtracionális egyenlet megoldásához szükségünk van

• Kapjon nullát a jobb oldalon, ha a kifejezést a jobb oldalról az ellenkező előjellel mozgatja.
• Végezzen műveleteket az egyenlet bal oldalán lévő törtekkel és polinomokkal, ezáltal alakítsa át az alak racionális törtrészévé.
• Oldja meg a p(x)=0 egyenletet!
• Idegen gyökök azonosítása és kiküszöbölése az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel vagy az eredeti egyenlet ODZ-jéhez való tartozásuk ellenőrzésével.

A nagyobb érthetőség kedvéért megmutatjuk a tört racionális egyenletek megoldásának teljes láncát:
.

Nézzünk meg néhány példát a megoldással részletes magyarázat a megoldás előrehaladását az adott információblokk tisztázása érdekében.

Példa.

Tört racionális egyenlet megoldása.

Megoldás.

Az imént kapott megoldási algoritmus szerint járunk el. És először az egyenlet jobb oldaláról balra mozgatjuk a tagokat, ennek eredményeként továbblépünk az egyenletre.

A második lépésben a kapott egyenlet bal oldalán lévő tört racionális kifejezést tört alakra kell konvertálnunk. Ehhez a racionális törteket közös nevezőre redukáljuk, és egyszerűsítjük a kapott kifejezést: . Elérkeztünk tehát az egyenlethez.

A következő lépésben a −2·x−1=0 egyenletet kell megoldanunk. Azt találjuk, hogy x=−1/2.

Azt kell még ellenőrizni, hogy a talált −1/2 szám nem-e az eredeti egyenlet külső gyöke. Ehhez ellenőrizheti vagy megkeresheti az eredeti egyenlet x változójának VA értékét. Mutassuk meg mindkét megközelítést.

Kezdjük az ellenőrzéssel. Az eredeti egyenletbe behelyettesítjük a −1/2 számot az x változó helyett, és ugyanazt kapjuk, −1=−1. A behelyettesítés megadja a helyes numerikus egyenlőséget, így x=−1/2 az eredeti egyenlet gyöke.

Most megmutatjuk, hogyan történik az algoritmus utolsó pontja az ODZ-n keresztül. Az eredeti egyenlet megengedett értékeinek tartománya az összes szám halmaza, kivéve -1 és 0 (x=-1 és x=0 esetén a törtek nevezői eltűnnek). Az előző lépésben talált x=−1/2 gyök az ODZ-hez tartozik, ezért x=−1/2 az eredeti egyenlet gyöke.

Válasz:

−1/2 .

Nézzünk egy másik példát.

Példa.

Keresse meg az egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Meg kell oldanunk egy tört racionális egyenletet, menjünk végig az algoritmus minden lépésén.

Először a jobb oldalról balra mozgatjuk a kifejezést, így kapjuk a .

Másodszor átalakítjuk a bal oldalon képzett kifejezést: . Ennek eredményeként az x=0 egyenlethez jutunk.

Gyökere nyilvánvaló - nulla.

A negyedik lépésben azt kell kideríteni, hogy a talált gyök kívül esik-e az eredeti tört racionális egyenlettől. Ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, megkapjuk a kifejezést. Nyilván nincs értelme, mert nullával való osztást tartalmaz. Ebből arra következtetünk, hogy a 0 egy idegen gyök. Ezért az eredeti egyenletnek nincs gyökere.

7, ami az egyenlethez vezet. Ebből arra következtethetünk, hogy a bal oldal nevezőjében lévő kifejezésnek egyenlőnek kell lennie a jobb oldaléval, azaz . Most kivonjuk a hármas mindkét oldalából: . Hasonlatosan, honnan, és tovább.

Az ellenőrzés azt mutatja, hogy mindkét talált gyök az eredeti tört racionális egyenlet gyöke.

Válasz:

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 14 órakor 1. rész Tankönyv tanulóknak oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Az egész kifejezés egy matematikai kifejezés, amely számokból és literális változókból áll összeadás, kivonás és szorzás műveleteket használva. Az egész számok olyan kifejezéseket is tartalmaznak, amelyek nullától eltérő számmal osztanak.

A tört racionális kifejezés fogalma

A törtkifejezés olyan matematikai kifejezés, amely a számokkal és betűváltozókkal végzett összeadás, kivonás és szorzás, valamint a nullával nem egyenlő számmal való osztás műveletein kívül betűváltozós kifejezésekre osztást is tartalmaz.

A racionális kifejezések mind egész- és törtkifejezések. Racionális egyenletek olyan egyenletek, amelyekben a bal és a jobb oldal racionális kifejezés. Ha egy racionális egyenletben a bal és a jobb oldal egész szám kifejezés, akkor egy ilyen racionális egyenletet egész számnak nevezünk.

Ha egy racionális egyenletben a bal vagy a jobb oldal törtkifejezés, akkor az ilyen racionális egyenletet törtnek nevezzük.

Példák tört racionális kifejezésekre

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Séma tört racionális egyenlet megoldására

1. Keresse meg az egyenletben szereplő összes tört közös nevezőjét!

2. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy közös nevezővel!

3. Oldja meg a kapott teljes egyenletet!

4. Ellenőrizze a gyökereket, és zárja ki azokat, amelyek miatt a közös nevező eltűnik.

Mivel tört racionális egyenleteket oldunk meg, a törtek nevezőiben változók lesznek. Ez azt jelenti, hogy közös nevező lesz. Az algoritmus második pontjában pedig szorozunk egy közös nevezővel, ekkor megjelenhetnek idegen gyökök. Aminél a közös nevező egyenlő lesz nullával, ami azt jelenti, hogy a vele való szorzás értelmetlen lesz. Ezért a végén ellenőrizni kell a kapott gyökereket.

Nézzünk egy példát:

Oldja meg a tört racionális egyenletet: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Az általános sémához ragaszkodunk: először keressük meg az összes tört közös nevezőjét. Kapunk x*(x-5).

Szorozzuk meg az egyes törteket egy közös nevezővel, és írjuk fel a kapott teljes egyenletet.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Egyszerűsítsük a kapott egyenletet. Kapunk:

x^2+3*x + x-5 - x-5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Egy egyszerű redukált másodfokú egyenletet kapunk. Bármely ismert módszerrel megoldjuk, az x=-2 és x=5 gyököket kapjuk.

Most ellenőrizzük a kapott megoldásokat:

Helyettesítsd be a -2 és 5 számokat a közös nevezőbe! Az x=-2-nél az x*(x-5) közös nevező nem tűnik el, -2*(-2-5)=14. Ez azt jelenti, hogy a -2 szám lesz az eredeti tört racionális egyenlet gyöke.

x=5-nél az x*(x-5) közös nevező nullává válik. Ezért ez a szám nem az eredeti tört racionális egyenlet gyöke, mivel nullával osztás lesz.