Hogyan találhat hasonló kifejezéseket. Hasonló kifejezések. Hasonló kifejezések csökkentése

Van . Ebben a cikkben meghatározzuk a hasonló kifejezéseket, megértjük, mit nevezünk hasonló kifejezések csökkentésének, áttekintjük azokat a szabályokat, amelyek szerint ez a művelet végrehajtódik, és példákat adunk a hasonló kifejezések csökkentésére Részletes leírás megoldásokat.

Oldalnavigáció.

Hasonló kifejezések meghatározása és példák.

Beszélgetés az ilyen kifejezésekről a szó szerinti kifejezések megismerése után merül fel, amikor felmerül az igény, hogy átalakításokat hajtsunk végre velük. N. Ya. Vilenkin matematika tankönyvei alapján hasonló kifejezések meghatározása osztályban adják, és a következő szöveggel szerepel:

Meghatározás.

Hasonló kifejezések - ezek a kifejezések azonos betűrésszel rendelkeznek.

Érdemes alaposan megvizsgálni ezt a meghatározást. Először, arról beszélünk kifejezésekről, és mint ismeretes, a kifejezések is alkotóelemeiösszegeket Ez azt jelenti, hogy ilyen kifejezések csak összegeket reprezentáló kifejezésekben lehetnek jelen. Másodszor, az ilyen kifejezések meghatározott definíciójában a „betűrész” ismeretlen fogalma szerepel. Mit jelent a levél rész? Ha ezt a meghatározást a hatodik osztályban adják meg, akkor a betűrészt egy betűnek (változónak) vagy több betű szorzatának kell érteni. Harmadszor, a kérdés továbbra is fennáll: „Mik ezek a kifejezések a betűrésszel”? Ezek olyan kifejezések, amelyek egy bizonyos szám, az úgynevezett numerikus együttható és a betűrész szorzata.

Most hozhatod példák hasonló kifejezésekre. Tekintsük a 3·a+2·a alakú két 3·a és 2·a tag összegét. Ebben az összegben a kifejezések ugyanazt a betűrészt tartalmazzák, amelyet az a betű jelöl, ezért a definíció szerint ezek a kifejezések hasonlóak. E hasonló kifejezések numerikus együtthatói a 3 és 2.

Egy másik példa: összesen 5 x y 3 z+12 x y 3 z+1 az 5·x·y 3 ·z és 12·x·y 3 ·z kifejezések azonos x·y 3 ·z betűrésszel hasonlóak. Vegyük észre, hogy az y 3 a betűrészben szerepel, jelenléte nem sérti a betűrész fentebb megadott definícióját, mivel valójában y·y·y szorzata.

Külön megjegyezzük, hogy az 1-es és -1-es numerikus együtthatók ilyen kifejezésekre gyakran nincsenek kifejezetten felírva. Például a 3 z 5 +z 5 −z 5 összegben mindhárom 3 z 5, z 5 és -z 5 tag hasonló, azonos z 5 betűrészük és 3, 1 és -1 együtthatójuk van, amelyek közül 1 és −1 nem látható jól.

Ez alapján az 5+7·x−4+2·x+y összegben nem csak a 7·x és 2·x, hanem az 5 és −4 betűrész nélküli tagok is hasonlóak.

Később a betűrész fogalma kibővül - kezdem nemcsak a betűk szorzatát, hanem egy tetszőleges betűkifejezést betűrésznek tekinteni. Például Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov, S. A. Telyakovsky által szerkesztett, 8. osztályos algebratankönyvben a forma összegét adják meg, és azt mondják, hogy összetevői a kifejezések. hasonlóak. Ezeknek a hasonló kifejezéseknek a közös betűs része az alak gyökével rendelkező kifejezés.

Hasonlóképpen hasonló kifejezések a kifejezésben 4·(x 2 +x−1/x)−0,5 · (x 2 +x−1/x)−1 tekinthetjük a 4·(x 2 +x−1/x) és −0,5·(x 2 +x−1/x) kifejezéseket, mivel ugyanaz a betűrészük (x 2 +x−1/x).

Az összes bemutatott információt összefoglalva a következő definíciót adhatjuk a hasonló kifejezésekre.

Meghatározás.

Hasonló kifejezések a szó szerinti kifejezésben lévő olyan kifejezéseket, amelyeknek ugyanaz a szó szerinti része, valamint azokat a kifejezéseket, amelyeknek nincs literális része, ahol a szó szerinti rész bármely szó szerinti kifejezést értendő.

Külön-külön elmondjuk, hogy a hasonló tagok lehetnek azonosak (amikor a numerikus együtthatóik azonosak), vagy lehetnek különbözőek (ha a numerikus együtthatóik eltérőek).

A bekezdés végén egy nagyon finom pontot fogunk megvitatni. Tekintsük a 2·x·y+3·y·x kifejezést. A 2 x y és a 3 y x kifejezések hasonlóak? Ez a kérdés így is megfogalmazható: „A jelzett kifejezések x·y és y·x betűrészei megegyeznek-e”? A betűtényezők sorrendje bennük eltérő, így valójában nem azonosak, ezért a 2 x y és a 3 y x kifejezések a fentebb bevezetett definíció tükrében nem hasonlóak.

Az ilyen kifejezéseket azonban gyakran hasonlónak nevezik (de a szigorúság kedvéért jobb, ha ezt nem tesszük). Ebben az esetben ez vezeti őket: a szorzatban lévő tényezők átrendeződése szerint nem befolyásolja az eredményt, ezért az eredeti 2·x·y+3·y·x kifejezés átírható 2·x·y+-ra. 3·x·y, melynek feltételei hasonlóak. Vagyis amikor a 2 x y + 3 y x kifejezésben hasonló 2 x y és 3 y x kifejezésekről beszélnek, akkor a 2 x y és 3 x y kifejezéseket a 2·x·y+3·x·y formájú transzformált kifejezésben értik.

Hasonló kifejezések, szabályok, példák hozása

A hasonló kifejezéseket tartalmazó kifejezések konvertálása magában foglalja e kifejezések hozzáadását. Ez az akció különleges nevet kapott - hasonló kifejezések csökkentése.

A hasonló kifejezések csökkentése három szakaszban történik:

• Először is a kifejezéseket átrendezzük úgy, hogy a hasonló kifejezések egymás mellett legyenek;
• ezt követően a hasonló kifejezések szó szerinti részét kivesszük a zárójelből;
• végül kiszámítjuk a zárójelben képzett numerikus kifejezés értékét.

Nézzük meg a rögzített lépéseket egy példa segítségével. Mutassunk be hasonló kifejezéseket a 3·x·y+1+5·x·y kifejezésben. Először átrendezzük a kifejezéseket úgy, hogy a 3 x y és az 5 x x y hasonló tagok egymás mellett legyenek: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. Másodszor, a szó szerinti részt kivesszük a zárójelekből, és megkapjuk az x·y·(3+5)+1 kifejezést. Harmadszor kiszámoljuk a zárójelben képzett kifejezés értékét: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1. Mivel a numerikus együtthatót szokás a betűrész elé írni, ezért erre a helyre tesszük: x·y·8+1=8·x·y+1. Ezzel befejeződik a hasonló kifejezések csökkentése.

A kényelem kedvéért a fent felsorolt ​​három lépést egyesítjük hasonló kifejezések csökkentésére vonatkozó szabály: hasonló kifejezések létrehozásához össze kell adni az együtthatóikat, és a kapott eredményt meg kell szorozni a betűrésszel (ha van ilyen).

Megoldás előző példa a hasonló kifejezések csökkentésére vonatkozó szabály használata rövidebb lesz. Vigyük el őt. A hasonló 3·x·y és 5·x·y tagok együtthatói a 3·x·y+1+5·x·y kifejezésben a 3 és 5, összegük 8, megszorozva a betűrésszel x·y, azt az eredményt kapjuk, hogy ezeket a kifejezéseket 8·x·y-val hozzuk. Nem szabad megfeledkezni az eredeti kifejezés 1-es tagjáról, ennek eredményeként 3 x x y+1+5 x x y=8 x x y+1.

Utasítás

Mielőtt hasonló kifejezéseket hozna egy polinomba, gyakran szükséges köztes műveletek végrehajtása: nyissa meg az összes zárójelet, emelje fel és hozza magát a kifejezéseket szabványos formába. Vagyis írja le őket egy numerikus tényező és a változók szorzataként. Például a 3xy(–1.5)y² kifejezés szabványos formára redukálva így fog kinézni: –4.5xy³.

Nyissa ki az összes zárójelet. Hagyja ki a zárójeleket az olyan kifejezésekben, mint az A+B+C. Ha van előtte pluszjel, akkor minden kifejezés megmarad. Ha mínusz jel van a zárójelek előtt, akkor változtassa meg az összes kifejezés előjelét az ellenkezőjére. Például (x³–2x)–(11x²–5ax)=x³–2x–11x²+5ax.

Ha egy polinomot meg kell szoroznia egy polinommal, szorozza meg az összes tagot, és adja hozzá a kapott monomokat. Ha az A+B polinomot hatványra emeli, használja a rövidített szorzást. Például (2ax–3y)(4y+5a)=2ax∙4y–3y∙4y+2ax∙5a–3y∙5a.

Csökkentse a monomokat szabványos formára. Ehhez csoportosítsa a számokat és hatványokat bázisokkal. Ezután szorozza össze őket. Ha szükséges, emelje a monomiált hatványra. Például 2ax∙5a–3y∙5a+(2xa)³=10a²x–15ay+8a³x³.

Keressen olyan kifejezéseket a kifejezésben, amelyeknek ugyanaz a betűrésze. Emelje ki őket speciális aláhúzással az áttekinthetőség érdekében: egy egyenes vonal, egy hullámos vonal, két egyszerű vonal stb.

Adja össze a hasonló tagok együtthatóit. A kapott számot megszorozzuk a betűkifejezéssel. Hasonló kifejezések vannak megadva. Például x²–2x–3x+6+x²+6x–5x–30–2x²+14x–26=x²+x²–2x²–2x–3x+6x–5x+14x+6–30–26=10x–50 .

Források:

• Monomiális és polinomiális
• Mosás plz: írja le: a) az összeget, ahol az első tag van

Még a legbonyolultabb egyenlet sem tűnik félelmetesnek, ha olyan formára redukálja, amellyel már találkozott. A legtöbb egyszerű módon, ami minden helyzetben segít, a polinomok szabványos formára való redukálása. Ez egy kiindulópont, ahonnan továbbléphet a megoldás felé.

Szükséged lesz

• papír
• színes tollak

Utasítás

Emlékezzen a szabványos űrlapra, hogy tudja, mit kell kapnia ennek eredményeként. Már az írás sorrendje is jelentős: a legnagyobbakkal rendelkezők legyenek az elsők. Ezenkívül szokás először leírni az ismeretleneket, amelyeket az ábécé elején lévő betűk jeleznek.

Írja le az eredeti polinomot, és kezdjen el hasonló kifejezések után keresni. Ezek az Önnek adott egyenlet tagjai, ugyanaz a betűrész és/vagy digitális rész. A jobb áttekinthetőség érdekében jelölje ki a talált párokat. Felhívjuk figyelmét, hogy a hasonlóság nem jelent azonosságot – a lényeg az, hogy a pár egyik tagja tartalmazza a másodikat. Tehát lesznek xy, xy2z és xyz kifejezések – közös részük van x és y szorzata formájában. Ugyanez vonatkozik a nyugtatókra is.

A különböző hasonló tagokat eltérően címkézze fel. Ehhez jobb egy-, dupla- és háromvonalas hangsúlyozni, színeket és egyéb vonalformákat használni.

Miután megtalálta az összes hasonló tagot, kezdje el egyesíteni őket. Ehhez távolítsa el a hasonló kifejezéseket a talált kifejezések közül zárójelben. Ne feledje, hogy szabványos formában egy polinomnak nincsenek ilyen feltételei.

Ellenőrizze, hogy vannak-e ismétlődő elemek a bejegyzésben. Egyes esetekben ismét hasonló tagjai lehetnek. Ismételje meg a műveletet ezek kombinálásával.

Győződjön meg arról, hogy a polinom szabványos formában írásához szükséges második feltétel teljesül: minden résztvevőjét szabványos monomként kell ábrázolni: az első helyen egy numerikus tényező, a második helyen egy változó vagy változók, követve a már jelzett sorrendben. Ebben az esetben az ábécé által meghatározott betűsorral rendelkezik. A csökkenő fokozatokat másodlagosan veszik figyelembe. Így, standard nézet A monom 7xy2-ként van írva, míg az y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 nem szükséges.

Videó a témáról

A csillagjegyek az asztrológia fő elemei. Ez 12 szektor (az év hónapjainak száma szerint), amelyekre az állatöv zóna az európai asztrológiai hagyományoknak megfelelően fel van osztva. Mindegyiknek van neve, attól függően állatöv csillagkép ezen a területen található. Létezik egy változat, amely szerint a jelek nevei az ókori görög mítoszokon alapulnak.

Utasítás

A Kos egy aranygyapjú kos. Ennek a jelnek a neve az aranygyapjú mítoszához kapcsolódik. A Kos jegyében született emberek látszólag szelídek, mint ez az állat, de egy döntő pillanatban képesek merész cselekedetekre.

A Bika kedves és egyben erőszakos állat. E jel nevének eredete a Jupiter és az Európa legendájához kapcsolódik. A szerető isten beleszeretett gyönyörű lány Hogy megnyerje, gyönyörű hófehér bikává változott. Európa simogatni kezdte az állatot, és felmászott a hátára. És az alattomos Jupiter elvitte Kréta szigetére.

Az ikrek Pollux és Castor testvéri szeretetéről szóló mítosz megszemélyesítői, akik készek voltak meghalni egymásért. A legenda szerint a csata során Castor megsebesült és bátyja karjaiban halt meg, Pollux halhatatlan volt, és apjához, Zeuszhoz fordult, hogy hagyja, hogy testvérével együtt meghaljon.

Egy óriási rák belefúrta a karmait Herkules lábába a Hydrával vívott csatája során. Letörte a rákot, és folytatta a csatát a kígyóval, de Juno (az ő parancsára támadta meg a rák Herkulest) hálás volt neki, és a rák képét más hősök mellé helyezte.

A nemeai oroszlán egy szörnyű és félelmetes állat, amely hosszú ideig támadta az embereket a hatalom békéjének megőrzése érdekében. Herkules legyőzte. A mitológia szempontjából az oroszlán a hatalom attribútuma. Az e jel alatt született emberek büszkeséggel és nagy önbecsüléssel rendelkeznek.

A Szűzet a világ teremtéséről szóló ókori görög mítosz említi. A legenda szerint Pandora (az első nő) hozott a földre egy dobozt, amelyet tilos volt kinyitni, de nem tudott ellenállni a kísértésnek, és kinyitotta a fedelet. Minden szerencsétlenség, nehézség, bánat és emberi bűnök szétszóródtak a dobozból. Ezt követően az istenek elhagyták a földet, az ártatlanság és tisztaság istennője, Astraea (Szűz) repült el utolsóként, és róla nevezték el a csillagképet.

A Mérleg csillagjegy nevéhez fűződik az igazságosság istennőjének, Themisznek a mítosza, akinek volt egy lánya, Dika. A lány mérlegelte az emberek cselekedeteit, és a mérlege a jel szimbólumává vált.

Az egyik legenda szerint a Skorpió megcsípte Oriont, aki megpróbálta megerőszakolni Diana istennőt. Orion halála után a Jupiter a csillagok közé helyezte.

A Nyilas egy kentaur. Alapján ókori görög mítoszok félig ló, félig ember. Chiron kentaur mítoszában főszereplő mindent és mindenről tudott, tanította az isteneket a sportokra, a gyógyítás művészetére és egyéb ismeretekre és készségekre, amelyekkel rendelkezniük kell.

A Bak egy erős patás állat, amely képes megmászni a hegyek lejtőit, ragaszkodni a párkányokhoz. BAN BEN Ókori Görögország Pánhoz (a természet istenéhez) kapcsolódik, aki félig ember volt, félig kecske.

A Vízöntő jegye egy Ganümédes nevű fiatalemberről kapta a nevét, aki pohárnokként dolgozott és kezelt. földi emberekünnepeken és ünnepségeken. A fiatalember kiváló emberi tulajdonságokkal rendelkezett, kiváló barát, beszélgetőtárs és egyszerűen tisztességes ember volt. Zeusz ezért az istenek pohárnokává tette.

Az utolsó jel zodiákus kör - Halak. Nevének megjelenése Eros és Aphrodité mítoszához kötődik. Az istennő a fiával sétált a parton, és megtámadta őket a Typhon szörnyeteg. Hogy megmentse őket, Jupiter Eroszt és Aphroditét halakká változtatta, akik a vízbe ugrottak és eltűntek a tengerben.

Hoz törtek a legkevésbé névadó más néven rövidítés törtek. Ha a matematika azt eredményezi, hogy a tört nagy számokat tartalmaz a számlálóban és a nevezőben, ellenőrizze, hogy csökkenthető-e.

Az egyszerű matematikai műveletek – összeadás, kivonás, szorzás és így tovább – nem okoznak különösebb nehézséget a tanulóknak. Itt egyszerűen nincs mit megzavarni. Előfordul azonban, hogy a feladatból származó kifejezésnek nagyon hosszú alfanumerikus jelölése van. Ez elvonja a figyelmet, megzavarja a gondolatmenetet, és ami a legfontosabb, legtöbbször a legegyszerűbb döntéstől veszi el az embert.

A matematikai műveletek egyszerűsítése érdekében találtak ki speciális fogalmakat – pl. hasonló kifejezések. Mit jelent ez a kifejezés, és hogyan használható a hasonlóság elve?

Mely kifejezések és milyen kifejezések tekinthetők hasonlónak?

A kifejezésnek mint olyannak betűmegjelölésekből vagy betűkből és számokból kell állnia - és természetesen tartalmaznia kell összeadást is, mert kifejezésekről beszélünk. Sőt, ahhoz, hogy hasonlóságról beszéljünk, az egyes kifejezések összetételében azonos betűvel kell szerepelniük.

Nézzük például a 2a + 3c + 4a kis kifejezést. A kifejezés első és harmadik része ugyanazt az „a” betűt tartalmazza. Ennek megfelelően e kritérium szerint ezek hasonló kifejezések.

Mit ad nekünk ez a megértés a gyakorlatban?

A fenti kifejezés megoldásához kétféleképpen járhat el:

• Keresse meg a 2*a szorzatot, adja hozzá a 3*c szorzatot, adja hozzá a 4*a szorzatot az összeghez. Ez nem olyan nehéz – de minél hosszabb a kifejezés, annál unalmasabbak a számítások.
• Használja ki a hasonló kifejezések tulajdonságait, és először alakítsa át a kifejezést egy egyszerűbb és kényelmes kilátás hogy gyorsabban találjunk megoldást.

Bármely feladathoz előnyösebb a második módszert választani - időt takarít meg és csökkenti a hiba lehetőségét.

Mit jelent a „csökkentés” kifejezés az ilyen kifejezésekre?

Ez a kifejezések átrendezése úgy, hogy a hasonlóak egymás mellett legyenek. Többtől korai szabályok emlékezünk arra, hogy nem számít, milyen sorrendben jelennek meg a kifejezés feltételei az összeadáskor - az összeg továbbra is ugyanaz.

Így a példánkat a következőképpen alakíthatjuk át - írjuk 2a + 4a + 3c-nek. De ez még nem minden. Az egyszerűség kedvéért a numerikus együtthatók zárójelbe tehetők, és külön-külön hozzáadhatók - az „a” betű pedig egyelőre elhagyható a zárójelekből.

Így fog kinézni: (2 + 4)a + 3c = (6)a + 3c = 6a + 3c. Többé nem kell külön kiszámolnunk a szorzatot minden egyes kifejezésre – először összeadhatjuk őket, és csak azután szorozzuk meg a kapott eredményt.

„Hasonló kifejezések” - Matematika tankönyv, 6. osztály (Vilenkin)

Rövid leírás:

Ebben a részben megtudhatja, mit jelent a „hasonló kifejezések” kifejezés, és hogyan találhatja meg őket.
Már megtanulta a zárójelek nyitását, megtanulta a szorzás eloszlási tulajdonságát, és tudja, mit jelent a numerikus betűs kifejezés (ne feledje, ez egy olyan kifejezés, mint az 5a, 6ac). Most nézzünk egy olyan kifejezést, mint a 8a+8c. Észrevetted, hogy az első és a második tagnak ugyanaz az együtthatója - a 8-as szám? Ebben az esetben a 8-as szám zárójelből kivehető, és a szorzat egyik tényezőjeként jeleníthető meg, vagyis a 8 * (a + c). Kiderült, hogy a 8 az első és a második tag közös tényezője.
Most nézzük ezt a példát: 10a+15a-20a. A kifejezések (10a, 15a, -20a) mindegyikének ugyanaz a betűrésze (a), de az együtthatók eltérőek (10, 15 és -20). Az ilyen kifejezéseket hasonlónak nevezzük (vagyis hasonló barát egy baráton). Egy ilyen kifejezést más módon is át lehet írni, ha kivesszük a szó szerinti kifejezést (azaz a) faktorként, és minden tagból zárójelben csak egy szám (együttható) marad: a*(10+15-20) =a*5=5a. Így egyszerűsítettük a numerikus-betűs kifejezést hasonló kifejezések keresésével. Vagyis a hasonló kifejezések olyan numerikus betűs kifejezések, amelyeknek ugyanaz a betűrésze. A példában végrehajtott összeadást hasonló tagok redukciójának (vagy összeadásának) nevezzük (vagyis ezek együtthatóit összeadjuk, és a kapott eredményt megszorozzuk egy betűvel).

Példák:

monomok \(2\) \(x\)és \(5\) \(x\)- hasonlóak, mivel ott is, ott is ugyanazok a betűk: x;

a \(x^2y\) és a \(-2x^2y\) monomok hasonlóak, mivel mindkét esetben a betűk megegyeznek: x négyzet szorozva y-val. Az, hogy a második monom előtt mínuszjel van, nem számít, csak negatív számtényezője van ();

a \(3xy\) és \(5x\) monomiumok nem hasonlóak, mivel az első monomban x és y betűtényezők vannak, a másodikban pedig csak x;


az \(xy3yz\) és \(y^2 z7x\) monomiumok hasonlóak. Ennek belátásához azonban a monomokat le kell redukálni -ra. Ekkor az első monom így fog kinézni: \(3xy^2z\), a második pedig \(7xy^2z\) - és hasonlóságuk nyilvánvalóvá válik;

a \(7x^2\) és \(2x\) monomok nem hasonlóak, mivel az első monomban a literális tényezők x négyzetesek (vagyis \(x·x\)), a másodikban pedig egyszerűen egy x.

Nem szükséges memorizálni az ilyen kifejezések meghatározását, jobb, ha egyszerűen megértjük. Miért nevezik a \(2x\) és \(5x\) hasonlónak? Gondoljunk csak bele: \(2x\) ugyanaz, mint \(x+x\), és \(5x\) ugyanaz, mint \(x+x+x+x+x\). Azaz \(2x\) „két x”, \(5x\) pedig „öt x”. Ott is és ott is alapvetően ugyanaz (hasonló): x. Csak egy másik „mennyiség” ezekből az X-ekből.

Egy másik dolog például a \(5x\) és \(3xy\). Itt az első monom lényegében „öt X”, de a második „három X\(·\)játék” (\(3xy=xy+xy+xy\)). Lényegében – nem ugyanaz, nem hasonló.

Hasonló kifejezések csökkentése

A hasonló tagok összegének vagy különbségének egy monomimmal való helyettesítésének folyamatát " hasonló kifejezések csökkentése».

Vegyük észre, hogy ha a feltételek nem hasonlóak, akkor nem lesz lehetőség behozni őket. Például a \(2x^2\) és \(3x\) hozzáadása lehetetlen, ezek különböznek egymástól!

Értsd a hajtást Nem Az ilyen kifejezések megegyeznek a rubel és a kilogramm hozzáadásával: teljes ostobaságnak bizonyul.

A hasonló kifejezések behozása nagyon gyakori lépés a és kifejezések egyszerűsítésében, valamint a és megoldásánál. Lássuk konkrét példa a megszerzett ismeretek alkalmazása.

Példa. Oldja meg a \(7x^2+3x-7x^2-x=6\) egyenletet

Válasz: \(3\)

Egyáltalán nem szükséges minden alkalommal átírni az egyenletet, hogy hasonlóak álljanak egymás mellett, ezeket egyszerre is bemutathatja. Ez itt történt a további átalakítások egyértelműsége érdekében.