Az egyenes és a sík szögének meghatározása. Egyenes és sík közötti szög: meghatározás, példák a megtalálásra

Az egyenes és a sík közötti szög fogalma az egyenes és a sík bármely relatív helyzetére bevezethető.

Ha az l egyenes merőleges a síkra, akkor az l és az közötti szöget 90-nek tekintjük.

Ha az l egyenes párhuzamos a síkkal, vagy ebben a síkban fekszik, akkor az l és az l közötti szöget nullával egyenlőnek tekintjük.

Ha az l egyenes hajlik a síkra, akkor az l és ez közötti szög az l egyenes és p síkra való vetülete közötti szög (39. ábra).

Rizs. 39. Egy egyenes és egy sík közötti szög

Emlékezzünk tehát ennek a nem triviális esetnek a definíciójára: ha egy egyenes ferde, akkor az egyenes és a sík közötti szög az egyenes közötti szög.

És adott síkra vetítése.

7.1 Példák problémamegoldásra

Nézzünk meg három feladatot, egyre nehezebben elrendezve. Az egységes matematika államvizsga C2 harmadik feladatszintje.

1. feladat: Határozzuk meg egy szabályos tetraéderben az oldalél és az alap síkja közötti szöget!

2. feladat Egy szabályos háromszög alakú ABCA1 B1 C1 prizmában az oldalél egyenlő az alap oldalával. Keresse meg az AA1 egyenes és az ABC1 sík közötti szöget.

Megoldás. Az egyenes és a sík közötti szög nem változik, ha az egyenest egymással párhuzamosan toljuk el. Mivel a CC1 párhuzamos az AA1-el, a szükséges szög a CC1 egyenes és az ABC1 sík közötti szög (41. ábra).

B 1"

Rizs. 41. A 2. feladathoz

Legyen M az AB felezőpontja. Rajzoljuk be a CH magasságot a CC1 M háromszögbe. Mutassuk meg, hogy CH merőleges az ABC1 síkra. Ehhez ennek a síknak a CH-ra merőleges két metsző egyenesét kell bemutatnia.

Az első egyenes nyilvánvaló: C1 M. Valóban, CH? C1 M konstrukció szerint.

A második sor az AB. Valójában a ferde CH vetülete az ABC síkra a CM egyenes; míg AB ? CM. A három merőlegesről szóló tételből tehát az következik, hogy AB ? CH.

Szóval CH? ABC1. Ezért a CC1 és ABC1 közötti szög " = \CC1 H. A CH értékét a relációból találjuk meg

C1 M CH = CC1 CM

(ennek az aránynak mindkét oldala egyenlő a CC1 M háromszög területének kétszeresével). Nekünk van:

CM = a 2 3;

Meg kell találni a szöget ":

Válasz: arcsin 3 7 .

sin " = CH = 3 : CC1 7

3. feladat: Az ABCDA1 B1 C1 D1 kocka A1 B1 élére vesszük a K pontot úgy, hogy A1 K: KB1 = 3: 1. Határozzuk meg az AK egyenes és a BC1 D1 sík közötti szöget.

Megoldás. A rajz elkészítése után (42. ábra balra) megértjük, hogy további konstrukciókra van szükség.

Először is vegyük észre, hogy az AB egyenes a BC1 D1 síkban fekszik (mivel AB k C1 D1 ). Másodszor, rajzoljunk B1 M-et párhuzamosan AK-val (42. ábra, jobbra). Rajzoljuk B1 C-t is, és legyen N a B1 C és BC1 metszéspontja.

Mutassuk meg, hogy a B1 C egyenes merőleges a BC1 D1 síkra. Valóban:

1) B 1 C ? BC1 (mint egy négyzet átlói);

2) B 1 C ? AB három merőleges tételével (elvégre AB merőleges a ferde B1 C ABC síkra való vetületének BC egyenesére).

Így B1 C merőleges a BC1 D1 sík két metsző egyenesére; ezért B1 C ? BC1 D1. Ezért az MB egyenes vetülete

sin " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

A cikk az egyenes és a sík közötti szög meghatározásával kezdődik. Ez a cikk bemutatja, hogyan találhatja meg az egyenes és a sík közötti szöget a koordináta módszerrel. A példák és problémák megoldásait részletesen tárgyaljuk.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Először is meg kell ismételni a térbeli egyenes és a sík fogalmát. Az egyenes és a sík közötti szög meghatározásához több segéddefinícióra van szükség. Nézzük ezeket a meghatározásokat részletesen.

1. definíció

Egy egyenes és egy sík metszi egymást abban az esetben, ha van egy közös pontjuk, vagyis ez egy egyenes és egy sík metszéspontja.

A síkot metsző egyenes lehet merőleges a síkra.

2. definíció

Egy egyenes merőleges egy síkra amikor merőleges az ezen a síkon elhelyezkedő bármely egyenesre.

3. definíció

M pont vetítése síkraγ maga a pont, ha egy adott síkban van, vagy a sík metszéspontja az M ponton átmenő γ síkra merőleges egyenessel, feltéve, hogy nem tartozik a γ síkhoz.

4. definíció

Az a egyenes vetítése síkraγ egy adott egyenes összes pontjának síkra vetületeinek halmaza.

Ebből azt kapjuk, hogy a γ síkra merőleges egyenes vetületének van metszéspontja. Megállapítjuk, hogy az a egyenes vetülete a γ síkhoz tartozó, az a egyenes és a sík metszéspontján áthaladó egyenes. Nézzük az alábbi ábrát.

Tovább Ebben a pillanatban minden szükséges információval és adattal rendelkezünk az egyenes és a sík szögének meghatározásához

5. definíció

Az egyenes és a sík közötti szög az egyenes és a síkra vetülete közötti szöget nevezzük, és az egyenes nem merőleges rá.

A szög fent megadott definíciója segít arra a következtetésre jutni, hogy az egyenes és a sík közötti szög két egymást metsző egyenes szöge, vagyis egy adott egyenes a síkra való vetületével együtt. Ez azt jelenti, hogy a köztük lévő szög mindig hegyes lesz. Vessünk egy pillantást az alábbi képre.

Az egyenes és a sík közötti szöget derékszögűnek, azaz 90 fokkal egyenlőnek tekintjük, de a párhuzamos egyenesek közötti szöget nem határozzuk meg. Vannak esetek, amikor az értékét nullának veszik.

Azok a feladatok, ahol meg kell találni az egyenes és a sík közötti szöget, sokféle megoldást kínálnak. Maga a megoldás menete az állapotról rendelkezésre álló adatoktól függ. A megoldás gyakori kísérői az ábrák, koszinuszok, szinuszok, szögtangensek hasonlóságának vagy egyenlőségének jelei. A szög meghatározása koordináta módszerrel lehetséges. Nézzük meg részletesebben.

Ha háromdimenziós térbe bevezetünk egy O x y z téglalap alakú koordinátarendszert, akkor abban egy a egyenest adunk meg, amely az M pontban metszi a γ síkot, és nem merőleges a síkra. Meg kell találni az adott egyenes és a sík között elhelyezkedő α szöget.

Először az egyenes és a sík közötti szög meghatározását kell alkalmazni a koordináta módszerrel. Akkor a következőket kapjuk.

Az O x y z koordinátarendszerben egy a egyenest adunk meg, amely a térbeli egyenes egyenleteinek felel meg, a γ síkra pedig az egyenes irányítóvektora a sík és a normál egyenlete vektor a sík. Ekkor a → = (a x, a y, a z) az adott a egyenes irányvektora, és n → (n x, n y, n z) a γ sík normálvektora. Ha elképzeljük, hogy megvannak az a egyenes irányítóvektorának és a γ sík normálvektorának koordinátái, akkor ezek egyenlete ismert, azaz feltétellel megadva, akkor meg lehet határozni a vektorokat a → és n → az egyenlet alapján.

A szög kiszámításához át kell alakítani a képletet, hogy megkapjuk ennek a szögnek az értékét az egyenes irányítóvektorának és a normálvektornak a meglévő koordinátái segítségével.

Az a → és n → vektorokat az a egyenes γ síkkal való metszéspontjából kiindulva szükséges ábrázolni. Ezeknek a vektoroknak az adott egyenesekhez és síkokhoz viszonyított elhelyezkedésére 4 lehetőség van. Nézze meg az alábbi képet, amelyen mind a 4 változat látható.

Innen azt kapjuk, hogy az a → és n → vektorok közötti szöget a → , n → ^-nek jelöljük és hegyesszögű, akkor az egyenes és a sík között elhelyezkedő kívánt α szöget kiegészítjük, azaz kifejezést kapunk az a → , n → ^ = 90 ° - α formájú. Ha feltétel szerint a →, n → ^ > 90 °, akkor a →, n → ^ = 90 ° + α.

Innentől megvan a koszinusz egyenlő szögek egyenlőek, akkor az utolsó egyenlőségeket rendszer formájában írjuk fel

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

A kifejezések egyszerűsítéséhez redukciós képleteket kell használni. Ekkor cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^ alakú egyenlőségeket kapunk< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

Az átalakítások végrehajtása után a rendszer a sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ alakot ölti.< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Ebből azt kapjuk, hogy az egyenes és a sík közötti szög szinusza egyenlő az egyenes irányítóvektora és az adott sík normálvektora közötti szög koszinuszának modulusával.

A két vektor által alkotott szög megkeresésére vonatkozó részből kiderült, hogy ez a szög felveszi a vektorok skaláris szorzatának értékét és ezen hosszúságok szorzatát. Az egyenes és a sík metszéspontjával kapott szög szinuszának kiszámítási folyamata a képlet szerint történik

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Ez azt jelenti, hogy az egyenes és a sík szögének kiszámítására szolgáló képlet az egyenes irányítóvektorának és a sík normálvektorának koordinátáival a transzformáció után a következő alakú:

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Egy ismert szinusz koszinuszának megtalálása lehetséges az alapvető trigonometrikus azonosság alkalmazásával. Az egyenes és a sík metszéspontja hegyesszöget alkot. Ez arra utal, hogy értéke lesz pozitív szám, és számítása a cos α = 1 - sin α képletből történik.

Oldjunk meg több hasonló példát az anyag összevonására.

1. példa

Határozzuk meg az x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 egyenes és a 2 x + z - 1 = 0 sík által alkotott szög szögét, szinuszát, koszinuszát!

Megoldás

Az irányvektor koordinátáinak megszerzéséhez figyelembe kell venni egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteit. Ekkor azt kapjuk, hogy a → = (3, - 2, 6) az x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 egyenes irányvektora.

A normálvektor koordinátáinak megtalálásához figyelembe kell venni általános egyenlet síkok, mivel jelenlétüket az előtte rendelkezésre álló együtthatók határozzák meg az egyenlet változói. Ekkor azt kapjuk, hogy a 2 x + z - 1 = 0 síkra a normálvektor n → = (2, 0, 1) alakú.

El kell folytatni az egyenes és a sík közötti szög szinuszának kiszámítását. Ehhez be kell cserélni az a → és b → vektorok koordinátáit az adott képletbe. A forma kifejezését kapjuk

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Innen megtaláljuk a koszinusz értékét és magának a szögnek az értékét. Kapunk:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Válasz: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

2. példa

Van egy piramis, amely az A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 vektorok értékeiből épül fel. Határozzuk meg az A D egyenes és az A B C sík közötti szöget.

Megoldás

A kívánt szög kiszámításához szükség van az egyenes irányítóvektorának és a sík normálvektorának koordinátáira. A D egyenesre az irányvektor A D → = 4, 1, 1 koordinátákkal rendelkezik.

Az A B C síkhoz tartozó n → normálvektor merőleges az A B → és A C → vektorra. Ez azt jelenti, hogy az A B C sík normálvektorát az A B → és az A C → vektorok vektorszorzatának tekinthetjük. Ezt kiszámítjuk a képlet segítségével, és megkapjuk:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (-6, -2, 3 )

Szükséges a vektorok koordinátáinak helyettesítése az egyenes és a sík metszéspontja által alkotott kívánt szög kiszámításához. a következő alak kifejezését kapjuk:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Válasz: a r c sin 23 21 2 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az l egyenes és a 6. sík közötti a szög az adott l egyenes és az adott síkra az egyenes tetszőleges pontjából húzott n merőleges p kiegészítő szöggel határozható meg (144. ábra). A P szög kiegészíti a kívánt a szöget 90°-ig. Miután meghatároztuk a P szög valódi értékét az l egyenes és a merőleges által alkotott szög sík szintjének elforgatásával és az egyenes körül, azt kell kiegészíteni derékszög. Ez a további szög adja meg az l egyenes és a 0 sík közötti a szög valódi értékét.

27. Két sík szögének meghatározása.

Igazi érték kétszögű- két Q és l sík között. - meghatározható a vetítési sík cseréjével annak érdekében, hogy a kétszög élét vetítő egyenessé alakítsuk (1. és 2. feladat), vagy ha az él nincs megadva, akkor két n1 és n2 merőleges szögeként ezek a síkok ezeknek a merőlegeseknek a B tér egy tetszőleges M pontjából az M pontban két a és P síkszöget kapunk, amelyek rendre megegyeznek a q és l síkok által alkotott két szomszédos szög (diéder) lineáris szögével. Miután a szintegyenes körül elforgatva meghatároztuk az n1 és n2 merőleges szögeinek valódi értékét, meghatározzuk a q és l síkok által alkotott diéderszög lineáris szögét.

Ívelt vonalak. Íves vonalak speciális pontjai.

Egy görbe összetett rajzánál speciális pontjai, amelyek inflexiós, visszatérési, törési és csomópontokat foglalnak magukban, szintén speciális pontok a vetületén. Ez azzal magyarázható, hogy a görbék szinguláris pontjai ezeken a pontokon kapcsolódnak az érintőkhöz.

Ha a görbe síkja egy vetületi pozíciót foglal el (ábra. A), akkor ennek a görbének egy vetülete egyenes alakú.

Egy térbeli görbe esetén minden vetülete görbe vonal (ábra 1). b).

Annak meghatározásához, hogy a rajz alapján melyik görbe adott (sík vagy térbeli), meg kell találni, hogy a görbe minden pontja ugyanahhoz a síkhoz tartozik-e. ábrán van megadva. b a görbe térbeli, mivel a pont D a görbe nem tartozik a három másik pont által meghatározott síkhoz A, BÉs E ezt a görbét.

Kör - másodrendű sík görbe, amelynek merőleges vetülete lehet kör és ellipszis

A hengeres spirális vonal (hélix) egy térbeli görbe, amely egy spirális mozgást végző pont pályáját ábrázolja.

29. Lapos és térbeli íves vonalak.

Lásd a 28. kérdést

30. Összetett felületrajz. Alapvető rendelkezések.

A felület a térben mozgó vonalak egymás utáni helyzeteinek halmaza. Ez a vonal lehet egyenes vagy ívelt, és ún alkotó felületek. Ha a generatrix egy görbe, akkor állandó vagy változó megjelenésű lehet. A generatrix halad útmutatók, a generátoroktól eltérő irányú vonalakat ábrázolnak. A vezetővonalak meghatározzák a generátorok mozgásának törvényét. Amikor a generatrixot a vezetők mentén mozgatja, a keret felület (84. ábra), amely a generatricák és a vezetők több egymást követő pozíciójának halmaza. A keretet megvizsgálva meggyőződhetünk arról, hogy a generátorok lés útmutatók T cserélhető, de a felület ugyanaz marad.

Bármilyen felületet többféleképpen lehet előállítani.

A generatrix alakjától függően minden felület felosztható uralkodott, amelyek generatív egyenessel rendelkeznek, és nem szabályozott, amelyeknek formáló görbe vonala van.

A fejleszthető felületek közé tartozik az összes poliéder, hengeres, kúpos és törzsfelület felülete. Az összes többi felület nem fejleszthető. A nem vonalas felületeknek lehet egy állandó alakú generatrixa (forgásfelületek és csőfelületek), valamint egy változó alakú generatrix (csatorna- és keretfelületek).

Egy komplex rajzban egy felületet a determináns geometriai részének vetületei határoznak meg, jelezve az összetevők megalkotásának módját. Egy felület rajzánál a tér bármely pontjára egyértelműen meg van oldva az a kérdés, hogy az adott felülethez tartozik-e. A felülethatározó elemeinek grafikus megadása biztosítja a rajz visszafordíthatóságát, de nem teszi vizuálissá. Az áttekinthetőség kedvéért egy meglehetősen sűrű generatricus-keret vetületeinek és a felület körvonalainak megszerkesztéséhez folyamodnak (86. ábra). Amikor a Q felületet a vetítési síkra vetítjük, a vetületi sugarak ezt a felületet olyan pontokon érintik, amelyek egy bizonyos vonalat alkotnak rajta. l, ami az úgynevezett körvonal vonal. A szintvonal vetületét ún esszé felületek. Egy összetett rajzon bármely felület rendelkezik: P 1 - vízszintes körvonal, P 2 -n - frontális körvonal, P 3 -on - a felület profilkörvonala. A vázlat a kontúrvonal vetületein kívül a vágási vonalak vetületeit is tartalmazza.

Az egyenes és a sík közötti szög meghatározása a ferde vetület fogalmán alapul. Meghatározás. Az egyenes és a sík közötti szög az egyenes és az adott síkra való vetülete közötti szög.

ábrán. A 341. ábra a ferde AM és a K síkra való vetülete közötti a szöget mutatja.

Jegyzet. Ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, vagy abban fekszik, akkor a síkkal bezárt szögét nullával egyenlőnek tekintjük. Ha merőleges a síkra, akkor a szöget derékszögűnek deklaráljuk (az előző definíció itt szó szerint nem alkalmazható!). Más esetekben hegyesszög van az egyenes és a vetülete között. Ezért az egyenes és a sík közötti szög soha nem haladja meg a derékszöget. Azt is megjegyezzük, hogy itt helyesebb a szög mértékéről beszélni, és nem a szögről (sőt, arról beszélünk az egyenes síkhoz való hajlási fokáról a szög mint két sugár által határolt lapos alak fogalmának nincs közvetlen kapcsolata itt).

Ellenőrizzük az egyenes és a sík hegyesszögének még egy tulajdonságát.

Egy adott egyenes és a síkban lévő összes lehetséges egyenes által alkotott szögek közül egy adott egyenes vetületével bezárt szög a legkisebb.

Bizonyíték. Térjünk rá az ábrára. 342. Legyen a egy adott egyenes, a síkra vetülete egy tetszőleges másik egyenes a K síkban (a kényelem kedvéért az a egyenes és a sík metszéspontjának A pontján áthúztuk). Tegyük egy egyenes szakaszra, azaz egyenlő a ferde MA alapjával, ahol a ferde a pontok egyikének vetülete.

Ekkor a háromszögben két oldal egyenlő: az AM oldal közös, felépítésükben egyenlők. De a háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a háromszög harmadik oldala (a ferde oldala nagyobb, mint a merőleges). Ez azt jelenti, hogy a b szemközti szög nagyobb, mint a megfelelő a b szög (lásd a 217. bekezdést): , amit bizonyítani kellett.

Az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és a sík összes lehetséges egyenese közötti szögek közül a legkisebb.

Igazságos és így

Tétel. Éles sarok egy síkban fekvő egyenes és egy ferde vonal erre a síkra való vetülete között kisebb, mint az egyenes és a ferde egyenes közötti szög.

Bizonyíték. Legyen a síkban fekvő egyenes (342. ábra), a a síkra hajló, t a síkra való vetülete. Az egyenest a síkhoz képest ferdenek tekintjük, majd az lesz a vetülete a jelzett síkra, és az előző tulajdonságot felhasználva megtaláljuk: ezt kellett bizonyítanunk. A három merőleges tétele szerint világos, hogy abban az esetben, ha egy síkban egy egyenes merőleges a ferde vetületre (az eset nem hegyes, hanem derékszög), akkor az egyenes is merőleges a ferde vetületre. ferde; ebben az esetben mindkét szög, amiről beszélünk, derékszög, ezért egyenlő egymással.

Ismételjük meg az egyenes és a sík szögének meghatározását.

Meghatározás. Az egyenes és az ezt az egyenest metsző, és arra nem merőleges sík közötti szög, az egyenes és annak síkra való vetülete közötti szög.

Legyen adott egy γ sík és egy a egyenes, amely metszi ezt a síkot és nem merőleges rá.

Szerkesszük meg az a egyenes és a γ sík szögét:

1. Az a egyenes bármely számunkra megfelelő pontjából leeresztünk egy merőlegest a γ síkra;
2. A ferde és a merőleges alapjainak pontjain keresztül húzunk egy b egyenest. A b egyenes az a egyenes vetülete a γ síkra;
3. Az a és b egyenesek hegyesszöge az a egyenes és a γ sík közötti szög, azaz. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , ahol ∠(a;b) az a és b egyenesek közötti szög; ∠(a;γ) - az a egyenes és a γ sík közötti szög.

A koordináta módszerrel történő problémák megoldásához emlékeznünk kell a következőkre:

3. Ha az irányvektor ( a 1 ; b 1 ; c 1 ) és a normálvektor koordinátái ismertek
(a; b; c), akkor az a egyenes és a γ sík közötti szöget a következő képlet segítségével számítjuk ki.

Ismerjük az egyenesek közötti szög meghatározásának képletét:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a; b), akkor cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
(1)-ből és (2) => ; (3)
, ahol az m és n vektorok közötti szög; (4)
A (4)-et behelyettesítjük (3)-ba stb. ∠(a;b)= ∠(a;γ), akkor kapjuk:

4. Ha a normálvektor koordinátái ismeretlenek, akkor ismernünk kell a sík egyenletét.

A téglalap alakú koordinátarendszer bármely síkja megadható az egyenlettel

ax + by + cz + d = 0,

ahol az a, b, c együtthatók legalább egyike különbözik nullától. Ezek az együtthatók lesznek a normálvektor koordinátái, azaz. (a; b; c).

Algoritmus az egyenes és a sík közötti szög meghatározásának problémáinak megoldására a koordináta módszerrel:

1. Rajzot készítünk, amelyben egy egyenest és egy síkot jelölünk;
2. Bevezetünk egy derékszögű koordináta-rendszert;
3. Megkeressük az irányvektor koordinátáit a kezdetének és végének koordinátáiból;
4. Keresse meg a normálvektor koordinátáit a síkra;
5. A kapott adatokat behelyettesítjük a képletbe az egyenes és a sík szögének szinuszára;
6. Keresse meg magának a szögnek az értékét.

Nézzük a problémát:
1. Az ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kockában keresse meg az AC 1 egyenes és a BDD 1 sík közötti szög érintőjét.
Megoldás:

1. Vezessünk be egy derékszögű koordináta-rendszert, amelynek origója a D pontban van.
2. Keresse meg az AC 1 irányvektor koordinátáit! Ehhez először határozza meg az A és C 1 pont koordinátáit:
A(0; 1; 0);
C1 (1; 0; 1).
{1; -1; 1}.
3. Határozzuk meg a normálvektor koordinátáit a BB 1 D 1 síkra. Ehhez megkeressük a sík három olyan pontjának koordinátáit, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, és felállítjuk a sík egyenletét:
D(0; 0; 0);
D 1 (0; 0; 1);
B(1; 1; 0);
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D 1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.

Helyettesítsük be az egyenletbe: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:a
x-y = 0.
Így a BDD 1 sík normálvektorának koordinátái vannak:
{1;-1; 0}.
4. Keresse meg az AC 1 egyenes és a BDD 1 sík közötti szinust:

5. Használjuk a főt trigonometrikus azonosságés keresse meg az AC 1 egyenes és a BDD 1 sík közötti szög koszinuszát:

6. Határozza meg az AC 1 egyenes és a BDD 1 sík közötti szög érintőjét:

Válasz: .

2. Határozzuk meg a BD egyenes és az SBC sík közötti szög szinuszát egy szabályos négyszög SABCD piramisban, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel.

Megoldás:

1. Vezessünk be egy téglalap alakú koordináta-rendszert, amelynek origója a B pontban van.
2. Keresse meg a BD irányvektor koordinátáit! Ehhez először határozza meg a B és D pont koordinátáit:

3. Keresse meg a normálvektor koordinátáit az SBC-síkhoz. Ehhez megkeressük a sík három olyan pontjának koordinátáit, amelyek nem fekszenek ugyanazon az egyenesen, és összeállítjuk az SBC sík egyenletét:

Hogyan kaptad meg az S pont koordinátáit?

Az S pontból egy merőlegest leeresztünk az ABC alapsíkra. A metszéspontot O-nak neveztük. Az O pont az S pont vetülete az ABC síkra. Ennek x és y koordinátája lesz az S pont első két koordinátája.

Miután megtudtuk a piramis magasságát, megtaláltuk az S pont harmadik koordinátáját (a z tengely mentén)

Az SOB háromszög téglalap alakú, ezért a Pitagorasz-tétel szerint:

A síkegyenlet ax+by+cz+d=0. Helyettesítsük be a pontok koordinátáit ebbe az egyenletbe:

Három egyenletrendszert kaptunk:

Helyettesítsük be az egyenletbe:

Így az SBD sík normálvektorának koordinátái vannak:

.
4. Keresse meg a BD egyenes és az SBD sík közötti szinust.