Egységes államvizsga 4? Nem repessz a boldogságtól?

A kérdés, ahogy mondani szokás, érdekes... Lehet, 4-essel is lehet passzolni! És ugyanakkor, hogy ne törjön ki... A fő feltétel a rendszeres testmozgás. Íme az alapfelkészítés a matematika egységes államvizsgára. Az Egységes Államvizsga minden titkával és rejtélyével, amiről tankönyvekben nem fogsz olvasni... Tanulmányozd ezt a részt, oldj meg több feladatot től különféle forrásokból- és minden menni fog! Feltételezhető, hogy az alapszakasz "A C elég neked!" nem okoz gondot neked. De ha hirtelen... Kövesd a linkeket, ne légy lusta!

És egy nagyszerű és szörnyű témával kezdjük.

Trigonometria

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Ez a téma sok problémát okoz a tanulóknak. Az egyik legsúlyosabbnak tartják. Mi a szinusz és a koszinusz? Mi a tangens és a kotangens? Mi az a számkör? Amint felteszi ezeket az ártalmatlan kérdéseket, az illető elsápad, és megpróbálja elterelni a beszélgetést... De hiába. Ezek egyszerű fogalmak. És ez a téma nem nehezebb, mint mások. Csak a kezdetektől fogva világosan meg kell értenie a válaszokat ezekre a kérdésekre. Ez nagyon fontos. Ha érted, szeretni fogod a trigonometriát. Így,

Mi a szinusz és a koszinusz? Mi a tangens és a kotangens?

Kezdjük az ősi időkkel. Ne aggódjon, körülbelül 15 perc alatt végigmegyünk a trigonometria mind a 20 évszázadán. És anélkül, hogy észrevennénk, megismételünk egy geometriát a 8. osztálytól.

Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget oldalakkal a, b, cés szög x. Itt van.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a derékszöget bezáró oldalakat lábaknak nevezzük. a és c– lábak. Ketten vannak. A fennmaradó oldalt hipotenusznak nevezzük. Val vel– hypotenusa.

Háromszög és háromszög, gondolj csak! Mit kell vele csinálni? De az ókori emberek tudták, mit kell tenni! Ismételjük meg cselekedeteiket. Mérjük meg az oldalát V. Az ábrán a cellák speciálisan vannak megrajzolva, mint az ábrán Egységes államvizsga-feladatok Megtörténik. Oldal V egyenlő négy cellával. RENDBEN. Mérjük meg az oldalát A. Három sejt.

Most osszuk el az oldal hosszát A oldalhosszonként V. Vagy ahogy szokták mondani, vegyük a hozzáállást A Nak nek V. a/v= 3/4.

Ellenkezőleg, lehet osztani V tovább A. 4/3-ot kapunk. Tud V Oszd el Val vel.Átfogó Val vel Lehetetlen cellánként számolni, de egyenlő 5-tel jó minőség= 4/5. Röviden, eloszthatja az oldalak hosszát egymással, és kaphat néhány számot.

És akkor mi van? Mi értelme ennek az érdekes tevékenységnek? Még nincs. Őszintén szólva értelmetlen gyakorlat.)

Most tegyük ezt. Nagyítsuk ki a háromszöget. Hosszabbítsuk meg az oldalakat benne és vele, hanem úgy, hogy a háromszög téglalap alakú maradjon. Sarok x természetesen nem változik. Ennek megtekintéséhez vigye az egeret a kép fölé, vagy érintse meg (ha táblagépe van). A felek a, b és cát fog alakulni m, n, k, és természetesen az oldalak hossza változni fog.

De a kapcsolatuk nem!

Hozzáállás a/v volt: a/v= 3/4, lett m/n= 6/8 = 3/4. Más érintett felek kapcsolatai is nem fog változni . Az oldalak hosszát tetszés szerint módosíthatja. derékszögű háromszög, növel, csökkent, az x szög megváltoztatása nélkül – az érintett felek közötti kapcsolat nem változik . Ellenőrizheti, vagy fogadhatja az ókori emberek szavát.

De ez már nagyon fontos! Egy derékszögű háromszög oldalainak aránya semmilyen módon nem függ az oldalak hosszától (azonos szögben). Ez annyira fontos, hogy a felek közötti kapcsolat sajátos nevet vívott ki magának. A ti neveiteket, hogy úgy mondjam.) Találkozzunk.

Mi az x szög szinusza ? Ez az ellenkező oldal és a hipotenusz aránya:

sinx = a/c

Mekkora az x szög koszinusza ? Ez a szomszédos láb és a hypotenus aránya:

Val velosx= jó minőség

Mi az x tangens ? Ez az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya:

tgx =a/v

Mekkora az x szög kotangense? ? Ez a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya:

ctgx = v/a

Minden nagyon egyszerű. Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens néhány szám. Mérettelen. Csak számok. Mindegyik szögnek megvan a sajátja.

Miért ismételek mindent olyan unalmasan? Akkor mi ez emlékezni kell. Fontos emlékezni. A memorizálás megkönnyíthető. Ismerős a „Kezdjük messziről…” kifejezés? Kezdje tehát messziről.

Sinus szög egy arány távoli a lábszögtől a hypotenusáig. Koszinusz– a szomszéd és a hypotenus aránya.

Tangens szög egy arány távoli a lábszögtől a közeliig. Kotangens- oda-vissza.

Egyszerűbb, igaz?

Nos, ha emlékszel arra, hogy az érintőben és a kotangensben csak lábak vannak, a szinuszban és a koszinuszban pedig megjelenik a hipotenusz, akkor minden meglehetősen egyszerű lesz.

Ezt az egész dicsőséges családot - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - is hívják trigonometrikus függvények.

Most egy megfontolandó kérdés.

Miért mondjuk szinusznak, koszinusznak, érintőnek és kotangensnek? sarok? A felek közötti viszonyról beszélünk, mint... Mi köze ehhez? sarok?

Nézzük a második képet. Pontosan ugyanaz, mint az első.

Vigye az egeret a kép fölé. szöget változtattam x. Növelte től x-ről x-re. Minden kapcsolat megváltozott! Hozzáállás a/v 3/4 volt, és a megfelelő arány tévé 6/4 lett.

És minden más kapcsolat más lett!

Ezért az oldalak arányai semmilyen módon nem függenek a hosszuktól (egy x szögben), hanem élesen ettől a szögtől! És csak tőle. Ezért a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens kifejezések erre utalnak sarok. Itt a szög a fő.

Világosan meg kell érteni, hogy a szög elválaszthatatlanul összefügg a trigonometrikus függvényeivel. Minden szögnek megvan a maga szinusza és koszinusza. És szinte mindenkinek megvan a maga érintője és kotangense. Fontos. Úgy tartják, ha megadunk egy szöget, akkor annak szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét tudjuk ! És fordítva. Adott egy szinusz, vagy bármilyen más trigonometrikus függvény, ez azt jelenti, hogy ismerjük a szöget.

Vannak speciális táblázatok, ahol minden szöghez leírják a trigonometrikus függvényeit. Ezeket Bradis asztaloknak hívják. Nagyon régen lettek összeállítva. Amikor még nem voltak számológépek vagy számítógépek...

Természetesen lehetetlen megjegyezni az összes szög trigonometrikus függvényét. Csak néhány szögből kell ismernie őket, erről később. De a varázslat Ismerek egy szöget, ami azt jelenti, hogy ismerem a trigonometrikus függvényeit.” mindig működik!

Így megismételtünk egy darab geometriát a 8. osztályból. Szükségünk van rá az egységes államvizsgához? Szükséges. Itt van egy tipikus probléma az egységes államvizsgáról. A probléma megoldásához elég a 8. osztály. Adott kép:

Minden. Nincs több adat. Meg kell találnunk a repülőgép oldalának hosszát.

A cellák nem sokat segítenek, a háromszög valahogy rosszul van elhelyezve.... Szándékosan, gondolom... Az információból ott van a hipotenusz hossza. 8 sejt. Valamiért a szög adott volt.

Itt azonnal emlékeznie kell a trigonometriára. Van egy szög, ami azt jelenti, hogy ismerjük az összes trigonometrikus függvényét. A négy függvény közül melyiket használjuk? Nézzük, mit tudunk? Ismerjük az alsó szöget és a szöget, de meg kell találnunk szomszédos katétert ehhez a sarokba! Egyértelmű, a koszinusznak működésbe kell lépnie! Essünk neki. Egyszerűen írjuk a koszinusz definíciójával (az arány szomszédos láb a hypotenusig):

cosC = BC/8

C szögünk 60 fok, koszinusza 1/2. Ezt tudnod kell, minden táblázat nélkül! Azaz:

1/2 = BC/8

Alapvető lineáris egyenlet. Ismeretlen – Nap. Aki elfelejtette az egyenletek megoldását, nézze meg a linket, a többi megoldja:

BC = 4

Amikor az ókori emberek rájöttek, hogy minden szögnek megvannak a saját trigonometrikus függvényei, ésszerű kérdésük támadt. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens valamilyen módon összefüggenek egymással? Tehát az egyik szögfüggvény ismeretében megtalálhatja a többit? A szög kiszámítása nélkül?

Olyan nyugtalanok voltak...)

Egy szög trigonometrikus függvényei közötti kapcsolat.

Természetesen az azonos szögű szinusz, koszinusz, érintő és kotangens összefügg egymással. A kifejezések közötti kapcsolatot a matematikában képletek adják meg. A trigonometriában óriási számú képlet létezik. De itt megnézzük a legalapvetőbbeket. Ezeket a képleteket nevezzük: alapvető trigonometrikus azonosságok. Itt vannak:

Ezeket a képleteket alaposan ismernie kell. Ezek nélkül általában nincs mit tenni a trigonometriában. Ezekből az alapvető identitásokból további három kiegészítő identitás következik:

Azonnal figyelmeztetem, hogy az utolsó három képlet gyorsan kiesik az emlékezetéből. Valamilyen oknál fogva.) Ezeket a képleteket természetesen abból is származtathatod első három. De Nehéz időszak... Te megérted.)

A szabványos feladatokban, mint például az alábbiakban, van mód arra, hogy elkerüljük ezeket a felejthető képleteket. ÉS drámaian csökkenti a hibák számát a feledékenység miatt, és a számításokban is. Ez a gyakorlat az 555. szakaszban található, "Az azonos szögű trigonometrikus függvények közötti összefüggések" című leckében.

Milyen feladatokban és hogyan használják az alapvető trigonometrikus azonosságokat? A legnépszerűbb feladat valamilyen szögfüggvény megtalálása, ha adott egy másik. Az egységes államvizsgán ilyen feladat évről évre jelen van.) Például:

Határozzuk meg a sinx értékét, ha x hegyesszög és cosx=0,8.

A feladat szinte elemi. Olyan képletet keresünk, amely szinust és koszinust tartalmaz. Íme a képlet:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Itt behelyettesítünk egy ismert értéket, nevezetesen 0,8-at a koszinusz helyett:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Nos, a szokásos módon számolunk:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Gyakorlatilag ennyi. Kiszámoltuk a szinusz négyzetét, már csak a négyzetgyök kinyerése van hátra, és kész a válasz! A 0,36 gyöke 0,6.

A feladat szinte elemi. De a „majdnem” szó okkal van ott... Az tény, hogy a sinx= - 0,6 válasz is megfelelő... (-0,6) 2 is 0,36 lesz.

Két különböző válasz létezik. És kell egy. A második rossz. Hogyan legyen!? Igen, szokás szerint.) Olvassa el figyelmesen a feladatot! Valamiért ezt írja:... ha x hegyesszög... A feladatokban pedig minden szónak van jelentése, igen... Ez a kifejezés kiegészítő információ a megoldáshoz.

A hegyesszög 90°-nál kisebb szög. És az ilyen sarkokban Minden trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz és érintő a kotangenssel - pozitív. Azok. Itt egyszerűen elvetjük a nemleges választ. Jogunk van hozzá.

Valójában a nyolcadikosoknak nincs szükségük ilyen finomságokra. Csak derékszögű háromszögekkel dolgoznak, ahol a sarkok csak hegyesek lehetnek. És nem tudják, boldogok, hogy vannak negatív és 1000°-os szögek is... És ezeknek a szörnyű szögeknek megvannak a maguk trigonometrikus funkciói, plusz és mínusz egyaránt...

De középiskolásoknak, a jel figyelembe vétele nélkül - dehogy. A sok tudás megsokszorozza a bánatot, igen...) És azért a helyes döntés A feladatnak további információkat kell tartalmaznia (ha szükséges). Megadható például a következő bejegyzéssel:

Vagy más módon. Az alábbi példákban látni fogja.) Az ilyen példák megoldásához tudnia kell Melyik negyedbe esik az adott x szög és milyen előjelű a kívánt trigonometrikus függvény ebben a negyedben?

A trigonometria ezen alapjait a trigonometrikus körről, a kör szögeinek méréséről, a szög radiánmértékéről szóló leckékben tárgyaljuk. Néha ismerni kell a szinuszok táblázatát, az érintők koszinuszait és a kotangenseket.

Tehát jegyezzük meg a legfontosabbat:

Gyakorlati tanácsok:

1. Emlékezzen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióira. Nagyon hasznos lesz.

2. Tisztán értjük: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens szorosan összefüggenek a szögekkel. Egy dolgot tudunk, ami azt jelenti, hogy tudunk egy másikat.

3. Tisztán értjük: egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense alapvető trigonometrikus azonosságokkal kapcsolódnak egymáshoz. Egy függvényt ismerünk, ami azt jelenti, hogy (ha rendelkezünk a szükséges további információkkal) ki tudjuk számítani az összes többit.

Most szokás szerint döntsünk. Először a 8. évfolyam körébe tartozó feladatok. De a középiskolások is megtehetik...)

1. Számítsa ki a tgA értékét, ha ctgA = 0,4.

2. β egy szög egy derékszögű háromszögben. Határozzuk meg a tanβ értékét, ha sinβ = 12/13.

3. Határozza meg a szinust hegyesszög x ha tgх = 4/3.

4. Keresse meg a kifejezés jelentését:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Keresse meg a kifejezés jelentését:

(1-cosx)(1+cosx), ha sinx = 0,3

Válaszok (pontosvesszővel elválasztva, összevisszaságban):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Megtörtént? Nagy! A nyolcadikosok már mehetnek megszerezni az A-t.)

Nem sikerült minden? A 2. és 3. feladat valahogy nem túl jó...? Nincs mit! Van egy gyönyörű technika az ilyen feladatokhoz. Gyakorlatilag képletek nélkül is minden megoldható! És ezért hiba nélkül. Ezt a technikát az „Egy szög trigonometrikus függvényei közötti összefüggések” című leckében ismertetjük, az 555. szakaszban. Az összes többi feladattal is ott foglalkoznak.

Ezek olyan problémák voltak, mint az egységes államvizsga, de lecsupaszított változatban. Egységes államvizsga - fény). És most szinte ugyanazok a feladatok, de teljes értékű formában. Tudásterhelt középiskolásoknak.)

6. Határozzuk meg a tanβ értékét, ha sinβ = 12/13, és

7. Határozza meg a sinх értéket, ha tgх = 4/3, és x a (- 540°; - 450°) intervallumhoz tartozik.

8. Határozzuk meg a sinβ cosβ kifejezés értékét, ha ctgβ = 1.

Válaszok (rendetlenségben):

0,8; 0,5; -2,4.

Itt a 6. feladatban a szög nincs túl egyértelműen megadva... De a 8. feladatban egyáltalán nincs megadva! Ez szándékos). A kiegészítő információkat nemcsak a feladatból, hanem a fejből is veszik.) De ha úgy döntesz, egy helyes feladat garantált!

Mi van, ha még nem döntött? Hmm... Nos, az 555. szakasz segít itt. Ott részletesen le van írva mindezen feladatok megoldása, nehéz nem megérteni.

Ez a lecke nagyon korlátozott megértést nyújt a trigonometrikus függvényekről. 8. osztályon belül. És az idősebbeknek még mindig vannak kérdéseik...

Például ha a szög x(nézd meg a második képet ezen az oldalon) - csinálj hülyét!? A háromszög teljesen szétesik! Szóval mit kéne tennünk? Nem lesz láb, nem lesz hypotenus... A szinusz eltűnt...

Ha az ókori emberek nem találtak volna kiutat ebből a helyzetből, most nem lenne mobiltelefonunk, tévénk vagy villanyunk. Igen igen! Elméleti alap mindezek a dolgok trigonometrikus függvények nélkül nullák bot nélkül. De az ókori emberek nem okoztak csalódást. Hogy hogyan jutottak ki, az a következő leckében lesz.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

A trigonometria tanulmányozását a derékszögű háromszöggel kezdjük. Határozzuk meg, mi a szinusz és a koszinusz, valamint egy hegyesszög érintője és kotangense. Ez a trigonometria alapjai.

Hadd emlékeztessük erre derékszög egy 90 fokkal egyenlő szög. Más szóval, fél elfordított szög.

Éles sarok- kevesebb, mint 90 fok.

Tompaszög- 90 foknál nagyobb. Egy ilyen szöghöz képest a „tompa” nem sértés, hanem matematikai kifejezés :-)

Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget. A derékszöget általában jelöli. Felhívjuk figyelmét, hogy a sarokkal szemközti oldalt ugyanaz a betű jelzi, csak kicsi. Így az A szemközti szöget jelöljük.

A szöget a megfelelő jelzi görög levél.

Átfogó derékszögű háromszögnek a derékszöggel ellentétes oldala.

Lábak- hegyesszögekkel ellentétes oldalak.

A szöggel szemben fekvő lábat ún szemben(szöghez viszonyítva). A másik láb, amely a szög egyik oldalán fekszik, ún szomszédos.

Sinus A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti oldal és a hipotenusz aránya:

Koszinusz hegyesszög egy derékszögű háromszögben - a szomszédos láb és a hipotenusz aránya:

Tangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya:

Egy másik (ekvivalens) definíció: egy hegyesszög érintője a szög szinuszának és koszinuszának aránya:

Kotangens hegyesszög egy derékszögű háromszögben - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya (vagy, ami megegyezik, a koszinusz és a szinusz aránya):

Jegyezze meg az alábbiakban a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens alapvető összefüggéseit. Hasznosak lesznek a problémák megoldása során.

Bizonyítsunk be néhányat közülük.

Oké, megadtuk a definíciókat és felírtuk a képleteket. De miért van szükségünk még mindig szinuszra, koszinuszra, érintőre és kotangensre?

Tudjuk bármely háromszög szögeinek összege egyenlő.

Ismerjük a közti kapcsolatot a felek derékszögű háromszög. Ez a Pitagorasz-tétel: .

Kiderült, hogy egy háromszög két szögének ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Egy derékszögű háromszög két oldalának ismeretében megtalálhatja a harmadikat. Ez azt jelenti, hogy a szögeknek megvan a saját arányuk, és az oldalaknak megvan a sajátjuk. De mit kell tennie, ha egy derékszögű háromszögben ismeri az egyik szöget (kivéve a derékszöget) és az egyik oldalt, de meg kell találnia a többi oldalt?

Ezzel találkoztak az emberek a múltban, amikor térképeket készítettek a területről és a csillagos égboltról. Végül is nem mindig lehet közvetlenül megmérni a háromszög minden oldalát.

Szinusz, koszinusz és érintő – más néven trigonometrikus szögfüggvények- közötti kapcsolatokat adni a felekÉs sarkok háromszög. A szög ismeretében speciális táblázatok segítségével megtalálhatja az összes trigonometrikus függvényét. És a háromszög és az egyik oldal szögeinek szinuszainak, koszinuszainak és érintőinek ismeretében megtalálhatja a többit.

Rajzolunk egy táblázatot is a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeiről a „jó” szögekhez tól-ig.

Kérjük, vegye figyelembe a két piros kötőjelet a táblázatban. Megfelelő szögértékeknél az érintő és a kotangens nem létezik.

Nézzünk meg néhány trigonometriai problémát a FIPI Feladatbankból.

1. Egy háromszögben a szög , . Megtalálja .

A probléma négy másodperc alatt megoldódik.

Mert a , .

2. Egy háromszögben a szög , , . Megtalálja .

Keressük meg a Pitagorasz-tétel segítségével.

A probléma megoldódott.

A problémákban gyakran vannak háromszögek szögekkel és vagy szögekkel és. Emlékezz fejből az alapvető arányokra!

Egy olyan háromszögnél, amelynek szögei és az at szöggel ellentétes szár egyenlő a hypotenus fele.

Egy háromszög szögekkel és egyenlő szárú. Ebben a hypotenusa szor nagyobb, mint a láb.

Megvizsgáltuk a derékszögű háromszögek megoldásának problémáit – vagyis az ismeretlen oldalak vagy szögek megtalálását. De ez még nem minden! BAN BEN Egységes államvizsga lehetőségek a matematikában sok olyan probléma van, ahol megjelenik egy háromszög külső szögének szinusza, koszinusza, érintője vagy kotangense. Erről bővebben a következő cikkben.

A matematika egyik olyan területe, amellyel a diákok a legtöbbet küzdenek, a trigonometria. Nem meglepő: ahhoz, hogy szabadon elsajátíthasd ezt a tudásterületet, szükséged van térbeli gondolkodásra, arra, hogy képletekkel szinuszokat, koszinuszokat, érintőket, kotangenseket találj, a kifejezéseket leegyszerűsítsd, és a pi számot használd. számításokat. Ezen túlmenően a tételek bizonyításakor tudnia kell trigonometriát használni, ehhez pedig vagy fejlett matematikai memóriára, vagy összetett logikai láncok levezetésének képességére van szükség.

A trigonometria eredete

Ennek a tudománynak a megismerését a szinusz, a koszinusz és a szög tangensének meghatározásával kell kezdeni, de először meg kell értenie, mit csinál a trigonometria általában.

Történelmileg a matematikai tudomány ezen ágának fő vizsgálati tárgya a derékszögű háromszög volt. A 90 fokos szög jelenléte lehetővé teszi különféle műveletek végrehajtását, amelyek lehetővé teszik a kérdéses ábra összes paraméterének értékének meghatározását két oldal és egy szög vagy két szög és egy oldal használatával. A múltban az emberek észrevették ezt a mintát, és aktívan kezdték használni az épületek építésében, a navigációban, a csillagászatban és még a művészetben is.

Első fázis

Kezdetben az emberek a szögek és az oldalak kapcsolatáról beszéltek kizárólag a derékszögű háromszögek példáján. Aztán kinyitottak speciális képletek, amely lehetővé tette a felhasználási határok kiterjesztését ben Mindennapi élet a matematikának ez az ága.

A trigonometria tanulmányozása az iskolában ma derékszögű háromszögekkel kezdődik, ami után a tanulók a megszerzett ismereteket a fizikában és absztrakt feladatok megoldásában hasznosítják. trigonometrikus egyenletek, amivel a munka a középiskolában kezdődik.

Szférikus trigonometria

Később, amikor a tudomány a fejlődés következő szintjére ért, a szinuszos, koszinuszos, érintős és kotangenses képleteket elkezdték használni a gömbgeometriában, ahol más szabályok érvényesek, és a háromszög szögeinek összege mindig több, mint 180 fok. Ezt a részt nem tanulmányozzák az iskolában, de tudni kell a létezéséről, legalábbis azért, mert a Föld felszíne és minden más bolygó felszíne domború, ami azt jelenti, hogy minden felületi jelölés „ív alakú” lesz. háromdimenziós tér.

Vegyük a földgömböt és a fonalat. Rögzítse a szálat a földgömb bármely két pontjához úgy, hogy az megfeszüljön. Figyelem: ív alakot öltött. Ilyen formákkal foglalkozik a gömbgeometria, amelyet a geodézia, csillagászat és más elméleti és alkalmazott területeken használnak.

Derékszögű háromszög

Miután egy kicsit elsajátítottuk a trigonometria használatának módjait, térjünk vissza az alapvető trigonometriához, hogy jobban megértsük, mi a szinusz, koszinusz, érintő, milyen számításokat lehet elvégezni a segítségükkel és milyen képleteket kell használni.

Az első lépés a derékszögű háromszöggel kapcsolatos fogalmak megértése. Először is, a hipotenusz a 90 fokos szöggel ellentétes oldal. Ez a leghosszabb. Emlékezzünk rá, hogy a Pitagorasz-tétel szerint a számértéke megegyezik a másik két oldal négyzetösszegének gyökével.

Például, ha a két oldal 3, illetve 4 centiméter, akkor a hipotenusz hossza 5 centiméter lesz. Egyébként az ókori egyiptomiak körülbelül négy és fél ezer évvel ezelőtt tudtak erről.

A két fennmaradó oldalt, amelyek derékszöget alkotnak, lábaknak nevezzük. Ezenkívül emlékeznünk kell arra, hogy egy téglalap alakú koordináta-rendszerben a háromszög szögeinek összege 180 fokkal egyenlő.

Meghatározás

Végül a geometriai alap szilárd ismeretében fordulhatunk a szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározásához.

A szög szinusza az ellenkező oldal (azaz a szemközti oldal) aránya kívánt szög) a hypotenusához. A szög koszinusza a szomszédos oldal és a hipotenusz aránya.

Ne feledje, hogy sem a szinusz, sem a koszinusz nem lehet nagyobb egynél! Miért? Mivel alapértelmezés szerint a befogó a leghosszabb, nem számít, milyen hosszú a láb, rövidebb lesz, mint a befogó, ami azt jelenti, hogy arányuk mindig kisebb lesz, mint egy. Így, ha egy feladatra adott válaszában 1-nél nagyobb értékű szinust vagy koszinust kap, keressen hibát a számításokban vagy az érvelésben. Ez a válasz egyértelműen helytelen.

Végül egy szög érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya. A szinusz elosztása a koszinusszal ugyanazt az eredményt kapja. Nézd: a képlet szerint az oldal hosszát elosztjuk a befogóval, majd elosztjuk a második oldal hosszával, és megszorozzuk a befogóval. Így ugyanazt az összefüggést kapjuk, mint az érintő definíciójában.

Ennek megfelelően a kotangens a sarokkal szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha elosztjuk az egyiket az érintővel.

Tehát megvizsgáltuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit, és áttérhetünk a képletekre.

A legegyszerűbb képletek

A trigonometriában nem nélkülözheti a képleteket - hogyan lehet nélkülük szinust, koszinust, érintőt, kotangenst találni? De pontosan erre van szükség a problémák megoldásához.

Az első képlet, amelyet tudnia kell a trigonometria tanulmányozásának megkezdésekor, azt mondja, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzeteinek összege eggyel egyenlő. Ez a képlet a Pitagorasz-tétel egyenes következménye, de időt takarít meg, ha a szög méretét kell ismerni, nem pedig az oldalt.

Sok diák nem emlékszik a második képletre, amely szintén nagyon népszerű iskolai feladatok megoldása során: az egy és a szög érintőjének négyzete egyenlő a szög koszinuszának négyzetével osztva. Nézze meg közelebbről: ez ugyanaz az állítás, mint az első képletben, csak az azonosság mindkét oldalát elosztottuk a koszinusz négyzetével. Kiderült, hogy egy egyszerű matematikai művelet teljesen felismerhetetlenné teszi a trigonometrikus képletet. Ne feledje: tudva, hogy mi a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens, a transzformációs szabályok és számos alapvető képlet, bármikor önállóan származtathatja a szükséges többet összetett képletek egy darab papírra.

Képletek kettős szögekhez és argumentumok összeadásához

Két további képlet, amelyet meg kell tanulnia, a szinusz és a koszinusz értékéhez kapcsolódik a szögek összegéhez és különbségéhez. Ezeket az alábbi ábra mutatja be. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első esetben a szinusz és a koszinusz mindkét alkalommal megszorozódik, a második esetben pedig a szinusz és a koszinusz páros szorzata adódik össze.

A kettős szög argumentumokhoz képletek is kapcsolódnak. Teljesen az előzőekből származnak - gyakorlatként próbálja meg saját maga megszerezni őket úgy, hogy az alfa szöget egyenlő a béta szöggel.

Végül vegye figyelembe, hogy a dupla szög képletek átrendezhetők a szinusz, koszinusz, érintő alfa hatványának csökkentése érdekében.

Tételek

Az alapvető trigonometria két fő tétele a szinusztétel és a koszinusztétel. Ezeknek a tételeknek a segítségével könnyen megértheti, hogyan kell megtalálni a szinusz, a koszinusz és az érintő, tehát az ábra területét, az egyes oldalak méretét stb.

A szinusztétel kimondja, hogy ha a háromszög mindkét oldalának hosszát elosztjuk az ellentétes szöggel, azt kapjuk ugyanaz a szám. Ezenkívül ez a szám egyenlő lesz a körülírt kör két sugarával, vagyis azzal a körrel, amely egy adott háromszög összes pontját tartalmazza.

A koszinusztétel általánosítja a Pitagorasz-tételt, bármely háromszögre vetítve. Kiderül, hogy a két oldal négyzeteinek összegéből vonjuk ki a szorzatukat a szomszédos szög kettős koszinuszával szorozva - a kapott érték egyenlő lesz a harmadik oldal négyzetével. Így a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esetének bizonyul.

Gondatlan hibák

Még annak tudatában is, hogy mi a szinusz, koszinusz és tangens, könnyen tévedhetünk a figyelmetlenség vagy a legegyszerűbb számítások hibája miatt. Az ilyen hibák elkerülése érdekében nézzük meg a legnépszerűbbeket.

Először is, ne konvertálja a törteket tizedesjegyekké, amíg meg nem kapja a végeredményt - a választ hagyhatja közönséges tört, hacsak a feltételek másként nem rendelkeznek. Az ilyen átalakulást nem lehet hibának nevezni, de emlékezni kell arra, hogy a probléma minden szakaszában új gyökerek jelenhetnek meg, amelyeket a szerző elképzelése szerint csökkenteni kell. Ebben az esetben felesleges matematikai műveletekre pazarolja az idejét. Ez különösen igaz az olyan értékekre, mint a három vagy a kettő gyökere, mivel ezek minden lépésnél megtalálhatók a problémákban. Ugyanez vonatkozik a „csúnya” számok kerekítésére is.

Figyeljük meg továbbá, hogy a koszinusztétel bármely háromszögre vonatkozik, a Pitagorasz-tételre azonban nem! Ha tévedésből elfelejti kivonni az oldalak szorzatának kétszeresét a köztük lévő szög koszinuszával, akkor nemcsak teljesen rossz eredményt kap, hanem a tárgy megértésének teljes hiányát is mutatja. Ez rosszabb, mint egy gondatlan tévedés.

Harmadszor, ne keverje össze a 30 és 60 fokos szögek értékeit szinuszokhoz, koszinuszokhoz, érintőkhöz, kotangensekhez. Ne felejtse el ezeket az értékeket, mert a 30 fok szinusza egyenlő a 60 koszinuszával, és fordítva. Könnyű összetéveszteni őket, aminek következtében elkerülhetetlenül hibás eredményt kap.

Alkalmazás

Sok diák nem siet a trigonometria tanulmányozásával, mert nem érti a gyakorlati jelentését. Mit jelent a szinusz, koszinusz, tangens egy mérnök vagy csillagász számára? Ezek olyan fogalmak, amelyek segítségével kiszámíthatja a távoli csillagok távolságát, megjósolhatja a meteorit esését, vagy kutatószondát küldhet egy másik bolygóra. Ezek nélkül lehetetlen épületet építeni, autót tervezni, kiszámítani a felület terhelését vagy egy tárgy pályáját. És ezek csak a legszembetűnőbb példák! Végül is a trigonometriát ilyen vagy olyan formában mindenhol használják, a zenétől az orvostudományig.

Végül

Tehát szinusz, koszinusz, érintő. Használhatja őket számítások során, és sikeresen megoldhatja az iskolai feladatokat.

A trigonometria lényege abban rejlik, hogy egy háromszög ismert paramétereinek felhasználásával ki kell számítani az ismeretleneket. Összesen hat paraméter van: három oldal hossza és három szög mérete. Az egyetlen különbség a feladatok között abban rejlik, hogy különböző bemeneti adatokat adunk meg.

Most már tudja, hogyan kell szinust, koszinust, érintőt találni a lábak vagy a hipotenusz ismert hossza alapján. Mivel ezek a kifejezések nem jelentenek mást, mint egy arányt, az arány pedig tört, a trigonometriai feladat fő célja egy közönséges egyenlet vagy egyenletrendszer gyökereinek megtalálása. És itt a rendszeres iskolai matematika segít.

– biztosan lesznek feladatok a trigonometriával kapcsolatban. A trigonometriát gyakran nem szeretik, mert rengeteg bonyolult képletet kell összezsúfolni, amelyek tele vannak szinuszokkal, koszinuszokkal, érintőkkel és kotangensekkel. Az oldal már egyszer tanácsokat adott egy elfelejtett képlet megjegyezéséhez, az Euler és Peel képlet példáján.

És ebben a cikkben megpróbáljuk megmutatni, hogy elegendő csak öt legegyszerűbbet szilárdan ismerni trigonometrikus képletek, a többiről pedig megvan alapgondolatés hozd ki őket menet közben. Ez olyan, mint a DNS-nél: a molekula nem tárolja a kész élőlény teljes tervrajzát. Inkább utasításokat tartalmaz a rendelkezésre álló aminosavakból történő összeállításhoz. Tehát a trigonometriában, ismerve néhányat Általános elvek, az összes szükséges képletet megkapjuk azok egy kis halmazából, amelyeket szem előtt kell tartani.

A következő képletekre fogunk támaszkodni:

A szinusz- és koszinuszösszegek képleteiből a koszinuszfüggvény paritásának és a szinuszfüggvény páratlanságának ismeretében, b helyett -b-vel helyettesítve a különbségek képleteit kapjuk:

1. A különbség szinusza: bűn(a-b) = bűnakötözősaláta(-b)+kötözősalátaabűn(-b) = bűnakötözősalátab-kötözősalátaabűnb
2. A különbség koszinusza: kötözősaláta(a-b) = kötözősalátaakötözősaláta(-b)-bűnabűn(-b) = kötözősalátaakötözősalátab+bűnabűnb

Ha a = b-t ugyanabba a képletbe tesszük, megkapjuk a kettős szögek szinuszának és koszinuszának képleteit:

1. Kettős szög szinusza: bűn2a = bűn(a+a) = bűnakötözősalátaa+kötözősalátaabűna = 2bűnakötözősalátaa
2. Kettős szög koszinusza: kötözősaláta2a = kötözősaláta(a+a) = kötözősalátaakötözősalátaa-bűnabűna = kötözősaláta2 a-bűn2 a

A többi több szög képletét hasonló módon kapjuk meg:

1. Háromszög szinusza: bűn3a = bűn(2a+a) = bűn2akötözősalátaa+kötözősaláta2abűna = (2bűnakötözősalátaa)kötözősalátaa+(kötözősaláta2 a-bűn2 a)bűna = 2bűnakötözősaláta2 a+bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűna(1-bűn2 a)-bűn 3 a = 3 bűna-4bűn 3a
2. Háromszög koszinusza: kötözősaláta3a = kötözősaláta(2a+a) = kötözősaláta2akötözősalátaa-bűn2abűna = (kötözősaláta2 a-bűn2 a)kötözősalátaa-(2bűnakötözősalátaa)bűna = kötözősaláta 3 a- bűn2 akötözősalátaa-2bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3 bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3(1- kötözősaláta2 a)kötözősalátaa = 4kötözősaláta 3 a-3 kötözősalátaa

Mielőtt továbblépnénk, nézzünk meg egy problémát.
Adott: a szög hegyes.
Keresse meg a koszinuszát, ha
Egy diák által adott megoldás:
Mert , Azt bűna= 3,a kötözősalátaa = 4.
(Matek humorból)

Tehát az érintő definíciója ezt a függvényt a szinuszhoz és a koszinuszhoz is kapcsolja. De kaphat olyan képletet, amely az érintőt csak a koszinuszhoz viszonyítja. Ennek levezetéséhez a fő trigonometrikus azonosságot vesszük: bűn 2 a+kötözősaláta 2 a= 1 és oszd el vele kötözősaláta 2 a. Kapunk:

Tehát a probléma megoldása a következő lenne:

(Mivel a szög hegyes, a gyökér kiemelésekor a + jelet veszik)

Az összeg tangensének képlete egy másik, amelyet nehéz megjegyezni. Adjuk ki a következőképpen:

Azonnal megjelenik és

A kettős szög koszinusz képletéből megkaphatja a félszögek szinusz és koszinusz képletét. Ehhez a dupla szög koszinusz képlet bal oldalán:
kötözősaláta2 a = kötözősaláta 2 a-bűn 2 a
hozzáadunk egyet, és jobbra - egy trigonometrikus egységet, azaz. a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege.
kötözősaláta2a+1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a+kötözősaláta2 a+bűn2 a
2kötözősaláta 2 a = kötözősaláta2 a+1
Kifejezése kötözősalátaa keresztül kötözősaláta2 aés a változók megváltoztatását végrehajtva a következőt kapjuk:

A jelet a kvadránstól függően veszik.

Hasonlóképpen, ha az egyenlőség bal oldaláról levonunk egyet, a jobb oldalról pedig a szinusz és a koszinusz négyzetösszegét, a következőt kapjuk:
kötözősaláta2a-1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a-kötözősaláta2 a-bűn2 a
2bűn 2 a = 1-kötözősaláta2 a

És végül, hogy a trigonometrikus függvények összegét szorzattá konvertáljuk, a következő technikát használjuk. Tegyük fel, hogy a szinuszok összegét szorzatként kell ábrázolnunk bűna+bűnb. Vezessünk be x és y változókat úgy, hogy a = x+y, b+x-y. Akkor
bűna+bűnb = bűn(x+y)+ bűn(x-y) = bűn x kötözősaláta y+ kötözősaláta x bűn y+ bűn x kötözősaláta y- kötözősaláta x bűn y=2 bűn x kötözősaláta y. Most fejezzük ki x-et és y-t a-val és b-vel.

Mivel a = x+y, b = x-y, akkor . Ezért

Azonnal visszavonhatod

1. Képlet a particionáláshoz szinusz és koszinusz szorzatai V összeg: bűnakötözősalátab = 0.5(bűn(a+b)+bűn(a-b))

Javasoljuk, hogy önállóan gyakoroljon és származtasson képleteket a szinuszok különbségének és a koszinuszok összegének és különbségének szorzattá konvertálására, valamint a szinuszok és koszinuszok szorzatainak összegre való felosztására. A gyakorlatok elvégzése után alaposan elsajátítja a trigonometrikus képletek levezetésének készségét, és még a legnehezebb teszten, olimpián vagy teszten sem fog eltévedni.

A trigonometria a matematikai tudomány egyik ága, amely a trigonometrikus függvényeket és azok geometriában való felhasználását vizsgálja. A trigonometria fejlődése az ókori Görögországban kezdődött. A középkor során a Közel-Kelet és India tudósai jelentősen hozzájárultak e tudomány fejlődéséhez.

Ez a cikk annak szentelt alapfogalmakés a trigonometria definíciói. Az alapvető trigonometrikus függvények definícióit tárgyalja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Jelentésüket a geometria kontextusában magyarázzuk és szemléltetjük.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kezdetben a trigonometrikus függvények definícióit, amelyek argumentuma egy szög, egy derékszögű háromszög oldalainak arányában fejezték ki.

A trigonometrikus függvények definíciói

Egy szög szinusza (sin α) az ezzel a szöggel ellentétes szár és a hipotenusz aránya.

A szög koszinusza (cos α) - a szomszédos láb és a hypotenus aránya.

Szög érintő (t g α) - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Szög kotangens (c t g α) - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

Ezek a definíciók a derékszögű háromszög hegyesszögére vonatkoznak!

Adjunk egy illusztrációt.

BAN BEN ABC háromszög C derékszög esetén az A szög szinusza egyenlő a BC láb és az AB hipotenusz arányával.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói lehetővé teszik ezen függvények értékeinek kiszámítását a háromszög oldalainak ismert hosszából.

Fontos emlékezni!

A szinusz és koszinusz értéktartománya -1 és 1 között van. Más szóval a szinusz és a koszinusz értéke -1 és 1 között van. Az érintő és a kotangens értéktartománya a teljes számegyenes, vagyis ezek a függvények bármilyen értéket felvehetnek.

A fent megadott definíciók hegyesszögekre vonatkoznak. A trigonometriában bevezetik az elforgatási szög fogalmát, amelynek értéke a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozódik 0 és 90 fok között. .

Ebben az összefüggésben definiálhatunk tetszőleges nagyságú szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Képzeljünk el egy egységkört, amelynek középpontja a derékszögű koordinátarendszer origójában van.

Az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A kezdőpont az egységkör középpontja körül egy bizonyos α szögben elfordul, és az A 1 pontba kerül. A definíciót az A 1 (x, y) pont koordinátáiban adjuk meg.

A forgási szög szinusza (sin).

Az α elforgatási szög szinusza az A 1 (x, y) pont ordinátája. sin α = y

Az elforgatási szög koszinusza (cos).

Az α elforgatási szög koszinusza az A 1 (x, y) pont abszcissza. cos α = x

Az elforgatási szög érintője (tg).

Az α forgásszög érintője az A 1 (x, y) pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya. t g α = y x

Az elforgatási szög kotangense (ctg).

Az α elforgatási szög kotangense az A 1 (x, y) pont abszcisszájának az ordinátájához viszonyított aránya. c t g α = x y

A szinusz és a koszinusz bármely elforgatási szöghez definiálva van. Ez logikus, mert egy pont abszcissza és ordinátája elforgatás után tetszőleges szögben meghatározható. Más a helyzet az érintővel és a kotangenssel. Az érintő definiálatlan, ha egy pont az elforgatás után egy nulla abszcissza (0, 1) és (0, - 1) pontba kerül. Ilyen esetekben a t g α = y x érintő kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Hasonló a helyzet a kotangenssel is. A különbség az, hogy a kotangens nincs meghatározva olyan esetekben, amikor egy pont ordinátája nullára megy.

Fontos emlékezni!

A szinusz és a koszinusz minden α szögre definiálva van.

Az érintő minden szögre definiálva van, kivéve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A kotangens minden szögre definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Amikor döntenek gyakorlati példák ne mondd, hogy "az α forgásszög szinusza". A „forgásszög” szavakat egyszerűen kihagytuk, ami arra utal, hogy a szövegkörnyezetből már világos, hogy miről van szó.

Számok

Mi a helyzet egy szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásával, és nem a forgásszögével?

Egy szám szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy olyan szám, amely egyenlő a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens in t radián.

Például a 10 π szám szinusza egyenlő a szinuszával 10 π rad forgásszög.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Nézzük meg közelebbről.

Bárki valós szám t az egységkör egy pontja a derékszögű derékszögű koordinátarendszer origójának középpontjához kapcsolódik. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül határozható meg.

A kör kezdőpontja az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A pont.

Pozitív szám t

Negatív szám t megfelel annak a pontnak, ahová a kiindulási pont megy, ha a kört az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, és áthalad a t úton.

Most, hogy létrejött a kapcsolat egy szám és egy kör pontja között, továbblépünk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójára.

Sine (sin) a t

Egy szám szinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája t. sin t = y

t koszinusza (cos).

Egy szám koszinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszán t. cos t = x

t érintője (tg).

Egy szám érintője t- a számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájának és abszcisszájának aránya t. t g t = y x = sin t cos t

A legújabb meghatározások összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással, és nem mondanak ellent annak. Mutasson a számnak megfelelő körön t, egybeesik azzal a ponttal, ahová a kiindulási pont egy szögnyi elfordulás után megy t radián.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az α szög minden értéke ennek a szögnek a szinuszának és koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg. Csakúgy, mint minden α szög, kivéve α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) egy bizonyos érintőértéknek felel meg. A kotangens a fentiek szerint minden α-ra definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Azt mondhatjuk, hogy sin α, cos α, t g α, c t g α az alfa szög függvényei, vagy a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk szinuszról, koszinuszról, érintőről és kotangensről, mint egy numerikus argumentum függvényéről. Minden valós szám t egy szám szinuszának vagy koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg t. A π 2 + π · k, k ∈ Z kivételével minden szám érintőértéknek felel meg. A kotangens ehhez hasonlóan minden számra definiálva van, kivéve π · k, k ∈ Z.

A trigonometria alapfunkciói

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens az alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy melyik érv trigonometrikus függvény(szög argumentum vagy numerikus argumentum) van dolgunk.

Térjünk vissza a legelején megadott definíciókhoz és az alfa szöghez, amely 0 és 90 fok között van. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus meghatározásai teljes mértékben összhangban vannak a derékszögű háromszög oldalarányai által adott geometriai definíciókkal. Mutassuk meg.

Vegyünk egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy középpontos egységkört. Forgassuk el az A kezdőpontot (1, 0) legfeljebb 90 fokos szöggel, és rajzoljunk merőlegest az abszcissza tengelyére a kapott A 1 (x, y) pontból. A kapott derékszögű háromszögben az A 1 O H szög szöggel egyenlőα fordulat, az O H láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont abszcisszájával. A szöggel szemközti láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont ordinátájával, a befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara.

A geometriai definíció szerint az α szög szinusza egyenlő a szemközti oldal és a hipotenuzus arányával.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának a képarányon keresztül történő meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ahol az alfa 0 és 90 fok közötti tartományban van.

Hasonlóképpen kimutatható a definíciók megfelelése a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt