A két sík közötti szög fogalma. Kétszögű szög. A teljes illusztrált útmutató (2019)

A két különböző sík közötti szög nagysága a síkok bármely relatív helyzetéhez meghatározható.

Triviális eset, ha a síkok párhuzamosak. Ekkor a köztük lévő szöget nullával egyenlőnek tekintjük.

Nem triviális eset, ha a síkok metszik egymást. Ez az eset további vita tárgyát képezi. Először is szükségünk van a diéderszög fogalmára.

9.1 Kétszögű szög

A diéderszög két félsík, amelyeknek közös egyenes vonala van (ezt a kétszög élének nevezzük). ábrán. Az 50. ábra félsíkok által alkotott kétszöget és; ennek a kétszögnek a széle az a egyenes, amely közös ezekben a félsíkban.

Rizs. 50. Kétszögű

A diéderszög fokban vagy radiánban mérhető egy szóban, adja meg a diéderszög szögértékét. Ez a következőképpen történik.

A és a félsíkok által alkotott diéderszög élére felveszünk egy tetszőleges M pontot. Rajzoljunk MA és MB sugarakat, amelyek ezekben a félsíkban helyezkednek el és merőlegesek az élre (51. ábra).

Rizs. 51. Lineáris diéderszög

Az eredményül kapott AMB szög a diéderszög lineáris szöge. A " = \AMB szög pontosan a diéderszögünk szögértéke.

Meghatározás. A diéderszög szögnagysága egy adott diéderszög lineáris szögének nagysága.

A kétszög minden lineáris szöge egyenlő egymással (végül is párhuzamos eltolással kapjuk meg egymást). Ezért ezt a meghatározást helyes: a "nem függ konkrét választás kétszög élén M pont.

9.2 A síkok közötti szög meghatározása

Ha két sík metszi egymást, négy kétszöget kapunk. Ha mindegyik azonos méretű (egyenként 90), akkor a síkokat merőlegesnek nevezzük; A síkok közötti szög ekkor 90°.

Ha nem minden kétszög egyforma (vagyis két hegyes és két tompaszög van), akkor a síkok közötti szög a hegyes kétszög értéke (52. ábra).

Rizs. 52. Síkok közötti szög

9.3 Példák problémamegoldásra

Nézzünk három problémát. Az első egyszerű, a második és a harmadik megközelítőleg a C2 szintű matematika egységes államvizsga.

1. feladat Határozza meg a szabályos tetraéder két lapja közötti szöget!

Megoldás. Legyen ABCD szabályos tetraéder. Rajzoljuk le a megfelelő lapok AM és DM mediánját, valamint a DH tetraéder magasságát (53. ábra).

Rizs. 53. Az 1. feladathoz

Mivel mediánok, AM és DM egyben egyenlő oldalú magasságok is ABC háromszögekés a DBC. Ezért az " = \AMD szög az ABC és DBC lapok által alkotott diéderszög lineáris szöge. A DHM háromszögből megtaláljuk:

Válasz: arccos 1 3 .

2. feladat Egy szabályos négyszög alakú SABCD piramisban (S csúcsú) az oldalél egyenlő az alap oldalával. A K pont az SA él közepe. Keresse meg a síkok közötti szöget

Megoldás. A BC egyenes párhuzamos az AD-vel, így párhuzamos az ADS síkkal. Ezért a KBC sík metszi az ADS síkot a BC-vel párhuzamos KL egyenes mentén (54. ábra).

Rizs. 54. A 2. feladathoz

Ebben az esetben a KL párhuzamos lesz az AD egyenessel; ezért KL középső vonal ADS háromszög, és az L pont a DS felezőpontja.

Határozzuk meg a piramis magasságát SO. Legyen N a DO közepe. Ekkor LN a DOS háromszög középvonala, tehát LN k SO. Ez azt jelenti, hogy LN merőleges az ABC síkra.

Az N pontból leeresztjük az NM merőlegest a BC egyenesre. Az NM egyenes a ferde LM vetülete lesz az ABC síkra. A három merőleges tételből tehát az következik, hogy LM is merőleges BC-re.

Így az " = \LMN szög a KBC és ABC félsíkok által alkotott diéderszög lineáris szöge. Ezt a szöget a következőből fogjuk keresni. derékszögű háromszög LMN.

Legyen a gúla éle egyenlő a-val. Először keressük meg a piramis magasságát:

Megoldás. Legyen L az A1 K és AB egyenesek metszéspontja. Ekkor az A1 KC sík metszi az ABC síkot a CL egyenes mentén (55. ábra).

A C

Rizs. 55. A 3. feladathoz

Az A1 B1 K és KBL háromszögek szára és hegyesszöge egyenlő. Ezért a többi láb egyenlő: A1 B1 = BL.

Tekintsük az ACL háromszöget. Ebben BA = BC = BL. A CBL szöge 120; ezért \BCL = 30 . Továbbá \BCA = 60 . Ezért \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Szóval, LC? AC. De az AC egyenes az A1 C egyenes vetületeként szolgál az ABC síkra. Három merőleges tétele alapján azt a következtetést vonjuk le, hogy LC ? A1 C.

Így az A1 CA szög az A1 KC és ABC félsíkok által alkotott diéderszög lineáris szöge. Ez a kívánt szög. Az egyenlő szárú derékszögű A1 AC háromszögből látjuk, hogy egyenlő 45-tel.

Munka típusa: 14
Téma: Síkok közötti szög

Feltétel

Adott egy ABCDA_1B_1C_1D_1 szabályos prizma, M és N az AB és BC él felezőpontja, a K pont pedig az MN felezőpontja.

A) Bizonyítsuk be, hogy a KD_1 és MN egyenesek merőlegesek.

b) Határozza meg az MND_1 és az ABC síkok közötti szöget AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Megoldás

A) A \triangle DCN-ben és a \triangle MAD-ben a következők vannak: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

Ezért \triangle DCN=\háromszög MAD két lábon. Akkor MD=DN, \háromszög DMN egyenlő szárú. Ez azt jelenti, hogy a DK medián egyben a magasság is. Ezért a DK \perp MN.

DD_1 \perp MND feltétel szerint, D_1K - ferde, KD - vetítés, DK \perp MN.

Ezért a tétel szerint körülbelül három merőleges MN\perp D_1K.

b) Amint az bebizonyosodott A), DK \perp MN és MN \perp D_1K, de MN az MND_1 és ABC síkok metszésvonala, ami azt jelenti, hogy \angle DKD_1 az MND_1 és ABC síkok közötti diéderszög lineáris szöge.

DAM háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\ngy 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Ezért a DKM háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Ezután a \háromszögben DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Ez azt jelenti, hogy \angle DKD_1=45^(\circ).

Válasz

45^(\circ).

Munka típusa: 14
Téma: Síkok közötti szög

Feltétel

Egy szabályos négyszögű prizmában ABCDA_1B_1C_1D_1 az alap oldalai egyenlők 4-gyel, az oldalélek pedig 6-tal. Az M pont a CC_1 él közepe, az N pont a BB_1 élen van jelölve úgy, hogy BN:NB_1=1:2.

A) Milyen arányban osztja az AMN sík a DD_1 élt?

b) Határozza meg az ABC és AMN síkok közötti szöget.

Megoldás

A) Az AMN sík a DD_1 élt a K pontban metszi, amely egy adott prizma e sík általi metszetének negyedik csúcsa. A keresztmetszet egy ANMK paralelogramma, mivel egy adott prizma szemközti lapjai párhuzamosak.

BN =\frac13BB_1=2. Rajzoljunk KL \párhuzamos CD-t, ekkor az ABN és a KLM háromszögek egyenlőek, ami azt jelenti ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. Ekkor KD_1=6-1=5. Most megtalálhatja a KD:KD_1=1:5 arányt.

b) F a CD és KM egyenesek metszéspontja. Az ABC és az AMN síkok az AF egyenes mentén metszik egymást. A szög \angle KHD =\alpha egy diéderszög lineáris szöge (HD\perp AF, majd a tétel szerint három merőleges tételével fordított, KH \perp AF), és egy KHD derékszögű háromszög hegyesszöge, láb KD=1.

Az FKD és az FMC háromszögek hasonlóak (KD \párhuzamos MC), ezért FD:FC=KD:MC, az FD:(FD+4)=1:3 arányt megoldva FD=2-t kapunk. Egy AFD derékszögű háromszögben (\angle D=90^(\circ)) 2-es és 4-es szárral kiszámítjuk a hipotenúzust AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

Egy KHD derékszögű háromszögben találjuk tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, ez a kívánt szöget jelenti \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Válasz

A) 1:5;

b) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 14
Téma: Síkok közötti szög

Feltétel

Adott egy szabályos négyszögletű KMNPQ piramis, amelynek alapoldala MNPQ egyenlő 6 és oldaléle 3\sqrt (26).

A) Szerkesszük meg a piramisnak az NF egyenesen átmenő síkját az MP átlóval párhuzamosan, ha az F pont az MK él közepe.

b) Keresse meg a metszetsík és a KMP sík közötti szöget.

Megoldás

A) Legyen KO a gúla magassága, F az MK felezőpontja; FE \parallel MP (a PKM síkban) . Mivel FE a PKM \háromszög középvonala, akkor FE=\frac(MP)2.

Szerkesszük meg a piramisnak az NF-en átmenő és MP-vel párhuzamos síkú szakaszát, vagyis az NFE síkot. L az EF és a KO metszéspontja. Mivel az L és N pont a kívánt szakaszhoz tartozik, és a KQN síkban található, ezért az LN és KQ metszéspontjaként kapott T pont egyben a kívánt szakasz és a KQ él metszéspontja is. A NETF a szükséges szakasz.

b) Az NFE és az MPK síkok az FE egyenes mentén metszik egymást. Ez azt jelenti, hogy a síkok közötti szög egyenlő az OFEN diéderszög lineáris szögével, építsük meg: LO\perpMP, MP\parallel FE, ennélfogva, LO\perpFE;\triangle NFE egyenlő szárú (NE=NF, mint a KPN és KMN egyenlő háromszögek megfelelő mediánja), NL a mediánja (EL=LF, mivel PO=OM, és \triangle KEF \sim \triangle KPM) . Ezért NL \perp FE és \angle NLO a kívánt.

BE=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\háromszög KON - téglalap alakú.

Láb KO a Pitagorasz-tétel szerint egyenlő KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\angle NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 14
Téma: Síkok közötti szög

Feltétel

Egy szabályos háromszög hasáb ABCA_(1)B_(1)C_(1) összes éle egyenlő 6-tal. Az AC és a BB_(1) élek felezőpontjain és az A_(1) csúcson keresztül vágósíkot rajzolunk.

A) Bizonyítsuk be, hogy a BC élt a C csúcsból számolva 2:1 arányban osztja a vágósíkkal.

b) Keresse meg a vágási sík és az alapsík közötti szöget!

Megoldás

A) Legyen D és E az AC és BB_(1) él felezőpontja.

Az AA_(1)C_(1) síkban egy A_(1)D egyenest húzunk, amely a CC_(1) egyenest a K pontban metszi, a BB_(1)C_(1) síkban - egy egyenest KE, amely a BC élt az F pontban metszi. Az AA_(1)B_(1) síkban fekvő A_(1) és E pontokat, valamint az ABC síkban fekvő D és F pontokat összekötve A_(1)EFD szakaszt kapunk.

\bigtriangleup AA_(1)D=\nagyháromszög CDK láb mentén AD=DC és hegyesszög.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - a függőlegesekhez hasonlóan ebből az következik, hogy AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF és \bigtriangleup BFE két szögben hasonlóak \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - mint a függőlegesek.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, vagyis a hasonlósági együttható 2, ami azt jelenti, hogy CF:FB=2:1.

b) Végezzük el az AH \perp DF-et. Szög a metszősík és az alapsík között szöggel egyenlő AHA_(1). Valójában az AH \perp DF szakasz (a DF e síkok metszésvonala) az A_(1)H szakasz vetülete az alapsíkra, ezért a három merőleges tétele szerint A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

Keressük meg AH-t. \angle ADH =\angle FDC (ugyanaz, mint a függőleges).

A koszinusz tétel alapján a \bigtriangleup DFC-ben:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Az alapvető trigonometrikus azonosság következményeként

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) . A \bigtriangleup ADH-ból megtaláljuk az AH-t:

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\angle AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Válasz

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Munka típusa: 14
Téma: Síkok közötti szög

Feltétel

Az ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) derékszögű prizma alapja egy rombusz, amelynek B tompaszöge 120^\circ. Ennek a prizmának minden éle 10. A P és K pontok a CC_(1) és CD élek felezőpontjai.

A) Bizonyítsuk be, hogy a PK és PB_(1) egyenesek merőlegesek.

b) Határozzuk meg a PKB_(1) és C_(1)B_(1)B síkok közötti szöget.

Megoldás

A) A koordináta módszert fogjuk használni. Határozzuk meg a \vec(PK) és \vec(PB_(1) vektorok skaláris szorzatát, majd ezen vektorok szögének koszinuszát. Irányítsuk az Oy tengelyt a CD, az Oz tengelyt a CC_(1), az Ox tengelyt pedig a \perp CD mentén. C az origó.

Ezután C (0; 0; 0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), vagyis B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Keressük meg a vektorok koordinátáit: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

Legyen a \vec(PK) és \vec(PB_(1)) közötti szög egyenlő \alpha-val.

Kapunk \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​ami azt jelenti, hogy \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) és a PK és PB_(1) egyenesek merőlegesek.

b) A síkok közötti szög egyenlő az ezekre a síkokra merőleges, nem nulla vektorok közötti szöggel (vagy ha a szög tompaszög, akkor a vele szomszédos szöggel). Az ilyen vektorokat síkok normáljainak nevezzük. Keressük meg őket.

Legyen \vec(n_(1))=\(x; y; z\) merőleges a PKB_(1) síkra. Keressük meg a rendszer megoldásával \begin(esetek) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(esetek)

\begin(esetek) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(esetek)

\begin(esetek) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(esetek)

\begin(esetek)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(esetek)

Vessünk y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \jobbra \).

Legyen \vec(n_(2))=\(x; y; z\) merőleges a C_(1)B_(1)B síkra. Keressük meg a rendszer megoldásával \begin(esetek) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(esetek)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(esetek) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(esetek)

\begin(esetek) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(esetek)

\begin(esetek)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(esetek)

Vessünk x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

Keressük meg a kívánt \beta szög koszinuszát (ez egyenlő a \vec(n_(1)) és \vec(n_(2)) szög koszinuszának modulusával).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Válasz

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Az ABCD egy négyzet, és az oldallapok egyenlő téglalapok.

Mivel a metszetsík az AC átlóval párhuzamosan halad át az M és D pontokon, ezért az M ponton átmenő A_(1)AC síkban való megszerkesztéséhez AC-vel párhuzamos MN szakaszt rajzolunk. Az AC \parallel (MDN) értéket az egyenes és a sík párhuzamossága alapján kapjuk.

Az MDN sík metszi az A_(1)AD és B_(1)BC párhuzamos síkokat, majd a párhuzamos síkok tulajdonságával az A_(1)ADD_(1) és B_(1)BCC_() lapok metszésvonalait 1) párhuzamosak az MDN síkkal.

Rajzoljuk az NE szakaszt párhuzamosan az MD szegmenssel.

A négyszög DMEN a szükséges szakasz.

b) Határozzuk meg a metszetsík és az alapsík közötti szöget. A metszősík metsze az alapsíkot valamely D ponton átmenő p egyenes mentén. AC \parallel MN, tehát AC \párhuzamos p (ha egy sík egy másik síkkal párhuzamos egyenesen megy át és ezt a síkot metszi, akkor a síkok metszésvonala párhuzamos ezzel az egyenessel). BD \perp AC egy négyzet átlóiként, ami azt jelenti, hogy BD \perp p. BD az ED vetülete az ABC síkra, majd három merőleges ED \perp p tétele alapján \angle EDB a metszetsík és az alapsík közötti diéderszög lineáris szöge.

Állítsa be a DMEN négyszög típusát. MD \parallel EN, hasonlóan ME \parallel DN-hez, ami azt jelenti, hogy a DMEN egy paralelogramma, és mivel MD=DN (a MAD és az NCD derékszögű háromszögek egyenlőek két lábon: AD=DC a négyzet oldalai, AM=CN mint az AC és MN párhuzamos egyenesek távolsága), ezért a DMEN rombusz. Ezért F az MN felezőpontja.

AM:MA_(1)=2:3 feltétel szerint tehát AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

Az AMNC egy téglalap, F az MN közepe, O az AC közepe. Eszközök, FO\parallel MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Tudva, hogy egy négyzet átlója az a\sqrt(2), ahol a a négyzet oldala, azt kapjuk BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

Egy derékszögű háromszögben FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Ezért \angle FDO=60^\circ.

A síkok közötti szög mértéke a éles sarok, amelyet ezekben a síkokban elhelyezkedő és a metszéspontjuk egyenesére merőlegesen húzott két egyenes alkot.

Építési algoritmus

1. Egy tetszőleges K pontból merőlegeseket húzunk minden adott síkra.
2. A szintvonal körüli elforgatással meghatározzuk a K pontban lévő csúcsgal bezárt γ° szöget.
3. Számítsa ki a ϕ° = 180 – γ° síkok közötti szöget, feltéve, hogy γ° > 90°. Ha γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Az ábra azt az esetet mutatja, amikor az α és β síkokat nyomokkal adjuk meg. Minden szükséges építményeket algoritmus szerint hajtjuk végre, és az alábbiakban ismertetjük.

Megoldás

1. A rajzon egy tetszőleges helyen jelöljük ki a K pontot. Ebből eresztjük le az m és n merőlegeseket az α és β síkra. Az m és n vetületek iránya a következő: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. Meghatározzuk a tényleges méretet ∠γ° az m és n vonalak között. Ehhez a frontális f körül elforgatjuk a K csúcsú szög síkját a vetítés frontális síkjával párhuzamos helyzetbe. A K pont R forgási sugara egyenlő az értékkel egy O""K""K 0 derékszögű háromszög befogója, melynek oldala K""K 0 = y K – y O.
3. A kívánt szög ϕ° = ∠γ°, mivel ∠γ° hegyesszög.

Az alábbi ábra egy olyan feladat megoldását mutatja, amelyben meg kell találni az α és β síkok közötti γ° szöget, amelyet párhuzamos, illetve egymást metsző egyenesek adnak meg.

Megoldás

1. Meghatározzuk az α és β síkhoz tartozó h 1, h 2 vízszintesek, valamint az f 1, f 2 frontok vetületeinek irányát, a nyilak által jelzett sorrendben. A négyzet tetszőleges K pontjából. α és β esetén az e és k merőlegeseket elhagyjuk. Ebben az esetben e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 és k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. Az e és k egyenesek között ∠γ°-ot határozunk meg. Ehhez húzzunk egy h 3 vízszintes vonalat, és körülötte elforgatjuk a K pontot a K 1 pozícióba, ahol a △CKD párhuzamos lesz a vízszintes síkkal és természetes méretben tükröződik rajta - △C"K" 1 D ". Az O" forgásközéppont vetülete a K"O-ra merőlegesen h" 3-ra húzott helyen található. Az R sugarat az O"K"K 0 derékszögű háromszögből határozzuk meg, amelynek oldala K"K 0 = Z O – Z K.
3. A kívánt érték értéke ∠ϕ° = ∠γ°, mivel a γ° szög hegyesszögű.

A cikk a síkok közötti szög megállapításáról szól. A definíció megadása után adjunk egy grafikus illusztrációt és mérlegeljük részletes módszer koordináta módszerrel történő megtalálás. A metsző síkok képletét kapjuk, amely tartalmazza a normálvektorok koordinátáit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az anyag olyan adatokat és fogalmakat fog használni, amelyeket korábban a tér síkjáról és vonaláról szóló cikkekben tanulmányoztak. Először is át kell térnünk az érvelésre, amely lehetővé teszi számunkra, hogy bizonyos megközelítést alkalmazzunk a két egymást metsző sík közötti szög meghatározásához.

Két egymást metsző γ 1 és γ 2 sík adott. A kereszteződésük a c jelölést kapja. A χ sík felépítése ezen síkok metszéspontjához kapcsolódik. A χ sík c egyenesként halad át az M ponton. A γ 1 és γ 2 síkok metszéspontja a χ sík segítségével történik. A γ 1-et és χ-t metsző egyenest a egyenesnek, a γ 2-t és χ-t metsző egyenest b egyenesnek vesszük. Azt találjuk, hogy az a és b egyenesek metszéspontja adja az M pontot.

Az M pont elhelyezkedése nem befolyásolja az a és b metszésvonalak közötti szöget, az M pont pedig azon a c egyenesen található, amelyen a χ sík áthalad.

A c egyenesre merőleges és a χ síktól eltérő χ 1 síkot kell megszerkeszteni. A γ 1 és γ 2 síkok metszéspontja χ 1 segítségével az a 1 és a b 1 egyenesek jelölését veszi fel.

Látható, hogy χ és χ 1 megszerkesztésénél az a és b egyenesek merőlegesek a c egyenesre, majd a 1, b 1 a c egyenesre merőlegesek. Ha a γ 1 síkban c egyenesre merőleges a és a 1 egyeneseket találunk, akkor párhuzamosnak tekinthetők. Ugyanígy b és b 1 helyzete a γ 2 síkban a c egyenesre merőlegesen jelzi párhuzamosságukat. Ez azt jelenti, hogy a χ 1 síkot párhuzamosan kell átvinni χ-ba, ahol két egybeeső a és a 1, b és b 1 egyenest kapunk. Azt találjuk, hogy az a és b 1 metsző egyenesek közötti szög egyenlő az a és b metsző egyenesek szögével.

Nézzük az alábbi ábrát.

Ezt az állítást bizonyítja, hogy az a és b metsző egyenesek között olyan szög van, amely nem függ az M pont helyétől, vagyis a metszésponttól. Ezek a vonalak a γ 1 és γ 2 síkban helyezkednek el. Valójában a kapott szöget tekinthetjük két egymást metsző sík közötti szögnek.

Térjünk át a meglévő γ 1 és γ 2 metszősíkok közötti szög meghatározására.

1. definíció

Két egymást metsző γ 1 és γ 2 sík közötti szög az a és b egyenesek metszéspontja által alkotott szöget nevezzük, ahol a γ 1 és γ 2 síkok metszik a c egyenesre merőleges χ síkot.

Tekintsük az alábbi ábrát.

A határozat más formában is benyújtható. Amikor a γ 1 és γ 2 síkok metszik egymást, ahol c az az egyenes, amelyen metsződtek, jelöljünk ki egy M pontot, amelyen keresztül húzzuk a c egyenesre merőleges a és b egyeneseket, amelyek a γ 1 és γ 2 síkban helyezkednek el. az a és b egyenesek a síkok közötti szöget jelentik. A gyakorlatban ez a síkok közötti szög kialakítására alkalmazható.

Keresztezéskor 90 foknál kisebb szög alakul ki, azaz fokmérő szög érvényes egy ilyen típusú intervallumon (0, 90]. Ugyanakkor ezeket a síkokat merőlegesnek nevezzük, ha a metszéspontban derékszög alakul ki. párhuzamos síkok nullával egyenlőnek tekintendő.

A metsző síkok közötti szög megállapításának szokásos módja további konstrukciók végrehajtása. Ez segít a pontos meghatározásában, és ez megtehető egy háromszög egyenlőségének vagy hasonlóságának jeleivel, egy szög szinuszával és koszinuszával.

Tekintsük a problémák megoldását a C 2 blokk egyesített államvizsga-feladatainak példáján keresztül.

1. példa

Adott egy A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 téglalap alakú paralelepipedon, ahol A B oldal = 2, A D = 3, A A 1 = 7, az E pont 4:3 arányban osztja el az A A 1 oldalt. Határozzuk meg az A B C és B E D 1 síkok közötti szöget!

Megoldás

Az érthetőség kedvéért rajzot kell készíteni. Ezt értjük

Vizuális ábrázolásra van szükség, hogy kényelmesebb legyen a síkok közötti szöggel dolgozni.

Meghatározzuk azt az egyenest, amely mentén az A B C és B E D 1 síkok metszéspontja következik be. A B pont egy közös pont. Egy másik közös metszéspontot kell találni. Tekintsük a D A és D 1 E egyeneseket, amelyek ugyanabban az A D D 1 síkban helyezkednek el. Elhelyezkedésük nem párhuzamosságot jelez, ez azt jelenti, hogy van közös metszéspontjuk.

A D A egyenes azonban az A B C síkban, a D 1 E pedig a B E D 1 síkban található. Ebből azt kapjuk, hogy az egyenesek D AÉs D 1 E közös metszéspontjuk van, ami közös az A B C és a B E D 1 síkra. A vonalak metszéspontját jelzi D Aés D 1 E F betű. Ebből azt kapjuk, hogy B F az az egyenes, amely mentén A B C és B E D 1 síkok metszik egymást.

Nézzük az alábbi ábrát.

A válasz megszerzéséhez az A B C és B E D 1 síkban elhelyezkedő, a B F egyenesen elhelyezkedő és arra merőleges ponton átmenő egyeneseket kell megszerkeszteni. Ekkor az ezen egyenesek közötti szöget az A B C és B E D 1 síkok közötti kívánt szögnek tekintjük.

Ebből láthatjuk, hogy az A pont az E pont vetülete az A B C síkra. Egy egyenest kell húzni, amely a B F egyenest derékszögben metszi az M pontban. Látható, hogy az A M egyenes a vetület az E M egyenesből az A B C síkra, azokra az A M ⊥ B F merőlegesekre vonatkozó tétel alapján. Vegye figyelembe az alábbi képet.

∠ A M E az A B C és B E D 1 síkok által alkotott kívánt szög. Az eredményül kapott A E M háromszögből csak akkor találhatjuk meg a szög szinuszát, koszinuszát vagy érintőjét, majd magát a szöget is, csak ha ismerjük a két oldalát. Feltétellel azt kapjuk, hogy az A E hosszt így találjuk meg: az A A 1 egyenest E ponttal osztjuk 4:3 arányban, ami azt jelenti, hogy az egyenes teljes hossza 7 rész, ekkor A E = 4 rész. Találtunk egy M.

Egy A B F derékszögű háromszöget kell figyelembe venni. Van egy A derékszögünk, melynek magassága A M. Az A B = 2 feltételből akkor a D D 1 F és A E F háromszögek hasonlóságával megtalálhatjuk az A F hosszúságot. Azt kapjuk, hogy A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Meg kell találni az A B F háromszög B F oldalának hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével. Azt kapjuk, hogy B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Az A M oldal hossza az A B F háromszög területén keresztül található. Megvan, hogy a terület egyenlő lehet S A B C = 1 2 · A B · A F és S A B C = 1 2 · B F · A M értékkel.

Azt kapjuk, hogy A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Ekkor megtaláljuk az A E M háromszög szögének érintőjének értékét.

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Az A B C és B E D 1 síkok metszéspontjával kapott kívánt szög egyenlő a r c t g 5 -tel, majd egyszerűsítéssel a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 értéket kapjuk.

Válasz: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

A metsző vonalak közötti szög megállapításának néhány esetét a segítségével határozzuk meg Koordináta sík O x y z és a koordináta módszer. Nézzük meg közelebbről.

Ha adott egy feladat, ahol meg kell találni a γ 1 és γ 2 metszősíkok közötti szöget, akkor a kívánt szöget α-val jelöljük.

Ekkor a megadott koordinátarendszer megmutatja, hogy megvannak a γ 1 és γ 2 metszősíkok normálvektorainak koordinátái. Ekkor jelöljük, hogy n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z a γ 1 sík normálvektora, és n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - a γ 2 sík. Tekintsük ezen síkok közötti szög részletes meghatározását a vektorok koordinátái alapján.

Ki kell jelölni azt az egyenest, amely mentén a γ 1 és γ 2 síkok metszik a c betűt. A c egyenesen van egy M pont, amelyen keresztül egy c-re merőleges χ síkot rajzolunk. A χ sík az a és b egyenesek mentén az M pontban metszi a γ 1 és γ 2 síkot. a definícióból az következik, hogy a metsző γ 1 és γ 2 síkok közötti szög egyenlő az ezekhez a síkokhoz tartozó a és b metsző egyenesek szögével.

A χ síkban ábrázolunk normálvektorokat az M pontból, és jelöljük őket n 1 → és n 2 → . Az n 1 → vektor az a egyenesre merőleges egyenesen, az n 2 → vektor pedig a b egyenesre merőlegesen helyezkedik el. Innen azt kapjuk, hogy az adott χ síkon az a egyenes normálvektora n 1 →, a b egyenesre pedig n 2 →. Tekintsük az alábbi ábrát.

Innen kapunk egy képletet, amellyel a metsző egyenesek szögének szinuszát a vektorok koordinátái segítségével számíthatjuk ki. Megállapítottuk, hogy az a és b egyenesek közötti szög koszinusza megegyezik a γ 1 és γ 2 metszősíkok koszinuszával, a cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 képletből adódik. x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, ahol van, hogy n 1 → = ( n 1 x, n 1 y, n 1 z) és n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) az ábrázolt síkok vektorainak koordinátái.

A metsző vonalak közötti szöget a képlet segítségével számítjuk ki

α = a rc cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

2. példa

A feltétel szerint a paralelepipedon A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 adott , ahol A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, és az E pont osztja az A A 1 4:3 oldalt. Határozzuk meg az A B C és B E D 1 síkok közötti szöget!

Megoldás

A feltételből jól látható, hogy oldalai páronként merőlegesek. Ez azt jelenti, hogy be kell vezetni egy O x y z koordinátarendszert a C pont csúcsával és az O x, O y, O z koordinátatengelyekkel. Be kell állítani az irányt a megfelelő oldalakra. Tekintsük az alábbi ábrát.

Metsző síkok A B CÉs B E D 1 olyan szöget képez, amelyet az α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n képlettel találhatunk 2 y 2 + n 2 z 2, amelyben n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) és n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) normálvektorai ezeket a repülőket. Meg kell határozni a koordinátákat. Az ábráról látjuk, hogy az O x y koordinátatengely egybeesik az A B C síkkal, ez azt jelenti, hogy a k → normálvektor koordinátái megegyeznek az n 1 → = k → = (0, 0, 1) értékkel.

A B E D 1 sík normálvektorát a B E → és B D 1 → vektorszorzatnak vesszük, ahol ezek koordinátáit a B, E, D 1 szélső pontok koordinátái határozzák meg, amelyeket a B, E, D 1 szélső pontok koordinátái határoznak meg. probléma.

Azt kapjuk, hogy B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Mivel A E E A 1 = 4 3, az A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 pontok koordinátáiból E 2, 3, 4-et találunk. Azt találjuk, hogy B E → = (2, 0, 4), B D 1 → = 2, - 3, 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

A talált koordinátákat be kell cserélni az ív koszinuszon keresztüli szög kiszámításához szükséges képletbe. Kapunk

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

A koordináta módszer hasonló eredményt ad.

Válasz: a r c cos 6 6 .

Az utolsó feladatot azzal a céllal vizsgáljuk, hogy megtaláljuk a metsző síkok közötti szöget a síkok meglévő ismert egyenleteivel.

3. példa

Számítsa ki a szög szinuszát, koszinuszát és a két egymást metsző egyenes által alkotott szög értékét, amelyeket az O x y z koordinátarendszerben definiálunk, és a 2 x - 4 y + z + 1 = 0 és 3 y - z egyenletekkel adjuk meg. - 1 = 0.

Megoldás

Egy téma tanulmányozásakor általános egyenlet Az A x + B y + C z + D = 0 alakú egyenesből kiderült, hogy A, B, C együtthatók a normálvektor koordinátáival. Ez azt jelenti, hogy n 1 → = 2, - 4, 1 és n 2 → = 0, 3, - 1 az adott egyenesek normálvektorai.

A metsző síkok kívánt szögének kiszámításához szükséges képletbe be kell cserélni a síkok normálvektorainak koordinátáit. Akkor azt kapjuk

α = a rc cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Innen azt kapjuk, hogy a szög koszinusza cos α = 13 210 alakot ölt. Ekkor a metsző egyenesek szöge nem tompa. Behelyettesítés trigonometrikus azonosság, azt találjuk, hogy a szög szinuszának értéke egyenlő a kifejezéssel. Számoljuk ki és találjuk meg

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Válasz: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ez a cikk a síkok közötti szögről és annak megállapításáról szól. Először is megadjuk a két sík közötti szög meghatározását, és egy grafikus illusztrációt adunk. Ezt követően elemezték a két metsző sík közötti szög meghatározásának elvét a koordináta módszerrel, és olyan képletet kaptak, amely lehetővé teszi a metsző síkok közötti szög kiszámítását e síkok normálvektorainak ismert koordinátái segítségével. Befejezésül ez látható részletes megoldásokat jellemző feladatok.

Oldalnavigáció.

Síkok közötti szög - meghatározás.

Mutassunk be olyan érveket, amelyek lehetővé teszik, hogy fokozatosan megközelítsük két egymást metsző sík szögének meghatározását.

Adjunk két egymást metsző síkot és . Ezek a síkok egy egyenes mentén metszik egymást, amit c betűvel jelölünk. Szerkesszünk a c egyenes M pontján átmenő és a c egyenesre merőleges síkot. Ebben az esetben a sík metszi a síkokat és. Jelöljük azt az egyenest, amely mentén a síkok metszik a-t, és azt az egyenest, amely mentén a síkok metszik egymást b-vel. Nyilvánvalóan az a és b egyenesek az M pontban metszik egymást.

Könnyen kimutatható, hogy az a és b metsző egyenesek közötti szög nem függ attól, hogy az M pont hol helyezkedik el azon a c egyenesen, amelyen a sík áthalad.

Szerkesszünk a c egyenesre merőleges és a síktól eltérő síkot. A síkot síkok és egyenesek metszik, amelyeket rendre a 1-ként, illetve b 1-ként jelölünk.

A síkszerkesztés módszeréből következik, hogy az a és b egyenesek merőlegesek a c egyenesre, az a 1 és b 1 egyenesek pedig merőlegesek a c egyenesre. Mivel az a és a 1 egyenesek ugyanabban a síkban fekszenek, és merőlegesek a c egyenesre, ezért párhuzamosak. Hasonlóképpen a b és b 1 egyenesek ugyanabban a síkban fekszenek, és merőlegesek a c egyenesre, ezért párhuzamosak. Így lehetséges a sík párhuzamos átvitele a síkra, amelyben az a 1 egyenes egybeesik az a egyenessel, a b egyenes pedig a b 1 egyenessel. Ezért a két metsző a 1 és b 1 egyenes közötti szög egyenlő az a és b metsző egyenesek közötti szöggel.

Ez azt bizonyítja, hogy a metsző síkban fekvő a és b metsző egyenesek közötti szög nem függ attól az M ponttól, amelyen a sík áthalad. Ezért logikus ezt a szöget két egymást metsző sík közötti szögnek tekinteni.

Most hangozhatja a két egymást metsző sík közötti szög meghatározását és.

Meghatározás.

Két egyenesben metsző sík szöge és- ez a szög két egymást metsző a és b egyenes között, amelyek mentén a és síkok metszik a c egyenesre merőleges síkot.

A két sík szögének meghatározása kicsit másként is megadható. Ha azon a c egyenesen, amely mentén a síkok és metszik egymást, jelöljünk ki egy M pontot, és húzzuk át rajta a c egyenesre merőleges a és b egyeneseket, amelyek rendre a síkokban, illetve az egyenesek közötti szögben a és b az és a síkok közötti szög. A gyakorlatban általában csak ilyen konstrukciókat hajtanak végre a síkok közötti szög elérése érdekében.

Mivel a metsző egyenesek közötti szög nem haladja meg a -t, a megadott definícióból következik, hogy két egymást metsző sík közötti szög fokszámát fejezzük ki. valós szám intervallumból . Ebben az esetben a metsző síkokat nevezzük merőleges, ha a köztük lévő szög kilencven fok. A párhuzamos síkok közötti szöget vagy egyáltalán nem határozzák meg, vagy nullával egyenlőnek tekintik.

Két egymást metsző sík szögének meghatározása.

Általában két metsző sík közötti szög megállapításánál először további konstrukciókat kell végrehajtani, hogy lássuk a metsző egyeneseket, amelyek szöge megegyezik a kívánt szöggel, majd ezt a szöget az eredeti adatokkal egyenlőségi tesztek, hasonlóság segítségével össze kell kötni. tesztek, a koszinusz tétel vagy a szög szinusz, koszinusz és tangens definíciói. A geometria során Gimnázium hasonló problémák jelentkeznek.

Példaként adjuk meg a 2012-es egységes matematika államvizsga C2 feladatának megoldását (a feltételt szándékosan változtatták meg, de ez nem befolyásolja a megoldás elvét). Ebben csak meg kellett találni a szöget két egymást metsző sík között.

Példa.

Megoldás.

Először is készítsünk rajzot.

Végezzünk további konstrukciókat, hogy „lássuk” a síkok közötti szöget.

Először definiáljunk egy egyenest, amely mentén az ABC és a BED 1 síkok metszik egymást. A B pont az egyik közös pontjuk. Keressük meg e síkok második közös pontját. A DA és D 1 E egyenesek ugyanabban a ADD 1 síkban fekszenek, és nem párhuzamosak, ezért metszik egymást. Másrészt a DA egyenes az ABC síkban, a D 1 E egyenes pedig a BED 1 síkban fekszik, ezért a DA és D 1 E egyenesek metszéspontja az ABC és a BED 1 síkok közös pontja lesz. Tehát folytassuk a DA és D 1 E egyeneseket a metszéspontjukig, jelölve a metszéspontjukat az F betűvel. Ekkor BF az az egyenes, amely mentén az ABC és a BED 1 síkok metszik egymást.

Marad az ABC, illetve a BED 1 síkban fekvő két egyenes megalkotása, amelyek a BF egyenes egy pontján áthaladnak és merőlegesek a BF egyenesre - az ezen vonalak közötti szög definíció szerint egyenlő lesz a két vonal közötti kívánt szöggel. ABC és BED 1 repülőgépek. Csináljuk.

Pont A az E pont vetülete az ABC síkra. Rajzoljunk egy egyenest, amely az M pontban derékszögben metszi a BF egyenest. Ekkor az AM egyenes az EM egyenes vetülete az ABC síkra, és három merőleges tétele alapján.

Így az ABC és BED 1 síkok közötti szükséges szög egyenlő .

Ennek a szögnek a szinuszát, koszinuszát vagy érintőjét az AEM derékszögű háromszögből határozhatjuk meg, ha ismerjük a két oldalának hosszát. A feltételből könnyen megtalálhatjuk az AE hosszt: mivel az E pont A pontból számolva 4:3 arányban osztja az AA 1 oldalt, és az AA 1 oldal hossza 7, ezért AE = 4. Keressük meg az AM hosszát.

Ehhez tekintsünk egy ABF derékszögű háromszöget A derékszögű, ahol AM a magasság. AB = 2 feltétel szerint. Az AF oldal hosszát a DD 1 F és AEF derékszögű háromszögek hasonlóságából kapjuk meg:

A Pitagorasz-tétel segítségével az ABF háromszögből megtaláljuk. Az AM hosszt az ABF háromszög területén keresztül találjuk meg: az egyik oldalon az ABF háromszög területe egyenlő , a másik oldalon , ahol .

Így az AEM derékszögű háromszögből van .

Ekkor az ABC és a BED 1 síkok közötti szükséges szög egyenlő (vegye figyelembe, hogy ).

Válasz:

Bizonyos esetekben a két egymást metsző sík közötti szög meghatározásához kényelmes az Oxyz beállítása és a koordináta módszer használata. Itt álljunk meg.

Tegyük fel a feladatot: keressük meg a két egymást metsző sík szögét és . A kívánt szöget jelöljük .

Feltételezzük, hogy egy adott Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben ismerjük a metsző síkok normálvektorainak koordinátáit, és van lehetőségünk megkeresni azokat. Hadd a sík normálvektora, és a sík normálvektora. Megmutatjuk, hogyan lehet megtalálni a szöget a metsző síkok között, és e síkok normálvektorainak koordinátáin keresztül.

Jelöljük c-vel azt az egyenest, amely mentén a síkok és metszik egymást. A c egyenes M pontján keresztül a c egyenesre merőleges síkot rajzolunk. A sík metszi a síkokat, és az a és b egyenesek mentén az a és b egyenesek az M pontban metszik egymást. Definíció szerint a metsző síkok közötti szög és egyenlő az a és b metszővonalak közötti szöggel.

Ábrázoljuk a normálvektorokat és a síkokat, valamint az M pontból a síkban. Ebben az esetben a vektor egy egyenesen fekszik, amely merőleges az a egyenesre, a vektor pedig egy olyan egyenesre, amely merőleges a b egyenesre. Így a síkban a vektor az a egyenes normálvektora, a b egyenes normálvektora.

A metsző egyenesek közötti szöget kereső cikkben olyan képletet kaptunk, amely lehetővé teszi a metsző egyenesek közötti szög koszinuszának kiszámítását normálvektorok koordinátái segítségével. Így az a és b egyenesek közötti szög koszinusza, és ennek következtében a metsző síkok közötti szög koszinuszaés a képlet alapján található, ahol És a síkok normálvektorai, ill. Ezután úgy számítják ki .

Döntsük el előző példa koordináta módszer.

Példa.

Adott egy téglalap alakú ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelepipedon, amelyben AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 és az E pont az A pontból számolva 4:3 arányban osztja az AA 1 oldalt. Határozza meg az ABC és a BED 1 sík közötti szöget.

Megoldás.

Mivel egy téglalap alakú paralelepipedon oldalai egy csúcson páronként merőlegesek, célszerű bevezetni egy Oxyz téglalap alakú koordinátarendszert a következőképpen: igazítsa a kezdetet a C csúcshoz, és irányítsa az Ox, Oy és Oz koordinátatengelyeket a CD oldalak mentén. , CB és CC 1.

Az ABC és a BED 1 síkok közötti szöget e síkok normálvektorainak koordinátáin keresztül találhatjuk meg a képlet segítségével, ahol és az ABC és BED 1 sík normálvektorai. Határozzuk meg a normálvektorok koordinátáit.