Képletek származtatása trigonometrikus függvények redukálására. Redukciós képletek. Gyors és egyszerű

A matematika trigonometria részéhez tartoznak. A lényegük, hogy hozzanak trigonometrikus függvények szögek egy „egyszerűbb” megjelenéshez. Sokat lehet írni ezek ismeretének fontosságáról. Már 32 ilyen képlet létezik!

Ne ijedjen meg, nem kell megtanulnia őket, mint sok más képletet a matematika tanfolyamon. Extra információ Nem kell aggódnia, emlékeznie kell a „kulcsokra” vagy a törvényekre, és a szükséges képlet emlékezése vagy származtatása nem lesz probléma. Egyébként amikor azt írom a cikkekben, hogy "... tanulnod kell!!!" - ez azt jelenti, hogy valóban meg kell tanulni.

Ha nem ismeri a redukciós képleteket, akkor levezetésük egyszerűsége kellemesen meg fogja lepni - van egy „törvény”, amelynek segítségével ez könnyen megtehető. És a 32 képlet bármelyikét felírhatja 5 másodperc alatt.

Csak néhányat sorolok fel azon feladatok közül, amelyek megjelennek a matematika egységes államvizsgáján, ahol e képletek ismerete nélkül nagy a valószínűsége annak, hogy megbukik a megoldásban. Például:

– derékszögű háromszög megoldásának problémái, ahol beszélünk külső szög, és a feladatok bekapcsolva belső sarkok ezen képletek egy része szintén szükséges.

– trigonometrikus kifejezések értékszámítási feladatai; numerikus trigonometrikus kifejezések konvertálása; szó szerinti trigonometrikus kifejezések konvertálása.

– érintő problémák és geometriai jelentéseérintő, redukciós képletre van szükség az érintőre, valamint egyéb problémákra.

– sztereometriai problémák, a megoldás során gyakran szükséges egy 90-180 fokos szög szögének szinuszát vagy koszinuszát meghatározni.

És ezek csak azok a pontok, amelyek az egységes államvizsgára vonatkoznak. És magában az algebra kurzusban sok olyan probléma van, amelyek megoldása egyszerűen nem lehetséges a redukciós képletek ismerete nélkül.

Tehát mihez vezet ez, és hogyan könnyítik meg a megadott képletek a problémák megoldását?

Például meg kell határoznia bármely 0 és 450 fok közötti szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét vagy kotangensét:

az alfa szög 0 és 90 fok között van

* * *

Tehát meg kell érteni az itt működő „törvényt”:

1. Határozza meg a függvény előjelét a megfelelő kvadránsban!

Hadd emlékeztesselek:

2. Ne feledje a következőket:

funkció kofunkcióvá változik

funkció nem változik kofunkcióvá

Mit jelent a fogalom – a funkció kofunkcióvá változik?

Válasz: szinusz változás koszinuszra vagy fordítva, érintő kotangensre vagy fordítva.

Ez minden!

Most a bemutatott törvény szerint több redukciós képletet írunk le magunk:

Ez a szög a harmadik negyedévben van, a koszinusz a harmadik negyedévben negatív. A függvényt nem változtatjuk kofüggvényre, hiszen van 180 fokunk, ami azt jelenti:

A szög az első negyedben van, a szinusz az első negyedben pozitív. A funkciót nem változtatjuk kofunkcióra, mivel 360 fokos szögben állunk, ami azt jelenti:

Íme egy további megerősítés, hogy a szomszédos szögek szinuszai egyenlőek:

A szög a második negyedben van, a szinusz a második negyedben pozitív. A függvényt nem változtatjuk kofüggvényre, mivel van 180 fokunk, ami azt jelenti:

Dolgozzon át minden képletet gondolatban vagy írásban, és meg fog győződni arról, hogy nincs semmi bonyolult.

***

A megoldásról szóló cikkben a következő tényt jegyezték fel - egy hegyesszög szinuszát derékszögű háromszög egyenlő a benne lévő másik hegyesszög koszinuszával.

A redukciós képletek olyan összefüggések, amelyek lehetővé teszik, hogy szinuszból, koszinuszból, érintőből és kotangensből lépjen a következő szögekkel: `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` az egységkör első negyedében található `\alpha` szög ugyanazon függvényeihez. Így a redukciós képletek „vezetnek” minket a 0 és 90 fok közötti szögek közötti munkavégzésre, ami nagyon kényelmes.

Összesen 32 redukciós képlet létezik. Kétségtelenül hasznosak lesznek az egységes államvizsga, vizsgák és tesztek során. De azonnal figyelmeztessük, hogy ezeket nem kell memorizálni! Egy kis időt kell töltenie, és meg kell értenie az alkalmazásuk algoritmusát, akkor nem lesz nehéz a megfelelő időben levezetni a szükséges egyenlőséget.

Először is írjuk fel az összes redukciós képletet:

Szög esetén (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha

Szög (`\pi \pm \alpha`) vagy (`180^\circ \pm \alpha`) esetén:

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Szög esetén (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) vagy (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Szög (`2\pi \pm \alpha`) vagy (`360^\circ \pm \alpha`) esetén:

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Gyakran találhat redukciós képleteket táblázat formájában, ahol a szögek radiánban vannak felírva:

Használatához ki kell választanunk a kívánt függvényt tartalmazó sort és a kívánt argumentumot tartalmazó oszlopot. Például ahhoz, hogy egy táblázat segítségével megtudja, mi lesz a `sin(\pi + \alpha)` egyenlő, elegendő a választ a `sin \beta` sor és a ` \pi + oszlop metszéspontjában keresni. \alpha`. A következőt kapjuk: `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

És a második, hasonló táblázat, ahol a szögeket fokban írják:

Mnemonikus szabály a redukciós képletekhez, vagy hogyan kell megjegyezni őket

Mint már említettük, nincs szükség az összes fenti összefüggést memorizálni. Ha figyelmesen megnézte őket, valószínűleg észrevett néhány mintát. Lehetővé teszik, hogy megfogalmazzunk egy mnemonikus szabályt (mnemonikus - ne feledjük), amelynek segítségével könnyedén megszerezhetünk bármilyen redukciós formulát.

Azonnal jegyezzük meg, hogy ennek a szabálynak az alkalmazásához jól kell tudni azonosítani (vagy emlékezni) a trigonometrikus függvények előjeleit az egységkör különböző negyedeiben.
Maga a vakcina 3 szakaszból áll:

1. 1. A függvény argumentumát a következőképpen kell ábrázolni: \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha` és `\alpha` kötelező éles sarok(0 és 90 fok között).
   2. A `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` argumentumoknál a transzformált kifejezés trigonometrikus függvénye kofüggvényre változik, vagyis az ellenkezőjére (szinusz koszinuszhoz, kotangenshez és fordítva). A `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` argumentumok esetén a függvény nem változik.
   3. Meghatározzuk az eredeti függvény előjelét. A jobb oldalon kapott függvénynek ugyanaz a jele lesz.

Ha látni szeretné, hogyan alkalmazható ez a szabály a gyakorlatban, alakítsunk át több kifejezést:

1. "cos(\pi + \alpha)".

A funkció nincs megfordítva. A `\pi + \alpha` szög a harmadik negyedben van, a koszinusz ebben a negyedben „-” jelű, így a transzformált függvénynek is „-” jele lesz.

Válasz: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. "sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)".

A mnemonikai szabály szerint a függvény megfordul. A `\frac (3\pi)2 - \alpha` szög a harmadik negyedben van, a szinusz itt „-” jelű, így az eredmény is „-” jelű lesz.

Válasz: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Jelöljük a 3\pi-t 2\pi+\pi-ként. A "2\pi" a függvény periódusa.

Fontos: A `cos \alpha` és `sin \alpha` függvények periódusa `2\pi` vagy `360^\circ`, értékeik nem változnak, ha az argumentumot ezekkel az értékekkel növeljük vagy csökkentjük.

Ez alapján a kifejezésünk a következőképpen írható fel: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)` A mnemonikus szabályt kétszer alkalmazva a következőt kapjuk: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Válasz: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Lószabály

A fent leírt mnemonikus szabály második pontját a redukciós képletek lószabályának is nevezik. Vajon miért lovak?

Tehát vannak `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ argumentumú függvényeink. pm \alpha`, `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2, `2\pi` a kulcsok, ezek a koordinátatengelyeken találhatók. A "\pi" és a "2\pi" a vízszintes x-tengelyen, a "\frac (\pi)2" és a "\frac (3\pi)2" pedig a függőleges ordinátán található.

Feltesszük magunknak a kérdést: „Változik-e egy funkció kofunkcióvá?” A kérdés megválaszolásához el kell mozgatnia a fejét a tengely mentén, amelyen a kulcspont található.

Vagyis a vízszintes tengelyen elhelyezkedő kulcspontokat tartalmazó érvekre a fejünk oldalra rázásával válaszolunk „nem”. A függőleges tengelyen elhelyezkedő sarkok kulcspontjaira pedig úgy válaszolunk, hogy „igen” bólogatunk fentről lefelé, mint egy ló :)

Javasoljuk, hogy nézzen meg egy oktatóvideót, amelyben a szerző részletesen elmagyarázza, hogyan kell megjegyezni a redukciós képleteket anélkül, hogy megjegyezné őket.

Gyakorlati példák a redukciós képletek használatára

A redukciós képletek használata a 9. és 10. évfolyamon kezdődik. A használatukkal sok probléma merült fel az Egységes Államvizsgára. Íme néhány probléma, ahol alkalmaznia kell ezeket a képleteket:

• feladatok derékszögű háromszög megoldására;
• numerikus és alfabetikus trigonometrikus kifejezések átalakítása, értékük kiszámítása;
• sztereometrikus feladatok.

1. példa: Számítsa ki a redukciós képletekkel: a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Megoldás: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) "tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3";

c) "cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2";

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

2. példa: Miután redukciós képletekkel fejeztük ki a koszinusztól a szinuszig, hasonlítsa össze a számokat: 1) "sin \frac (9\pi)8" és "cos \frac (9\pi)8"; 2) "sin \frac (\pi)8" és "cos \frac (3\pi)10".

Megoldás: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Először bizonyítsunk be két képletet a `\frac (\pi)2 + \alpha` argumentum szinuszára és koszinuszára: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` és ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. A többi tőlük származik.

Vegyünk egy egységkört és tegyük rá az A pontot (1,0) koordinátákkal. Hagyja fordulás után `\alpha` szögben az `A_1(x, y)` pontba kerül, majd miután a `\frac (\pi)2 + \alpha` szöggel az `A_2(-y, x)` pontba fordul. Ha ezekből a pontokból a merőlegeseket az OX egyenesre ejtjük, azt látjuk, hogy az `OA_1H_1` és `OA_2H_2` háromszögek egyenlőek, mivel a befogópontjaik és a szomszédos szögeik egyenlőek. Ezután a szinusz és a koszinusz definíciói alapján írhatjuk, hogy `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Hol írhatjuk, hogy ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` és ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, ami a redukciót bizonyítja képletek szinusz és koszinusz szögekhez `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Az érintő és a kotangens definíciójából a következőt kapjuk: ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\) pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` és ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\) frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, ami bizonyítja a redukciós képletek az érintő és a `\frac (\pi)2 + \alpha` szög kotangensére.

A `\frac (\pi)2 - \alpha` argumentumú képletek bizonyításához elegendő a `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` karakterláncot ábrázolni, és a fenti utat követni. Például `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

A `\pi + \alpha` és `\pi - \alpha` szögek `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` és `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` rendre.

És a „\frac (3\pi)2 + \alpha” és a „\frac (3\pi)2 - \alpha” mint „\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)” és „\pi” +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

A redukciós képletek használatának két szabálya van.

1. Ha a szög ábrázolható (π/2 ±a) vagy (3*π/2 ±a), akkor függvény neve megváltozik sin a coshoz, cos a bűnhöz, tg a ctg-hez, ctg a tg-hez. Ha a szög (π ±a) vagy (2*π ±a) formában ábrázolható, akkor A függvény neve változatlan marad.

Nézze meg az alábbi képet, vázlatosan mutatja, mikor kell táblát változtatni és mikor nem.

2. A szabály „amilyen voltál, olyan maradsz.”

A csökkentett funkció előjele változatlan marad. Ha az eredeti függvénynek pluszjele volt, akkor a redukált függvénynek is van pluszjele. Ha az eredeti függvénynek mínusz jele volt, akkor a redukált függvénynek is van mínusz jele.

Az alábbi ábra az alapvető trigonometrikus függvények előjeleit mutatja negyedtől függően.

Számítsa ki a bűnt (150˚)

Használjuk a redukciós képleteket:

A Sin(150˚) a második negyedben van, az ábrából láthatjuk, hogy a bűn jele ebben a negyedben egyenlő a +-val. Ez azt jelenti, hogy az adott függvénynek pluszjele is lesz. A második szabályt alkalmaztuk.

Most 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ π/2. Vagyis π/2+60 esettel van dolgunk, ezért az első szabály szerint a függvényt sinről cos-ra változtatjuk. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Kívánt esetben az összes redukciós képlet egy táblázatban összefoglalható. De még mindig könnyebb megjegyezni ezt a két szabályt, és használni őket.

Ez a cikk a trigonometrikus redukciós képletek részletes tanulmányozásával foglalkozik. Megadjuk a redukciós képletek teljes listáját, példákat mutatunk be a felhasználásukra, és bizonyítjuk a képletek helyességét. A cikk egy emlékeztető szabályt is tartalmaz, amely lehetővé teszi redukciós képletek származtatását az egyes képletek memorizálása nélkül.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Redukciós képletek. Lista

A redukciós képletek lehetővé teszik a tetszőleges nagyságú szögek alapvető trigonometrikus függvényeinek redukálását a 0 és 90 fok közötti tartományban (0 és π 2 radián) lévő szögfüggvényekre. A 0 és 90 fok közötti szögekkel való munkavégzés sokkal kényelmesebb, mint tetszőlegesen nagy értékekkel, ezért a redukciós képleteket széles körben alkalmazzák a trigonometriai feladatok megoldásában.

Mielőtt leírnánk magukat a képleteket, tisztázzunk néhány fontos pontot a megértés érdekében.

• A trigonometrikus függvények argumentumai a redukciós képletekben ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z alakú szögek. Itt z tetszőleges egész szám, α pedig tetszőleges elforgatási szög.
• Nem szükséges megtanulni az összes redukciós képletet, amelyek száma meglehetősen lenyűgöző. Létezik egy mnemonikus szabály, amely megkönnyíti a kívánt képlet származtatását. A mnemonikus szabályról később lesz szó.

Most térjünk át közvetlenül a redukciós képletekre.

A redukciós képletek lehetővé teszik a tetszőleges és tetszőlegesen nagy szögekkel végzett munka helyett a 0 és 90 fok közötti szögek közötti munkavégzést. Írjuk fel az összes képletet táblázatos formában.

Redukciós képletek

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π z π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s π z π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z =, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 π = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Ebben az esetben a képleteket radiánban írjuk. De felírhatja őket fokozatok használatával is. Elegendő csak a radiánokat fokokká konvertálni, π-t 180 fokkal helyettesítve.

Példák a redukciós képletek használatára

Megmutatjuk, hogyan kell a redukciós képleteket használni, és hogyan használhatók fel gyakorlati példák megoldására.

A trigonometrikus függvény előjele alatti szög nem egyben, hanem többféleképpen ábrázolható. Például egy trigonometrikus függvény argumentuma ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z formában ábrázolható. Mutassuk meg ezt.

Vegyük az α = 16 π 3 szöget. Ezt a szöget így írhatjuk fel:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

A szög ábrázolásától függően a megfelelő redukciós képletet alkalmazzuk.

Vegyük ugyanazt az α = 16 π 3 szöget, és számítsuk ki az érintőjét

1. példa: Redukciós képletek használata

α = 16 π 3, t g α = ?

Az α = 16 π 3 szöget ábrázoljuk úgy, hogy α = π + π 3 + 2 π 2

Ez a szögábrázolás megfelel a redukciós képletnek

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

A táblázat segítségével megadjuk az érintő értékét

Most az α = 16 π 3 szög másik ábrázolását használjuk.

2. példa: Redukciós képletek használata

α = 16 π 3, t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Végül a szög harmadik ábrázolásához írunk

3. példa Redukciós képletek használata

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g ( 3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c 6 g 3 )

Most mondjunk egy példát bonyolultabb redukciós képletek használatára

4. példa: Redukciós képletek használata

Képzeljük el a sin 197°-ot egy hegyesszög szinuszán és koszinuszán keresztül.

A redukciós képletek alkalmazásához az α = 197 ° szöget kell ábrázolni az egyik alakban

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. A probléma körülményei szerint a szögnek hegyesnek kell lennie. Ennek megfelelően kétféleképpen ábrázolhatjuk:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Kapunk

sin 197° = bűn (180° + 17°) sin 197° = bűn (270° - 73°)

Most nézzük meg a szinuszok redukciós képleteit, és válasszuk ki a megfelelőket

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

Mnemonikus szabály

Rengeteg redukciós képlet létezik, és szerencsére nem kell megjegyezni őket. Vannak olyan törvényszerűségek, amelyek segítségével redukciós képletek származtathatók különböző szögekre és trigonometrikus függvényekre. Ezeket a mintákat mnemonikus szabályoknak nevezzük. A mnemonika a memorizálás művészete. A mnemonikus szabály három részből áll, vagy három szakaszból áll.

Mnemonikus szabály

1. Az eredeti függvény argumentuma a következő formák egyikében van ábrázolva:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Az α szögnek 0 és 90 fok között kell lennie.

2. Meghatározzuk az eredeti trigonometrikus függvény előjelét. A képlet jobb oldalára írt függvénynek ugyanaz az előjele lesz.

3. ± α + 2 πz és π ± α + 2 πz szögeknél az eredeti függvény neve változatlan marad, a π 2 ± α + 2 πz és 3 π 2 ± α + 2 πz szögeknél pedig a következőre változik: „együttműködés”. Szinusz - koszinusz. Érintő – kotangens.

A redukciós képletek mnemonikai útmutatójának használatához meg kell tudni határozni a trigonometrikus függvények előjeleit az egységkör negyedei alapján. Nézzünk példákat a mnemonikus szabály használatára.

1. példa: Emlékeztető szabály használata

Írjuk fel a cos π 2 - α + 2 πz és t g π - α + 2 πz redukciós képleteit. α az első negyedév logója.

1. Mivel α feltétel szerint az első negyed logója, kihagyjuk a szabály első pontját.

2. Határozzuk meg a cos π 2 - α + 2 πz és t g π - α + 2 πz függvények előjeleit! A π 2 - α + 2 πz szög egyben az első negyed szöge is, a π - α + 2 πz szög pedig a második negyedben van. Az első negyedben a koszinusz függvény pozitív, a második negyed érintője pedig mínusz előjelű. Írjuk le, hogyan néznek ki a szükséges képletek ebben a szakaszban.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. A harmadik pont szerint a π 2 - α + 2 π szögre a függvény neve Konfuciuszra változik, a π - α + 2 πz szögre pedig változatlan marad. Írjuk fel:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Most nézzük meg a fent megadott képleteket, és győződjön meg arról, hogy a mnemonikus szabály működik.

Nézzünk egy példát, amelynek meghatározott szöge α = 777°. A szinusz-alfát redukáljuk egy hegyesszög trigonometrikus függvényére.

2. példa: Emlékeztető szabály használata

1. Képzelje el az α = 777 ° szöget a kívánt formában

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Az eredeti szög az első negyed szöge. Ez azt jelenti, hogy a szög szinusza pozitív előjelű. Ennek eredményeként a következőket kaptuk:

3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Most nézzünk meg egy példát, amely megmutatja, mennyire fontos a trigonometrikus függvény előjelének helyes meghatározása és a szög helyes ábrázolása a mnemonikus szabály használatakor. Ismételjük meg még egyszer.

Fontos!

Az α szögnek hegyesnek kell lennie!

Számítsuk ki az 5 π 3 szög érintőjét! A fő trigonometrikus függvények értéktáblázatából azonnal kiveheti a t g 5 π 3 = - 3 értéket, de alkalmazzuk a mnemonikus szabályt.

3. példa: Emlékeztető szabály használata

Képzeljük el az α = 5 π 3 szöget a kívánt formában, és használjuk a szabályt

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Ha az alfa szöget 5 π 3 = π + 2 π 3 formában ábrázoljuk, akkor a mnemonikus szabály alkalmazásának eredménye hibás lesz.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

A hibás eredmény abból adódik, hogy a 2 π 3 szög nem hegyes.

A redukciós képletek bizonyítása a trigonometrikus függvények periodicitásának és szimmetriájának, valamint a π 2 és 3 π 2 szögekkel való eltolás tulajdonságán alapul. Az összes redukciós képlet érvényességének bizonyítása elvégezhető a 2 πz kifejezés figyelembevétele nélkül, mivel ez a szög egész számú teljes fordulatszámmal történő változását jelöli, és pontosan tükrözi a periodicitás tulajdonságát.

Az első 16 képlet közvetlenül az alapvető trigonometrikus függvények tulajdonságaiból következik: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Itt van egy bizonyíték a szinuszokra és koszinuszokra vonatkozó redukciós képletekre

sin π 2 + α = cos α és cos π 2 + α = - sin α

Nézzünk meg egy egységkört, melynek kezdőpontja α szöggel történő elforgatás után az A 1 x, y pontba, π 2 + α szögű elforgatás után pedig egy A 2 pontba kerül. Mindkét pontból merőlegeseket rajzolunk az abszcissza tengelyére.

Két derékszögű O A 1 H 1 és O A 2 H 2 derékszögű háromszög a befogópontban és a szomszédos szögekben egyenlő. A kör pontjainak elhelyezkedéséből és a háromszögek egyenlőségéből arra következtethetünk, hogy az A 2 pontnak A 2 - y, x koordinátái vannak. A szinusz és koszinusz definícióit felhasználva a következőket írjuk:

sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α

A trigonometria alapvető azonosságait és az imént bebizonyítottakat figyelembe véve írhatunk

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos t g α

A π 2 - α argumentumú redukciós képletek bizonyításához π 2 + (- α) formában kell bemutatni. Például:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α

A bizonyítás a trigonometrikus függvények tulajdonságait használja ellentétes előjelű argumentumokkal.

Az összes többi redukciós képlet a fent leírtak alapján bizonyítható.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Trigonometria, redukciós képletek.

A redukciós képleteket nem kell tanítani, meg kell érteni. Ismerje meg a levezetésük algoritmusát. Nagyon könnyű!

Vegyünk egy egységkört, és helyezzünk rá minden fokmérőt (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Elemezzük a sin(a) és cos(a) függvényeket minden negyedévben.

Ne felejtsük el, hogy a sin(a) függvényt az Y tengely mentén, a cos(a) függvényt pedig az X tengely mentén nézzük.

Az első negyedévben egyértelmű, hogy a függvény sin(a)>0
És funkció cos(a)>0
Az első negyedév a következőkkel jellemezhető fokmérő, mint a (90-α) vagy (360+α).

A második negyedévben egyértelmű, hogy a funkció sin(a)>0, mert az Y tengely pozitív ebben a negyedévben.
Egy funkció cos(a), mert az X tengely negatív ebben a kvadránsban.
A második negyedév leírható fokokban, például (90+α) vagy (180-α).

A harmadik negyedévben egyértelmű, hogy a funkciók bűn(a) A harmadik negyedév leírható fokokban, például (180+α) vagy (270-α).

A negyedik negyedévben egyértelmű, hogy a funkció sin(a), mert az Y tengely negatív ebben a negyedévben.
Egy funkció cos(a)>0, mert az X tengely pozitív ebben a negyedévben.
A negyedik negyedév leírható fokokban, például (270+α) vagy (360-α).

Most nézzük magukat a redukciós képleteket.

Emlékezzünk az egyszerűre algoritmus:
1. Negyed.(Mindig nézd meg, melyik negyedben vagy.)
2. Jel.(A negyedekhez lásd a pozitív vagy negatív koszinusz- vagy szinuszfüggvényeket).
3. Ha zárójelben van (90° vagy π/2) és (270° vagy 3π/2), akkor funkció megváltozik.

Tehát elkezdjük negyedenként elemezni ezt az algoritmust.

Nézze meg, mi lesz a cos(90-α) kifejezés egyenlő
Az algoritmus szerint okoskodunk:
1. Negyed egy.


Akarat cos(90-α) = sin(α)

Nézze meg, mi lesz a sin(90-α) kifejezés egyenlő
Az algoritmus szerint okoskodunk:
1. Negyed egy.


Akarat sin(90-α) = cos(α)

Nézze meg, mi lesz a cos(360+α) kifejezés egyenlő
Az algoritmus szerint okoskodunk:
1. Negyed egy.
2. Az első negyedévben a koszinusz függvény előjele pozitív.

Akarat cos(360+α) = cos(α)

Nézze meg, mi lesz a sin(360+α) kifejezés egyenlő
Az algoritmus szerint okoskodunk:
1. Negyed egy.
2. Az első negyedévben a szinuszfüggvény előjele pozitív.
3. A zárójelben nincs (90° vagy π/2) és (270° vagy 3π/2), ekkor a függvény nem változik.
Akarat bűn(360+α) = bűn(α)

Nézze meg, mi lesz a cos(90+α) kifejezés egyenlő
Az algoritmus szerint okoskodunk:
1. Második negyed.

3. Zárójelben van (90° vagy π/2), ekkor a függvény koszinuszról szinuszra változik.
Akarat cos(90+α) = -sin(α)

Nézze meg, mi lesz a sin(90+α) kifejezés egyenlő
Az algoritmus szerint okoskodunk:
1. Második negyed.

3. Zárójelben van (90° vagy π/2), ekkor a függvény szinuszról koszinuszra változik.
Akarat sin(90+α) = cos(α)

Nézze meg, mi lesz a cos(180-α) kifejezés egyenlő
Az algoritmus szerint okoskodunk:
1. Második negyed.
2. A második negyedévben a koszinusz függvény előjele negatív.
3. A zárójelben nincs (90° vagy π/2) és (270° vagy 3π/2), ekkor a függvény nem változik.
Akarat cos(180-α) = cos(α)

Nézze meg, mi lesz a sin(180-α) kifejezés egyenlő
Az algoritmus szerint okoskodunk:
1. Második negyed.
2. A második negyedévben a szinuszfüggvény előjele pozitív.
3. A zárójelben nincs (90° vagy π/2) és (270° vagy 3π/2), ekkor a függvény nem változik.
Akarat bűn(180-α) = bűn(α)

A harmadik és negyedik negyedévről beszélek, készítsünk egy táblázatot hasonló módon:

Iratkozz fel a YOUTUBE csatornájáraés nézd meg a videót, készülj velünk matematika és geometria vizsgákra.