Kaip skaičiai mažinami. Internetinis skaičiuotuvas. Mažinančios trupmenos (netaisyklingos, mišrios)

Norėdami suprasti, kaip sumažinti trupmenas, pirmiausia pažvelkime į pavyzdį.

Sumažinti trupmeną reiškia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš to paties. Tiek 360, tiek 420 baigiasi skaitmeniu, todėl šią trupmeną galime sumažinti 2. Naujoje trupmenoje 180 ir 210 taip pat dalijasi iš 2, todėl šią trupmeną sumažiname iš 2. Skaičiuose 90 ir 105 suma skaitmenų dalijasi iš 3, todėl abu šie skaičiai dalijasi iš 3, trupmeną sumažiname 3. Naujoje trupmenoje 30 ir 35 baigiasi 0 ir 5, tai reiškia, kad abu skaičiai dalijasi iš 5, todėl sumažiname trupmeną 5. Gauta šešių septintųjų trupmena yra neredukuojama. Tai yra galutinis atsakymas.

Mes galime gauti tą patį atsakymą kitu būdu.

Tiek 360, tiek 420 baigiasi nuliu, vadinasi, jie dalijasi iš 10. Trupmeną sumažiname 10. Naujoje trupmenoje tiek skaitiklis 36, tiek vardiklis 42 dalijasi iš 2. Trupmeną sumažiname iš 2. B kita trupmena tiek skaitiklis 18, tiek vardiklis 21 dalijasi iš 3, vadinasi, trupmeną sumažiname 3. Priėjome prie rezultato - šešios septintosios.

Ir dar vienas sprendimas.

Kitą kartą pažvelgsime į trupmenų mažinimo pavyzdžius.

Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime, kaip redukuojančios frakcijos. Pirmiausia aptarkime, kas vadinama trupmenos mažinimu. Po to pakalbėkime apie redukuojamos frakcijos sumažinimą į neredukuojamą formą. Toliau gausime trupmenų mažinimo taisyklę ir galiausiai apsvarstysime šios taisyklės taikymo pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Ką reiškia sumažinti dalį?

Žinome, kad paprastosios trupmenos skirstomos į redukuojamas ir neredukuojamas trupmenas. Iš pavadinimų galite atspėti, kad redukuojamų trupmenų gali būti sumažinta, o ne redukuojamųjų trupmenų.

Ką reiškia sumažinti dalį? Sumažinti frakciją- tai reiškia, kad jo skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš teigiamų ir skiriasi nuo vienybės. Aišku, kad sumažinus trupmeną gaunama nauja trupmena su mažesniu skaitikliu ir vardikliu, o dėl pagrindinės trupmenos savybės gauta trupmena yra lygi pradinei.

Pavyzdžiui, sumažinkime bendrąją trupmeną 8/24, padalydami jos skaitiklį ir vardiklį iš 2. Kitaip tariant, sumažinkime trupmeną 8/24 2. Kadangi 8:2=4 ir 24:2=12, dėl šio sumažinimo gaunama trupmena 4/12, kuri yra lygi pradinei trupmenai 8/24 (žr. lygias ir nelygias trupmenas). Dėl to mes turime .

Paprastųjų trupmenų redukavimas į neredukuojamą formą

Paprastai galutinis trupmenos mažinimo tikslas yra gauti nesumažinamą trupmeną, lygią pradinei redukuojamai trupmenai. Šį tikslą galima pasiekti sumažinus pradinę redukuojamą trupmeną jos skaitikliu ir vardikliu. Dėl tokio sumažinimo visada gaunama neredukuojama trupmena. Tikrai, dalis yra nepataisoma, nes tai žinoma Ir - . Čia pasakysime, kad didžiausias bendras daliklis Trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra didžiausias skaičius, kuriuo trupmeną galima sumažinti.

Taigi, bendrosios trupmenos redukavimas į neredukuojamą formą susideda iš pradinės redukuojamos trupmenos skaitiklio ir vardiklio padalijimo iš jų gcd.

Pažiūrėkime į pavyzdį, kuriam grįžtame prie trupmenos 8/24 ir sumažiname ją didžiausiu skaičių 8 ir 24 bendruoju dalikliu, kuris yra lygus 8. Kadangi 8:8=1 ir 24:8=3, gauname neredukuojamą trupmeną 1/3. Taigi,.

Atkreipkite dėmesį, kad frazė „sumažinti frakciją“ dažnai reiškia pradinės frakcijos sumažinimą iki nesumažinamos formos. Kitaip tariant, trupmenos sumažinimas labai dažnai reiškia skaitiklio ir vardiklio padalijimą iš didžiausio bendro koeficiento (o ne iš kokio nors bendro koeficiento).

Kaip sumažinti dalį? Trupmenų mažinimo taisyklės ir pavyzdžiai

Belieka pažvelgti į trupmenų mažinimo taisyklę, kuri paaiškina, kaip sumažinti nurodytą trupmeną.

Trupmenų mažinimo taisyklė susideda iš dviejų žingsnių:

• pirmiausia randamas trupmenos skaitiklio ir vardiklio gcd;
• antra, trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijami iš jų gcd, todėl gaunama neredukuojama trupmena, lygi pradinei.

Sutvarkykime trupmenos mažinimo pavyzdys pagal nurodytą taisyklę.

Pavyzdys.

Sumažinkite dalį 182/195.

Sprendimas.

Atlikime abu trupmenos mažinimo taisyklės nurodytus veiksmus.

Pirmiausia randame GCD(182, 195) . Patogiausia naudoti Euklido algoritmą (žr.): 195=182·1+13, 182=13·14, tai yra GCD(182, 195)=13.

Dabar trupmenos 182/195 skaitiklį ir vardiklį padalijame iš 13 ir gauname neredukuojamą trupmeną 14/15, kuri yra lygi pradinei trupmenai. Tai užbaigia frakcijos sumažinimą.

Trumpai sprendinį galima parašyti taip: .

Atsakymas:

Čia galime baigti mažinti frakcijas. Tačiau norėdami užbaigti vaizdą, pažvelkime į dar du būdus, kaip sumažinti trupmenas, kurie paprastai naudojami paprastais atvejais.

Kartais redukuojamos trupmenos skaitiklis ir vardiklis nėra sunkus. Šiuo atveju trupmenos sumažinimas yra labai paprastas: tereikia pašalinti visus įprastus veiksnius iš skaitiklio ir vardiklio.

Verta paminėti, kad šis metodas tiesiogiai išplaukia iš trupmenų mažinimo taisyklės, nes visų bendrų pirminių skaitiklio ir vardiklio koeficientų sandauga yra lygi didžiausiam jų bendrajam dalikliui.

Pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Sumažinkite dalį 360/2 940.

Sprendimas.

Išskaidykime skaitiklį ir vardiklį į paprastus koeficientus: 360=2·2·2·3·3·5 ir 2,940=2·2·3·5·7·7. Taigi, .

Dabar atsikratome bendrų skaitiklio ir vardiklio veiksnių; patogumo dėlei juos tiesiog išbraukiame: .

Galiausiai padauginame likusius veiksnius: , ir trupmenos sumažinimas baigtas.

Štai trumpa sprendimo santrauka: .

Atsakymas:

Panagrinėkime kitą trupmenos sumažinimo būdą, kurį sudaro nuoseklus mažinimas. Čia kiekviename žingsnyje trupmena sumažinama tam tikru bendru skaitiklio ir vardiklio dalikliu, kuris yra akivaizdus arba lengvai nustatomas naudojant

Internetinis skaičiuotuvas atlieka algebrinių trupmenų mažinimas vadovaujantis trupmenų redukavimo taisykle: pradinę trupmeną pakeičiant lygia trupmena, bet mažesniu skaitikliu ir vardikliu, t.y. Vienu metu dalijant trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš jų bendro didžiausio bendro koeficiento (GCD). Taip pat rodomas skaičiuotuvas detalus sprendimas, kuris padės suprasti mažinimo seką.

Duota:

Sprendimas:

Atlieka frakcijų mažinimą

tikrinant galimybę atlikti algebrinės trupmenos redukciją

1) trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausio bendro daliklio (GCD) nustatymas

algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausio bendrojo daliklio (GCD) nustatymas

2) Trupmenos skaitiklio ir vardiklio sumažinimas

sumažinant algebrinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį

3) Visos trupmenos dalies pasirinkimas

atskiriant visą algebrinės trupmenos dalį

4) Algebrinės trupmenos konvertavimas į dešimtainę trupmeną

konvertuojant algebrinę trupmeną į dešimtainis

Pagalba kuriant projekto svetainę

Gerbiamas svetainės lankytojau.
Jei nepavyko rasti to, ko ieškojote, būtinai parašykite apie tai komentaruose, ko šiuo metu svetainėje trūksta. Tai padės suprasti, kuria kryptimi reikia judėti toliau, o kiti lankytojai netrukus galės gauti reikiamos medžiagos.
Jei svetainė jums pasirodė naudinga, padovanokite svetainę projektui tik 2 ₽ ir žinosime, kad judame teisinga kryptimi.

Ačiū, kad užsukote!

I. Algebrinės trupmenos mažinimo naudojant internetinį skaičiuotuvą procedūra:

1. Norėdami sumažinti algebrinę trupmeną, atitinkamuose laukuose įveskite trupmenos skaitiklio ir vardiklio reikšmes. Jei trupmena sumaišyta, taip pat užpildykite lauką, atitinkantį visą trupmenos dalį. Jei trupmena paprasta, palikite visą dalies lauką tuščią.
2. Norėdami nurodyti neigiamą trupmeną, padėkite minuso ženklą ant visos trupmenos dalies.
3. Priklausomai nuo nurodytos algebrinės trupmenos, automatiškai atliekama tokia veiksmų seka:

• nustatantis trupmenos skaitiklio ir vardiklio didžiausią bendrąjį daliklį (GCD).;
• trupmenos skaitiklį ir vardiklį sumažinant gcd;
• paryškinant visą trupmenos dalį, jei galutinės trupmenos skaitiklis yra didesnis už vardiklį.
• paverčiant galutinę algebrinę trupmeną į dešimtainę trupmeną suapvalinti iki artimiausios šimtosios.

Dėl sumažinimo gali susidaryti netinkama frakcija. Tokiu atveju galutinė netinkama trupmena bus paryškinta visa dalis ir gauta trupmena bus paversta tinkama trupmena.

II. Nuoroda:

Trupmena yra skaičius, susidedantis iš vienos ar kelių vieneto dalių (trupmenų). Paprastoji trupmena (paprastoji trupmena) rašoma kaip du skaičiai (trupnos skaitiklis ir trupmenos vardiklis), atskirti horizontalia juosta (trupmenos juosta), rodančia padalijimo ženklą. Trupmenos skaitiklis yra skaičius, esantis virš trupmenos linijos. Skaitiklis rodo, kiek akcijų buvo paimta iš visumos. Trupmenos vardiklis yra skaičius, esantis žemiau trupmenos linijos. Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalinta visuma. Paprastoji trupmena yra trupmena, kuri neturi visos dalies. Paprastoji trupmena gali būti tinkama arba netinkama. tinkama trupmena – trupmena, kurios skaitiklis yra mažiau nei vardiklis, todėl tinkama trupmena visada yra mažesnė už vienetą. Tinkamų trupmenų pavyzdys: 8/7, 11/19, 16/17. Netinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui, todėl netinkamoji trupmena visada yra didesnė už vienetą arba lygi jam. Netinkamų trupmenų pavyzdys: 7/6, 8/7, 13/13. mišri trupmena yra skaičius, kuriame yra sveikas skaičius ir tinkama trupmena, ir žymi to sveikojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos sumą. Bet kuri mišri frakcija gali būti paversta netinkama trupmena. Pavyzdys mišrios frakcijos: 1¼, 2½, 4¾.

III. Pastaba:

1. Paryškintas šaltinio duomenų blokas geltona , paskirtas tarpinis skaičiavimo blokas mėlyna , sprendimo blokas paryškintas žaliai.
2. Norėdami sudėti, atimti, padauginti ir padalyti bendrąsias arba mišriąsias trupmenas, naudokite internetinį trupmenų skaičiuotuvą su išsamiais sprendimais.

Iš pirmo žvilgsnio algebrinės trupmenos atrodo labai sudėtingos, o nepasiruošęs studentas gali pagalvoti, kad su jomis nieko negalima padaryti. Kintamųjų, skaičių ir net laipsnių kaupimas sukelia baimę. Tačiau tos pačios taisyklės naudojamos mažinant bendrąsias trupmenas (pvz., 15/25) ir algebrines trupmenas.

Žingsniai

Mažinančios frakcijos

Peržiūrėkite veiklą su paprastosios trupmenos. Veiksmai su paprastosiomis ir algebrinėmis trupmenomis yra panašūs. Pavyzdžiui, paimkime trupmeną 15/35. Norėdami supaprastinti šią trupmeną, turėtumėte rasti bendrą daliklį. Abu skaičiai dalijasi iš penkių, todėl skaitiklyje ir vardiklyje galime išskirti 5:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Dabar gali sumažinti bendrus veiksnius, tai yra, perbraukite 5 skaitiklyje ir vardiklyje. Dėl to gauname supaprastintą trupmeną 3/7 . IN algebrinės išraiškos bendri veiksniai paskirstomi taip pat, kaip ir įprasti. IN ankstesnis pavyzdys mums pavyko nesunkiai nustatyti 5 iš 15 – tas pats principas galioja ir daugiau sudėtingos išraiškos, pvz., 15x – 5. Raskime bendrą koeficientą. IN tokiu atveju tai bus 5, nes abu terminai (15x ir -5) dalijasi iš 5. Kaip ir anksčiau, išskirkite bendrą koeficientą ir perkelkite jį paliko.

15x – 5 = 5* (3x - 1)

Norėdami patikrinti, ar viskas teisinga, tiesiog padauginkite skliausteliuose esančią išraišką iš 5 – rezultatas bus toks pat, kaip ir iš pradžių. Sudėtingus elementus galima izoliuoti taip pat, kaip ir paprastus. Algebrinėms trupmenoms taikomi tie patys principai, kaip ir paprastosioms trupmenoms. Tai lengviausias būdas sumažinti dalį. Apsvarstykite šią trupmeną:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Atkreipkite dėmesį, kad tiek skaitiklyje (viršuje), tiek vardiklyje (apačioje) yra terminas (x+2), todėl jį galima sumažinti taip pat, kaip bendrą koeficientą 5 trupmenoje 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Dėl to gauname supaprastintą išraišką: (x-3)/(x+10)

Algebrinių trupmenų mažinimas

Raskite bendrą koeficientą skaitiklyje, ty trupmenos viršuje. Mažinant algebrinę trupmeną, pirmiausia reikia supaprastinti abi puses. Pradėkite nuo skaitiklio ir pabandykite jį išskaidyti į kuo daugiau didesnis skaičius daugikliai. Šiame skyriuje apsvarstykite šią trupmeną:

9x-3 15x+6

Pradėkime nuo skaitiklio: 9x – 3. 9x ir -3 bendras koeficientas yra skaičius 3. Iš skliaustų paimkime 3, kaip daroma su įprastais skaičiais: 3 * (3x-1). Šios transformacijos rezultatas yra ši trupmena:

3 (3x-1) 15x+6

Skaitiklyje raskite bendrą koeficientą. Tęskime aukščiau pateiktą pavyzdį ir užrašykite vardiklį: 15x+6. Kaip ir anksčiau, išsiaiškinkime, iš kokio skaičiaus abi dalys dalijasi. Ir šiuo atveju bendras koeficientas yra 3, todėl galime rašyti: 3 * (5x +2). Perrašykime trupmeną tokia forma:

3 (3x-1) 3 (5x+2)

Sutrumpinkite tuos pačius terminus. Šiame žingsnyje galite supaprastinti trupmeną. Panaikinkite tuos pačius terminus skaitiklyje ir vardiklyje. Mūsų pavyzdyje šis skaičius yra 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Nustatykite, kad trupmenos forma yra paprasčiausia. Trupmena visiškai supaprastinama, kai skaitiklyje ir vardiklyje nelieka bendrų veiksnių. Atminkite, kad negalite atšaukti terminų, rodomų skliausteliuose – aukščiau pateiktame pavyzdyje negalima atskirti x nuo 3x ir 5x, nes visi terminai yra (3x -1) ir (5x + 2). Taigi trupmenos negalima supaprastinti, o galutinis atsakymas yra toks:

(3x-1)(5x+2)

Treniruokis mažinti trupmenas savarankiškai. Geriausias būdas išmokti metodą savarankiškas sprendimas užduotys. Teisingi atsakymai pateikti žemiau pateiktais pavyzdžiais.

4 (x+2) (x-13)(4x+8)

Atsakymas:(x=13)

2x 2-x 5x

Atsakymas:(2x-1)/5

Specialūs judesiai

Padėkite neigiamą ženklą už trupmenos ribų. Tarkime, kad jums duota ši trupmena:

3 (x-4) 5 (4-x)

Atkreipkite dėmesį, kad (x-4) ir (4-x) yra „beveik“ identiški, tačiau jų negalima iš karto sumažinti, nes jie yra „apversti“. Tačiau (x - 4) gali būti parašytas kaip -1 * (4 - x), lygiai kaip (4 + 2x) gali būti parašytas kaip 2 * (2 + x). Tai vadinama „ženklo pakeitimu“.

-1 * 3 (4x) 5 (4-x)

Dabar galite sumažinti identiškus terminus (4x):

-1 * 3 (4x) 5 (4-x)

Taigi, mes gauname galutinį atsakymą: -3/5 . Išmokite atpažinti skirtumą tarp kvadratų. Kvadratų skirtumas yra tada, kai vieno skaičiaus kvadratas atimamas iš kito skaičiaus kvadrato, kaip yra reiškinyje (a 2 - b 2). Tobulųjų kvadratų skirtumą visada galima išskaidyti į dvi dalis – sumą ir atitinkamo skirtumą kvadratinės šaknys. Tada išraiška bus tokia:

A 2 – b 2 = (a+b)(a-b)

Ši technika labai praverčia ieškant generaliniai nariai algebrinėmis trupmenomis.

• Patikrinkite, ar teisingai įvertinote tą ar kitą išraišką. Norėdami tai padaryti, padauginkite veiksnius - rezultatas turėtų būti ta pati išraiška.
• Norėdami visiškai supaprastinti trupmeną, visada išskirkite didžiausius veiksnius.

Šis straipsnis tęsia algebrinių trupmenų konvertavimo temą: apsvarstykite tokį veiksmą kaip algebrinių trupmenų mažinimą. Apibrėžkime patį terminą, suformuluokime redukcijos taisyklę ir panagrinėkime praktinius pavyzdžius.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algebrinės trupmenos mažinimo reikšmė

Medžiagoje apie paprastąsias trupmenas nagrinėjome jo sumažinimą. Mes apibrėžėme trupmenos mažinimą kaip jos skaitiklio ir vardiklio padalijimą iš bendro koeficiento.

Algebrinės trupmenos sumažinimas yra panaši operacija.

1 apibrėžimas

Algebrinės trupmenos sumažinimas yra jo skaitiklio ir vardiklio padalijimas iš bendro koeficiento. Šiuo atveju, priešingai nei paprastosios trupmenos redukcija (bendrasis vardiklis gali būti tik skaičius), bendras algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio koeficientas gali būti daugianomas, ypač mononomas arba skaičius.

Pvz., algebrinė trupmena 3 x 2 + 6 x x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 gali būti sumažintas skaičiumi 3, todėl gaunama: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 · x 2 · y 2 . Tą pačią trupmeną galime sumažinti kintamuoju x, ir tai suteiks mums išraišką 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Taip pat galima tam tikrą trupmeną sumažinti monomialu 3 x arba bet kuris iš daugianario x + 2 m, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y arba 3 x 2 + 6 x y.

Galutinis algebrinės trupmenos sumažinimo tikslas yra trupmena, didesnė nei paprastas tipas, V geriausiu atveju– neredukuojama trupmena.

Ar visos algebrinės trupmenos turi būti redukuojamos?

Vėlgi, iš įprastų frakcijų medžiagų žinome, kad yra redukuojamų ir neredukuojamų frakcijų. Neredukuojamos trupmenos yra trupmenos, kurios neturi bendrų skaitiklio ir vardiklio faktorių, išskyrus 1.

Tas pats yra ir su algebrinėmis trupmenomis: jų skaitiklis ir vardiklis gali turėti bendrų faktorių arba ne. Bendrų veiksnių buvimas leidžia supaprastinti pradinę frakciją redukuojant. Kai nėra bendrų veiksnių, tam tikros trupmenos optimizuoti redukciniu metodu neįmanoma.

Apskritai, atsižvelgiant į frakcijos tipą, gana sunku suprasti, ar ją galima sumažinti. Žinoma, kai kuriais atvejais bendras veiksnys tarp skaitiklio ir vardiklio yra akivaizdus. Pavyzdžiui, algebrinėje trupmenoje 3 x 2 3 y visiškai aišku, kad bendras koeficientas yra skaičius 3.

Trupmenoje - x · y 5 · x · y · z 3 taip pat iš karto suprantame, kad ją galima sumažinti x, y, arba x · y. Ir vis dėlto daug dažniau pasitaiko algebrinių trupmenų pavyzdžių, kai skaitiklio ir vardiklio bendras veiksnys nėra taip lengvai įžiūrimas, o dar dažniau jo tiesiog nėra.

Pavyzdžiui, trupmeną x 3 - 1 x 2 - 1 galime sumažinti x - 1, o nurodyto bendro koeficiento įraše nėra. Tačiau trupmenos x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 negalima sumažinti, nes skaitiklis ir vardiklis neturi bendro koeficiento.

Taigi algebrinės trupmenos redukuojamumo nustatymo klausimas nėra toks paprastas ir dažnai lengviau dirbti su tam tikros formos trupmena, nei bandyti išsiaiškinti, ar ji redukuojama. Šiuo atveju vyksta tokios transformacijos, kurios tam tikrais atvejais leidžia nustatyti bendrą skaitiklio ir vardiklio koeficientą arba padaryti išvadą apie trupmenos neredukuojamumą. Mes išsamiai išnagrinėsime šią problemą kitoje straipsnio pastraipoje.

Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė

Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė susideda iš dviejų nuoseklių veiksmų:

• rasti bendrus skaitiklio ir vardiklio veiksnius;
• jei tokių randama, frakcijos mažinimo veiksmas atliekamas tiesiogiai.

Patogiausias būdas rasti bendruosius vardiklius yra apskaičiuoti polinomus, esančius tam tikros algebrinės trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Tai leidžia iš karto aiškiai matyti bendrų veiksnių buvimą ar nebuvimą.

Pats algebrinės trupmenos mažinimo veiksmas yra pagrįstas pagrindine algebrinės trupmenos savybe, išreikšta lygybe neapibrėžta, kur a, b, c yra kai kurie daugianariai, o b ir c yra ne nulis. Pirmiausia reikia sumažinti trupmeną iki formos a · c b · c, kurioje iš karto pastebime bendrą veiksnį c. Antras žingsnis – atlikti sumažinimą, t.y. perėjimas į a b formos trupmeną.

Tipiški pavyzdžiai

Nepaisant tam tikro akivaizdumo, išsiaiškinkime ypatingą atvejį, kai algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra lygūs. Panašios trupmenos yra identiškos 1 visame šios trupmenos kintamųjų ODZ:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Nes bendrosios trupmenos yra ypatingas algebrinių trupmenų atvejis, prisiminkime, kaip atliekamas jų sumažinimas. Natūralūs skaičiai, įrašyti į skaitiklį ir vardiklį, įtraukiami į pirminius veiksnius, tada bendrieji veiksniai atšaukiami (jei yra).

Pavyzdžiui, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Paprastų identiškų veiksnių sandaugą galima užrašyti kaip laipsnius, o trupmenos mažinimo procese panaudoti laipsnių dalijimo identiškomis bazėmis savybę. Tada aukščiau pateiktas sprendimas būtų toks:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(skaitiklis ir vardiklis padalintas iš bendro koeficiento 2 2 3). Arba aiškumo dėlei, remdamiesi daugybos ir padalijimo savybėmis, sprendiniui suteikiame tokią formą:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Pagal analogiją atliekamas algebrinių trupmenų redukavimas, kuriame skaitiklis ir vardiklis turi monomius su sveikųjų skaičių koeficientais.

1 pavyzdys

Duota algebrinė trupmena - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Galima parašyti tam tikros trupmenos skaitiklį ir vardiklį kaip paprastų veiksnių ir kintamųjų sandaugą, o tada atlikti redukciją:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Tačiau daugiau racionaliu būdu sprendimas bus parašytas išraiškos su laipsniais forma:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Atsakymas:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kai algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis turi trupmeninius skaitinius koeficientus, galimi du būdai tolesni veiksmai: arba padalykite šiuos trupmeninius koeficientus atskirai, arba pirmiausia atsisakykite trupmeninių koeficientų, padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš tam tikro natūralusis skaičius. Paskutinė transformacija atliekama dėl pagrindinės algebrinės trupmenos savybės (apie tai galite perskaityti straipsnyje „Algebrinės trupmenos sumažinimas iki naujo vardiklio“).

2 pavyzdys

Pateikta trupmena yra 2 5 x 0, 3 x 3. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Sumažinti trupmeną galima taip:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Pabandykime problemą išspręsti kitaip, pirmiausia atsikratę trupmeninių koeficientų – skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš šių koeficientų vardiklių mažiausio bendro kartotinio, t.y. LCM (5, 10) = 10. Tada gauname:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.

Atsakymas: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kai sumažiname algebrines trupmenas bendras vaizdas, kuriame skaitikliai ir vardikliai gali būti vienanariai arba daugianariai, gali kilti problemų, kai bendras veiksnys ne visada matomas iš karto. Arba, be to, jis tiesiog neegzistuoja. Tada, norint nustatyti bendrą koeficientą arba užfiksuoti jo nebuvimo faktą, į faktorių įtraukiamas algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis.

3 pavyzdys

Pateikiama racionalioji trupmena 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Jį reikia sumažinti.

Sprendimas

Suskaičiuokime daugianario skaitiklį ir vardiklį. Išdėkime jį iš skliaustų:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Matome, kad skliausteliuose esanti išraiška gali būti konvertuojama naudojant sutrumpintas daugybos formules:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Aiškiai matyti, kad trupmeną galima sumažinti bendru koeficientu b 2 (a + 7). Sumažinkime:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Parašykime trumpą sprendimą be paaiškinimo kaip lygybių grandinę:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Atsakymas: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Pasitaiko, kad bendrus veiksnius slepia skaitiniai koeficientai. Tada, mažinant trupmenas, optimalu skliausteliuose dėti didesnių skaitiklio ir vardiklio laipsnių skaitinius veiksnius.

4 pavyzdys

Duota algebrinė trupmena 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Jei įmanoma, būtina jį sumažinti.

Sprendimas

Iš pirmo žvilgsnio skaitiklis ir vardiklis neturi bendro vardiklio. Tačiau pabandykime konvertuoti duotąją trupmeną. Iš skaitiklio išimkime koeficientą x:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Dabar galite pamatyti tam tikrą panašumą tarp išraiškos skliausteliuose ir išraiškos vardiklyje dėl x 2 y . Išimkime šių daugianario didesniųjų laipsnių skaitinius koeficientus:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Dabar matomas bendras veiksnys, atliekame sumažinimą:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Atsakymas: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Pabrėžkime, kad susitraukimo įgūdis racionalios trupmenos priklauso nuo gebėjimo koeficientuoti daugianario.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter