Sudėtingų posakių sprendimas internete. Galios išraiškos (išraiškos su galiomis) ir jų transformacija

Panagrinėkime išraiškų transformavimo galiomis temą, bet pirmiausia apsistokime ties keletu transformacijų, kurias galima atlikti bet kokiomis išraiškomis, įskaitant galias. Išmoksime atplėšti skliaustus, atnešti panašius terminus, dirbkite su baze ir laipsniu, naudokite laipsnių savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra galios išraiškos?

Mokykliniuose kursuose mažai žmonių vartoja frazę „galingi posakiai“, tačiau šis terminas nuolat randamas kolekcijose, skirtose pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui. Daugeliu atvejų frazė žymi išraiškas, kurių įrašuose yra laipsnių. Tai mes atspindėsime savo apibrėžime.

1 apibrėžimas

Galios išraiška yra išraiška, kurioje yra laipsniai.

Pateiksime keletą galios išraiškų pavyzdžių, pradedant laipsniu su natūraliuoju laipsniu ir baigiant laipsniu su tikruoju laipsniu.

Paprasčiausias laipsnio išraiškas galima laikyti laipsniais skaičiaus su natūraliuoju rodikliu: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3 . Taip pat laipsniai su nuliniu rodikliu: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Ir laipsniai su sveikaisiais skaičiais neigiamų galių: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Šiek tiek sunkiau dirbti su laipsniu, kurio rodikliai yra racionalūs ir neracionalūs: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Rodiklis gali būti kintamasis 3 x - 54 - 7 3 x - 58 arba logaritmas x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Mes sprendėme klausimą, kas yra galios išraiškos. Dabar pradėkime juos konvertuoti.

Pagrindiniai galios išraiškų transformacijų tipai

Pirmiausia apžvelgsime pagrindines išraiškų tapatumo transformacijas, kurias galima atlikti galios išraiškomis.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite galios išraiškos reikšmę 2 3 (4 2–12).

Sprendimas

Visas pertvarkas atliksime laikydamiesi veiksmų eilės. IN tokiu atveju Pradėsime atlikdami veiksmus skliausteliuose: laipsnį pakeisime skaitmenine reikšme ir apskaičiuosime dviejų skaičių skirtumą. Mes turime 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Viskas, ką turime padaryti, tai pakeisti laipsnį 2 3 jo prasmė 8 ir apskaičiuokite produktą 8 4 = 32. Štai mūsų atsakymas.

Atsakymas: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

2 pavyzdys

Supaprastinkite išraišką galiomis 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Sprendimas

Problemos teiginyje mums pateiktoje išraiškoje yra panašių terminų, kuriuos galime pateikti: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Atsakymas: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

3 pavyzdys

Išreikškite išraišką laipsniais 9 - b 3 · π - 1 2 kaip sandaugą.

Sprendimas

Įsivaizduokime skaičių 9 kaip galią 3 2 ir pritaikykite sutrumpintą daugybos formulę:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Atsakymas: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Dabar pereikime prie tapatybės transformacijų, kurias galima pritaikyti konkrečiai galios išraiškoms, analizės.

Darbas su baze ir eksponentu

Pagrindo arba laipsnio laipsnis gali turėti skaičius, kintamuosius ir kai kurias išraiškas. Pavyzdžiui, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 Ir . Su tokiais įrašais dirbti sunku. Daug lengviau laipsnio bazėje esančią išraišką arba laipsnio išraišką pakeisti identiška išraiška.

Laipsnio ir laipsnio transformacijos atliekamos pagal mums žinomas taisykles atskirai viena nuo kitos. Svarbiausia, kad transformacijos rezultatas būtų identiškas pradinei išraiškai.

Transformacijų tikslas – supaprastinti pradinę išraišką arba gauti problemos sprendimą. Pavyzdžiui, aukščiau pateiktame pavyzdyje (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 galite atlikti veiksmus, kad pasiektumėte laipsnį 4 , 1 1 , 3 . Atidarę skliaustus, galime pateikti panašius terminus galios pagrindui (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) ir gaukite daugiau galios išraiškos paprastas tipas a 2 (x + 1).

Laipsnio savybių naudojimas

Galių savybės, parašytos lygybių forma, yra viena iš pagrindinių priemonių transformuoti išraiškas galiomis. Čia pateikiame pagrindinius, atsižvelgdami į tai a Ir b- tai bet kokie teigiami skaičiai, A r Ir s- savavališki realieji skaičiai:

2 apibrėžimas

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Tais atvejais, kai kalbame apie natūraliuosius, sveikuosius, teigiamus rodiklius, skaičių a ir b apribojimai gali būti daug ne tokie griežti. Taigi, pavyzdžiui, jei svarstysime lygybę a m · a n = a m + n, Kur m Ir n yra natūralūs skaičiai, tada tai bus teisinga bet kurioms a reikšmėms, tiek teigiamoms, tiek neigiamoms, taip pat a = 0.

Galių savybes galite taikyti be apribojimų tais atvejais, kai galių bazės yra teigiamos arba turi kintamuosius, plotą priimtinos vertės kuri yra tokia, kad jos pagrindas priima tik teigiamas vertes. Tiesą sakant, viduje mokyklos mokymo programa matematikoje mokinio užduotis – pasirinkti tinkamą savybę ir teisingai ją pritaikyti.

Ruošiantis stoti į universitetus galite susidurti su problemomis, kurias sprendžiant dėl ​​netikslaus savybių taikymo susiaurės DL ir kiti sunkumai. Šiame skyriuje išnagrinėsime tik du tokius atvejus. Daugiau informacijos šia tema rasite temoje „Reiškių konvertavimas naudojant galių savybes“.

4 pavyzdys

Įsivaizduokite išraišką a 2 , 5 (a 2) – 3: a – 5, 5 galios su pagrindu pavidalu a.

Sprendimas

Pirma, mes naudojame eksponencijos savybę ir transformuojame antrąjį veiksnį naudodami jį (a 2) – 3. Tada mes naudojame laipsnių daugybos ir padalijimo savybes su ta pačia baze:

a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5) = a 2 .

Atsakymas: a 2, 5 · (a 2) - 3: a - 5, 5 = a 2.

Galios išraiškų transformacija pagal galių savybę gali būti atliekama tiek iš kairės į dešinę, tiek į priešingą pusę.

5 pavyzdys

Raskite galios išraiškos 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 reikšmę.

Sprendimas

Jei taikysime lygybę (a · b) r = a r · b r, iš dešinės į kairę, gauname 3 · 7 1 3 · 21 2 3 ir tada 21 1 3 · 21 2 3 formos sandaugą. Sudėkime eksponentus, kai laipsnius dauginame su tomis pačiomis bazėmis: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Yra dar vienas transformacijos būdas:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Atsakymas: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6 pavyzdys

Pateikta galios išraiška a 1, 5 - a 0, 5 - 6, įveskite naują kintamąjį t = a 0,5.

Sprendimas

Įsivaizduokime laipsnį 1, 5 Kaip 0,5 3. Naudojant laipsnio ir laipsnių savybę (a r) s = a r · s iš dešinės į kairę ir gauname (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Galite lengvai įvesti naują kintamąjį į gautą išraišką t = a 0,5: mes gauname t 3 − t − 6.

Atsakymas: t 3 − t − 6 .

Trupmenų, turinčių laipsnius, konvertavimas

Paprastai susiduriame su dviem galios išraiškų su trupmenomis versijomis: išraiška reiškia trupmeną su laipsniu arba apima tokią trupmeną. Tokioms išraiškoms be apribojimų taikomos visos pagrindinės trupmenų transformacijos. Jie gali būti sumažinti, perkelti į naują vardiklį arba dirbti atskirai su skaitikliu ir vardikliu. Iliustruojame tai pavyzdžiais.

7 pavyzdys

Supaprastinkite galios išraišką 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmena, todėl atliksime transformacijas ir skaitiklyje, ir vardikliuose:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Norėdami pakeisti vardiklio ženklą, prieš trupmeną įdėkite minuso ženklą: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Atsakymas: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Trupmenos, turinčios laipsnius, sumažinamos iki naujo vardiklio taip pat kaip racionalios trupmenos. Norėdami tai padaryti, turite rasti papildomą koeficientą ir iš jo padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Būtina pasirinkti papildomą veiksnį taip, kad jokioms kintamųjų reikšmėms iš pradinės išraiškos ODZ kintamųjų jis nepatektų į nulį.

8 pavyzdys

Sumažinkite trupmenas iki naujo vardiklio: a) a + 1 a 0, 7 iki vardiklio a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 iki vardiklio x + 8 · y 1 2 .

Sprendimas

a) Parinkime koeficientą, kuris leis redukuoti iki naujo vardiklio. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, todėl kaip papildomą veiksnį imsime a 0, 3. Kintamojo a leistinų verčių diapazonas apima visų teigiamų verčių rinkinį realūs skaičiai. Laipsnis šioje srityje a 0, 3 nenueina iki nulio.

Padauginkime trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Atkreipkite dėmesį į vardiklį:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Padauginkime šią išraišką iš x 1 3 + 2 · y 1 6, gausime kubelių x 1 3 ir 2 · y 1 6 sumą, t.y. x + 8 · y 1 2 . Tai mūsų naujas vardiklis, iki kurio turime sumažinti pradinę trupmeną.

Taip radome papildomą koeficientą x 1 3 + 2 · y 1 6 . Apie leistinų kintamųjų verčių diapazoną x Ir y išraiška x 1 3 + 2 y 1 6 neišnyksta, todėl iš jos galime padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Atsakymas: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

9 pavyzdys

Sumažinkite trupmeną: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Sprendimas

a) Naudojame didžiausią bendrą vardiklį (GCD), kuriuo galime sumažinti skaitiklį ir vardiklį. Skaičiams 30 ir 45 yra 15. Taip pat galime sumažinti iki x0,5+1 ir ant x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Mes gauname:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Čia identiškų veiksnių buvimas nėra akivaizdus. Turėsite atlikti kai kurias transformacijas, kad gautumėte tuos pačius skaitiklio ir vardiklio veiksnius. Norėdami tai padaryti, išplečiame vardiklį naudodami kvadratų skirtumo formulę:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Atsakymas: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Pagrindinės operacijos su trupmenomis apima trupmenų konvertavimą į naują vardiklį ir trupmenų mažinimą. Abu veiksmai atliekami laikantis tam tikrų taisyklių. Sudedant ir atimant trupmenas, pirmiausia trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio, po to atliekamos operacijos (sudėti arba atimti) su skaitikliais. Vardiklis išlieka tas pats. Mūsų veiksmų rezultatas – nauja trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis – vardklių sandauga.

10 pavyzdys

Atlikite veiksmus x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Sprendimas

Pradėkime atimdami skliausteliuose esančias trupmenas. Suveskime juos prie bendro vardiklio:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Atimkime skaitiklius:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Dabar padauginame trupmenas:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Sumažinkime galia x 1 2, gauname 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Be to, jūs galite supaprastinti galios išraišką vardiklyje, naudodami kvadratų skirtumo formulę: kvadratai: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Atsakymas: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11 pavyzdys

Supaprastinkite laipsnio dėsnio išraišką x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Sprendimas

Mes galime sumažinti trupmeną (x 2, 7 + 1) 2. Gauname trupmeną x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Tęskime x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 laipsnių transformaciją. Dabar galite naudoti dalijimo laipsnius su tais pačiais pagrindais savybę: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Nuo paskutinio produkto pereiname prie trupmenos x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Atsakymas: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Daugeliu atvejų patogiau perkelti veiksnius su neigiamais rodikliais iš skaitiklio į vardiklį ir atgal, keičiant rodiklio ženklą. Šis veiksmas leidžia supaprastinti tolesnį sprendimą. Pateikiame pavyzdį: laipsnio išraišką (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 galima pakeisti x 3 · (x + 1) 0, 2.

Posakių konvertavimas su šaknimis ir galiomis

Problemose yra galios išraiškos, kuriose yra ne tik laipsniai su trupmeniniais rodikliais, bet ir šaknys. Patartina tokius posakius redukuoti tik į šaknis arba tik į galias. Pageidautina siekti laipsnių, nes su jais lengviau dirbti. Šis perėjimas yra ypač pageidautinas, kai pradinės išraiškos kintamųjų ODZ leidžia pakeisti šaknis galiomis, nereikia pasiekti modulio arba padalyti ODZ į kelis intervalus.

12 pavyzdys

Išreikškite išraišką x 1 9 · x · x 3 6 kaip laipsnį.

Sprendimas

Leidžiamų kintamųjų verčių diapazonas x apibrėžiamas dviem nelygybėmis x ≥ 0 ir x x 3 ≥ 0, kurie apibrėžia aibę [ 0 , + ∞) .

Šiame rinkinyje mes turime teisę pereiti nuo šaknų prie galių:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Naudodamiesi galių savybėmis, supaprastiname gautą galios išraišką.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Atsakymas: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Laipsnių konvertavimas su kintamaisiais eksponente

Šias transformacijas gana lengva atlikti, jei teisingai panaudojate laipsnio savybes. Pavyzdžiui, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Galime pakeisti laipsnių sandauga, kurios rodikliai yra kokio nors kintamojo ir skaičiaus suma. Kairėje pusėje tai galima padaryti su pirmąja ir paskutine kairiosios išraiškos pusės dalimis:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Dabar padalinkime abi lygties puses iš 7 2 x. Ši kintamojo x išraiška turi tik teigiamas reikšmes:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Sumažinkime trupmenas laipsniais, gausime: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Galiausiai laipsnių santykis su tais pačiais rodikliais pakeičiamas koeficientų laipsniais, todėl gaunama lygtis 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, kuri yra lygi 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Įveskime naują kintamąjį t = 5 7 x , kuris sumažina sprendinį iki pradinio eksponentinė lygtisį sprendimą kvadratinė lygtis 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Posakių konvertavimas laipsniais ir logaritmais

Išraiškos, turinčios laipsnius ir logaritmus, taip pat randamos uždaviniuose. Tokių posakių pavyzdys yra: 1 4 1 - 5 · log 2 3 arba log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Tokių išraiškų transformacija atliekama naudojant aukščiau aptartus logaritmų metodus ir savybes, kuriuos išsamiai aptarėme temoje „Logaritminių išraiškų transformacija“.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Mathematical-Calculator-Online v.1.0

Skaičiuoklė atlieka tokias operacijas: sudėties, atimties, daugybos, dalybos, darbo su dešimtainėmis dalimis, šaknų ištraukimo, eksponencijos, procentų skaičiavimo ir kitas operacijas.

Sprendimas:

Kaip naudotis matematikos skaičiuokle

Raktas	Paskyrimas	Paaiškinimas
5	skaičiai 0-9	Arabiški skaitmenys. Įvedami natūralieji sveikieji skaičiai, nulis. Norėdami gauti neigiamą sveikąjį skaičių, turite paspausti +/- klavišą
.	kabliataškis)	Skiriklis, nurodantis dešimtainę trupmeną. Jei prieš tašką (kablelį) nėra skaičiaus, skaičiuotuvas automatiškai pakeis nulį prieš tašką. Pavyzdžiui: bus rašoma .5 - 0,5
+	pliuso ženklas	Skaičių pridėjimas (sveiki skaičiai, dešimtainės dalys)
-	minuso ženklas	Skaičių atėmimas (sveiki skaičiai, dešimtainės dalys)
÷	padalijimo ženklas	Skaičių dalijimas (sveiki skaičiai, dešimtainės dalys)
X	daugybos ženklas	Skaičių dauginimas (sveiki skaičiai, dešimtainės dalys)
√	šaknis	Skaičiaus šaknies ištraukimas. Dar kartą paspaudus mygtuką „root“, apskaičiuojama rezultato šaknis. Pavyzdžiui: šaknis iš 16 = 4; šaknis iš 4 = 2
x 2	kvadratūra	Skaičiaus kvadratas. Dar kartą paspaudus mygtuką „Kvadratas“, rezultatas pavaizduojamas kvadratu. Pavyzdžiui: kvadratas 2 = 4; kvadratas 4 = 16
1/x	trupmena	Išvestis dešimtainėmis trupmenomis. Skaitiklis yra 1, vardiklis yra įvestas skaičius
%	proc	Gauti procentą nuo skaičiaus. Norėdami dirbti, turite įvesti: skaičių, nuo kurio bus skaičiuojamas procentas, ženklą (pliusas, minusas, padalyti, padauginti), kiek procentų skaitine forma, mygtuką „%“
(	atviri skliaustai	Atviras skliaustas, skirtas nurodyti skaičiavimo prioritetą. Būtinas uždaras skliaustas. Pavyzdys: (2+3)*2=10
)	uždaras skliaustas	Uždarytas skliaustas, skirtas nurodyti skaičiavimo prioritetą. Būtinas atviras skliaustas
±	plius minusas	Atvirkštinis ženklas
=	lygus	Rodo sprendimo rezultatą. Taip pat virš skaičiuoklės, laukelyje „Sprendimas“ rodomi tarpiniai skaičiavimai ir rezultatas.
←	simbolio ištrynimas	Pašalina paskutinį simbolį
SU	atstatyti	Perkrovimo mygtukas. Visiškai atstato skaičiuotuvą į padėtį „0“

Internetinės skaičiuoklės algoritmas naudojant pavyzdžius

Papildymas.

Sveikųjų skaičių pridėjimas natūraliuosius skaičius { 5 + 7 = 12 }

Viso natūralaus ir neigiami skaičiai { 5 + (-2) = 3 }

Dešimtainių trupmenų pridėjimas (0,3 + 5,2 = 5,5)

Atimtis.

Natūralių sveikųjų skaičių atėmimas ( 7 - 5 = 2 )

Natūralių ir neigiamų sveikųjų skaičių atėmimas ( 5 - (-2) = 7 )

Dešimtainių trupmenų atėmimas ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Daugyba.

Natūralių sveikųjų skaičių sandauga (3 * 7 = 21)

Natūralių ir neigiamų sveikųjų skaičių sandauga ( 5 * (-3) = -15 )

Dešimtainių trupmenų sandauga ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Padalinys.

Natūralių sveikųjų skaičių dalyba (27 / 3 = 9)

Natūralių ir neigiamų sveikųjų skaičių padalijimas (15 / (-3) = -5)

Dešimtainių trupmenų padalijimas (6,2 / 2 = 3,1)

Skaičiaus šaknies ištraukimas.

Sveikojo skaičiaus šaknies ištraukimas ( šaknis(9) = 3)

Šaknies ištraukimas iš po kablelio( šaknis (2.5) = 1.58 )

Skaičių sumos šaknies išskyrimas ( šaknis(56 + 25) = 9)

Skaičių skirtumo šaknies ištraukimas (šaknis (32–7) = 5)

Skaičiaus kvadratas.

Sveikojo skaičiaus kvadratas ( (3) 2 = 9 )

Kvadratinis dešimtainis skaičius ((2,2)2 = 4,84)

Konvertavimas į dešimtaines trupmenas.

Skaičiaus procentų skaičiavimas

Padidinkite skaičių 230 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Sumažinkite skaičių 510 35 % ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % skaičiaus 140 yra (140 * 0,18 = 25,2)

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl

Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastinkite posakį“. Paprastai matome tokį pabaisą kaip ši:

„Tai daug paprasčiau“, – sakome, bet toks atsakymas dažniausiai nepasiteisina.

Dabar aš išmokysiu jus nebijoti tokių užduočių.

Be to, pamokos pabaigoje jūs pats supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprasto skaičiaus (taip, po velnių su šiomis raidėmis).

Tačiau prieš pradėdami šią veiklą, turite sugebėti tvarkyti trupmenas Ir faktorių daugianario.

Todėl, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.

Ar perskaitėte? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.

Eime! (Eime!)

Pagrindinės išraiškos supaprastinimo operacijos

Dabar pažvelkime į pagrindinius metodus, kurie naudojami posakiams supaprastinti.

Paprasčiausias yra

1. Panašių atnešimas

Kas yra panašūs? Jūs to ėmėtės 7 klasėje, kai matematikoje pirmą kartą pasirodė raidės, o ne skaičiai.

Panašus- tai terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį.

Pavyzdžiui, sumoje panašūs terminai yra ir.

Ar prisimeni?

Duok panašiai- reiškia pridėti keletą panašių terminų ir gauti vieną terminą.

Kaip galime sujungti raides? - Jūs klausiate.

Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai.

Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kam lygi išraiška?

Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek jų bus? Teisingai, kėdės: .

Dabar išbandykite šią išraišką: .

Kad išvengtumėte painiavos, leiskite skirtingos raidės reprezentuoja skirtingus objektus.

Pavyzdžiui, - yra (kaip įprasta) kėdė ir - yra stalas.

kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai

Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai.

Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jame yra lygus.

Taigi, panašių atsinešimo taisyklė yra tokia:

Pavyzdžiai:

Pateikite panašius:

Atsakymai:

2. (ir panašiai, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).

2. Faktorizavimas

Tai paprastai svarbiausia dalis supaprastinant posakius.

Po to, kai pateikiate panašius, dažniausiai reikia gautos išraiškos faktorizuoti, tai yra, pateikiama produkto pavidalu.

Ypač ši svarbu trupmenomis: galų gale, norint sumažinti trupmeną, Skaitiklis ir vardiklis turi būti pateikiami kaip sandauga.

Išsamiai išnagrinėjote faktoringo išraiškų metodus temoje „“, todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote.

Norėdami tai padaryti, išspręskite kelis pavyzdžius (reikia juos suskaidyti faktoriais)

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

3. Trupmenos mažinimas.

Na, o kas gali būti maloniau nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?

Tai ir yra mažinimo grožis.

Tai paprasta:

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.

Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:

Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti

2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima perbraukti.

Pavyzdžiai:

Principas, manau, aiškus?

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną dalyką tipiška klaida sudarant sutartis. Nors ši tema paprasta, daugelis žmonių viską daro ne taip, to nesuprasdami sumažinti- tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis yra tas pats skaičius.

Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.

Pavyzdžiui: turime supaprastinti.

Kai kurie žmonės tai daro: tai visiškai neteisinga.

Kitas pavyzdys: sumažinti.

„Protingiausi“ padarys tai:

Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, o tai reiškia, kad jį galima sumažinti.

Bet ne: - tai yra tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra koeficientas.

Štai dar vienas pavyzdys: .

Ši išraiška yra suskaidyta faktoriais, o tai reiškia, kad galite ją sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:

Galite iš karto suskirstyti į:

Kad išvengtumėte tokių klaidų, atsiminkite lengvas kelias kaip nustatyti, ar išraiška yra faktorizuota:

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“ operacija.

Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išreiškimas yra koeficientas).

Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška nėra faktorinuota (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami tai sustiprinti, patys išspręskite keletą pavyzdžių:

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra pažįstama operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius.

Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra santykinai pirminiai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo kažko paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir su paprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame/atimame skaitiklius:

Dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

Atsakymai:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

· pirmiausia nustatome bendruosius veiksnius;

· tada po vieną išrašome visus bendrus veiksnius;

· ir padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskirstome į pagrindinius veiksnius:

Pabrėžkime bendrus veiksnius:

Dabar po vieną išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkite prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

· koeficientas vardiklius;

· nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius;

· vieną kartą užrašyti visus bendruosius veiksnius;

· padauginkite juos iš visų kitų neįprastų veiksnių.

Taigi, eilės tvarka:

1) suskaičiuokite vardiklius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrauktų) koeficientų:

Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji - iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui: .

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingais rodikliais. Bendras vardiklis bus:

iki tam tikro laipsnio

iki tam tikro laipsnio

iki tam tikro laipsnio

iki laipsnio.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur neparašyta, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . Ką tu išmokai?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Kai sumažinate trupmenas iki bendro vardiklio, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet iš ko reikia padauginti, kad gautum?

Taigi padauginkite iš. Ir padauginkite iš:

Išraiškas, kurių negalima suskaidyti į faktorius, vadinsime elementariais veiksniais.

Pavyzdžiui, - tai elementarus veiksnys. - Tas pats. Bet ne: jis gali būti faktorinuojamas.

O kaip su išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarieji veiksniai, į kuriuos išskaidote išraišką raidėmis, yra paprastų veiksnių, į kuriuos skaidote skaičius, analogas. Ir su jais elgsimės lygiai taip pat.

Matome, kad abu vardikliai turi daugiklį. Jis eis į bendrą vardiklį iki laipsnio (atsimeni kodėl?).

Koeficientas yra elementarus ir jie neturi bendro koeficiento, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš paniškai padaugindami šiuos vardiklius, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Jie abu atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, išskaidykime vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažvelgsi, jie panašūs... Ir tai tiesa:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar priveskime jį prie bendro vardiklio:

Supratau? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaitinės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Prisiminkite apskaičiuodami šios išraiškos reikšmę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, leiskite man jums priminti.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu yra keli daugybos ir dalybos darbai, juos galima atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: išraiška skliausteliuose vertinama be eilės!

Jei kelis skliaustus padauginame arba padalijame vienas iš kito, pirmiausia apskaičiuojame kiekvieno skliausto išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti apskaičiuojant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Ką gi, išsiaiškinome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos procedūra yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška raidėmis?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinės operacijos turite atlikti algebrinius veiksmus, ty veiksmus, aprašytus ankstesniame skyriuje: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai tai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai faktorinizavimui reikia naudoti I arba tiesiog skliausteliuose išdėlioti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirma, supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma dar labiau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų dauginimas: kas gali būti paprasčiau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Gerai, dabar viskas baigta. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Sprendimas:

Pirmiausia nustatykime veiksmų tvarką.

Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, kad vietoj dviejų trupmenų gautume vieną.

Tada padalysime trupmenas. Na, pridėkime rezultatą su paskutine trupmena.

Sunumeruosiu veiksmus schematiškai:

Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kur panašių atsirastų mūsų šalyje, patartina nedelsiant juos iškelti.

2. Tas pats galioja ir mažinant trupmenas: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis taikoma trupmenoms, kurias pridedate arba atimate: jei dabar jų vardikliai yra tokie patys, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir kas buvo pažadėta pačioje pradžioje:

Atsakymai:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, vadinasi, temą įvaldėte.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIŠKŲ KONVERTAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

• Atneša panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
• faktorizavimas: bendro veiksnio iškėlimas iš skliaustų, jo pritaikymas ir pan.
• Dalies sumažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, o tai nekeičia trupmenos reikšmės.
  1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
  2) jei skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, juos galima perbraukti.

  SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!

• Trupmenų pridėjimas ir atėmimas:
  ;
• Trupmenų dauginimas ir dalijimas:
  ;

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Jūs jau esate geresnis už didžiąją daugumą jūsų bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Dėl sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Bet kokia kalba gali išreikšti tą pačią informaciją skirtingais žodžiais ir revoliucijos. Ne išimtis ir matematinė kalba. Tačiau tą pačią išraišką galima lygiaverčiai parašyti skirtingais būdais. Ir kai kuriose situacijose vienas iš įrašų yra paprastesnis. Šioje pamokoje kalbėsime apie posakių supaprastinimą.

Žmonės bendrauja toliau skirtingomis kalbomis. Mums svarbus palyginimas yra pora „rusų kalba - matematinė kalba“. Ta pati informacija gali būti perduodama skirtingomis kalbomis. Tačiau, be to, vienoje kalboje jis gali būti tariamas įvairiai.

Pavyzdžiui: „Petya draugauja su Vasya“, „Vasya draugauja su Petya“, „Petya ir Vasya yra draugai“. Sakė kitaip, bet tą patį. Iš bet kurios iš šių frazių suprastume, apie ką kalbame.

Pažiūrėkime į šią frazę: „Berniukas Petya ir berniukas Vasya yra draugai“. Mes suprantame, ką turime omenyje mes kalbame apie. Tačiau mums nepatinka šios frazės skambesys. Ar negalime supaprastinti, pasakyti tą patį, bet paprasčiau? „Berniukas ir berniukas“ - galite pasakyti vieną kartą: „Berniukai Petya ir Vasya yra draugai“.

„Berniukai“... Ar iš jų vardų neaišku, kad tai ne mergaitės? Mes pašaliname „berniukus“: „Petya ir Vasya yra draugai“. O žodį „draugai“ galima pakeisti „draugais“: „Petya ir Vasya yra draugai“. Dėl to pirmoji, ilga, negraži frazė buvo pakeista lygiaverčiu teiginiu, kurį lengviau pasakyti ir suprasti. Mes supaprastinome šią frazę. Supaprastinti reiškia pasakyti paprasčiau, bet neprarasti ar neiškreipti prasmės.

Matematinėje kalboje vyksta maždaug tas pats. Galima sakyti vieną ir tą patį, parašyti skirtingai. Ką reiškia supaprastinti išraišką? Tai reiškia, kad originaliai išraiškai yra daug lygiaverčių posakių, ty tų, kurie reiškia tą patį. Ir iš visos šios įvairovės turime pasirinkti patį paprasčiausią, mūsų nuomone, arba tinkamiausią mūsų tolimesniems tikslams.

Pavyzdžiui, apsvarstykite skaitinę išraišką . Jis bus lygiavertis.

Jis taip pat bus lygiavertis pirmiesiems dviem: .

Pasirodo, supaprastinome savo posakius ir radome trumpiausią ekvivalentinę išraišką.

Skaitmeninėms išraiškoms visada reikia padaryti viską ir gauti lygiavertę išraišką kaip vieną skaičių.

Pažvelkime į pažodinės išraiškos pavyzdį . Aišku, bus paprasčiau.

Supaprastinant pažodiniai posakiai būtina atlikti visus įmanomus veiksmus.

Ar visada reikia supaprastinti išraišką? Ne, kartais mums bus patogiau turėti lygiavertį, bet ilgesnį įrašą.

Pavyzdys: iš skaičiaus reikia atimti skaičių.

Skaičiuoti galima, bet jei pirmasis skaičius būtų pavaizduotas lygiaverčiu jo žymėjimu: , tada skaičiavimai būtų momentiniai: .

Tai yra, supaprastinta išraiška ne visada mums naudinga tolesniems skaičiavimams.

Nepaisant to, labai dažnai susiduriame su užduotimi, kuri skamba kaip „supaprastinti išraišką“.

Supaprastinkite posakį: .

Sprendimas

1) Atlikite veiksmus pirmajame ir antrame skliausteliuose: .

2) Apskaičiuokime produktus: .

Akivaizdu, kad paskutinė išraiška yra paprastesnė nei pradinė. Mes tai supaprastinome.

Siekiant supaprastinti išraišką, ji turi būti pakeista ekvivalentu (lygu).

Norėdami nustatyti lygiavertę išraišką, jums reikia:

1) atlikti visus įmanomus veiksmus,

2) naudoti sudėjimo, atimties, daugybos ir dalybos savybes, kad supaprastintų skaičiavimus.

Sudėjimo ir atimties savybės:

1. Komutacinė sudėties savybė: terminų pertvarkymas nekeičia sumos.

2. Sudėties jungtinė savybė: norėdami prie dviejų skaičių sumos pridėti trečią skaičių, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių sumą.

3. Sumos atėmimo iš skaičiaus savybė: norėdami atimti sumą iš skaičiaus, galite atimti kiekvieną narį atskirai.

Daugybos ir dalybos savybės

1. Komutacinė daugybos savybė: perstačius veiksnius sandauga nekeičiama.

2. Kombinacinė savybė: norėdami padauginti skaičių iš dviejų skaičių sandaugos, pirmiausia galite jį padauginti iš pirmojo koeficiento, o tada gautą sandaugą padauginti iš antrojo koeficiento.

3. Daugybos skirstomoji savybė: norint skaičių padauginti iš sumos, reikia padauginti iš kiekvieno nario atskirai.

Pažiūrėkime, kaip iš tikrųjų atliekame protinius skaičiavimus.

Apskaičiuoti:

Sprendimas

1) Įsivaizduokime, kaip

2) Įsivaizduokime pirmąjį veiksnį kaip bitų terminų sumą ir atliksime dauginimą:

3) galite įsivaizduoti, kaip ir atlikti daugybą:

4) Pakeiskite pirmąjį koeficientą lygiaverte suma:

Paskirstymo įstatymas taip pat gali būti naudojamas išvirkščia pusė: .

Atlikite šiuos veiksmus:

1) 2)

Sprendimas

1) Patogumui galite naudoti paskirstymo dėsnį, tik priešinga kryptimi – išimkite bendrą koeficientą iš skliaustų.

2) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų

Būtina nusipirkti linoleumą virtuvei ir prieškambariui. Virtuvės zona - , prieškambaris - . Yra trijų tipų linoleumai: už ir rubliai. Kiek kainuos kiekvienas iš trijų linoleumo tipų? (1 pav.)

Ryžiai. 1. Problemos teiginio iliustracija

Sprendimas

1 būdas. Galite atskirai sužinoti, kiek pinigų reikės norint nusipirkti linoleumą virtuvei, o paskui koridoriuje ir susumuoti gautus gaminius.

Patogu ir paprasta internetinis skaičiuotuvas trupmenos su detaliais sprendimais Gal būt:

• Sudėkite, atimkite, padauginkite ir padalykite trupmenos internete,
• Gauti paruoštas sprendimas trupmenas su paveiksliuku ir patogu jį perkelti.



Trupmenų sprendimo rezultatas bus čia...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Trupmenos ženklas "/" + - * :
_erase Išvalyti
Mūsų internetinis trupmenų skaičiuotuvas turi greitą įvestį. Pavyzdžiui, norėdami išspręsti trupmenas, tiesiog parašykite 1/2+2/7 į skaičiuotuvą ir paspauskite " Išspręskite trupmenas“. Skaičiuoklė jums parašys detalus sprendimas trupmenomis ir išduos lengvai nukopijuojamas vaizdas.

Ženklai, naudojami rašymui skaičiuotuvu

Galite įvesti sprendimo pavyzdį naudodami klaviatūrą arba naudodami mygtukus.

Internetinio trupmenų skaičiuoklės ypatybės

Trupmenų skaičiuotuvas gali atlikti operacijas tik su 2 paprastosios trupmenos. Jie gali būti teisingi (skaitiklis mažiau nei vardiklis), ir neteisingas (skaitiklis didesnis už vardiklį). Skaičiai skaitiklyje ir vardikliuose negali būti neigiami arba didesni nei 999.
Mūsų internetinis skaičiuotuvas išsprendžia trupmenas ir pateikia atsakymą tinkamos rūšies- sumažina trupmeną ir, jei reikia, parenka visą dalį.

Jei reikia išspręsti neigiamas trupmenas, tiesiog naudokite minuso savybes. Dauginant ir dalijant neigiamas trupmenas, minusas iš minuso suteikia pliusą. Tai yra, neigiamų trupmenų sandauga ir padalijimas yra lygus tų pačių teigiamų dalių sandaugai ir padalijimui. Jei viena trupmena yra neigiama dauginant ar dalinant, tada tiesiog pašalinkite minusą ir pridėkite jį prie atsakymo. Pridedant neigiamas trupmenas, rezultatas bus toks pat, kaip pridėjus tas pačias teigiamas trupmenas. Jei pridėsite vieną neigiamą trupmeną, tai yra tas pats, kas atimti tą pačią teigiamą trupmeną.
Atimant neigiamas trupmenas, rezultatas bus toks pat, lyg jas sukeistų ir padarytų teigiamą. Tai yra, minusas prie minuso šiuo atveju duoda pliusą, bet terminų pertvarkymas sumos nekeičia. Atimdami trupmenas, kurių viena yra neigiama, naudojame tas pačias taisykles.

Dėl sprendimų mišrios frakcijos( trupmenos, kuriose visa dalis) tiesiog padarykite visą dalį į trupmeną. Norėdami tai padaryti, padauginkite visą dalį iš vardiklio ir pridėkite prie skaitiklio.

Jei jums reikia išspręsti 3 ar daugiau trupmenų internete, turėtumėte jas išspręsti po vieną. Pirmiausia suskaičiuokite pirmąsias 2 trupmenas, tada išspręskite gautu atsakymu kita trupmena ir taip toliau. Atlikite veiksmus po vieną, po 2 trupmenas ir galiausiai gausite teisingą atsakymą.