Sumažinkite šias trupmenas iki jų bendro mažiausio vardiklio. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Dažymas
27.09.2019

Sumažinti trupmenas iki mažiausių Bendras vardiklis, reikia: 1) rasti mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardklių kartotinį, tai bus mažiausias bendras vardiklis. 2) kiekvienai trupmenai raskite papildomą koeficientą, padalydami naują vardiklį iš kiekvienos trupmenos vardiklio. 3) padauginkite kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento.

Pavyzdžiai. Sumažinkite šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio.

Randame mažiausią bendrąjį vardiklių kartotinį: LCM(5; 4) = 20, nes 20 yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi ir iš 5, ir iš 4. Raskite 1-ajai trupmenai papildomą koeficientą 4 (20). : 5=4). 2-ajai trupmenai papildomas koeficientas yra 5 (20 : 4=5). 1-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 4, o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį – iš 5. Šias trupmenas sumažinome iki mažiausio bendro vardiklio ( 20 ).

Mažiausias bendras šių trupmenų vardiklis yra skaičius 8, nes 8 dalijasi iš 4 ir savęs. 1-ajai trupmenai papildomo koeficiento nebus (arba galima sakyti, kad jis lygus vienetui), 2-ajai trupmenai papildomas koeficientas yra 2 (8 : 4=2). 2-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 2. Šias trupmenas sumažinome iki mažiausio bendro vardiklio ( 8 ).

Šios trupmenos nėra nesumažinamos.

1-ąją trupmeną sumažinkime 4, o 2-ąją – 2. ( žr. paprastųjų trupmenų mažinimo pavyzdžius: Svetainės schema → 5.4.2. Paprastųjų trupmenų mažinimo pavyzdžiai). Raskite LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Papildomas 1-osios trupmenos daugiklis yra 5 (80 : 16=5). Papildomas 2-osios trupmenos koeficientas yra 4 (80 : 20=4). 1-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 5, o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį – iš 4. Šias trupmenas sumažinome iki mažiausio bendro vardiklio ( 80 ).

Randame mažiausią bendrą vardiklį NCD(5 ; 6 ir 15)=NOK(5 ; 6 ir 15) = 30. Papildomas 1-osios trupmenos koeficientas yra 6 (30 : 5=6), 2-osios trupmenos papildomas koeficientas yra 5 (30 : 6=5), 3-osios trupmenos papildomas koeficientas yra 2 (30 : 15=2). 1-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 6, 2-osios trupmenos skaitiklį ir vardiklį – iš 5, 3-iosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį – iš 2. Šias trupmenas sumažinome iki mažiausio bendro vardiklio ( 30 ).

1 puslapis iš 1 1


Šiame straipsnyje paaiškinama kaip rasti mažiausią bendrą vardiklį Ir kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. Pirmiausia pateikiami trupmenų bendro vardiklio ir mažiausio bendro vardiklio apibrėžimai bei parodyta, kaip rasti bendrą trupmenų vardiklį. Žemiau pateikiama trupmenų sumažinimo iki bendro vardiklio taisyklė ir nagrinėjami šios taisyklės taikymo pavyzdžiai. Apibendrinant, aptariami trijų ar daugiau trupmenų suvedimo į bendrą vardiklį pavyzdžiai.

Puslapio naršymas.

Kas vadinama trupmenų mažinimu iki bendro vardiklio?

Dabar galime pasakyti, ką reiškia sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio. Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio- Tai yra duotųjų trupmenų skaitiklių ir vardiklių dauginimas iš tokių papildomų koeficientų, kad gautųsi trupmenos su vienodais vardikliais.

Bendras vardiklis, apibrėžimas, pavyzdžiai

Dabar atėjo laikas apibrėžti bendrą trupmenų vardiklį.

Kitaip tariant, tam tikros paprastųjų trupmenų rinkinio bendras vardiklis yra bet koks natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš visų šių trupmenų vardklių.

Iš pateikto apibrėžimo išplaukia, kad duotoji trupmenų rinkinys turi be galo daug bendrų vardiklių, nes yra begalinis visų pradinės trupmenų aibės vardiklių bendrųjų kartotinių skaičius.

Nustačius bendrą trupmenų vardiklį, galima rasti bendrus duotųjų trupmenų vardiklius. Tarkime, kad, pavyzdžiui, trupmenos 1/4 ir 5/6, jų vardikliai yra atitinkamai 4 ir 6. Teigiami bendrieji skaičių 4 ir 6 kartotiniai yra skaičiai 12, 24, 36, 48, ... Bet kuris iš šių skaičių yra bendrasis trupmenų 1/4 ir 5/6 vardiklis.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite šio pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Ar trupmenas 2/3, 23/6 ir 7/12 galima sumažinti iki bendro vardiklio 150?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į klausimą, turime išsiaiškinti, ar skaičius 150 yra bendras vardiklių 3, 6 ir 12 kartotinis. Norėdami tai padaryti, patikrinkime, ar 150 dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių (jei reikia, žr. natūraliųjų skaičių dalybos taisykles ir pavyzdžius, taip pat natūraliųjų skaičių dalijimo su liekana taisykles ir pavyzdžius): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (likę 6) .

Taigi, 150 nėra tolygiai dalijamas iš 12, todėl 150 nėra bendras 3, 6 ir 12 kartotinis. Todėl skaičius 150 negali būti bendras pradinių trupmenų vardiklis.

Atsakymas:

Tai uždrausta.

Mažiausias bendras vardiklis, kaip jį rasti?

Skaičių, kurie yra bendrieji duotųjų trupmenų vardikliai, aibėje yra mažiausias natūralusis skaičius, vadinamas mažiausiu bendruoju vardikliu. Suformuluokime šių trupmenų mažiausio bendro vardiklio apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Mažiausias bendras vardiklis yra mažiausias visų šių trupmenų bendrųjų vardiklių skaičius.

Belieka spręsti klausimą, kaip rasti mažiausią bendras daliklis.

Kadangi yra mažiausiai teigiamas bendras daliklis šis rinkinys skaičiai, tada šių trupmenų vardklių LCM yra mažiausias šių trupmenų bendras vardiklis.

Taigi, ieškant mažiausio bendro trupmenų vardiklio, tenka tų trupmenų vardikliai. Pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų 3/10 ir 277/28 vardiklį.

Sprendimas.

Šių trupmenų vardikliai yra 10 ir 28. Norimas mažiausias bendras vardiklis randamas kaip skaičių 10 ir 28 LCM. Mūsų atveju tai paprasta: kadangi 10=2·5 ir 28=2·2·7, tada LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Atsakymas:

140 .

Kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio? Taisyklė, pavyzdžiai, sprendimai

Paprastai bendrosios trupmenos veda prie mažiausio bendro vardiklio. Dabar parašysime taisyklę, kuri paaiškina, kaip sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio.

Trupmenų mažinimo iki mažiausio bendro vardiklio taisyklė susideda iš trijų žingsnių:

  • Pirmiausia suraskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį.
  • Antra, kiekvienai trupmenai apskaičiuojamas papildomas koeficientas, padalijus mažiausią bendrą vardiklį iš kiekvienos trupmenos vardiklio.
  • Trečia, kiekvienos trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš papildomo koeficiento.

Taikykime nurodytą taisyklę, kad išspręstume šį pavyzdį.

Pavyzdys.

Sumažinkite trupmenas 5/14 ir 7/18 iki mažiausio bendro vardiklio.

Sprendimas.

Atlikime visus trupmenų mažinimo iki mažiausio bendro vardiklio algoritmo veiksmus.

Pirmiausia randame mažiausią bendrą vardiklį, kuris yra lygus mažiausiam skaičių 14 ir 18 bendrajam kartotiniui. Kadangi 14=2·7 ir 18=2·3·3, tada LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Dabar apskaičiuojame papildomus koeficientus, kurių pagalba trupmenos 5/14 ir 7/18 bus sumažintos iki vardiklio 126. Trupmenai 5/14 papildomas koeficientas yra 126:14=9, o trupmenai 7/18 – 126:18=7.

Belieka padauginti trupmenų 5/14 ir 7/18 skaitiklius ir vardiklius atitinkamai iš papildomų koeficientų 9 ir 7. Turime ir .

Taigi, trupmenų 5/14 ir 7/18 sumažinimas iki mažiausio bendro vardiklio baigtas. Gautos frakcijos buvo 45/126 ir 49/126.

Šioje pamokoje mes apžvelgsime trupmenų sumažinimą iki bendro vardiklio ir spręsime problemas šia tema. Apibrėžkime bendro vardiklio ir papildomo veiksnio sąvoką, prisiminkime abipusį pirminiai skaičiai. Apibrėžkime mažiausio bendro vardiklio (LCD) sąvoką ir išspręskime daugybę problemų, kad ją rastume.

Tema: trupmenų pridėjimas ir atėmimas su skirtingus vardiklius

Pamoka: trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio

Kartojimas. Pagrindinė trupmenos savybė.

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties natūraliojo skaičiaus, gaunama lygi trupmena.

Pavyzdžiui, trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padalyti iš 2. Gauname trupmeną. Ši operacija vadinama frakcijų mažinimu. Taip pat galite atlikti atvirkštinę transformaciją trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus iš 2. Šiuo atveju sakome, kad trupmeną sumažinome iki naujo vardiklio. Skaičius 2 vadinamas papildomu veiksniu.

Išvada. Trupmeną galima sumažinti iki bet kurio vardiklio, kuris yra duotosios trupmenos vardiklio kartotinis. Kad trupmena būtų perkelta į naują vardiklį, jos skaitiklis ir vardiklis padauginami iš papildomo koeficiento.

1. Sumažinkite trupmeną iki vardiklio 35.

Skaičius 35 yra 7 kartotinis, tai yra, 35 dalijasi iš 7 be liekanos. Tai reiškia, kad ši transformacija yra įmanoma. Raskime papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, padalykite 35 iš 7. Gauname 5. Pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 5.

2. Sumažinkite trupmeną iki 18 vardiklio.

Raskime papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, padalykite naują vardiklį iš pradinio. Gauname 3. Šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 3.

3. Sumažinkite trupmeną iki vardiklio 60.

60 padalijus iš 15 gaunamas papildomas koeficientas. Jis lygus 4. Skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 4.

4. Sumažinkite trupmeną iki vardiklio 24

Paprastais atvejais redukcija iki naujo vardiklio atliekama mintyse. Įprasta tik papildomą koeficientą nurodyti už skliausto šiek tiek į dešinę ir virš pradinės trupmenos.

Trupmeną galima sumažinti iki vardiklio 15, o trupmeną iki vardiklio 15. Trupmenos taip pat turi bendrą vardiklį 15.

Bendras trupmenų vardiklis gali būti bet koks bendras jų vardiklių kartotinis. Paprastumo dėlei trupmenos sumažinamos iki mažiausio bendro vardiklio. Jis lygus duotųjų trupmenų vardiklių mažiausiam bendrajam kartotiniui.

Pavyzdys. Sumažinti iki mažiausio bendro trupmenos vardiklio ir .

Pirmiausia suraskime mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardiklių kartotinį. Šis skaičius yra 12. Raskime papildomą koeficientą pirmai ir antrai trupmenoms. Norėdami tai padaryti, padalinkite 12 iš 4 ir 6. Trys yra papildomas pirmosios trupmenos koeficientas, o du - antrajai. Atveskime trupmenas į vardiklį 12.

Suvedėme trupmenas į bendrą vardiklį, tai yra, radome lygias trupmenas, kurios turi tą patį vardiklį.

Taisyklė. Norėdami sumažinti trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio, turite

Pirma, suraskite mažiausią bendrą šių trupmenų vardklių kartotinį, tai bus jų mažiausias bendras vardiklis;

Antra, padalykite mažiausią bendrą vardiklį iš šių trupmenų vardikų, t. y. raskite kiekvienai trupmenai papildomą koeficientą.

Trečia, padauginkite kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš papildomo koeficiento.

a) Sumažinkite trupmenas ir iki bendro vardiklio.

Mažiausias bendras vardiklis yra 12. Papildomas koeficientas pirmai trupmenai yra 4, antrajai - 3. Trupmenas sumažiname iki vardiklio 24.

b) Sumažinkite trupmenas ir iki bendro vardiklio.

Mažiausias bendras vardiklis yra 45. Padalijus 45 iš 9 iš 15, gauname atitinkamai 5 ir 3. Trupmenas sumažiname iki vardiklio 45.

c) Sumažinkite trupmenas ir iki bendro vardiklio.

Bendras vardiklis yra 24. Papildomi koeficientai yra atitinkamai 2 ir 3.

Kartais gali būti sunku žodžiu rasti mažiausią bendrąjį duotųjų trupmenų vardiklių kartotinį. Tada bendras vardiklis ir papildomi veiksniai randami naudojant pirminį faktorių.

Sumažinkite trupmenas ir iki bendro vardiklio.

Suskaičiuokime skaičius 60 ir 168 į pirminius koeficientus. Išrašykime skaičiaus 60 išplėtimą ir iš antrojo išplėtimo pridėkime trūkstamus koeficientus 2 ir 7. Padauginkime 60 iš 14 ir gaukime bendrą vardiklį 840. Pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 14. Antrosios trupmenos papildomas koeficientas yra 5. Suveskime trupmenas į bendrą vardiklį 840.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ir kt.. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012 m.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6 klasė. - Gimnazija, 2006 m.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. – Švietimas, 1989 m.

4. Rurukinas A.N., Čaikovskis I.V. Matematikos kurso užduotys 5-6 klasėms. – ZSh MEPhI, 2011 m.

5. Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Matematika 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. – ZSh MEPhI, 2011 m.

6. Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O. ir kt.. Matematika: Vadovėlis-pašnekovas 5-6 kl vidurinė mokykla. Matematikos mokytojo biblioteka. – Švietimas, 1989 m.

Galite atsisiųsti 1.2 punkte nurodytas knygas. šios pamokos.

Namų darbai

Vilenkinas N.Y., Žokhovas V.I., Česnokovas A.S. ir kt.. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (nuoroda zr. 1.2)

Namų darbai: Nr.297, Nr.298, Nr.300.

Kitos užduotys: Nr.270, Nr.290

Iš pradžių norėjau įtraukti bendro vardiklio metodus į trupmenų pridėjimo ir atėmimo skyrių. Tačiau informacijos pasirodė tiek daug, o jos svarba tokia didelė (juk ne tik skaitinės trupmenos turi bendrų vardklių), kad geriau šį klausimą panagrinėti atskirai.

Taigi, tarkime, kad turime dvi trupmenas su skirtingais vardikliais. Ir mes norime užtikrinti, kad vardikliai taptų vienodi. Į pagalbą ateina pagrindinė trupmenos savybė, kuri, priminsiu, skamba taip:

Trupmena nepasikeis, jei jos skaitiklis ir vardiklis bus padauginti iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.

Taigi, teisingai pasirinkus veiksnius, trupmenų vardikliai taps vienodi – šis procesas vadinamas redukcija iki bendro vardiklio. O reikalingi skaičiai, „išlyginantys“ vardiklius, vadinami papildomais veiksniais.

Kodėl turime sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio? Štai tik kelios priežastys:

  1. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas. Nėra kito būdo atlikti šią operaciją;
  2. Palyginti trupmenas. Kartais sumažinimas iki bendro vardiklio šią užduotį labai supaprastina;
  3. Užduočių, susijusių su trupmenomis ir procentais, sprendimas. Procentai iš esmės yra įprasti išraiškos, kuriose yra trupmenų.

Yra daug būdų, kaip rasti skaičius, kuriuos padauginus iš jų trupmenų vardikliai bus lygūs. Mes apsvarstysime tik tris iš jų - didėjančio sudėtingumo ir tam tikra prasme efektyvumo tvarka.

Kryžminis dauginimas

Paprasčiausias ir patikimiausias būdas, kuris garantuotai išlygins vardiklius. Elgsimės „stačia galva“: pirmąją trupmeną padauginsime iš antrosios trupmenos vardiklio, o antrąją – iš pirmosios. Dėl to abiejų trupmenų vardikliai taps lygūs pradinių vardiklių sandaugai. Pažiūrėk:

Kaip papildomus veiksnius apsvarstykite gretimų trupmenų vardiklius. Mes gauname:

Taip, tai taip paprasta. Jei tik pradedate tirti trupmenas, geriau dirbti šiuo metodu – taip apsidrausite nuo daugybės klaidų ir garantuotai gausite rezultatą.

Vienintelis trūkumas šis metodas- jūs turite daug skaičiuoti, nes vardikliai dauginami „visoje“, o rezultatas gali būti labai dideli skaičiai. Tai kaina, kurią reikia mokėti už patikimumą.

Bendrojo daliklio metodas

Šis metodas padeda žymiai sumažinti skaičiavimus, tačiau, deja, jis naudojamas gana retai. Metodas yra toks:

  1. Prieš eidami tiesiai į priekį (t. y. naudodami kryžminį metodą), pažiūrėkite į vardiklius. Galbūt vienas iš jų (didesnis) yra padalintas į kitą.
  2. Skaičius, gautas iš šio padalijimo, bus papildomas trupmenos su mažesniu vardikliu veiksnys.
  3. Tokiu atveju trupmenos su dideliu vardikliu iš viso nereikia dauginti – čia ir slypi santaupos. Tuo pačiu metu smarkiai sumažėja klaidų tikimybė.

Užduotis. Raskite posakių reikšmes:

Atkreipkite dėmesį, kad 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Kadangi abiem atvejais vienas vardiklis be liekanos dalijamas iš kito, naudojame bendrųjų faktorių metodą. Mes turime:

Atkreipkite dėmesį, kad antroji trupmena iš viso nebuvo padauginta iš nieko. Tiesą sakant, mes sumažinome skaičiavimo kiekį per pusę!

Beje, šiame pavyzdyje trupmenas paėmiau neatsitiktinai. Jei jus domina, pabandykite juos suskaičiuoti kryžminiu metodu. Po sumažinimo atsakymai bus tie patys, tačiau darbo bus daug daugiau.

Tai yra bendrųjų daliklių metodo galia, bet vėlgi, jis gali būti naudojamas tik tada, kai vienas iš vardklių dalijasi iš kito be liekanos. Kas nutinka gana retai.

Mažiausiai paplitęs kelių metodas

Kai sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, iš esmės bandome rasti skaičių, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio. Tada į šį skaičių įtraukiame abiejų trupmenų vardiklius.

Tokių skaičių yra daug, o mažiausias iš jų nebūtinai bus lygus pradinių trupmenų vardikų tiesioginei sandaugai, kaip manoma taikant „kryžminį“ metodą.

Pavyzdžiui, vardikliams 8 ir 12 skaičius 24 yra gana tinkamas, nes 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Šis skaičius yra daug mažiau produkto 8 12 = 96.

Mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio, vadinamas jų mažiausiu bendruoju kartotiniu (LCM).

Pažymėjimas: Mažiausias bendrasis a ir b kartotinis žymimas LCM(a ; b) . Pavyzdžiui, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Jei pavyks rasti tokį skaičių, bendra skaičiavimų suma bus minimali. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakių reikšmes:

Atkreipkite dėmesį, kad 234 = 117 2; 351 = 117 3. 2 ir 3 faktoriai yra bendras (neturi bendrų veiksnių, išskyrus 1), o faktorius 117 yra bendras. Todėl LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Taip pat 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ir 4 faktoriai yra bendras, o faktorius 5 yra įprastas. Todėl LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Dabar suveskime trupmenas į bendrus vardiklius:

Atkreipkite dėmesį, kaip naudinga buvo padalyti pradinius vardiklius:

  1. Atradę vienodus veiksnius, iš karto priėjome mažiausią bendrą kartotinį, kuris, paprastai kalbant, yra nereikšminga problema;
  2. Iš gauto išplėtimo galite sužinoti, kurių veiksnių „trūksta“ kiekvienoje frakcijoje. Pavyzdžiui, 234 · 3 = 702, todėl pirmosios trupmenos papildomas koeficientas yra 3.

Kad suprastumėte, koks skirtumas yra mažiausiai paplitęs kelių metodas, pabandykite tuos pačius pavyzdžius apskaičiuoti naudodami kryžminį metodą. Žinoma, be skaičiuoklės. Manau, kad po šito komentarai bus nereikalingi.

Nemanykite, kad tikruose pavyzdžiuose nebus tokių sudėtingų trupmenų. Jie susitinka visą laiką, o aukščiau pateiktos užduotys nėra riba!

Vienintelė problema yra tai, kaip rasti šį NOC. Kartais viskas randama per kelias sekundes, pažodžiui „iš akies“, tačiau apskritai tai yra sudėtinga skaičiavimo užduotis, kurią reikia apsvarstyti atskirai. Mes čia to neliesime.

Kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio

Jei paprastosios trupmenos turi tuos pačius vardiklius, vadinasi, jos taip ir yra trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio.

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, trupmenos $\frac(3)(18)$ ir $\frac(20)(18)$ turi tuos pačius vardiklius. Teigiama, kad jų bendras vardiklis yra 18 USD. Trupmenos $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ ir $\frac(100)(29)$ taip pat turi tuos pačius vardiklius. Teigiama, kad jų bendras vardiklis yra 29 USD.

Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, jas galima sumažinti iki bendro vardiklio. Norėdami tai padaryti, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius iš tam tikrų papildomų veiksnių.

2 pavyzdys

Kaip sumažinti dvi trupmenas $\frac(6)(11)$ ir $\frac(2)(7)$ iki bendro vardiklio.

Sprendimas.

Padauginkime trupmenas $\frac(6)(11)$ ir $\frac(2)(7)$ iš papildomų koeficientų atitinkamai $7$ ir $11$ ir suveskime jas į bendrą vardiklį $77$:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

Taigi, suvedus trupmenas į bendrą vardiklį yra duotųjų trupmenų skaitiklio ir vardiklio dauginimas iš papildomų koeficientų, dėl kurių gaunamos trupmenos su tais pačiais vardikliais.

Bendras vardiklis

1 apibrėžimas

Vadinamas bet koks teigiamas bendras visų tam tikros trupmenų aibės vardiklių kartotinis Bendras vardiklis.

Kitaip tariant, bendrasis duotų paprastųjų trupmenų vardiklis yra bet koks natūralusis skaičius, kurį galima padalyti iš visų duotųjų trupmenų vardklių.

Apibrėžimas reiškia begalinį bendrų vardiklių skaičių tam tikram trupmenų rinkiniui.

3 pavyzdys

Raskite bendrus trupmenų $\frac(3)(7)$ ir $\frac(2)(13)$ vardiklius.

Sprendimas.

Šių trupmenų vardikliai yra atitinkamai 7 USD ir 13 USD. Teigiami bendrieji 2 USD ir 5 USD kartotiniai yra 91 USD, 182, 273, 364 USD ir kt.

Bet kuris iš šių skaičių gali būti naudojamas kaip bendrasis trupmenų $\frac(3)(7)$ ir $\frac(2)(13)$ vardiklis.

4 pavyzdys

Nustatykite, ar trupmenas $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ ir $\frac(11)(9)$ galima sumažinti iki bendro vardiklio $252$.

Sprendimas.

Norėdami nustatyti, kaip paversti trupmeną į bendrą vardiklį $252$, turite patikrinti, ar skaičius $252$ yra bendras vardiklių $2, 7$ ir $9$ kartotinis. Norėdami tai padaryti, skaičių $252$ padalinkite iš kiekvieno vardiklio:

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

Skaičius $252$ dalijasi iš visų vardklių, t.y. yra bendras 2, 7 ir 9 USD kartotinis. Tai reiškia, kad pateiktos trupmenos $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ ir $\frac(11)(9)$ gali būti sumažintos iki bendro vardiklio $252$.

Atsakymas: galite.

Mažiausias bendras vardiklis

2 apibrėžimas

Tarp visų bendrų duotųjų trupmenų vardklių galime išskirti mažiausią natūraliąjį skaičių, kuris vadinamas mažiausias bendras vardiklis.

Nes LCM yra mažiausias teigiamas bendrasis tam tikros skaičių aibės daliklis, tada duotųjų trupmenų vardklių LCM yra mažiausias bendrasis duotųjų trupmenų vardiklis.

Todėl norėdami rasti mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį, turite rasti šių trupmenų vardikų LCM.

5 pavyzdys

Pateiktos trupmenos yra $\frac(4)(15)$ ir $\frac(37)(18)$. Raskite jų mažiausią bendrą vardiklį.

Sprendimas.

Šių trupmenų vardikliai yra 15 USD ir 18 USD. Raskime mažiausią bendrą vardiklį kaip skaičių $15$ ir $18$ LCM. Norėdami tai padaryti, naudojame skaičių skaidymą į pirminius veiksnius:

15 USD=3\cdot 5$, 18$=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\ctaškas 3\ctaškas 3\ctaškas 5=90 $.

Atsakymas: 90 USD.

Trupmenų mažinimo iki mažiausio bendro vardiklio taisyklė

Dažniausiai sprendžiant algebros, geometrijos, fizikos ir kt. Įprasta bendrąsias trupmenas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, o ne iki bet kurio bendro vardiklio.

Algoritmas:

  1. Raskite mažiausią bendrą vardiklį naudodami duotųjų trupmenų vardklių LCM.
  2. 2.Apskaičiuokite papildomą koeficientą duotoms trupmenoms. Norėdami tai padaryti, rastas mažiausias bendras vardiklis turi būti padalintas iš kiekvienos trupmenos vardiklio. Gautas skaičius bus papildomas šios trupmenos koeficientas.
  3. Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš papildomo rasto koeficiento.

6 pavyzdys

Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų $\frac(4)(16)$ ir $\frac(3)(22)$ vardiklį ir iki jo sumažinkite abi trupmenas.

Sprendimas.

Naudokime algoritmą, skirtą trupmenoms sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio.

    Apskaičiuokime mažiausiąjį skaičių $16$ ir $22$ kartotinį:

    Išskaidykime vardiklius į paprastus veiksnius: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

    $NOK(16, 22)=2\ctaškas 2\ctaškas 2\ctaškas 2\ctaškas 11=176 $.

    Apskaičiuokime papildomus kiekvienos trupmenos koeficientus:

    $176\div 16=11$ – trupmenai $\frac(4)(16)$;

    $176\div 22=8$ – trupmenai $\frac(3)(22)$.

    Trupmenų $\frac(4)(16)$ ir $\frac(3)(22)$ skaitiklius ir vardiklius padauginkime atitinkamai iš papildomų koeficientų $11$ ir $8$. Mes gauname:

    $\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

    $\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

    Abi trupmenos sumažinamos iki mažiausio bendro vardiklio 176 USD.

Atsakymas: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Kartais norint rasti mažiausią bendrą vardiklį, reikia atlikti daugybę daug laiko atimančių skaičiavimų, kurie gali nepateisinti problemos sprendimo tikslo. Šiuo atveju galite naudoti daugiausia paprastas būdas– sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio, kuris yra šių trupmenų vardikų sandauga.