Kaip padauginti mišrias frakcijas. Frakcija. Paprastųjų, dešimtainių, mišrių trupmenų daugyba

Vidurinės ir vidurinės mokyklos kursuose studentai nagrinėjo temą „Trupmenos“. Tačiau ši sąvoka yra daug platesnė, nei pateikiama mokymosi procese. Šiandien su trupmenos sąvoka susiduriama gana dažnai, ir ne kiekvienas gali apskaičiuoti kokią nors išraišką, pavyzdžiui, padauginti trupmenas.

Kas yra trupmena?

Istoriškai trupmeniniai skaičiai atsirado dėl poreikio matuoti. Kaip rodo praktika, dažnai yra pavyzdžių, kaip nustatyti segmento ilgį ir stačiakampio stačiakampio tūrį.

Iš pradžių mokiniai supažindinami su akcijos sąvoka. Pavyzdžiui, jei padalysite arbūzą į 8 dalis, kiekvienas žmogus gaus vieną aštuntąją arbūzo. Ši viena aštuonių dalis vadinama akcija.

Dalis, lygi ½ bet kokios vertės, vadinama puse; ⅓ - trečia; ¼ - ketvirtadalis. Iškviečiami 5/8, 4/5, 2/4 formos įrašai paprastosios trupmenos. Paprastoji trupmena skirstoma į skaitiklį ir vardiklį. Tarp jų yra trupmenos juosta arba trupmenos juosta. Trupmeninė linija gali būti nubrėžta kaip horizontali arba įstriža linija. IN tokiu atveju tai reiškia padalijimo ženklą.

Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalintas kiekis arba objektas; o skaitiklis – kiek paimama vienodų akcijų. Virš trupmenos linijos rašomas skaitiklis, po ja – vardiklis.

Patogiausia rodyti paprastąsias trupmenas koordinačių spindulys. Jei vieneto segmentas yra padalintas į 4 lygias dalis, pažymėkite kiekvieną dalį lotyniška raidė, tada rezultatas gali būti puiki vaizdinė priemonė. Taigi taškas A rodo dalį, lygią 1/4 viso vieneto segmento, o taškas B žymi 2/8 tam tikros atkarpos.

Trupmenų rūšys

Trupmenos gali būti paprastieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai. Be to, trupmenas galima suskirstyti į tinkamas ir netinkamas. Ši klasifikacija labiau tinka paprastosioms frakcijoms.

Tinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra mažiau nei vardiklis. Atitinkamai, neteisinga trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra didesnis už jo vardiklį. Antrasis tipas paprastai rašomas kaip mišrus skaičius. Ši išraiška susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Pavyzdžiui, 1½. 1 - visa dalis, ½ - trupmena. Tačiau jei jums reikia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiška (dalinti ar dauginti trupmenas, jas sumažinti arba konvertuoti), mišrus skaičius paverčiamas netinkama trupmena.

Teisinga trupmeninė išraiška visada yra mažesnė už vieną, o neteisinga visada yra didesnė nei 1 arba lygi 1.

Kalbant apie šią išraišką, turime omenyje įrašą, kuriame pavaizduotas bet koks skaičius, kurio trupmeninės išraiškos vardiklis gali būti išreikštas vienetu su keliais nuliais. Jei trupmena yra tinkama, sveikoji dalis dešimtainėje žymėjime bus lygi nuliui.

Norėdami parašyti dešimtainę trupmeną, pirmiausia turite parašyti visą dalį, atskirti ją nuo trupmenos kableliu ir tada parašyti trupmenos išraišką. Reikia atsiminti, kad po kablelio skaitiklyje turi būti tiek pat skaitmeninių simbolių, kiek vardiklyje yra nulių.

Pavyzdys. Išreikškite trupmeną 7 21/1000 dešimtainiu žymėjimu.

Netinkamos trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių ir atvirkščiai algoritmas

Neteisinga užduoties atsakyme rašyti netinkamą trupmeną, todėl ją reikia konvertuoti į mišrų skaičių:

• padalykite skaitiklį iš esamo vardiklio;
• V konkretus pavyzdys nepilnas koeficientas – visuma;
• o likusi dalis yra trupmeninės dalies skaitiklis, o vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Netinkamą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių: 47/5.

Sprendimas. 47: 5. Dalinis koeficientas yra 9, likusioji dalis = 2. Taigi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Kartais mišrų skaičių reikia pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną. Tada turite naudoti šį algoritmą:

• sveikoji dalis dauginama iš trupmeninės išraiškos vardiklio;
• gautas produktas pridedamas prie skaitiklio;
• rezultatas rašomas skaitiklyje, vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Pateikite skaičių mišria forma kaip netinkamą trupmeną: 9 8 / 10.

Sprendimas. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 yra skaitiklis.

Atsakymas: 98 / 10.

Trupmenų dauginimas

Su paprastosiomis trupmenomis galima atlikti įvairias algebrines operacijas. Norėdami padauginti du skaičius, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio. Be to, dauginant trupmenas su skirtingus vardiklius nesiskiria nuo trupmeninių skaičių su tais pačiais vardikliais sandaugos.

Taip atsitinka, kad radus rezultatą reikia sumažinti frakciją. Būtina kiek įmanoma supaprastinti gautą išraišką. Žinoma, negalima sakyti, kad neteisinga trupmena atsakyme yra klaida, bet sunku ją pavadinti teisingu atsakymu.

Pavyzdys. Raskite dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą: ½ ir 20/18.

Kaip matyti iš pavyzdžio, radus sandaugą gaunamas redukuojamas trupmeninis žymėjimas. Tiek skaitiklis, tiek vardiklis šiuo atveju dalijami iš 4, o rezultatas yra 5/9.

Dešimtainių trupmenų dauginimas

Dešimtainių trupmenų sandauga savo principu gerokai skiriasi nuo paprastųjų trupmenų sandaugos. Taigi, trupmenų dauginimas yra toks:

• dvi dešimtainės trupmenos turi būti rašomos viena po kita, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas po kito;
• reikia padauginti užrašytus skaičius, nepaisant kablelių, tai yra, kaip natūraliuosius skaičius;
• suskaičiuokite skaitmenų skaičių po kablelio kiekviename skaičiuje;
• rezultate, gautame po daugybos, reikia iš dešinės suskaičiuoti tiek skaitmeninių simbolių, kiek yra abiejų koeficientų sumoje po kablelio, ir įdėti skiriamąjį ženklą;
• jei gaminyje yra mažiau skaičių, tada prieš juos reikia parašyti tiek nulių, kad šis skaičius būtų padengtas, dėti kablelį ir pridėti visą nuliui lygią dalį.

Pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų dešimtainių trupmenų sandaugą: 2,25 ir 3,6.

Sprendimas.

Mišrių trupmenų dauginimas

Norėdami apskaičiuoti dviejų mišrių frakcijų sandaugą, turite naudoti trupmenų dauginimo taisyklę:

• paversti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas;
• rasti skaitiklių sandaugą;
• rasti vardiklių sandaugą;
• užrašykite rezultatą;
• kiek įmanoma supaprastinti išraišką.

Pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4½ ir 6 2/5.

Skaičiaus padauginimas iš trupmenos (trupmenos iš skaičiaus)

Be dviejų trupmenų ir mišriųjų skaičių sandaugos radimo, yra užduočių, kuriose reikia padauginti iš trupmenos.

Taigi, norint rasti dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus sandaugą, jums reikia:

• parašykite skaičių po trupmena taip, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas virš kito;
• rasti produktą nepaisant kablelio;
• gautame rezultate kableliu atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami iš dešinės skaitmenų, esančių po trupmenos kablelio, skaičių.

Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš skaičiaus, turite rasti skaitiklio ir natūraliojo koeficiento sandaugą. Jei atsakymas sukuria trupmeną, kurią galima sumažinti, ją reikia konvertuoti.

Pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą iš 5/8 ir 12.

Sprendimas. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atsakymas: 7 1 / 2.

Kaip matyti iš ankstesnis pavyzdys, reikėjo sumažinti gautą rezultatą ir neteisingą trupmeninę išraišką paversti mišriu skaičiumi.

Trupmenų dauginimas taip pat susijęs su mišrios formos skaičiaus ir natūralaus koeficiento sandauga. Norėdami padauginti šiuos du skaičius, visą mišraus koeficiento dalį turėtumėte padauginti iš skaičiaus, skaitiklį padauginti iš tos pačios reikšmės ir vardiklį palikti nepakeistą. Jei reikia, turite kiek įmanoma supaprastinti gautą rezultatą.

Pavyzdys. Raskite 9 5/6 ir 9 sandaugą.

Sprendimas. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Atsakymas: 88 1 / 2.

Padauginimas iš koeficientų 10, 100, 1000 arba 0,1; 0,01; 0,001

Ši taisyklė išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, 10 000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek koeficiente po vieneto yra nulių.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 0,065 ir 1000.

Sprendimas. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atsakymas: 65.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 3,9 ir 1000.

Sprendimas. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Atsakymas: 3900.

Jei reikia padauginti natūralusis skaičius ir 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ir tt, gautame sandaugoje kablelį turėtumėte perkelti į kairę tiek skaitmenų simbolių, kiek nulių yra prieš vieną. Jei reikia, prieš natūralųjį skaičių rašomas pakankamas nulių skaičius.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 56 ir 0,01.

Sprendimas. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atsakymas: 0,56.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4 ir 0,001.

Sprendimas. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atsakymas: 0,004.

Taigi, ieškant skirtingų trupmenų sandaugos neturėtų kilti jokių sunkumų, išskyrus galbūt rezultato apskaičiavimą; šiuo atveju tiesiog neapsieisite be skaičiuotuvo.

Norėdami teisingai padauginti trupmeną iš trupmenos arba trupmeną iš skaičiaus, turite žinoti paprastos taisyklės. Dabar mes išsamiai išanalizuosime šias taisykles.

Paprastosios trupmenos dauginimas iš trupmenos.

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite apskaičiuoti skaitiklių sandaugą ir šių trupmenų vardiklių sandaugą.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį taip pat padauginame iš antrosios trupmenos vardiklio.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ kartus 3)(7 \kartai 3) = \frac(4)(7)\\\)

Trupmena \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) buvo sumažinta 3.

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus.

Pirma, prisiminkime taisyklę, bet kurį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Naudokime šią taisyklę daugindami.

' (20) (7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Netinkama trupmena \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) paverčiama mišria trupmena.

Kitaip tariant, Dauginant skaičių iš trupmenos, skaičių dauginame iš skaitiklio, o vardiklį paliekame nepakeistą. Pavyzdys:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Mišrių trupmenų dauginimas.

Norėdami padauginti mišrias trupmenas, pirmiausia turite pateikti kiekvieną mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną, o tada naudoti daugybos taisyklę. Skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį – iš vardiklio.

Pavyzdys:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \kartai 6) = \frac(3 \kartai \spalva(raudona) (3) \kartai 23)(4 \kartai 2 \kartai \spalva(raudona) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Atvirkštinių trupmenų ir skaičių daugyba.

Trupmena \(\bf \frac(a)(b)\) yra atvirkštinė trupmenos \(\bf \frac(b)(a)\, jei a≠0,b≠0.
Trupmenos \(\bf \frac(a)(b)\) ir \(\bf \frac(b)(a)\) vadinamos abipusėmis trupmenomis. Atvirkštinių trupmenų sandauga yra lygi 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Pavyzdys:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Susiję klausimai:
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Atsakymas: Paprastųjų trupmenų sandauga yra skaitiklio daugyba iš skaitiklio, vardiklio iš vardiklio. Norėdami gauti mišrių frakcijų sandaugą, turite jas paversti netinkama trupmena ir padauginti pagal taisykles.

Kaip padauginti trupmenas su skirtingais vardikliais?
Atsakymas: nesvarbu, ar trupmenų vardikliai yra vienodi, ar skirtingi, daugyba vyksta pagal skaitiklio sandaugos su skaitikliu, vardiklio su vardikliu sandaugos radimo taisyklę.

Kaip padauginti mišrias frakcijas?
Atsakymas: pirmiausia mišrią trupmeną reikia paversti netinkama trupmena ir tada pagal daugybos taisykles rasti sandaugą.

Kaip padauginti skaičių iš trupmenos?
Atsakymas: skaičių padauginame iš skaitiklio, bet vardiklį paliekame tą patį.

1 pavyzdys:
Apskaičiuokite sandaugą: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Sprendimas:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \color( raudona) (5)) (3 \kartai \spalva(raudona) (5) \kartai 13) = \frac(4)(39)\)

2 pavyzdys:
Apskaičiuokite skaičiaus ir trupmenos sandaugas: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Sprendimas:
a) \(3 \times \frac(17) (23) = \frac(3) (1) \times \frac(17) (23) = \frac(3 \times 17) (1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

3 pavyzdys:
Parašykite trupmenos \(\frac(1)(3)\) atvirkštinį koeficientą?
Atsakymas: \(\frac(3)(1) = 3\)

4 pavyzdys:
Apskaičiuokite dviejų tarpusavyje atvirkštinių trupmenų sandaugą: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Sprendimas:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

5 pavyzdys:
Ar atvirkštinės trupmenos gali būti:
a) kartu su tinkamomis trupmenomis;
b) tuo pačiu metu netinkamos trupmenos;
c) vienu metu natūraliuosius skaičius?

Sprendimas:
a) Norėdami atsakyti į pirmąjį klausimą, pateiksime pavyzdį. Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama, jos atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(3)(2)\) - netinkama trupmena. Atsakymas: ne.

b) beveik visuose trupmenų sąrašuose ši sąlyga netenkinama, tačiau yra keletas skaičių, kurie atitinka sąlygą, kad tuo pačiu metu yra netinkama trupmena. Pavyzdžiui, netinkama trupmena yra \(\frac(3)(3)\), atvirkštinė jos trupmena lygi \(\frac(3)(3)\). Gauname dvi netinkamas trupmenas. Atsakymas: ne visada tam tikromis sąlygomis, kai skaitiklis ir vardiklis yra lygūs.

c) natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami, pavyzdžiui, 1, 2, 3, .... Jei imsime skaičių \(3 = \frac(3)(1)\), tada jo atvirkštinė trupmena bus \(\frac(1)(3)\). Trupmena \(\frac(1)(3)\) nėra natūralusis skaičius. Jei eisime per visus skaičius, skaičiaus atvirkštinė vertė visada yra trupmena, išskyrus 1. Jei imsime skaičių 1, tada jo grįžtamoji trupmena bus \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Skaičius 1 yra natūralusis skaičius. Atsakymas: jie vienu metu gali būti natūralūs skaičiai tik vienu atveju, jei tai yra skaičius 1.

6 pavyzdys:
Atlikite mišrių trupmenų sandaugą: a) \(4 \times 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \times 3\frac(2) (7)\ )

Sprendimas:
a) \(4 \kartai 2\frak(4)(5) = \frac(4)(1) \kartai \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

7 pavyzdys:
Ar du atvirkštiniai skaičiai gali būti mišrūs skaičiai vienu metu?

Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime mišrią trupmeną \(1\frac(1)(2)\, suraskime atvirkštinę trupmeną, kad tai padarytume, paverskime ją netinkamąja trupmena \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jo atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(2)(3)\) . Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama trupmena. Atsakymas: Dvi viena kitai atvirkštinės trupmenos negali būti mišriais skaičiais vienu metu.

) ir vardiklį pagal vardiklį (gauname sandaugos vardiklį).

Trupmenų dauginimo formulė:

Pavyzdžiui:

Prieš pradėdami dauginti skaitiklius ir vardiklius, turite patikrinti, ar trupmeną galima sumažinti. Jei galite sumažinti trupmeną, jums bus lengviau atlikti tolesnius skaičiavimus.

Paprastosios trupmenos dalijimas iš trupmenos.

Trupmenų, susijusių su natūraliaisiais skaičiais, dalyba.

Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienas. Pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų dauginimas.

Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:

• mišrias frakcijas paversti netinkamomis frakcijomis;
• trupmenų skaitiklius ir vardiklius dauginant;
• sumažinti frakciją;
• Jei gausite netinkamą trupmeną, tada netinkamą trupmeną paverčiame mišriąja trupmena.

Pastaba! Norėdami padauginti mišrią frakciją iš kitos mišrios frakcijos, pirmiausia turite jas sudėti į formą netinkamos trupmenos, o tada padauginkite pagal paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę.

Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Gali būti patogiau naudoti antrąjį bendrosios trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.

Pastaba! Norėdami padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padalyti trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus ir palikti skaitiklį nepakeistą.

Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.

Daugiaaukštės trupmenos.

Vidurinėje mokykloje dažnai susiduriama su trijų aukštų (ar daugiau) trupmenomis. Pavyzdys:

Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudokite padalijimą iš 2 taškų:

Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.

Pastaba, Pavyzdžiui:

Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:

Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:

1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau juodraštyje parašyk keletą papildomų eilučių, nei pasiklysti mintyse.

2. Užduotyse su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastųjų trupmenų formą.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas paverčiame įprastinėmis, naudodami dalijimą per 2 taškus.

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.

Įprasti trupmeniniai skaičiai pirmą kartą susitinka su moksleiviais 5 klasėje ir lydi juos visą gyvenimą, nes kasdieniame gyvenime dažnai reikia svarstyti ar naudoti objektą ne kaip visumą, o atskirais gabalais. Pradėkite studijuoti šią temą – dalinkitės. Akcijos yra lygios dalys, į kurią padalintas tas ar kitas objektas. Juk ne visada galima išreikšti, pavyzdžiui, gaminio ilgį ar kainą sveiku skaičiumi, reikėtų atsižvelgti į kurio nors mato dalis ar trupmenas. Sudarytas iš veiksmažodžio „skilti“ - padalyti į dalis ir turintis arabiškas šaknis, pats žodis „frakcija“ rusų kalboje atsirado VIII amžiuje.

Trupmeninės išraiškos ilgą laiką buvo laikomos sunkiausia matematikos šaka. XVII amžiuje, kai pasirodė pirmieji matematikos vadovėliai, jie buvo vadinami „skaldytais skaičiais“, o tai žmonėms buvo labai sunku suprasti.

Šiuolaikinė išvaizda paprastas trupmenines liekanas, kurių dalis skiria horizontali linija, pirmasis iškėlė Fibonacci – Leonardo iš Pizos. Jo darbai datuojami 1202 m. Tačiau šio straipsnio tikslas yra paprastai ir aiškiai paaiškinti skaitytojui, kaip dauginamos mišrios trupmenos su skirtingais vardikliais.

Trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas

Iš pradžių verta nustatyti trupmenų rūšys:

• teisingas;
• neteisingas;
• sumaišytas.

Toliau reikia prisiminti, kaip dauginami trupmeniniai skaičiai su tais pačiais vardikliais. Pačią šio proceso taisyklę lengva suformuluoti savarankiškai: daugybos rezultatas paprastosios trupmenos su tais pačiais vardikliais yra trupmeninė išraiška, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra šių trupmenų vardklių sandauga. Tai yra, iš tikrųjų naujasis vardiklis yra vieno iš iš pradžių buvusio vardiklio kvadratas.

Dauginant paprastosios trupmenos su skirtingais vardikliais dėl dviejų ar daugiau veiksnių taisyklė nesikeičia:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Vienintelis skirtumas yra tas, kad gautas skaičius po trupmenine linija bus skirtingų skaičių sandauga ir, žinoma, vieno kvadratas skaitinė išraiška jo įvardinti neįmanoma.

Verta apsvarstyti trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimą naudojant pavyzdžius:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Pavyzdžiuose naudojami trupmeninių išraiškų mažinimo metodai. Skaitiklio skaičius galite sumažinti tik vardiklio skaičiais; gretimų veiksnių, esančių virš arba žemiau trupmenos linijos, sumažinti negalima.

Kartu su paprastais trupmeniniai skaičiai, yra mišrių trupmenų sąvoka. Mišrus skaičius susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies, tai yra, tai yra šių skaičių suma:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kaip veikia dauginimas?

Pateikiami keli pavyzdžiai.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Pavyzdyje naudojamas skaičiaus dauginimas iš paprastoji trupmeninė dalis, šio veiksmo taisyklė gali būti parašyta taip:

a* b/c = a*b /c.

Tiesą sakant, tokia sandauga yra identiškų trupmeninių liekanų suma, o terminų skaičius rodo šį natūralųjį skaičių. Ypatinga byla:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Yra ir kitas sprendimas, kaip skaičių padauginti iš trupmeninės liekanos. Jums tereikia padalyti vardiklį iš šio skaičiaus:

d* e/f = e/f: d.

Šią techniką naudinga naudoti, kai vardiklis dalijamas iš natūraliojo skaičiaus be liekanos arba, kaip sakoma, iš sveikojo skaičiaus.

Konvertuokite mišrius skaičius į netinkamas trupmenas ir gaukite sandaugą anksčiau aprašytu būdu:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Šiame pavyzdyje pateikiamas būdas pateikti mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną, ji taip pat gali būti pavaizduota kaip bendroji formulė:

a bc = a*b+ c / c, kur naujos trupmenos vardiklis susidaro padauginus visą dalį iš vardiklio ir pridedant ją su pradinės trupmenos liekanos skaitikliu, o vardiklis lieka toks pat.

Šis procesas taip pat veikia išvirkščia pusė. Norėdami atskirti visą dalį ir trupmeninę likutį, netinkamos trupmenos skaitiklį turite padalyti iš vardiklio, naudodami „kampą“.

Netinkamų trupmenų dauginimas pagaminti visuotinai priimtu būdu. Rašydami po viena trupmenos eilute, turite kiek reikia sumažinti trupmenas, kad šiuo metodu sumažintumėte skaičius ir būtų lengviau apskaičiuoti rezultatą.

Internete yra daug pagalbininkų, padedančių išspręsti net sudėtingas matematines problemas įvairiose programų variacijose. Pakankamas tokių paslaugų skaičius siūlo savo pagalbą skaičiuojant trupmenų dauginimą skirtingi skaičiai vardikliuose – vadinamieji internetiniai skaičiuotuvai trupmenoms skaičiuoti. Jie sugeba ne tik dauginti, bet ir atlikti visus kitus paprastus aritmetinius veiksmus su paprastosiomis trupmenomis ir mišriaisiais skaičiais. Dirbti su juo nesudėtinga – užpildote atitinkamus svetainės puslapio laukus, pasirenkate matematinės operacijos ženklą ir spaudžiate „skaičiuoti“. Programa apskaičiuoja automatiškai.

Tema aritmetines operacijas su trupmeniniais skaičiais yra aktualus visame vidurinių ir aukštųjų mokyklų mokinių ugdyme. Vidurinėje mokykloje jie nebelaiko paprasčiausių rūšių, bet sveikųjų skaičių trupmeninės išraiškos, tačiau anksčiau gautos transformacijos ir skaičiavimo taisyklių žinios taikomos pirmine forma. Gerai įsisavintos pagrindinės žinios daugeliui suteikia visišką pasitikėjimą sėkmingu sprendimu sudėtingos užduotys.

Pabaigoje prasminga cituoti Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus žodžius, kurie rašė: „Žmogus yra trupmena. Padidinti savo skaitiklį – savo nuopelnus – žmogus negali, bet kiekvienas gali sumažinti savo vardiklį – nuomonę apie save, ir su tuo mažėjimu priartėti prie savo tobulumo.