Nuo tada, kai atvykote čia, tikriausiai jau matėte šią formulę vadovėlyje

ir padaryk tokį veidą:

Drauge, nesijaudink! Tiesą sakant, viskas yra tiesiog baisu. Jūs tikrai viską suprasite. Tik vienas prašymas – skaitykite straipsnį lėtai, stenkitės suprasti kiekvieną žingsnį. Rašiau kuo paprasčiau ir aiškiau, bet vis tiek reikia suprasti mintį. Ir būtinai išspręskite užduotis iš straipsnio.

Kas yra sudėtinga funkcija?

Įsivaizduokite, kad kraustotės į kitą butą ir dėl to kraunatės daiktus į dideles dėžes. Tarkime, jums reikia surinkti keletą smulkių daiktų, pavyzdžiui, mokyklinę rašymo medžiagą. Jei tiesiog įmesite juos į didžiulę dėžę, jie pasimes, be kitų dalykų. Norėdami to išvengti, pirmiausia įdėkite juos, pavyzdžiui, į maišelį, kurį vėliau įdėkite į didelę dėžutę, o po to užsandarinate. Šis „sudėtingas“ procesas parodytas toliau pateiktoje diagramoje:

Atrodytų, ką su tuo turi matematika? Taip, nepaisant to, kad sudėtinga funkcija formuojama LYGIAI TAIP pat! Tik mes „pakuojame“ ne sąsiuvinius ir rašiklius, o \(x\), o „paketai“ ir „dėžės“ skiriasi.

Pavyzdžiui, paimkime x ir „supakuosime“ į funkciją:

Dėl to, žinoma, gauname \(\cos⁡x\). Tai yra mūsų „daiktų krepšys“. Dabar įdėkime jį į „dėžutę“ – supakuokite, pavyzdžiui, į kubinę funkciją.

Kas bus galų gale? Taip, teisingai, bus „daiktų maišas dėžutėje“, tai yra „X kosinusas kubo pavidalu“.

Gautas dizainas yra sudėtinga funkcija. Nuo paprasto jis skiriasi tuo Vienam X iš eilės taikomi KELI „įtaka“ (paketai). ir pasirodo tarsi „funkcija iš funkcijos“ – „pakavimas pakuotėje“.

Mokyklos kurse yra labai nedaug šių „paketų“ tipų, tik keturi:

Dabar „supakuosime“ X į eksponentinę funkciją su 7 baze, o tada į trigonometrinę funkciją. Mes gauname:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Dabar „supakuosime“ X du kartus trigonometrinės funkcijos, pirmiausia , o paskui:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Paprasta, tiesa?

Dabar pats parašykite funkcijas, kur x:
- pirmiausia jis „supakuotas“ į kosinusą, o po to į eksponentinę funkciją su baze \(3\);
- pirmiausia į penktąją laipsnį, o paskui į liestinę;
- pirmiausia logaritmas iki bazės \(4\) , tada į laipsnį \(-2\).

Atsakymus į šią užduotį rasite straipsnio pabaigoje.

Ar galime X „supakuoti“ ne du, o tris kartus? Jokiu problemu! Ir keturis, ir penkis, ir dvidešimt penkis kartus. Pavyzdžiui, čia yra funkcija, kurioje x yra „supakuotas“ \(4\) kartus:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Bet tokių formulių mokyklinėje praktikoje nerasi (mokiniams labiau pasisekė – jų gali būti sudėtingiau☺).

Sudėtingos funkcijos „išpakavimas“.

Dar kartą pažiūrėkite į ankstesnę funkciją. Ar galite išsiaiškinti „pakavimo“ seką? Į ką X buvo prikimštas pirmas, į ką tada ir taip iki pat pabaigos. Tai yra, kuri funkcija kurioje yra įdėta? Paimkite popieriaus lapą ir užsirašykite, ką manote. Tai galite padaryti naudodami grandinę su rodyklėmis, kaip rašėme aukščiau, arba bet kokiu kitu būdu.

Dabar teisingas atsakymas: pirmiausia x buvo „supakuotas“ į \(4\) laipsnį, po to rezultatas supakuotas į sinusą, o savo ruožtu į logaritmą į bazę \(2\) , ir galiausiai visa ši konstrukcija buvo sugrūsta į galios penketuką.

Tai yra, jums reikia išvynioti seką ATvirkštine tvarka. Ir štai užuomina, kaip tai padaryti lengviau: iš karto pažvelk į X – nuo ​​jo reikėtų šokti. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Pavyzdžiui, čia yra ši funkcija: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Mes žiūrime į X – kas jam atsitiks pirmiausia? Paimta iš jo. Ir tada? Imama rezultato tangentė. Seka bus tokia pati:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Kitas pavyzdys: \(y=\cos⁡((x^3))\). Išanalizuokime – iš pradžių kubavome X, o paskui paėmėme rezultato kosinusą. Tai reiškia, kad seka bus tokia: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atkreipkite dėmesį, funkcija atrodo panaši į pačią pirmąją (kur yra nuotraukos). Bet tai yra visiškai kitokia funkcija: čia kube yra x (tai yra \(\cos⁡((x·x·x)))\), o kube yra kosinusas \(x\) ( tai yra \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Šis skirtumas atsiranda dėl skirtingų „pakavimo“ sekų.

Paskutinis pavyzdys (su svarbia informacija): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Aišku, ką jie čia padarė pirmiausia aritmetines operacijas su x, tada paėmė rezultato sinusą: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Ir šis svarbus punktas: nepaisant to, kad aritmetinės operacijos savaime nėra funkcijos, čia jos veikia ir kaip „pakavimo“ būdas. Pasigilinkime į šį subtilumą.

Kaip sakiau aukščiau, paprastose funkcijose x „supakuotas“ vieną kartą, o sudėtingose ​​- dvi ar daugiau. Be to, bet koks paprastų funkcijų derinys (tai yra jų suma, skirtumas, daugyba ar padalijimas) taip pat yra paprasta funkcija. Pavyzdžiui, \(x^7\) yra paprasta funkcija, taip pat ir \(ctg x\). Tai reiškia, kad visi jų deriniai yra paprastos funkcijos:

\(x^7+ ctg x\) – paprastas,
\(x^7· lovelė x\) – paprasta,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – paprastas ir kt.

Tačiau jei tokiam deriniui bus pritaikyta dar viena funkcija, ji taps sudėtinga, nes bus du „paketai“. Žiūrėti diagramą:

Gerai, pirmyn dabar. Parašykite „vyniojimo“ funkcijų seką:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Atsakymai vėl pateikiami straipsnio pabaigoje.

Vidinės ir išorinės funkcijos

Kodėl turime suprasti funkcijų įdėjimą? Ką tai mums duoda? Faktas yra tas, kad be tokios analizės negalėsime patikimai rasti aukščiau aptartų funkcijų išvestinių.

O norint eiti toliau, mums reikės dar dviejų sąvokų: vidinių ir išorinių funkcijų. Tai labai paprastas dalykas, be to, iš tikrųjų mes juos jau išanalizavome aukščiau: jei prisiminsime savo analogiją pačioje pradžioje, tada vidinė funkcija yra „paketas“, o išorinė – „dėžutė“. Tie. tai, į ką X „įvyniojama“ pirmiausia, yra vidinė funkcija, o į ką „įvyniojama“ vidinė funkcija – jau išorinė. Na, aišku kodėl – ji lauke, vadinasi, išorė.

Šiame pavyzdyje: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcija \(\log_2⁡x\) yra vidinė ir
- išorinis.

Ir čia: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) yra vidinis ir
- išorinis.

Užbaikite paskutinę sudėtingų funkcijų analizės praktiką ir pagaliau pereikime prie to, dėl ko visi buvome pradėti – rasime sudėtingų funkcijų išvestinius:

Lentelėje užpildykite tuščias vietas:

Sudėtingos funkcijos išvestinė

Bravo mums, pagaliau priėjome prie šios temos „boso“ – tiesą sakant, išvestinio sudėtinga funkcija, o konkrečiai, prie tos labai baisios formulės nuo straipsnio pradžios.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ši formulė skamba taip:

Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi išorinės funkcijos išvestinės pastovios vidinės funkcijos ir vidinės funkcijos išvestinei sandaugai.

Ir nedelsdami pažiūrėkite į analizavimo diagramą pagal žodžius, kad suprastumėte, ką daryti su kuo:

Tikiuosi, kad terminai „darinė“ ir „produktas“ nesukels jokių sunkumų. „Sudėtinga funkcija“ - mes jau ją sutvarkėme. Svarbiausia yra „išorinės funkcijos išvestinė, palyginti su pastovia vidine funkcija“. Kas tai yra?

Atsakymas: Tai įprastas išorinės funkcijos darinys, kuriame keičiasi tik išorinė funkcija, o vidinė išlieka ta pati. Vis dar neaišku? Gerai, panaudokime pavyzdį.

Turėkime funkciją \(y=\sin⁡(x^3)\). Aišku, kad vidinė funkcija čia yra \(x^3\), o išorinė
. Dabar suraskime išorės išvestinį pastovaus interjero atžvilgiu.

Pateikiamas kompleksinės funkcijos išvestinės formulės įrodymas. Atvejai, kai sudėtinga funkcija priklauso nuo vieno ar dviejų kintamųjų, yra išsamiai nagrinėjami. Apibendrinimas atliekamas atsitiktinio kintamųjų skaičiaus atveju.

Pateikiame šių sudėtingos funkcijos išvestinių formulių išvedimą.
Jei tada
.
Jei tada
.
Jei tada
.

Sudėtinės funkcijos išvestinė iš vieno kintamojo

Tegul kintamojo x funkcija pavaizduota kaip sudėtinga funkcija tokia forma:
,
kur yra tam tikros funkcijos. Funkcija yra diferencijuojama kuriai nors kintamojo x vertei. Funkcija yra diferencijuojama pagal kintamojo vertę.
Tada kompleksinė (sudėtinė) funkcija yra diferencijuojama taške x ir jos išvestinė nustatoma pagal formulę:
(1) .

Formulė (1) taip pat gali būti parašyta taip:
;
.

Įrodymas

Įveskime tokį užrašą.
;
.
Čia yra kintamųjų funkcija ir , yra kintamųjų funkcija ir . Bet mes praleisime šių funkcijų argumentus, kad nesugadintume skaičiavimų.

Kadangi funkcijos ir yra diferencijuojamos taškuose x ir atitinkamai, tai šiuose taškuose yra šių funkcijų išvestinės, kurios yra šios ribos:
;
.

Apsvarstykite šią funkciją:
.
Fiksuotai kintamojo u vertei yra funkcija . Tai akivaizdu
.
Tada
.

Kadangi funkcija taške yra diferencijuojama funkcija, ji tame taške yra ištisinė. Štai kodėl
.
Tada
.

Dabar randame išvestinę.

.

Formulė įrodyta.

Pasekmė

Jei kintamojo x funkcija gali būti pavaizduota kaip kompleksinė kompleksinės funkcijos funkcija
,
tada jo išvestinė nustatoma pagal formulę
.
Čia ir yra keletas skirtingų funkcijų.

Norėdami įrodyti šią formulę, nuosekliai apskaičiuojame išvestinę taisyklę, skirtą atskirti sudėtingą funkciją.
Apsvarstykite sudėtingą funkciją
.
Jo darinys
.
Apsvarstykite pradinę funkciją
.
Jo darinys
.

Sudėtingos funkcijos išvestinė iš dviejų kintamųjų

Dabar leiskite sudėtingai funkcijai priklausyti nuo kelių kintamųjų. Pirmiausia pažiūrėkime dviejų kintamųjų sudėtingos funkcijos atvejis.

Tegul funkcija, priklausanti nuo kintamojo x, pavaizduota kaip sudėtinga dviejų kintamųjų funkcija tokia forma:
,
Kur
ir kai kuriai kintamojo x reikšmei yra diferencijuojamos funkcijos;
- dviejų kintamųjų, besiskiriančių taške , funkcija. Tada kompleksinė funkcija yra apibrėžta tam tikroje taško kaimynystėje ir turi išvestinę, kuri nustatoma pagal formulę:
(2) .

Įrodymas

Kadangi funkcijos ir yra diferencijuojamos taške, jos yra apibrėžtos tam tikroje šio taško kaimynystėje, taške yra ištisinės, o taške egzistuoja jų išvestinės, kurios yra šios ribos:
;
.
Čia
;
.
Dėl šių funkcijų tęstinumo tam tikrame taške turime:
;
.

Kadangi funkcija taške yra diferencijuojama, ji yra apibrėžta tam tikroje šio taško kaimynystėje, šiame taške yra ištisinė, o jos prieaugis gali būti parašytas tokia forma:
(3) .
Čia

- funkcijos padidėjimas, kai jos argumentai didinami reikšmėmis ir ;
;

- funkcijos dalinės išvestinės kintamųjų ir .
Fiksuotoms ir reikšmėms ir yra kintamųjų ir funkcijos. Jie linkę į nulį ir:
;
.
Nuo ir tada
;
.

Funkcijų padidėjimas:

. :
.
Pakeiskime (3):



.

Formulė įrodyta.

Sudėtingos funkcijos išvestinė iš kelių kintamųjų

Aukščiau pateiktą išvadą galima nesunkiai apibendrinti tuo atveju, kai kompleksinės funkcijos kintamųjų skaičius yra didesnis nei du.

Pavyzdžiui, jei f yra trijų kintamųjų funkcija, Tai
,
Kur
, o kai kuriai kintamojo x reikšmei yra diferencijuojamos funkcijos;
- trijų kintamųjų diferencijuojama funkcija taške , , .
Tada iš funkcijos diferencijavimo apibrėžimo turime:
(4)
.
Kadangi dėl tęstinumo
; ; ,
Tai
;
;
.

Padalinę (4) iš ir pereidami prie ribos, gauname:
.

Ir galiausiai, pasvarstykime bendriausias atvejis.
Tegul kintamojo x funkcija pavaizduota kaip sudėtinga n kintamųjų funkcija tokia forma:
,
Kur
kai kuriai kintamojo x reikšmei yra diferencijuojamos funkcijos;
- n kintamųjų diferencijuojama funkcija taške
, , ... , .
Tada
.

Po išankstinio artilerijos paruošimo pavyzdžiai su 3-4-5 funkcijų lizdais bus mažiau baisūs. Galbūt kai kuriems šie du pavyzdžiai atrodys sudėtingi, bet jei juos suprasite (kas nors nukentės), tada beveik visa kita diferencialinis skaičiavimas Tai atrodys kaip vaiko pokštas.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip jau buvo pažymėta, ieškant sudėtingos funkcijos išvestinę, pirmiausia tai būtina Teisingai SUPRASTAS savo investicijas. Tais atvejais, kai kyla abejonių, primenu naudingas triukas: paimame, pavyzdžiui, eksperimentinę „x“ reikšmę ir bandome (protiškai arba juodraštyje) pakeisti duota vertėį „baisią išraišką“.

1) Pirmiausia turime apskaičiuoti išraišką, o tai reiškia, kad suma yra giliausias įterpimas.

2) Tada reikia apskaičiuoti logaritmą:

4) Tada supjaustykite kosinusą:

5) Penktame etape skirtumas:

6) Ir galiausiai, tolimiausia funkcija yra Kvadratinė šaknis:

Sudėtingos funkcijos diferencijavimo formulė bus naudojamas Atvirkštinė tvarka, nuo išorinės funkcijos iki vidinės. Mes nusprendžiame:

Atrodo be klaidų:

1) Paimkite kvadratinės šaknies išvestinę.

2) Paimkite skirtumo išvestinę taisyklę

3) Trigubo išvestinė lygi nuliui. Antruoju nariu imame laipsnio (kubo) išvestinę.

4) Paimkite kosinuso išvestinę.

6) Ir galiausiai paimame giliausio įterpimo išvestinį.

Tai gali atrodyti per sunku, bet tai nėra pats žiauriausias pavyzdys. Paimkite, pavyzdžiui, Kuznecovo kolekciją ir įvertinsite visą analizuojamo darinio grožį ir paprastumą. Pastebėjau, kad jie mėgsta duoti panašų dalyką per egzaminą, kad patikrintų, ar studentas supranta, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, ar nesupranta.

Toliau pateiktas pavyzdys skirtas savarankiškas sprendimas.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Patarimas: pirmiausia taikome tiesiškumo taisykles ir produktų diferenciacijos taisyklę

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Atėjo laikas pereiti prie kažko mažesnio ir gražesnio.
Neretai pavyzdyje rodoma sandauga ne du, o trys funkcijos. Kaip rasti trijų veiksnių sandaugos išvestinę?

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Pirmiausia pažiūrėkime, ar įmanoma trijų funkcijų sandaugą paversti dviejų funkcijų sandauga? Pavyzdžiui, jei gaminyje būtų du daugianariai, galėtume atidaryti skliaustus. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje visos funkcijos skiriasi: laipsnis, eksponentas ir logaritmas.

Tokiais atvejais būtina nuosekliai taikyti produktų diferencijavimo taisyklę du kartus

Apgaulė ta, kad raide „y“ žymime dviejų funkcijų sandaugą: , o „ve“ žymime logaritmą: . Kodėl tai galima padaryti? Ar tikrai - tai ne dviejų veiksnių rezultatas ir taisyklė neveikia?! Nėra nieko sudėtingo:

Dabar belieka taisyklę taikyti antrą kartą skliausteliui:

Vis tiek galite būti iškrypęs ir ką nors paimti iš skliaustų, bet ne tokiu atveju Geriau palikite atsakymą šioje formoje – bus lengviau patikrinti.

Nagrinėjamas pavyzdys gali būti išspręstas antruoju būdu:

Abu sprendimai yra visiškai lygiaverčiai.

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys; pavyzdyje jis išspręstas naudojant pirmąjį metodą.

Pažvelkime į panašius pavyzdžius su trupmenomis.

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite eiti keliais būdais:

Arba taip:

Tačiau sprendimas bus parašytas kompaktiškiau, jei pirmiausia pasinaudosime koeficiento diferenciacijos taisykle , imant visą skaitiklį:

Iš principo pavyzdys išspręstas, o palikus tokį, koks yra, tai nebus klaida. Bet jei turite laiko, visada patartina patikrinti juodraštį, ar galima supaprastinti atsakymą?

Sumažinkime skaitiklio išraišką iki Bendras vardiklis ir atsikratyti trijų aukštų trupmenos:

Papildomų supaprastinimų trūkumas yra tas, kad kyla pavojus suklysti ne ieškant išvestinio, o atliekant banalias mokyklos transformacijas. Kita vertus, mokytojai dažnai atmeta užduotį ir prašo „prisiminti“ išvestinį.

Paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes ir toliau įvaldome išvestinės paieškos metodus, o dabar nagrinėsime tipišką atvejį, kai diferencijuoti siūlomas „siaubingas“ logaritmas

Pirmas lygis

Funkcijos išvestinė. Išsamus vadovas (2019)

Įsivaizduokime tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis; gyvenime mes naudojame jūros lygį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Iš tiesų skirtingose ​​kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai x ašies) vienu kilometru, kilsime arba krissime skirtingi kiekiai metrų jūros lygio atžvilgiu (išilgai ordinačių ašies).

Pažymėkime pažangą (skaitykite „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra - tai yra kiekio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Tai tiesa, masto pokytis.

Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neatskirkite „delta“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės! Tai yra, pavyzdžiui,.

Taigi, mes pajudėjome į priekį, horizontaliai, per. Jei lyginsime kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, eidami į priekį, kylame aukščiau.

Reikšmę nesunku suskaičiuoti: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję atsidūrėme aukštyje, tada. Jei pabaigos taškas yra žemesnis nei pradžios taškas, jis bus neigiamas – tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.

Grįžkime prie „statumo“: tai reikšmė, rodanti, kiek (stačiai) padidėja aukštis judant į priekį vienu atstumo vienetu:

Tarkime, kad tam tikroje kelio atkarpoje pajudėjus kilometrą į priekį kelias kilometrą pakyla aukštyn. Tada nuolydis šioje vietoje yra lygus. O jei kelias, judant į priekį m, nukrito km? Tada nuolydis yra lygus.

Dabar pažiūrėkime į kalvos viršūnę. Paėmus atkarpos pradžią pusę kilometro iki viršūnės, o pabaigą – puskilometrį po jos, matyti, kad aukštis beveik toks pat.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai nėra tiesa. Tik nuvažiavus kilometrus daug kas gali pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei viduryje kelio yra stulpas, galime jį tiesiog aplenkti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra geriau!

IN Tikras gyvenimas Matuoti atstumus milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas, tai yra, absoliuti reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad dydis yra be galo mažas, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra nulis! Bet labai arti to. Tai reiškia, kad galite iš jo padalinti.

Sąvoka, priešinga begaliniam mažumui, yra be galo didelė (). Jūs tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvosite didžiausią įmanomą skaičių, tiesiog padauginkite jį iš dviejų ir gausite dar didesnį skaičių. Ir begalybė yra dar didesnė už tai, kas vyksta. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkštiniai vienas kitam, tai yra, at, ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:

Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Bet leiskite man priminti, kad be galo mažas nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalysite vienas iš kito, galite gauti visiškai įprastą skaičių, pavyzdžiui, . Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai kartų didesnė už kitą.

Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, bet mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.

Išvestinės samprata

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui.

Palaipsniui matematikoje jie vadina kaita. Tai, kiek argumentas () keičiasi judant išilgai ašies, vadinamas argumentų prieaugis ir yra žymimas Kiek pasikeitė funkcija (aukštis) judant į priekį išilgai ašies atstumu funkcijos padidėjimas ir yra paskirtas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkciją, tik su pirminiu pirminiu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.

Ar išvestinė gali būti lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Ir tai tiesa, ūgis visai nesikeičia. Taip yra ir su išvestine: pastovios funkcijos (konstantos) išvestinė lygi nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.

Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad galima išilgai išdėstyti segmento galus skirtingos pusės iš viršaus, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Bet dideli segmentai- netikslaus matavimo požymis. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Tačiau tuo pat metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščių skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė

Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį pakeičia nežymiai.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip sužinojome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur smarkiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl tarp neigiamų ir teigiamas vertes būtinai turi būti. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina apie lovelį (sritis, kurioje funkcija kairėje mažėja, o dešinėje didėja):

Šiek tiek daugiau apie priedus.

Taigi argumentą keičiame į dydį. Iš kokios vertės keičiame? Kuo tai (argumentas) tapo dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva: . Kokia dabar funkcijos vertė? Kur yra argumentas, taip pat ir funkcija: . O kaip su funkcijos padidėjimu? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

1. Raskite funkcijos prieaugį taške, kai argumento prieaugis yra lygus.
2. Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.

Sprendimai:

Skirtinguose taškuose su tuo pačiu argumento prieaugiu funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – skirtinguose taškuose kelio statumas yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija yra funkcija, kai argumentas tam tikru laipsniu yra (logiškas, tiesa?).

Be to – bet kokiu mastu: .

Paprasčiausias atvejis, kai eksponentas yra:

Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:

Taigi argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?

Prieaugis yra tai. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra lygi:

Išvestinė yra lygi:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinė funkcija (): .

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža ir todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, mes sugalvojome kitą taisyklę:

c) Tęsiame loginę seką: .

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę arba koeficientuokite visą išraišką naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys naudodami bet kurį iš siūlomų metodų.

Taigi, aš gavau šiuos dalykus:

Ir vėl prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname: .

d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti laipsnio funkcijai su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:

(2)

Taisyklė gali būti suformuluota taip: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažinamas .

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

1. (dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – apskaičiuojant funkcijos prieaugį);

1. . Tikėkite ar ne, tai yra galios funkcija. Jei turite klausimų, pavyzdžiui, „Kaip tai? Kur yra laipsnis?“, prisiminkite temą „“!
   Taip, taip, šaknis taip pat yra laipsnis, tik trupmeninė dalis: .
   Tai reiškia, kad mūsų kvadratinė šaknis yra tik laipsnis su rodikliu:
   .
   Išvestinės ieškome naudodami neseniai išmoktą formulę:

   Jei šiuo metu vėl pasidaro neaišku, pakartokite temą ""!!! (apie laipsnį su neigiamu rodikliu)

2. . Dabar eksponentas:

   O dabar per apibrėžimą (ar jau pamiršote?):
   ;
   .
   Dabar, kaip įprasta, nepaisome termino, kuriame yra:
   .

3. . Ankstesnių atvejų derinys: .

Trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Su išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norėdami ten patekti, turite gerai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad kai funkcijos nėra – taškas grafike iškerpamas. Tačiau kuo arčiau vertės, tuo arčiau funkcija. Tai yra „tikslai“.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar neateiname į vieningą valstybinį egzaminą.

Taigi, pabandykime: ;

Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažesnis, tuo santykio reikšmė artimesnė.

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkime temą „“): .

Dabar išvestinė:

Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis taip pat yra begalinis: . Išraiška yra tokia:

Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažo dydžio.

Taigi, gauname tokią taisyklę: sinuso išvestinė lygi kosinusui:

Tai yra pagrindiniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

1. Raskite funkcijos išvestinę taške;
2. Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

1. Pirmiausia suraskime išvestinę bendras vaizdas, tada pakeiskite jo reikšmę:
   ;
   .
2. Čia mes turime kažką panašaus į galios funkcija. Pabandykime ją atvesti
   normalus vaizdas:
   .
   Puiku, dabar galite naudoti formulę:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Kas tai yra????

Gerai, tu teisus, mes dar nežinome, kaip rasti tokių išvestinių. Čia yra kelių tipų funkcijų derinys. Norėdami dirbti su jais, turite išmokti dar keletą taisyklių:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra funkcija, kurios bet kurios reikšmės išvestinė yra lygi ir pačios funkcijos reikšmei tuo pačiu metu. Ji vadinama „eksponentu“ ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas yra konstanta – ji begalinė dešimtainis, tai yra neracionalus skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.

Taigi, taisyklė:

Labai lengva prisiminti.

Na, toli nenueikime, iš karto apsvarstykime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinė funkcija? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj to rašome.

Kam jis lygus? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Parodos dalyvis ir natūralusis logaritmas- funkcijos yra išskirtinai paprastos išvestinių atžvilgiu. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė taip pat tinka skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

1. (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes tai tiesinė funkcija, pamenate?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir suraskime jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijų ir išvestines;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją sumažinti iki naujos bazės:

Tam naudosime paprasta taisyklė: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jo negalima užrašyti daugiau paprasta forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to parašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Išvestinės iš eksponentinės ir logaritmines funkcijas beveik niekada nedalyvauja vieningame valstybiniame egzamine, bet nepakenktų juos pažinti.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokoladą, turite tai padaryti atvirkštiniai veiksmai atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums suteikiamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką gavau (susiriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi funkcija sudėtingos funkcijos: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu,.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

1. Kokį veiksmą atliksime pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuokime sinusą, o tik tada supjaustykime. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
   O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
2. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
3. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
4. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
5. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie pradinį pavyzdį, jis atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(Tik nemėginkite jo iškirpti! Niekas neišnyra iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad tai trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau pati savaime yra kompleksinė funkcija, iš jos išgauname ir šaknį, tai yra, atliekame trečią veiksmą (dedame šokoladą į įvyniojimas ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šią funkciją vis tiek „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo pabaigos.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu veiksmus sunumeruoti. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo „išoriškesnė“ bus atitinkama funkcija. Veiksmų seka yra tokia pati kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų eigą.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINIMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
2. Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
3. Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Sudėtingi dariniai. Logaritminė išvestinė.
Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Mes ir toliau tobuliname savo diferenciacijos techniką. Šioje pamokoje konsoliduosime apžvelgtą medžiagą, pažvelgsime į sudėtingesnius išvestinius išvestinius dalykus, taip pat susipažinsime su naujais būdais ir gudrybėmis ieškant išvestinės, ypač su logaritmine dariniu.

Tie skaitytojai, kurie turi žemą pasirengimo lygį, turėtų perskaityti straipsnį Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimų pavyzdžiai, kuri leis pakelti savo įgūdžius beveik nuo nulio. Tada turite atidžiai išstudijuoti puslapį Sudėtingos funkcijos išvestinė, suprasti ir išspręsti Visi mano pateiktus pavyzdžius. Ši pamoka logiškai trečia, o ją įvaldę užtikrintai atskirsite gana sudėtingas funkcijas. Nepageidautina užimti poziciją „Kur dar? Taip, užtenka! “, nes visi pavyzdžiai ir sprendimai paimti iš tikro bandymai ir dažnai susiduriama praktikoje.

Pradėkime nuo pasikartojimo. Pamokoje Sudėtingos funkcijos išvestinė Mes peržiūrėjome keletą pavyzdžių su išsamiais komentarais. Studijuojant diferencialinį skaičiavimą ir kitas matematinės analizės šakas, teks labai dažnai diferencijuoti, o ne visada patogu (ir ne visada būtina) labai detaliai aprašyti pavyzdžius. Todėl praktikuosime vedinių radimą žodžiu. Tam tinkamiausi „kandidatai“ yra paprasčiausių sudėtingų funkcijų dariniai, pavyzdžiui:

Pagal sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę :

Ateityje studijuojant kitas matano temas tokio detalaus įrašo dažniausiai nereikia, daroma prielaida, kad studentas žino, kaip autopilotu rasti tokius išvestinius. Įsivaizduokime, kad 3 valandą nakties buvo a skambutis, ir malonus balsas paklausė: „Kokia yra dviejų X tangento išvestinė? Po to turėtų būti beveik momentinis ir mandagus atsakymas: .

Pirmasis pavyzdys iš karto bus skirtas savarankiškam sprendimui.

1 pavyzdys

Raskite šiuos išvestinius žodžiu, vienu veiksmu, pavyzdžiui: . Norėdami atlikti užduotį, jums tereikia naudoti elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė(jei dar neprisimenate). Jei kyla sunkumų, rekomenduoju dar kartą perskaityti pamoką Sudėtingos funkcijos išvestinė.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Atsakymai pamokos pabaigoje

Sudėtingi dariniai

Po išankstinio artilerijos paruošimo pavyzdžiai su 3-4-5 funkcijų lizdais bus mažiau baisūs. Šie du pavyzdžiai kai kam gali pasirodyti sudėtingi, bet jei juos suprasite (kas nors nukentės), tai beveik visa kita diferencialiniame skaičiavime atrodys kaip vaiko pokštas.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip jau buvo pažymėta, ieškant sudėtingos funkcijos išvestinę, pirmiausia tai būtina Teisingai SUPRASTAS savo investicijas. Tais atvejais, kai kyla abejonių, primenu jums naudingą techniką: paimame, pavyzdžiui, eksperimentinę „x“ reikšmę ir bandome (protiškai arba juodraštyje) šią reikšmę pakeisti „siaubinga išraiška“.

1) Pirmiausia turime apskaičiuoti išraišką, o tai reiškia, kad suma yra giliausias įterpimas.

2) Tada reikia apskaičiuoti logaritmą:

4) Tada supjaustykite kosinusą:

5) Penktame etape skirtumas:

6) Galiausiai, tolimiausia funkcija yra kvadratinė šaknis:

Sudėtingos funkcijos diferencijavimo formulė yra taikomos atvirkštine tvarka, nuo išorinės funkcijos iki vidinės. Mes nusprendžiame:

Atrodo, kad klaidų nėra...

(1) Paimkite kvadratinės šaknies išvestinę.

(2) Naudodami taisyklę imame skirtumo išvestinę

(3) Trigubo išvestinė lygi nuliui. Antruoju nariu imame laipsnio (kubo) išvestinę.

(4) Paimkite kosinuso išvestinę.

(5) Paimkite logaritmo išvestinę.

(6) Galiausiai paimame giliausio įterpimo išvestinį.

Tai gali atrodyti per sunku, bet tai nėra pats žiauriausias pavyzdys. Paimkite, pavyzdžiui, Kuznecovo kolekciją ir įvertinsite visą analizuojamo darinio grožį ir paprastumą. Pastebėjau, kad jie mėgsta duoti panašų dalyką per egzaminą, kad patikrintų, ar studentas supranta, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, ar nesupranta.

Šis pavyzdys skirtas jums patiems išspręsti.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Patarimas: pirmiausia taikome tiesiškumo taisykles ir produktų diferenciacijos taisyklę

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Atėjo laikas pereiti prie kažko mažesnio ir gražesnio.
Neretai pavyzdyje parodoma ne dviejų, o trijų funkcijų sandauga. Kaip rasti trijų veiksnių sandaugos išvestinę?

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Pirmiausia pažiūrėkime, ar įmanoma trijų funkcijų sandaugą paversti dviejų funkcijų sandauga? Pavyzdžiui, jei gaminyje būtų du daugianariai, galėtume atidaryti skliaustus. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje visos funkcijos skiriasi: laipsnis, eksponentas ir logaritmas.

Tokiais atvejais būtina nuosekliai taikyti produktų diferencijavimo taisyklę du kartus

Apgaulė ta, kad raide „y“ žymime dviejų funkcijų sandaugą: , o „ve“ žymime logaritmą: . Kodėl tai galima padaryti? Ar tikrai – tai ne dviejų veiksnių rezultatas ir taisyklė neveikia?! Nėra nieko sudėtingo:

Dabar belieka taisyklę taikyti antrą kartą skliausteliui:

Taip pat galite susisukti ir ką nors įdėti iš skliaustų, tačiau tokiu atveju geriau palikti atsakymą tiksliai šioje formoje - bus lengviau patikrinti.

Nagrinėjamas pavyzdys gali būti išspręstas antruoju būdu:

Abu sprendimai yra visiškai lygiaverčiai.

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys; pavyzdyje jis išspręstas naudojant pirmąjį metodą.

Pažvelkime į panašius pavyzdžius su trupmenomis.

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite eiti keliais būdais:

Arba taip:

Tačiau sprendimas bus parašytas kompaktiškiau, jei pirmiausia pasinaudosime koeficiento diferenciacijos taisykle , imant visą skaitiklį:

Iš principo pavyzdys išspręstas, o palikus tokį, koks yra, tai nebus klaida. Bet jei turite laiko, visada patartina patikrinti juodraštį, ar galima supaprastinti atsakymą? Skaitiklio išraišką sumažinkime iki bendro vardiklio ir atsikratykime triaukštės trupmenos:

Papildomų supaprastinimų trūkumas yra tas, kad kyla pavojus suklysti ne ieškant išvestinio, o atliekant banalias mokyklos transformacijas. Kita vertus, mokytojai dažnai atmeta užduotį ir prašo „prisiminti“ išvestinį.

Paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes ir toliau įvaldome išvestinės paieškos metodus, o dabar nagrinėsime tipišką atvejį, kai diferencijuoti siūlomas „siaubingas“ logaritmas

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite nueiti ilgą kelią, naudodami sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklę:

Tačiau pats pirmas žingsnis iš karto nugrimzta į neviltį – jūs turite priimti nemalonų išvestinį trupmeninė galia, o tada ir iš trupmenos.

Štai kodėl prieš kaip paimti „sudėtingo“ logaritmo išvestinę, pirmiausia ji supaprastinama naudojant gerai žinomas mokyklos savybes:

! Jei po ranka turite praktikos sąsiuvinį, nukopijuokite šias formules tiesiai ten. Jei neturite sąsiuvinio, nukopijuokite juos ant popieriaus lapo, nes likę pamokos pavyzdžiai bus susiję su šiomis formulėmis.

Pats sprendimas gali būti parašytas maždaug taip:

Pakeiskime funkciją:

Išvestinio radimas:

Išankstinis pačios funkcijos konvertavimas labai supaprastino sprendimą. Taigi, pasiūlius diferencijuoti panašų logaritmą, visada patartina jį „išskaidyti“.

O dabar keli paprasti pavyzdžiai, kuriuos galite išspręsti patys:

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Visos transformacijos ir atsakymai yra pamokos pabaigoje.

Logaritminė išvestinė

Jeigu logaritmų darinys yra tokia miela muzika, tada kyla klausimas: ar galima kai kuriais atvejais logaritmą organizuoti dirbtinai? Gali! Ir netgi būtina.

11 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Neseniai pažvelgėme į panašius pavyzdžius. Ką daryti? Galite nuosekliai taikyti koeficiento diferencijavimo taisyklę, o tada sandaugos diferencijavimo taisyklę. Šio metodo trūkumas yra tas, kad jūs gaunate didžiulę trijų aukštų dalį, su kuria visiškai nenorite susidoroti.

Tačiau teorijoje ir praktikoje yra toks nuostabus dalykas kaip logaritminė išvestinė. Logaritmus galima organizuoti dirbtinai, „pakabinant“ juos iš abiejų pusių:

Dabar reikia kuo labiau „išskaidyti“ dešinės pusės logaritmą (formulės prieš akis?). Šį procesą aprašysiu labai išsamiai:

Pradėkime nuo diferenciacijos.
Mes baigiame abi dalis pagal pagrindinį lygį:

Dešinės pusės vedinys yra gana paprastas, aš jo nekomentuosiu, nes jei skaitote šį tekstą, turėtumėte su juo elgtis užtikrintai.

O kairėje pusėje?

Kairėje pusėje turime sudėtinga funkcija. Numatau klausimą: „Kodėl po logaritmu yra viena raidė „Y“?

Faktas yra tas, kad šis „vienos raidės žaidimas“ - PATS YRA FUNKCIJA(jei nelabai aišku, žr. straipsnį Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė). Todėl logaritmas yra išorinė funkcija, o „y“ yra vidinė funkcija. Ir mes naudojame taisyklę, kad atskirtume sudėtingą funkciją :

Kairėje pusėje tarsi burtų keliu stebuklinga lazdele mes turime išvestinę . Toliau pagal proporcingumo taisyklę „y“ perkeliame iš kairės pusės vardiklio į dešinės pusės viršų:

O dabar prisiminkime, apie kokią „žaidėjo“ funkciją kalbėjome diferenciacijos metu? Pažiūrėkime į sąlygą:

Galutinis atsakymas:

12 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Šio tipo pavyzdžio dizaino pavyzdys yra pamokos pabaigoje.

Naudojant logaritminę išvestinę buvo galima išspręsti bet kurį iš pavyzdžių Nr. 4-7, kitas dalykas, kad funkcijos ten paprastesnės, ir, ko gero, logaritminės išvestinės naudojimas nėra labai pagrįstas.

Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Šios funkcijos dar nesvarstėme. Galios eksponentinė funkcija yra funkcija, kuriai ir laipsnis, ir bazė priklauso nuo „x“. Klasikinis pavyzdys, kuris jums bus pateiktas bet kuriame vadovėlyje ar paskaitoje:

Kaip rasti galios eksponentinės funkcijos išvestinę?

Būtina naudoti ką tik aptartą techniką – logaritminę išvestinę. Mes pakabiname logaritmus iš abiejų pusių:

Paprastai dešinėje pusėje laipsnis išimamas iš logaritmo:

Dėl to dešinėje pusėje turime dviejų funkcijų sandaugą, kurios bus diferencijuojamos pagal standartinę formulę .

Randame išvestinę, kad tai padarytume, brūkšniais pažymime abi dalis:

Kiti veiksmai yra paprasti:

Pagaliau:

Jei kuri nors konversija nėra visiškai aiški, dar kartą atidžiai perskaitykite 11 pavyzdžio paaiškinimus.

IN praktines užduotis Galios eksponentinė funkcija visada bus sudėtingesnė nei paskaitoje aptariamas pavyzdys.

13 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes naudojame logaritminę išvestinę.

Dešinėje pusėje yra konstanta ir dviejų veiksnių sandauga - „x“ ir „logaritmo x logaritmas“ (po logaritmu įdėtas kitas logaritmas). Diferencijuojant, kaip prisimename, konstantą geriau iš karto išvesti iš išvestinio ženklo, kad ji netrukdytų; ir, žinoma, taikome pažįstamą taisyklę :

Kaip matote, logaritminės išvestinės naudojimo algoritme nėra jokių specialių gudrybių ar gudrybių, o galios eksponentinės funkcijos išvestinės radimas paprastai nėra susijęs su „kankinimu“.