Stacionarūs ekstremumo taškai. Užklasinė pamoka – funkcijos ekstremumas

Apibrėžimai:

Ekstremalumas iškviesti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę duotoje aibėje.

Ekstremalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama maksimali arba mažiausia funkcijos reikšmė.

Maksimalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama maksimali funkcijos reikšmė.

Minimalus taškas yra taškas, kuriame pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė.

Paaiškinimas.

Paveiksle, šalia taško x = 3, funkcija pasiekia didžiausią vertę (ty šalia šio konkretaus taško nėra aukštesnio taško). Kaimynystėje x = 8, jis vėl turi didžiausią reikšmę (paaiškinkime dar kartą: būtent šioje kaimynystėje nėra taško aukščiau). Šiuose taškuose padidėjimas užleidžia vietą mažėjimui. Tai yra didžiausi taškai:

x max = 3, x max = 8.

Netoli taško x = 5 pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė (ty šalia x = 5 taško žemiau nėra). Šiuo metu sumažėjimas užleidžia vietą padidėjimui. Tai yra minimalus taškas:

Maksimalus ir minimalus taškai yra funkcijos ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos kraštutinumai.

Kritiniai ir stacionarūs funkcijos taškai:

Būtina ekstremumo sąlyga:

Pakankama sąlyga ekstremumui:

Segmente funkcija y = f(x) gali pasiekti mažiausią arba didžiausią vertę kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose.

Tolydžios funkcijos tyrimo algoritmasy = f(x) dėl monotoniškumo ir ekstremalumo:

Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslą.

Jame pavaizduotas funkcijos y = x^3 – 3*x^2 grafikas. Panagrinėkime kokį nors intervalą, kuriame yra taškas x = 0, pavyzdžiui, nuo -1 iki 1. Toks intervalas dar vadinamas taško x = 0 kaimynyste. Kaip matyti grafike, šioje kaimynystėje funkcija y = x ^3 – 3*x^2 įgauna didžiausią reikšmę tiksliai taške x = 0.

Maksimalios ir minimalios funkcijos

Šiuo atveju taškas x = 0 vadinamas maksimaliu funkcijos tašku. Pagal analogiją taškas x = 2 vadinamas funkcijos y = x^3 – 3*x^2 minimaliu tašku. Kadangi yra šio taško kaimynystė, kurioje vertė šiame taške bus minimali tarp visų kitų šios kaimynystės verčių.

Taškas maksimalus funkcija f(x) vadinama tašku x0, su sąlyga, kad yra taško x0 kaimynystė, kad visiems x, kurie nėra lygūs x0 iš šios apylinkės, galioja nelygybė f(x)< f(x0).

Taškas minimumas funkcija f(x) vadinama tašku x0, su sąlyga, kad yra taško x0 kaimynystė, kad visiems x, kurie nėra lygūs x0 iš šios apylinkės, galioja nelygybė f(x) > f(x0).

Funkcijų maksimumo ir minimumo taškuose funkcijos išvestinės reikšmė lygi nuliui. Bet taip nėra pakankama būklė egzistavimui funkcijos maksimumo arba minimumo taške.

Pavyzdžiui, funkcija y = x^3 taške x = 0 turi išvestinę, lygią nuliui. Bet taškas x = 0 nėra mažiausias ar maksimalus funkcijos taškas. Kaip žinote, funkcija y = x^3 didėja išilgai visos skaitinės ašies.

Taigi minimalus ir maksimalus taškai visada bus tarp lygties f’(x) = 0 šaknų. Tačiau ne visos šios lygties šaknys bus didžiausi arba minimalūs taškai.

Stacionarūs ir kritiniai taškai

Taškai, kuriuose funkcijos išvestinės reikšmė lygi nuliui, vadinami stacionariais taškais. Taip pat gali būti maksimalaus arba minimumo taškų taškuose, kuriuose funkcijos išvestinė iš viso neegzistuoja. Pavyzdžiui, y = |x| taške x = 0 turi minimumą, bet išvestinė šiame taške neegzistuoja. Šis taškas bus kritinis funkcijos taškas.

Funkcijos kritiniai taškai yra taškai, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui arba išvestinė šiame taške neegzistuoja, tai yra, funkcija šiame taške yra nediferencijuojama. Norint rasti funkcijos maksimumą arba minimumą, turi būti įvykdyta pakankama sąlyga.

Tegu f(x) yra tam tikra intervalo (a;b) diferencijuojama funkcija. Taškas x0 priklauso šiam intervalui ir f’(x0) = 0. Tada:

1. jei, eidama per stacionarų tašką x0, funkcija f(x) ir jos išvestinė keičia ženklą iš „pliuso“ į „minusą“, tai taškas x0 yra maksimalus funkcijos taškas.

2. jei, einant per stacionarų tašką x0, funkcija f(x) ir jos išvestinė keičia ženklą iš „minuso“ į „pliusą“, tai taškas x0 yra mažiausias funkcijos taškas.

Ankstesnėse diskusijose mes visiškai nenaudojome diferencialinio skaičiavimo techninių metodų.

Sunku nepripažinti, kad mūsų elementarūs metodai yra paprastesni ir tiesesni nei analizės metodai. Apskritai, sprendžiant konkrečią mokslinę problemą, geriau vadovautis ja individualios savybės nei pasikliauti vien bendrieji metodai, nors, kita vertus, bendras principas, kuri paaiškina taikomų specialių procedūrų prasmę, žinoma, visada turėtų vaidinti pagrindinį vaidmenį. Būtent tai ir yra diferencialinio skaičiavimo metodų reikšmė svarstant ekstremalias problemas. Pastebėtas šiuolaikinis mokslas Bendrumo troškimas yra tik viena dalyko pusė, nes tai, kas matematikoje tikrai gyvybiškai svarbu, be jokios abejonės, priklauso nuo nagrinėjamų problemų individualių savybių ir taikomų metodų.

Jo istorinė raida diferencialiniam skaičiavimui labai didelę įtaką turėjo individualios problemos, susijusios su didžiausių ir mažiausios vertės kiekiai Ryšys tarp ekstremalių problemų ir diferencialinis skaičiavimas galima suprasti taip. VIII skyriuje išsamiai išnagrinėsime funkcijos f(x) ir jos išvestinę f"(x). geometrine prasme. Čia pamatysime, kad trumpai tariant, išvestinė f"(x) yra kreivės liestinės nuolydis y = f(x) taške (x, y). Geometriškai akivaizdu, kad lygiosios kreivės maksimaliuose arba minimaliuose taškuose y = f(x) kreivės liestinė tikrai turi būti horizontali, t.y., nuolydis turi būti lygus nuliui. Taigi gauname ekstremalių taškų sąlygą f"(x) = 0.

Norėdami aiškiai suprasti, ką reiškia išvestinės f"(x) išnykimas, apsvarstykite kreivę, parodytą 191 pav. Čia matome penkis taškus A, B, C, D, ?, kuriuose kreivės liestinė yra horizontali ; pažymėkime atitinkamas f(x) reikšmes šiuose taškuose a B C D E. Aukščiausia vertė f(x) (brėžinyje parodytoje srityje) pasiekiamas taške D, mažiausias taške A. Taške B yra maksimumas – ta prasme, kad visuose taškuose kažkokia kaimynystė taškuose B, f(x) reikšmė yra mažesnė už b, nors taškuose, artimuose D, f(x) reikšmė vis tiek yra didesnė už b. Dėl šios priežasties įprasta sakyti, kad taške B yra santykinis funkcijos maksimumas f(x), o taške D - absoliutus maksimumas. Lygiai taip pat taške C yra santykinis minimumas, ir taške A - absoliutus minimumas. Galiausiai, kalbant apie tašką E, jame nėra nei maksimumo, nei minimumo, nors lygybė jame vis tiek realizuojama f"(x) = Q, Iš to išplaukia, kad išvestinės f"(x) išnykimas yra būtina, bet visai ne pakankamai lygiosios funkcijos f(x) ekstremumo atsiradimo sąlyga; kitaip tariant, bet kurioje vietoje, kur yra ekstremumas (absoliutus arba santykinis), lygybė tikrai vyksta f"(x) = 0, bet ne visur f"(x) = 0, turi būti ekstremumas. Tie taškai, kuriuose išvestinė f"(x) išnyksta, nepaisant to, ar juose yra ekstremumas, vadinami stacionarus. Tolesnė analizė veda į daugiau ar mažiau sudėtingas sąlygas, susijusias su funkcijos f(x) aukštesnėmis išvestinėmis ir visiškai charakterizuojančiomis maksimumus, minimumus ir kitus stacionarius taškus.

Funkcijos sritis, apskaičiuoti jos išvestinę, rasti funkcijos išvestinės sritį, rasti taškų pasukdami išvestinę į nulį, įrodykite, kad rasti taškai priklauso pradinės funkcijos apibrėžimo sričiai.

1 pavyzdys Nurodykite kritinę reikšmę taškų funkcijos y = (x - 3)²·(x-2).

Sprendimas Raskite funkcijos domeną tokiu atveju jokių apribojimų: x ∈ (-∞; +∞); Apskaičiuokite y išvestinę. Pagal dvi sandaugos diferencijavimo taisykles gauname: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3) · (x - 2) + (x - 3)² · 1. Vėliau paaiškėja kvadratinė lygtis: y' = 3 x² – 16 x + 21.

Raskite funkcijos išvestinės apibrėžimo sritį: x ∈ (-∞; +∞) Išspręskite lygtį 3 x² – 16 x + 21 = 0, kad rastumėte, kurioje ji tampa nuliu: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Taigi, išvestinė eina į nulį, kai x reikšmės yra 3 ir 7/3.

Nustatykite, ar rasti priklauso taškų pradinės funkcijos apibrėžimo sritis. Kadangi x (-∞; +∞), tai abu šie taškų yra kritiški.

2 pavyzdys: nustatykite kritinę reikšmę taškų funkcijos y = x² – 2/x.

Sprendimas Funkcijos sritis: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), kadangi vardiklyje yra x Apskaičiuokite išvestinę y’ = 2 x + 2/x².

Funkcijos išvestinės apibrėžimo sritis yra tokia pati kaip ir originalo: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Išspręskite lygtį 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

Taigi, išvestinė eina į nulį, kai x = -1. Būtina, bet nepakankama kritiškumo sąlyga yra įvykdyta. Kadangi x=-1 patenka į intervalą (-∞; 0) ∪ (0; +∞), tai šis taškas yra kritinis.

Šaltiniai:

• Kritinė pardavimo apimtis, vntSlenkstis

Daugelis moterų kenčia nuo priešmenstruacinio sindromo, kuris pasireiškia ne tik skausmingais pojūčiais, bet ir padidėjusiu apetitu. Dėl to kritinės dienos gali gerokai sulėtinti svorio metimo procesą.

Padidėjusio apetito priežastys menstruacijų metu

Apetito padidėjimo menstruacijų metu priežastis yra bendrojo pokytis hormonų lygis V moteriškas kūnas. Likus kelioms dienoms iki menstruacijų pradžios pakyla hormono progesterono lygis, organizmas prisitaiko prie galimybės ir stengiasi pasidaryti papildomų energijos atsargų riebalų sankaupų pavidalu, net jei moteris sėdi. Taigi svorio pokyčiai kritinėmis dienomis yra normalūs.

Kaip maitintis menstruacijų metu

Stenkitės šiomis dienomis nevalgyti saldumynų, konditerijos gaminių ir kitų kaloringų maisto produktų, kuriuose yra „greito“ maisto. Jų perteklius iš karto nusėda riebaluose. Šiuo laikotarpiu daugelis moterų labai nori valgyti šokoladą, tokiu atveju galite nusipirkti juodojo šokolado ir pasilepinti keliomis riekelėmis, bet ne daugiau. Nenaudoti menstruacijų metu alkoholiniai gėrimai, marinatai, marinuoti agurkai, rūkyta mėsa, sėklos ir riešutai. Apskritai marinuotus agurkus ir rūkytus maisto produktus racione reikėtų riboti likus 6-8 dienoms iki menstruacijų pradžios, nes tokie produktai didina vandens atsargas organizme, o šiam laikotarpiui būdingas padidėjęs skysčių kaupimasis. Norėdami sumažinti druskos kiekį savo racione, pridėkite jos minimalus kiekis paruoštuose patiekaluose.

Rekomenduojama vartoti neriebius pieno produktus, augalinį maistą, grūdines kultūras. Pupelės, virtos bulvės, ryžiai – bus naudingi produktai, kuriuose yra „lėtųjų“ angliavandenių. Jūros gėrybės, kepenys, žuvis, jautiena, paukštiena, kiaušiniai, ankštiniai augalai ir džiovinti vaisiai padės kompensuoti geležies nuostolius. Bus naudinga kviečių sėlenos. Natūrali reakcija menstruacijų metu yra patinimas. Būklę ištaisyti padės lengvos diuretikų žolelės: bazilikas, krapai, petražolės, salierai. Jie gali būti naudojami kaip prieskoniai. Antroje ciklo pusėje rekomenduojama vartoti baltyminį maistą (liesą mėsą ir žuvį, pieno produktus), o angliavandenių kiekį racione reikėtų kiek įmanoma sumažinti.

Ekonominė koncepcija kritinis tūris pardavimai atitinka įmonės padėtį rinkoje, kurioje pajamos iš prekių pardavimo yra minimalios. Tokia situacija vadinama lūžio tašku, kai krenta produktų paklausa, o pelnas vos padengia išlaidas. Norint nustatyti kritinį tūrį pardavimai, naudokite kelis metodus.

Instrukcijos

Darbo ciklas neapsiriboja jo veikla – gamyba ar paslaugomis. Tai sudėtingas tam tikros struktūros darbas, apimantis pagrindinio personalo, vadovaujančio personalo, vadovaujančio personalo ir kt., taip pat ekonomistų, kurių užduotis yra finansinę analizęįmonių.

Šios analizės tikslas – apskaičiuoti tam tikrus kiekius, kurie vienu ar kitu laipsniu turi įtakos galutinio pelno dydžiui. Tai Skirtingos rūšys gamybos ir pardavimo apimtys, pilnas ir vidutinis, paklausos rodikliai ir kt. Pagrindinis uždavinys – nustatyti gamybos apimtį, kuriai esant nusistovėjęs stabilus sąnaudų ir pelno santykis.

Minimalus tūris pardavimai, kai pajamos visiškai padengia išlaidas, bet nepadidina įmonės nuosavo kapitalo, vadinamas kritine apimtimi pardavimai. Šio rodiklio metodui apskaičiuoti yra trys būdai: lygčių metodas, ribinės pajamos ir grafinis.

Norint nustatyti kritinį tūrį pardavimai pagal pirmąjį metodą sukurkite formos lygtį: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, kur: Вп – pajamos iš pardavimai ir ;Zper ir Zpos – kintamos ir pastovios sąnaudos, Pp – pelnas iš pardavimai Ir.

Pagal kitą metodą pirmasis terminas, pajamos iš pardavimai, pateikite jį kaip ribinių pajamų, tenkančių prekių ir apimties vienetui, sandaugą pardavimai, tas pats pasakytina ir apie kintamąsias išlaidas. Fiksuotos išlaidos taikoma visai prekių partijai, todėl palikite šį komponentą bendrą: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Iš šios lygties išreikškite N reikšmę ir gausite kritinį tūrį pardavimai:N = Zpos/(MD – Zper1), kur Zper1 – kintamos išlaidos vienam prekių vienetui.

Grafinis metodas apima statybą. Rašyti paraišką į koordinačių plokštuma dvi eilutės: pajamų funkcija iš pardavimai atėmus sąnaudų ir pelno funkciją. Ant abscisių ašies pažymėkite gamybos apimtį, o ordinačių ašyje – pajamas iš atitinkamo prekių kiekio, išreikštas piniginiais vienetais. Šių linijų susikirtimo taškas atitinka kritinį tūrį pardavimai, lūžio padėtis.

Šaltiniai:

• kaip apibrėžti kritinį darbą

Kritinis mąstymas – tai sprendimų visuma, kurios pagrindu daromos tam tikros išvados ir vertinami kritikos objektai. Tai ypač būdinga visų mokslo šakų tyrinėtojams ir mokslininkams. Kritinis mąstymas užima aukštesnį lygį, palyginti su įprastu mąstymu.

Patirties vertė ugdant kritinį mąstymą

Sunku analizuoti ir daryti išvadas apie tai, ko gerai nesupranti. Todėl norint išmokti mąstyti kritiškai, būtina tirti objektus visokiais ryšiais ir santykiais su kitais reiškiniais. Ir didelę reikšmęšiuo atveju turi žinių apie tokius objektus, geba kurti logiškas sprendimų grandines ir daryti pagrįstas išvadas.

Pavyzdžiui, vertinant vertę meno kūrinysįmanoma tik žinant gana daug kitų literatūrinės veiklos vaisių. Kartu gera būti žmonijos raidos istorijos, literatūros formavimosi ir literatūros kritikos žinovu. Atskirai nuo istorinio konteksto kūrinys gali prarasti numatytą prasmę. Tam, kad meno kūrinio vertinimas būtų pakankamai išsamus ir pagrįstas, reikia pasitelkti ir savo literatūrines žinias, kurios apima literatūrinio teksto konstravimo atskirų žanrų ribose taisykles, įvairių literatūrinių technikų sistemą, klasifikaciją ir analizę. esamų literatūros stilių ir tendencijų ir kt. Kartu taip pat svarbu ištirti vidinę siužeto logiką, veiksmų seką, personažų išdėstymą ir sąveiką meno kūrinyje.

Kritinio mąstymo bruožai

Kiti kritinio mąstymo bruožai yra šie:
- žinios apie tiriamą objektą yra tik atspirties taškas tolesnei smegenų veiklai, susijusiai su loginių grandinių konstravimu;
- nuosekliai konstruojamas ir sveiku protu pagrįstas samprotavimas leidžia nustatyti teisingą ir klaidingą informaciją apie tiriamą objektą;
- kritinis mąstymas visada siejamas su turimos informacijos apie duotą objektą įvertinimu ir atitinkamomis išvadomis, vertinimas, savo ruožtu, siejamas su turimais įgūdžiais.

Skirtingai nuo įprasto mąstymo, kritinis mąstymas nepavaldus aklui tikėjimui. Kritinis mąstymas leidžia naudotis visa sistema vertinimai apie kritikos objektą, siekiant suvokti jo esmę, nustatyti tikras žinias apie jį ir paneigti klaidingas. Jis pagrįstas logika, studijų gilumu ir išsamumu, sprendimų teisingumu, adekvatumu ir nuoseklumu. Šiuo atveju akivaizdūs ir seniai įrodyti teiginiai priimami kaip postulatai ir nereikalauja pakartotinio įrodinėjimo bei vertinimo.