അജ്ഞാതമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. സമവാക്യവും അതിൻ്റെ വേരുകളും: നിർവചനങ്ങൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ

ബീജഗണിതത്തിൽ, രണ്ട് തരം തുല്യതകളുടെ ആശയം ഉണ്ട് - ഐഡൻ്റിറ്റികളും സമവാക്യങ്ങളും. അവയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക് സാധുതയുള്ള തുല്യതയാണ് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ. സമവാക്യങ്ങളും തുല്യതയാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങളുടെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ അവ സാധ്യമാകൂ.

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, അക്ഷരങ്ങൾ സാധാരണയായി അസമമാണ്. അതിനർത്ഥം അവരിൽ ചിലർക്ക് ഏത് വേണമെങ്കിലും സ്വീകരിക്കാം എന്നാണ് സാധുവായ മൂല്യങ്ങൾ, ഗുണകങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ പാരാമീറ്ററുകൾ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മറ്റുള്ളവ - അവയെ അജ്ഞാതർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു - പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ കണ്ടെത്തേണ്ട മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുക. ചട്ടം പോലെ, അജ്ഞാതമായ അളവുകൾ (x.y.z, മുതലായവ) ലെ അവസാന അക്ഷരങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അതേ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഒരു സൂചിക (x 1, x 2, മുതലായവ), അറിയപ്പെടുന്ന ഗുണകങ്ങൾ - ആദ്യത്തേത് അതേ അക്ഷരമാലയിലെ അക്ഷരങ്ങൾ.

അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒന്ന്, രണ്ട്, നിരവധി അജ്ഞാതങ്ങൾ എന്നിവയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യം ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുന്ന അജ്ഞാതരുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സമവാക്യം അതിൻ്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തി അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ ഒന്നുമില്ലെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടാൽ പരിഹരിച്ചതായി കണക്കാക്കാം. "ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക" എന്ന ടാസ്ക് പ്രായോഗികമായി സാധാരണമാണ്, അതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്.

നിർവ്വചനം: പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യം ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുന്ന സ്വീകാര്യമായ മേഖലയിൽ നിന്നുള്ള അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യങ്ങളാണ് ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ.

എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിൻ്റെ അർത്ഥം ഈ പദപ്രയോഗം കൂടുതൽ കൊണ്ടുവരാൻ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്. ലളിതമായ കാഴ്ച.
ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഒരേ വേരുകൾ, ബീജഗണിതത്തിൽ തത്തുല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം: 7x-49=0, സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x=7;
x-7=0, അതുപോലെ, റൂട്ട് x=7, അതിനാൽ, സമവാക്യങ്ങൾ തുല്യമാണ്. (പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ, തത്തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ ഇല്ലായിരിക്കാം).

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഒരേസമയം മറ്റൊന്നിൻ്റെ റൂട്ട് ആണെങ്കിൽ, ഒറിജിനലിൽ നിന്ന് പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ലളിതമായ സമവാക്യം, രണ്ടാമത്തേതിനെ വിളിക്കുന്നു മുമ്പത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലം.

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് മറ്റൊന്നിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണെങ്കിൽ, അവ തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. അവയെ തത്തുല്യം എന്നും വിളിക്കുന്നു. മുകളിലെ ഉദാഹരണം ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നു.

ഏറ്റവും അധികം പോലും പരിഹാരം ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾപ്രായോഗികമായി അത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഫലമായി, നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട്, രണ്ടോ അതിലധികമോ, അനന്തമായ സംഖ്യ പോലും ലഭിക്കും - ഇത് സമവാക്യങ്ങളുടെ തരത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. വേരുകളില്ലാത്തവയും ഉണ്ട്, അവയെ പരിഹരിക്കാനാകാത്തവ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:
1) 15x -20=10; x=2. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരേയൊരു റൂട്ട് ഇതാണ്.
2) 7x - y=0. ഓരോ വേരിയബിളിനും അനന്തമായ മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ എണ്ണം വേരുകളുണ്ട്.
3) x 2 = - 16. രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഒരു സംഖ്യ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നല്ല ഫലം നൽകുന്നു, അതിനാൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നത് അസാധ്യമാണ്. മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത പരിഹരിക്കാനാകാത്ത സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്.

അക്ഷരങ്ങൾക്ക് പകരം കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ മാറ്റി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നു. ഐഡൻ്റിറ്റി തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ, പരിഹാരം ശരിയാണ്.

\(2x+1=x+4\) ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നു: \(x=3\). നിങ്ങൾ X-ന് പകരം ട്രിപ്പിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇടതും വലതും ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കും:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

മൂന്ന് അല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യയും നമുക്ക് അത്തരം തുല്യത നൽകില്ല. ഇതിനർത്ഥം \(3\) എന്ന സംഖ്യയാണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് എന്നാണ്.

ഒരിക്കൽ കൂടി: റൂട്ട് X അല്ല!X എന്നത് ഒരു വേരിയബിളാണ് , എ റൂട്ട് ഒരു സംഖ്യയാണ് , ഇത് സമവാക്യത്തെ ഒരു യഥാർത്ഥ സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു (മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, മൂന്ന്). സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ അജ്ഞാത സംഖ്യ (അല്ലെങ്കിൽ അക്കങ്ങൾ) ഞങ്ങൾ തിരയുന്നു.

ഉദാഹരണം : \(5\) എന്നത് \(x^(2)-2x-15=0\) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണോ?
പരിഹാരം : X-ന് പകരം \(5\) ചെയ്യാം:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

തുല്യതയുടെ ഇരുവശത്തും ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ (പൂജ്യം) ഉണ്ട്, അതായത് 5 തീർച്ചയായും ഒരു റൂട്ട് ആണ്.

മാതക്: ടെസ്റ്റുകളിൽ, നിങ്ങൾ വേരുകൾ ശരിയായി കണ്ടെത്തിയോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഈ രീതിയിൽ പരിശോധിക്കാം.

ഉദാഹരണം : \(0, \pm1, \pm2\) സംഖ്യകളിൽ ഏതാണ് \(2x^(2)+15x+22=0\) എന്നതിൻ്റെ റൂട്ട്?
പരിഹാരം : പകരമായി നമുക്ക് ഓരോ സംഖ്യകളും പരിശോധിക്കാം:

പരിശോധിക്കുക \(0\):	\(2\cdot0^(2)+15\cdot0+22=0\)
	\(0+0+22=0\)
	\(22=0\) - ഇത് പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, അതിനർത്ഥം \(0\) അനുയോജ്യമല്ല എന്നാണ്
പരിശോധിക്കുക \(1\):	\(2\cdot1^(2)+15\cdot1+22=0\)
	\(2+15+22=0\)
	\(39=0\) - വീണ്ടും അത് ഒത്തുചേർന്നില്ല, അതായത് \(1\) ഒരു റൂട്ട് അല്ല
പരിശോധിക്കുക \(-1\):	\(2\cdot(-1)^(2)+15\cdot(-1)+22=0\)
	\(2-15+22=0\)
	\(9=0\) - വീണ്ടും തുല്യത തെറ്റാണ്, \(-1\)വഴിയും
പരിശോധിക്കുക \(2\):	\(2\cdot2^(2)+15\cdot2+22=0\)
	\(2\cdot4+30+22=0\)
	\(60=0\) - വീണ്ടും ഇത് സമാനമല്ല, \(2\) ഉം അനുയോജ്യമല്ല
പരിശോധിക്കുക \(-2\):	\(2\cdot(-2)^(2)+15\cdot(-2)+22=0\)
	\(2\cdot4-30+22=0\)
	\(0=0\) - കൺവേർഡ്, അതായത് \(-2\) ആണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്

വ്യക്തമായും, സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും പരീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഭ്രാന്താണ്, കാരണം അനന്തമായ സംഖ്യകളുണ്ട്. അതുകൊണ്ടാണ് അവ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത് പ്രത്യേക രീതികൾവേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, വേണ്ടി മാത്രം മതി, വേണ്ടി - ഫോർമുലകൾ ഇതിനകം ഉപയോഗിച്ചു തുടങ്ങിയവ. ഓരോ തരം സമവാക്യത്തിനും അതിൻ്റേതായ രീതിയുണ്ട്.

പതിവായി ചോദിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ

ചോദ്യം: ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് പൂജ്യമാകുമോ?
ഉത്തരം: അതെ, ഉറപ്പാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, \(3x=0\) എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട് - പൂജ്യം. പകരമായി നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം.

ചോദ്യം: ഒരു സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലാത്തത് എപ്പോഴാണ്?
ഉത്തരം: x ന് മൂല്യങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല, അത് സമവാക്യത്തെ യഥാർത്ഥ സമത്വമാക്കും. ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ഉദാഹരണം\(0\cdot x=5\) ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാകാം. ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, കാരണം X ൻ്റെ മൂല്യം ഇവിടെ ഒരു പങ്കു വഹിക്കുന്നില്ല (പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് കാരണം) - എന്തായാലും, ഇടത് വശം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. കൂടാതെ പൂജ്യം അഞ്ചിന് തുല്യമല്ല. ഇതിനർത്ഥം വേരുകൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

ചോദ്യം: ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ചില തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാകുന്ന തരത്തിൽ ഒരു സമവാക്യം എങ്ങനെ സൃഷ്ടിക്കാം (ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന്)?
ഉത്തരം: പിന്നീട് ദൃശ്യമാകും.

ചോദ്യം: "സമവാക്യത്തിൻ്റെ ചെറിയ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക" എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?
ഉത്തരം: ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും അതിൻ്റെ ചെറിയ റൂട്ട് ഉത്തരമായി സൂചിപ്പിക്കുകയും വേണം. ഉദാഹരണത്തിന്, \(x^2-5x-6=0\) സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: \(x_1=-1\) ഒപ്പം \(x_2=6\). ഏറ്റവും ചെറിയ വേരുകൾ: \(-1\). പ്രതികരണമായി നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടത് ഇതാണ്. വലിയ റൂട്ടിനെക്കുറിച്ചാണ് അവർ ചോദിക്കുന്നതെങ്കിൽ, \(6\) എഴുതേണ്ടി വരും.

രണ്ട് അളവുകളുണ്ടെങ്കിൽ അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു തുല്യ ചിഹ്നമുണ്ടെങ്കിൽ, ഇത് ഒരു സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. അജ്ഞാതമായത് കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ അജ്ഞാതത്തെ തരംതിരിക്കാൻ, നിങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലിൽ കഠിനാധ്വാനം ചെയ്യേണ്ടിവരും.

നമ്മൾ ഒരു പ്രത്യേക സമവാക്യം കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ അത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാകും: x+10=16-2x. ഇത് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമാണ്, അതിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളും അജ്ഞാതമായ x അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുമാണ്. ഞങ്ങൾ ഈ ഘടകങ്ങൾ വിതരണം ചെയ്യുന്നു വ്യത്യസ്ത വശങ്ങൾതുല്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന്. ഇപ്പോൾ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ സ്വീകരിച്ചു: 2x + x = 16 - 10 അല്ലെങ്കിൽ 3x = 6; x = 2. ഫലം: X = 2. ആവശ്യമായ മൂല്യം സ്ക്വയർ ചെയ്ത ഉദാഹരണത്തിൽ റൂട്ട് കണക്കാക്കാൻ കുറച്ച് കൂടി അറിവ് ആവശ്യമാണ്. ഈ സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണ്, ലീനിയറിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം 1 അല്ലെങ്കിൽ 2 ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം, അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ 0 ആണെന്ന് മാറിയേക്കാം. നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം: X സ്ക്വയർ, 3 + 3X കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ = 90. ഞങ്ങൾ അത് ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ വലതുവശത്ത്, 0 രൂപപ്പെട്ടു: X2 x 3 + 3X -90 = 0. X ന് മുന്നിലുള്ള സംഖ്യകൾ ഗുണകങ്ങൾ 1, 3, 3 ആണ്. വിവേചനത്തിൻ്റെ നിർവചനം ആവശ്യമാണ്: ചതുരം 3 - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, 1, 3 എന്നിവയുടെ ഗുണനം കുറയ്ക്കുക. ഫലമായി, നമുക്ക് 6 ലഭിക്കുന്നു - അതായത് കണക്കുകൂട്ടൽ പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, ഈ സമവാക്യത്തിന് 2 വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, വിവേചനം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ആയിരിക്കും വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിൽ സങ്കീർണ്ണമായത് യുക്തിരഹിതമാണ് - അവ നിലവിലില്ല. D=0 ആണെങ്കിൽ, റൂട്ട് 1 മാത്രമാണ്. ഇനി ഈ 2 റൂട്ടുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്താം. രണ്ടാമത്തെ സൈൻ ചെയ്ത ഗുണകത്തിലേക്ക് 1 റൂട്ട് കണക്കാക്കാൻ, D യുടെ റൂട്ട് ചേർത്ത് ആദ്യത്തെ ഗുണകത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി കൊണ്ട് ഹരിക്കുക: -3 + സ്ക്വയർ റൂട്ട് 16 മുതൽ, 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് 1/2 ലഭിക്കും. രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ സമാനമാണ്, ഞങ്ങൾ ഡിയിൽ നിന്ന് റൂട്ട് കുറയ്ക്കുന്നു. ഫലം 3 മുഴുവനും 1/2 ഉം ആണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമാണ് ക്യൂബിക് സമവാക്യം. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: x3-3x2-4x+20=0. സ്വതന്ത്ര പദത്തെ വിഭജിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സംഖ്യ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ 20 എന്നതിൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾ ± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10, ± 20 എന്നിങ്ങനെയാണ്. 5 ൻ്റെ ഹരിക്കൽ, അത് ആവശ്യമുള്ള വേരുകളിൽ ഒന്നാണ്. അത് തീരുമാനിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎല്ലാ വേരുകളും അറിയാം.

അത്രയേയുള്ളൂ ബുദ്ധി. സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല, എന്നാൽ ഇത് വളരെ ലളിതമാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എട്ടാം ക്ലാസ്സിൽ പഠിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇവിടെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവ് തികച്ചും ആവശ്യമാണ്.

ax 2 + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a, b, c എന്നിവ ഏകപക്ഷീയ സംഖ്യകളും a ≠ 0 ഉം ആണ്.

നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാര രീതികൾ പഠിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും മൂന്ന് ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം:

1. വേരുകളില്ല;
2. കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കുക;
3. അവയ്ക്ക് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്.

ഇത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ഒരു പ്രധാന വ്യത്യാസമാണ്, അവിടെ റൂട്ട് എല്ലായ്പ്പോഴും നിലനിൽക്കുന്നതും അതുല്യവുമാണ്. ഒരു സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും? ഇതിന് ഒരു അത്ഭുതകരമായ കാര്യമുണ്ട് - വിവേചനം.

വിവേചനം

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം 2 + bx + c = 0 നൽകട്ടെ, അപ്പോൾ വിവേചനം D = b 2 - 4ac ആണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അത് എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു എന്നത് ഇപ്പോൾ പ്രധാനമല്ല. മറ്റൊരു കാര്യം പ്രധാനമാണ്: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകളുണ്ടെന്ന് വിവേചനത്തിൻ്റെ അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും. അതായത്:

1. എങ്കിൽ ഡി< 0, корней нет;
2. D = 0 ആണെങ്കിൽ, കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്;
3. D > 0 ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: വിവേചനം വേരുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ചില കാരണങ്ങളാൽ പലരും വിശ്വസിക്കുന്നതിനാൽ അവയുടെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളുമല്ല. ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കൂ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം സ്വയം മനസ്സിലാകും:

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ട്:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുകയും വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

അതിനാൽ വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം സമാനമായ രീതിയിൽ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, വേരുകൾ ഇല്ല. അവശേഷിക്കുന്ന അവസാന സമവാക്യം ഇതാണ്:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

വിവേചനം പൂജ്യമാണ് - റൂട്ട് ഒന്നായിരിക്കും.

ഓരോ സമവാക്യത്തിനും ഗുണകങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. അതെ, ഇത് ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, അതെ, ഇത് മടുപ്പുളവാക്കുന്നതാണ്, പക്ഷേ നിങ്ങൾ അസന്തുലിതാവസ്ഥ കലർത്തി മണ്ടത്തരങ്ങൾ വരുത്തുകയില്ല. നിങ്ങൾക്കായി തിരഞ്ഞെടുക്കുക: വേഗത അല്ലെങ്കിൽ ഗുണനിലവാരം.

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കിയാൽ, കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം നിങ്ങൾ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും എഴുതേണ്ടതില്ല. നിങ്ങളുടെ തലയിൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തും. മിക്ക ആളുകളും 50-70 സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം എവിടെയെങ്കിലും ഇത് ചെയ്യാൻ തുടങ്ങുന്നു - പൊതുവേ, അത്രയല്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ

ഇനി നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് തന്നെ പോകാം. വിവേചനം D > 0 ആണെങ്കിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം

D = 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഫോർമുലകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഉപയോഗിക്കാം - നിങ്ങൾക്ക് അതേ നമ്പർ ലഭിക്കും, അത് ഉത്തരം ആയിരിക്കും. അവസാനമായി, ഡി എങ്കിൽ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

ആദ്യ സമവാക്യം:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താം:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് വീണ്ടും രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താം

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അവസാനമായി, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഏത് ഫോർമുലയും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേത്:

ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകൾ അറിയുകയും എണ്ണാൻ കഴിയുകയും ചെയ്താൽ, പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. മിക്കപ്പോഴും, ഫോർമുലയിലേക്ക് നെഗറ്റീവ് ഗുണകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ പിശകുകൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഇവിടെയും, മുകളിൽ വിവരിച്ച സാങ്കേതികത സഹായിക്കും: ഫോർമുല അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ നോക്കുക, ഓരോ ഘട്ടവും എഴുതുക - വളരെ വേഗം നിങ്ങൾ പിശകുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നിർവചനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ പദങ്ങളിലൊന്ന് നഷ്‌ടമായിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അത്തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളേക്കാൾ പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: അവയ്ക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കാം:

b = 0 അല്ലെങ്കിൽ c = 0 ആണെങ്കിൽ ax 2 + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്. വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകം x അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര മൂലകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഇത് പൂർണ്ണമായും സാധ്യമാണ് കട്ടി കൂടിയ ആവരണം, ഈ രണ്ട് ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ: b = c = 0. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം കോടാലി 2 = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്: x = 0.

ബാക്കിയുള്ള കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. b = 0 എന്ന് അനുവദിക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ax 2 + c = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. നമുക്ക് അതിനെ അൽപ്പം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

ഗണിത സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതിനാൽ, അവസാന സമത്വം (-c /a) ≥ 0 ന് മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ. നിഗമനം:

1. ax 2 + c = 0 രൂപത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ അസമത്വം (−c /a) ≥ 0 തൃപ്തിപ്പെട്ടാൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. ഫോർമുല മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു;
2. എങ്കിൽ (-c /a)< 0, корней нет.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു വിവേചനം ആവശ്യമില്ല - അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒന്നുമില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, അസമത്വം (−c /a) ≥ 0 ഓർക്കാൻ പോലും ആവശ്യമില്ല. മൂല്യം x 2 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ മറുവശത്ത് എന്താണെന്ന് കാണുകയും ചെയ്താൽ മതി. ഉണ്ടെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ- രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. ഇത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ax 2 + bx = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കാം, അതിൽ സ്വതന്ത്ര ഘടകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്: എപ്പോഴും രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. ബഹുപദം കണക്കാക്കിയാൽ മതി:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കൽ

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്. ഇവിടെ നിന്നാണ് വേരുകൾ വരുന്നത്. ഉപസംഹാരമായി, ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ചിലത് നോക്കാം:

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. വേരുകളില്ല, കാരണം ഒരു ചതുരം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകരുത്.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

ഗണിതത്തിലെ സമവാക്യങ്ങൾ റഷ്യൻ ഭാഷയിലെ ക്രിയകൾ പോലെ പ്രധാനമാണ്. ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവില്ലാതെ, വിദ്യാർത്ഥി ബീജഗണിത കോഴ്സിൽ പ്രാവീണ്യം നേടിയെന്ന് പറയാൻ പ്രയാസമാണ്. കൂടാതെ, ഓരോ തരത്തിനും അതിൻ്റേതായ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

അത് എന്താണ്?

ഒരു സമവാക്യം എന്നത് വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്, അവയ്ക്കിടയിൽ തുല്യ ചിഹ്നം സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, അജ്ഞാതമായ അളവുകളുടെ എണ്ണം ഏകപക്ഷീയമായിരിക്കാം. കുറഞ്ഞ തുക- ഒന്ന്.

ഇത് പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. അതായത്, അതിനെ യഥാർത്ഥ സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്ന സംഖ്യ. ഒന്നുമില്ലെങ്കിൽ, "വേരുകളില്ല" എന്ന പ്രസ്താവനയാണ് ഉത്തരം. എന്നാൽ ഉത്തരം ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകളായിരിക്കുമ്പോൾ വിപരീതവും ശരിയാകാം.

ഏത് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്?

ലീനിയർ. അതിൽ ഡിഗ്രി ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

• സമചതുരം Samachathuram. വേരിയബിളിന് 2 പവർ ഉണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ അത്തരമൊരു ശക്തിയുടെ രൂപത്തിന് കാരണമാകുന്നു.
• ഉയർന്ന ബിരുദത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.
• ഫ്രാക്ഷണൽ-യുക്തിപരം. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു വേരിയബിൾ ദൃശ്യമാകുമ്പോൾ.
• മൊഡ്യൂളിനൊപ്പം.
• യുക്തിരഹിതം. അതായത് ബീജഗണിതമൂലമുള്ള ഒന്ന്.

ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

അത് അടിസ്ഥാനപരമാണ്. മറ്റെല്ലാവരും നേടാൻ ശ്രമിക്കുന്ന രൂപമാണിത്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ എളുപ്പമായതിനാൽ.

• ആദ്യം നിങ്ങൾ സാധ്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് കൊണ്ടുവരിക സമാനമായ നിബന്ധനകൾ.
• വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങളുള്ള എല്ലാ മോണോമിയലുകളും തുല്യതയുടെ ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക, വലതുവശത്ത് സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ അവശേഷിപ്പിക്കുക.
• പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ ഭാഗത്തിലും സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക.
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയിൽ, ഇടത് പകുതിയിൽ ഗുണകത്തിൻ്റെയും വേരിയബിളിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നവും വലത് പകുതിയിൽ സംഖ്യയും അടങ്ങിയിരിക്കും.
• വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യയെ അജ്ഞാതൻ്റെ മുന്നിലുള്ള ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ആദ്യം അവനെ കൊണ്ടുവരണം സാധാരണ കാഴ്ച, അതായത്, എല്ലാ ബ്രാക്കറ്റുകളും തുറന്ന്, സമാനമായ പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവന്ന് എല്ലാ മോണോമിയലുകളും ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക. സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് പൂജ്യം മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.

• വിവേചന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക. പവർ "1" ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാതൻ്റെ ഗുണകം ചതുരമാക്കുക. ഫ്രീ മോണോമിയലും വേരിയബിളിൻ്റെ മുന്നിലുള്ള സംഖ്യയും 4 എന്ന സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുക. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചതുരത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം കുറയ്ക്കുക.
• വിവേചനക്കാരൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക. ഇത് നെഗറ്റീവ് ആണ് - വേരുകളില്ലാത്തതിനാൽ പരിഹാരം പൂർത്തിയായി. പൂജ്യത്തിന് തുല്യം - ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യയായിരിക്കും. പോസിറ്റീവ് - വേരിയബിളിന് രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്.

ഒരു ക്യൂബിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

ആദ്യം x എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക. സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ വിഭജിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുത്താണ് ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. ഈ രീതി പരിഗണിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം. സമവാക്യം ഇതായിരിക്കട്ടെ: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

അതിൻ്റെ ഡമ്മി ടേം 12 ആണ്. അപ്പോൾ പരിശോധിക്കേണ്ട ഡിവൈസറുകൾ പോസിറ്റീവ് ആണ് നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 2 എന്ന നമ്പറിൽ തിരയൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയും. ഇത് സമവാക്യത്തിൽ ശരിയായ തുല്യത നൽകുന്നു. അതായത്, അതിൻ്റെ ഇടതുവശം പൂജ്യമായി മാറുന്നു. അതിനാൽ ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആദ്യ മൂലമാണ് നമ്പർ 2.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തെ വേരിയബിളിൻ്റെയും ആദ്യത്തെ റൂട്ടിൻ്റെയും വ്യത്യാസം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് (x - 2) ആണ്. ഒരു ലളിതമായ പരിവർത്തനം ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫാക്‌ടറൈസേഷനിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: (x - 2)(x + 2)(x - 3). ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെയും അതേ ഘടകങ്ങൾ റദ്ദാക്കുന്നു, ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് ബ്രാക്കറ്റുകൾ, തുറക്കുമ്പോൾ, ഒരു ലളിതമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകുക: x 2 - x - 6 = 0.

ഇവിടെ, മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ വിവരിച്ച തത്വം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക. അവ സംഖ്യകളായി മാറുന്നു: 3 ഉം -2 ഉം.

മൊത്തത്തിൽ, ഒരു പ്രത്യേക ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വേരുകളുണ്ട്: 2, -2, 3.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്?

അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ് ഇവിടെ നിർദ്ദേശിക്കുന്നത്. ഒരു സമവാക്യത്തിൽ അജ്ഞാതമായ ഒന്നിനെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതും ഈ പദപ്രയോഗം മറ്റൊന്നിൽ പകരം വയ്ക്കുന്നതും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. മാത്രമല്ല, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ജോടി വേരിയബിളുകളാണ്.

അവയിലെ വേരിയബിളുകൾ x 1, x 2 എന്നീ അക്ഷരങ്ങളാൽ നിയുക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 2 എന്നത് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ് സാധ്യമാണ്. പിന്നീട് അത് രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ആവശ്യമായ പരിവർത്തനം നടപ്പിലാക്കുന്നു: ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരിക. ഇത് ലളിതമായി മാറുന്നു രേഖീയ സമവാക്യം, അതിൻ്റെ റൂട്ട് കണക്കുകൂട്ടാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഇപ്പോൾ ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങുക, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് x 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക. ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളാണ് ഉത്തരം.

ലഭിച്ച ഉത്തരം ഉറപ്പാക്കാൻ, എല്ലായ്പ്പോഴും പരിശോധിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. അത് എഴുതേണ്ടതില്ല.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഓരോ വേരുകളും യഥാർത്ഥ സമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റി പകരം വയ്ക്കണം. ഒരേ സംഖ്യകൾഅതിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിലും. എല്ലാം ഒത്തുചേർന്നു - തീരുമാനം ശരിയായിരുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ പരിഹാരത്തിലും എല്ലാത്തിലും വേരുകൾ ചേർക്കണം സാധ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. സമവാക്യം ശരിയാണോ? അതുകൊണ്ട് തീരുമാനം ശരിയാണ്.