ഈ ലേഖനം പഠിച്ച ശേഷം, ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്, സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഹരിക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ; അപൂർണ്ണമായവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ"അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു" എന്ന ലേഖനത്തിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന മറ്റ് രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുക.

ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ പൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു? ഈ ax 2 + b x + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ, ഇവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a, b, c എന്നിവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. അതിനാൽ, ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, വിവേചനപരമായ ഡി കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

D = b 2 - 4ac.

വിവേചനക്കാരൻ്റെ മൂല്യം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം എഴുതും.

വിവേചനം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ (D< 0),то корней нет.

വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, x = (-b)/2a. വിവേചനം കാണിക്കുമ്പോൾ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ(D > 0),

തുടർന്ന് x 1 = (-b - √D)/2a, x 2 = (-b + √D)/2a.

ഉദാഹരണത്തിന്. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

ഉത്തരം: 2.

സമവാക്യം 2 പരിഹരിക്കുക x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

ഉത്തരം: വേരുകളില്ല.

സമവാക്യം 2 പരിഹരിക്കുക x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

ഉത്തരം: - 3.5; 1.

അതിനാൽ, ചിത്രം 1 ലെ ഡയഗ്രം ഉപയോഗിച്ച് സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാനാകും. നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട് സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ ബഹുപദമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു

എ x 2 + bx + c,അല്ലാത്തപക്ഷം നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തെറ്റ് സംഭവിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, x + 3 + 2x 2 = 0 എന്ന സമവാക്യം എഴുതുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് അത് തെറ്റായി തീരുമാനിക്കാം.

a = 1, b = 3, c = 2. പിന്നെ

D = 3 2 - 4 1 2 = 1 തുടർന്ന് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഇത് സത്യമല്ല. (മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം 2-ലേക്കുള്ള പരിഹാരം കാണുക).

അതിനാൽ, സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ പോളിനോമിയലായി എഴുതിയില്ലെങ്കിൽ, ആദ്യം സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദമായി എഴുതണം (ഏറ്റവും വലിയ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള മോണോമിയൽ ആദ്യം വരണം, അതായത് എ x 2 , പിന്നെ കുറവ് കൊണ്ട് – bxതുടർന്ന് സ്വതന്ത്ര അംഗവും കൂടെ.

കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും രണ്ടാം ടേമിൽ ഇരട്ട കോഫിഫിഷ്യൻ്റുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാം. ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന് ഇരട്ട ഗുണകം (b = 2k) ഉണ്ടെങ്കിൽ, ചിത്രം 2 ലെ ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനാകും.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്നതാണെങ്കിൽ ചുരുക്കി എന്ന് വിളിക്കുന്നു x 2 ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു x 2 + px + q = 0. അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹാരത്തിനായി നൽകാം, അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളെയും ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഇത് നേടാം. എ, നിൽക്കുന്നത് x 2 .

കുറച്ച ചതുരം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഡയഗ്രം ചിത്രം 3 കാണിക്കുന്നു
സമവാക്യങ്ങൾ. ഈ ലേഖനത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

3x 2 + 6x – 6 = 0.

ചിത്രം 1 ലെ ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

ഉത്തരം: –1 - √3; –1 + √3

ഈ സമവാക്യത്തിലെ x ൻ്റെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്, അതായത്, b = 6 അല്ലെങ്കിൽ b = 2k, എവിടെ നിന്ന് k = 3 ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. പിന്നെ, ചിത്രം D യുടെ ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

ഉത്തരം: –1 - √3; –1 + √3. ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനും വിഭജനം നടത്താനും കഴിയുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, നമുക്ക് കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും x 2 + 2x – 2 = 0 കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
സമവാക്യങ്ങൾ ചിത്രം 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

ഉത്തരം: –1 - √3; –1 + √3.

നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വിവിധ സൂത്രവാക്യങ്ങൾഞങ്ങൾക്ക് അതേ ഉത്തരം ലഭിച്ചു. അതിനാൽ, ചിത്രം 1 ലെ ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നന്നായി പഠിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഏത് സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

ആദ്യ നില

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

"ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം" എന്ന പദത്തിൽ പ്രധാന വാക്ക് "ക്വാഡ്രാറ്റിക്" ആണ്. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ (അതേ x) ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കണം, കൂടാതെ മൂന്നാമത്തെ (അല്ലെങ്കിൽ അതിലും വലിയ) ശക്തിക്ക് x ഉണ്ടാകരുത്.

പല സമവാക്യങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.

ഇതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണെന്നും മറ്റേതെങ്കിലും സമവാക്യമല്ലെന്നും നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് പഠിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.

നമുക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ഒഴിവാക്കി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കി X ൻ്റെ അധികാരങ്ങളുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ നിബന്ധനകൾ ക്രമീകരിക്കാം

ഈ സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പറയാൻ കഴിയും!

ഉദാഹരണം 2.

ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ ഗുണിക്കുക:

ഈ സമവാക്യം, യഥാർത്ഥത്തിൽ അതിൽ ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിലും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അല്ല!

ഉദാഹരണം 3.

നമുക്ക് എല്ലാം ഗുണിക്കാം:

ഭീതിദമാണ്? നാലാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡിഗ്രികൾ... എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് കാണാം:

ഉദാഹരണം 4.

അത് അവിടെ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി നോക്കാം. നമുക്ക് എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം:

നിങ്ങൾ കാണുന്നു, അത് ചുരുങ്ങി - ഇപ്പോൾ ഇത് ലളിതമാണ് രേഖീയ സമവാക്യം!

ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണെന്നും അല്ലാത്തത് ഏതെന്നും ഇപ്പോൾ സ്വയം നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. സമചതുരം Samachathuram;
2. സമചതുരം Samachathuram;
3. ചതുരമല്ല;
4. ചതുരമല്ല;
5. ചതുരമല്ല;
6. സമചതുരം Samachathuram;
7. ചതുരമല്ല;
8. സമചതുരം Samachathuram.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പരമ്പരാഗതമായി എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും ഇനിപ്പറയുന്ന തരങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു:

• സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ- കോ എഫിഷ്യൻ്റുകളും അതുപോലെ ഫ്രീ ടേം സിയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ). കൂടാതെ, സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കിടയിൽ ഉണ്ട് നൽകിയത്- ഇവയാണ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് (ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യം പൂർണ്ണമാകുക മാത്രമല്ല, കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു!)

• അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ- കോ എഫിഷ്യൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേം സി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ:

  ചില മൂലകങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെട്ടതിനാൽ അവ അപൂർണ്ണമാണ്. എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൽ എപ്പോഴും x ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കണം!!! അല്ലെങ്കിൽ, അത് ഇനി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായിരിക്കില്ല, മറിച്ച് മറ്റ് ചില സമവാക്യങ്ങളായിരിക്കും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് അവർ അത്തരമൊരു വിഭജനം കൊണ്ടുവന്നത്? ഒരു എക്സ് സ്ക്വയർ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, ശരി. പരിഹാര രീതികളാൽ ഈ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അവ ഓരോന്നും കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ആദ്യം, നമുക്ക് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം - അവ വളരെ ലളിതമാണ്!

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്:

1. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം തുല്യമാണ്.
2. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.
3. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

1. ഐ. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എങ്ങനെ എടുക്കണമെന്ന് നമുക്കറിയാവുന്നതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാം

എക്സ്പ്രഷൻ നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് ആകാം. ഒരു ചതുര സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല, കാരണം രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും, അതിനാൽ: എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എങ്കിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. പ്രധാന കാര്യം നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം, അത് കുറവായിരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർമ്മിക്കുക.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത് ഇടത് വലത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക എന്നതാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, വേരുകൾ എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെ കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത് !!!

ഉദാഹരണം 6:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 7:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഓ! ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല!

വേരുകളില്ലാത്ത അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കായി, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു പ്രത്യേക ഐക്കൺ കൊണ്ടുവന്നു - (ശൂന്യമായ സെറ്റ്). കൂടാതെ ഉത്തരം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഉത്തരം:

അങ്ങനെ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാത്തതിനാൽ ഇവിടെ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല.
ഉദാഹരണം 8:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

അങ്ങനെ,

ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം (അവയെല്ലാം ലളിതമാണെങ്കിലും, ശരിയല്ലേ?). വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നിരാകരിക്കും.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഫോം സമവാക്യത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഇവയേക്കാൾ അൽപ്പം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (കുറച്ച് മാത്രം).

ഓർക്കുക, ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകും! അപൂർണ്ണം പോലും.

മറ്റ് രീതികൾ ഇത് വേഗത്തിൽ ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, എന്നാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യം വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം മാസ്റ്റർ ചെയ്യുക.

1. ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്; പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. പ്രത്യേക ശ്രദ്ധഒരു പടി എടുക്കുക. വിവേചനം () സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നമ്മോട് പറയുന്നു.

• എങ്കിൽ, ഘട്ടത്തിലെ ഫോർമുല ഇതിലേക്ക് ചുരുക്കും. അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.
• എങ്കിൽ, സ്റ്റെപ്പിലെ വിവേചനത്തിൻ്റെ വേര് നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് തിരിച്ചുപോയി ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 9:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഘട്ടം 3.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 10:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്നാണ്.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 11:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം വിവേചനത്തിൻ്റെ വേര് നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

അത്തരം ഉത്തരങ്ങൾ എങ്ങനെ ശരിയായി എഴുതാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം.

ഉത്തരം:വേരുകളില്ല

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, കുറച്ചത് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു തരം സമവാക്യമുണ്ട് (ഗുണകം a തുല്യമാകുമ്പോൾ):

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നൽകിയത്ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഗുണനം തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 12:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും .

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്, അതായത്. നമുക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ഉൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

നമുക്ക് സിസ്റ്റം രചിച്ച് പരിഹരിക്കാം:

• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരവും ഇവയാണ്:

ഉത്തരം: ; .

ഉദാഹരണം 13:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 14:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

ഉത്തരം:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. ശരാശരി നില

എന്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം?

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, എവിടെ - അജ്ഞാതം, - ചില സംഖ്യകൾ, കൂടാതെ.

സംഖ്യയെ ഏറ്റവും ഉയർന്നത് അല്ലെങ്കിൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആദ്യ ഗുണകംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, എ - സ്വതന്ത്ര അംഗം.

എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം സമവാക്യം ഉടനടി രേഖീയമാണെങ്കിൽ, കാരണം അപ്രത്യക്ഷമാകും.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാം. ഈ കസേര സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ നിബന്ധനകളും നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്, സമവാക്യം പൂർത്തിയായി.

വിവിധ തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

ആദ്യം, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നോക്കാം - അവ ലളിതമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളെ നമുക്ക് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും:

I., ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

II. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം തുല്യമാണ്.

III. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.

ഇനി ഈ ഓരോ ഉപവിഭാഗങ്ങൾക്കുമുള്ള പരിഹാരം നോക്കാം.

വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഒരു ചതുര സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആകാൻ കഴിയില്ല, കാരണം നിങ്ങൾ രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ്:

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല;

നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഓർക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം അത് കുറവായിരിക്കരുത് എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത്!

ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല.

ഒരു പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെന്ന് ചുരുക്കത്തിൽ എഴുതാൻ, ഞങ്ങൾ ശൂന്യമായ സെറ്റ് ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉത്തരം:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ഇതിനർത്ഥം:

അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉദാഹരണം:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം കണക്കാക്കി വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

ഉത്തരം:

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

1. വിവേചനം

ഈ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്. ഓർക്കുക, ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! അപൂർണ്ണം പോലും.

വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയിലെ വിവേചനത്തിൽ നിന്നുള്ള റൂട്ട് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എന്നാൽ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആകാം. എന്തുചെയ്യും? ഘട്ടം 2-ലേക്ക് നാം പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വിവേചനക്കാരൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നമ്മോട് പറയുന്നു.

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട്:
• എങ്കിൽ സമവാക്യം ഉണ്ട് ഒരേ വേരുകൾ, എന്നാൽ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു റൂട്ട്:

  അത്തരം വേരുകളെ ഇരട്ട വേരുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• എങ്കിൽ, വിവേചനക്കാരൻ്റെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുത്തിട്ടില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

എന്തുകൊണ്ട് അത് സാധ്യമാണ് വ്യത്യസ്ത അളവുകൾവേരുകൾ? നമുക്ക് തിരിയാം ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്:

ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, . ഇതിനർത്ഥം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ abscissa axis (axis) മായി ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളാണ്. ഒരു പരവലയം അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കണമെന്നില്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നിൽ (പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം അച്ചുതണ്ടിൽ കിടക്കുമ്പോൾ) അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിച്ചേക്കാം.

കൂടാതെ, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ ദിശയ്ക്ക് ഗുണകം ഉത്തരവാദിയാണ്. പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ താഴേക്ക്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

ഉത്തരം: .

ഉത്തരം:

ഇതിനർത്ഥം പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

ഉത്തരം: .

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നം സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ തുക വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ എന്നത് ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ().

നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം #1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും . മറ്റ് ഗുണകങ്ങൾ:; .

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക:

ഉൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരവും ഇവയാണ്:

അങ്ങനെ, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ.

ഉത്തരം:; .

ഉദാഹരണം #2:

പരിഹാരം:

ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നൽകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, തുടർന്ന് അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക:

കൂടാതെ: അവർ മൊത്തത്തിൽ നൽകുന്നു.

കൂടാതെ: അവർ മൊത്തത്തിൽ നൽകുന്നു. ലഭിക്കുന്നതിന്, അനുമാനിക്കപ്പെടുന്ന വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റാൻ ഇത് മതിയാകും: കൂടാതെ, എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഉൽപ്പന്നം.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #3:

പരിഹാരം:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. അതിനാൽ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ് അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ.

നമുക്ക് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നൽകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

കൂടാതെ: അവരുടെ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ് - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

കൂടാതെ: - അനുയോജ്യം. വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്. അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം എന്നതിനാൽ, ചെറിയ മോഡുലസ് ഉള്ള റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം: . ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #4:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് നെഗറ്റീവും മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവും ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ.

ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, തുടർന്ന് ഏത് വേരുകൾക്ക് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ മാത്രം ആദ്യ അവസ്ഥയ്ക്ക് അനുയോജ്യമാണ്:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, അനുസരിച്ച് ഇത്രയെങ്കിലും, വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്നാൽ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, രണ്ട് വേരുകൾക്കും ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നു.

ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡികൾ നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ അക്കങ്ങളും.

ഉത്തരം:

സമ്മതിക്കുക, ഈ വൃത്തികെട്ട വിവേചനത്തെ കണക്കാക്കുന്നതിനുപകരം വാമൊഴിയായി വേരുകൾ കൊണ്ടുവരുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം കഴിയുന്നത്ര തവണ ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

എന്നാൽ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സുഗമമാക്കുന്നതിനും വേഗത്തിലാക്കുന്നതിനും വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമാണ്. ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോജനം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ യാന്ത്രികതയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം. ഇതിനായി, അഞ്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ വഞ്ചിക്കരുത്: നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല! വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം മാത്രം:

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള ടാസ്ക്കുകൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ:

ടാസ്ക് 1. ((x)^(2))-8x+12=0

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു കഷണം ഉപയോഗിച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കൽ ആരംഭിക്കുന്നു:

തുക കാരണം അനുയോജ്യമല്ല;

: തുക നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളത് മാത്രമാണ്.

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 2.

വീണ്ടും ഞങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം: തുക തുല്യമായിരിക്കണം, ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായിരിക്കണം.

എന്നാൽ അത് ആയിരിക്കണമെന്നില്ല, പക്ഷേ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു: കൂടാതെ (മൊത്തം).

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 3.

ഹും... അതെവിടെ?

നിങ്ങൾ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരു ഭാഗത്തേക്ക് നീക്കേണ്ടതുണ്ട്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

ശരി, നിർത്തുക! സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ല. എന്നാൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമേ ബാധകമാകൂ. അതിനാൽ ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം നൽകേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് നയിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ ആശയം ഉപേക്ഷിച്ച് മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പരിഹരിക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ). ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകുക എന്നതിനർത്ഥം മുൻനിര ഗുണകത്തെ തുല്യമാക്കുക എന്നാണ് എന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

കൊള്ളാം. അപ്പോൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യവും ഉൽപ്പന്നവുമാണ്.

ഇവിടെ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഷെല്ലിംഗ് പിയേഴ്സ് പോലെ എളുപ്പമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ് (ടൗട്ടോളജിക്ക് ക്ഷമിക്കണം).

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 4.

സ്വതന്ത്ര അംഗം നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്താണ് ഇതിൻ്റെ പ്രത്യേകത? വേരുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളുണ്ടാകും എന്നതാണ് വസ്തുത. ഇപ്പോൾ, തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയല്ല, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളിലെ വ്യത്യാസമാണ് പരിശോധിക്കുന്നത്: ഈ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ്, പക്ഷേ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ്.

അതിനാൽ, വേരുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിലൊന്ന് മൈനസ് ആണ്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു, അതായത്. ഇതിനർത്ഥം ചെറിയ റൂട്ടിന് ഒരു മൈനസ് ഉണ്ടായിരിക്കും: ഒപ്പം, മുതൽ.

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 5.

നിങ്ങൾ ആദ്യം എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? അത് ശരിയാണ്, സമവാക്യം നൽകുക:

വീണ്ടും: ഞങ്ങൾ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കണം:

വേരുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിലൊന്ന് മൈനസ് ആണ്. ഏതാണ്? അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത് മൈനസിന് ഒരു വലിയ റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കും.

ഉത്തരം:; .

ഞാൻ സംഗ്രഹിക്കട്ടെ:

1. നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ വാമൊഴിയായി കണ്ടെത്താനാകും.
3. സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ലെങ്കിലോ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യമായ ജോഡി ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിലോ, മുഴുവൻ വേരുകളുമില്ല, നിങ്ങൾ അത് മറ്റൊരു രീതിയിൽ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ).

3. ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള രീതി

അജ്ഞാതമായ എല്ലാ പദങ്ങളും സംക്ഷിപ്ത ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പദങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ - തുകയുടെ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം - വേരിയബിളുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, സമവാക്യം തരത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഉദാഹരണം 1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 2:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

IN പൊതുവായ കാഴ്ചപരിവർത്തനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു: .

ഒന്നും നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നില്ലേ? ഇത് വിവേചനപരമായ കാര്യമാണ്! അങ്ങനെയാണ് ഞങ്ങൾക്ക് വിവേചന സൂത്രവാക്യം ലഭിച്ചത്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംക്ഷിപ്തമായി

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഇത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, എവിടെ - അജ്ഞാതം, - ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ, - സ്വതന്ത്ര പദം.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം.

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഗുണകം ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം, അതായത്: .

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- കോ എഫിഷ്യൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേം സി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം:

• ഗുണകം ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ,
• ഒരു സ്വതന്ത്ര പദമുണ്ടെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: ,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: .

1. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1.1 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എവിടെ:

1) നമുക്ക് അജ്ഞാതമായത് പ്രകടിപ്പിക്കാം:,

2) പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക:

• സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

1.2 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എവിടെ:

1) ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം: ,

2) ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്:

1.3 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ:

ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ: .

2. ഫോമിൻ്റെ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

2.1 വിവേചനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

1) നമുക്ക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കാം സാധാരണ കാഴ്ച: ,

2) സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം:

3) സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട്, അവ സൂത്രവാക്യം വഴി കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

2.2 വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക (രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യം) തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം തുല്യമാണ്, അതായത്. , എ.

2.3 ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം

കൂടുതൽ ലളിതമായ രീതിയിൽ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് z ഇടുക. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും: z(аz + b) = 0. ഘടകങ്ങൾ എഴുതാം: z=0, az + b = 0, കാരണം രണ്ടും പൂജ്യത്തിൽ കലാശിക്കും. az + b = 0 എന്ന നൊട്ടേഷനിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേത് മറ്റൊരു അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് വലത്തേക്ക് നീക്കുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് z1 = 0, z2 = -b/a എന്നിവ ലഭിക്കും. ഇവയാണ് ഒറിജിനലിൻ്റെ വേരുകൾ.

അവിടെയുണ്ടെങ്കിൽ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം az² + с = 0 എന്ന രൂപത്തിൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഉണ്ട് ലളിതമായ കൈമാറ്റംസമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദം. അതിൻ്റെ അടയാളവും മാറ്റുക. ഫലം az² = -с ആയിരിക്കും. എക്സ്പ്രസ് z² = -c/a. റൂട്ട് എടുത്ത് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ എഴുതുക - പോസിറ്റീവ് കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് അർത്ഥംസ്ക്വയർ റൂട്ട്.

കുറിപ്പ്

സമവാക്യത്തിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുണ്ടെങ്കിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതിനായി മുഴുവൻ സമവാക്യത്തെയും ഉചിതമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ആവശ്യമാണ്; ചിലപ്പോൾ ഇത് മുതിർന്നവരെ സഹായിക്കും. സാധാരണ ജീവിതം. നിരവധി പ്രത്യേക പരിഹാര മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

a*x^2+b*x+c=0 ഫോമിൻ്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. ഗുണകം x എന്നത് ആവശ്യമുള്ള വേരിയബിളാണ്, a, b, c സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളാണ്. “+” ചിഹ്നം “-” ചിഹ്നമായി മാറുമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക.

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുകയോ വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയോ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വിവേചനം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ രീതി, കാരണം a, b, c എന്നിവയുടെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്ക് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല.

വിവേചനം (D) കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ D=b^2 - 4*a*c എന്ന ഫോർമുല എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. D മൂല്യം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ കുറവോ തുല്യമോ ആകാം. D പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും; D = 0 ആണെങ്കിൽ, ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ; കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ കേസിൽ D-ക്ക് രണ്ട് തുല്യമായ വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അറിയപ്പെടുന്ന ഗുണകങ്ങൾ a, b, c ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

നിങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a ഇവിടെ sqrt എന്നത് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റ് എന്നർത്ഥമുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഈ നമ്പറിൽ നിന്ന്. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ കണക്കാക്കിയ ശേഷം, നിങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, അതിനുശേഷം സമവാക്യം പരിഹരിച്ചതായി കണക്കാക്കും.

ഡി പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, അതിന് ഇപ്പോഴും വേരുകളുണ്ട്. ഈ വിഭാഗം പ്രായോഗികമായി സ്കൂളിൽ പഠിച്ചിട്ടില്ല. റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നുവെന്ന് സർവകലാശാല വിദ്യാർത്ഥികൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട് അവർ അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു, അതായത്, റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള -1 എല്ലായ്പ്പോഴും "i" എന്ന സാങ്കൽപ്പിക ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്, അത് അതേ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുള്ള റൂട്ട് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, D=sqrt(-20), രൂപാന്തരത്തിന് ശേഷം നമുക്ക് D=sqrt(20)*i ലഭിക്കും. ഈ പരിവർത്തനത്തിനുശേഷം, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് മുകളിൽ വിവരിച്ച അതേ വേരുകളുടെ കണ്ടെത്തലായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

x(1), x(2) എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം. സമാനമായ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=സെ. കൂടാതെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിൻ്റ് b എന്ന ഗുണകത്തിന് മുന്നിലുള്ള ചിഹ്നമാണ്, ഈ ചിഹ്നം സമവാക്യത്തിലെ ഒന്നിന് വിപരീതമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, x (1), x (2) എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടിവരുമെന്ന വസ്തുത നിങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘടകങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ചിലത് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമാനമായ രീതിയിൽ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞെങ്കിൽ, മടിക്കേണ്ടതില്ല ഉത്തരം എഴുതുക. x(1) ഉം x(2) ഉം ബ്രാക്കറ്റിലെ അടുത്തുള്ള ഗുണകങ്ങൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും, എന്നാൽ വിപരീത ചിഹ്നം.

കൂടാതെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്. നിങ്ങൾക്ക് ചില നിബന്ധനകൾ നഷ്‌ടമായേക്കാം; അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. x^2 അല്ലെങ്കിൽ x ന് മുന്നിൽ ഒന്നുമില്ലെങ്കിൽ, a, b എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ 1 ന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. യഥാർത്ഥ, ഒന്നിലധികം, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുടെ കേസുകൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദം. ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം. വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൻ്റെയും ഫാക്‌ടറിംഗിൻ്റെയും ഉദാഹരണങ്ങൾ.

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:
(1) .
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ(1) സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
; .
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ സംയോജിപ്പിക്കാം:
.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ അറിയപ്പെടുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദത്തെ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (ഘടകാംശം):
.

ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ ഊഹിക്കുന്നു - യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ.
നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം:
.
വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
; .
അപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഘടകവൽക്കരണത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
.
വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് മൾട്ടിപ്പിൾ (തുല്യ) യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
.
ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ:
.
വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജിത വേരുകളുണ്ട്:
;
.
ഇവിടെ സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ്, ;
വേരുകളുടെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ ഇവയാണ്:
; .
പിന്നെ

.

ഗ്രാഫിക് വ്യാഖ്യാനം

നിങ്ങൾ പണിയുകയാണെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്
,
ഇത് ഒരു പരവലയമാണ്, അപ്പോൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളായിരിക്കും
.
ൽ, ഗ്രാഫ് x-ആക്സിസിനെ (അക്ഷം) രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു.
എപ്പോൾ, ഗ്രാഫ് ഒരു ബിന്ദുവിൽ x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു.
എപ്പോൾ, ഗ്രാഫ് x-അക്ഷം കടക്കുന്നില്ല.

അത്തരം ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഉപയോഗപ്രദമായ ഫോർമുലകൾ

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (f.1), (f.3):




,
എവിടെ
; .

അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയലിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ഫോമിൽ ലഭിച്ചു:
.
ഇത് സമവാക്യം കാണിക്കുന്നു

ചെയ്തത്
ഒപ്പം .
അതായത്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്
.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1

(1.1) .

പരിഹാരം

.
ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ (1.1), ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
;
;
.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ ലഭിക്കും:

.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-അക്ഷത്തെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ അബ്സിസ്സ അക്ഷം (അക്ഷം) കടക്കുന്നു:
ഒപ്പം .
ഈ പോയിൻ്റുകളാണ് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1.1) വേരുകൾ.

ഉത്തരം

;
;
.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:
(2.1) .

പരിഹാരം

നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യവുമായി (2.1) താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം പൂജ്യമായതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് ഒന്നിലധികം (തുല്യ) വേരുകളുണ്ട്:
;
.

അപ്പോൾ ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ ഘടകവൽക്കരണത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y = x 2 - 4 x + 4ഒരു ബിന്ദുവിൽ x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ x-അക്ഷത്തിൽ (അക്ഷം) സ്പർശിക്കുന്നു:
.
ഈ പോയിൻ്റാണ് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് (2.1). കാരണം ഈ റൂട്ട് രണ്ടുതവണ ഘടകം ചെയ്യുന്നു:
,
അപ്പോൾ അത്തരമൊരു റൂട്ടിനെ സാധാരണയായി മൾട്ടിപ്പിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, രണ്ട് തുല്യ വേരുകളുണ്ടെന്ന് അവർ വിശ്വസിക്കുന്നു:
.

ഉത്തരം

;
.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:
(3.1) .

പരിഹാരം

നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
(1) .
യഥാർത്ഥ സമവാക്യം (3.1) വീണ്ടും എഴുതാം:
.
(1) മായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, . അതിനാൽ യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:
;
;
.

പിന്നെ


.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് x-അക്ഷം കടക്കുന്നില്ല. യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് x-ആക്സിസിനെ (അക്ഷം) വിഭജിക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

ഉത്തരം

യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല. സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ:
;
;
.

ഞങ്ങൾ വിഷയം പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു " സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു" ഞങ്ങൾ ഇതിനകം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെട്ടു, പരിചയപ്പെടാൻ പോകുകയാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

ആദ്യം, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്താണെന്നും അത് എങ്ങനെ പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നുവെന്നും അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുമെന്നും നോക്കാം. ഇതിനുശേഷം, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് വിശദമായി പരിശോധിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് പോകാം സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല നേടും, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനവുമായി പരിചയപ്പെടുകയും സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും. അവസാനമായി, നമുക്ക് വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ കണ്ടെത്താം.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

എന്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം? അവയുടെ തരങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്താണെന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനവും അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒരു സംഭാഷണം ആരംഭിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാന തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം: കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതും, അതുപോലെ പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ സമവാക്യങ്ങൾ.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർവചനവും ഉദാഹരണങ്ങളും

നിർവ്വചനം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംരൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ് a x 2 +b x+c=0, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, a, b, c എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ a പൂജ്യമല്ല.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ പലപ്പോഴും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നുവെന്ന് ഉടൻ തന്നെ പറയാം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന വസ്തുതയാണ് ഇതിന് കാരണം ബീജഗണിത സമവാക്യംരണ്ടാം ബിരുദം.

പ്രസ്താവിച്ച നിർവചനം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അതിനാൽ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, മുതലായവ. ഇവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

നിർവ്വചനം.

നമ്പറുകൾ a, b, c എന്നിവ വിളിക്കപ്പെടുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ a·x 2 +b·x+c=0, കൂടാതെ a കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ആദ്യത്തേത്, അല്ലെങ്കിൽ ഉയർന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ x 2 ൻ്റെ ഗുണകം, b ആണ് രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, അല്ലെങ്കിൽ x ൻ്റെ ഗുണകം, c എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദമാണ് .

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 5 x 2 -2 x -3=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എടുക്കാം, ഇവിടെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 5 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം −2 ന് തുല്യമാണ്, സ്വതന്ത്ര പദം −3 ന് തുല്യമാണ്. ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ, ഗുണകങ്ങൾ b കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ c നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക ഹ്രസ്വ രൂപം 5 x 2 -2 x−3=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതുന്നു, 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0 അല്ല.

ഗുണകങ്ങൾ a കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ b 1 അല്ലെങ്കിൽ −1 ന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, അവ സാധാരണയായി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ വ്യക്തമായി കാണില്ല, ഇത് എഴുതുന്നതിൻ്റെ പ്രത്യേകതകൾ മൂലമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, y 2 -y+3=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ മുൻനിര ഗുണകം ഒന്നാണ്, y യുടെ ഗുണകം -1 ന് തുല്യമാണ്.

കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

മുൻനിര ഗുണകം 1 ആയ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം നൽകി. അല്ലെങ്കിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം തൊട്ടുകൂടാത്ത.

ഇതനുസരിച്ച് ഈ നിർവചനം, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ x 2 −3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, മുതലായവ. - നൽകിയിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിലും ആദ്യ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. A 5 x 2 -x−1=0 മുതലായവ. - കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, അവയുടെ മുൻനിര ഗുണകങ്ങൾ 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

കുറയ്ക്കാത്ത ഏതെങ്കിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, രണ്ട് വശങ്ങളും ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് കുറച്ചതിലേക്ക് പോകാം. ഈ പ്രവർത്തനം ഒരു തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്, അതായത്, ഈ രീതിയിൽ ലഭിച്ച കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ അതേ വേരുകളുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ അത് പോലെ വേരുകളില്ല.

കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറച്ചതിലേക്കുള്ള മാറ്റം എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

3 x 2 +12 x−7=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, അനുബന്ധമായ കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകുക.

പരിഹാരം.

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് പൂജ്യമല്ല, അതിനാൽ നമുക്ക് ഈ പ്രവർത്തനം നടത്താം. നമുക്കുണ്ട് (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, അത് സമാനമാണ്, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, തുടർന്ന് (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, എവിടെ നിന്ന് . ഒറിജിനലിന് തുല്യമായ ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ്.

ഉത്തരം:

പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ a≠0 എന്ന അവസ്ഥ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. a x 2 + b x + c = 0 എന്ന സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആകുന്നതിന് ഈ അവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്, കാരണം a = 0 ആകുമ്പോൾ അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ b x + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു.

ഗുണകങ്ങൾ b, c എന്നിവയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അവ വ്യക്തിഗതമായും ഒന്നിച്ചും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

a x 2 +b x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അപൂർണ്ണമായ, ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും b, c പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ.

അതിൻ്റെ ഊഴത്തിൽ

നിർവ്വചനം.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സമവാക്യമാണ്.

അത്തരം പേരുകൾ യാദൃശ്ചികമായി നൽകിയതല്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന ചർച്ചകളിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യക്തമാകും.

ഗുണകം b പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a·x 2 +0·x+c=0 എന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു, അത് a·x 2 +c=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. c=0, അതായത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് a·x 2 +b·x+0=0 എന്ന രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ, അത് a·x 2 +b·x=0 എന്ന് പുനരാലേഖനം ചെയ്യാം. കൂടാതെ b=0, c=0 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് a·x 2 =0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അവയുടെ ഇടത് വശങ്ങളിൽ x എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദമോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും അടങ്ങിയിട്ടില്ല. അതിനാൽ അവയുടെ പേര് - അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

അതിനാൽ x 2 +x+1=0, -2 x 2 -5 x+0.2=0 എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്, കൂടാതെ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 -5 x=0 അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

മുൻ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് ഉണ്ടെന്ന് പിന്തുടരുന്നു മൂന്ന് തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ:

• a·x 2 =0, ഗുണകങ്ങൾ b=0, c=0 എന്നിവ അതിനോട് യോജിക്കുന്നു;
• a x 2 +c=0 എപ്പോൾ b=0 ;
• കൂടാതെ a·x 2 +b·x=0 എപ്പോൾ c=0.

ഈ ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ക്രമത്തിൽ പരിശോധിക്കാം.

ഒരു x 2 =0

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, അതിൽ ഗുണകങ്ങൾ b, c എന്നിവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, a x 2 =0 രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ. a·x 2 =0 എന്ന സമവാക്യം x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നതാണ്. വ്യക്തമായും, x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് പൂജ്യമാണ്, കാരണം 0 2 =0. ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, ഏത് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയ്ക്കും p അസമത്വം p 2 >0 നിലനിർത്തുന്നു എന്ന വസ്തുത വിശദീകരിക്കുന്നു, അതായത് p≠0 ന് തുല്യത p 2 =0 ഒരിക്കലും കൈവരിക്കില്ല എന്നാണ്.

അതിനാൽ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് a·x 2 =0 എന്ന ഒറ്റമൂലി x=0 ഉണ്ട്.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം നൽകുന്നു -4 x 2 =0. ഇത് x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് x=0 ആണ്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് പൂജ്യം ഉണ്ട്.

ഈ കേസിൽ ഒരു ഹ്രസ്വ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

കോ എഫിഷ്യൻ്റ് b പൂജ്യവും c≠0 ഉം ഉള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന് നോക്കാം, അതായത് a x 2 +c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദത്തെ മാറ്റുന്നതും അതുപോലെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതും തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നൽകുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, x 2 +c=0 എന്ന അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നമുക്ക് നടപ്പിലാക്കാം:

• c വലത് വശത്തേക്ക് നീക്കുക, ഇത് സമവാക്യത്തിന് ഒരു x 2 =−c നൽകുന്നു,
• രണ്ട് വശങ്ങളും a കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം അതിൻ്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. a, c എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആകാം (ഉദാഹരണത്തിന്, a=1, c=2 എങ്കിൽ ) അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് (ഉദാഹരണത്തിന്, a=−2, c=6 എന്നിവയാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ ), ഇത് പൂജ്യമല്ല, കാരണം c≠0 വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം. കേസുകൾ പ്രത്യേകം നോക്കാം.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും വർഗ്ഗം ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് ഈ പ്രസ്താവന പിന്തുടരുന്നത്. എപ്പോൾ , പിന്നെ ഏത് സംഖ്യയും p എന്നതിന് തുല്യത ശരിയാകില്ലെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുള്ള സാഹചര്യം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ ഓർക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഉടനടി വ്യക്തമാകും; ഇത് സംഖ്യയാണ്, മുതൽ . സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലവും സംഖ്യയാണെന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, വൈരുദ്ധ്യത്താൽ കാണിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം.

x 1, −x 1 എന്നിങ്ങനെ ഇപ്പോൾ പ്രഖ്യാപിച്ച സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. x 1, −x 1 എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് x 2 കൂടി ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. x ന് പകരം അതിൻ്റെ വേരുകൾ ഒരു സമവാക്യമാക്കി മാറ്റുന്നത് സമവാക്യത്തെ ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമാക്കി മാറ്റുമെന്ന് അറിയാം. x 1 നും −x 1 നും നമുക്കുണ്ട്, x 2 ന് നമുക്കുണ്ട്. സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം കുറയ്ക്കൽ നടത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അതിനാൽ തുല്യതയുടെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നത് x 1 2 -x 2 2 =0 നൽകുന്നു. അക്കങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യത (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 ആയി മാറ്റിയെഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അവയിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം. അതിനാൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1 -x 2 =0 കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 1 +x 2 =0, x 2 =x 1 കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 2 =-x 1. x 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x 1, −x 1 എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് തുടക്കത്തിൽ പറഞ്ഞതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തി. കൂടാതെ, കൂടാതെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളൊന്നുമില്ലെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

ഈ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങൾ നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 +c=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്

• വേരുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ,
• രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്, എങ്കിൽ .

a·x 2 +c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

9 x 2 +7=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദം നീക്കിയ ശേഷം, അത് 9 x 2 =−7 എന്ന ഫോം എടുക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമ്മൾ എത്തിച്ചേരുന്നു. വലതുവശത്ത് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഉള്ളതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായ 9 x 2 +7 = 0 ന് വേരുകളില്ല.

നമുക്ക് മറ്റൊരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം -x 2 +9=0. ഞങ്ങൾ ഒമ്പത് വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു: -x 2 =-9. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഇരുവശങ്ങളെയും −1 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് x 2 =9 ലഭിക്കും. വലതുവശത്ത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു അല്ലെങ്കിൽ . അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ അന്തിമ ഉത്തരം എഴുതുന്നു: അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം -x 2 +9=0 ന് x=3 അല്ലെങ്കിൽ x=−3 എന്ന രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

a x 2 +b x=0

പരിഹാരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു അവസാന തരം c=0 നുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. a x 2 + b x = 0 രൂപത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതി. വ്യക്തമായും, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യാം, ഇതിനായി ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് x എന്ന പൊതു ഘടകം എടുത്താൽ മതിയാകും. യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x·(a·x+b)=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ തുല്യമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യം x=0, a·x+b=0 എന്നീ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഗണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇതിൽ രണ്ടാമത്തേത് രേഖീയവും x=−b/a എന്ന മൂലവും ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a·x 2 +b·x=0 ന് x=0, x=−b/a എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് x എടുത്താൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഇത് x=0, എന്നീ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രേഖീയ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു: , കൂടാതെ മിക്സഡ് സംഖ്യയെ ഹരിക്കുക പൊതു അംശം, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ x=0 ഉം .

ആവശ്യമായ പരിശീലനം നേടിയ ശേഷം, അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

ഉത്തരം:

x=0, .

വിവേചനപരമായ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു റൂട്ട് ഫോർമുലയുണ്ട്. നമുക്ക് അത് എഴുതാം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം:, എവിടെ D=b 2 -4 a c- വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം. പ്രവേശനം പ്രധാനമായും അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

റൂട്ട് ഫോർമുല എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്നും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അത് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. നമുക്ക് ഇത് കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

നമുക്ക് a·x 2 +b·x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് സമാനമായ ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

• ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും നമുക്ക് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ a കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും.
• ഇപ്പോൾ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുകഅതിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്: . ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും.
• ഈ ഘട്ടത്തിൽ, അവസാനത്തെ രണ്ട് പദങ്ങൾ എതിർ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് .
• വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: .

തൽഫലമായി, a·x 2 +b·x+c=0 എന്ന യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൽ നാം എത്തിച്ചേരുന്നു.

ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചപ്പോൾ മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകളിലെ രൂപത്തിൽ സമാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഹരിച്ചു. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല;
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്, അതിനാൽ, അതിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് ദൃശ്യമാണ്;
• എങ്കിൽ , പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ , അത് സമാനമാണ് അല്ലെങ്കിൽ , അതായത്, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. 4·a 2 എന്ന ഡിനോമിനേറ്റർ എപ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, അതായത്, b 2 −4·ac·c എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്താൽ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ അടയാളമാണ്. ഈ പദപ്രയോഗം b 2 -4 a c എന്ന് വിളിക്കപ്പെട്ടു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനംകത്തിൽ നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്തു ഡി. ഇവിടെ നിന്ന് വിവേചനത്തിൻ്റെ സാരാംശം വ്യക്തമാണ് - അതിൻ്റെ മൂല്യത്തെയും അടയാളത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ടോ എന്ന് അവർ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, അവയുടെ നമ്പർ എന്താണ് - ഒന്നോ രണ്ടോ.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം, വിവേചനപരമായ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് അത് മാറ്റിയെഴുതാം: . ഞങ്ങൾ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

• ഡി എങ്കിൽ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 ആണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്;
• അവസാനമായി, D>0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ, അത് ഫോമിൽ മാറ്റിയെഴുതാം അല്ലെങ്കിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ വികസിപ്പിച്ച് കുറച്ചതിന് ശേഷം പൊതു വിഭജനംഞങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു, അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, അവിടെ D=b 2 −4·a·c എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനം D കണക്കാക്കുന്നു.

അവരുടെ സഹായത്തോടെ, പോസിറ്റീവ് വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളും കണക്കാക്കാം. വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും റൂട്ടിൻ്റെ ഒരേ മൂല്യം നൽകുന്നു, ഇത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു നിഷേധാത്മക വിവേചനത്തോടെ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തെ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു. നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, അത് നമ്മെ അപ്പുറത്തേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി. ഒരു നിഷേധാത്മക വിവേചനത്തോടെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല, പക്ഷേ ഒരു ജോടിയുണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനംവേരുകൾ, നമുക്ക് ലഭിച്ച അതേ റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും.

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

പ്രായോഗികമായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. എന്നാൽ ഇത് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു സ്കൂൾ ബീജഗണിത കോഴ്സിൽ ഇത് സാധാരണമാണ് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്സങ്കീർണ്ണമായ കാര്യമല്ല, മറിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളെക്കുറിച്ചാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ആദ്യം വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നത് നല്ലതാണ്, അത് നെഗറ്റീവ് അല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക (അല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം), അതിനുശേഷം മാത്രമേ വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കൂ.

മുകളിലെ ന്യായവാദം നമ്മെ എഴുതാൻ അനുവദിക്കുന്നു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം. ഒരു x 2 +b x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്:

• D=b 2 −4·a·c എന്ന വിവേചന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, അതിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക;
• വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യുക;
• D=0 ആണെങ്കിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് കണക്കാക്കുക;
• വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാമെന്നത് ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു; അത് ന് തുല്യമായ മൂല്യം നൽകും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് പോകാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, സീറോ വിവേചനം ഉള്ള മൂന്ന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അവയുടെ പരിഹാരം കൈകാര്യം ചെയ്ത ശേഷം, സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച് മറ്റേതെങ്കിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ഉദാഹരണം.

x 2 +2·x−6=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ട്: a=1, b=2, c=−6. അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ ആദ്യം വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ച a, b, c എന്നിവ വിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 മുതൽ, അതായത്, വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവ കണ്ടെത്താം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു , ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാം ഗുണിതത്തെ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിനപ്പുറം നീക്കുന്നുഅംശം കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ:

ഉത്തരം:

നമുക്ക് അടുത്ത സാധാരണ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക -4 x 2 +28 x−49=0 .

പരിഹാരം.

വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത്, അതായത്,

ഉത്തരം:

x=3.5.

ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം.

5·y 2 +6·y+2=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഇതാ: a=5, b=6, c=2. ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ വിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്കുണ്ട് D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ സൂചിപ്പിക്കണമെങ്കിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുകയും പ്രകടനം നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ ഇവയാണ്: .

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സ്കൂളിൽ അവർ സാധാരണയായി ഉടൻ തന്നെ ഒരു ഉത്തരം എഴുതുന്നു, അതിൽ യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്നും സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്താനായില്ലെന്നും നമുക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ശ്രദ്ധിക്കാം.

രണ്ടാമത്തെ ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള റൂട്ട് ഫോർമുല

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല, ഇവിടെ D=b 2 −4·a·c, കൂടുതൽ കോംപാക്റ്റ് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫോർമുല നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഇത് x-നുള്ള ഇരട്ട ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ഒരു 2·n എന്ന ഫോം ഉള്ള ഗുണകം, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ 14· ln5=2·7·ln5 ). നമുക്ക് അവളെ പുറത്താക്കാം.

ഒരു x 2 +2 n x+c=0 ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. നമുക്കറിയാവുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നമുക്ക് n 2 -a c എന്ന പദപ്രയോഗം D 1 ആയി സൂചിപ്പിക്കാം (ചിലപ്പോൾ ഇത് D "എന്ന് സൂചിപ്പിക്കും) തുടർന്ന് പരിഗണിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2 n ഉപയോഗിച്ച് രൂപമെടുക്കും. , ഇവിടെ D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, അല്ലെങ്കിൽ D 1 =D/4 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡി 1 എന്നത് വിവേചനത്തിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗമാണ്. D 1 ൻ്റെ അടയാളം D യുടെ അടയാളം തന്നെയാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതായത്, D 1 എന്ന ചിഹ്നം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം എന്നിവയുടെ സൂചകമാണ്.

അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2·n ഉള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്

• D 1 =n 2 -a·c കണക്കാക്കുക;
• ഡി 1 ആണെങ്കിൽ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുക;
• D 1 >0 ആണെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് യഥാർത്ഥ റൂട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.

ഈ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 x 2 -6 x -32=0 പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തെ 2·(−3) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ഇവിടെ a=5, n=−3, c=−32 എന്നിവയിൽ വീണ്ടും എഴുതാം, കൂടാതെ നാലാമത്തെ ഭാഗം കണക്കാക്കാം. വിവേചനം: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(−32)=9+160=169. അതിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. ഉചിതമായ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവ കണ്ടെത്താം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി സാധാരണ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ജോലികൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഉത്തരം:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപം ലളിതമാക്കുന്നു

ചിലപ്പോൾ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല: "ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ?" കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ 1100 x 2 -400 x−600=0 എന്നതിനേക്കാൾ 11 x 2 -4 x−6=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാകുമെന്ന് സമ്മതിക്കുക.

സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം ലളിതമാക്കുന്നത് രണ്ട് വശങ്ങളെയും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചോ ഹരിച്ചോ ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ 1100 x 2 -400 x -600=0 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് വശങ്ങളും 100 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ലളിതമാക്കാൻ സാധിച്ചു.

സമാനമായ പരിവർത്തനം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്, അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ അല്ല . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സാധാരണയായി അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളാൽ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 12 x 2 -42 x+48=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എടുക്കാം. അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങൾ: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമ്മൾ 2 x 2 −7 x+8=0 എന്ന തുല്യമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ എത്തുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നത് സാധാരണയായി ഫ്രാക്ഷണൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗുണനം നടത്തുന്നത് അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും LCM(6, 3, 1)=6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് x 2 +4·x−18=0 എന്ന ലളിതമായ രൂപമെടുക്കും.

ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഉപസംഹാരമായി, എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഗുണകത്തിൽ അവ എല്ലായ്പ്പോഴും മൈനസ് ഒഴിവാക്കുന്നു, ഇത് ഇരുവശങ്ങളെയും −1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കുന്നതിന്) സമാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സാധാരണയായി ഒരാൾ −2 x 2 -3 x+7=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 2 x 2 +3 x−7=0 എന്ന പരിഹാരത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിലൂടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. റൂട്ട് ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് ബന്ധങ്ങൾ നേടാനാകും.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള ഏറ്റവും അറിയപ്പെടുന്നതും ബാധകവുമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രൂപവും . പ്രത്യേകിച്ചും, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്, വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 x 2 -7 x + 22 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം നോക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7/3 ന് തുല്യമാണെന്നും വേരുകളുടെ ഗുണം 22 ന് തുല്യമാണെന്നും നമുക്ക് പെട്ടെന്ന് പറയാൻ കഴിയും. /3.

ഇതിനകം എഴുതിയ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് നിരവധി കണക്ഷനുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: .

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം എട്ടാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. എട്ടാം ക്ലാസ്. ഉച്ചയ്ക്ക് 2 മണിക്ക് ഭാഗം 1. വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ/ എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - 11-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.