ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. സമഗ്ര ഗൈഡ് (2019). ഡെറിവേറ്റീവ്, അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും ആശയങ്ങളും

15.10.2019

IN കോർഡിനേറ്റ് വിമാനം xOyഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക y=f(x). നമുക്ക് പോയിൻ്റ് ശരിയാക്കാം M(x 0 ; f (x 0)). നമുക്ക് ഒരു abscissa ചേർക്കാം x 0ഇൻക്രിമെന്റും Δx. നമുക്ക് ഒരു പുതിയ abscissa ലഭിക്കും x 0 +Δx. ഇതാണ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സ എൻ, ഓർഡിനേറ്റ് തുല്യമായിരിക്കും f (x 0 +Δx). അബ്‌സിസ്സയിലെ മാറ്റം ഓർഡിനേറ്റിൽ മാറ്റം വരുത്തി. ഈ മാറ്റത്തെ ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).ഡോട്ടുകൾ വഴി എംഒപ്പം എൻനമുക്ക് ഒരു സെക്കൻ്റ് വരയ്ക്കാം എം.എൻ, ഒരു കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു φ പോസിറ്റീവ് അച്ചുതണ്ട് ദിശയിൽ ഓ. നമുക്ക് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കാം φ നിന്ന് മട്ട ത്രികോണം എം.പി.എൻ.

അനുവദിക്കുക Δxപൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു. പിന്നെ സെക്കൻ്റ് എം.എൻഒരു സ്പർശന സ്ഥാനം സ്വീകരിക്കാൻ പ്രവണത കാണിക്കും എം.ടി, കോണും φ ഒരു കോണായി മാറും α . അതിനാൽ, കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് α കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മൂല്യമാണ് φ :

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി, രണ്ടാമത്തേത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ തന്നിരിക്കുന്ന വക്രത്തിലേക്കും അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കും വരച്ച ടാൻജെൻ്റ് രൂപപ്പെടുത്തിയ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. ഓ:

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1. ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റും y= ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവും കണ്ടെത്തുക x 2, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ പ്രാരംഭ മൂല്യം തുല്യമായിരുന്നെങ്കിൽ 4 , പുതിയത് - 4,01 .

പരിഹാരം.

പുതിയ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യം x=x 0 +Δx. നമുക്ക് ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം: 4.01=4+Δх, അതിനാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവ് Δx=4.01-4=0.01. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പുതിയതും മുമ്പത്തെ മൂല്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉള്ളതിനാൽ y=x2, അത് Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

ഉത്തരം: വാദം വർദ്ധനവ് Δx=0.01; പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ് Δу=0,0801.

ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ് വ്യത്യസ്തമായി കണ്ടെത്താം: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ കണ്ടെത്തുക y=f(x)പോയിൻ്റിൽ x 0, എങ്കിൽ f "(x 0) = 1.

പരിഹാരം.

ടാൻജൻസി പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം x 0ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യമാണ് ( ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഡെറിവേറ്റീവ്). നമുക്ക് ഉണ്ട്: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,കാരണം tg45°=1.

ഉത്തരം: ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഓക്സ് അക്ഷത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു 45°.

3. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല നേടുക y=x n.

വ്യത്യാസംഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക, ഡെറിവേറ്റീവ് ഡിഗ്രിക്കുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് പോലെ തന്നെ: (x n)" = nx n-1.

ഇവയാണ് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികവാക്കാലുള്ള ഫോർമുലേഷനുകൾ ഉച്ചരിച്ചുകൊണ്ട് ഓർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും:

1. സ്ഥിരമായ അളവിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്.

2. X പ്രൈം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

3. സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം.

4. ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ ബേസ് ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയാണ്, എന്നാൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഒന്ന് കുറവാണ്.

5. ഒരു റൂട്ടിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് രണ്ട് തുല്യ വേരുകൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

6. ഒന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് x കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മൈനസ് ഒന്നിനെ x കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ തുല്യമാണ്.

7. സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈന് തുല്യമാണ്.

8. കോസൈൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് മൈനസ് സൈനിന് തുല്യമാണ്.

9. ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈൻ്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

10. കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൈനിൻ്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ച മൈനസ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

ഞങ്ങൾ പഠിപ്പിക്കുന്നു വ്യത്യസ്തത നിയമങ്ങൾ.

1. ബീജഗണിത തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് തുല്യമാണ് ബീജഗണിത തുകനിബന്ധനകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.

2. ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആദ്യ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും രണ്ടാമത്തേത് പ്ലസ് ആദ്യ ഘടകത്തിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും തുല്യമാണ്.

3. "y" യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് "ve" കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതിൽ ന്യൂമറേറ്റർ "y പ്രൈം "ve" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ "y ഗുണിച്ചാൽ ve പ്രൈം" ആണ്, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ "ve സ്ക്വയർ" ആണ്.

4. ഫോർമുലയുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് 3.

നമുക്ക് ഒരുമിച്ച് പഠിക്കാം!

പേജ് 1 / 1 1

തീരുമാനിക്കുമ്പോൾ വിവിധ ജോലികൾജ്യാമിതി, മെക്കാനിക്‌സ്, ഫിസിക്‌സ്, മറ്റ് വിജ്ഞാന ശാഖകൾ എന്നിവ ഈ പ്രവർത്തനത്തിൽ നിന്നുള്ള അതേ വിശകലന പ്രക്രിയ ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമായി വന്നു. y=f(x)എന്നൊരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ നേടുക ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ(അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ derivative) f(x)ചിഹ്നത്താൽ നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്നുള്ള പ്രക്രിയ f(x)ഒരു പുതിയ ഫീച്ചർ നേടുക f" (x), വിളിച്ചു വ്യത്യാസംഅതിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: 1) വാദം നൽകുക xഇൻക്രിമെന്റും  xഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനുബന്ധ വർദ്ധനവ് നിർണ്ണയിക്കുക  y = f(x+ x) -f(x); 2) ഒരു ബന്ധം ഉണ്ടാക്കുക

3) എണ്ണുന്നു xസ്ഥിരവും  x0, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് f" (x), ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രവർത്തനം മൂല്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് ഊന്നിപ്പറയുന്നതുപോലെ x, അതിൽ ഞങ്ങൾ പരിധിയിലേക്ക് പോകുന്നു. നിർവ്വചനം: ഡെറിവേറ്റീവ് y " =f " (x) നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x) തന്നിരിക്കുന്ന x-ന്ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, തീർച്ചയായും ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്. പരിമിതമായ. അങ്ങനെ,
, അഥവാ

കുറച്ച് മൂല്യമുണ്ടെങ്കിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കുക x, ഉദാഹരണത്തിന് എപ്പോൾ x=a, മനോഭാവം
ചെയ്തത്  x0 പരിമിതമായ പരിധിയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നില്ല, അപ്പോൾ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവർ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് പറയുന്നു f(x)ചെയ്തത് x=a(അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റിൽ x=a) ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റിൽ വ്യത്യാസമില്ല x=a.

2. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിന് സമീപത്തെ വ്യതിരിക്തമായ y = f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക.

f(x)

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന അനിയന്ത്രിതമായ നേർരേഖ പരിഗണിക്കാം - പോയിൻ്റ് A(x 0 , f (x 0)) കൂടാതെ ഗ്രാഫിനെ ചില പോയിൻ്റിൽ വിഭജിക്കുന്നതും B(x;f(x)). അത്തരമൊരു വരയെ (AB) ഒരു സെക്കൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ∆ABC-യിൽ നിന്ന്: AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

എസി മുതൽ || കാള, പിന്നെ ALO = BAC = β (സമാന്തരമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്). എന്നാൽ ALO എന്നത് ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള സെക്കൻ്റ് AB യുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോണാണ്. ഇതിനർത്ഥം tanβ = k - ചരിവ്നേരെ എബി.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ∆x കുറയ്ക്കും, അതായത്. ∆х→ 0. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗ്രാഫ് അനുസരിച്ച് പോയിൻ്റ് ബി പോയിൻ്റ് എയെ സമീപിക്കും, സെക്കൻ്റ് എബി കറങ്ങും. ∆x→ 0-ൽ സെക്കൻ്റ് AB യുടെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനം ഒരു നേർരേഖയായിരിക്കും (a), പോയിൻ്റ് എയിലെ y = f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

tgβ =∆y/∆x എന്ന സമത്വത്തിൽ ∆x → 0 എന്ന പരിധിയിലേക്ക് പോയാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും
ortg =f "(x 0), മുതൽ
-ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണി
, ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകാരം. എന്നാൽ tg = k എന്നത് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകമാണ്, അതായത് k = tg = f "(x 0).

അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്:

പോയിൻ്റ് x-ൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് 0 abscissa x ഉപയോഗിച്ച് വരച്ച ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവിന് തുല്യം 0 .

3. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം.

ഒരു നേർരേഖയിലൂടെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ചലനം പരിഗണിക്കുക. ഏത് സമയത്തും ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് x(t) നൽകട്ടെ. ഒരു കാലയളവിലെ ശരാശരി വേഗത ഈ കാലയളവിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് (ഒരു ഭൗതികശാസ്ത്ര കോഴ്സിൽ നിന്ന്) അറിയാം, അതായത്.

വാവ് = ∆x/∆t. അവസാന സമത്വത്തിലെ ∆t → 0 എന്ന പരിധിയിലേക്ക് പോകാം.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 സമയത്ത് തൽക്ഷണ വേഗത.

കൂടാതെ lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനപ്രകാരം).

അതിനാൽ, (t) =x"(t).

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്: പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്വൈ = എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽx 0 പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക്എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽx 0

കോർഡിനേറ്റുകളുടെയും സമയത്തിൻ്റെയും അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്ഷനിൽ നിന്ന് വേഗത കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

(t) = x"(t) - വേഗത,

a(f) = "(t) - ത്വരണം, അല്ലെങ്കിൽ

ഒരു സർക്കിളിലെ ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലന നിയമം അറിയാമെങ്കിൽ, ഭ്രമണ ചലന സമയത്ത് കോണീയ പ്രവേഗവും കോണീയ ത്വരിതവും കണ്ടെത്താനാകും:

φ = φ(t) - കാലക്രമേണ കോണിലെ മാറ്റം,

ω = φ"(t) - കോണീയ പ്രവേഗം,

ε = φ"(t) - കോണീയ ത്വരണം, അല്ലെങ്കിൽ ε = φ"(t).

ഒരു അസമമായ വടിയുടെ ബഹുജന വിതരണ നിയമം അറിയാമെങ്കിൽ, അസമമായ വടിയുടെ രേഖീയ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്താനാകും:

m = m(x) - പിണ്ഡം,

x  , l - വടിയുടെ നീളം,

p = m"(x) - രേഖീയ സാന്ദ്രത.

ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച്, ഇലാസ്തികതയുടെയും ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകളുടെയും സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഹുക്കിൻ്റെ നിയമം അനുസരിച്ച്

F = -kx, x - വേരിയബിൾ കോർഡിനേറ്റ്, k - സ്പ്രിംഗ് ഇലാസ്തികത ഗുണകം. ω 2 =k/m ഇട്ടാൽ, സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലം x"(t) + ω 2 x(t) = 0 എന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഇവിടെ ω = √k/√m ആന്ദോളന ആവൃത്തി (l/c), k - സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യം (H/m).

y" + ω 2 y = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യത്തെ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം (മെക്കാനിക്കൽ, ഇലക്ട്രിക്കൽ, വൈദ്യുതകാന്തിക) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമാണ് ഫംഗ്ഷൻ

y = Asin(ωt + φ 0) അല്ലെങ്കിൽ y = Acos(ωt + φ 0), എവിടെ

A - ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി, ω - ചാക്രിക ആവൃത്തി,

φ 0 - പ്രാരംഭ ഘട്ടം.

തീയതി: 11/20/2014

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക.

ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം. ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ ആശയം അവതരിപ്പിക്കും. കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ഫോർമുലേഷനുകളും തെളിവുകളും ഇല്ലാതെ നമുക്ക് പരസ്പരം പരിചയപ്പെടാം.

ഈ പരിചയം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും:

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ ജോലികളുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കുക;

ഈ ലളിതമായ ജോലികൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുക;

ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ ഗുരുതരമായ പാഠങ്ങൾക്കായി തയ്യാറെടുക്കുക.

ആദ്യം - ഒരു സന്തോഷകരമായ ആശ്ചര്യം.)

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ കർശനമായ നിർവചനം പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, കാര്യം വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ഇത് അസ്വസ്ഥമാക്കുന്നു. എന്നാൽ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തിന്, ചട്ടം പോലെ, അത്തരം വിപുലവും ആഴത്തിലുള്ളതുമായ അറിവ് ആവശ്യമില്ല!

സ്കൂളിലെയും യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെയും മിക്ക ജോലികളും വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ, അറിഞ്ഞാൽ മതി കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ മാത്രം- ചുമതല മനസ്സിലാക്കാൻ, ഒപ്പം കുറച്ച് നിയമങ്ങൾ മാത്രം- അത് പരിഹരിക്കാൻ. അത്രയേയുള്ളൂ. ഇത് എന്നെ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നു.

നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാൻ തുടങ്ങാം?)

നിബന്ധനകളും പദവികളും.

പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൽ നിരവധി വ്യത്യസ്ത ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ, ലോഗരിതം മുതലായവ. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് നിങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനം കൂടി ചേർത്താൽ, പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഉയർന്നതാകും. ഈ പുതിയ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം.ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനവും അർത്ഥവും പ്രത്യേക പാഠങ്ങളിൽ ചർച്ചചെയ്യും.

ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്നത് ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനമാണെന്ന് ഇവിടെ മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഞങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കുകയും ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് അത് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഫലം ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും. ഈ പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ വിളിക്കുന്നു: ഡെറിവേറ്റീവ്.

വ്യത്യാസം- ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ പ്രവർത്തനം.

ഡെറിവേറ്റീവ്- ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം.

അതുപോലെ, ഉദാഹരണത്തിന്, തുക- കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ ഫലം. അഥവാ സ്വകാര്യം- വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലം.

നിബന്ധനകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ടാസ്ക്കുകളെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും.) ഫോർമുലേഷനുകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക; ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുക; പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കുക; ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുകഇത്യാദി. ഇതാണ് എല്ലാം അതേ.തീർച്ചയായും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികളും ഉണ്ട്, അവിടെ ഡെറിവേറ്റീവ് (വ്യത്യാസം) കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഘട്ടം മാത്രമായിരിക്കും.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മുകളിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഒരു ഡാഷ് ഉപയോഗിച്ചാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഇതുപോലെ: y"അഥവാ f"(x)അഥവാ എസ്"(ടി)ഇത്യാദി.

വായന ഇഗ്രെക്ക് സ്ട്രോക്ക്, എക്സിൽ നിന്നുള്ള എഫ് സ്ട്രോക്ക്, ടെയിൽ നിന്നുള്ള എസ് സ്ട്രോക്ക്,നന്നായി, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു ...)

ഒരു പ്രൈമിന് ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിക്കാനും കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്: (2x+3)", (x 3 )" , (സിൻക്സ്)"തുടങ്ങിയവ. പലപ്പോഴും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, എന്നാൽ ഈ പാഠത്തിൽ അത്തരം നൊട്ടേഷൻ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കില്ല.

ടാസ്‌ക്കുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചുവെന്ന് കരുതുക. അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.) ഒരിക്കൽ കൂടി ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തൽ ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിവർത്തനം.അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, ഈ നിയമങ്ങളിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ മൂന്ന് കാര്യങ്ങൾ മാത്രം അറിഞ്ഞിരിക്കണം. എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളും നിൽക്കുന്ന മൂന്ന് തൂണുകൾ. ഈ മൂന്ന് തൂണുകൾ ഇതാ:

1. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക (ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകൾ).

3. ഡെറിവേറ്റീവ് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം.

നമുക്ക് ക്രമത്തിൽ ആരംഭിക്കാം. ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക നോക്കും.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക.

ലോകത്ത് അനന്തമായ നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഈ വൈവിധ്യത്തിൽ, ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട് പ്രായോഗിക ഉപയോഗം. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രകൃതിയുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളിലും കാണപ്പെടുന്നു. ഈ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന്, ഇഷ്ടികകളിൽ നിന്ന് പോലെ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെല്ലാം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഈ ക്ലാസ് ഫംഗ്ഷനുകളെ വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് സ്കൂളിൽ പഠിക്കുന്നത് - ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ഹൈപ്പർബോള മുതലായവ.

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസം "ആദ്യം മുതൽ", അതായത്. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെയും പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇത് തികച്ചും അധ്വാനിക്കുന്ന കാര്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ആളുകളാണ്, അതെ, അതെ!) അതിനാൽ അവർ അവരുടെ (ഞങ്ങൾക്കും) ജീവിതം ലളിതമാക്കി. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അവർ നമുക്ക് മുന്നിൽ കണക്കാക്കി. ഫലം ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു പട്ടികയാണ്, അവിടെ എല്ലാം തയ്യാറാണ്.)

ഇതാ, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള ഈ പ്ലേറ്റ്. ഇടത്തെ - പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനം, വലതുവശത്ത് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

	ഫംഗ്ഷൻ വൈ	y എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് y"
1	സി (സ്ഥിരമായ മൂല്യം)	സി" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	പാപം x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	ആർക്‌സിൻ x
	ആർക്കോസ് x
	ആർക്റ്റാൻ x
	arcctg x
4	എ x
4	ഇ x
5	ലോഗ് എ x
5	ln x ( a = ഇ)

ഈ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിലെ മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവ് വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനം- ഏറ്റവും സാധാരണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്ന്, ഏറ്റവും സാധാരണമല്ലെങ്കിൽ! നിങ്ങൾക്ക് സൂചന ലഭിച്ചോ?) അതെ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക ഹൃദയത്തിൽ അറിയുന്നത് നല്ലതാണ്. വഴിയിൽ, ഇത് തോന്നിയേക്കാവുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. തീരുമാനിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ, പട്ടിക തന്നെ ഓർമ്മിക്കപ്പെടും!)

നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പട്ടിക മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നത് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. അതിനാൽ, പലപ്പോഴും അത്തരം ജോലികളിൽ അധിക ചിപ്പുകൾ ഉണ്ട്. ഒന്നുകിൽ ടാസ്‌ക്കിൻ്റെ പദപ്രയോഗത്തിലോ അല്ലെങ്കിൽ ടേബിളിൽ ഇല്ലാത്ത ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷനിലോ...

നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

1. y = x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക 3

പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല. എന്നാൽ പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് പൊതുവായ കാഴ്ച(മൂന്നാം ഗ്രൂപ്പ്). ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ n=3. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ n-ന് പകരം മൂന്നെണ്ണം മാറ്റി, ഫലം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം എഴുതുക:

(x 3) "= 3 x 3-1 = 3x 2

അത്രയേയുള്ളൂ.

ഉത്തരം: y" = 3x 2

2. x = 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ y = sinx എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

ഈ ടാസ്‌ക് അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ആദ്യം സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തണം, തുടർന്ന് മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കണം എന്നാണ് x = 0ഇതേ ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക്. കൃത്യമായി ആ ക്രമത്തിൽ!അല്ലെങ്കിൽ, അവർ ഉടൻ തന്നെ യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് പൂജ്യത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ... യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യമല്ല, മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.ഡെറിവേറ്റീവ്, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, ഒരു പുതിയ ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

ടാബ്‌ലെറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സൈനും അനുബന്ധ ഡെറിവേറ്റീവും കണ്ടെത്തുന്നു:

y" = (sin x)" = cosx

ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

y"(0) = cos 0 = 1

ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം.

3. പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കുക:

എന്താണ്, ഇത് പ്രചോദിപ്പിക്കുന്നത്?) ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ വേർതിരിക്കുന്നത് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക ത്രികോണമിതി മറന്നാൽ, ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് തിരയുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. മേശ സഹായിക്കില്ല ...

എന്നാൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം എന്ന് കണ്ടാൽ ഇരട്ട ആംഗിൾ കോസൈൻ, അപ്പോൾ എല്ലാം ഉടൻ മെച്ചപ്പെടും!

അതെ അതെ! ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത് ഓർക്കുക വ്യത്യാസത്തിന് മുമ്പ്തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്! മാത്രമല്ല അത് ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഡബിൾ ആംഗിൾ കോസൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ആ. ഞങ്ങളുടെ തന്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനം മറ്റൊന്നുമല്ല y = cosx. ഇത് ഒരു ടേബിൾ ഫംഗ്‌ഷനാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് ഉടനടി ലഭിക്കുന്നു:

ഉത്തരം: y" = - sin x.

ഉന്നത ബിരുദധാരികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഉദാഹരണം:

4. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല, തീർച്ചയായും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ശക്തികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ... അപ്പോൾ ഈ പ്രവർത്തനം ലളിതമാക്കുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്. ഇതുപോലെ:

പത്തിലൊന്നിൻ്റെ പവറിലേക്കുള്ള x ഇതിനകം ഒരു ടേബിൾ ഫംഗ്‌ഷനാണ്! മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ്, n=1/10. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് എഴുതുന്നു:

അത്രയേയുള്ളൂ. ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം.

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ആദ്യ സ്തംഭത്തിൽ എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു - ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക. ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് തിമിംഗലങ്ങളെ നേരിടാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. അടുത്ത പാഠത്തിൽ നമ്മൾ വ്യത്യസ്തതയുടെ നിയമങ്ങൾ പഠിക്കും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ശാരീരിക പ്രശ്‌നങ്ങളോ ഉദാഹരണങ്ങളോ പരിഹരിക്കുന്നത് ഡെറിവേറ്റീവിനെയും അത് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളെയും കുറിച്ചുള്ള അറിവില്ലാതെ പൂർണ്ണമായും അസാധ്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്. ഇന്നത്തെ ലേഖനം ഈ അടിസ്ഥാന വിഷയത്തിനായി സമർപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ തീരുമാനിച്ചു. എന്താണ് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ്, അതിൻ്റെ ഭൗതികവും ജ്യാമിതീയവുമായ അർത്ഥം എന്താണ്, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങളെല്ലാം ഒന്നായി സംയോജിപ്പിക്കാം: ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം?

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയവും ഭൗതികവുമായ അർത്ഥം

ഒരു ചടങ്ങ് നടക്കട്ടെ f(x) , ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു (എ, ബി) . x, x0 എന്നീ പോയിൻ്റുകൾ ഈ ഇടവേളയിൽ പെടുന്നു. x മാറുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം തന്നെ മാറുന്നു. വാദം മാറ്റുന്നു - അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം x-x0 . ഈ വ്യത്യാസം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ഡെൽറ്റ x ഇതിനെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മാറ്റം അല്ലെങ്കിൽ വർദ്ധനവ് എന്നത് രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവ്വചനം:

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെ അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധിയാണ്, രണ്ടാമത്തേത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവ്.

അല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

അത്തരമൊരു പരിധി കണ്ടെത്തുന്നതിൻ്റെ പ്രയോജനം എന്താണ്? അത് എന്താണെന്ന് ഇതാ:

ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് OX അക്ഷത്തിനും ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിനുമിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം: സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പാതയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് റെക്റ്റിലീനിയർ ചലനത്തിൻ്റെ വേഗതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, സ്കൂൾ കാലം മുതൽ, വേഗത ഒരു പ്രത്യേക പാതയാണെന്ന് എല്ലാവർക്കും അറിയാം x=f(t) സമയവും ടി . ശരാശരി വേഗതഒരു നിശ്ചിത സമയത്തേക്ക്:

ഒരു നിമിഷത്തിൽ ചലനത്തിൻ്റെ വേഗത കണ്ടെത്താൻ t0 നിങ്ങൾ പരിധി കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്:

റൂൾ ഒന്ന്: ഒരു സ്ഥിരാങ്കം സജ്ജമാക്കുക

സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം. മാത്രമല്ല, ഇത് ചെയ്യണം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അത് ഒരു നിയമമായി എടുക്കുക - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അത് ലളിതമാക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക .

ഉദാഹരണം. നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാം:

റൂൾ രണ്ട്: ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും ഇത് ശരിയാണ്.

ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഒരു തെളിവ് നൽകില്ല, പകരം ഒരു പ്രായോഗിക ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:

റൂൾ മൂന്ന്: ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം: ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം:

ഇവിടെ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും തുല്യമാണ്.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിൽ നമുക്ക് പദപ്രയോഗം കാണാം:

IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റ് അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് 8x ആണ്. അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ബാഹ്യ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നു, തുടർന്ന് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കൊണ്ട് അതിനെ ഗുണിക്കുക.

റൂൾ നാല്: രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല:

ഞങ്ങൾ ആദ്യം മുതൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകളെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. ഈ വിഷയം തോന്നുന്നത്ര ലളിതമല്ല, അതിനാൽ മുന്നറിയിപ്പ് നൽകുക: ഉദാഹരണങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും അപകടങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഇതിനെക്കുറിച്ചും മറ്റ് വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ചും എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വിദ്യാർത്ഥി സേവനവുമായി ബന്ധപ്പെടാം. പിന്നിൽ ഷോർട്ട് ടേംനിങ്ങൾ മുമ്പ് ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിലും, ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പരിശോധനകൾ പരിഹരിക്കാനും പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.

ആമുഖം.

യഥാർത്ഥം രീതിശാസ്ത്രപരമായ വികാസങ്ങൾഇൻഡസ്ട്രിയൽ ആൻഡ് സിവിൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ് ഫാക്കൽറ്റിയിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ്. "ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ്" എന്ന വിഭാഗത്തിലെ ഗണിത കോഴ്‌സ് പ്രോഗ്രാമുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അവ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

സംഭവവികാസങ്ങൾ ഒരൊറ്റ രീതിശാസ്ത്രപരമായ ഗൈഡിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടെ: ഹ്രസ്വമായ സൈദ്ധാന്തിക വിവരങ്ങൾ; "സ്റ്റാൻഡേർഡ്" പ്രശ്നങ്ങളും ഈ പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള വിശദമായ പരിഹാരങ്ങളും വിശദീകരണങ്ങളും ഉള്ള വ്യായാമങ്ങൾ; ടെസ്റ്റ് ഓപ്ഷനുകൾ.

ഓരോ ഖണ്ഡികയുടെയും അവസാനം അധിക വ്യായാമങ്ങൾ ഉണ്ട്. സംഭവവികാസങ്ങളുടെ ഈ ഘടന, അധ്യാപകനിൽ നിന്നുള്ള കുറഞ്ഞ സഹായത്തോടെ വിഭാഗത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര വൈദഗ്ധ്യത്തിന് അനുയോജ്യമാക്കുന്നു.

§1. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവ്വചനം.

മെക്കാനിക്കൽ, ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

ഡെറിവേറ്റീവ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം, ഇത് 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഉടലെടുത്തു. ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം ചരിത്രപരമായി രണ്ട് പ്രശ്‌നങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: ഒന്നിടവിട്ട ചലനത്തിൻ്റെ വേഗതയുടെ പ്രശ്‌നവും ഒരു വക്രത്തിലേക്കുള്ള സ്‌പർശനത്തിൻ്റെ പ്രശ്‌നവും.

ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ, അവയുടെ വ്യത്യസ്ത ഉള്ളടക്കം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതേ ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അത് ഫംഗ്ഷനിൽ നടത്തണം. ഈ പ്രവർത്തനത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക പേര് ലഭിച്ചു. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഓപ്പറേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, x0 എന്ന പോയിൻ്റിലെ y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ആണ്.
ചെയ്തത്
.

ഡെറിവേറ്റീവ് സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു:
.

അങ്ങനെ, നിർവചനം പ്രകാരം

ഡെറിവേറ്റീവുകളെ സൂചിപ്പിക്കാനും ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു
.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ അർത്ഥം.

s=s(t) എന്നത് ഒരു ഭൌതിക ബിന്ദുവിൻ്റെ റക്റ്റിലീനിയർ ചലനത്തിൻ്റെ നിയമമാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ
t എന്ന സമയത്ത് ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ വേഗതയാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് പോയിൻ്റിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ , തുടർന്ന് പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം
തുല്യമാണ്
.

ഉദാഹരണം.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
പോയിൻ്റിൽ =2:

1) നമുക്ക് ഒരു പോയിൻ്റ് നൽകാം =2 വർദ്ധനവ്
. ശ്രദ്ധിക്കുക, അത്.

2) പോയിൻ്റിലെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക =2:

3) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെയും അനുപാതം നമുക്ക് സൃഷ്ടിക്കാം:

നമുക്ക് അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്താം
:

അങ്ങനെ,
.

§ 2. ചിലതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

നിർദ്ദിഷ്ട ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് വിദ്യാർത്ഥി പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്: y=x,y= പൊതുവായി= .

y=x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം.

ആ. (x)′=1.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം

ഡെറിവേറ്റീവ്

അനുവദിക്കുക
പിന്നെ

പവർ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ ഒരു പാറ്റേൺ ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്
n=1,2,3 കൂടെ.

അതിനാൽ,

. (1)

ഈ സൂത്രവാക്യം ഏതൊരു യഥാർത്ഥ n നും സാധുതയുള്ളതാണ്.

പ്രത്യേകിച്ചും, ഫോർമുല (1) ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:

;

ഉദാഹരണം.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്

ചെയ്തത്
.

ഫോർമുല (1) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

y=sin x, y=cos x എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.

y=sinx എന്ന് അനുവദിക്കുക.

∆x കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

∆x→0 എന്ന പരിധിയിലേക്ക് കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

y=cosx എന്ന് അനുവദിക്കുക.

∆x→0 എന്ന പരിധിയിലേക്ക് കടന്നാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

;
. (2)

§3. വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ.

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം1 . തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ u=u(x), v=v(x) എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ അവയുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും, കൂടാതെ തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് പദങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. : (u+v)"=u"+v".(3 )

തെളിവ്: ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x)=u(x)+v(x) പരിഗണിക്കുക.

ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ∆x, u, v എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) എന്നീ ഇൻക്രിമെൻ്റുകളുമായി യോജിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ y വർദ്ധിക്കും

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=---=∆u+∆v.

അതിനാൽ,

അതിനാൽ, (u+v)"=u"+v".

സിദ്ധാന്തം2. u=u(x), v=v(x) എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ്‌ക്‌സിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം അതേ പോയിൻ്റിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

തെളിവ്: y=uv എന്ന് അനുവദിക്കുക, ഇവിടെ u, v എന്നിവ x ൻ്റെ ചില വ്യതിരിക്തമായ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. നമുക്ക് x-ന് ∆x-ൻ്റെ വർദ്ധനവ് നൽകാം; അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ∆u-ൻ്റെ വർദ്ധനവ് ലഭിക്കും, v-യ്ക്ക് ∆v-ൻ്റെ വർദ്ധനവും y-ന് ∆y-ൻ്റെ വർദ്ധനവും ലഭിക്കും.

ഞങ്ങൾക്ക് y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), അല്ലെങ്കിൽ

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

അതിനാൽ, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

ഇവിടെ നിന്ന്

∆x→0 എന്ന പരിധിയിലേക്ക് കടന്ന് u, v എന്നിവ ∆x-നെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെന്ന് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക്

സിദ്ധാന്തം 3. രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഡിവിസറിൻ്റെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും ഹരിക്കലിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗുണനവും ഗുണനവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് ന്യൂമറേറ്റർ. ഡിവിഡൻ്റും ഡിവിസറിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും, അതായത്.

എങ്കിൽ
അത്
(5)