ബിസി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, പുരാതന ഗ്രീക്ക് തത്ത്വചിന്തകനായ എലിയയിലെ സെനോ തൻ്റെ പ്രശസ്തമായ അപ്പോറിയകൾ രൂപപ്പെടുത്തി, അതിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത് "അക്കില്ലസും ആമയും" അപ്പോറിയയാണ്. ഇത് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് ഇതാ:

ആമയെക്കാൾ പത്തിരട്ടി വേഗത്തിലാണ് അക്കില്ലസ് ഓടുന്നത്, അതിന് ആയിരം ചുവടുകൾ പിന്നിലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഈ ദൂരം ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അക്കില്ലസ് നൂറ് ചുവടുകൾ ഓടുമ്പോൾ, ആമ മറ്റൊരു പത്ത് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു, അങ്ങനെ. ഈ പ്രക്രിയ അനന്തമായി തുടരും, അക്കില്ലസ് ഒരിക്കലും ആമയെ പിടിക്കില്ല.

ഈ ന്യായവാദം എല്ലാ തുടർന്നുള്ള തലമുറകൾക്കും ഒരു ലോജിക്കൽ ഷോക്കായി മാറി. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ, ഡയോജെനിസ്, കാന്ത്, ഹെഗൽ, ഹിൽബർട്ട്... ഇവരെല്ലാം ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സെനോയുടെ അപ്പോറിയയെ പരിഗണിച്ചു. ഞെട്ടൽ വളരെ ശക്തമായിരുന്നു " ... ചർച്ചകൾ ഇന്നും തുടരുന്നു; വിരോധാഭാസങ്ങളുടെ സാരാംശത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പൊതു അഭിപ്രായത്തിലേക്ക് വരാൻ ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിന് ഇതുവരെ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല ... ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം, സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം, പുതിയ ഭൗതികവും ദാർശനികവുമായ സമീപനങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പഠനത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു. ; അവയൊന്നും പ്രശ്നത്തിന് പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട പരിഹാരമായില്ല..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". തങ്ങൾ വഞ്ചിക്കപ്പെടുകയാണെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ വഞ്ചന എന്താണ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നതെന്ന് ആർക്കും മനസ്സിലാകുന്നില്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ, സെനോ തൻ്റെ അപ്പോറിയയിൽ അളവിൽ നിന്ന് എന്നതിലേക്കുള്ള മാറ്റം വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കി. ഈ പരിവർത്തനം സ്ഥിരമായവയ്ക്ക് പകരം പ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം, അളവിൻ്റെ വേരിയബിൾ യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ഒന്നുകിൽ ഇതുവരെ വികസിപ്പിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് സെനോയുടെ അപ്പോറിയയിൽ പ്രയോഗിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മുടെ സാധാരണ യുക്തി പ്രയോഗിക്കുന്നത് നമ്മെ ഒരു കെണിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. നാം, ചിന്തയുടെ നിഷ്ക്രിയത്വം കാരണം, പരസ്പര മൂല്യത്തിന് സമയത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ഭൗതിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അക്കില്ലസ് ആമയെ പിടിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ ഇത് പൂർണ്ണമായും നിർത്തുന്നത് വരെ സമയം മന്ദഗതിയിലാണെന്ന് തോന്നുന്നു. സമയം നിലച്ചാൽ, അക്കില്ലസിന് ആമയെ മറികടക്കാൻ കഴിയില്ല.

നമ്മൾ നമ്മുടെ പതിവ് യുക്തിയിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാം ശരിയാകും. അക്കില്ലസ് സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ ഓടുന്നു. അവൻ്റെ പാതയുടെ തുടർന്നുള്ള ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി ചെറുതാണ്. അതനുസരിച്ച്, അതിനെ മറികടക്കാൻ ചെലവഴിച്ച സമയം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി കുറവാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ “അനന്തം” എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, “അക്കില്ലസ് ആമയെ അനന്തമായി വേഗത്തിൽ പിടിക്കും” എന്ന് പറയുന്നത് ശരിയാണ്.

ഈ ലോജിക്കൽ കെണി എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം? സമയത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകളിൽ തുടരുക, അതിലേക്ക് കുതിക്കരുത് പരസ്‌പരം. സെനോയുടെ ഭാഷയിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ആയിരം ചുവടുകൾ ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ആദ്യത്തേതിന് തുല്യമായ അടുത്ത ഇടവേളയിൽ, അക്കില്ലസ് മറ്റൊരു ആയിരം പടികൾ ഓടും, ആമ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ഇപ്പോൾ ആമയെക്കാൾ എണ്ണൂറോളം പടി മുന്നിലാണ് അക്കില്ലസ്.

ഈ സമീപനം യുക്തിപരമായ വിരോധാഭാസങ്ങളില്ലാതെ യാഥാർത്ഥ്യത്തെ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ അങ്ങനെയല്ല പൂർണ്ണമായ പരിഹാരംപ്രശ്നങ്ങൾ. പ്രകാശവേഗത്തിൻ്റെ അപ്രതിരോധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഐൻസ്റ്റീൻ്റെ പ്രസ്താവന സെനോയുടെ അപ്പോറിയ "അക്കില്ലസ് ആൻഡ് ആമ" യുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്. ഈ പ്രശ്നം നമ്മൾ ഇനിയും പഠിക്കുകയും പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യുകയും പരിഹരിക്കുകയും വേണം. പരിഹാരം തേടേണ്ടത് അനന്തമായ സംഖ്യകളിലല്ല, മറിച്ച് അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിലാണ്.

സെനോയുടെ രസകരമായ മറ്റൊരു അപ്പോറിയ പറക്കുന്ന അമ്പടയാളത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു:

പറക്കുന്ന അസ്ത്രം ചലനരഹിതമാണ്, കാരണം ഓരോ നിമിഷവും അത് വിശ്രമത്തിലാണ്, എല്ലാ സമയത്തും അത് വിശ്രമിക്കുന്നതിനാൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും വിശ്രമത്തിലാണ്.

ഈ അപ്പോറിയയിൽ, ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസം വളരെ ലളിതമായി മറികടക്കുന്നു - ഓരോ നിമിഷവും ഒരു പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ബഹിരാകാശത്തിൻ്റെ വിവിധ പോയിൻ്റുകളിൽ നിശ്ചലമാണെന്ന് വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ചലനമാണ്. ഇവിടെ മറ്റൊരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. റോഡിലെ ഒരു കാറിൻ്റെ ഒരു ഫോട്ടോയിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ വസ്തുതയോ അതിലേക്കുള്ള ദൂരമോ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാർ നീങ്ങുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഒരേ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാറിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമയത്ത് ബഹിരാകാശത്തെ വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചലനത്തിൻ്റെ വസ്തുത നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല (തീർച്ചയായും, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അധിക ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്, ത്രികോണമിതി നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ). ഞാൻ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ, സമയത്തിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും ബഹിരാകാശത്തിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ പാടില്ലാത്ത വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങളാണ്, കാരണം അവ ഗവേഷണത്തിന് വ്യത്യസ്ത അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നു.

2018 ജൂലൈ 4 ബുധനാഴ്ച

സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ വിക്കിപീഡിയയിൽ നന്നായി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമുക്ക് കാണാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്", എന്നാൽ ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സെറ്റിനെ "മൾട്ടിസെറ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം അസംബന്ധ യുക്തികൾ യുക്തിസഹമായ ജീവികൾ ഒരിക്കലും മനസ്സിലാക്കുകയില്ല. "പൂർണ്ണമായി" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് ബുദ്ധിയില്ലാത്ത, സംസാരിക്കുന്ന തത്തകളുടെയും പരിശീലനം ലഭിച്ച കുരങ്ങുകളുടെയും നിലവാരമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സാധാരണ പരിശീലകരായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അവരുടെ അസംബന്ധ ആശയങ്ങൾ നമ്മോട് പ്രസംഗിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് പാലം പണിത എൻജിനീയർമാർ പാലത്തിൻ്റെ പരീക്ഷണ വേളയിൽ പാലത്തിനടിയിൽ ബോട്ടിലിരുന്നു. പാലം തകർന്നാൽ, സാധാരണക്കാരനായ എഞ്ചിനീയർ തൻ്റെ സൃഷ്ടിയുടെ അവശിഷ്ടങ്ങൾക്കടിയിൽ മരിച്ചു. പാലത്തിന് ഭാരം താങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, കഴിവുള്ള എഞ്ചിനീയർ മറ്റ് പാലങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "എന്നെ ശ്രദ്ധിക്കൂ, ഞാൻ വീട്ടിലാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രം അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു" എന്ന വാക്യത്തിന് പിന്നിൽ എങ്ങനെ മറഞ്ഞാലും, അവയെ യാഥാർത്ഥ്യവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൊക്കിൾക്കൊടിയുണ്ട്. ഈ പൊക്കിൾക്കൊടി പണമാണ്. നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് തന്നെ പ്രയോഗിക്കാം.

ഞങ്ങൾ കണക്ക് നന്നായി പഠിച്ചു, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ശമ്പളം നൽകി ക്യാഷ് രജിസ്റ്ററിൽ ഇരിക്കുകയാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തൻ്റെ പണത്തിനായി ഞങ്ങളുടെ അടുക്കൽ വരുന്നു. ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ തുകയും അവനു കണക്കാക്കി വ്യത്യസ്ത കൂമ്പാരങ്ങളിൽ ഞങ്ങളുടെ മേശപ്പുറത്ത് വയ്ക്കുക, അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിൻ്റെ ബില്ലുകൾ ഇടുന്നു. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ ചിതയിൽ നിന്നും ഒരു ബില്ല് എടുത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അവൻ്റെ "ഗണിത ശമ്പളത്തിൻ്റെ സെറ്റ്" നൽകുന്നു. സമാന മൂലകങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു കൂട്ടം സമാന ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്ന ബില്ലുകൾ അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിക്കൂ എന്ന് നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനോട് വിശദീകരിക്കാം. ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്.

ഒന്നാമതായി, ഡെപ്യൂട്ടിമാരുടെ യുക്തി പ്രവർത്തിക്കും: "ഇത് മറ്റുള്ളവർക്ക് ബാധകമാക്കാം, പക്ഷേ എനിക്കല്ല!" അപ്പോൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിലുള്ള ബില്ലുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ബിൽ നമ്പറുകളുണ്ടെന്ന് അവർ ഉറപ്പുനൽകാൻ തുടങ്ങും, അതായത് അവ ഒരേ ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാനാവില്ല. ശരി, നമുക്ക് ശമ്പളം നാണയങ്ങളിൽ കണക്കാക്കാം - നാണയങ്ങളിൽ അക്കങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തെ ഭ്രാന്തമായി ഓർക്കാൻ തുടങ്ങും: വ്യത്യസ്ത നാണയങ്ങളിൽ ഉണ്ട് വ്യത്യസ്ത അളവുകൾഓരോ നാണയത്തിൻ്റെയും അഴുക്കും ക്രിസ്റ്റൽ ഘടനയും ആറ്റോമിക് ക്രമീകരണവും അദ്വിതീയമാണ്...

ഇപ്പോൾ എനിക്ക് ഏറ്റവും രസകരമായ ഒരു ചോദ്യമുണ്ട്: ഒരു മൾട്ടിസെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളായി മാറുന്നതിനും തിരിച്ചും എന്നതിനപ്പുറം ലൈൻ എവിടെയാണ്? അത്തരമൊരു വരി നിലവിലില്ല - എല്ലാം ജമാന്മാരാണ് തീരുമാനിക്കുന്നത്, ശാസ്ത്രം ഇവിടെ കള്ളം പറയാൻ പോലും അടുത്തില്ല.

ഇവിടെ നോക്കുക. ഒരേ ഫീൽഡ് ഏരിയയുള്ള ഫുട്ബോൾ സ്റ്റേഡിയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. വയലുകളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ് - അതായത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മൾട്ടിസെറ്റ് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഇതേ സ്റ്റേഡിയങ്ങളുടെ പേരുകൾ നോക്കിയാൽ നമുക്ക് പലതും ലഭിക്കും, കാരണം പേരുകൾ വ്യത്യസ്തമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരേ ഘടകങ്ങളുടെ കൂട്ടം ഒരു സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും ആണ്. ഏതാണ് ശരി? ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ-ഷാമൻ-ഷാർപിസ്റ്റ് തൻ്റെ സ്ലീവിൽ നിന്ന് ട്രംപിൻ്റെ ഒരു ഏസ് പുറത്തെടുത്ത് ഒരു സെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ മൾട്ടിസെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ ഞങ്ങളോട് പറയാൻ തുടങ്ങുന്നു. എന്തായാലും താൻ പറഞ്ഞത് ശരിയാണെന്ന് അവൻ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും.

ആധുനിക ജമാന്മാർ സെറ്റ് തിയറിയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അത് യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകിയാൽ മതി: ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ മറ്റൊരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? "ഒറ്റ മുഴുവനായി സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്നത്" അല്ലെങ്കിൽ "ഒറ്റ മൊത്തമായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല" എന്നൊന്നും കൂടാതെ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാം.

2018 മാർച്ച് 18 ഞായർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലാത്ത ഒരു തംബോറിനൊപ്പം ജമാന്മാരുടെ നൃത്തമാണ്. അതെ, ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനും അത് ഉപയോഗിക്കാനും ഞങ്ങളെ പഠിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ അതുകൊണ്ടാണ് അവർ ജമാന്മാർ, അവരുടെ പിൻഗാമികളെ അവരുടെ കഴിവുകളും ജ്ഞാനവും പഠിപ്പിക്കാൻ, അല്ലാത്തപക്ഷം ജമാന്മാർ മരിക്കും.

തെളിവ് വേണോ? വിക്കിപീഡിയ തുറന്ന് "ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക" എന്ന പേജ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അവൾ നിലവിലില്ല. ഏത് സംഖ്യയുടെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിൽ ഒരു ഫോർമുലയും ഇല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഭാഷയിൽ ടാസ്‌ക് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു: “ഏത് സംഖ്യയെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.” ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ജമാന്മാർക്ക് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യണമെന്നും എങ്ങനെ ചെയ്യുമെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് 12345 എന്ന നമ്പർ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും ക്രമത്തിൽ പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു കടലാസിൽ നമ്പർ എഴുതുക. നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ നമ്പർ ചിഹ്നമാക്കി മാറ്റി. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒരു ചിത്രം ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത നമ്പറുകൾ അടങ്ങിയ നിരവധി ചിത്രങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. ഒരു ചിത്രം മുറിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനമല്ല.

3. വ്യക്തിഗത ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളെ അക്കങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ ഇതാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം.

12345 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 15 ആണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഷാമൻമാർ പഠിപ്പിക്കുന്ന "കട്ടിംഗ് ആൻഡ് തയ്യൽ കോഴ്സുകൾ" ഇവയാണ്. എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഏത് സംഖ്യ സിസ്റ്റത്തിലാണ് നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യ എഴുതുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല. അതിനാൽ, ഇൻ വ്യത്യസ്ത സംവിധാനങ്ങൾകാൽക്കുലസിൽ, ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നമ്പർ സിസ്റ്റം സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്തുള്ള സബ്സ്ക്രിപ്റ്റായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 12345 എന്ന വലിയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച്, എൻ്റെ തലയെ കബളിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, ലേഖനത്തിൽ നിന്നുള്ള നമ്പർ 26 പരിഗണിക്കാം. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യ ബൈനറി, ഒക്ടൽ, ഡെസിമൽ, ഹെക്സാഡെസിമൽ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിൽ എഴുതാം. ഞങ്ങൾ ഒരു മൈക്രോസ്കോപ്പിന് കീഴിൽ ഓരോ ഘട്ടവും നോക്കില്ല; ഞങ്ങൾ അത് ഇതിനകം ചെയ്തുകഴിഞ്ഞു. ഫലം നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഫലത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. നിങ്ങൾ ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം മീറ്ററിലും സെൻ്റിമീറ്ററിലും നിർണ്ണയിച്ചതിന് സമാനമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കും.

എല്ലാ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിലും പൂജ്യം ഒരുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുമില്ല. എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് അനുകൂലമായ മറ്റൊരു വാദമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള ചോദ്യം: ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയല്ലാത്ത ഒന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു? എന്താണ്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അക്കങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നിലവിലില്ല? ജമാന്മാർക്ക് ഇത് അനുവദിക്കാം, പക്ഷേ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അനുവദിക്കില്ല. യാഥാർത്ഥ്യം അക്കങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല.

സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ സംഖ്യകൾ അളക്കുന്നതിനുള്ള യൂണിറ്റുകളാണെന്നതിൻ്റെ തെളിവായി ലഭിച്ച ഫലം കണക്കാക്കണം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരേ അളവിലുള്ള വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുള്ള ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത ഫലങ്ങൾഅവയെ താരതമ്യം ചെയ്ത ശേഷം, അതിനർത്ഥം ഇതിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല എന്നാണ്.

എന്താണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം? ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം, സംഖ്യയുടെ വലിപ്പം, ഉപയോഗിച്ച അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റ്, ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നവർ എന്നിവയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

വാതിലിൽ ഒപ്പിടുക അവൻ വാതിൽ തുറന്ന് പറയുന്നു:

ഓ! ഇത് സ്ത്രീകളുടെ വിശ്രമമുറിയല്ലേ?
- യുവതി! സ്വർഗ്ഗാരോഹണ വേളയിൽ ആത്മാക്കളുടെ അവിഭാജ്യമായ വിശുദ്ധിയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിനുള്ള ഒരു പരീക്ഷണശാലയാണിത്! മുകളിൽ ഹാലോ, അമ്പടയാളം. വേറെ എന്ത് ടോയ്‌ലറ്റ്?

സ്ത്രീ... മുകളിലെ പ്രഭാവലയവും താഴേക്കുള്ള അമ്പും പുരുഷനാണ്.

അത്തരമൊരു ഡിസൈൻ ആർട്ട് നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾക്ക് മുന്നിൽ ദിവസത്തിൽ പല തവണ മിന്നിമറയുന്നുവെങ്കിൽ,

നിങ്ങളുടെ കാറിൽ പെട്ടെന്ന് ഒരു വിചിത്ര ഐക്കൺ കണ്ടെത്തിയതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല:

വ്യക്തിപരമായി, മലമൂത്രവിസർജ്ജനം നടത്തുന്ന ഒരാളിൽ മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി കാണാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കുന്നു (ഒരു ചിത്രം) (നിരവധി ചിത്രങ്ങളുടെ ഒരു രചന: ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം, നമ്പർ നാല്, ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു പദവി). പിന്നെ ഈ പെൺകുട്ടി ഫിസിക്‌സ് അറിയാത്ത ഒരു വിഡ്ഢിയാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നില്ല. ഗ്രാഫിക് ഇമേജുകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ് അവൾക്കുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഇതാ ഒരു ഉദാഹരണം.

1A എന്നത് "മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി" അല്ലെങ്കിൽ "വൺ എ" അല്ല. ഇതാണ് "പൂപ്പിംഗ് മാൻ" അല്ലെങ്കിൽ ഹെക്സാഡെസിമൽ നൊട്ടേഷനിൽ "ഇരുപത്തിയാറ്" എന്ന സംഖ്യ. ഈ നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൽ നിരന്തരം പ്രവർത്തിക്കുന്ന ആളുകൾ ഒരു സംഖ്യയും അക്ഷരവും ഒരു ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നമായി യാന്ത്രികമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു.

സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾക്കൊപ്പം ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു
കൂടെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ
NOC എന്ന ആശയം
ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു
ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയും ഭിന്നസംഖ്യയും എങ്ങനെ ചേർക്കാം

1 സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾക്കൊപ്പം ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ സംഖ്യകൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, എന്നാൽ ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി വിടുക, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, ആദ്യ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ അതേ രീതിയിൽ വിടുക, ഉദാഹരണത്തിന്:

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ മുഴുവൻ ഭാഗങ്ങളും വെവ്വേറെ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് അവയുടെ ഭിന്നഭാഗങ്ങൾ ചേർക്കുക, ഫലം ഒരു മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതുക,

ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗങ്ങൾ ചേർക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് അനുചിതമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൽ നിന്ന് മുഴുവൻ ഭാഗവും തിരഞ്ഞെടുത്ത് മുഴുവൻ ഭാഗത്തിലും ചേർക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്:

2 വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിനോ കുറയ്ക്കുന്നതിനോ, നിങ്ങൾ ആദ്യം അവയെ ഒരേ വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കണം, തുടർന്ന് ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ തുടരുക. നിരവധി ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഘടകമാണ് LCM (ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം). ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ന്യൂമറേറ്ററിനായി, ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് LCM-നെ ഹരിച്ചുകൊണ്ട് അധിക ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. NOC എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കിയ ശേഷം ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം പിന്നീട് നോക്കാം.

3 ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം (LCM)

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം (LCM) ഒരു ശേഷിക്കാതെ രണ്ട് സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. ചിലപ്പോൾ NOC വാമൊഴിയായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, പക്ഷേ പലപ്പോഴും, പ്രത്യേകിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ വലിയ സംഖ്യകൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ രേഖാമൂലം LOC കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

നിരവധി സംഖ്യകളുടെ LCM കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

1. ഈ സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക
2. ഏറ്റവും വലിയ വിപുലീകരണം എടുത്ത് ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി എഴുതുക
3. ഏറ്റവും വലിയ വിഘടനത്തിൽ (അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കുറച്ച് തവണ മാത്രമേ സംഭവിക്കൂ) ദൃശ്യമാകാത്ത സംഖ്യകൾ മറ്റ് വിഘടനങ്ങളിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക, അവ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക.
4. ഉൽപ്പന്നത്തിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും ഗുണിക്കുക, ഇത് LCM ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 28, 21 അക്കങ്ങളുടെ LCM കണ്ടെത്താം:

4 ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിലേക്ക് മടങ്ങാം.

രണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെയും LCM-ന് തുല്യമായ, ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകളെ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളെ നമ്മൾ ഗുണിക്കണം അധിക ഗുണിതങ്ങൾ. അനുബന്ധ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് LCM-നെ ഹരിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്ക് അവ കണ്ടെത്താനാകും, ഉദാഹരണത്തിന്:

അതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം LCM (അതായത്, ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ, ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളെ രണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററുകളാലും ഹരിക്കാനാകും, തുടർന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളിലേക്ക് അധിക ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക. കോമൺ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ (CLD) അനുബന്ധ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്ക് അവ കണ്ടെത്താനാകും. തുടർന്ന് നിങ്ങൾ ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഒരു അധിക ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ എൽസിഎം ഡിനോമിനേറ്ററായി ഇടുക.

5 ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയും ഭിന്നസംഖ്യയും എങ്ങനെ ചേർക്കാം

ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയും ചേർക്കുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് മുമ്പ് നിങ്ങൾ ഈ സംഖ്യ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇത് ഒരു മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷനിൽ കലാശിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്.

ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാംലളിതമായ ന് വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എന്താണെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കുകയും പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യാം ഭിന്നസംഖ്യകൾ പരിഹരിക്കുന്നു!

ആശയം ഭിന്നസംഖ്യകൾസെക്കൻഡറി സ്‌കൂളിലെ ആറാം ക്ലാസ് മുതൽ ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്‌സുകളിലേക്ക് അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്: ±X/Y, ഇവിടെ Y എന്നത് ഡിനോമിനേറ്റർ ആണ്, അത് മുഴുവൻ എത്ര ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടുവെന്ന് പറയുന്നു, X ആണ് ന്യൂമറേറ്റർ, അത്തരം എത്ര ഭാഗങ്ങൾ എടുത്തുവെന്ന് ഇത് പറയുന്നു. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഒരു കേക്ക് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, കേക്ക് തുല്യമായി മുറിച്ചു ഒരു പകുതി എടുത്തു, അതായത്. 1/2. രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ, കേക്ക് 7 ഭാഗങ്ങളായി മുറിച്ചു, അതിൽ 4 ഭാഗങ്ങൾ എടുത്തു, അതായത്. 4/7.

ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഭാഗം ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയല്ലെങ്കിൽ, അത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 4:2 = 2 എന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നൽകുന്നു, എന്നാൽ 4:7 ഒരു മൊത്തത്തിൽ ഹരിക്കാനാവില്ല, അതിനാൽ ഈ പദപ്രയോഗം 4/7 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

മറ്റൊരു വാക്കിൽ അംശംരണ്ട് സംഖ്യകളുടെയോ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെയോ വിഭജനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്, ഇത് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ സ്ലാഷ് ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയതാണ്.

ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ഭിന്നസംഖ്യ ശരിയാണ്, തിരിച്ചും ആണെങ്കിൽ, അത് അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, 5 മുഴുവൻ 3/4.

ഈ എൻട്രി അർത്ഥമാക്കുന്നത് 6 മുഴുവൻ ലഭിക്കുന്നതിന്, നാലിൽ ഒരു ഭാഗം കാണുന്നില്ല എന്നാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ഓർക്കണമെങ്കിൽ, ആറാം ക്ലാസിലെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം, നിങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ പരിഹരിക്കുന്നു, അടിസ്ഥാനപരമായി, കുറച്ച് ലളിതമായ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു.

• ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രകടനമാണ്. അതാണ് സംഖ്യാ പദപ്രയോഗംഏത് ഭാഗമാണ് നൽകിയ മൂല്യംഒന്നിൽ നിന്ന്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3/5 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് നമ്മൾ ഒന്നിനെ മൊത്തത്തിൽ 5 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ മൊത്തത്തിലുള്ള ഷെയറുകളുടെയോ ഭാഗങ്ങളുടെയോ എണ്ണം മൂന്നാണ്.
• ഭിന്നസംഖ്യ 1-ൽ കുറവായിരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന് 1/2 (അല്ലെങ്കിൽ പ്രധാനമായും പകുതി), അപ്പോൾ അത് ശരിയാണ്. ഭിന്നസംഖ്യ 1-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന് 3/2 (മൂന്ന് പകുതി അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നര), അത് തെറ്റാണ്, പരിഹാരം ലളിതമാക്കാൻ, 3/2 = 1 മുഴുവനായും 1 എന്ന ഭാഗം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. /2.
• ഭിന്നസംഖ്യകൾ 1, 3, 10, കൂടാതെ 100 എന്നിവയുടെ അതേ സംഖ്യകളാണ്, അക്കങ്ങൾ മാത്രം പൂർണ്ണ സംഖ്യകളല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്. അക്കങ്ങൾ പോലെയുള്ള എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് അവ ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഭിന്നസംഖ്യകൾ എണ്ണുന്നത് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, തുടർന്ന് നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾഞങ്ങൾ അത് കാണിക്കും.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് വൈവിധ്യമാർന്ന ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബാധകമാണ്.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകൾ 3/4, 4/5 എന്നിവ താരതമ്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവിഭാഗം കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഓരോ ഡിനോമിനേറ്ററുകളാലും അവശേഷിക്കാതെ ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവിഭാഗം (4.5) = 20

അപ്പോൾ രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും ഡിനോമിനേറ്റർ ഏറ്റവും ചെറുതായി കുറയുന്നു പൊതു വിഭജനം

ഉത്തരം: 15/20

ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, അവ ആദ്യം ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, തുടർന്ന് ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കുന്നു, അതേസമയം ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും. ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അതേ രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു, ഒരേയൊരു വ്യത്യാസം ന്യൂമറേറ്ററുകൾ കുറയ്ക്കുന്നു എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ 1/2, 1/3 എന്നീ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്

ഇനി നമുക്ക് 1/2, 1/4 എന്നീ ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താം

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

ഇവിടെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, എല്ലാം ഇവിടെ വളരെ ലളിതമാണ്:

• ഗുണനം - ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും ഒരുമിച്ച് ഗുണിക്കുന്നു;
• വിഭജനം - ആദ്യം നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കും, അതായത്. ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും സ്വാപ്പ് ചെയ്യുന്നു, അതിനുശേഷം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്:

അതിനെക്കുറിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം, എല്ലാം. എന്നതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ പരിഹരിക്കുന്നു, എന്തെങ്കിലും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, അഭിപ്രായങ്ങളിൽ എഴുതുക, ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകും.

നിങ്ങളൊരു അധ്യാപകനാണെങ്കിൽ, അവതരണങ്ങൾ ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാൻ സാധിക്കും പ്രാഥമിക വിദ്യാലയം(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

രസതന്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളിൽ പോലും കാണാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ശാസ്ത്രങ്ങളിലൊന്നാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം. ഈ ശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നത് ചില മാനസിക ഗുണങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കാനും ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാനുള്ള കഴിവ് മെച്ചപ്പെടുത്താനും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. മാത്തമാറ്റിക്‌സ് കോഴ്‌സിൽ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്ന വിഷയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടലും കുറയ്ക്കലും. പല വിദ്യാർത്ഥികളും പഠിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുന്നു. ഒരുപക്ഷേ ഈ വിഷയം നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങളുടെ ലേഖനം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ തുല്യമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം

നിങ്ങൾക്ക് വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയുന്ന അതേ സംഖ്യകളാണ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ. പൂർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ നിന്നുള്ള അവയുടെ വ്യത്യാസം ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിലാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്, ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, അവയുടെ ചില സവിശേഷതകളും നിയമങ്ങളും നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരേ സംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കലാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ്. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലളിതമായ നിയമം അറിയാമെങ്കിൽ ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല:

• ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് സെക്കൻഡ് കുറയ്ക്കുന്നതിന്, കുറയ്ക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ എഴുതുന്നു, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി വിടുക: k/m - b/m = (k-b)/m.

ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ തുല്യമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

"7" എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ട "3" എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു, നമുക്ക് "4" ലഭിക്കും. ഉത്തരത്തിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യ എഴുതുന്നു, കൂടാതെ ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ ഉണ്ടായിരുന്ന അതേ സംഖ്യ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഇടുന്നു - “19”.

ചുവടെയുള്ള ചിത്രം സമാനമായ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു.

സമാനമായ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്ന കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

“29” എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന്, തുടർന്നുള്ള എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും ന്യൂമറേറ്ററുകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ കുറയുന്നു - “3”, “8”, “2”, “7”. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് “9” ഫലം ലഭിക്കും, അത് ഉത്തരത്തിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഈ എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലുള്ള സംഖ്യ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു - “47”.

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നു

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടുന്നതും കുറയ്ക്കുന്നതും ഇതേ തത്ത്വമാണ്.

• ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ തുല്യമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ തുകയുടെ ന്യൂമറേറ്ററാണ്, ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി നിലനിൽക്കും: k/m + b/m = (k + b)/m.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് നോക്കാം:

1/4 + 2/4 = 3/4.

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ആദ്യ പദത്തിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് - “1” - ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ പദത്തിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ചേർക്കുക - “2”. ഫലം - “3” - തുകയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഉള്ളതുപോലെ തന്നെ അവശേഷിക്കുന്നു - “4”.

വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളും അവയുടെ കുറയ്ക്കലും

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, അറിയുന്നത് ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ, അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രവർത്തനം നടത്തണമെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? പല സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികളും അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണ്. എന്നാൽ ഇവിടെയും, പരിഹാരത്തിൻ്റെ തത്വം നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ, ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇനി ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കില്ല. ഇവിടെയും ഒരു നിയമമുണ്ട്, അതില്ലാതെ അത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകൾ പരിഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, അവ ഒരേ ചെറിയ ഡിനോമിനേറ്ററായി ചുരുക്കണം.



ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശദമായി സംസാരിക്കും.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സ്വത്ത്

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് നിരവധി ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൊണ്ടുവരുന്നതിന്, ലായനിയിൽ നിങ്ങൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഹരിച്ചോ ഗുണിച്ചോ ശേഷം ഒരേ നമ്പർതന്നിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 2/3 ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് "6", "9", "12" മുതലായ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം, അതായത്, "3" ൻ്റെ ഗുണിതമായ ഏത് സംഖ്യയുടെയും രൂപമുണ്ടാകാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും “2” കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ 4/6 ലഭിക്കും. യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും "3" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് ശേഷം, നമുക്ക് 6/9 ലഭിക്കും, കൂടാതെ "4" എന്ന സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് സമാനമായ ഒരു പ്രവർത്തനം നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് 8/12 ലഭിക്കും. ഒരു സമത്വം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

ഒന്നിലധികം ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് എങ്ങനെ പരിവർത്തനം ചെയ്യാം

ഒന്നിലധികം ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം എന്ന് നോക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ എടുക്കാം. അവയ്‌ക്കെല്ലാം ഏത് സംഖ്യയാണ് ഡിനോമിനേറ്ററായി മാറുന്നതെന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. കാര്യങ്ങൾ എളുപ്പമാക്കാൻ, നിലവിലുള്ള ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം.

ഭിന്നസംഖ്യ 1/2 ൻ്റെയും 2/3 ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ഡിനോമിനേറ്റർ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഡിനോമിനേറ്റർ 7/9 ന് രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട് 7/9 = 7/(3 x 3), ഭിന്നസംഖ്യയുടെ 5/6 = 5/(2 x 3). ഈ നാല് ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും ഏതൊക്കെ ഘടകങ്ങൾ ഏറ്റവും ചെറുതായിരിക്കുമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് ഡിനോമിനേറ്ററിൽ “2” എന്ന സംഖ്യ ഉള്ളതിനാൽ, അത് എല്ലാ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലും ഉണ്ടായിരിക്കണം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം; 7/9 ഭിന്നസംഖ്യയിൽ രണ്ട് ട്രിപ്പിൾ ഉണ്ട്, അതായത് അവ രണ്ടും ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം എന്നാണ്. മേൽപ്പറഞ്ഞവ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു: 3, 2, 3 കൂടാതെ 3 x 2 x 3 = 18 ന് തുല്യമാണ്.



നമുക്ക് ആദ്യ ഭാഗം പരിഗണിക്കാം - 1/2. അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു "2" ഉണ്ട്, എന്നാൽ ഒരൊറ്റ "3" അക്കമില്ല, എന്നാൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ രണ്ട് ട്രിപ്പിൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, പക്ഷേ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ രണ്ട് ട്രിപ്പിൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

ശേഷിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി ഞങ്ങൾ സമാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു.

• 2/3 - ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒന്ന് മൂന്ന്, ഒന്ന് രണ്ട് എന്നിവ കാണുന്നില്ല:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 അല്ലെങ്കിൽ 7/(3 x 3) - ഡിനോമിനേറ്ററിന് രണ്ട് കാണുന്നില്ല:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 അല്ലെങ്കിൽ 5/(2 x 3) - ഡിനോമിനേറ്ററിന് മൂന്ന് ഇല്ല:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

എല്ലാം ഒരുമിച്ച് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:



വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം, കൂട്ടിച്ചേർക്കാം

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനോ കുറയ്ക്കുന്നതിനോ, അവ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററായി ചുരുക്കണം, തുടർന്ന് ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്ത അതേ വിഭാഗമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക.

നമുക്ക് ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമായി നോക്കാം: 4/18 - 3/15.

18, 15 സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നു:

• 18 എന്ന സംഖ്യ 3 x 2 x 3 കൊണ്ടാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.
• 15 എന്ന സംഖ്യ 5 x 3 കൊണ്ടാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.
• പൊതുവായ ഗുണിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഘടകങ്ങളായിരിക്കും: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തിയതിനുശേഷം, ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കും വ്യത്യസ്തമായ ഘടകം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, ഡിനോമിനേറ്റർ മാത്രമല്ല, ന്യൂമറേറ്ററും ഗുണിക്കേണ്ട സംഖ്യ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അധിക ഘടകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ട ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യയെ (പൊതു ഗുണിതം) ഹരിക്കുക.

• 90 നെ 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ "6" 3/15 ന് ഗുണിതമായിരിക്കും.
• 90-നെ 18 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന "5" എന്ന സംഖ്യ 4/18-ൻ്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും.

ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ അടുത്ത ഘട്ടം ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയും "90" എന്ന ഡിനോമിനേറ്ററായി കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്.

ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സംസാരിച്ചു. ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് എങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് ചെറിയ സംഖ്യകളുണ്ടെങ്കിൽ, ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ നിങ്ങൾക്ക് പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കാനാകും.



വ്യത്യസ്‌ത വിഭാഗങ്ങളുള്ളവരുടെ കാര്യവും ഇതുതന്നെയാണ്.

വ്യവകലനവും പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഭാഗങ്ങളുള്ളതും

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കലും അവയുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഞങ്ങൾ ഇതിനകം വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കും മുഴുവൻ ഭാഗം? വീണ്ടും, നമുക്ക് കുറച്ച് നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം:

• പൂർണ്ണസംഖ്യയുള്ള എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും അനുചിതമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. സംസാരിക്കുന്നു ലളിതമായ വാക്കുകളിൽ, മുഴുവൻ ഭാഗവും നീക്കം ചെയ്യുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുക, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് ചേർക്കുക. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം പുറത്തുവരുന്ന സംഖ്യ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററാണ്. ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.
• ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററായി ചുരുക്കണം.
• ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കലോ കുറയ്ക്കലോ നടത്തുക.
• തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുമ്പോൾ, മുഴുവൻ ഭാഗവും തിരഞ്ഞെടുക്കുക.



മുഴുവൻ ഭാഗങ്ങളിലും ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും കഴിയുന്ന മറ്റൊരു മാർഗമുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പ്രവർത്തനങ്ങൾ മുഴുവൻ ഭാഗങ്ങളുമായി വെവ്വേറെയും ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ വെവ്വേറെയും നടത്തുകയും ഫലങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് രേഖപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.



നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, അവ ഒരേ മൂല്യത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം, തുടർന്ന് ഉദാഹരണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക.

പൂർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നു

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള മറ്റൊരു തരം പ്രവർത്തനം, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ട സാഹചര്യമാണ്.ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, അത്തരമൊരു ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാൻ പ്രയാസമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇവിടെ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. ഇത് പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ കുറയ്ക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയിലുള്ള അതേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്. അടുത്തതായി, സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കുന്നതിന് സമാനമായ ഒരു വ്യവകലനം ഞങ്ങൾ നടത്തുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

ഈ ലേഖനത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ (ഗ്രേഡ് 6) കൂടുതൽ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമാണ് സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ, അത് തുടർന്നുള്ള ക്ലാസുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഫംഗ്ഷനുകൾ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ മുതലായവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് പിന്നീട് ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിനാൽ, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ മനസിലാക്കുകയും മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ.
സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദപ്രയോഗം വിലയിരുത്തുക.
വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക, കുറയ്ക്കുക, ഹരിക്കുക, കൂട്ടിച്ചേർക്കുക, കുറയ്ക്കുക.

ഉപയോഗിച്ച് ഈ കാൽക്കുലേറ്റർഓൺലൈനിൽ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക, കുറയ്ക്കുക, ഹരിക്കുക, കൂട്ടിച്ചേർക്കുക, കുറയ്ക്കുക.

പതിവ്, അനുചിതവും മിക്സഡ് സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യകളുമായാണ് പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിക്കുന്നത്.

ഈ പ്രോഗ്രാമിന് (ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്ററിന്) ഇവ ചെയ്യാനാകും:
- വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക
- വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള മിക്സഡ് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ നടത്തുക
- മിക്സഡ് ഭിന്നസംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിഭജിക്കുക
- വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക
- ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക
- മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുക
- ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുക

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമല്ല, ഒരൊറ്റ ഭിന്നസംഖ്യയും നിങ്ങൾക്ക് നൽകാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യ കുറയുകയും മുഴുവൻ ഭാഗവും ഫലത്തിൽ നിന്ന് വേർപെടുത്തുകയും ചെയ്യും.

സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം മാത്രമല്ല, അത് നൽകുന്നു വിശദമായ പരിഹാരംവിശദീകരണങ്ങളോടെ, അതായത്. ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗപ്രദമാകും സെക്കൻഡറി സ്കൂളുകൾതയ്യാറെടുപ്പിലാണ് പരിശോധനകൾകൂടാതെ പരീക്ഷകൾ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പുള്ള അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾക്ക്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അതോ കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഹോം വർക്ക്ഗണിതത്തിലോ ബീജഗണിതത്തിലോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പരിശീലനവും കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരങ്ങളുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനവും നടത്താൻ കഴിയും, അതേസമയം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർദ്ധിക്കുന്നു.

സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, അവയുമായി സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ

ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമേ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയൂ.

ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

ഒരു സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യ നൽകുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു ഡിവിഷൻ ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിക്കുന്നു: /
ഇൻപുട്ട്: -2/3 + 7/5
ഫലം: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

മുഴുവൻ ഭാഗവും ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ആമ്പർസാൻഡ് ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു: &
ഇൻപുട്ട്: -1&2/3 * 5&8/3
ഫലം: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം കോളൻ ചിഹ്നത്താൽ അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു: :
ഇൻപുട്ട്: -9&37/12: -3&5/14
ഫലം: \(-9\frac(37)(12) : \ഇടത്(-3\frac(5)(14) \വലത്) \)
നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക!

സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ നൽകുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് പരാൻതീസിസുകൾ ഉപയോഗിക്കാം.
ഇൻപുട്ട്: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
ഫലം: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദപ്രയോഗം നൽകുക.

കണക്കാക്കുക

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്നും, പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ലെന്നും കണ്ടെത്തി.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.
പരിഹാരം ദൃശ്യമാകുന്നതിന്, നിങ്ങൾ JavaScript പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript എങ്ങനെ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ ഇതാ.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തയ്യാറുള്ള ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കൻ്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ. ബാക്കിയുള്ള വിഭജനം

നമുക്ക് 497 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കണമെങ്കിൽ, ഹരിക്കുമ്പോൾ 497 നെ 4 കൊണ്ട് തുല്യമായി ഹരിക്കാനാവില്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാം, അതായത്. വിഭജനത്തിൻ്റെ ശേഷിപ്പ് അവശേഷിക്കുന്നു. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ അത് പൂർത്തിയായി എന്ന് പറയുന്നു ബാക്കിയുള്ള വിഭജനം, കൂടാതെ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:
497: 4 = 124 (1 ബാക്കി).

സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഡിവിഷൻ ഘടകങ്ങളെ ഡിവിഷനിലെ പോലെ തന്നെ ബാക്കിയില്ലാതെ വിളിക്കുന്നു: 497 - ലാഭവിഹിതം, 4 - ഡിവൈഡർ. വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലം ഒരു ശേഷിപ്പുമായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ വിളിക്കപ്പെടുന്നു അപൂർണ്ണമായ സ്വകാര്യ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇതാണ് നമ്പർ 124. അവസാനമായി, സാധാരണ ഡിവിഷനിൽ ഇല്ലാത്ത അവസാന ഘടകം, ബാക്കി. ബാക്കിയില്ലാത്ത സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊന്നിനാൽ ഹരിച്ചതായി പറയപ്പെടുന്നു ഒരു തുമ്പും കൂടാതെ, അല്ലെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായും. അത്തരമൊരു വിഭജനത്തോടെ ബാക്കിയുള്ളത് പൂജ്യമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ബാക്കിയുള്ളത് 1 ആണ്.

ബാക്കിയുള്ളത് എല്ലായ്പ്പോഴും വിഭജനത്തേക്കാൾ കുറവാണ്.

ഗുണനത്തിലൂടെ വിഭജനം പരിശോധിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു തുല്യത 64: 32 = 2 ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിശോധന ഇതുപോലെ ചെയ്യാം: 64 = 32 * 2.

പലപ്പോഴും ബാക്കിയുള്ള വിഭജനം നടക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ, തുല്യത ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്
a = b * n + r,
ഇവിടെ a എന്നത് ഡിവിഡൻ്റ് ആണ്, b എന്നത് വിഭജനമാണ്, n എന്നത് ഭാഗിക ഘടകമാണ്, r എന്നത് ബാക്കിയാണ്.

ഘടകത്തെ വിഭജിക്കുക സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാം.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിവിഡൻ്റും ഡിനോമിനേറ്റർ വിഭജനവുമാണ്.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിവിഡൻ്റും ഡിനോമിനേറ്റർ വിഭജനവും ആയതിനാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രേഖ വിഭജനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തെ അർത്ഥമാക്കുന്നുവെന്ന് വിശ്വസിക്കുക. ":" ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാതെ വിഭജനം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതുന്നത് ചിലപ്പോൾ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

m, n എന്നീ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ഘടകഭാഗം \(\frac(m)(n)\) ആയി എഴുതാം, ഇവിടെ m എന്നത് ഡിവിഡൻ്റും ഡിനോമിനേറ്റർ n എന്നത് വിഭജനവുമാണ്:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ ശരിയാണ്:

ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് \(\frac(m)(n)\), നിങ്ങൾ യൂണിറ്റിനെ n തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി (ഷെയറുകൾ) വിഭജിച്ച് m അത്തരം ഭാഗങ്ങൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കാൻ \(\frac(m)(n)\), നിങ്ങൾ m എന്ന സംഖ്യയെ n എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

മൊത്തത്തിലുള്ള ഒരു ഭാഗം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മൊത്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യയെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ഈ ഭാഗം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഫലം ഗുണിക്കുകയും വേണം.

അതിൻ്റെ ഭാഗത്ത് നിന്ന് ഒരു മൊത്തത്തിൽ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ ഭാഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യയെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ഈ ഭാഗം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഫലം ഗുണിക്കുകയും വേണം.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ (പൂജ്യം ഒഴികെ), ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറില്ല:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ (പൂജ്യം ഒഴികെ), ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറില്ല:
\(\ വലിയ \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
ഈ വസ്തുവിനെ വിളിക്കുന്നു ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത്.

അവസാനത്തെ രണ്ട് പരിവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഒരു അംശം കുറയ്ക്കുന്നു.

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കണമെങ്കിൽ, ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു.

ശരിയായതും അനുചിതവുമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ. മിക്സഡ് നമ്പറുകൾ

മൊത്തത്തെ തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് അത്തരം നിരവധി ഭാഗങ്ങൾ എടുക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\frac(3)(4)\) എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥം ഒന്നിൻ്റെ മുക്കാൽ ഭാഗം എന്നാണ്. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ പല പ്രശ്‌നങ്ങളിലും, മൊത്തത്തിലുള്ള ഭാഗങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചു. ഭാഗം എല്ലായ്പ്പോഴും മൊത്തത്തിൽ കുറവായിരിക്കണമെന്ന് സാമാന്യബുദ്ധി നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, എന്നാൽ \(\frac(5)(5)\) അല്ലെങ്കിൽ \(\frac(8)(5)\) പോലുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കാര്യമോ? ഇത് ഇപ്പോൾ യൂണിറ്റിൻ്റെ ഭാഗമല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയ അംശമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നത് അതുകൊണ്ടായിരിക്കാം. അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ. ശേഷിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളെ, അതായത് സംഖ്യാഭേദത്തെക്കാൾ കുറവുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു ശരിയായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഏതെങ്കിലും പൊതു അംശം, ശരിയും തെറ്റും, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി കണക്കാക്കാം. അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സാധാരണ ഭാഷയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, "അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ" എന്ന പദത്തിന് നമ്മൾ എന്തെങ്കിലും തെറ്റ് ചെയ്തു എന്നല്ല അർത്ഥമാക്കുന്നത്, എന്നാൽ ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെന്ന് മാത്രം.

ഒരു സംഖ്യയിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരത്തിലുള്ളവ ഭിന്നസംഖ്യകളെ മിക്സഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 എന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യയും, \(\frac(2)(3) \) ഭിന്നഭാഗവുമാണ്.

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ \(\frac(a)(b) \) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഈ ഭിന്നസംഖ്യയെ n കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കണം:
\(\ വലിയ \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ \(\frac(a)(b)\) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ ഭിന്നസംഖ്യയെ n കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
\(\ വലിയ \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

ന്യൂമറേറ്ററിനെ n കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ നിയമവും ശരിയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ n കൊണ്ട് ഹരിക്കണോ വേണ്ടയോ എന്ന് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ പ്രയാസമുള്ളപ്പോൾ നമുക്ക് ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നു.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ പോലെ ഫ്രാക്ഷണൽ നമ്പറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയും ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ആദ്യം ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നത് നോക്കാം. സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾക്കൊപ്പം ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\frac(2)(7)\) കൂടാതെ \(\frac(3)(7)\) എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താം. \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയും ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി വിടുകയും വേണം.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
\(\ വലിയ \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കണമെങ്കിൽ, അവ ആദ്യം ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്ററായി ചുരുക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്:
\(\ വലിയ \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സങ്കലനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്, അസോസിയേറ്റീവ് ഗുണങ്ങൾ സാധുവാണ്.

മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നു

\(2\frac(2)(3)\) പോലുള്ള നോട്ടുകളെ വിളിക്കുന്നു മിശ്രിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്പർ 2 വിളിക്കുന്നു മുഴുവൻ ഭാഗംമിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ, സംഖ്യ \(\frac(2)(3)\) ആണ് ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം. എൻട്രി \(2\frac(2)(3)\) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വായിക്കുന്നു: "രണ്ടും മൂന്നിൽ രണ്ട്."

8-നെ സംഖ്യ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കും: \(\frac(8)(3)\) ഒപ്പം \(2\frac(2)(3)\). അവ ഒരേ ഫ്രാക്ഷണൽ നമ്പർ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, അതായത് \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

അങ്ങനെ, അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(8)(3)\) ഒരു മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു \(2\frac(2)(3)\). അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ അവർ പറയുന്നത് അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്നാണ് മുഴുവൻ ഭാഗവും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തു.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കൽ (ഫ്രാക്ഷണൽ നമ്പറുകൾ)

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെപ്പോലെ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വ്യവകലനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സങ്കലന പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ്: ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്ന് കുറയ്ക്കുക എന്നതിനർത്ഥം രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് ചേർക്കുമ്പോൾ ആദ്യത്തേത് നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) മുതൽ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

സമാന ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിന് സമാനമാണ്:
ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കുറയ്ക്കുകയും ഡിനോമിനേറ്ററിനെ അതേ രീതിയിൽ വിടുകയും വേണം.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ നിയമം ഇതുപോലെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:
\(\ വലിയ \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നു

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ സംഖ്യകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും ഗുണിച്ച് ആദ്യത്തെ ഉൽപ്പന്നം ന്യൂമറേറ്ററായും രണ്ടാമത്തേത് ഡിനോമിനേറ്ററായും എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
\(\ വലിയ \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

രൂപപ്പെടുത്തിയ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ, കൂടാതെ സമ്മിശ്ര ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 1 ൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതേണ്ടതുണ്ട്, ഒരു മിക്സഡ് ഫ്രാക്ഷൻ - അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയായി.

ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുകയും അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മുഴുവൻ ഭാഗവും ഒറ്റപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തുകൊണ്ട് ഗുണനത്തിൻ്റെ ഫലം ലളിതമാക്കണം (സാധ്യമെങ്കിൽ).

ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഗുണനത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്, കോമ്പിനേറ്റീവ് ഗുണങ്ങളും സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണ ഗുണങ്ങളും സാധുവാണ്.

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം

നമുക്ക് \(\frac(2)(3)\) ഫ്രാക്ഷൻ എടുത്ത് "ഫ്ലിപ്പ്" ചെയ്യാം, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും മാറ്റി. നമുക്ക് ഫ്രാക്ഷൻ \(\frac(3)(2)\) ലഭിക്കും. ഈ ഭിന്നസംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു വിപരീതംഭിന്നസംഖ്യകൾ \(\frac(2)(3)\).

നമ്മൾ ഇപ്പോൾ \(\frac(3)(2)\) ഫ്രാക്ഷൻ "റിവേഴ്സ്" ചെയ്താൽ നമുക്ക് യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യ \(\frac(2)(3)\) ലഭിക്കും. അതിനാൽ, \(\frac(2)(3)\), \(\frac(3)(2)\) തുടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു പരസ്പരം വിപരീതം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഭിന്നസംഖ്യകൾ \(\frac(6)(5) \) ഒപ്പം \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ഒപ്പം \(\frac (18) )(7)\).

അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: \(\frac(a)(b) \) കൂടാതെ \(\frac(b)(a) \)

എന്ന് വ്യക്തമാണ് പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഗുണനം 1 ന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

പരസ്പര ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വിഭജനം ഗുണനത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാം.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഇതാണ്:
ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ മറ്റൊന്നായി വിഭജിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഡിവിഡൻ്റിനെ ഡിവിസറിൻ്റെ പരസ്പരബന്ധം കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.