lg സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ദി കംപ്ലീറ്റ് ഗൈഡ് (2019)

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം:

ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അതിനെ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) എന്ന ഫോമിലേക്ക് മാറ്റാൻ ശ്രമിക്കണം, തുടർന്ന് \(f(x) എന്നതിലേക്ക് മാറ്റം വരുത്തുക. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

ഉദാഹരണം:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

പരിഹാരം: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) പരീക്ഷ:\(10>2\) - DL-ന് അനുയോജ്യമാണ് ഉത്തരം:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

വളരെ പ്രധാനമാണ്!ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഈ പരിവർത്തനം സാധ്യമാകൂ:

നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായി എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, അവസാനം കണ്ടെത്തിയവ DL-ൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കും. ഇത് ചെയ്തില്ലെങ്കിൽ, അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം, അതായത് തെറ്റായ തീരുമാനം.

ഇടത്തും വലത്തും ഉള്ള സംഖ്യ (അല്ലെങ്കിൽ പദപ്രയോഗം) ഒന്നുതന്നെയാണ്;

ഇടതും വലതും ഉള്ള ലോഗരിതം "ശുദ്ധമാണ്", അതായത്, ഗുണനങ്ങൾ, വിഭജനങ്ങൾ മുതലായവ ഉണ്ടാകരുത്. - തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തും ഒറ്റ ലോഗരിതം മാത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആവശ്യമായ ഗുണങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ 3 ഉം 4 ഉം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉദാഹരണം . \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം :

		നമുക്ക് ODZ എഴുതാം: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		ലോഗരിതത്തിന് മുന്നിൽ ഇടതുവശത്ത് ഗുണകമാണ്, വലതുവശത്ത് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. ഇത് ഞങ്ങളെ വിഷമിപ്പിക്കുന്നു. പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് നമുക്ക് രണ്ടിനെയും എക്സ്പോണൻ്റിലേക്ക് \(x\) നീക്കാം: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		ഞങ്ങൾ സമവാക്യം \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) എന്ന ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കി, ODZ എഴുതി, അതായത് നമുക്ക് \(f(x) ഫോമിലേക്ക് നീങ്ങാം =g(x)\ ).
		സംഭവിച്ചത്. ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കുകയും വേരുകൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		വേരുകൾ ODZ ന് അനുയോജ്യമാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, \(x>0\) ൽ \(x\) പകരം ഞങ്ങൾ \(5\), \(-5\) എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം വാമൊഴിയായി നടത്താം.
\(5>0\), \(-5>0\)		ആദ്യത്തെ അസമത്വം ശരിയാണ്, രണ്ടാമത്തേത് അല്ല. ഇതിനർത്ഥം \(5\) ആണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്, എന്നാൽ \(-5\) അല്ല. ഞങ്ങൾ ഉത്തരം എഴുതുന്നു.

ഉത്തരം : \(5\)

ഉദാഹരണം : സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

പരിഹാരം :

		നമുക്ക് ODZ എഴുതാം: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിച്ച ഒരു സാധാരണ സമവാക്യം. \(\log_2⁡x\) എന്നത് \(t\) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.
\(t=\log_2⁡x\)
		ഞങ്ങൾക്ക് സാധാരണ ലഭിക്കുന്നത്. നാം അതിൻ്റെ വേരുകൾ തേടുകയാണ്.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		ഒരു റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്നു
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		വലത് വശങ്ങൾ ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു, അവയെ ലോഗരിതങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) കൂടാതെ \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങൾ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), നമുക്ക് \(f(x)=g(x)\) എന്നതിലേക്ക് മാറാം.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ODZ ൻ്റെ വേരുകളുടെ കത്തിടപാടുകൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, \(x\) എന്നതിന് പകരം \(x>0\) അസമത്വത്തിലേക്ക് \(4\), \(2\) എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.
\(4>0\) \(2>0\)		രണ്ട് അസമത്വങ്ങളും ശരിയാണ്. \(4\) ഉം \(2\) ഉം സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഉത്തരം : \(4\); \(2\).

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠങ്ങളുടെ ഒരു നീണ്ട പരമ്പരയിലെ അവസാന വീഡിയോകൾ. ഈ സമയം ഞങ്ങൾ പ്രാഥമികമായി ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കും - നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ തെറ്റായ പരിഗണന (അല്ലെങ്കിൽ പോലും അവഗണിക്കുന്നത്) കാരണം അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മിക്ക പിശകുകളും ഉണ്ടാകുന്നു.

ഈ ഹ്രസ്വ വീഡിയോ പാഠത്തിൽ, ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം ഞങ്ങൾ നോക്കും, കൂടാതെ പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും പ്രശ്‌നങ്ങളുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും കൈകാര്യം ചെയ്യും.

നമ്മൾ എന്തിനെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കും? പ്രധാന ഫോർമുലഞാൻ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് ഇതുപോലെയാണ്:

ലോഗ് എ (എഫ് ജി) = ലോഗ് എ എഫ് + ലോഗ് എ ജി

ഇത് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്കും പിന്നിലേക്കും ഒരു സാധാരണ പരിവർത്തനമാണ്. ലോഗരിതം പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഈ ഫോർമുല നിങ്ങൾക്കറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു തടസ്സമുണ്ട്.

വേരിയബിളുകൾ a, f, g എന്നിവ സാധാരണ സംഖ്യകളായിരിക്കുന്നിടത്തോളം, പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. ഈ ഫോർമുലനന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, f, g എന്നിവയ്‌ക്ക് പകരം ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമ്പോൾ, ഏത് ദിശയിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടണം എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനോ ചുരുക്കുന്നതിനോ ഉള്ള പ്രശ്‌നം ഉയർന്നുവരുന്നു. സ്വയം വിലയിരുത്തുക: ഇടതുവശത്ത് എഴുതിയ ലോഗരിതം, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഇപ്രകാരമാണ്:

fg> 0

എന്നാൽ വലതുവശത്ത് എഴുതിയ തുകയിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഇതിനകം തന്നെ വ്യത്യസ്തമാണ്:

f > 0

g > 0

ഈ ആവശ്യകതകളുടെ കൂട്ടം യഥാർത്ഥമായതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ കർശനമാണ്. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, f എന്ന ഓപ്ഷനിൽ ഞങ്ങൾ സംതൃപ്തരാകും< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്തു).

അതിനാൽ, ഇടത് നിർമ്മിതിയിൽ നിന്ന് വലത്തേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ സങ്കോചം സംഭവിക്കുന്നു. ആദ്യം ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു തുകയുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുകയാണെങ്കിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ വികസിക്കുന്നു.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നമുക്ക് വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാം, രണ്ടാമത്തേതിൽ നമുക്ക് അധികമായി ലഭിക്കും. യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് കണക്കിലെടുക്കണം.

അതിനാൽ, ആദ്യ ചുമതല:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇടതുവശത്ത് ഒരേ അടിസ്ഥാനം ഉപയോഗിക്കുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കാണാം. അതിനാൽ, ഈ ലോഗരിതങ്ങൾ ചേർക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു:

a = ലോഗ് b b a

നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം കുറച്ചുകൂടി പുനഃക്രമീകരിക്കാം:

ലോഗ് 4 (x - 5) 2 = ലോഗ് 4 1

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപമാണ് നമ്മുടെ മുമ്പിലുള്ളത്; നമുക്ക് ലോഗ് ചിഹ്നം മറികടന്ന് ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കാം:

(x - 5) 2 = 1

|x - 5| = 1

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: മൊഡ്യൂൾ എവിടെ നിന്നാണ് വന്നത്? ഒരു കൃത്യമായ ചതുരത്തിൻ്റെ റൂട്ട് മോഡുലസിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ക്ലാസിക്കൽ സമവാക്യം മോഡുലസ് ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x - 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

രണ്ട് സ്ഥാനാർത്ഥികളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ. അവ യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണോ? ഒരു വഴിയുമില്ല!

എല്ലാം അങ്ങനെ തന്നെ ഉപേക്ഷിച്ച് ഉത്തരം എഴുതാൻ നമുക്ക് അവകാശമില്ല. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന ഘട്ടം നോക്കുക. യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നമുക്ക് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട് എന്നതാണ് പ്രശ്നം. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഒരു കൃത്യമായ ചതുരം ലഭിക്കുമ്പോൾ, ആവശ്യകതകൾ മാറി:

(x - 5) 2 > 0

ഈ ആവശ്യകത എപ്പോഴാണ് നിറവേറ്റുന്നത്? അതെ, മിക്കവാറും എപ്പോഴും! x - 5 = 0 ആകുമ്പോൾ ഒഴികെ. അതായത് അസമത്വം ഒരു പഞ്ചർ പോയിൻ്റായി കുറയ്ക്കും:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി വികസിച്ചു, അതാണ് ഞങ്ങൾ പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ സംസാരിച്ചത്. തൽഫലമായി, അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം.

ഈ അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് എങ്ങനെ തടയാം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച വേരുകൾ നോക്കുകയും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് കണക്കാക്കാം:

x (x - 5) > 0

ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കും:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ വരിയിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. അസമത്വം കർശനമായതിനാൽ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും നഷ്‌ടമായി. 5-ൽ കൂടുതലുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ എടുത്ത് പകരം വയ്ക്കുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് (-∞; 0) ∪ (5; ∞). സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നമ്മുടെ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ, x = 4 നമുക്ക് അനുയോജ്യമല്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാം, കാരണം ഈ റൂട്ട് യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിന് പുറത്താണ്.

ഞങ്ങൾ ആകെത്തുകയിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു, റൂട്ട് x = 4 കടന്ന് ഉത്തരം എഴുതുക: x = 6. യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ അവസാന ഉത്തരമാണിത്. അത്രയേയുള്ളൂ, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കാം. ആദ്യ പദം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണെന്നും രണ്ടാമത്തേത് അതേ ഭിന്നസംഖ്യയാണെന്നും എന്നാൽ വിപരീതമാണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. lgx എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ ഭയപ്പെടരുത് - ഇത് ഒരു ദശാംശ ലോഗരിതം മാത്രമാണ്, നമുക്ക് ഇത് എഴുതാം:

lgx = ലോഗ് 10 x

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു കൃത്യമായ ചതുരമാണ്. ഒരു അംശം പൂജ്യവും അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതും ആയിരിക്കുമ്പോൾ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0

നമുക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

t - 1 = 0;

t = 1.

ഈ മൂല്യം രണ്ടാമത്തെ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, പക്ഷേ ടി എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മാത്രം. ടി എന്താണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഞങ്ങൾക്ക് അനുപാതം ലഭിച്ചു:

logx = 2 logx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു:

logx = ലോഗ് 10 -1

x = 10 -1 = 0.1

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ലഭിച്ചു, അത് സിദ്ധാന്തത്തിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് ഇത് സുരക്ഷിതമായി പ്ലേ ചെയ്യാം, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എഴുതാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ റൂട്ട് എല്ലാ ആവശ്യങ്ങളും നിറവേറ്റുന്നു. യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തി. ഉത്തരം: x = 0.1. പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ ഒരു പ്രധാന പോയിൻ്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ഒരു തുകയിലേക്കും പിന്നിലേക്കും നീങ്ങുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, പരിവർത്തനം ഏത് ദിശയിലാണ് സംഭവിക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ചുരുങ്ങുകയോ വിപുലീകരിക്കുകയോ ചെയ്യുമെന്ന് കണക്കിലെടുക്കുക.

എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം: സങ്കോചമോ വികാസമോ? വളരെ ലളിതം. നേരത്തെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഒരുമിച്ചായിരുന്നുവെങ്കിലും ഇപ്പോൾ അവ വേറിട്ടതാണെങ്കിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ചുരുങ്ങി (കൂടുതൽ ആവശ്യകതകൾ ഉള്ളതിനാൽ). ആദ്യം ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വെവ്വേറെ നിലകൊള്ളുകയും ഇപ്പോൾ അവ ഒരുമിച്ചിരിക്കുകയും ചെയ്‌താൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ വിപുലീകരിക്കപ്പെടുന്നു (വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങളേക്കാൾ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ കുറച്ച് ആവശ്യകതകൾ ചുമത്തുന്നു).

ഈ പരാമർശം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമില്ലെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ എവിടെയും കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, പരിഹാരം ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുന്ന മറ്റൊരു അത്ഭുതകരമായ സാങ്കേതികതയിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പകരക്കാരും നിർവചനത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ നിന്ന് നമ്മെ മോചിപ്പിക്കുന്നില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക. അതുകൊണ്ടാണ് എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, ഞങ്ങൾ മടിയന്മാരല്ല, അതിൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്താൻ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങി.

പലപ്പോഴും, ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, വിദ്യാർത്ഥികൾ t യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുകയും പരിഹാരം പൂർത്തിയായി എന്ന് ചിന്തിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന പിശക് സംഭവിക്കുന്നു. ഒരു വഴിയുമില്ല!

നിങ്ങൾ t യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് തിരികെ പോയി ഈ അക്ഷരം കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ എന്താണ് ഉദ്ദേശിച്ചതെന്ന് നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. തൽഫലമായി, നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം കൂടി പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, അത് യഥാർത്ഥമായതിനേക്കാൾ വളരെ ലളിതമായിരിക്കും.

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ പോയിൻ്റ് ഇതാണ്. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തെ രണ്ട് ഇൻ്റർമീഡിയറ്റുകളായി വിഭജിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും വളരെ ലളിതമായ പരിഹാരമുണ്ട്.

"നെസ്റ്റഡ്" ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇന്ന് ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു, ഒരു ലോഗരിതം മറ്റൊരു ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായിരിക്കുമ്പോൾ നിർമ്മാണങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കും.

ഇന്ന് നമ്മൾ ലോഗരിതം സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് തുടരുകയും ഒരു ലോഗരിതം മറ്റൊന്നിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായിരിക്കുമ്പോൾ നിർമ്മാണങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യും. കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കും. log a f (x) = b എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം നമുക്കുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു എന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. ഒന്നാമതായി, നമ്മൾ നമ്പർ b മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

b = log a a b

ശ്രദ്ധിക്കുക: a b എന്നത് ഒരു വാദം ആണ്. അതുപോലെ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഫംഗ്ഷൻ f(x) ആണ്. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുകയും ഈ നിർമ്മാണം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

log a f (x) = log a a b

അപ്പോൾ നമുക്ക് മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടം നടത്താം - ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കി ലളിതമായി എഴുതുക:

f (x) = a b

തൽഫലമായി, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, f (x) ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഏർപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ സ്ഥാനം പിടിക്കാം. തുടർന്ന് നമുക്ക് വീണ്ടും ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും, അത് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യും.

എന്നിരുന്നാലും, വരികൾ മതി. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം. അതിനാൽ, ടാസ്ക് നമ്പർ 1:

ലോഗ് 2 (1 + 3 ലോഗ് 2 x ) = 2

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്. f (x) ൻ്റെ പങ്ക് നിർമ്മാണം 1 + 3 ലോഗ് 2 x ആണ്, കൂടാതെ b എന്ന സംഖ്യയുടെ പങ്ക് നമ്പർ 2 ആണ് (a യുടെ പങ്ക് രണ്ട് കൂടി വഹിക്കുന്നു). ഇവ രണ്ടും ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:

ആദ്യത്തെ രണ്ട് രണ്ടെണ്ണം ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തട്ടിൽ നിന്നാണ് വന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്, അതായത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ 5 ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് 2 = ലോഗ് 5 5 2 ലഭിക്കും. പൊതുവേ, അടിസ്ഥാനം പ്രശ്നത്തിൽ ആദ്യം നൽകിയ ലോഗരിതം മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇത് നമ്പർ 2 ആണ്.

അതിനാൽ, വലതുവശത്തുള്ള രണ്ടും യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു ലോഗരിതം കൂടിയാണെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ലോഗ് 2 (1 + 3 ലോഗ് 2 x ) = ലോഗ് 2 4

നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം അവസാന ഘട്ടംഞങ്ങളുടെ സ്കീം - ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ ഫോം ഒഴിവാക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് പറയാം, ഞങ്ങൾ ലോഗിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ മറികടക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, "ക്രോസ് ഔട്ട് ലോഗ്" അസാധ്യമാണ് - ഞങ്ങൾ വാദങ്ങളെ സമീകരിക്കുന്നുവെന്ന് പറയുന്നത് കൂടുതൽ ശരിയാണ്:

1 + 3 ലോഗ് 2 x = 4

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് 3 ലോഗ് 2 x എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

3 ലോഗ് 2 x = 3

ലോഗ് 2 x = 1

നമുക്ക് വീണ്ടും ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ലഭിച്ചു, അതിനെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് തിരികെ കൊണ്ടുവരാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തേണ്ടതുണ്ട്:

1 = ലോഗ് 2 2 1 = ലോഗ് 2 2

എന്തുകൊണ്ടാണ് അടിത്തട്ടിൽ രണ്ട് ഉള്ളത്? കാരണം ഇടതുവശത്തുള്ള ഞങ്ങളുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ അടിസ്ഥാനം 2-ന് കൃത്യമായി ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ഈ വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

ലോഗ് 2 x = ലോഗ് 2 2

വീണ്ടും നമ്മൾ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു, അതായത് ഞങ്ങൾ വാദങ്ങളെ സമീകരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്, കൂടാതെ വലത്തോട്ടോ ഇടതുവശത്തോ കൂടുതൽ അധിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയിട്ടില്ല:

അത്രയേയുള്ളൂ! പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തി.

കുറിപ്പ്! ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ x എന്ന വേരിയബിൾ ദൃശ്യമാണെങ്കിലും (അതായത്, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിന് ആവശ്യകതകൾ ഉണ്ട്), ഞങ്ങൾ അധിക ആവശ്യകതകളൊന്നും ഉണ്ടാക്കില്ല.

ഞാൻ മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, ഒരു ലോഗരിതം മാത്രമുള്ള ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ വേരിയബിൾ ദൃശ്യമാകൂ എങ്കിൽ ഈ പരിശോധന അനാവശ്യമാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, x യഥാർത്ഥത്തിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ, ഒരു ലോഗ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ മാത്രം. അതിനാൽ, അധിക പരിശോധനകൾ ആവശ്യമില്ല.

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഈ രീതി, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് x = 2 ഒരു റൂട്ട് ആണെന്ന് എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഈ സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതി.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം, ഇത് കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്:

ലോഗ് 2 (ലോഗ് 1/2 (2x - 1) + ലോഗ് 2 4) = 1

വലിയ ലോഗരിതത്തിനുള്ളിലെ പദപ്രയോഗം f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇന്നത്തെ വീഡിയോ പാഠം ആരംഭിച്ച ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതിനാൽ, നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ ഫോം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും, അതിനായി ഫോം ലോഗ് 2 2 1 = ലോഗ് 2 2 ലെ യൂണിറ്റിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് നമ്മുടെ വലിയ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം:

ലോഗ് 2 (ലോഗ് 1/2 (2x - 1) + ലോഗ് 2 4) = ലോഗ് 2 2

വാദങ്ങളെ സമീകരിച്ചുകൊണ്ട് ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് രക്ഷപ്പെടാം. ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്, കാരണം ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്. കൂടാതെ, ലോഗ് 2 4 = 2 ശ്രദ്ധിക്കുക:

ലോഗ് 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

ലോഗ് 1/2 (2x - 1) = 0

log a f (x) = b എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം വീണ്ടും നമ്മുടെ മുന്നിലുണ്ട്. നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ ഫോമിലേക്ക് പോകാം, അതായത്, ഫോം ലോഗ് 1/2 (1/2)0 = ലോഗ് 1/2 1 ൽ പൂജ്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം തിരുത്തിയെഴുതുകയും ലോഗ് ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുകയും, ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

ലോഗ് 1/2 (2x - 1) = ലോഗ് 1/2 1

2x - 1 = 1

വീണ്ടും, ഞങ്ങൾക്ക് ഉടൻ ഉത്തരം ലഭിച്ചു. അധിക പരിശോധനകൾ ആവശ്യമില്ല, കാരണം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു ലോഗരിതം മാത്രമേ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റായി ഉൾക്കൊള്ളുന്നുള്ളൂ.

അതിനാൽ, അധിക പരിശോധനകൾ ആവശ്യമില്ല. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരേയൊരു റൂട്ട് x = 1 ആണെന്ന് നമുക്ക് സുരക്ഷിതമായി പറയാൻ കഴിയും.

എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതത്തിൽ നാലിനുപകരം x ൻ്റെ ചില ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ 2x ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ അല്ല, പക്ഷേ ബേസിലായിരുന്നു) - അപ്പോൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, അധിക വേരുകളിലേക്ക് ഓടാനുള്ള ഉയർന്ന സാധ്യതയുണ്ട്.

ഈ അധിക വേരുകൾ എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു? ഈ പോയിൻ്റ് വളരെ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കണം. യഥാർത്ഥ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കുക: എല്ലായിടത്തും x ഫംഗ്ഷൻ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ ലോഗ് 2 x എഴുതിയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സ്വയമേവ ആവശ്യകത x > 0 സജ്ജമാക്കുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ, ഈ എൻട്രി അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ ലോഗ് അടയാളങ്ങളും ഒഴിവാക്കുകയും ലളിതമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇവിടെ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും സജ്ജീകരിച്ചിട്ടില്ല, കാരണം x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

അന്തിമ ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലായിടത്തും എല്ലായ്‌പ്പോഴും നിർവചിക്കപ്പെടുമ്പോൾ ഈ പ്രശ്‌നമാണ്, എന്നാൽ യഥാർത്ഥമായത് എല്ലായിടത്തും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നില്ല, എല്ലായ്‌പ്പോഴും അല്ല, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ അധിക വേരുകൾ പലപ്പോഴും ഉണ്ടാകാനുള്ള കാരണം ഇതാണ്.

എന്നാൽ ഞാൻ ഒരിക്കൽ കൂടി ആവർത്തിക്കുന്നു: ഫംഗ്ഷൻ ഒന്നുകിൽ ഒന്നുകിൽ ലോഗരിതം അല്ലെങ്കിൽ അവയിലൊന്നിൻ്റെ അടിത്തട്ടിൽ ഉള്ള ഒരു സാഹചര്യത്തിൽ മാത്രമേ ഇത് സംഭവിക്കൂ. ഇന്ന് നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിൽ, തത്വത്തിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ വികസിപ്പിക്കുന്നതിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല.

വ്യത്യസ്ത കാരണങ്ങളിലുള്ള കേസുകൾ

ഈ പാഠം കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾക്കായി സമർപ്പിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണമായ ഘടനകൾ. ഇന്നത്തെ സമവാക്യങ്ങളിലെ ലോഗരിതം ഉടൻ പരിഹരിക്കപ്പെടില്ല; ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

പരസ്പരം കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലാത്ത തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ അടിത്തറകളുള്ള ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഭയപ്പെടുത്താൻ അനുവദിക്കരുത് - അവ പരിഹരിക്കാൻ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല ലളിതമായ ഡിസൈനുകൾഞങ്ങൾ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തത്.

എന്നാൽ പ്രശ്നങ്ങളിലേക്ക് നേരിട്ട് നീങ്ങുന്നതിന് മുമ്പ്, കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. ഇതുപോലുള്ള ഒരു പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക:

ലോഗ് a f (x) = b

ഫംഗ്ഷൻ f (x) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ മാത്രമാണെന്നത് പ്രധാനമാണ്, കൂടാതെ a, b സംഖ്യകളുടെ പങ്ക് സംഖ്യകളായിരിക്കണം (x എന്ന വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതെ). തീർച്ചയായും, അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ, a, b എന്നീ വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉള്ളപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത്തരം സന്ദർഭങ്ങൾ നോക്കും, എന്നാൽ അത് ഇപ്പോൾ അതിനെക്കുറിച്ച് അല്ല.

നമ്മൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, b എന്ന സംഖ്യയെ ഇടതുവശത്തുള്ള അതേ ബേസിലേക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് വളരെ ലളിതമായി ചെയ്തു:

b = log a a b

തീർച്ചയായും, "ഏത് നമ്പർ ബി", "ഏത് നമ്പർ എ" എന്നീ വാക്കുകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന മൂല്യങ്ങളെയാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്അടിസ്ഥാന a > 0, a ≠ 1 എന്നിവ മാത്രം.

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ആവശ്യകത യാന്ത്രികമായി തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, കാരണം യഥാർത്ഥ പ്രശ്‌നത്തിൽ ഇതിനകം തന്നെ a അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു - ഇത് തീർച്ചയായും 0-നേക്കാൾ വലുതും 1 ന് തുല്യവുമല്ല. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് തുടരുന്നു:

log a f (x) = log a a b

അത്തരമൊരു നൊട്ടേഷനെ കാനോനിക്കൽ ഫോം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കി നമുക്ക് ലോഗ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഉടനടി രക്ഷപ്പെടാൻ കഴിയും എന്നതാണ് ഇതിൻ്റെ സൗകര്യം:

f (x) = a b

വേരിയബിൾ ബേസ് ഉപയോഗിച്ച് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഈ സാങ്കേതികതയാണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് പോകാം!

ലോഗ് 2 (x 2 + 4x + 11) = ലോഗ് 0.5 0.125

അടുത്തത് എന്താണ്? നിങ്ങൾ ശരിയായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കണം, അല്ലെങ്കിൽ അവയെ അതേ അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കണം, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റെന്തെങ്കിലും ചെയ്യണമെന്ന് ആരെങ്കിലും ഇപ്പോൾ പറയും. തീർച്ചയായും, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ രണ്ട് അടിസ്ഥാനങ്ങളും ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട് - ഒന്നുകിൽ 2 അല്ലെങ്കിൽ 0.5. എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഒരിക്കൽ കൂടി പഠിക്കാം:

ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ദശാംശങ്ങൾ, ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ദശാംശ നൊട്ടേഷനിൽ നിന്ന് സാധാരണമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. ഈ പരിവർത്തനത്തിന് പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാക്കാൻ കഴിയും.

അത്തരം ഒരു പരിവർത്തനം ഉടനടി നടപ്പിലാക്കണം, ഏതെങ്കിലും പ്രവർത്തനങ്ങളോ പരിവർത്തനങ്ങളോ നടത്തുന്നതിന് മുമ്പുതന്നെ. നമുക്ക് ഒന്ന് നോക്കാം:

ലോഗ് 2 (x 2 + 4x + 11) = ലോഗ് 1/2 1/8

അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് നമുക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്? നമുക്ക് 1/2, 1/8 എന്നിവയെ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണസ് ഉള്ള പവറുകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

കാനോനിക്കൽ രൂപമാണ് നമ്മുടെ മുൻപിൽ. ഞങ്ങൾ വാദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ക്ലാസിക് നേടുകയും ചെയ്യുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നമ്മുടെ മുമ്പിലുണ്ട്. ഹൈസ്കൂളിൽ, നിങ്ങൾ സമാനമായ ഡിസ്പ്ലേകൾ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ വാമൊഴിയായി കാണണം:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

അത്രയേയുള്ളൂ! യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ നിർണ്ണയിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ലെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, കാരണം x എന്ന വേരിയബിളുമായുള്ള ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. അതിനാൽ, നിർവചന വ്യാപ്തി സ്വയമേവ നടപ്പിലാക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു. നമുക്ക് രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = ലോഗ് 3 1/9

ലോഗ് 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = ലോഗ് 3 9 −1

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉള്ള ഒരു പവർ ആയും എഴുതാം: 1/2 = 2 -1. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുമുള്ള ശക്തികൾ എടുത്ത് എല്ലാം −1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വളരെയധികം നേടിയിരിക്കുന്നു പ്രധാനപ്പെട്ട ഘട്ടംഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിൽ. ആരെങ്കിലും എന്തെങ്കിലും ശ്രദ്ധിച്ചില്ലായിരിക്കാം, അതിനാൽ ഞാൻ വിശദീകരിക്കാം.

നമ്മുടെ സമവാക്യം നോക്കൂ: ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും ഒരു ലോഗ് ചിഹ്നമുണ്ട്, എന്നാൽ ഇടതുവശത്ത് ബേസ് 2-ലേക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്, വലതുവശത്ത് ബേസ് 3-ലേക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. മൂന്ന് എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല. രണ്ട്, നേരെമറിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 2 എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ 3 ആണെന്ന് എഴുതാൻ കഴിയില്ല.

തൽഫലമായി, ഇവ വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ലോഗരിതങ്ങളാണ്, അവ കേവലം പവർ ചേർത്തുകൊണ്ട് പരസ്പരം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ ലോഗരിതങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഒഴിവാക്കുക മാത്രമാണ് ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഏക പോംവഴി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും വളരെ ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, വലതുവശത്തുള്ള ലോഗരിതം ലളിതമായി കണക്കാക്കി, ഞങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം ലഭിച്ചു - ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഞങ്ങൾ സംസാരിച്ചത്.

നമുക്ക് വലത് വശത്തുള്ള നമ്പർ 2, ലോഗ് 2 2 2 = ലോഗ് 2 4 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. തുടർന്ന് നമുക്ക് ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കാം, അതിനുശേഷം നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അവശേഷിക്കുന്നു:

ലോഗ് 2 (5x 2 + 9x + 2) = ലോഗ് 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

നമുക്ക് മുന്നിൽ ഒരു സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്, എന്നാൽ x 2 ൻ്റെ ഗുണകം ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ അത് കുറയുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇത് പരിഹരിക്കും:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

അത്രയേയുള്ളൂ! ഞങ്ങൾ രണ്ട് വേരുകളും കണ്ടെത്തി, അതിനർത്ഥം യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ലഭിച്ചു എന്നാണ്. യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിൽ, വേരിയബിൾ x ഉള്ള ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. തൽഫലമായി, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ അധിക പരിശോധനകളൊന്നും ആവശ്യമില്ല - ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് റൂട്ടുകളും തീർച്ചയായും സാധ്യമായ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും പാലിക്കുന്നു.

ഇത് ഇന്നത്തെ വീഡിയോ പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനമാകാം, പക്ഷേ ഉപസംഹാരമായി ഞാൻ വീണ്ടും പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എല്ലാ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളും സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. മിക്ക കേസുകളിലും, ഇത് അവരുടെ പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാക്കുന്നു.

അപൂർവ്വമായി, വളരെ അപൂർവ്വമായി, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നത് കണക്കുകൂട്ടലുകളെ സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് നേരിടേണ്ടിവരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ലെന്ന് തുടക്കത്തിൽ വ്യക്തമാണ്.

മറ്റ് മിക്ക കേസുകളിലും (പ്രത്യേകിച്ച് നിങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിശീലിക്കാൻ തുടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ), ദശാംശങ്ങൾ ഒഴിവാക്കി അവയെ സാധാരണമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ മടിക്കേണ്ടതില്ല. കാരണം ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾ തുടർന്നുള്ള പരിഹാരവും കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഗണ്യമായി ലഘൂകരിക്കുമെന്ന് പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നു.

പരിഹാരത്തിൻ്റെ സൂക്ഷ്മതകളും തന്ത്രങ്ങളും

ഇന്ന് നമ്മൾ കൂടുതൽ കാര്യങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾഞങ്ങൾ ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കും, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സംഖ്യയല്ല, ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്.

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ രേഖീയമാണെങ്കിലും, പരിഹാര സ്കീമിൽ ചെറിയ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഇതിൻ്റെ അർത്ഥം ലോഗരിതം നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ചുമത്തിയിരിക്കുന്ന അധിക ആവശ്യകതകളിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾ

ഈ ട്യൂട്ടോറിയൽ വളരെ നീണ്ടതായിരിക്കും. അതിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഗുരുതരമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും, അവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിരവധി വിദ്യാർത്ഥികൾ തെറ്റുകൾ വരുത്തുന്നു. ഒരു ഗണിത അദ്ധ്യാപകനെന്ന നിലയിൽ എൻ്റെ പ്രാക്ടീസ് സമയത്ത്, ഞാൻ നിരന്തരം രണ്ട് തരത്തിലുള്ള പിശകുകൾ നേരിട്ടു:

1. ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ വികാസം കാരണം അധിക വേരുകളുടെ രൂപം. അത്തരം നിന്ദ്യമായ തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഓരോ പരിവർത്തനവും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നിരീക്ഷിക്കുക;
2. ചില “സൂക്ഷ്മമായ” കേസുകൾ പരിഗണിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥി മറന്നുപോയതിനാൽ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നു - ഇവയാണ് ഞങ്ങൾ ഇന്ന് ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നത്.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അവസാന പാഠമാണിത്. ഇത് ദൈർഘ്യമേറിയതായിരിക്കും, ഞങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. സ്വയം സുഖമായിരിക്കുക, ചായ ഉണ്ടാക്കുക, നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ആദ്യ സമവാക്യം തികച്ചും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി കാണപ്പെടുന്നു:

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = ലോഗ് x - 0.5 (x + 1)

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളും പരസ്പരം വിപരീത പകർപ്പുകളാണെന്ന് നമുക്ക് ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കാം. അതിശയകരമായ ഫോർമുല നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം:

ലോഗ് എ ബി = 1/ലോഗ് ബി എ

എന്നിരുന്നാലും, a, b എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് പകരം x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ ഈ സൂത്രവാക്യത്തിന് നിരവധി പരിമിതികളുണ്ട്:

b > 0

1 ≠ a > 0

ഈ ആവശ്യകതകൾ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിന് ബാധകമാണ്. മറുവശത്ത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നമുക്ക് 1 ≠ a > 0 ഉണ്ടായിരിക്കണം, കാരണം ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ വേരിയബിൾ a മാത്രമല്ല (അതിനാൽ a > 0), എന്നാൽ ലോഗരിതം തന്നെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്. . എന്നാൽ ലോഗ് b 1 = 0, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതായിരിക്കണം, അതിനാൽ a ≠ 1.

അതിനാൽ, വേരിയബിളിലെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ നിലനിൽക്കുന്നു. എന്നാൽ b എന്ന വേരിയബിളിന് എന്ത് സംഭവിക്കും? ഒരു വശത്ത്, അടിസ്ഥാനം b > 0 സൂചിപ്പിക്കുന്നു, മറുവശത്ത്, വേരിയബിൾ b ≠ 1, കാരണം ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം. മൊത്തത്തിൽ, ഫോർമുലയുടെ വലതുവശത്ത് നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നത് 1 ≠ b > 0.

എന്നാൽ ഇവിടെ പ്രശ്നം ഇതാണ്: ഇടത് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന ആദ്യ അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ ആവശ്യകത (b ≠ 1) കാണുന്നില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ പരിവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ നമ്മൾ ചെയ്യണം പ്രത്യേകം പരിശോധിക്കുക, b എന്ന വാദം ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന്!

അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് അത് പരിശോധിക്കാം. നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, a, b എന്നിവ 0-നേക്കാൾ വലുതും 1-ന് തുല്യവുമാകരുത് എന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി. ഇതിനർത്ഥം നമുക്ക് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം എളുപ്പത്തിൽ വിപരീതമാക്കാം എന്നാണ്:

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = ടി

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

(t 2 - 1)/t = 0

ന്യൂമറേറ്ററിൽ നമുക്ക് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു:

(t - 1)(t + 1)/t = 0

ഒരു അംശം പൂജ്യവും അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതും ആയിരിക്കുമ്പോൾ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഒരു ഉൽപ്പന്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഓരോ ഘടകത്തെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു:

t 1 = 1;

t 2 = -1;

t ≠ 0.

നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ടി വേരിയബിളിൻ്റെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളും നമുക്ക് അനുയോജ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പരിഹാരം അവിടെ അവസാനിക്കുന്നില്ല, കാരണം നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് t അല്ല, x ൻ്റെ മൂല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ലോഗരിതത്തിലേക്ക് മടങ്ങുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = 1;

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = -1.

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഓരോന്നും കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ നൽകാം:

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = ലോഗ് x + 1 (x + 1) 1

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = ലോഗ് x + 1 (x + 1) -1

ഞങ്ങൾ ആദ്യ കേസിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുകയും വാദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

x - 0.5 = x + 1;

x - x = 1 + 0.5;

അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, അതിനാൽ ആദ്യത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനും വേരുകളില്ല. എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം കൂടുതൽ രസകരമാണ്:

(x - 0.5)/1 = 1/(x + 1)

അനുപാതം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(x - 0.5)(x + 1) = 1

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എല്ലാ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളും സാധാരണ പോലെ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, അതിനാൽ നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

താഴെയുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നമ്മുടെ മുന്നിലുണ്ട്, അത് വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1.5;

x 2 = 1.

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു - അവ യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്ഥാനാർത്ഥികളാണ്. ഉത്തരത്തിലേക്ക് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഏതൊക്കെ വേരുകൾ പോകുമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിനുള്ളിൽ അവ അനുയോജ്യമാണോ എന്ന് നോക്കാൻ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ ഓരോ റൂട്ടുകളും പരിശോധിക്കും:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.

ഈ ആവശ്യകതകൾ ഇരട്ട അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണ്:

1 ≠ x > 0.5

x = −1.5 എന്ന റൂട്ട് നമുക്ക് അനുയോജ്യമല്ല, എന്നാൽ x = 1 നമുക്ക് നന്നായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് പെട്ടെന്ന് കാണാം. അതിനാൽ x = 1 ആണ് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ അന്തിമ പരിഹാരം.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ടാസ്ക്കിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് x 25 + ലോഗ് 125 x 5 = ലോഗ് 25 x 625

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളും ആണെന്ന് തോന്നാം വ്യത്യസ്ത കാരണങ്ങൾവ്യത്യസ്ത വാദങ്ങളും. അത്തരം ഘടനകളുമായി എന്തുചെയ്യണം? ഒന്നാമതായി, 25, 5, 625 എന്നീ സംഖ്യകൾ 5-ൻ്റെ ശക്തികളാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ലോഗരിതം എന്ന അത്ഭുതകരമായ സ്വത്ത് പ്രയോജനപ്പെടുത്താം. ഘടകങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അധികാരങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും എന്നതാണ് കാര്യം:

ലോഗ് എ ബി എൻ = എൻ ∙ ലോഗ് എ ബി

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് b മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന സന്ദർഭത്തിലും ഈ പരിവർത്തനം നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് വിധേയമാണ്. എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക്, b എന്നത് ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്, അധിക നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം:

2 ∙ ലോഗ് x 5 + ലോഗ് 125 x 5 = 4 ∙ ലോഗ് 25 x 5

ലോഗ് ചിഹ്നം അടങ്ങിയ മൂന്ന് പദങ്ങളുള്ള ഒരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. മാത്രമല്ല, മൂന്ന് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളെ ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ അവയെ റിവേഴ്സ് ചെയ്യേണ്ട സമയമാണിത് - 5. വേരിയബിൾ b ഒരു സ്ഥിരാങ്കമായതിനാൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നും സംഭവിക്കുന്നില്ല. ഞങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതുന്നു:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

പ്രതീക്ഷിച്ചതുപോലെ, അതേ ലോഗരിതം ഡിനോമിനേറ്ററിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

ലോഗ് 5 x = t

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

നമുക്ക് ന്യൂമറേറ്റർ എഴുതി ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + ടി 2 + 2 ടി - 4 ടി 2 - 12 ടി = 2 ടി 2 + 10 ടി + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

നമുക്ക് നമ്മുടെ ഭാഗത്തേക്ക് മടങ്ങാം. ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യമായിരിക്കണം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്:

t ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ −2

അവസാന ആവശ്യകതകൾ സ്വയമേവ നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു, കാരണം അവയെല്ലാം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും യുക്തിരഹിതമാണ്.

അതിനാൽ, ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യംപരിഹരിച്ചു, t എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. നമുക്ക് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് മടങ്ങാം, ടി എന്താണെന്ന് ഓർക്കുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും യുക്തിരഹിതമായ ബിരുദമുള്ള ഒരു സംഖ്യ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് നിങ്ങളെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ അനുവദിക്കരുത് - അത്തരം വാദങ്ങൾ പോലും തുല്യമാക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, രണ്ട് കാൻഡിഡേറ്റ് ഉത്തരങ്ങൾ - നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം വേരിയബിൾ x ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ആവശ്യമാണ്:

1 ≠ x > 0;

അതേ വിജയത്തോടെ, x ≠ 1/125 എന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പിച്ചു പറയുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഏകത്വത്തിലേക്ക് മാറും. അവസാനമായി, മൂന്നാമത്തെ ലോഗരിതത്തിന് x ≠ 1/25.

മൊത്തത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് നാല് നിയന്ത്രണങ്ങൾ ലഭിച്ചു:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇതാണ്: നമ്മുടെ വേരുകൾ ഈ ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നുണ്ടോ? തീർച്ചയായും അവർ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു! കാരണം 5 മുതൽ ഏത് പവറും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും, കൂടാതെ ആവശ്യകത x > 0 സ്വയമേവ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.

മറുവശത്ത്, 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, അതായത് നമ്മുടെ വേരുകൾക്കുള്ള ഈ നിയന്ത്രണങ്ങൾ (ഇത്, ഘാതകത്തിൽ ഒരു അകാരണ സംഖ്യ ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ) സംതൃപ്തരാണ്, രണ്ട് ഉത്തരങ്ങളും പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണ്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ ഉത്തരമുണ്ട്. ഈ ടാസ്ക്കിൽ രണ്ട് പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്:

1. ആർഗ്യുമെൻ്റും അടിത്തറയും മാറുമ്പോൾ ഒരു ലോഗരിതം ഫ്ലിപ്പുചെയ്യുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ അനാവശ്യ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തുന്നു.
2. ലോഗരിതം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ ഭയപ്പെടരുത്: അവ റിവേഴ്‌സ് ചെയ്യാൻ മാത്രമല്ല, സം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിപുലീകരിക്കാനും ലോഗരിഥമിക് എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ പഠിച്ച ഏതെങ്കിലും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പൊതുവായി മാറ്റാനും കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർക്കുക: ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി വികസിപ്പിക്കുന്നു, ചിലത് അവയെ ചുരുക്കുന്നു.

ആമുഖം

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വേഗത്തിലാക്കാനും ലളിതമാക്കാനും ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചു. ഒരു ലോഗരിതം എന്ന ആശയം, അതായത് സംഖ്യകളെ ഒരേ അടിത്തറയുടെ ശക്തികളായി പ്രകടിപ്പിക്കുക എന്ന ആശയം മിഖായേൽ സ്റ്റീഫലിൻ്റേതാണ്. എന്നാൽ സ്റ്റീഫലിൻ്റെ കാലത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രം അത്ര വികസിച്ചിരുന്നില്ല, ലോഗരിതം എന്ന ആശയം വികസിപ്പിച്ചില്ല. പിന്നീട് സ്കോട്ടിഷ് ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോൺ നേപ്പിയർ (1550-1617), സ്വിസ് ജോബ്സ്റ്റ് ബർഗി (1552-1632) എന്നിവർ ഒരേസമയം സ്വതന്ത്രമായി ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചു.1614-ൽ നേപ്പിയറാണ് ഈ കൃതി ആദ്യമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. "ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു അത്ഭുതകരമായ പട്ടികയുടെ വിവരണം" എന്ന തലക്കെട്ടിന് കീഴിൽ, നേപ്പിയറിൻ്റെ ലോഗരിതം സിദ്ധാന്തം തികച്ചും പൂർണ്ണമായ വോളിയത്തിൽ നൽകി, ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്ന രീതി ഏറ്റവും ലളിതമായി നൽകി, അതിനാൽ ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചതിൽ നേപ്പിയറിൻ്റെ നേട്ടങ്ങൾ ബർഗിയേക്കാൾ വലുതാണ്. നേപ്പിയറിൻറെ അതേ സമയം തന്നെ ബുർഗി മേശകളിൽ പ്രവർത്തിച്ചുവെങ്കിലും വളരെക്കാലം അവ രഹസ്യമായി സൂക്ഷിക്കുകയും 1620-ൽ മാത്രം പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തു. 1594-ൽ നേപ്പിയർ ലോഗരിതം എന്ന ആശയത്തിൽ പ്രാവീണ്യം നേടി. 20 വർഷത്തിന് ശേഷമാണ് പട്ടികകൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. ആദ്യം അദ്ദേഹം തൻ്റെ ലോഗരിതങ്ങളെ "കൃത്രിമ സംഖ്യകൾ" എന്ന് വിളിച്ചു, അതിനുശേഷം മാത്രമാണ് ഈ "കൃത്രിമ സംഖ്യകളെ" ഒരു വാക്കിൽ "ലോഗരിതം" എന്ന് വിളിക്കാൻ നിർദ്ദേശിച്ചത്, ഗ്രീക്കിൽ നിന്ന് വിവർത്തനം ചെയ്ത "പരസ്പര ബന്ധമുള്ള സംഖ്യകൾ", ഒന്ന് ഗണിത പുരോഗതിയിൽ നിന്നും മറ്റൊന്ന് അതിനായി പ്രത്യേകം തിരഞ്ഞെടുത്ത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. പുരോഗതി. റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ ആദ്യത്തെ പട്ടികകൾ 1703 ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഒരു അത്ഭുത അധ്യാപകൻ്റെ പങ്കാളിത്തത്തോടെ. എൽ.എഫ്. മാഗ്നിറ്റ്സ്കി. ലോഗരിതം സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനത്തിൽ വലിയ പ്രാധാന്യംസെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗ് അക്കാദമിഷ്യൻ ലിയോൺഹാർഡ് യൂലറുടെ കൃതികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു. ലോഗരിതം ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിൻ്റെ വിപരീതമായി ആദ്യം പരിഗണിച്ചത് അദ്ദേഹമാണ്; "ലോഗരിതം ബേസ്", "മന്തിസ്സ" എന്നീ പദങ്ങൾ അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചു. ബ്രിഗ്സ് 10 ബേസ് ഉള്ള ലോഗരിതം പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചു. ദശാംശ പട്ടികകൾ പ്രായോഗിക ഉപയോഗത്തിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അവയുടെ സിദ്ധാന്തം നേപ്പിയറിൻ്റെ ലോഗരിതത്തേക്കാൾ ലളിതമാണ്. അതിനാൽ, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളെ ചിലപ്പോൾ ബ്രിഗ്സ് ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ബ്രിഗ്‌സാണ് "പ്രതീകവൽക്കരണം" എന്ന പദം അവതരിപ്പിച്ചത്.

ആ വിദൂര കാലങ്ങളിൽ, അജ്ഞാതമായ അളവുകൾ അടങ്ങിയ സമത്വങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഋഷിമാർ ആദ്യം ചിന്തിക്കാൻ തുടങ്ങിയപ്പോൾ, ഒരുപക്ഷേ നാണയങ്ങളോ വാലറ്റുകളോ ഇല്ലായിരുന്നു. എന്നാൽ അജ്ഞാതമായ എണ്ണം ഇനങ്ങൾ സൂക്ഷിക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഭരണ ​​കാഷെകളുടെ റോളിന് അനുയോജ്യമായ കൂമ്പാരങ്ങളും പാത്രങ്ങളും കൊട്ടകളും ഉണ്ടായിരുന്നു. മെസൊപ്പൊട്ടേമിയ, ഇന്ത്യ, ചൈന, ഗ്രീസ് എന്നിവിടങ്ങളിലെ പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, അജ്ഞാതമായ അളവ് പൂന്തോട്ടത്തിലെ മയിലുകളുടെ എണ്ണം, കൂട്ടത്തിലെ കാളകളുടെ എണ്ണം, സ്വത്ത് വിഭജിക്കുമ്പോൾ കണക്കിലെടുക്കുന്ന കാര്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എന്നിവ പ്രകടിപ്പിച്ചു. കണക്ക് ശാസ്ത്രത്തിൽ നന്നായി പരിശീലിച്ച എഴുത്തുകാരും ഉദ്യോഗസ്ഥരും തുടക്കക്കാരും രഹസ്യ അറിവ്പുരോഹിതന്മാർ അത്തരം ജോലികൾ വിജയകരമായി നേരിട്ടു.

പുരാതന ശാസ്‌ത്രജ്ഞർക്ക് ചിലത് സ്വന്തമായുണ്ടായിരുന്നതായി നമുക്കു ലഭിച്ച സ്രോതസ്സുകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു പൊതു സാങ്കേതിക വിദ്യകൾഅജ്ഞാതമായ അളവിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പാപ്പിറസിലോ കളിമൺ ഗുളികയിലോ ഈ സാങ്കേതിക വിദ്യകളുടെ വിവരണം അടങ്ങിയിട്ടില്ല. രചയിതാക്കൾ അവരുടെ സംഖ്യാപരമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇടയ്ക്കിടെ നൽകി: "നോക്കൂ!", "ഇത് ചെയ്യുക!", "നിങ്ങൾ ശരിയായത് കണ്ടെത്തി." ഈ അർത്ഥത്തിൽ, അപവാദം ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഡയോഫാൻ്റസ് ഓഫ് അലക്സാണ്ട്രിയയുടെ (III നൂറ്റാണ്ട്) "അരിത്മെറ്റിക്" ആണ് - അവയുടെ പരിഹാരങ്ങളുടെ ചിട്ടയായ അവതരണത്തോടുകൂടിയ സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഒരു ശേഖരം.

എന്നിരുന്നാലും, വ്യാപകമായി അറിയപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യത്തെ മാനുവൽ ഒമ്പതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ബാഗ്ദാദ് ശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ സൃഷ്ടിയാണ്. മുഹമ്മദ് ബിൻ മൂസ അൽ-ഖ്വാരിസ്മി. ഈ ഗ്രന്ഥത്തിൻ്റെ അറബി നാമത്തിൽ നിന്നുള്ള "അൽ-ജബ്ർ" എന്ന വാക്ക് - "കിതാബ് അൽ-ജാബർ വൽ-മുകബാല" ("പുനഃസ്ഥാപനത്തിൻ്റെയും എതിർപ്പിൻ്റെയും പുസ്തകം") - കാലക്രമേണ "ബീജഗണിതം" എന്ന പ്രസിദ്ധമായ പദമായി മാറി. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികാസത്തിൽ അൽ-ഖ്വാരിസ്മി തന്നെ തുടക്കമിട്ടു.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും

1. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലോ അതിൻ്റെ അടിത്തറയിലോ അറിയപ്പെടാത്ത ഒരു സമവാക്യത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്

ലോഗ് എ x = ബി . (1)

പ്രസ്താവന 1. എങ്കിൽ എ > 0, എ≠ 1, ഏത് യഥാർത്ഥത്തിനും സമവാക്യം (1). ബിഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് x = ഒരു ബി .

ഉദാഹരണം 1. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

a)രേഖ 2 x= 3, b) ലോഗ് 3 x= -1, സി)

പരിഹാരം. സ്റ്റേറ്റ്മെൻ്റ് 1 ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് a) ലഭിക്കും x= 2 3 അല്ലെങ്കിൽ x= 8; b) x= 3 -1 അല്ലെങ്കിൽ x= 1/3 ; സി)

അഥവാ x = 1.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം.

P1. അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി:

എവിടെ എ > 0, എ≠ 1 ഒപ്പം ബി > 0.

P2. പോസിറ്റീവ് ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഈ ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

ലോഗ് എ എൻ 1 · എൻ 2 = ലോഗ് എ എൻ 1 + ലോഗ് എ എൻ 2 (എ > 0, എ ≠ 1, എൻ 1 > 0, എൻ 2 > 0).

അഭിപ്രായം. എങ്കിൽ എൻ 1 · എൻ 2 > 0, തുടർന്ന് പ്രോപ്പർട്ടി P2 ഫോം എടുക്കുന്നു

ലോഗ് എ എൻ 1 · എൻ 2 = ലോഗ് എ |എൻ 1 | + ലോഗ് എ |എൻ 2 | (എ > 0, എ ≠ 1, എൻ 1 · എൻ 2 > 0).

P3. രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്

(എ > 0, എ ≠ 1, എൻ 1 > 0, എൻ 2 > 0).

അഭിപ്രായം. എങ്കിൽ

, (ഇത് തുല്യമാണ് എൻ 1 എൻ 2 > 0) അപ്പോൾ പ്രോപ്പർട്ടി P3 ഫോം എടുക്കുന്നു (എ > 0, എ ≠ 1, എൻ 1 എൻ 2 > 0).

P4. ബിരുദത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് നമ്പർഈ സംഖ്യയുടെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെയും ലോഗരിതത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്:

ലോഗ് എ എൻ കെ = കെലോഗ് എ എൻ (എ > 0, എ ≠ 1, എൻ > 0).

അഭിപ്രായം. എങ്കിൽ കെ- ഇരട്ട സംഖ്യ ( കെ = 2എസ്), അത്

ലോഗ് എ എൻ 2എസ് = 2എസ്ലോഗ് എ |എൻ | (എ > 0, എ ≠ 1, എൻ ≠ 0).

P5. മറ്റൊരു അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല:

(എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, ബി ≠ 1, എൻ > 0),

പ്രത്യേകിച്ചും എങ്കിൽ എൻ = ബി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

(എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, ബി ≠ 1). (2)

പ്രോപ്പർട്ടികൾ P4, P5 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ നേടുന്നത് എളുപ്പമാണ്

(എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി ≠ 0), (3) (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി ≠ 0), (4) (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി ≠ 0), (5)

കൂടാതെ, (5) ൽ ആണെങ്കിൽ സി- ഇരട്ട സംഖ്യ ( സി = 2എൻ), സംഭവിക്കുന്നു

(ബി > 0, എ ≠ 0, |എ | ≠ 1). (6)

ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് പട്ടികപ്പെടുത്താം എഫ് (x) = ലോഗ് എ x :

1. ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടമാണ്.

2. ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ്.

3. എപ്പോൾ എ> 1 ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷൻ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (0< x 1 < x 2ലോഗ് എ x 1 < logഎ x 2), കൂടാതെ 0-ലും< എ < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2ലോഗ് എ x 1 > ലോഗ് എ x 2).

4. ലോഗ് എ 1 = 0 ഒപ്പം ലോഗ് എ എ = 1 (എ > 0, എ ≠ 1).

5. എങ്കിൽ എ> 1, അപ്പോൾ ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ x(0;1) കൂടാതെ പോസിറ്റീവ് at x(1;+∞), കൂടാതെ 0 ആണെങ്കിൽ< എ < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1), നെഗറ്റീവ് എറ്റ് x (1;+∞).

6. എങ്കിൽ എ> 1, അപ്പോൾ ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതാണ്, എങ്കിൽ എ(0;1) - കുത്തനെ താഴേക്ക്.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, കാണുക) ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക. എക്സ്പ്രഷൻ 10 ൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ നൊട്ടേഷൻ ചുരുക്കി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: lg b എന്നത് ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്. ലോഗരിതത്തിന് e എന്ന സംഖ്യ അടിസ്ഥാനമാണെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗം എഴുതുക: ln b – സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം. ബി എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ അടിസ്ഥാന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ് ഏതിൻ്റെയും ഫലം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ ഒന്നൊന്നായി വേർതിരിച്ച് ഫലങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്: (u+v)" = u"+v";

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുകയും വേണം: (u*v)" = u"*v +v"*u;

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഡിവിഡൻഡിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗുണനഫലത്തിൽ നിന്ന് ഡിവിഡൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഡിവിസർ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇതെല്ലാം. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

നൽകിയാൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം, പിന്നെ ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ബാഹ്യമായ ഒന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഗുണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. y=u(v(x)), തുടർന്ന് y"(x)=y"(u)*v"(x) എന്ന് അനുവദിക്കുക.

മുകളിൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് മിക്കവാറും ഏത് പ്രവർത്തനത്തെയും വേർതിരിക്കാനാകും. അതിനാൽ നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. y=e^(x^2+6x+5) ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകട്ടെ, നിങ്ങൾ x=1 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
1) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക y"(1)=8*e^0=8

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

സഹായകരമായ ഉപദേശം

പ്രാഥമിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക പഠിക്കുക. ഇത് ഗണ്യമായി സമയം ലാഭിക്കും.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

അപ്പോൾ, എന്താണ് വ്യത്യാസം? യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യംയുക്തിവാദത്തിൽ നിന്നോ? അജ്ഞാത വേരിയബിൾ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണെങ്കിൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട്, അപ്പോൾ സമവാക്യം യുക്തിരഹിതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതി ഇരുവശവും നിർമ്മിക്കുന്ന രീതിയാണ് സമവാക്യങ്ങൾഒരു ചതുരത്തിലേക്ക്. എന്നിരുന്നാലും. ഇത് സ്വാഭാവികമാണ്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് അടയാളം ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ്. ഈ രീതി സാങ്കേതികമായി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല, പക്ഷേ ചിലപ്പോൾ ഇത് കുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം v(2x-5)=v(4x-7) ആണ്. ഇരുവശവും സമചതുരമാക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് 2x-5=4x-7 ലഭിക്കും. അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല; x=1. എന്നാൽ നമ്പർ 1 നൽകില്ല സമവാക്യങ്ങൾ. എന്തുകൊണ്ട്? x ൻ്റെ മൂല്യത്തിന് പകരം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഒരെണ്ണം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. വലത്, ഇടത് വശങ്ങളിൽ അർത്ഥമില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും, അതായത്. ഒരു സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന് ഈ മൂല്യം സാധുതയുള്ളതല്ല. അതിനാൽ, 1 ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണ്, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

അതിനാൽ, ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം അതിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, പുറമേയുള്ള വേരുകൾ മുറിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

മറ്റൊന്ന് പരിഗണിക്കുക.
2х+vx-3=0
തീർച്ചയായും, മുമ്പത്തെ അതേ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. സംയുക്തങ്ങൾ നീക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ, സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഇല്ലാത്ത, വലത് വശത്തേക്ക്, തുടർന്ന് സ്ക്വയറിംഗ് രീതി ഉപയോഗിക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും വേരുകളും പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ മറ്റൊന്ന്, കൂടുതൽ സുന്ദരമായ ഒന്ന്. ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ നൽകുക; vх=y. അതനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 2y2+y-3=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. അതായത്, ഒരു സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക; y1=1, y2=-3/2. അടുത്തതായി, രണ്ടെണ്ണം പരിഹരിക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ vх=1; vх=-3/2. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല; ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ x=1 എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു. വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ മറക്കരുത്.

ഐഡൻ്റിറ്റികൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിശ്ചിത ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നതുവരെ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ, ഏറ്റവും ലളിതമായ സഹായത്തോടെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾചുമതലകൾ പരിഹരിക്കപ്പെടും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - പേപ്പർ;
• - പേന.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ബീജഗണിത സംക്ഷിപ്ത ഗുണനങ്ങളാണ് (തുകയുടെ വർഗ്ഗം (വ്യത്യാസം), വർഗ്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം, തുക (വ്യത്യാസം), തുകയുടെ ക്യൂബ് (വ്യത്യാസം)). കൂടാതെ, ധാരാളം ഉണ്ട് ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അവ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരേ ഐഡൻ്റിറ്റികളാണ്.

തീർച്ചയായും, രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗം സമചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്ആദ്യത്തെ പ്ലസ് ആദ്യത്തേതിൻ്റെ ഗുണനത്തെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഇരട്ടിയാക്കുക, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ ചതുരം കൂട്ടിച്ചേർക്കുക, അതായത് (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

രണ്ടും ലളിതമാക്കുക

പരിഹാരത്തിൻ്റെ പൊതു തത്വങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠപുസ്തകം ആവർത്തിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം, ഇത് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യമാണ്. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിനുള്ള പരിഹാരം അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് നൽകുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രധാന ഇൻ്റഗ്രലുകൾ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഏത് പട്ടിക ഇൻ്റഗ്രലുകളാണ് അനുയോജ്യമെന്ന് ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുക. ഇത് ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. പലപ്പോഴും, സംയോജനം ലളിതമാക്കുന്നതിന് നിരവധി പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം മാത്രമേ പട്ടിക രൂപം ശ്രദ്ധേയമാകൂ.

വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി

ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ ആണെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം, ആരുടെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ചില ബഹുപദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് വേരിയബിൾ റീപ്ലേസ്‌മെൻ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ശ്രമിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ പോളിനോമിയലിനെ കുറച്ച് പുതിയ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പുതിയതും പഴയതുമായ വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സംയോജനത്തിൻ്റെ പുതിയ പരിധികൾ നിർണ്ണയിക്കുക. ഈ പദപ്രയോഗം വ്യത്യസ്തമാക്കുന്നതിലൂടെ, എന്നതിലെ പുതിയ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും പുതിയ തരംമുമ്പത്തെ അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ, ഏതെങ്കിലും ടേബിളിന് അടുത്തോ അല്ലെങ്കിൽ അതിനോട് പൊരുത്തപ്പെടുന്നതോ.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഇൻ്റഗ്രൽ രണ്ടാമത്തെ തരത്തിൻ്റെ ഒരു അവിഭാജ്യമാണെങ്കിൽ, ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ഒരു വെക്റ്റർ രൂപമാണെങ്കിൽ, ഈ ഇൻ്റഗ്രലുകളിൽ നിന്ന് സ്കെയിലറുകളിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു നിയമമാണ് ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി-ഗൗസ് ബന്ധം. ഒരു നിശ്ചിത വെക്റ്റർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ റോട്ടർ ഫ്‌ളക്‌സിൽ നിന്ന് തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഫീൽഡിൻ്റെ വ്യതിചലനത്തിൽ നിന്ന് ട്രിപ്പിൾ ഇൻ്റഗ്രലിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഈ നിയമം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു.

സംയോജന പരിധികളുടെ പകരക്കാരൻ

ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആദ്യം, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഉയർന്ന പരിധിയുടെ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. കുറച്ച് നമ്പർ കിട്ടും. അടുത്തതായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് താഴത്തെ പരിധിയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മറ്റൊരു സംഖ്യ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക. സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിമിതികളിൽ ഒന്ന് അനന്തതയാണെങ്കിൽ, അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻപരിധിയിലേക്ക് പോയി പദപ്രയോഗം എന്താണ് ശ്രമിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഇൻ്റഗ്രൽ ദ്വിമാനമോ ത്രിമാനമോ ആണെങ്കിൽ, അവിഭാജ്യത്തെ എങ്ങനെ വിലയിരുത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങൾ ഏകീകരണത്തിൻ്റെ പരിധികളെ ജ്യാമിതീയമായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഒരു ത്രിമാന ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്ന വോളിയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മുഴുവൻ പ്ലെയ്‌നുകളാകാം.

ഗണിതത്തിലെ അവസാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിൽ ഒരു പ്രധാന വിഭാഗം ഉൾപ്പെടുന്നു - "ലോഗരിതംസ്". ഈ വിഷയത്തിൽ നിന്നുള്ള ചുമതലകൾ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിർബന്ധമായും അടങ്ങിയിരിക്കണം. കഴിഞ്ഞ വർഷത്തെ അനുഭവം കാണിക്കുന്നത് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പല സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ സൃഷ്ടിച്ചു എന്നാണ്. അതിനാൽ, കൂടെ വിദ്യാർത്ഥികൾ വ്യത്യസ്ത തലങ്ങൾതയ്യാറെടുപ്പ്.

Shkolkovo വിദ്യാഭ്യാസ പോർട്ടൽ ഉപയോഗിച്ച് സർട്ടിഫിക്കേഷൻ ടെസ്റ്റ് വിജയകരമായി വിജയിക്കുക!

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുമ്പോൾ, ഹൈസ്കൂൾ ബിരുദധാരികൾക്ക് ടെസ്റ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഏറ്റവും പൂർണ്ണവും കൃത്യവുമായ വിവരങ്ങൾ നൽകുന്ന ഒരു വിശ്വസനീയമായ ഉറവിടം ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പാഠപുസ്തകം എല്ലായ്പ്പോഴും കൈയിലില്ല, തിരയുന്നു ആവശ്യമായ നിയമങ്ങൾഇൻ്റർനെറ്റിലെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും സമയമെടുക്കുന്നു.

എവിടെയും എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കാൻ Shkolkovo വിദ്യാഭ്യാസ പോർട്ടൽ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ലോഗരിതം, അതുപോലെ ഒന്നിലധികം അജ്ഞാതങ്ങൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള വിവരങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നതിനും സ്വാംശീകരിക്കുന്നതിനുമുള്ള ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ സമീപനം ഞങ്ങളുടെ വെബ്സൈറ്റ് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു. എളുപ്പമുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കുക. നിങ്ങൾ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ അവരെ നേരിടുകയാണെങ്കിൽ, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവയിലേക്ക് നീങ്ങുക. ഒരു പ്രത്യേക അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്‌നമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്കത് നിങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ടവയിലേക്ക് ചേർക്കാൻ കഴിയും, അതുവഴി നിങ്ങൾക്ക് പിന്നീട് അതിലേക്ക് മടങ്ങാം.

"സൈദ്ധാന്തിക സഹായം" എന്ന വിഭാഗം നോക്കി, ടാസ്ക്ക് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം, ഒരു സാധാരണ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക കേസുകളും രീതികളും ആവർത്തിക്കുക. Shkolkovo അധ്യാപകർ ആവശ്യമായ എല്ലാം ശേഖരിക്കുകയും ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും രൂപരേഖ തയ്യാറാക്കുകയും ചെയ്തു വിജയകരമായ പൂർത്തീകരണംഏറ്റവും ലളിതവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായ രൂപത്തിൽ മെറ്റീരിയലുകൾ.

ഏത് സങ്കീർണ്ണതയുടെയും ജോലികൾ എളുപ്പത്തിൽ നേരിടാൻ, ഞങ്ങളുടെ പോർട്ടലിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചില സ്റ്റാൻഡേർഡ് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, "കാറ്റലോഗുകൾ" വിഭാഗത്തിലേക്ക് പോകുക. ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു ഒരു വലിയ സംഖ്യഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ പ്രൊഫൈൽ ലെവലിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.

റഷ്യയിലുടനീളമുള്ള സ്കൂളുകളിൽ നിന്നുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പോർട്ടൽ ഉപയോഗിക്കാം. ക്ലാസുകൾ ആരംഭിക്കുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൽ രജിസ്റ്റർ ചെയ്ത് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ആരംഭിക്കുക. ഫലങ്ങൾ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, ദിവസേന Shkolkovo വെബ്സൈറ്റിലേക്ക് മടങ്ങാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഉപദേശിക്കുന്നു.