Peringkat pertengahan

Pembahagi bagi segi tiga. Teori terperinci dengan contoh (2019)

Pembahagi bagi segi tiga dan sifatnya

Adakah anda tahu apakah titik tengah segmen? Sudah tentu anda lakukan. Bagaimana dengan pusat bulatan? sama. Apakah titik tengah sudut? Anda boleh mengatakan bahawa ini tidak berlaku. Tetapi mengapa segmen boleh dibahagikan kepada separuh, tetapi sudut tidak boleh? Ia agak mungkin - hanya bukan titik, tetapi…. barisan.

Adakah anda masih ingat jenaka: pembahagi dua ialah tikus yang berlari mengelilingi sudut dan membahagi dua sudut. Jadi, takrifan sebenar pembahagi dua adalah hampir sama dengan jenaka ini:

Pembahagi bagi segi tiga- ini ialah bahagian pembahagi dua sudut bagi segi tiga yang menghubungkan bucu sudut ini dengan satu titik pada sisi bertentangan.

Pada suatu masa dahulu, ahli astronomi dan ahli matematik purba menemui banyak sifat menarik pembahagi dua. Ilmu ini telah banyak memudahkan kehidupan manusia. Ia menjadi lebih mudah untuk membina, mengira jarak, malah melaraskan tembakan meriam... Pengetahuan tentang sifat-sifat ini akan membantu kami menyelesaikan beberapa tugasan GIA dan Peperiksaan Negeri Bersepadu!

Pengetahuan pertama yang akan membantu dengan ini ialah pembahagi bagi segi tiga sama kaki.

By the way, adakah anda masih ingat semua istilah ini? Adakah anda ingat bagaimana mereka berbeza antara satu sama lain? Tidak? Tak menakutkan. Mari kita fikirkan sekarang.

Jadi, tapak segi tiga sama kaki- ini adalah bahagian yang tidak sama dengan yang lain. Tengok gambar tu, korang rasa sebelah mana? Betul - ini sebelah.

Median ialah garisan yang dilukis daripada bucu segitiga dan pembahagi sebelah bertentangan(ini lagi) separuh.

Perhatikan kami tidak menyebut, "Median segi tiga sama kaki." Adakah anda tahu mengapa? Kerana median yang dilukis daripada bucu segitiga membelah bahagian bertentangan dalam SEBARANG segi tiga.

Nah, ketinggian ialah garisan yang dilukis dari atas dan berserenjang dengan tapak. perasan tak? Kami sekali lagi bercakap tentang mana-mana segi tiga, bukan hanya satu sama kaki. Ketinggian dalam SEBARANG segitiga sentiasa berserenjang dengan tapak.

Jadi, adakah anda telah memikirkannya? Nah hampir. Untuk memahami dengan lebih baik dan mengingati selama-lamanya apa itu pembahagi dua, median dan ketinggian, anda perlu membandingkannya antara satu sama lain dan memahami bagaimana ia serupa dan bagaimana ia berbeza antara satu sama lain. Pada masa yang sama, untuk mengingati dengan lebih baik, lebih baik untuk menerangkan segala-galanya dalam "bahasa manusia". Kemudian anda akan mudah beroperasi dalam bahasa matematik, tetapi pada mulanya anda tidak memahami bahasa ini dan anda perlu memahami segala-galanya dalam bahasa anda sendiri.

Jadi, bagaimana mereka serupa? Pembahagi dua, median dan ketinggian - semuanya "keluar" dari bucu segitiga dan berehat di sebelah bertentangan dan "melakukan sesuatu" sama ada dengan sudut dari mana ia keluar, atau dengan sebelah bertentangan. Saya fikir ia mudah, bukan?

Bagaimana mereka berbeza?

• Pembahagi dua membahagikan sudut dari mana ia timbul pada separuh.
• Median membahagikan sisi bertentangan kepada separuh.
• Ketinggian sentiasa berserenjang dengan sisi bertentangan.

Sekarang itu sahaja. Ia mudah difahami. Dan apabila anda faham, anda boleh ingat.

Sekarang soalan seterusnya. Mengapa, dalam kes segi tiga sama kaki, pembahagi dua kelihatan sebagai median dan ketinggian?

Anda hanya boleh melihat rajah dan pastikan median membahagi kepada dua segi tiga yang sama. Itu sahaja! Tetapi ahli matematik tidak suka mempercayai mata mereka. Mereka perlu membuktikan segala-galanya. Perkataan menakutkan? Tiada apa-apa seperti itu - ia mudah! Lihat: kedua-duanya mempunyai sisi yang sama dan, mereka biasanya mempunyai sisi yang sama dan. (- pembahagi dua!) Maka ternyata dua segi tiga mempunyai dua sisi yang sama dan satu sudut di antara mereka. Kami mengingati tanda pertama kesamaan segitiga (jika anda tidak ingat, lihat dalam topik) dan membuat kesimpulan bahawa, dan oleh itu = dan.

Ini sudah bagus - ini bermakna ia ternyata median.

Tetapi apa itu?

Jom tengok gambar - . Dan kami mendapatnya. Jadi, juga! Akhirnya, hore! Dan.

Adakah anda mendapati bukti ini agak berat? Lihat gambar - dua segi tiga yang sama bercakap untuk diri mereka sendiri.

Walau apa pun, ingat betul-betul:

Sekarang ia lebih sukar: kami akan mengira sudut antara pembahagi dua dalam mana-mana segi tiga! Jangan takut, ia tidak begitu rumit. Tengok gambar:

Mari kita mengiranya. Adakah anda ingat itu hasil tambah sudut bagi segi tiga ialah?

Mari kita gunakan fakta yang menakjubkan ini.

Di satu pihak, daripada:

iaitu.

Sekarang mari kita lihat:

Tetapi pembahagi dua, pembahagi dua!

Mari kita ingat tentang:

Sekarang melalui surat

\sudut AOC=90()^\circ +\frac(\sudut B)(2)

Tidakkah ia mengejutkan? Ternyata begitu sudut antara pembahagi dua sudut hanya bergantung pada sudut ketiga!

Nah, kami melihat dua pembahagi dua bahagian. Macam mana kalau bertiga??!! Adakah mereka semua akan bersilang pada satu titik?

Atau akan jadi begini?

Bagaimana pendapat anda? Jadi ahli matematik berfikir dan berfikir dan membuktikan:

Hebat kan?

Adakah anda ingin tahu mengapa ini berlaku?

Jadi...dua segi tiga tepat: dan. Mereka mempunyai:

• hipotenus am.
• (kerana ia adalah pembahagi dua!)

Ini bermakna - mengikut sudut dan hipotenus. Oleh itu, kaki yang sepadan bagi segi tiga ini adalah sama! iaitu.

Kami membuktikan bahawa titik adalah sama (atau sama) jauh dari sisi sudut. Perkara 1 diuruskan. Sekarang mari kita beralih ke point 2.

Mengapa 2 benar?

Dan mari kita sambungkan titik dan.

Ini bermakna ia terletak pada pembahagi dua!

Itu sahaja!

Bagaimanakah semua ini boleh digunakan semasa menyelesaikan masalah? Sebagai contoh, dalam masalah sering terdapat frasa berikut: "Bulatan menyentuh sisi sudut ...". Nah, anda perlu mencari sesuatu.

Kemudian anda dengan cepat menyedarinya

Dan anda boleh menggunakan kesaksamaan.

3. Tiga pembahagi dua dalam segitiga bersilang pada satu titik

Daripada sifat pembahagi dua menjadi lokus titik yang sama jarak dari sisi sudut, pernyataan berikut berikut:

Bagaimana sebenarnya ia keluar? Tetapi lihat: dua pembahagi dua pasti akan bersilang, bukan?

Dan pembahagi pembahagi ketiga boleh pergi seperti ini:

Tetapi pada hakikatnya, semuanya lebih baik!

Mari kita lihat titik persilangan dua pembahagi dua. Mari kita panggilnya.

Apa yang kami gunakan di sini kedua-dua kali? ya titik 1, sudah tentu! Jika satu titik terletak pada pembahagi dua, maka ia adalah sama jauh dari sisi sudut.

Dan begitulah ia berlaku.

Tetapi lihat dengan teliti kedua-dua persamaan ini! Lagipun, ia mengikuti daripada mereka bahawa dan, oleh itu, .

Dan kini ia akan mula bermain titik 2: jika jarak ke sisi suatu sudut adalah sama, maka titiknya terletak pada pembahagi dua...sudut apakah? Tengok gambar sekali lagi:

dan ialah jarak ke sisi sudut, dan ia adalah sama, yang bermaksud titik terletak pada pembahagi dua sudut itu. Pembahagian pembahagi ketiga melalui titik yang sama! Ketiga-tiga pembahagi dua bersilang pada satu titik! Dan sebagai hadiah tambahan -

Jejari tertulis bulatan.

(Yang pasti, lihat topik lain).

Nah, kini anda tidak akan lupa:

Titik persilangan pembahagi dua segi tiga ialah pusat bulatan yang tertulis di dalamnya.

Mari kita beralih ke harta seterusnya... Wah, pembahagi dua mempunyai banyak sifat kan? Dan ini bagus, kerana semakin banyak hartanah, semakin banyak lebih banyak alat untuk menyelesaikan masalah pembahagi dua bahagian.

4. Pembahagi dua dan selari, pembahagi dua sudut bersebelahan

Hakikat bahawa pembahagi dua sudut membahagikan separuh dalam beberapa kes membawa kepada keputusan yang tidak dijangka sepenuhnya. Di sini, sebagai contoh,

Kes 1

Hebat kan? Mari kita fahami mengapa ini berlaku.

Di satu pihak, kami melukis pembahagi dua!

Tetapi, sebaliknya, terdapat sudut yang terletak bersilang (ingat tema).

Dan kini ternyata; buang tengah: ! - sama kaki!

Kes 2

Bayangkan segitiga (atau lihat gambar)

Mari kita teruskan bahagian di luar titik. Sekarang kita mempunyai dua sudut:

• - sudut dalaman
• - sudut luar adalah di luar, bukan?

Jadi, kini seseorang mahu melukis bukan satu, tetapi dua pembahagi dua serentak: untuk dan untuk. Apa yang akan berlaku?

Adakah ia akan berjaya? segi empat tepat!

Anehnya, ini betul-betul berlaku.

Mari kita fikirkan.

Pada pendapat anda, berapakah jumlahnya?

Sudah tentu, - selepas semua, mereka semua bersama-sama membuat sudut sedemikian rupa sehingga ia menjadi garis lurus.

Sekarang ingat itu dan adalah pembahagi dua dan lihat bahawa di dalam sudut ada betul-betul separuh daripada jumlah keempat-empat sudut: dan - - iaitu, tepat. Anda juga boleh menulisnya sebagai persamaan:

Jadi, luar biasa tetapi benar:

Sudut antara pembahagi dua bahagian dalam dan sudut luar segi tiga adalah sama.

Kes 3

Adakah anda melihat bahawa semuanya adalah sama di sini seperti sudut dalaman dan luaran?

Atau kita fikirkan semula mengapa ini berlaku?

Sekali lagi, untuk sudut yang bersebelahan,

(seperti yang sepadan dengan tapak selari).

Dan sekali lagi, mereka bersolek betul-betul separuh daripada jumlah

Kesimpulan: Jika masalah mengandungi pembahagi dua bersebelahan sudut atau pembahagi dua relevan sudut segi empat selari atau trapezoid, maka dalam masalah ini sudah tentu mengambil bahagian segi tiga tepat, dan mungkin juga keseluruhan segi empat tepat.

5. Bahagian pembahagi dua dan bertentangan

Ternyata pembahagi dua sudut segitiga membahagikan sisi bertentangan bukan sahaja dalam beberapa cara, tetapi dengan cara yang istimewa dan sangat menarik:

Iaitu:

Fakta yang menakjubkan, bukan?

Sekarang kita akan membuktikan fakta ini, tetapi bersedia: ia akan menjadi sedikit lebih sukar daripada sebelumnya.

Sekali lagi - keluar ke "angkasa" - pembentukan tambahan!

Jom jalan terus.

Untuk apa? Kita lihat sekarang.

Mari teruskan pembahagi dua sehingga bersilang dengan garisan.

Adakah ini gambar yang biasa? Ya, ya, ya, betul-betul sama seperti dalam titik 4, kes 1 - ternyata (- pembahagi dua)

Berbaring melintang

Jadi, itu juga.

Sekarang mari kita lihat segi tiga dan.

Apa yang anda boleh katakan tentang mereka?

Mereka adalah...serupa. Ya, sudut mereka adalah sama dengan sudut menegak. Jadi, di dua sudut.

Sekarang kita mempunyai hak untuk menulis hubungan pihak yang berkenaan.

Dan sekarang dalam notasi ringkas:

Oh! Mengingatkan saya tentang sesuatu, bukan? Bukankah ini yang kita mahu buktikan? Ya, ya, betul-betul itu!

Anda lihat betapa hebatnya "spacewalk" itu - pembinaan garis lurus tambahan - tanpanya tiada apa yang akan berlaku! Jadi, kami telah membuktikannya

Kini anda boleh menggunakannya dengan selamat! Mari kita lihat satu lagi sifat pembahagi dua sudut segitiga - jangan risau, kini bahagian yang paling sukar telah berakhir - ia akan menjadi lebih mudah.

Kami dapat itu

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6:

Di antara banyak mata pelajaran sekolah menengah terdapat satu seperti "geometri". Secara tradisinya dipercayai bahawa pengasas sains sistematik ini adalah orang Yunani. Hari ini, geometri Yunani dipanggil asas, kerana dialah yang memulakan kajian bentuk paling mudah: satah, garis lurus, dan segi tiga. Kami akan menumpukan perhatian kami pada yang terakhir, atau lebih tepat pada pembahagi dua angka ini. Bagi mereka yang sudah terlupa, pembahagi dua segi tiga ialah segmen pembahagi dua salah satu sudut segitiga, yang membahagikannya kepada separuh dan menghubungkan puncak dengan titik yang terletak di sebelah bertentangan.

Pembahagi dua segi tiga mempunyai beberapa sifat yang perlu anda ketahui semasa menyelesaikan masalah tertentu:

• Pembahagi dua sudut ialah lokus titik yang terletak pada jarak yang sama dari sisi yang bersebelahan dengan sudut.
• Pembelah dua dalam segi tiga membahagikan sisi yang bertentangan dengan sudut kepada segmen yang berkadar dengan sisi yang bersebelahan. Sebagai contoh, diberi segi tiga MKB, di mana pembahagi dua muncul dari sudut K, menyambungkan bucu sudut ini dengan titik A di sebelah bertentangan MB. Setelah menganalisis sifat ini dan segi tiga kami, kami mempunyai MA/AB=MK/KB.
• Titik di mana pembahagi dua bagi ketiga-tiga sudut segitiga bersilang ialah pusat bulatan yang tertera dalam segi tiga yang sama.
• Tapak pembahagi dua sudut luar dan dua sudut dalam berada pada garis lurus yang sama, dengan syarat pembahagi dua sudut luar itu tidak selari dengan sisi bertentangan segi tiga.
• Jika dua pembahagi dua daripada satu maka ini

Perlu diingatkan bahawa jika tiga pembahagi dua diberikan, maka membina segitiga daripada mereka, walaupun dengan bantuan kompas, adalah mustahil.

Selalunya, apabila menyelesaikan masalah, pembahagi bagi segi tiga tidak diketahui, tetapi perlu untuk menentukan panjangnya. Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mengetahui sudut yang dibelah dua oleh pembahagi dua dan sisi yang bersebelahan dengan sudut ini. Dalam kes ini, panjang yang diperlukan ditakrifkan sebagai nisbah dua kali ganda hasil sisi yang bersebelahan dengan sudut dan kosinus sudut dibahagikan separuh kepada jumlah sisi yang bersebelahan dengan sudut. Sebagai contoh, diberi segi tiga yang sama MKB. Pembahagi dua timbul dari sudut K dan memotong sisi bertentangan MV pada titik A. Sudut dari mana pembahagi dua itu timbul dilambangkan dengan y. Sekarang mari kita tulis semua yang dikatakan dalam perkataan dalam bentuk formula: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Jika nilai sudut dari mana pembahagi dua segi tiga muncul tidak diketahui, tetapi semua sisinya diketahui, maka untuk mengira panjang pembahagi dua kita akan menggunakan pembolehubah tambahan, yang akan kita panggil separuh perimeter dan menandakan dengan huruf P: P=1/2*(MK+KB+MB). Selepas ini, kami akan membuat beberapa perubahan pada formula sebelumnya yang mana panjang pembahagi dua ditentukan, iaitu, dalam pengangka pecahan kami meletakkan dua kali ganda hasil darab panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut dengan separuh perimeter. dan hasil bagi, di mana panjang sisi ketiga ditolak daripada separuh perimeter. Kami akan membiarkan penyebut tidak berubah. Dalam bentuk formula, ia akan kelihatan seperti ini: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Pembahagi bagi segi tiga sama kaki bersama-sama dengan sifat umum mempunyai beberapa yang tersendiri. Mari kita ingat apakah jenis segitiga ini. Segitiga sedemikian mempunyai dua sisi yang sama dan sudut yang sama bersebelahan dengan tapak. Ia berikutan bahawa pembahagi dua yang jatuh pada sisi sisi segi tiga sama kaki adalah sama antara satu sama lain. Di samping itu, pembahagi dua yang diturunkan ke pangkalan ialah ketinggian dan median.

Pembahagi dua segi tiga ialah konsep geometri biasa yang tidak menyebabkan banyak kesukaran dalam pembelajaran. Mempunyai pengetahuan tentang sifat-sifatnya, anda boleh menyelesaikan banyak masalah tanpa banyak kesukaran. Apa itu pembahagi dua? Kami akan cuba membiasakan pembaca dengan semua rahsia garis matematik ini.

Intipati konsep

Nama konsep berasal dari penggunaan perkataan dalam bahasa Latin, yang bermaksud "bi" - dua, "sectio" - untuk memotong. Mereka secara khusus menunjuk kepada makna geometri konsep - memecahkan ruang antara sinar kepada dua bahagian yang sama.

Pembahagi dua segi tiga ialah segmen yang berasal dari puncak rajah, dan hujung yang satu lagi diletakkan pada sisi yang terletak bertentangan dengannya, sambil membahagikan ruang kepada dua bahagian yang sama.

Untuk menghafal konsep matematik secara berpersatuan dengan cepat, ramai guru menggunakan istilah yang berbeza, yang dicerminkan dalam puisi atau persatuan. Sudah tentu, menggunakan definisi ini disyorkan untuk kanak-kanak yang lebih tua.

Bagaimanakah baris ini ditetapkan? Di sini kita bergantung pada peraturan untuk menetapkan segmen atau sinar. Jika kita bercakap tentang tentang penetapan pembahagi sudut bagi rajah segi tiga, ia biasanya ditulis sebagai segmen yang hujungnya bucu dan titik persilangan dengan sisi bertentangan dengan bucu. Selain itu, permulaan tatatanda ditulis dengan tepat dari puncak.

Perhatian! Berapakah bilangan pembahagi dua segi tiga mempunyai? Jawapannya jelas: seberapa banyak terdapat bucu - tiga.

Hartanah

Selain daripada definisi, anda tidak boleh menemui banyak sifat ini dalam buku teks sekolah. konsep geometri. Sifat pertama pembahagi dua segi tiga, yang diperkenalkan kepada pelajar sekolah, ialah pusat bertulis, dan yang kedua, yang berkaitan secara langsung dengannya, ialah perkadaran segmen. Intinya adalah ini:

1. Walau apa pun garis pemisah, terdapat titik di atasnya pada jarak yang sama dari sisi, yang membentuk ruang antara sinar.
2. Untuk menyesuaikan bulatan ke dalam bentuk segi tiga, adalah perlu untuk menentukan titik di mana segmen ini akan bersilang. Ini adalah titik tengah bulatan.
3. Bahagian sisi segi tiga angka geometri, di mana garis pemisahnya membahagi, ialah V pergantungan berkadar dari sisi membentuk sudut.

Kami akan cuba membawa ciri yang selebihnya ke dalam sistem dan membentangkan fakta tambahan yang akan membantu untuk lebih memahami kelebihan konsep geometri ini.

Panjang

Salah satu jenis masalah yang menyukarkan murid sekolah ialah mencari panjang pembahagi dua sudut segi tiga. Pilihan pertama, yang mengandungi panjangnya, mengandungi data berikut:

• jumlah ruang antara sinar dari puncak yang mana segmen tertentu muncul;
• panjang sisi yang membentuk sudut ini.

Untuk menyelesaikan masalah formula yang digunakan, maksudnya ialah untuk mencari nisbah hasil darab nilai sisi yang membentuk sudut, meningkat sebanyak 2 kali ganda, dengan kosinus separuhnya kepada jumlah sisi.

Mari lihat contoh khusus. Katakan kita diberi angka ABC, di mana satu ruas dilukis dari sudut A dan bersilang sisi BC pada titik K. Kita nyatakan nilai A sebagai Y. Berdasarkan ini, AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ AC).

Versi kedua masalah, di mana panjang pembahagi dua segi tiga ditentukan, mengandungi data berikut:

• makna semua sisi rajah diketahui.

Apabila menyelesaikan masalah jenis ini, pada mulanya tentukan separuh perimeter. Untuk melakukan ini, anda perlu menambah nilai semua sisi dan bahagikan kepada separuh: p=(AB+BC+AC)/2. Seterusnya, kami menggunakan formula pengiraan yang digunakan untuk menentukan panjang segmen ini dalam masalah sebelumnya. Ia hanya perlu membuat beberapa perubahan pada intipati formula mengikut parameter baharu. Jadi, adalah perlu untuk mencari nisbah punca dua kali ganda darjah kedua hasil darab panjang sisi yang bersebelahan dengan bucu oleh separuh perimeter dan perbezaan antara separuh perimeter dan panjang sisi bertentangan dengan jumlah sisi yang membentuk sudut. Iaitu, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Perhatian! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk menguasai bahan, anda boleh beralih kepada cerita komik yang terdapat di Internet yang menceritakan tentang "pengembaraan" baris ini.

Apakah pembahagi dua sudut bagi segi tiga? Apabila menjawab soalan ini, tikus terkenal yang berlari mengelilingi sudut dan membahagikan sudut menjadi dua keluar dari mulut sesetengah orang." Jika jawapannya sepatutnya "lucu," maka mungkin ia betul. Tetapi dengan titik saintifik Dari perspektif, jawapan kepada soalan ini sepatutnya berbunyi seperti ini: bermula pada bucu sudut dan membahagikan yang kedua kepada dua bahagian yang sama." Dalam geometri, angka ini juga dianggap sebagai segmen pembahagi dua sebelum persilangan dengan sisi bertentangan segi tiga Ini bukan pendapat yang salah Tetapi apa lagi yang diketahui tentang pembahagi dua sudut, selain definisinya?

Seperti mana-mana lokus titik geometri, ia mempunyai ciri tersendiri. Yang pertama adalah, sebaliknya, bukan tanda, tetapi teorem, yang boleh dinyatakan secara ringkas seperti berikut: "Jika sisi yang bertentangan dengannya dibahagikan kepada dua bahagian oleh pembahagi dua, maka nisbahnya akan sepadan dengan nisbah sisi segitiga besar."

Sifat kedua yang ada padanya: titik persilangan pembahagi dua semua sudut dipanggil insenter.

Tanda ketiga: pembahagi dua sudut dalaman dan dua sudut luaran segitiga bersilang di tengah salah satu daripada tiga bulatan bertulis.

Sifat keempat pembahagi dua sudut segitiga ialah jika setiap satu sama, maka yang kedua adalah sama kaki.

Tanda kelima juga melibatkan segi tiga sama kaki dan merupakan garis panduan utama untuk pengecamannya dalam lukisan oleh pembahagi dua, iaitu: dalam segi tiga sama kaki ia berfungsi sebagai median dan ketinggian secara serentak.

Pembahagi dua sudut boleh dibina menggunakan kompas dan pembaris:

Peraturan keenam menyatakan bahawa adalah mustahil untuk membina segitiga menggunakan yang kedua hanya dengan pembahagi dua yang sedia ada, sama seperti mustahil untuk membina dengan cara ini penggandaan kubus, kuasa dua bulatan dan triseksi sudut. Tegasnya, ini adalah semua sifat pembahagi dua sudut bagi segitiga.

Jika anda membaca perenggan sebelumnya dengan teliti, maka mungkin anda berminat dengan satu frasa. "Apakah keratan tiga sudut?" - anda mungkin akan bertanya. Trisector adalah sedikit serupa dengan pembahagi dua, tetapi jika anda melukis yang terakhir, sudut akan dibahagikan kepada dua bahagian yang sama, dan apabila membina trisection, ia akan dibahagikan kepada tiga. Sememangnya, pembahagi dua sudut lebih mudah diingat, kerana bahagian tiga tidak diajar di sekolah. Tetapi demi kesempurnaan, saya akan memberitahu anda tentangnya juga.

Trisektor, seperti yang telah saya katakan, tidak boleh dibina hanya dengan kompas dan pembaris, tetapi ia boleh dibuat menggunakan peraturan Fujita dan beberapa lengkung: siput Pascal, kuadratriks, konkoid Nicomedes, bahagian kon,

Masalah pada keratan tiga sudut diselesaikan dengan mudah menggunakan nevsis.

Dalam geometri terdapat teorem tentang trisektor sudut. Ia dipanggil teorem Morley. Dia menyatakan bahawa titik persilangan trisektor setiap sudut yang terletak di tengah akan menjadi bucu

Segi tiga hitam kecil di dalam yang besar akan sentiasa sama sisi. Teorem ini ditemui oleh saintis British Frank Morley pada tahun 1904.

Berikut ialah perkara yang boleh anda pelajari tentang membahagi sudut: Trisektor dan pembahagi dua sudut sentiasa memerlukan penjelasan terperinci. Tetapi di sini diberikan banyak definisi yang belum saya dedahkan: siput Pascal, conchoid Nicomedes, dll. Yakinlah, banyak lagi yang perlu ditulis tentang mereka.

Sudut pedalaman segitiga dipanggil pembahagi dua segi tiga.
Pembelah dua bagi sudut segi tiga juga difahamkan sebagai segmen antara bucunya dan titik persilangan pembahagi dua dengan sisi bertentangan segi tiga itu.
Teorem 8. Tiga pembahagi dua segi tiga bersilang pada satu titik.
Sesungguhnya, mari kita pertimbangkan dahulu titik P persilangan dua pembahagi dua, contohnya AK 1 dan VK 2. Titik ini adalah sama jauh dari sisi AB dan AC, kerana ia terletak pada pembahagi dua sudut A, dan sama jauh dari sisi AB dan BC, sebagai milik pembahagi dua sudut B. Ini bermakna ia adalah sama jauh dari sisi AC dan BC dan dengan itu tergolong dalam pembahagi pembahagi ketiga CK 3, iaitu pada titik P ketiga-tiga pembahagi dua bersilang.
Sifat pembahagi dua sudut dalam dan luar segi tiga
Teorem 9. Pembelah dua sudut dalaman segi tiga membahagi sisi bertentangan kepada bahagian yang berkadar dengan sisi bersebelahan.
Bukti. Mari kita pertimbangkan segi tiga ABC dan pembahagi dua sudutnya B. Mari kita lukis melalui bucu C satu garis lurus CM, selari dengan pembahagi dua BC, sehingga ia bersilang pada titik M dengan kesinambungan sisi AB. Oleh kerana VC ialah pembahagi dua sudut ABC, maka ∠ ABC = ∠ KBC. Selanjutnya, ∠ АВК=∠ ВСМ, sebagai sudut sepadan untuk garis selari, dan ∠ КВС=∠ ВСМ, sebagai sudut bersilang untuk garis selari. Oleh itu ∠ ВСМ=∠ ВМС, dan oleh itu segitiga ВСМ ialah sama kaki, oleh itu ВС=ВМ. Menurut teorem tentang garis selari yang bersilang dengan sisi sudut, kita mempunyai AK: K C=AB:VM=AB:BC, yang mana perlu dibuktikan.
Teorem 10 Pembahagi dua sudut luar B segi tiga ABC mempunyai sifat yang serupa: segmen AL dan CL dari bucu A dan C ke titik L persilangan pembahagi dua dengan kesinambungan sisi AC adalah berkadar dengan sisi segi tiga. : AL: C.L.=AB:BC.
Sifat ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya: dalam rajah garis bantu SM dilukis selari dengan pembahagi dua BL. Sudut BMC dan BC adalah sama, yang bermaksud bahawa sisi BM dan BC bagi segi tiga BMC adalah sama. Dari mana kita sampai pada kesimpulan AL:CL=AB:BC.

Teorem d4. (formula pertama untuk pembahagi dua bahagian): Jika dalam segi tiga ABC segmen AL ialah pembahagi dua sudut A, kemudian AL? = AB·AC - LB·LC.

Bukti: Biarkan M ialah titik persilangan garis AL dengan bulatan yang dihadkan pada segi tiga ABC (Rajah 41). Sudut BAM adalah sama dengan sudut MAC mengikut keadaan. Sudut BMA dan BCA adalah kongruen seperti sudut tersurat yang dicangkum oleh kord yang sama. Ini bermakna segitiga BAM dan LAC adalah serupa dalam dua sudut.<=>Oleh itu, AL: AC = AB: AM. Jadi AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC

AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Itu yang perlu dibuktikan. Nota: untuk teorem tentang segmen kord bersilang dalam bulatan dan tentang sudut tersurat, lihat bulatan topik dan bulatan.
Teorem d5.

Bukti:(rumus kedua untuk pembahagi dua): Dalam segi tiga ABC dengan sisi AB=a, AC=b dan sudut A sama dengan 2? dan pembahagi dua l, kesaksamaan memegang:<=>l = (2ab / (a+b)) cos?.<=>Biarkan ABC ialah segi tiga yang diberi, AL pembahagi duanya (Rajah 42), a=AB, b=AC, l=AL. Kemudian S ABC = S ALB + S ALC. Oleh itu, absin2? = alsin? +blsin?