Definisi: Fungsi berangka ialah surat-menyurat yang mengaitkan setiap nombor x daripada beberapa set yang diberikan dengan nombor tunggal y.

Jawatan:

di mana x ialah pembolehubah bebas (argumen), y ialah pembolehubah bersandar (fungsi). Set nilai x dipanggil domain fungsi (ditandakan D(f)). Set nilai y dipanggil julat nilai fungsi (ditandakan E(f)). Graf fungsi ialah set titik dalam satah dengan koordinat (x, f(x))

Kaedah untuk menentukan fungsi.

1. kaedah analisis (menggunakan formula matematik);
2. kaedah jadual (menggunakan jadual);
3. kaedah deskriptif (menggunakan penerangan lisan);
4. kaedah grafik (menggunakan graf).

Sifat asas fungsi.

1. Genap dan ganjil

Fungsi dipanggil walaupun
– domain takrifan fungsi adalah simetri kira-kira sifar
f(-x) = f(x)

Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang paksi 0y

Suatu fungsi dipanggil ganjil jika
– domain takrifan fungsi adalah simetri kira-kira sifar
– untuk mana-mana x daripada domain definisi f(-x) = –f(x)

Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.

2. Kekerapan

Fungsi f(x) dipanggil berkala dengan kala jika untuk sebarang x daripada domain takrifan f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Jadual fungsi berkala terdiri daripada serpihan serupa yang berulang tanpa had.

3. Monotony (bertambah, berkurang)

Fungsi f(x) meningkat pada set P jika bagi mana-mana x 1 dan x 2 daripada set ini supaya x 1

Fungsi f(x) berkurangan pada set P jika bagi mana-mana x 1 dan x 2 daripada set ini, sehingga x 1 f(x 2) .

4. Keterlaluan

Titik X max dipanggil titik maksimum bagi fungsi f(x) jika untuk semua x dari beberapa kejiranan X max ketaksamaan f(x) f(X max) dipenuhi.

Nilai Y max =f(X max) dipanggil maksimum bagi fungsi ini.

X max – titik maksimum
Pada maks - maksimum

Titik X min dipanggil titik minimum bagi fungsi f(x) jika bagi semua x dari beberapa kejiranan X min, ketaksamaan f(x) f(X min) dipenuhi.

Nilai Y min =f(X min) dipanggil minimum bagi fungsi ini.

X min – titik minimum
Y min – minimum

X min , X max – titik melampau
Y min , Y maks – melampau.

5. Sifar fungsi

Sifar bagi fungsi y = f(x) ialah nilai hujah x di mana fungsi itu menjadi sifar: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – sifar bagi fungsi y = f(x).

Tugasan dan ujian pada topik "Sifat asas fungsi"

• Ciri Fungsi - Fungsi berangka gred 9

  Pelajaran: 2 Tugasan: 11 Ujian: 1

• Sifat logaritma - Fungsi eksponen dan logaritma gred 11

  Pelajaran: 2 Tugasan: 14 Ujian: 1

• Fungsi punca kuasa dua, sifat dan grafnya - Fungsi punca kuasa dua. Sifat gred punca kuasa dua 8

  Pelajaran: 1 Tugasan: 9 Ujian: 1

• Fungsi kuasa, sifat dan grafnya - Darjah dan akar. Fungsi kuasa gred 11

  Pelajaran: 4 Tugasan: 14 Ujian: 1

• Fungsi - Topik penting untuk menyemak Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik

  Tugasan: 24

Setelah mempelajari topik ini, anda seharusnya dapat mencari domain takrifan pelbagai fungsi, menentukan selang monotonisitas fungsi menggunakan graf, dan memeriksa fungsi untuk kesamaan dan keganjilan. Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan masalah yang sama menggunakan contoh berikut.

Contoh.

1. Cari domain takrifan fungsi.

Penyelesaian: domain definisi fungsi didapati daripada keadaan

Bahan pengajaran ini adalah untuk rujukan sahaja dan berkaitan dengan pelbagai topik. Artikel ini memberikan gambaran keseluruhan graf fungsi asas asas dan membincangkan soalan yang paling penting – cara membina graf dengan betul dan CEPAT. Semasa kajian matematik yang lebih tinggi Tanpa mengetahui graf fungsi asas asas, ia akan menjadi sukar, jadi adalah sangat penting untuk mengingati rupa graf parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dll., dan mengingati beberapa nilai fungsi. Kami juga akan bercakap tentang beberapa sifat fungsi utama.

Saya tidak menuntut kelengkapan dan ketelitian saintifik bahan; penekanan akan diletakkan, pertama sekali, pada amalan - perkara-perkara yang seseorang bertemu secara literal pada setiap langkah, dalam mana-mana topik matematik yang lebih tinggi. Carta untuk dummies? Seseorang boleh berkata begitu.

Kerana banyak permintaan daripada pembaca jadual kandungan yang boleh diklik:

Di samping itu, terdapat sinopsis ultra pendek mengenai topik tersebut
– kuasai 16 jenis carta dengan mempelajari ENAM muka surat!

Serius, enam, walaupun saya terkejut. Ringkasan ini mengandungi grafik yang dipertingkatkan dan tersedia dengan bayaran nominal; versi demo boleh dilihat. Ia adalah mudah untuk mencetak fail supaya graf sentiasa berada di tangan. Terima kasih kerana menyokong projek ini!

Dan mari kita mulakan segera:

Bagaimana untuk membina paksi koordinat dengan betul?

Dalam amalan, ujian hampir selalu disiapkan oleh pelajar dalam buku nota berasingan, berbaris dalam segi empat sama. Mengapa anda memerlukan tanda berkotak-kotak? Lagipun, kerja, pada dasarnya, boleh dilakukan pada helaian A4. Dan sangkar itu diperlukan hanya untuk reka bentuk lukisan yang berkualiti tinggi dan tepat.

Sebarang lukisan graf fungsi bermula dengan paksi koordinat.

Lukisan boleh menjadi dua dimensi atau tiga dimensi.

Mari kita pertimbangkan dahulu kes dua dimensi Sistem koordinat segi empat tepat Cartesian:

1) Lukiskan paksi koordinat. Paksi dipanggil paksi-x , dan paksi ialah paksi-y . Kami sentiasa cuba melukis mereka kemas dan tidak bengkok. Anak panah juga tidak boleh menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Kami menandatangani paksi dengan huruf besar "X" dan "Y". Jangan lupa untuk melabelkan kapak.

3) Tetapkan skala di sepanjang paksi: lukis sifar dan dua satu. Apabila membuat lukisan, skala yang paling mudah dan kerap digunakan ialah: 1 unit = 2 sel (lukisan di sebelah kiri) - jika boleh, berpegang padanya. Walau bagaimanapun, dari semasa ke semasa ia berlaku bahawa lukisan tidak sesuai pada helaian buku nota - maka kami mengurangkan skala: 1 unit = 1 sel (lukisan di sebelah kanan). Ia jarang berlaku, tetapi ia berlaku bahawa skala lukisan perlu dikurangkan (atau ditingkatkan) lebih banyak lagi

TIDAK PERLU “mesin gun” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Untuk pesawat koordinat bukanlah monumen kepada Descartes, dan pelajar itu bukan burung merpati. Kita letak sifar Dan dua unit di sepanjang paksi. Kadang-kadang bukannya unit, adalah mudah untuk "menandai" nilai lain, contohnya, "dua" pada paksi abscissa dan "tiga" pada paksi ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan mentakrifkan grid koordinat secara unik.

Adalah lebih baik untuk menganggarkan anggaran dimensi lukisan SEBELUM membina lukisan. Jadi, sebagai contoh, jika tugas itu memerlukan lukisan segi tiga dengan bucu , , , maka jelas sekali bahawa skala popular 1 unit = 2 sel tidak akan berfungsi. kenapa? Mari kita lihat perkara itu - di sini anda perlu mengukur lima belas sentimeter ke bawah, dan, jelas sekali, lukisan itu tidak sesuai (atau hampir tidak sesuai) pada helaian buku nota. Oleh itu, kami segera memilih skala yang lebih kecil: 1 unit = 1 sel.

By the way, kira-kira sentimeter dan sel notebook. Adakah benar 30 sel buku nota mengandungi 15 sentimeter? Untuk keseronokan, ukur 15 sentimeter dalam buku nota anda dengan pembaris. Di USSR, ini mungkin benar... Menarik untuk diperhatikan bahawa jika anda mengukur sentimeter yang sama ini secara mendatar dan menegak, hasilnya (dalam sel) akan berbeza! Tegasnya, buku nota moden tidak berkotak-kotak, tetapi segi empat tepat. Ini mungkin kelihatan tidak masuk akal, tetapi melukis, sebagai contoh, bulatan dengan kompas dalam situasi sedemikian sangat menyusahkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu anda mula berfikir tentang ketepatan Komrad Stalin, yang dihantar ke kem untuk kerja-kerja penggodaman dalam pengeluaran, apatah lagi industri automobil domestik, pesawat jatuh atau loji kuasa yang meletup.

Bercakap tentang kualiti, atau cadangan ringkas untuk alat tulis. Hari ini, kebanyakan buku nota yang dijual adalah, paling tidak, omong kosong lengkap. Atas alasan bahawa mereka basah, dan bukan sahaja dari pen gel, tetapi juga dari pen bola! Mereka menjimatkan wang di atas kertas. Untuk pendaftaran ujian Saya mengesyorkan menggunakan buku nota dari Kilang Pulp dan Kertas Arkhangelsk (18 helaian, grid) atau "Pyaterochka", walaupun ia lebih mahal. Adalah dinasihatkan untuk memilih pen gel; malah isi semula gel Cina yang paling murah adalah lebih baik daripada pen mata bola, yang sama ada mengoyakkan atau mengoyakkan kertas. Satu-satunya pen bola mata "berdaya saing" yang saya ingat ialah Erich Krause. Dia menulis dengan jelas, cantik dan konsisten - sama ada dengan inti penuh atau dengan inti yang hampir kosong.

Selain itu: Penglihatan sistem koordinat segi empat tepat melalui mata geometri analitik diliputi dalam artikel Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor, maklumat terperinci O kuarters selaras boleh didapati dalam perenggan kedua pelajaran Ketaksamaan linear.

kes 3D

Ia hampir sama di sini.

1) Lukiskan paksi koordinat. Standard: paksi terpakai – diarahkan ke atas, paksi – diarahkan ke kanan, paksi – diarahkan ke bawah ke kiri dengan tegas pada sudut 45 darjah.

2) Labelkan paksi.

3) Tetapkan skala di sepanjang paksi. Skala sepanjang paksi adalah dua kali lebih kecil daripada skala sepanjang paksi yang lain. Juga ambil perhatian bahawa dalam lukisan yang betul saya menggunakan "takik" bukan standard di sepanjang paksi (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandangan saya, ini lebih tepat, lebih pantas dan lebih menyenangkan dari segi estetik - tidak perlu mencari bahagian tengah sel di bawah mikroskop dan "mengukir" unit yang dekat dengan asal koordinat.

Apabila membuat lukisan 3D, sekali lagi, beri keutamaan pada skala
1 unit = 2 sel (lukisan di sebelah kiri).

Untuk apa semua peraturan ini? Peraturan adalah untuk dilarangi. Itulah yang saya akan lakukan sekarang. Hakikatnya ialah lukisan artikel seterusnya akan saya buat dalam Excel, dan paksi koordinat akan kelihatan tidak betul dari sudut pandangan reka bentuk yang betul. Saya boleh melukis semua graf dengan tangan, tetapi sebenarnya menakutkan untuk melukisnya kerana Excel enggan melukisnya dengan lebih tepat.

Graf dan sifat asas bagi fungsi asas

Fungsi linear diberikan oleh persamaan. Graf fungsi linear ialah langsung. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mengetahui dua titik.

Contoh 1

Bina graf bagi fungsi tersebut. Mari cari dua mata. Adalah berfaedah untuk memilih sifar sebagai salah satu mata.

Jika , maka

Mari kita ambil satu lagi perkara, sebagai contoh, 1.

Jika , maka

Apabila menyelesaikan tugasan, koordinat titik biasanya diringkaskan dalam jadual:

Dan nilai itu sendiri dikira secara lisan atau pada draf, kalkulator.

Dua mata telah dijumpai, mari buat lukisan:

Semasa menyediakan lukisan, kami sentiasa menandatangani grafik.

Adalah berguna untuk mengingati kes khas fungsi linear:

Perhatikan bagaimana saya meletakkan tandatangan, tandatangan tidak boleh membenarkan percanggahan semasa mengkaji lukisan. DALAM dalam kes ini Adalah sangat tidak diingini untuk meletakkan tandatangan di sebelah titik persilangan garis, atau di bahagian bawah sebelah kanan antara graf.

1) Fungsi linear bentuk () dipanggil kekadaran langsung. Sebagai contoh, . Graf perkadaran langsung sentiasa melalui asalan. Oleh itu, membina garis lurus dipermudahkan - cukup untuk mencari hanya satu titik.

2) Persamaan bentuk menentukan garis lurus selari dengan paksi, khususnya, paksi itu sendiri diberikan oleh persamaan. Graf fungsi dibina serta-merta, tanpa mencari sebarang titik. Iaitu, entri harus difahami seperti berikut: "y sentiasa sama dengan -4, untuk sebarang nilai x."

3) Persamaan bentuk menentukan garis lurus selari dengan paksi, khususnya, paksi itu sendiri diberikan oleh persamaan. Graf fungsi juga diplot serta-merta. Entri harus difahami seperti berikut: "x sentiasa, untuk sebarang nilai y, sama dengan 1."

Ada yang akan bertanya, kenapa ingat darjah 6?! Begitulah, mungkin begitu, tetapi selama bertahun-tahun latihan saya telah bertemu dengan sedozen pelajar yang bingung dengan tugas membina graf seperti atau.

Membina garis lurus adalah tindakan yang paling biasa semasa membuat lukisan.

Garis lurus dibincangkan secara terperinci dalam perjalanan geometri analitik, dan mereka yang berminat boleh merujuk kepada artikel Persamaan garis lurus pada satah.

Graf bagi kuadratik, fungsi padu, graf polinomial

Parabola. Graf bagi fungsi kuadratik () mewakili parabola. Pertimbangkan kes yang terkenal:

Mari kita ingat beberapa sifat fungsi tersebut.

Jadi, penyelesaian kepada persamaan kami: – pada titik inilah puncak parabola terletak. Mengapa ini boleh didapati dalam artikel teori tentang terbitan dan pelajaran tentang ekstrem fungsi. Sementara itu, mari kita hitung nilai "Y" yang sepadan:

Oleh itu, puncak berada pada titik

Sekarang kita dapati titik lain, sambil dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diingatkan bahawa fungsi – tidak sekata, tetapi, bagaimanapun, tiada siapa yang membatalkan simetri parabola.

Dalam susunan untuk mencari mata yang tinggal, saya fikir ia akan jelas dari jadual akhir:

Algoritma pembinaan ini secara kiasan boleh dipanggil "perjalanan ulang-alik" atau prinsip "bolak-balik" dengan Anfisa Chekhova.

Mari buat lukisan:

Daripada graf yang diperiksa, satu lagi ciri berguna muncul di fikiran:

Untuk fungsi kuadratik () yang berikut adalah benar:

Jika , maka cabang parabola diarahkan ke atas.

Jika , maka cabang parabola diarahkan ke bawah.

Pengetahuan yang mendalam tentang lengkung boleh diperolehi dalam pelajaran Hiperbola dan parabola.

Parabola padu diberikan oleh fungsi. Berikut adalah lukisan yang biasa di sekolah:

Mari kita senaraikan sifat utama fungsi tersebut

Graf fungsi

Ia mewakili salah satu cabang parabola. Mari buat lukisan:

Ciri-ciri utama fungsi:

Dalam kes ini, paksi adalah asimtot menegak bagi graf hiperbola pada .

Ia akan menjadi satu kesilapan KASAR jika, semasa melukis lukisan, anda secara cuai membenarkan graf bersilang dengan asimtot.

Juga had berat sebelah memberitahu kita bahawa hiperbola tidak terhad dari atas Dan tidak terhad dari bawah.

Mari kita periksa fungsi pada infiniti: , iaitu, jika kita mula bergerak sepanjang paksi ke kiri (atau kanan) ke infiniti, maka "permainan" akan berada dalam langkah yang teratur dekat tak terhingga mendekati sifar, dan, dengan itu, cabang hiperbola dekat tak terhingga mendekati paksi.

Jadi paksi adalah asimtot mendatar untuk graf fungsi, jika "x" cenderung kepada tambah atau tolak infiniti.

Fungsinya ialah ganjil, dan, oleh itu, hiperbola adalah simetri tentang asal. Fakta ini jelas daripada lukisan, sebagai tambahan, ia mudah disahkan secara analitik: .

Graf bagi fungsi bentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika , maka hiperbola terletak pada sukuan koordinat pertama dan ketiga(lihat gambar di atas).

Jika , maka hiperbola terletak pada sukuan koordinat kedua dan keempat.

Corak kediaman hiperbola yang ditunjukkan adalah mudah untuk dianalisis dari sudut pandangan transformasi geometri graf.

Contoh 3

Bina cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan kaedah pembinaan yang bijak, dan adalah berfaedah untuk memilih nilai supaya ia boleh dibahagikan dengan keseluruhan:

Mari buat lukisan:

Tidak sukar untuk membina cawangan kiri hiperbola; keanehan fungsi akan membantu di sini. Secara kasarnya, dalam jadual pembinaan mengikut arah, kami secara mental menambah tolak pada setiap nombor, meletakkan mata yang sepadan dan lukis cawangan kedua.

Maklumat geometri terperinci tentang garis yang dipertimbangkan boleh didapati dalam artikel Hiperbola dan parabola.

Graf Fungsi Eksponen

Dalam bahagian ini, saya akan segera mempertimbangkan fungsi eksponen, kerana dalam masalah matematik yang lebih tinggi dalam 95% kes, ia adalah eksponen yang muncul.

Biar saya ingatkan anda bahawa ini ialah nombor tidak rasional: , ini akan diperlukan semasa membina graf, yang sebenarnya, saya akan bina tanpa upacara. Tiga mata mungkin cukup:

Mari kita biarkan graf fungsi sahaja buat masa ini, lebih lanjut mengenainya kemudian.

Ciri-ciri utama fungsi:

Graf fungsi, dsb., pada asasnya kelihatan sama.

Saya mesti mengatakan bahawa kes kedua berlaku kurang kerap dalam amalan, tetapi ia berlaku, jadi saya menganggap perlu untuk memasukkannya dalam artikel ini.

Graf fungsi logaritma

Pertimbangkan fungsi dengan logaritma semula jadi.
Mari buat lukisan titik demi titik:

Jika anda terlupa apa itu logaritma, sila rujuk buku teks sekolah anda.

Ciri-ciri utama fungsi:

Domain:

Julat nilai: .

Fungsi ini tidak terhad dari atas: , walaupun perlahan-lahan, tetapi cabang logaritma naik ke infiniti.
Mari kita periksa kelakuan fungsi berhampiran sifar di sebelah kanan: . Jadi paksi adalah asimtot menegak untuk graf fungsi sebagai "x" cenderung kepada sifar dari kanan.

Adalah penting untuk mengetahui dan mengingati nilai tipikal logaritma: .

Pada dasarnya, graf logaritma kepada asas kelihatan sama: , , (logaritma perpuluhan kepada asas 10), dsb. Selain itu, lebih besar tapak, lebih rata graf akan menjadi.

Kami tidak akan mempertimbangkan kes itu; Saya tidak ingat kali terakhir saya membina graf dengan asas sedemikian. Dan logaritma nampaknya menjadi tetamu yang sangat jarang dalam masalah matematik yang lebih tinggi.

Pada akhir perenggan ini saya akan mengatakan satu lagi fakta: Fungsi eksponen Dan fungsi logaritma – ini adalah dua fungsi saling songsang. Jika anda melihat dengan teliti pada graf logaritma, anda boleh melihat bahawa ini adalah eksponen yang sama, ia hanya terletak sedikit berbeza.

Graf fungsi trigonometri

Di manakah siksaan trigonometri bermula di sekolah? Betul. Dari sinus

Mari kita plot fungsi

Barisan ini dipanggil sinusoid.

Biar saya ingatkan anda bahawa "pi" ialah nombor tidak rasional: , dan dalam trigonometri ia membuatkan mata anda terpesona.

Ciri-ciri utama fungsi:

Fungsi ini ialah berkala dengan tempoh. Apakah maksudnya? Jom tengok segmen. Di sebelah kiri dan kanannya, sekeping graf yang sama diulang tanpa henti.

Domain: , iaitu, untuk sebarang nilai “x” terdapat nilai sinus.

Julat nilai: . Fungsinya ialah terhad: , iaitu, semua "permainan" duduk dengan ketat dalam segmen .
Ini tidak berlaku: atau, lebih tepat lagi, ia berlaku, tetapi persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian.

Bahagian ini mengandungi bahan rujukan mengenai fungsi asas utama dan sifatnya. Klasifikasi fungsi asas diberikan. Di bawah ialah pautan kepada subseksyen yang membincangkan sifat-sifat fungsi tertentu - graf, formula, terbitan, antiterbitan (kamiran), pengembangan siri, ungkapan melalui pembolehubah kompleks.

Halaman rujukan untuk fungsi asas

Klasifikasi fungsi asas

Fungsi algebra ialah fungsi yang memenuhi persamaan:
,
di mana ialah polinomial dalam pembolehubah bersandar y dan pembolehubah tidak bersandar x. Ia boleh ditulis sebagai:
,
dimanakah polinomial.

Fungsi algebra dibahagikan kepada polinomial (keseluruhan fungsi rasional), fungsi rasional dan fungsi tidak rasional.

Keseluruhan fungsi rasional, yang juga dipanggil polinomial atau polinomial, diperoleh daripada pembolehubah x dan nombor terhingga nombor menggunakan operasi aritmetik penambahan (tolak) dan pendaraban. Selepas membuka kurungan, polinomial dikurangkan kepada bentuk kanonik:
.

Fungsi rasional pecahan, atau ringkasnya fungsi rasional, diperoleh daripada pembolehubah x dan nombor terhingga nombor menggunakan operasi aritmetik tambah (tolak), darab dan bahagi. Fungsi rasional boleh dikurangkan kepada bentuk
,
di mana dan adalah polinomial.

Fungsi tidak rasional ialah fungsi algebra yang tidak rasional. Sebagai peraturan, fungsi tidak rasional difahami sebagai akar dan komposisinya dengan fungsi rasional. Punca darjah n ditakrifkan sebagai penyelesaian kepada persamaan
.
Ia ditetapkan seperti berikut:
.

Fungsi transendental dipanggil fungsi bukan algebra. Ini adalah eksponen, trigonometri, hiperbolik dan fungsi songsangnya.

Gambaran keseluruhan fungsi asas asas

Semua fungsi asas boleh diwakili sebagai bilangan terhingga operasi tambah, tolak, darab dan bahagi yang dilakukan pada ungkapan bentuk:
z t .
Fungsi songsang juga boleh dinyatakan dalam sebutan logaritma. Fungsi asas asas disenaraikan di bawah.

Fungsi kuasa:
y(x) = x p ,
di mana p ialah eksponen. Ia bergantung kepada asas darjah x.
Kembali kepada fungsi kuasa juga merupakan fungsi kuasa:
.
Untuk nilai integer bukan negatif bagi eksponen p, ia adalah polinomial. Untuk nilai integer p - fungsi rasional. Dengan makna rasional - fungsi tidak rasional.

Fungsi transendental

Fungsi eksponen:
y(x) = a x ,
di mana a ialah asas darjah. Ia bergantung kepada eksponen x.
Fungsi songsang ialah logaritma kepada asas a:
x = log a y.

Eksponen, e kepada kuasa x:
y(x) = e x ,
ini fungsi eksponen, terbitan yang sama dengan fungsi itu sendiri:
.
Asas eksponen ialah nombor e:
≈ 2,718281828459045... .
Fungsi songsang ialah logaritma asli - logaritma ke pangkal nombor e:
x = ln y ≡ log e y.

Fungsi trigonometri:
Sinus: ;
Kosinus: ;
Tangen: ;
Kotangen: ;
Di sini i ialah unit khayalan, i 2 = -1.

Fungsi trigonometri songsang:
Arcsine: x = arcsin y, ;
Kosinus arka: x = arccos y, ;
Artangen: x = arctan y, ;
Arka tangen: x = arcctg y, .

Domain definisi dan julat nilai sesuatu fungsi. Dalam matematik asas, fungsi dikaji hanya pada set nombor nyata R.Ini bermakna hujah fungsi hanya boleh mengambil nilai sebenar yang fungsinya ditakrifkan, i.e. ia juga hanya menerima nilai sebenar. Sekumpulan X semua nilai hujah yang sah yang sah x, yang mana fungsinya y= f(x)ditakrifkan, dipanggil domain fungsi. Sekumpulan Y semua nilai sebenar y, yang diterima oleh fungsi, dipanggil julat fungsi. Sekarang kita boleh memberikan definisi fungsi yang lebih tepat: peraturan(undang-undang) kesesuaian antara set X dan Y, mengikut mana bagi setiap elemen daripada setX boleh mencari satu dan hanya satu elemen daripada set Y, dipanggil fungsi.

Daripada takrifan ini, sesuatu fungsi dianggap ditakrifkan jika:

Domain fungsi ditentukan X ;

Julat fungsi ditentukan Y ;

Peraturan (undang-undang) surat-menyurat diketahui, dan sedemikian rupa untuk setiap

Hanya satu nilai fungsi boleh ditemui untuk nilai argumen.

Keperluan keunikan fungsi ini adalah wajib.

Fungsi monotonik. Jika untuk mana-mana dua nilai hujah x 1 dan x 2 daripada syarat x 2 > x 1 mengikuti f(x 2) > f(x 1), kemudian fungsi f(x) dipanggil semakin meningkat; jika ada x 1 dan x 2 daripada syarat x 2 > x 1 mengikuti f(x 2) < f(x 1), kemudian fungsi f(x) dipanggil semakin berkurangan. Fungsi yang hanya bertambah atau berkurang sahaja dipanggil membosankan.

Fungsi terhad dan tidak terhad. Fungsi itu dipanggil terhad, jika perkara sedemikian wujud nombor positif M apa | f(x) | M untuk semua nilai x. Jika nombor sedemikian tidak wujud, maka fungsinya ialah tidak terhad.

CONTOH.

Fungsi yang ditunjukkan dalam Rajah 3 adalah terhad, tetapi tidak monotonik. Fungsi dalam Rajah 4 adalah sebaliknya, monotonik, tetapi tidak terhad. (Tolong jelaskan ini!).

Fungsi berterusan dan tidak berterusan. Fungsi y = f (x) dipanggil berterusan pada titikx = a, Jika:

1) fungsi ditakrifkan apabila x = a, iaitu f (a) wujud;

2) wujud terhingga had lim f (x) ;

x→a

(lihat Had Fungsi)

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Jika sekurang-kurangnya satu daripada syarat ini tidak dipenuhi, maka fungsi itu dipanggil bahan letupan pada titik x = a.

Jika fungsi berterusan semasa semua orang titik domain definisinya, maka ia dipanggil fungsi berterusan.

Fungsi genap dan ganjil. Jika untuk mana-mana x f(- x) = f (x), maka fungsi itu dipanggil malah; jika ia berlaku: f(- x) = - f (x), maka fungsi itu dipanggil ganjil. Graf fungsi genap simetri tentang paksi Y(Rajah 5), graf bagi fungsi ganjil Simmetrik berkenaan dengan asal usul(Gamb. 6).

Fungsi berkala. Fungsi f (x) - berkala, jika perkara sedemikian wujud bukan sifar nombor T untuk apa mana-mana x dari domain takrifan fungsi yang berikut memegang: f (x + T) = f (x). ini paling kurang nombor itu dipanggil tempoh fungsi. Semua fungsi trigonometri adalah berkala.

Contoh 1. Buktikan dosa itu x mempunyai tempoh 2.

Penyelesaian: Kita tahu bahawa dosa ( x+ 2n) = dosa x, Di mana n= 0, ± 1, ± 2, …

Oleh itu, penambahan 2 n bukan kepada hujah sinus

Berubah maknanya. Adakah terdapat nombor lain dengan ini

Harta yang sama?

Mari kita berpura-pura itu P- nombor sedemikian, i.e. kesaksamaan:

dosa( x+P) = dosa x,

Sah untuk sebarang nilai x. Tetapi kemudian ia telah

Tempat dan masa x= / 2, i.e.

Dosa(/2 + P) = dosa / 2 = 1.

Tetapi mengikut formula pengurangan sin ( / 2 + P) = cos P. Kemudian

Daripada dua kesamaan terakhir ia mengikuti bahawa cos P= 1, tetapi kita

Kita tahu bahawa ini benar hanya apabila P = 2n. Sejak terkecil

Nombor bukan sifar daripada 2 n ialah 2, maka nombor ini

Dan ada dosa tempoh x. Ia boleh dibuktikan dengan cara yang sama seperti 2 daripada n ialah , jadi ini adalah tempoh dosa 2 x.

Fungsi sifar. Nilai hujah di mana fungsi bersamaan dengan 0 dipanggil sifar (akar) fungsi. Fungsi boleh mempunyai berbilang sifar. Contohnya, fungsi y = x (x + 1) (x-3) mempunyai tiga sifar: x= 0, x= -1, x= 3. Secara geometri fungsi null - ini ialah absis titik persilangan graf fungsi dengan paksi X .

Rajah 7 menunjukkan graf fungsi dengan sifar: x= a, x = b Dan x= c.

Asymptot. Jika graf fungsi menghampiri garis tertentu secara tidak tentu apabila ia bergerak dari asal, maka garis ini dipanggil asimtot.

Fungsi dan sifatnya

Fungsi adalah salah satu konsep matematik yang paling penting.Fungsi Mereka memanggil pergantungan sedemikian bagi pembolehubah y pada pembolehubah x di mana setiap nilai pembolehubah x sepadan dengan nilai tunggal pembolehubah y.

Pembolehubah X dipanggil pembolehubah bebas atau hujah. Pembolehubah di dipanggil pembolehubah bersandar. Mereka juga berkata demikianpembolehubah y ialah fungsi pembolehubah x. Nilai pembolehubah bersandar dipanggilnilai fungsi.

Jika pergantungan pembolehubahdi daripada pembolehubahX ialah fungsi, maka ia boleh ditulis secara ringkas seperti berikut:y= f( x ). (Baca:di samaf daripadaX .) Simbolf( x) menandakan nilai fungsi yang sepadan dengan nilai hujah yang sama denganX .

Semua nilai bentuk pembolehubah bebasdomain sesuatu fungsi . Semua nilai yang membentuk pembolehubah bersandarjulat fungsi .

Jika fungsi ditentukan oleh formula dan domain definisinya tidak ditentukan, maka domain definisi fungsi dianggap terdiri daripada semua nilai hujah yang formula itu masuk akal.

Kaedah untuk menentukan fungsi:

1.kaedah analisis (fungsi ditentukan menggunakan formula matematik;

2.kaedah jadual (fungsi ditentukan menggunakan jadual)

3. kaedah deskriptif (fungsi ditentukan oleh penerangan lisan)

4. kaedah grafik (fungsi ditentukan menggunakan graf).

Graf fungsi namakan set semua titik satah koordinat, absis yang sama dengan nilai hujah, dan ordinat - nilai fungsi yang sepadan.

SIFAT-SIFAT ASAS FUNGSI

1. Fungsi sifar

Sifar fungsi ialah nilai hujah di mana nilai fungsi itu sama dengan sifar.

2. Selang tanda malar bagi suatu fungsi

Selang tanda malar bagi sesuatu fungsi ialah set nilai hujah di mana nilai fungsi hanya positif atau negatif sahaja.

3. Meningkatkan (menurun) fungsi.

Bertambah dalam beberapa selang fungsi ialah fungsi yang nilai yang lebih tinggi hujah dari selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Fungsi y = f ( x ) dipanggil semakin meningkat pada selang waktu (A; b ), jika ada x 1 Dan x 2 daripada selang ini supayax 1 < x 2 , ketidaksamaan adalah benarf ( x 1 )< f ( x 2 ).

Menurun dalam selang tertentu, fungsi ialah fungsi yang nilai hujah yang lebih besar daripada selang ini sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Fungsi di = f ( x ) dipanggil semakin berkurangan pada selang waktu (A; b ) , jika ada x 1 Dan x 2 daripada selang ini supaya x 1 < x 2 , ketidaksamaan adalah benarf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Fungsi genap (ganjil).

Malah berfungsi - fungsi yang domain definisinya adalah simetri berkenaan dengan asal dan untuk mana-manaX daripada domain takrifan persamaanf (- x ) = f ( x ) . Graf bagi fungsi genap adalah simetri tentang ordinat.

Contohnya, y = x 2 - fungsi sekata.

Fungsi ganjil- fungsi yang domain definisinya adalah simetri berkenaan dengan asal dan untuk mana-mana X dari domain takrifan persamaan adalah benar f (- x ) = - f (x ). Graf bagi fungsi ganjil adalah simetri tentang asalan.

Contohnya: y = x 3 - fungsi ganjil .

Fungsi Pandangan umum bukan genap atau ganjil (y = x 2 +x ).

Sifat beberapa fungsi dan grafiknya

1. Fungsi linear dipanggil fungsi bentuk , di mana k Dan b – nombor.

Domain definisi fungsi linear ialah setR nombor nyata.

Graf fungsi lineardi = kx + b ( k ≠ 0) ialah garis lurus yang melalui titik (0;b ) dan selari dengan garisandi = kx .

Lurus, tidak selari dengan paksiOU, ialah graf bagi fungsi linear.

Sifat fungsi linear.

1. Bila k > 0 fungsi di = kx + b

2. Bila k < 0 fungsi y = kx + b berkurangan dalam domain definisi.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) ialah keseluruhan garis nombor, i.e. sekumpulanR nombor nyata.

Pada k = 0 set nilai fungsiy = kx + b terdiri daripada satu nomborb .

3. Bila b = 0 dan k = 0 fungsi itu bukan genap mahupun ganjil.

Pada k = 0 fungsi linear mempunyai bentuky = b dan pada b ≠ 0 ia adalah sekata.

Pada k = 0 dan b = 0 fungsi linear mempunyai bentuky = 0 dan kedua-duanya genap dan ganjil.

Graf fungsi lineary = b ialah garis lurus yang melalui titik (0; b ) dan selari dengan paksiOh. Perhatikan bahawa apabila b = 0 graf fungsiy = b bertepatan dengan paksi Oh .

5. Bila k > 0 kita ada itu di> 0, jika dan di< 0 jika. Pada k < 0 kita mempunyai bahawa y > 0 jika dan pada< 0, если .

2. Fungsi y = x 2

Rnombor nyata.

Memberi pembolehubahX beberapa nilai daripada domain fungsi dan mengira nilai yang sepadandi mengikut formula y = x 2 , kami menggambarkan graf fungsi.

Graf fungsi y = x 2 dipanggil parabola.

Sifat bagi fungsi y = x 2 .

1. Jika X= 0, maka y = 0, iaitu Parabola mempunyai titik sepunya dengan paksi koordinat (0; 0) - asal koordinat.

2. Jika x ≠ 0 , Itu di > 0, iaitu semua titik parabola, kecuali asalan, terletak di atas paksi-x.

3. Set nilai fungsidi = X 2 ialah fungsi spandi = X 2 berkurangan.

X

3.Fungsi

Domain bagi fungsi ini ialah fungsi spany = | x | berkurangan.

7. Nilai terendah fungsi mengambil pada titikX, ia sama dengan 0. Nilai terhebat tidak wujud.

6. Fungsi

Skop fungsi: .

Julat fungsi: .

Graf ialah hiperbola.

1. Fungsi sifar.

y ≠ 0, tiada sifar.

2. Selang ketekalan tanda,

Jika k > 0, kemudian di> 0 pada X > 0; di < 0 при X < О.

Jika k < 0, то di < 0 при X > 0; di> 0 pada X < 0.

3. Selang peningkatan dan penurunan.

Jika k > 0, maka fungsi berkurangan sebagai .

Jika k < 0, то функция возрастает при .

4. Fungsi genap (ganjil).

Fungsinya ganjil.

Trinomial segi empat sama

Persamaan bentuk kapak 2 + bx + c = 0, di mana a , b Dan Dengan - beberapa nombor, dana≠ 0, dipanggil segi empat sama.

Dalam persamaan kuadratikkapak 2 + bx + c = 0 pekali A dipanggil pekali pertama b - pekali kedua, dengan - ahli percuma.

Formula akar persamaan kuadratik mempunyai bentuk:

.

Ungkapan itu dipanggil diskriminasi persamaan kuadratik dan dilambangkan denganD .

Jika D = 0, maka hanya terdapat satu nombor yang memenuhi persamaan kapak 2 + bx + c = 0. Walau bagaimanapun, kami bersetuju untuk mengatakan bahawa dalam kes ini persamaan kuadratik mempunyai dua punca sebenar yang sama, dan nombor itu sendiri dipanggil punca berganda.

Jika D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Jika D > 0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca nyata yang berbeza.

Biarkan persamaan kuadratik diberikankapak 2 + bx + c = 0. Sejak a≠ 0, kemudian bahagikan kedua-dua belah persamaan ini denganA, kita dapat persamaan . Percaya Dan , kita sampai pada persamaan , di mana pekali pertama adalah sama dengan 1. Persamaan ini dipanggildiberi.

Rumus untuk punca-punca persamaan kuadratik di atas ialah:

.

Persamaan bentuk

A x 2 + bx = 0, kapak 2 + s = 0, A x 2 = 0

dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan dengan memfaktorkan bahagian kiri persamaan.

Teorem Vieta .

Jumlah punca persamaan kuadratik adalah sama dengan nisbah pekali kedua kepada pekali pertama, diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab punca ialah nisbah sebutan bebas kepada pekali pertama, i.e.

Teorem Converse.

Jika hasil tambah sebarang dua nomborX 1 Dan X 2 sama dengan , dan produk mereka adalah sama, maka nombor-nombor ini ialah punca-punca persamaan kuadratikOh 2 + b x + c = 0.

Fungsi borang Oh 2 + b x + c dipanggil trinomial segi empat sama. Punca-punca fungsi ini ialah punca-punca persamaan kuadratik yang sepadanOh 2 + b x + c = 0.

Jika diskriminasi trinomial kuadratik lebih besar daripada sifar, maka trinomial ini boleh diwakili sebagai:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

di mana X 1 Dan X 2 - akar trinomial

Jika diskriminasi trinomial kuadratik ialah sifar, maka trinomial ini boleh diwakili sebagai:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

di mana X 1 - akar trinomial.

Sebagai contoh, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Persamaan bentuk Oh 4 + b X 2 + s= 0 dipanggil biquadratik. Menggunakan penggantian berubah-ubah menggunakan formulaX 2 = y ia berkurang kepada persamaan kuadratikA y 2 + oleh + c = 0.

Fungsi kuadratik

Fungsi kuadratik ialah fungsi yang boleh ditulis dengan formula bentuky = kapak 2 + bx + c , Di mana x - pembolehubah bebas,a , b Dan c – beberapa nombor, dana ≠ 0.

Sifat fungsi dan jenis grafnya ditentukan terutamanya oleh nilai pekalia dan diskriminasi.

Sifat bagi fungsi kuadratik

Domain:R;

Julat nilai:

di A > 0 [- D/(4 a); ∞)

di A < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Walaupun ganjil:

di b = 0 fungsi genap

di b ≠ 0 fungsi bukan genap mahupun ganjil

di D> 0 dua sifar: ,

di D= 0 satu sifar:

di D < 0 нулей нет

Tandai selang keteguhan:

jika a > 0, D> 0, kemudian

jika a > 0, D= 0, maka

e jika a > 0, D < 0, то

sekiranya< 0, D> 0, kemudian

sekiranya< 0, D= 0, maka

sekiranya< 0, D < 0, то

- Selang monotoni

untuk > 0

pada a< 0

Graf bagi fungsi kuadratik ialahparabola – lengkung simetri tentang garis lurus , melalui bucu parabola (bucu parabola ialah titik persilangan parabola dengan paksi simetri).

Untuk membuat graf fungsi kuadratik, anda memerlukan:

1) cari koordinat bucu parabola dan tandakannya dalam satah koordinat;

2) bina beberapa lagi mata kepunyaan parabola;

3) sambungkan titik yang ditanda dengan garis yang lancar.

Koordinat puncak parabola ditentukan oleh formula:

; .

Menukar graf fungsi

1. Regangan seni grafiky = x 2 sepanjang paksidi V|a| kali (pada|a| < 1 ialah pemampatan 1/|a| sekali).

Jika, dan< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (cabang parabola akan diarahkan ke bawah).

Keputusan: graf bagi suatu fungsiy = ah 2 .

2. Pemindahan selari grafik fungsiy = ah 2 sepanjang paksiX pada| m | (ke kanan apabila

m > 0 dan ke kiri apabilaT< 0).

Keputusan: graf fungsiy = a(x - t) 2 .

3. Pemindahan selari grafik fungsi sepanjang paksidi pada| n | (hingga padap> 0 dan ke bawah padaP< 0).

Keputusan: graf fungsiy = a(x - t) 2 + hlm.

Ketaksamaan kuadratik

Ketaksamaan bentukOh 2 + b x + c > 0 danOh 2 + bx + c< 0, di manaX - pembolehubah,a , b DanDengan - beberapa nombor, dana≠ 0 dipanggil ketaksamaan darjah kedua dengan satu pembolehubah.

Menyelesaikan ketaksamaan darjah kedua dalam satu pembolehubah boleh dianggap sebagai mencari selang di mana fungsi kuadratik sepadan mengambil nilai positif atau negatif.

Untuk menyelesaikan ketaksamaan bentukOh 2 + bx + c > 0 danOh 2 + bx + c< 0 teruskan seperti berikut:

1) cari diskriminasi bagi trinomial kuadratik dan ketahui sama ada trinomial itu mempunyai punca;

2) jika trinomial mempunyai akar, maka tandakannya pada paksiX dan melalui titik-titik bertanda parabola dilukis secara skematik, cabang-cabangnya diarahkan ke atas padaA > 0 atau turun apabilaA< 0; jika trinomial tidak mempunyai akar, maka secara skematik menggambarkan parabola yang terletak di separuh satah atas padaA > 0 atau lebih rendah padaA < 0;

3) terdapat pada paksiX selang yang mana titik parabola terletak di atas paksiX (jika ketidaksamaan diselesaikanOh 2 + bx + c > 0) atau di bawah paksiX (jika ketidaksamaan diselesaikanOh 2 + bx + c < 0).

Contoh:

Mari kita selesaikan ketidaksamaan .

Pertimbangkan fungsinya

Grafnya ialah parabola, cabang-cabangnya diarahkan ke bawah (sejak ).

Mari kita ketahui bagaimana graf terletak relatif kepada paksiX. Mari kita selesaikan persamaan untuk ini . Kami dapat itux = 4. Persamaan mempunyai punca tunggal. Ini bermakna parabola menyentuh paksiX.

Dengan menggambarkan parabola secara skematik, kami mendapati bahawa fungsi itu mengambil nilai negatif untuk mana-manaX, kecuali 4.

Jawapannya boleh ditulis seperti ini:X - sebarang nombor tidak sama dengan 4.

Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah selang

gambarajah penyelesaian

1. Cari sifar berfungsi di sebelah kiri ketaksamaan.

2. Tandakan kedudukan sifar pada paksi nombor dan tentukan kepelbagaiannya (Jikak i ialah genap, maka sifar ialah kelipatan genap jikak i ganjil adalah ganjil).

3. Cari tanda-tanda fungsi dalam selang antara sifarnya, bermula dari selang paling kanan: dalam selang ini fungsi di sebelah kiri ketaksamaan sentiasa positif untuk bentuk ketaksamaan yang diberikan. Apabila melepasi dari kanan ke kiri melalui sifar fungsi dari satu selang ke yang bersebelahan, seseorang harus mengambil kira:

jika sifar adalah ganjil kepelbagaian, tanda fungsi berubah,

jika sifar genap kepelbagaian, tanda fungsi itu dipelihara.

4. Tulis jawapannya.

Contoh:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Sifar fungsi ditemui. Mereka adalah sama:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Mari kita tandakan sifar fungsi pada garis koordinatf ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Mari cari tanda-tanda fungsi ini dalam setiap selang (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) dan

Jelas daripada rajah bahawa set penyelesaian kepada ketaksamaan ialah gabungan selang (-∞; -6) dan (-1; 4).

Jawapan: (-∞ ; -6) dan (-1; 4).

Kaedah yang dipertimbangkan untuk menyelesaikan ketaksamaan dipanggilkaedah selang waktu.